第八章 光学系统成像质量评价

MTF（Modulation Transfer Function）是光学系统成像质量评估的重要指标之一，它描述了光学系统对高对比度物体细节信息的成像能力。

在光学系统设计和优化过程中，对其成像质量的评估是至关重要的，而MTF的测量和分析是评估光学系统成像质量的重要方法之一。

本文将介绍MTF光学系统成像质量评估方法。

1. MTF的基本概念MTF是指光学系统在特定空间频率下的成像对比度传递函数，描述了光学系统对不同空间频率下物体细节信息的成像能力。

在实际应用中，MTF通常被表示为对比度相对于空间频率的函数图。

通过分析MTF曲线，可以直观地了解光学系统在不同空间频率下的成像能力，判断其成像质量优劣。

2. MTF的测量方法（1）光栅法光栅法是最常用的MTF测量方法之一，通过将空间周期状物体（如光栅）成像，利用光栅的传递函数与系统MTF进行卷积，得到系统的MTF曲线。

这种方法简单直观，适用于对于大部分光学系统的MTF评估。

（2）差动法差动法是一种通过对比不同空间频率下的目标物体图像和参考图像，得到系统的MTF曲线。

这种方法适用于对成像设备不便携的场合，但需要精确的图像处理技术和系统校准。

（3）干涉法干涉法是通过干涉条纹的形成来测量MTF的一种方法，它能够直接测量相位信息和幅度信息，对系统MTF的测量有很好的灵敏度和分辨率。

但是，干涉法对环境要求较高，且实验操作相对复杂。

3. MTF的分析与评估（1）MTF曲线的解读MTF曲线通常会显示出在低空间频率时，成像对比度随空间频率的增加而逐渐降低，而在高空间频率时，成像对比度急剧下降。

通过分析MTF曲线的特征，可以评估光学系统的成像能力。

（2）MTF的指标评价在评估光学系统的MTF时，需要使用一些指标来描述其成像质量，如MTF50、MTF20等，它们分别表示MTF曲线上50、20的空间频率对应的成像对比度。

