CORDIC算法在QR分解中应用解析

《矩阵分析与应用》专题报告――QR分解及应用学生姓名：卢楠、胡河群、朱浩2015年11月25日目录1 引言 (3)2 QR 分解 (4)2.1QR分解的性质 (4)2.2 QR分解算法 (5)2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解 (5)2.2.2 Householder QR 分解 (6)2.2.3 采用Give ns旋转的QR分解 (8)3 QR分解在参数估计中的应用 (9)3．1 基于QR 分解的参数估计问题 (9)3. 2 基于Householder 变换的快速时变参数估计 (12)3. 3基于Give ns旋转的时变参数估计 (14)4 QR分解在通信系统中的应用 (16)4.1基于QR分解的稳健干扰对齐算法 (16)4.2基于QR分解的MIMO置信传播检测器 (19)总结 (21)参考文献 (22)1 引言矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和，大体上可以分为满秩分解、QR 分解和奇异值分解。

矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题。

而QR分解是工程中应用最为广泛的一类矩阵分解。

QF分解是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变换成为Hessenberg 矩阵，然后再应用QF分解求特征值和特征向量。

它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角矩阵R, 所以称为QR分解。

参数估计是在已知系统模型结构时，用系统的输入与输出数据计算系统模型参数的过程。

它在系统辨识和无线通信领域有着广泛的应用。

18 世纪末德国数学家C.F. 高斯首先提出参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。

20 世纪60 年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了迅猛的发展。

参数估计有很多方法，如矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极小极大熵法等。

其中最基本的是最小二乘法和极大似然法。

CORDIC算法及其硬件实现
季中恒;宋博
【期刊名称】《弹箭与制导学报》
【年(卷),期】2005(025)003
【摘要】详细阐述了CORDIC算法的原理、应用、硬件结构和实现.并通过基于FPGA的CORDIC算法实现和实际应用统计结果,进一步验证了使用硬件来实现CORDIC算法所具有的快速、精确和经济的特点.同时也为CORDIC算法的ASIC 实现提供了依据.
【总页数】3页(P609-610,627)
【作者】季中恒;宋博
【作者单位】信息工程大学国家数字交换系统工程技术研究中心(NDSC),郑州,450002;信息工程大学国家数字交换系统工程技术研究中心(NDSC),郑
州,450002
【正文语种】中文
【中图分类】TN914
【相关文献】
1.CORDIC算法硬件实现的误差分析 [J], 郑辛星
2.CORDIC算法硬件电路实现及改进 [J], 李庆锋
3.CORDIC算法的优化及硬件实现 [J], 梁杰;孙未
4.CORDIC算法研究及其硬件实现 [J], 丁晓红
5.基于改进CORDIC算法的QR码快速检测硬件实现方法 [J], 陈荣军;于永兴;钟秀媚;谢舜道;赵慧民;谭洪舟
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WLAN MIMO-OFDM系统DSAP设计与实现朱勇旭;易芝玲;吴斌;周玉梅【摘要】针对无线局域网(WLAN)多输入多输出和正交频分复用(MIMO-OFDM)系统中矩阵的QR分解预处理的延时问题，提出一种分布式脉动阵列处理器(DSAP)进行QR分解预处理。

该处理器通过脉动阵列边界单元和内部单元中流水线CORDIC计算，实现子载波信道矩阵的QR分解分布式处理，不同子载波QR分解分布于脉动阵列边界单元和内部单元中CORDIC流水线计算的不同级。

与串行脉动阵列处理器(SSAP)相比，在复杂度几乎没有增加情况下，DSAP结构充分利用时钟周期，分解延时约为SSAP结构的8%。

在SMIC 0.18μm CMOS工艺下，该分布式脉动阵列结构应用于2发2收MIMO-OFDM数模混合芯片中，芯片测试验证结果表明，数据处理延时能有效减少。

%To reduce the delay of QR-decomposition in WLAN (wireless local area network) MIMO-OFDM (multiple input multiple output and orthogonal frequency division multiplexing) systems, a distributed systolic array processor (DSAP) is proposed. The structure uses the coordinate rotation digital computer (CORDIC) in the boundary and internal cells of systolic array, and distributes the QR-decomposition of different sub-carriers into the different stages of the pipelining operation of CORDIC in systolic array. Compared with serial systolic array processor (SSAP), the clock periods can be put to great use in the DSAP, and the delay is reduced by 92%with the same complexity. In SMIC 0.18 μm CMOS technology, a ×22 analog -digital mixed MIMO-OFDM chip with DSAP has been implemented, andthe test results show that it can reduce the delay of data processing effectively.【期刊名称】《电子科技大学学报》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】6页(P353-358)【关键词】分布式脉动阵列处理;低延时;MIMO-OFDM;QR分解【作者】朱勇旭;易芝玲;吴斌;周玉梅【作者单位】中国移动研究院北京西城区 100053;中国移动研究院北京西城区100053;中国科学院微电子研究所北京朝阳区 100029;中国科学院微电子研究所北京朝阳区 100029【正文语种】中文【中图分类】TN911M IMO检测器是多输入多输出和正交频分复用(M IMO-OFDM)系统中最为核心的模块。

