第二节 动态规划的基本概念和基本思路

动态规划的基本思想动态规划是一种常见的解决问题的算法思想，它通过将复杂的问题分解成一个个子问题，逐步求解并记录下每个子问题的解，最终得到原问题的解。

这种思想在很多领域都有广泛的应用，例如计算机科学、经济学、物理学等。

一、动态规划的定义与特点动态规划是一种分治法的改进方法，它主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

它的基本思想可以概括为“记住中间结果，以便在需要的时候直接使用”。

动态规划算法的特点包括：1. 问题可以分解为若干个重叠的子问题；2. 子问题的解可以通过已知的子问题解来求解，且子问题的解可以重复使用；3. 需要使用一个数据结构（通常是一个矩阵）来存储子问题的解，以便在需要时直接取出。

二、动态规划的基本步骤动态规划算法通常可以分为以下几个基本步骤：1. 确定问题的状态：将原问题转化为一个或多个子问题，并定义清楚每个子问题的状态是什么。

2. 定义问题的状态转移方程：找出子问题之间的关系，即如何通过已知的子问题解来解决当前问题。

3. 设置边界条件：确定最简单的子问题的解，即边界条件。

4. 计算子问题的解并记录：按顺序计算子问题的解，并将每个子问题的解记录下来，以便在需要时直接使用。

5. 由子问题的解得到原问题的解：根据子问题的解和状态转移方程，计算得到原问题的解。

三、动态规划的实例分析为了更好地理解动态规划的基本思想，我们以求解斐波那契数列为例进行分析。

问题描述：斐波那契数列是一个经典的数学问题，它由以下递推关系定义：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。

解决思路：根据递推关系，可以将问题分解为求解F(n-1)和F(n-2)两个子问题，并将子问题的解累加得到原问题的解。

根据以上思路，可以得到以下的动态规划算法实现：1. 确定问题的状态：将第n个斐波那契数定义为一个状态，记为F(n)。

2. 定义问题的状态转移方程：由递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)可得，F(n)的值等于前两个斐波那契数之和。

动态规划的基本概念与方法动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是解决一类最优化问题的一种方法，也是算法设计中的重要思想。