这些指标能够量化地描述光学系统的成像能力，为光学系统的设计和优化提供依据。

第八章光学系统的像质评价和像差公差光学系统的像质评价和像差公差是光学设计中非常重要的内容，对于确保光学系统的成像效果和减小像差具有重要意义。

本文将从像质评价和像差公差两个方面进行详细介绍。

第一部分：像质评价在光学系统设计中，像质评价是衡量系统成像效果好坏的一项重要指标。

像质评价可以通过不同的参数来进行，如分辨率、畸变、像场曲率等。

1.分辨率：分辨率是指系统能够分辨出最小细节的能力。

在光学系统中，分辨率受到折射率、孔径、波长等因素的影响。

分辨率的提高可以通过增加系统的孔径、减小像散等方法来实现。

2.畸变：畸变是指光学系统成像时图像相对于参考图像的形变情况。

主要分为径向畸变和切向畸变两种。

径向畸变是指图像中心与边缘的变形情况，切向畸变是指图像的扭曲情况。

畸变的产生主要是由于光学元件的形状和定位误差导致的，可以通过优化元件设计和加强装配精度来减小畸变。

3.像场曲率：像场曲率是指光学系统各个像点的焦距随着物距的变化情况。

如果像场曲率过大，会导致成像不清晰，失去焦点。

可以通过调整透镜曲率半径、引入焦点平面等方法来改善像场曲率。

第二部分：像差公差像差是指光学系统成像时图像与理想像之间的差异，它是光学系统中不可避免的问题。

为了减小像差，需要对光学系统进行像差公差的设计和控制。

1.球面像差：球面像差是由于透镜表面的曲率或者抛物率与光线的入射角度不匹配导致的成像失真。

可以通过优化透镜表面形状和选择合适的材料来减小球面像差。

2.形状像差：形状像差是光学元件的形状不规则或者安装位置偏差导致的成像失真。

可以通过优化元件设计和加强装配精度来减小形状像差。

3.色差：色差是指透镜对不同波长的光具有不同的折射率，从而导致颜色偏差。

色差主要分为色散和像散两种。

色散是指透镜对不同波长的光具有不同的聚焦效果，像散是指不同波长的光成像位置不一致。

可以通过使用多片透镜组合、引入补偿透镜等方法来减小色差。

在光学系统设计中，像质评价和像差公差是重要的内容，对于确保系统的成像效果和减小像差具有重要意义。

Chapter X Image quality evaluation of optical system(光学系统像质评价)Introduction§10.1 Brightness of center disk and Rayleigh Judgement(中心点亮度和瑞利判断)§10.2 Resolving power(分辨率)§10.3 Spot diagram(点列图)§10.4 Optical transfer function(光学传递函数)IntroductionThe initial preliminary evaluation of the image quality provided by a particular system come from the blur circle formed by all the rays emitted by point objects in different field of view.This blur circle is called usually as diffused disk, spot diagram, point spread function.1. Geometrical aberration:The geometrical aberration is the residual aberration less than the tolerance of aberration or according to the curve of aberration. We determine the dimension of diffused disk.＊ Because of diffraction geometrical aberration can not describe the actualdistribution of energy of a point object.2. Wavefront aberration Rayleigh criterion (ifw 4λ'≤ the image quality is good; if w 10λ'≤the imagequality is perfect) is very simple, it is does not consider the defect area. Only used in small aberration system. (Peak to Valley: maximum wavefront aberration)3. The resolving power of an optical system has been the criterion most used for the quality of the image. It has been expressed by in terms of the maximum number of lines per millimeter. Moreover, the resolving power depends greatly on the contrast in object.4. Optical Transfer Function (OTF)OTF represents the property of an optical system considered as a transmitter of spatial frequence.＊ Even an ideally corrected system can only transmit spatial frequence below some limiting frequence-cutoff frequence.§10.1 Brightness of center disk and Rayleigh Judgement (中心点亮度和瑞利判断)1. Brightness of center diskStrehl Criterion:B r i g h t n e s s o f R a y l e i g h d i s k f o r a b e r r a t io n a l s y s t e m .B r i g h t n e s s o f R a y l e i g h d i s k f o r i d e a l s ys t e m S D =221222(0)1.(0)p ikwp w S D erd rd w πϕϕπϕ≠===⎰⎰Let C o m p l e x A m p l i t u d e a t i m a g e p p x y ϕ- exit pupil radiuslr -eye d istan ce z l '- Get 2120z ikl ik l pz r eerd rd l πωηϕϕλ'--='⎰⎰Expansion series of ikwe212xxex =++()222 .1S D k w w⎡⎤∴≈--⎢⎥⎣⎦12122211, w w rd rd w w rd rd ππϕϕππ==⎰⎰⎰⎰If S.D 0.8 th e system is p erfect,it n o tes th at th e cen ter en erg y o f rayleig h d isk is 0.84.≥Sample:2If , ()6844p w w λλϕ===22()684.0.8184(0)p p w S D w λϕϕ=====S.D0.8∴≥It corresponds to the Rayleigh criterion.w 4λ≤2. Rayleigh Judgement w 4λ'≤ The image quality is goodw 10λ'≤ The image quality is perfectConsidering only the maximum wavefront aberration, defocusing can improve the wavefront aberration. (Select the best image plane) The ration of the area (w4λ≤) to the whole area is not considered.The advantage is easy to calculate, applied in optical system with small aberration, such as telescope, microscope objective. Zemax: ① analysis ↙wavefront field settin g w avefro n t m ap w avelen g th in t erfero g ram ⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎩② windowOpd: determine the defect area§10.2 Resolving power(分辨率)Resolving power of a system will be of the order of 1σ, σ is the mean circlediameter of diffused disk.Rayleigh Judgement: the least resolving separation (LRS) of the two star images is given by the radius of Airy Disk. LRS=1 Airy radius Dove Judgement:LRS=0.85 Airy radius Ideal optical system:Telescope 140Dϕ︒= 120Dϕ︒=Microscope 0.61N A λσ=0.5N A λσ= Photographic 1475L N F=1800Fσ=Resolving power depend onc o n t r a s t o f a n o b j e c tillu im in atin g co n d itio n sen sitivety an d reso lu tio n o f d etecto r ⎧⎪⎨⎪⎩＊ Applied in large aberration system, such as photographic lens.Discussion:⑴ Resolving plate is a square-wave grating which consists of a series of light and darkness at progressively closer spacing.The resolving plate is high contrast, while object is lower contrast.b r i g h t m i n u s d a r k b r i g h t p l u s d a r kK =⑵ Some times it appears pseudo-resolving phenomenon, below cutoff frequence, higher frequence object can be resolved, this is because of phase-inverted.