数字中频与FPGA数字中频所谓中频，顾名思义，是指一种中间频率的信号形式。

中频是相对于基带信号和射频信号来讲的，中频可以有一级或多级，它是基带和射频之间过渡的桥梁。

如图1所示，中频部分用数字方式来实现就称之为数字中频。

数字中频技术通常包括上下变频（DUC/DDC）、波峰因子衰减（CFR）和数字预失真（DPD）。

DUC/DDCDUC实现了从“复”基带（Baseband）信号到“实”带通（Passband）信号的转换。

输入的复基带信号采样率相对较低，通常是数字调制的符号率。

基带信号经过滤波，然后被转换成一个更高的采样率，从而调制到NCO的中频载波频率。

DUC通常需要完成频谱整型（Pulse shaping），然后调制到中频载波，以便于经由DAC 驱动后面的模拟转换器。

在图2中，通道滤波器（Channel Filter）完成基带信号的频谱整型，通常由FIR实现。

插值（Interpolation）部分完成信号采样率变换和滤波功能，可以采用CIC或者FIR实现。

对于一个窄带信号，如果需要高倍采样率变换，那么CIC将是非常合适的，无论是在实现性能或是资源节省方面，CIC都将优于FIR。

NCO是一个数控振荡器，也叫DDS，可以用来产生一对相互正交的正弦和余弦载波信号，与插值（增加采样率）以后的基带信号混频，完成频谱上搬。

与DUC相反，DDC基本上完成了以下几个工作：1. 频谱下搬：将ADC送来的数字信号有用频谱，从中频搬移到基带2. 采样率降低：将频谱搬移后的数据从ADC的高速采样率降低到一个合适的采样速率水平，通过抽取（Decimation）实现。

3. 通道滤波：在将I/Q信号送入基带处理以前，需要再对其进行滤波实际上，数字上下变频技术应用非常广泛，其在无线通信、有线电视网络（Cable Modem）、数字电视广播（DVB）、医学成像设备（超声），以及军事领域当中，都是不可或缺的功能。

CFR目前许多无线通信系统，如WCDMA、WiMAX，其中频信号通常由多个独立的基带信号相加而成。

基于CORDIC的精确快速幅相解算方法孙悦;王传伟;康龙飞;叶超;张信【期刊名称】《电子学报》【年(卷),期】2018(046)012【摘要】针对传统CORDIC算法进行高精度幅度相位解算时迭代次数过多、时延较长、相位收敛较慢等局限,提出了一种基于最佳一致逼近方法的幅度与相位补偿算法,即利用传统CORDIC算法迭代一定次数后得到的向量信息,采用最佳一致逼近方法对幅度和相位分区间进行一阶多项式补偿,有效提高了计算精度.仿真及实测结果表明,对传统CORDIC算法4次迭代后的结果进行补偿,幅度相对误差可达到10-5量级、相位绝对误差可达到10-5度量级,最大输出时延不大于100ns.在使用部分专用乘法器的条件下,寄存器消耗降低了42.5％,查找表消耗降低了15.5％.采用该补偿算法,每多一次CORDIC迭代其相位精度可提高约一个数量级.因此,本文提出的补偿CORDIC算法在迭代次数、计算精度等方面优于传统CORDIC算法,适合于高精度计算的场合.【总页数】7页(P2978-2984)【作者】孙悦;王传伟;康龙飞;叶超;张信【作者单位】中国工程物理研究院流体物理研究所,四川绵阳621999;中国工程物理研究院流体物理研究所,四川绵阳621999;中国工程物理研究院流体物理研究所,四川绵阳621999;中国工程物理研究院流体物理研究所,四川绵阳621999;中国工程物理研究院流体物理研究所,四川绵阳621999【正文语种】中文【中图分类】TN741【相关文献】1.转子动不平衡信号幅相特征的精确提取方法 [J], 耿慧2.转子振动幅相特征精确的提取方法 [J], 于军;李济顺3.基于时空域混合法利用Kaula正则化精确和快速解算GOCE地球重力场 [J], 郑伟;许厚泽;钟敏;员美娟;周旭华4.一种基于普通分布目标的极化SAR幅相不平衡快速评价方法 [J], 蒋莎;仇晓兰;韩冰;胡文龙;卢晓军5.一种基于普通分布目标的极化SAR幅相不平衡快速评价方法 [J], 蒋莎;仇晓兰;韩冰;胡文龙;卢晓军;;因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