动态规划常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

它将问题分解为子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。

动态规划的基本概念是“最优子结构”。

也就是说，一个问题的最优解可以由其子问题的最优解推导出来。

通过分解问题为若干个子问题，可以形成一个递归的求解过程。

为了避免重复计算，动态规划使用一个表格来保存已经计算过的子问题的解，以便后续直接利用。

这个表格也被称为“记忆化表”或“DP表”。

动态规划的基本方法是“状态转移”。

状态转移指的是，通过已求解的子问题的解推导出更大规模子问题的解。

常用的状态转移方程可以通过问题的递推关系定义。

通过定义好状态转移方程，可以通过迭代的方式一步步求解问题的最优解。

在动态规划中，通常需要三个步骤来解决问题。

第一步，定义子问题。

将原问题划分为若干个子问题。

这些子问题通常与原问题具有相同的结构，只是规模更小。

例如，对于计算斐波那契数列的问题，可以定义子问题为计算第n个斐波那契数。

第二步，确定状态。

状态是求解问题所需要的所有变量的集合。

子问题的解需要用到的变量就是状态。

也就是说，状态是问题（解决方案）所需要的信息。

第三步，确定状态转移方程。

状态转移方程通过已求解的子问题的解推导出更大规模子问题的解。

通常情况下，状态转移方程可以通过问题的递推关系确定。

在实际应用中，动态规划常用于求解最优化问题。

最优化问题可以归纳为两类：一类是最大化问题，另一类是最小化问题。

例如，最长递增子序列问题是一个典型的最大化问题，而背包问题是一个典型的最小化问题。

动态规划的优势在于可以解决许多复杂问题，并且具有可行的计算复杂度。

但是，动态规划也有一些限制。

首先，动态规划要求问题具有重叠子问题和最优子结构性质，不是所有问题都能够满足这两个条件。

其次，动态规划需要存储计算过的子问题的解，对于一些问题来说，存储空间可能会非常大。

运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。

1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。

二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。

2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。

三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。

3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。

3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。

3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。

四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。

4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。

4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。

5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。

教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。

六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。

数学建模中的动态规划问题动态规划是一种常见且重要的数学建模技术，它在解决许多实际问题中发挥着关键作用。

本文将介绍动态规划问题的基本概念和解题方法，并通过几个实例来说明其在数学建模中的应用。

一、动态规划的基本概念动态规划是解决多阶段决策问题的一种方法。

一般来说，动态规划问题可以分为以下几个步骤：1. 确定阶段：将问题划分为若干个阶段，每个阶段对应一个决策。

2. 确定状态：将每个阶段的可能状态列出，并定义对应的决策集合。

3. 确定状态转移方程：根据当前阶段的状态和上一个阶段的决策，确定状态的转移关系。

4. 确定初始条件：确定问题的初始状态。

5. 确定决策的评价标准：根据问题的具体要求，确定决策的评价标准。

6. 使用递推或递归公式求解：根据状态转移方程，使用递推或递归公式求解问题。

二、动态规划问题的解题方法在解决动态规划问题时，一般可以使用自顶向下和自底向上两种方法。

自顶向下的方法，也称为记忆化搜索，是指从问题的最优解出发，逐步向下求解子问题的最优解。

该方法通常使用递归来实现，并通过记忆化技术来避免重复计算。

自底向上的方法，也称为动态规划的迭代求解法，是指从问题的初始状态出发，逐步向上求解各个阶段的最优解。

该方法通常使用迭代循环来实现，并通过存储中间结果来避免重复计算。

三、动态规划在数学建模中的应用1. 01背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有对应的价值和重量，要求选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大，而且总重量不超过背包的容量。

这是一个经典的动态规划问题，在数学建模中经常遇到。

2. 最短路径问题：在给定的有向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径。

该问题可以使用动态规划的思想对其进行求解，其中每个阶段表示到达某个顶点的最短路径。

3. 最长公共子序列问题：给定两个序列，求解它们最长的公共子序列的长度。

该问题可以使用动态规划的方法解决，其中每个阶段表示两个序列的某个子序列。

四、实例分析以01背包问题为例进行具体分析。

动态规划的基本思想动态规划是一种常用于解决具有重叠子问题和最优子结构特征的问题的算法思想。

它将问题分解成一系列子问题，并通过解决子问题构建出整个问题的最优解。

动态规划的基本思想是将原始问题转化成一个或多个相似的子问题，然后通过解决这些子问题获得原始问题的解。

这种思想在很多实际问题中都能够得到应用。

动态规划的基本流程一般包括以下几个步骤：1. 将原始问题分解为子问题：首先需要将原问题划分为多个子问题，并且确保这些子问题之间有重叠的部分。

2. 定义状态：确定每个子问题需要求解的状态，也即问题需要达成的目标。

3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，确定子问题之间的状态转移方程，即如何将子问题的解转移到原问题的解。

4. 解决首个子问题：解决最基本的子问题，获得初始状态下的解。

5. 填充状态表格：根据状态转移方程，依次求解其他子问题，并且填充状态表格。

6. 求解原问题：通过填充状态表格，在保证状态转移方程的基础上求解原问题的最优解。

动态规划的关键在于将原问题转化为子问题，通过递归或者迭代的方式求解子问题，最终获得原问题的最优解。

在这个过程中，重叠子问题的求解是动态规划的特点之一。

由于问题的子问题存在重叠，所以在求解的过程中我们可以保存已经求解过的子问题的解，避免重复计算，从而提高效率。

动态规划还要求问题具有最优子结构特征，即问题的最优解可以通过子问题的最优解构建出来。

通过利用已解决的子问题的最优解，可以有效地解决原问题。

动态规划算法在实际应用中有着广泛的应用。

它可以用于解决很多经典的问题，如最长公共子序列、0-1背包问题、最大子数组和等。

动态规划算法可以有效地解决这些问题，使得它们的时间复杂度得到了有效的降低。

总结来说，动态规划的基本思想是将原始问题转化为子问题，并通过解决子问题构建整个问题的最优解。

动态规划算法通过保存已经解决的子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。

动态规划算法在实际应用中具有广泛的应用，是解决具有重叠子问题和最优子结构特征的问题的常用算法思想。

实用运筹学：案例、方法及应用以把它当作多阶段动态模型，用动态规划方法处理。

动态规划对于解决多阶段决策问题效果明显，但也有一定的局限性。

首先，它没有统一的处理方法，必须根据问题的各种性质并结合一定技巧来处理；另外，当变量维数增大时，总计算量及存贮量急剧增大。

由于计算机的存贮量及计算速度的限制，目前计算机仍不能用动态规划方法来解决较大规模的问题，这就是所谓“维数障碍”。

5.1 动态规划的基本概念和基本思想1．多阶段决策问题（1）多阶段决策的效果动态规划是把多阶段决策问题作为研究对象。

所谓多阶段决策问题，是根据问题本身的特点，将求解全过程划分为若干个相互联系的阶段（即将问题划分为许多个相互联系的子问题），在它的每一阶段都需要做出决策，并且在一个阶段的决策确定以后才转移到下一个阶段。

往往前一个阶段的决策会影响到后一个阶段的决策，从而影响整个过程。

人们把这样的决策过程称作多阶段决策过程。

各个阶段确定的决策就构成了一个决策序列，称为一个策略。

一般来说，由于每一阶段可供选择的决策往往不止一个，因此，对于整个过程，就会有许多可供选择的策略。

若对应一个策略，可以由一个量化指标来确定这个策略所对应的活动过程的效果，那么，不同的策略就有各自的效果。

在所有可供选择的策略中，对应效果最好的策略称为最优策略。

把一个决策问题划分成若干个相互联系的阶段选取其最优策略的解决过程就是多阶段决策问题。

多阶段决策过程最优化的目标是要达到整个活动过程的总体效果最优。

由于各段决策间有机联系，本阶段决策的执行结果将影响到下一阶段的决策，以至于影响总体效果，所以决策者在每段决策时不应只考虑本阶段最优，还应考虑对最终目标的影响，从而做出对全局来讲最优的决策。