§10.3 Spot diagram(点列图)The entrance pupil is divided into a few equal area rings, equal number of rays pass through each zone. The points distribution in image plane represents the energy distribution.The diameter of the spot less than (0.03~0.01mm) is permitted, and it is depended on the detector.§10.4 Optical transfer function (光学传递函数)The base of OTF is Fourier analysis 1. ConceptAn incoherent optical system (incoherent illumination) can be considered as a low-pass linear filter of spatial frequencies. If sinusoidal intensity distribution (signal) is inputted into optical system, the output is also sinusoidal, but the contrast is reduced (K 1), phase is shifted (ϕ∆). The ration M 1/M and phaseϕ∆ are depends on the frequence.M: inputted object contrast M 1: outputted image contrast＊ The ratio M 1/M is called modulated transfer function (MTF) of an optical system, and ϕ∆ is called phase transfer function (PTF).Inputted:000co s 2(1co s 2)a a x x I I I I f x I f x I ππ=+=+m a x m i n00maxm in 00()()()()a a aa a I II I I I IM I I I I I I I -+--===+++-0 (1c o s 2)xII M f x π∴=+ After passing though optical system0 [1c o s (2)]x I I Mf x πϕ'=++∆a a I I M M'<'∴<M M T F M'=01M T F <<iP T FO T F M T F e-=Why take fine-wave distribution signal as inputted object? Because any object can be seen as be composed by a series of sine patterns with different frequence and different brightness.2. The condition of OTF1) linear condition:Energy distributions of object (image) satisfy linear superposition:● with incoherent illumination ● ground glass● optical system has larger numerical aperture2) space-invariableThere is the same point spread function (PSF) in any region of the image plane-isoplanatic condition.Object (image) is divided into many isoplanatic regions, each region has the same effect of diffraction and aberration.3. Expression of OTFIn order to calculate OTF the object (image) break down many points, mathematically is (,)x y δ. Object distribution:11111(,)(,)(,)o x y o x y x x yy d x d yδ∞=--⎰⎰Image distribution:(,)(,)(-,-)(,)(-,-)x y y I x y o x y h x x y y d xd y o x y h x x y y xββββ∞''''=⎰⎰''=*h – PSF (point spread function)Method 1: (,){(,)}{(,P S F x y P x y P x y *''''''=ℑℑ(,)(,), I t i s c a l l e d e x i t p u p i l f u n c t i o n.i k w x y P x y E e ''-''=(,)w a v e f r o n t a b e r r a t io n w x y w ηξ''''-即 -2(-){(,)}(,)i xx yy w x y w x y edxdyπ''''ℑ=⎰⎰ 2(-){(,)}(,)i xx yy w x y w x y e dxdyπ''*''ℑ=⎰⎰(,){(,)}x y O T F f f P SF x y ''=ℑMethod 2:(,)(,)(,)I x y o x y h x x y y ''''=*--Fourier transform(,)(,)(,)x y x y x y I f f o f f H f f =(,) .x y H f f O T F -Method 1: measured by interferometer; Method 2: measured by MTF instrument. Sample: Using linear spread function (LSF) LSF:()(,)h x h x y d y∞-∞=⎰Similarly:()()(,)x I x o x h x x d xβ∞-∞''=*⎰Fourier transform()()()x x x I f o f H f =OTF ：2()()x x i f xH f h x ed xπ∞-∞=⎰, (x xf fλ=)- c o s s i nOT F : ()()c o s 2()s i n 2()()i x x x x r x veH f hxf xdx i h xf xdx H f iH f θθθππ∞∞-∞-∞=-∴=-=-⎰⎰MTF:()x H f =PTF: 1()()()x v x x rH f f tgH f φ-=Linear spread function (LSF) can be analogized by scanning slit.4. Example Let000()cos 2a x o x I I f x π=+Image distribution00000000000()()(co s 2) ()()co s 2a x x I x h x x I I f x d x I h x x d x I h x x f x d x ππ+∞-∞+∞+∞-∞-∞''=-+''=-+-⎰⎰⎰Suppose:000x x x d x d x x x x '=-⎫⇒=⎬'=-⎭Result:000()()()co s 2() {1()co s[2()]}x x x x I x I h x d x I h x f x x d xI H f f x f ππφ+∞+∞-∞-∞''=+-'=+-⎰⎰5. Application of OTF ① AnalysisLimiting frequence:curve Ⅱ better than Ⅰ.Low frequence:curve Ⅰbetter than Ⅱ.It means that lens Ⅰ has better image quality for low frequence object than lens Ⅱ.② Integrate the curve, the larger the area is, the better the lens quality is. The area represents the transmitted information magnitude.③ The advantage of using MTF as quality criterion is the ability to cascade the MTF curves of a lens and film by multiplying together the MTF values.l e n sf iM T F M T F M T F =⨯ ＊ Notes that:If the illumination is perfectly coherent, the resolution drops to half, butthe contrast at the low frequence is great improved.6. The calculation of exit pupil function1(,)(,)(,)x y GO T F f f Px x y y P x y d xd y C*''=++⎰⎰OTF is the autocorrelation of exit pupil function,x y x y f f RRλλ''==R – Distance from ideal point to center of exit pupil. C – Constant 2(,)P x y d xd y=⎰⎰, used for normalized OTF.(,)0(,)i k w x yP x y E e-=E - Constant (amplititude), can be discarded.(,)w x y - wavefront aberration.-[(,)(,)](,)(,)0, o u t o f su p erp o sitio nik w x x y y w x y e P x x y y P x y *''++-⎧⎪''++=⎨⎪⎩'y zT T ww δδηζ''∂∂=='∂∂,x y ζη''-- i f ζ'∴= Tangential: (0,)(0,)co s 2sin 2yy y y T T P y y P y f i f πδπδ*'''+=+i fη'=Sagittal: (,0)(,0)cos 2sin 2z z z z T T P x x P x f i f πδπδ*'''+=+附一c o s xx x f f θλλ==Normally 1R f '==, x yx f y f λλ''∴==For geometrical optics, assume that λ tends towards zero, so we can write:(0,)(0,)y yw w y f w y f yλλ∂+-=∂(0,)(0,)2y y y ik w y f w y i f T ee λπδ'⎡⎤-+--⎣⎦∴=[](,0)(,0)2c o s 2s i n 2x x z ik w x f w x i f T x z x z eef T f T λπδπδπδ'-+--''∴==+＊ 这里的坐标(,)x y 即像差中出瞳(),ξη''。