qr分解的应用场景QR分解是一种数学方法，用于将一个复杂的矩阵分解成两个简单的矩阵的乘积。

它在许多应用场景中都有广泛的应用，本文将介绍其中几个重要的应用场景。

1. 矩阵计算QR分解在矩阵计算中起到了重要的作用。

通过QR分解，我们可以将一个复杂的矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

这种分解可以简化矩阵的计算，使得计算更加高效。

在线性代数、最小二乘问题等领域中，QR分解被广泛应用。

2. 最小二乘问题在最小二乘问题中，我们需要找到一个最优解来最小化误差的平方和。

QR分解可以帮助我们求解最小二乘问题。

通过将系数矩阵进行QR分解，可以将最小二乘问题转化为一个更简单的问题，从而得到最优解。

3. 特征值计算特征值计算是在分析矩阵的性质时非常重要的一部分。

通过QR分解，我们可以将一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

这种分解可以帮助我们计算矩阵的特征值和特征向量，进而了解矩阵的性质。

4. 图像压缩QR分解在图像压缩中也有重要的应用。

图像可以表示为一个矩阵，通过QR分解，我们可以将图像矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

由于正交矩阵具有良好的特性，可以用更少的数据表示图像，从而实现图像的压缩。

5. 信号处理在信号处理中，我们经常需要对信号进行分析和处理。

QR分解可以帮助我们分解信号矩阵，从而得到信号的特征和结构信息。

这对于信号的降噪、频谱分析等都有重要的意义。

6. 数据降维在大数据时代，数据处理变得越来越重要。

QR分解可以帮助我们对数据进行降维处理。

通过将数据矩阵进行QR分解，可以得到一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积，从而减少数据的维度，提高数据处理的效率。