动态规划就是符合这种要求的一种决策方法。

由上述可知，动态规划方法与“时间”关系很密切，随着时间过程的发展而决定各时段的决策，产生一个决策序列，这就是“动态”的意思。

然而它也可以处理与时间无关的静态问题，只要在问题中人为引入“时段”因素，就可以将其转化为一个多阶段决策问题。

动态规划的基本概念与算法设计动态规划（Dynamic Programming）是一种解决复杂问题的优化方法，常用于计算机科学和数学领域。

它的基本思想是将一个复杂问题分解为若干个相互重叠的子问题，并通过求解子问题的最优解来构建原问题的最优解。

一、动态规划的基本概念动态规划中的概念主要包括以下几个方面：1. 最优子结构（Optimal Substructure）：一个问题的最优解可以由其子问题的最优解来构建。

也就是说，问题的最优解具备递归性质。

2. 无后效性（无后效性）：一个阶段的状态一旦确定，就不受之后决策的影响。

也就是说，在解决某个阶段的问题时，只需要考虑当前阶段的状态和选择，无需关心之后的情况。

3. 重叠子问题（Overlapping Subproblems）：子问题之间可能会出现重叠的情况，即不同的子问题具有相同的子问题。

二、动态规划的算法设计步骤动态规划的算法设计通常包括以下步骤：1. 确定状态：首先要明确问题的求解需要哪些状态量，并将问题抽象化，将问题的每个阶段的状态定义清楚。

2. 确定状态转移方程：根据问题的最优子结构，利用递归的思想，确定问题的状态转移方程。

状态转移方程描述了问题从一个阶段到下一个阶段的状态转移过程。

3. 确定初始条件和边界条件：确定问题的初始状态和边界状态，也就是递归的终止条件。

4. 确定计算顺序：确定问题的计算顺序，通常是从小规模的子问题开始，逐渐扩展到原问题的规模。

5. 填表计算：根据状态转移方程和初始条件，填充计算表格，记录子问题的最优解。

6. 求解原问题：根据计算表格中的最优解，推导出原问题的最优解。

三、动态规划的示例应用为了更好地理解动态规划的基本概念和算法设计步骤，下面以一个经典的示例问题来说明。

问题描述：给定一个数组nums，其中的元素表示一系列可抢劫的房屋的价值。

要求求解出在不触发警报的情况下，可以获得的最大抢劫价值。

解决思路：1. 状态定义：定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示前i个房屋能够获得的最大抢劫价值。

动态规划应用动态规划解决问题的思路与技巧动态规划应用 - 动态规划解决问题的思路与技巧动态规划（Dynamic Programming）是一种常见的算法思想，用于解决一些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

通过将大问题划分为小问题，并将小问题的解存储起来以避免重复计算，可以在一定程度上优化问题的求解过程。

本文将介绍动态规划的应用，并提供一些思路与技巧。

一、动态规划的基本思路动态规划问题通常可以由以下步骤解决：1. 定义状态：将问题划分成若干子问题，并确定每个子问题需要记录的状态。

2. 定义状态转移方程：通过分析子问题之间的关系，建立状态转移方程，以表达子问题的最优解与更小规模子问题的关系。

3. 初始化边界条件：确定最小规模子问题的解，并初始化状态转移方程中需要用到的边界条件。

4. 递推求解：按照状态转移方程的定义，从较小规模的子问题开始逐步推导出较大规模的问题的解。

5. 求解目标问题：根据最终推导出的状态，得到原始问题的最优解。

二、动态规划的技巧与优化1. 滚动数组：为了降低空间复杂度，可以使用滚动数组来存储状态。

滚动数组只记录当前状态与之前一部分状态相关的信息，避免了存储所有状态的需求。

2. 状态压缩：对于某些问题，可以将状态压缩成一个整数，从而大幅减小状态的数量。

例如，当问题中涉及到某些特定的组合或排列时，可以使用二进制位来表示状态。

3. 前缀和与差分数组：对于某些问题，可以通过计算前缀和或差分数组，将问题转化为求解累加或差对应数组中的某个区间的值的问题，从而简化计算过程。

4. 贪心思想：有些动态规划问题可以结合贪心思想，在每个阶段选择局部最优解，然后得到全局最优解。

5. 双重循环与多重循环：在实际解决问题时，可以使用双重循环或多重循环来遍历状态空间，求解问题的最优解。

三、动态规划的实际应用动态规划广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 最短路径问题：例如，求解两点之间的最短路径、最小生成树等。