第八章光学系统的像质评价和像差公式光学系统的像质评价和像差公式是研究光学系统成像质量的重要工具。

光学系统的像质评价主要通过像差公式来描述光学系统成像的误差，从而提供了评价光学系统成像质量的定量指标。

光学系统的像质评价可以从图像质量和像差两个方面进行。

图像质量是指图像的清晰度、对比度、分辨率等方面，是反映图像信息传递能力的指标。

而像差是指由于光学系统的结构、材料、制造等因素造成的光线偏差，导致图像不完美的情况。

像质评价的目标是通过对图像质量和像差的分析，得到一个综合的定量指标，从而评估光学系统的成像质量。

像差公式是描述光学系统成像误差的数学关系。

常见的像差公式有球差公式、彗差公式、像散公式、畸变公式等。

这些公式通过数学表达了光线经过光学系统后的成像位置与理想位置之间的差异，即描述了光学系统的误差情况。

这些公式的推导通常是基于几何光学的假设和光线传播的物理原理，可以对光线的传播路径进行建模和分析。

光学系统的像差公式一般可表示为：Δx=AΔy+B(Δy)²+C(Δρ)²+D(Δy)³+E(Δy)(Δρ)²+F(Δρ)³+...其中Δx是成像位置的偏差，Δy是入射光线的高度偏差，Δρ是入射光线的径向偏差。

A、B、C、D、E、F等系数则表示了不同像差的贡献程度。

不同的像差对成像质量的影响各不相同，有的像差会导致图像模糊、失真，有的像差会限制系统的分辨率等。

通过分析像差公式，可以得到不同像差与光学系统参数的关系。

这使得我们能够通过调整光学系统的设计参数来减小或消除像差，提高光学系统的成像质量。

例如，如果发现球差对成像质量的影响较大，可以通过改变光学系统的球面曲率来减小球差；如果发现像散对成像质量的影响较大，可以通过引入非球面透镜来减小像散。

像差公式为光学系统的设计和优化提供了理论基础和指导。

总结起来，光学系统的像质评价和像差公式是研究光学系统成像质量的重要工具。