7. 机器学习在机器学习中，QR分解也有广泛的应用。

通过QR分解，可以将复杂的矩阵分解成两个简单的矩阵的乘积，从而简化机器学习算法的计算过程。

在特征选择、参数估计等方面，QR分解都可以发挥重要作用。

QR分解作为一种重要的数学方法，在许多领域中都有广泛的应用。

数字预失真技术设计及实现赵毅峰;姚彦;曹新容【摘要】预失真技术是克服功率放大器非线性失真的一种很有效的方法.采用最小二乘法(LS)算法的预失真技术可以获得很好的功率放大器线性化性能,但是其中的矩阵求逆运算在硬件上实现比较困难.论文采用坐标旋转数字计算算法(CORDIC)实现QR分解,并应用在预失真技术中,获得了较好的放大器线性化性能.通过在可编程逻辑阵列(FPGA)硬件平台上的仿真,验证了方法的可行性和有效性.【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(049)004【总页数】4页(P501-504)【关键词】数字预失真技术;QR分解;线性化【作者】赵毅峰;姚彦;曹新容【作者单位】厦门大学信息科学与技术学院,福建,厦门,361005;厦门大学信息科学与技术学院,福建,厦门,361005;厦门大学信息科学与技术学院,福建,厦门,361005【正文语种】中文【中图分类】TN911现代通信系统中,具有较大峰均比和带宽的线性调制信号经过大功率放大器会产生非线性失真和记忆效应[1].预失真技术则是补偿功率放大器非线性失真最好的方法之一.预失真技术是在功率放大器输入端增加一个具有功率放大器逆特性的非线性模块,用于抵消功率放大器的非线性失真.此技术的线性化性能较好,适应性强,可以提供足够的带宽,效率高,实现成本较低,是一种适合于未来通信系统发展的线性化技术.预失真技术可以在模拟域(基带、中频、射频)实现,也可以在数字域(基带)实现.射频预失真技术具有电源效率高、成本低等优点,但这种方法需要使用射频非线性有源器件,它们的控制和调整是一个不易处理的过程[2-3].数字基带预失真技术不涉及难度大的射频信号处理,只在低频部分对基带信号进行补偿处理,因此便于采用现代数字信号处理技术[4-5].本文针对具有记忆效应的功率放大器,采用基带预失真技术,结合QR分解,实现了记忆型非线性放大器的预失真,并完成系统设计及仿真.识别放大器的逆特性,是求解预失真器系数的一个关键.可通过采样功率放大器的输入、输出数据来获得放大器的逆特性[1].最小二乘法(LS)就是一种很实用的方法,可以从测得的数据中直接寻求变量之间的依赖关系,获得满足放大器逆特性的预失真器.假设放大器的输入信号u,输出信号y.直接求解功率放大器的逆特性,就需要令y作为预失真器模型的输入,u作为输出,采用非线性抽头延时多项式模型[6-7],有假设一组采样数据u的个数为N,多项式函数模型的奇次阶数为K,记忆深度为Q,则需要求解系数c的因子个数为K×Q.u为放大器N个输入数据构成的N×1向量,Y 为放大器的输出数据按照模型形式构成的矩阵,有因此,可以将式(1)写成矩阵形式,即系数c的求解过程,利用LS算法求解[8]:求得的系数c变换形式,得到K×Q的矩阵.整个模型直接反映功率放大器的逆特性,可以代入预失真器,实现功率放大器的线性化.LS算法具有线性化效果好的优点,同时也存在硬件实现复杂的缺点.LS算法求解的关键是矩阵求逆.为了达到一定的准确度,算法建立的矩阵Y是比较庞大的,如何在硬件上很好地实现矩阵求逆,成为研究中的一个难点.LS算法,实际上就是建立式(2),利用式(3)估算预失真器模型系数c.但当式(2)的Y矩阵近似列相关时,将导致YTY接近病态,此时较难从式(3)中估算出预失真模型系数.同时,在硬件实现时,对矩阵的求逆运算也较为困难.而QR分解,是解决此问题的一种比较简便的方法.QR分解是指将矩阵Y分解为正交矩阵Q左乘上三角矩阵R的形式.即:Y=QR.将上式代入式(2),可得u=QRc,然后两边同乘以Q-1,从而得到Q-1u=Q-1QRc.由于矩阵Q是正交矩阵,Q-1=QT,Q-1Q=E,得到:Rc=QTu=u′.其中R是一个上三角矩阵,由式(4)可以方便地求出系数c.其中,i=N-1,N-2, (1)QR分解的最终目标是使矩阵Y=Q×R.Q是正交阵,R是三角阵,且有QTY=R,其中,Q矩阵则是由N次旋转后得到Q=Q0Q1…QN-1.整个过程中,每步的旋转都可以通过坐标旋转数字计算方法(CORDIC)实现.这样就可以在FPGA上较方便地实现QR算法.LS算法中的待分解的矩阵Y是N×M的,它的QR分解,可以由多次2×M的矩阵旋转求得.在最后的系数求解中,根据等式Rc=QTz=z′,并不需要求出完整的矩阵Q,而只需要QT与向量z的乘积z′,可以看成矩阵u与Y进行了相同的旋转.所以,建立矩阵[Y,z],用CORDIC旋转进行QR分解时,同时获得需要的矩阵z′.整体采用心脏收缩的方法,每次都只把一行向量中第一个数据点变为0.经过N次收缩之后就变成一个三角矩阵,且对角值均为实数.如图1所示,纵向传递信号的实部和虚部,横向传递行内的旋转角度.在FPGA上用Verilog HDL语言编程实现这个结构[9],根据多项式阶数和记忆深度确定矩阵的大小.将采样数据经过一定处理后送入此结构进行QR分解,获得需要的预失真器系数.采样数据需要一定的冗余,以保证计算的准确程度.最后得到的矩阵对角值均为实数,就可以方便地利用式(1)求出所需系数.基带预失真放大器系统的设计是结合FPGA硬件平台和Matlab软件平台的优点实现的.实际的基带预失真放大器系统包括:振荡器,正交调制器,上、下变频器,滤波器,数模转换器和功率放大器等部件[10].在实验室的研究中,假设变频及正交调制解调等模块都是理想的,基带预失真放大器系统简化如图2所示.在FPGA上主要完成了基带预失真器以及预失真系数更新算法的实现,但基于硬件条件的限制和为了调试方便,功率放大器模块可根据实际的功率放大器进行建模,并通过Matlab软件仿真实现.同时假设上、下变频及正交调制解调模块为理想模块,根据图2可验证整体基带预失真设计系统的可行性和预失真算法的有效性.在完成软件仿真后,可直接在硬件上进行调试.QR分解可以看成是由多个PE(Processing element)进行功能实现的,而每个PE 都是由3个CORDIC模块组合而成,如图3所示.约定行内旋转角度Φ为把复数信号变成实数信号所旋转的角度,行间旋转角度θ为把两行中的某一个点变为0时旋转的角度.图4是反馈回路中QR分解的功能仿真结果.其中I_in和Q_in为采样到的数据流,经调整后,转换为矩阵形式A_I和A_Q.数据进入QR分解结构,经过多次旋转运算之后得到复数形式的上三角矩阵R,图中R_I为R矩阵的实部数据,R_Q为R矩阵的虚数部分.由图4可知,在硬件上实现QR分解需要较大的运算资源以及较长的运算时间,若进行实时更新预失真器系数,则系统的设计难度较大.但是,功率放大器的线性化性能具有短期的平稳性,因此,在实际系统中,可以在图2中增加一个误差比较单元,比较基带传输信号和反馈信号之间的差异,若两者差异较大,即功率放大器线性化性能发生了较大劣化,可使反馈回路运行预失真算法,实现预失真器的系数更新.图5是在Matlab上得到的功率放大器功率频谱比较图.仿真中使用数据源为3载波WCDMA宽带信号的一部分,模拟功率放大器采用并行Weiner模型[8],预失真器采用记忆多项式模型[6].从图5中可以看出,记忆型功率放大器的非线性会引起严重的邻道干扰,而本系统设计实现的预失真器是可以较好地抑制传输信号的邻信道干扰.同时表1给出了3载波WCDMA宽带信号经过本系统设计的预失真器的误差矢量幅度(EVM)和邻道功率比(ACPR)的改善情况.其中,“EVM”表征带内失真情况,“ACPR”表征带外失真情况.实验证明,在硬件平台上采用CORDIC实现QR分解,并应用到预失真技术的硬件实现上,可以提高功率放大器系统的性能,获得良好的线性化效果.另外,在硬件设计中还要考虑数据采样匹配,数据量化等各方面的问题.只有解决好这些问题,才能在实际应用中更好地提升功率放大器的线性化效果.【相关文献】[1] Montoro G,Gilabert P L,Bertran E,et al.A new digital predictive predistorter for behavioral power amplifier linearization[J].IEEE Microwave and Wireless Components Letters,2007,17(6):448-450.[2] Clark C,Chrisikos GJ,Muha M S,et al.Time-domain envelope measurement technique with application to wideb and power amplifier modeling[J].IEEE Trans on Microwave Theory and Techniques,1998,46(12):2531-2540.[3] Cox D C.Linear amplification with nonlinear components[J].IEEE Trans on Communications,1974,22(12):1942-1945.[4] Marsalek R,Jardin P,Baudoin G.From post-distortion to predistortion for power amplifiers linearization[J].IEEE Communications Letters,2003,7(7):308-310.[5] Gilabert P L,Montoro G,Cesari A.A recursive digital predistorter for linearizing RF power amplifiers with memory effects[C]//Microwave Conference.Yokohama:APMC,2006:1043-1047.[6] Raich R,Qian H,Zhou G T.Digital baseband predistortion of nonlinear power amplifiers using orthogonal polynomials[C]//2003 IEEE International Conference on A-coustics,Speech,and Signal Processing.NewYork:IEEE,2003:689-692.[7] 钱业青,刘富强.Wiener功率放大器的简化预失真方法[J].通信学报,2007,28(10):55-59.[8] Lei D,Zhou G T,Morgan D R,et al.Memory polynomial predistorter based on the indirect learning architecture[C]//Global TelecommunicationsConference.Bamako:IEEE,2002:967-971.[9] Kenington P B.Linearized transmitters:an enabling technology for software defined radio[J].IEEE Communication Magazine,2002,40(2):156-162.[10] 夏宇闻.Verilog数字系统设计教程[M].北京:北京航空航天大学出版社,2003.。

2010 年第 4 期 （总第 128 期）大 众 科 技DA ZHONG KE JINo.4， 2010 (Cumulatively No.128)改进型 CORDIC 算法的研究及发展趋势朱文瑾（桂林电子科技大学，广西 桂林 541004）【摘 要】CORDIC 算法虽然在运算速度上并不占优势，但其硬件实现简单的特点，使之在现代通信、计算机等领域得到 了广泛应用。

目前的 CORDIC 算法改进趋势是充分发挥其高速、 低耗的硬件实现潜力， 因此， 研究国内外具有代表性的 CORDIC 算法的改进趋势具有重要的意义。

【关键词】CORDIC 算法；分解；旋转；迭代 【中图分类号】TP301.6 【文献标识码】A 【文章编号】1008-1151(2010)04-0017-02（一）引言CORDIC 算法的全称是 Coordinate Rotation Digital Computer，即坐标旋转数字计算机算法，最早由 Jack E. Volder 于 1959 年提出。

历经 50 余年的发展， CORDIC 算法得 到了极大改进， 应用领域也愈加广泛。

1971 年， John Walther 提出了统一的 CORDIC 算法，可用于估算包括乘、除、正弦、 余弦、正切、反正切、双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、反 双曲正切、自然对数和平方根在内的初等函数。

该算法的提 出， 极大地拓宽了 CORDIC 算法在工程应用领域的前景， 同时， 统一的 CORDIC 算法意味着能够在保持高速运算的同时能够进 一步降低硬件功耗。

统一的 CORDIC 算法，迭代方程如下：X n +1 = X n − mσ n Yn • 2 − n Yn +1 = Yn + mσ n X n • 2 − n Z n +1 = Z n − σ nθ nCORDIC 算法是一种运算顺序固定的算法，这使其发展遇 到了两个难题：一是对于任意一级的迭代，必须等到前一级 迭代完成后，产生一个中间向量，才能在此基础上执行本级 迭代中的旋转；二是只有在完成了第 i 级旋转之后才能确定 第（i+1）级旋转的方向。

条件平差函数模型的 QR分解解算摘要：给出了条件平差函数模型的QR分解解算方法。

对于条件平差函数模型，其系数矩阵的行数小于列数，传统上常利用经典最小二乘原理解算；多数情况下QR分解方法是针对行数大于列数且秩等于列数的矩阵进行的，因此本文结合这个实际，给出了条件平差函数模型的两种QR分解解算方法：直接计算方法和间接解算方法，并给出了推导公式。

通过实例验证，这些方法得出的计算结果是一致的且有效的。

关键词：条件平差；间接平差；函数模型；QR分解；酉矩阵基金：泰山学院人才基金项目（编号：Y-01-2017001）The QR Decomposition Solution of the Conditional AdjustmentFunction ModelWANG Yong1，NI Lili2(1 College of Resources, Shandong University of Science and Technology, Tai 'an, 271000, Shandong,；2 School of Mathematics and Statistics, Tai 'an, 271000, Shandong)Abstract: The method of solving QR decomposition of conditional adjustment function model is given. For the conditional adjustment function model, the number of rows in the coefficient matrix is less than the number of columns. In most cases, the QR decomposition method is used for the matrix with the number of rows greater than the number of columns and the rank equal to the number of columns. Therefore,this paper, combined with the actual situation, gives two QR decomposition solutions to the conditional adjustment function model: direct calculation method and indirect calculation method, and givesthe derivation formula. The results obtained by these methods are consistent and effective.Key words: Condition adjustment; Indirect adjustment; Function model; QR decomposition. The unitary matrix0引言矩阵的QR分解在数值计算中扮演着重要的角色，是求解各类最小二乘问题和最优化问题的重要工具[1]，为求解线性方程组提供了新的思路。

CORDIC算法硬件电路实现及改进李庆锋【摘要】文章提出了一种新的基于CORDIC算法的硬件电路实现方法。

首先介绍CORDIC算法及其原理，然后介绍了CORDIC算法的16级流水线结构硬件电路实现，最后介绍了一种新的改进型实现方法，可以有效在兼顾16级流水线结构的高实时性优点的同时，解决CORDIC算法本身对角度范围的限制问题，同时在某种意义上也降低了电路的复杂度。

%The article proposes a new hardware circuit realization method based on CORDIC algorithm. First, it introduces the CORDIC algorithm and its principle. Then it presents the hardware circuit implementation of the CORDIC algorithm using 16 level pipeline structure. At last it recommends a new better method, which can include the high real-time performance and at the same time solve the limits on angle range of CORDIC algorithm. And it also reduces the complexity of the circuit in a certain sense.【期刊名称】《电子与封装》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】3页(P31-33)【关键词】NCO;CORDIC算法;16级流水线结构【作者】李庆锋【作者单位】同济大学电子科学与技术系，上海201804【正文语种】中文【中图分类】TN402数字控制振荡器（NCO，Numerical Controlled Oscillator）是软件无线电、直接数字频率合成器（DDS，Direct Digital Synthesizer）、快速傅里叶变换（FFT，Fast Fourier Transform）等的重要组成部分，同时也是决定其性能的主要因素之一。

cordic旋转迭代算法Cordic旋转迭代算法是一种常用于计算机数学运算的算法，它可以高效地计算三角函数和其他复杂的数学函数。

本文将介绍Cordic算法的原理、应用以及优缺点，并探讨其在现代计算机中的应用前景。

一、Cordic算法的原理Cordic算法全名为Coordinate Rotation Digital Computer，是由Jack E. Volder在1959年提出的一种迭代算法。

该算法通过旋转坐标系中的向量来近似计算三角函数和其他复杂的数学函数。

Cordic算法的原理是将一个向量通过一系列旋转操作，使其旋转到目标角度。

具体而言，Cordic算法通过不断迭代地将向量旋转到目标角度，并在每次迭代中调整向量的长度，直到达到所需的精度。

Cordic算法的优点是简单、高效。

它不依赖于查表或级数展开等复杂的数学运算，只需要一些简单的移位和加减操作即可实现。

因此，Cordic算法在资源有限的嵌入式系统中得到了广泛应用。

二、Cordic算法的应用Cordic算法最常见的应用之一是计算三角函数。

通过不断迭代调整向量的角度和长度，Cordic算法可以高效地计算正弦、余弦和反正切等三角函数的值。

这在信号处理、图像处理、通信系统等领域都有广泛的应用。

Cordic算法还可以用于计算其他复杂的数学函数，如指数函数、对数函数等。

通过将复杂的函数转化为三角函数的组合，再利用Cordic算法计算三角函数的值，可以高效地计算出这些复杂函数的近似值。

三、Cordic算法的优缺点Cordic算法的优点主要体现在以下几个方面：1. 简单高效：Cordic算法只需要简单的移位和加减操作，不依赖于复杂的数学运算，因此实现起来非常简单高效。

2. 精度可控：Cordic算法可以通过控制迭代次数来控制计算的精度，可以在计算精度和计算速度之间进行权衡。

3. 适用性广泛：Cordic算法可以用于计算各种数学函数，特别适用于嵌入式系统等资源有限的环境。

cordic算法详解转载自小一休哥的文章：/qq_39210023/article/details/77456031 目前，学习与开发FPGA的程序员们大多使用的是Verilog HDL语言（以下简称为Verilog），关于Verilog的诸多优点一休哥就不多介绍了，在此，我们将重点放在Verilog的运算操作上。

我们都知道，在Verilog中，运算一般分为逻辑运算（与或非等）与算术运算（加减乘除等）。

而在一开始学习Verilog 时，老司机一定会提醒我们，“切记，千万别用‘/’除、‘%’取模（有的也叫取余）和‘**’幂。

”这话说的不无道理，因为这三个运算是不可综合的。

但，需清楚理解的是，不可综合的具体意思为不能综合为简单的模块，当我们在程序中调用了这些运算时，‘/’除和‘%’取模在Quartus软件中是可以综合的，因此可以正常调用运行，但是会消耗一些逻辑资源，而且会产生延时，即这两个运算的处理时间会很长，可能会大于时序控制时钟的单周期时间。

此时呢，我们会建议你调用IP核来实现运算操作，虽然这样也会消耗许多逻辑资源，但产生的延时相对较小满足了你基本的需求。

问题好像迎刃而解了，可是仔细一想，除了这些运算，我们还剩下什么？对呀，三角函数，反三角函数，对数函数，指数函数呢，这些函数我们在高中就学习了的呀，难道在FPGA中就没有用武之地吗？有人会说，查找表呗，首先将某个运算的所有可能的输入与输出对一一罗列出来，然后放进Rom中，然后根据输入查表得到输出。

这个方法虽然有效的避免了延时问题，却是一个十分消耗资源的方法，不适合资源紧张的设计。

那么，就真的没有办法了吗？答案就是咱们今天的标题了，CORDIC，而且CORDIC是一个比较全能的算法，通过这一原理，我们可以实现三角函数，反三角函数，对数函数，指数函数等多种运算。

接下来，一休哥就带领大家来学习CORDIC的原理吧。

（题外话：请相信一休哥，本文不会让你感到太多痛苦~）本文将分三个小部分来展开介绍：1、CORDIC的基本原理介绍2、CORDIC的具体操作流程介绍3、CORDIC的旋转模式——Verilog仿真本文涉及到的全部资料链接：链接：/s/1gfrJzMj 密码：x92u一、CORDIC的基本原理介绍CORDIC算法是一个“化繁为简”的算法，将许多复杂的运算转化为一种“仅需要移位和加法”的迭代操作。

摘要I摘 要QR 分解是矩阵计算理论中众所周知的矩阵分解方法，其目的是从输入矩阵A 计算两个输出矩阵Q 和R （每个输出矩阵具有特定结构）。

QR 分解广泛应用于许多工程领域，旨在解决最小二乘问题，线性系统方程等实际应用。

基于吉文斯旋转（Givens Rotations ，GR ）的QR 分解算法由于具有良好的数值稳定性和适于现场可编程逻辑门阵列（Field Programmable Gate Array ，FPGA ）设计的结构而被广泛采用，但旋转因子的计算涉及到除法和平方根等复杂运算符，而这对FPGA 设计来说无疑是巨大的挑战。

本文针对这一问题，对QR 分解的FPGA 设计做出了如下研究：1．QR 分解算法的研究。

本文对三种经典的QR 分解数学方法进行了简单的介绍；通过比较，最后选择Givens 旋转算法来实现QR 分解，并对其实现流程进行了详细的探讨。

2．三角脉动阵列研究。

三角脉动阵列是实现基于Givens 旋转的QR 分解算法的理想结构，本文研究了基于此阵列的QR 分解步骤，并分析了其分解结果的正确性。

3．平方根倒数的FPGA 设计。

本文研究了基于查找近似法的平方根倒数计算，该方法避免了除法和平方根计算，而且具有较高的精度。

并分析验证了该方法中的归一化和反归一化过程不会将误差扩大化。

最后研究了该方法的具体实施细节，并以此设计出了基于FPGA 的平方根倒数计算模块。

4．三角脉动阵列的FPGA 设计及仿真验证。

对阵列中的两个计算单元（边界单元和内部单元）分别进行了FPGA 结构设计，其中边界单元包含有平方根倒数计算模块，并利用边界单元和内部单元设计了44 的三角脉动阵列。

分别对各独立模块进行了仿真验证，最后对整个阵列进行QR 分解进行了仿真，对结果进行了分析验证，并与相近设计比较，本设计在吞吐量上有较大的提高。

关键词：QR 分解，吉文斯旋转，FPGA ，三角脉动阵列，查找近似法ABSTRACTQR decomposition is a well-known matrix decomposition method in matrix computing theory, with the aim of computing two output matrices Q and R(each output matrix has a specific structure) from the input matrix A. QR decomposition is widely employed in many engineering fields intended to solve the least-square problems, linear system equations and other practical applications. The QR decomposition algorithm based on Givens Rotations is widely used due to its excellent numerical stability and the structure suitable for FPGA（Field Programmable Gate Array）design. However, the calculation of the rotation factor involves complex operations such as division and square root, which is a huge challenge for FPGA design.In view of this problem, this paper makes the following research on FPGA design of QR decomposition:1．Research on QR decomposition alogrithm. At first, three classical QR decomposition mathematical methods are introduced. By comparison, Givens Rotations alogrithm is chosen to solve QR decomposition, and the detailed process has been dicussed.2．Research on triangular systolic array. The triangular systolic array is the ideal structure for implementing QR decomposition based on Givens Rotations. In this paper, the QR decomposition step based on this array is studied and the correctness of the decomposition results is analyzed.3．The FPGA design of square root reciprocal. In this paper, a computation method of square root reciprocal is studied, which is based on the Search-Approximation method. This method avoids the division and square root calculations, and has high accuracy. Moreover, the fact that normalization and denormalization processes will not lead to error expansion is analyzed and verified. Finally, the specific implementation details of the method are studied, and a square root reciprocal calculation module based on FPGA is designed.4．The FPGA design, simulation and verification of triangular systolic array. The FPGA architecture of the two calculation units, boundary module(a square root reciprocal calculation module included) and internal module, are designed. And a 44triangular systolic array which consists of 4 boundary modules and 6 internal modules isIIdesigned. Each independent module is simulated and the result is verified. At last, the QR decomposition through the systolic array is simulated, and the result is analyzed and verified. Compared with the similar design, the design of this paper has a great improvement in throughput.Keywords: QR decomposition，Givens Rotations，FPGA，triangular systolic array，Search Approximation methodIII目 录第一章绪论 (1)1.1研究工作的背景与意义 (1)1.2国内外研究历史与现状 (1)1.3本文的主要贡献与创新 (5)1.4本论文的结构安排 (5)第二章矩阵QR分解基础 (7)2.1 矩阵QR分解的数学原理 (7)2.2矩阵QR分解的数学方法 (7)2.2.1 基于修正Gram-Schmidt法的QR分解 (8)2.2.2 基于Householder变换法的QR分解 (8)2.2.3 基于Givens旋转法的QR分解 (9)2.3 用于矩阵分解的常用平台 (13)2.3.1 通用计算机平台 (13)2.3.2 通用图形处理单元GPU (14)2.3.3 数字信号处理器DSP (15)2.3.4专用集成电路ASIC (15)2.3.5现场可编程逻辑门阵列FPGA (15)2.4 定点数 (16)2.4.1 定点数与浮点数 (16)2.4.2 定点数的表示法 (16)2.4.3 定点数的基本运算 (18)2.5 本章小结 (20)第三章QR分解处理阵列 (21)3.1 引言 (21)3.2三角脉动阵列结构 (21)3.3三角阵列QR分解结果正确性分析 (25)3.4 阵列边界单元设计 (28)3.4.1 边界单元整体结构 (28)3.4.2 边界单元计算流程 (30)3.5 平方根倒数单元设计 (31)IV3.5.1 直接查找法 (32)3.5.2 查找近似法 (32)3.5.3 直接查找法与查找近似法比较 (34)3.5.4 归一化后的查找近似法 (34)3.5.5 反归一化处理前后的误差对比 (35)3.5.6 归一化处理的FPGA设计方法 (36)3.5.7 反归一化处理的FPGA设计方法 (37)3.5.8 平方根倒数单元整体结构设计 (38)3.6 阵列内部单元设计 (40)3.6.1 上三角矩阵元素值计算结构 (40)3.6.2 矩阵元素变换值计算结构 (41)3.7 本章小结 (42)第四章综合分析与仿真验证 (43)4.1 设计环境与仿真工具简介 (43)4.2 平方根倒数模块时序分析与仿真验证 (43)4.2.1 综合结果与时序分析 (43)4.2.2 时序仿真验证 (44)4.3 边界单元时序分析与仿真验证 (44)4.3.1 综合结果与时序分析 (44)4.3.2 时序仿真验证 (46)4.4 内部单元综合分析与仿真验证 (47)4.4.1 综合结果与时序分析 (47)4.4.2 时序仿真验证 (51)4.5 三角阵列综合分析与仿真验证 (52)4.5.1 综合结果 (52)4.5.2 资源占用与时序分析 (54)4.5.3 时序仿真验证 (55)4.5.4 与相近工作的比较 (58)4.6 本章小结 (59)第五章总结与展望 (60)5.1全文总结 (60)5.2 后续工作展望 (60)致谢 (61)V参考文献 (62)VI第一章 绪论1第一章 绪 论1.1 研究工作的背景与意义绝大多数高级信号处理算法均是基于代数矩阵的运算[1]。

CORDIC算法硬件实现的误差分析郑辛星【摘要】根据CORDIC算法理论可证明,电路的输入角度θ采用9bit量化时,流水线仅需要8级,输出结果最大误差为0.016658,可以满足一般工程需要.FPGA评估表明,采用9bit量化8级流水线的CORDIC算法电路可以满足小面积高性能电路要求.采用Xilinx FPGA硬件平台,可以对流水线结构的CORDIC算法在输入角度θ采用9位二进制量化时资源占用情况进行评估.【期刊名称】《芜湖职业技术学院学报》【年(卷),期】2017(019)001【总页数】6页(P33-38)【关键词】误差分析;FPGA;硬件实现;数字信号处理;CORDIC算法【作者】郑辛星【作者单位】芜湖职业技术学院信息工程学院,安徽芜湖,241003【正文语种】中文【中图分类】TN911.1坐标旋转数字计算机（Coordinate Rotation Digital Computer，简称CORDIC）算法是一种通过循环迭代的方式来逐渐逼近超越函数的算法。

该算法能够通过基本的加和移位运算来实现三角函数、乘法、开方、反三角、指数等超越函数，因而在许多数字信号处理领域中得到广泛应用。

CORDIC算法中的关键参数在量化和运算过程中，由于数字系统有限的数值位数必然会产生误差。

这些误差给数字信号处理的实现精度带来不良影响。

为保证合理的精度，CORDIC处理模块的字长也必须相应增大。

但是字长越大，CORDIC处理模块的逻辑越复杂，器件性能越低，面积、功耗越大，成本越高，可靠性越低。

因此，设计时必须充分考虑数值精度对计算结果误差的影响。

2.1 单角度圆周旋转利用CORDIC圆周旋转迭代方程可以实现余弦、正弦、反正切和幅度函数，以下是根据圆周旋转进行CORDIC方程的推导。

圆周CORDIC算法是根据二元向量的极坐标系和直角坐标系的转换公式得来的，极坐标和直角坐标的转换公式为假设半径为r的圆上一点偏离x轴的角度为，通过围绕圆旋转一个角度可以获得一个新的点，如图1所示，则初始点位置和最终点位置可以分别用方程(2)和方程(3)来表示：方程(3)通过三角恒等式可以将公式变换成以下形式：将初始点的方程代入方程(4)之后，可以得到方程(5)：现在假设初始点的坐标为(, 0)，则旋转角度之后，得到公式(6)：如果则任意角度的正弦值和余弦值都可以计算出来。