概率论与数理统计(浙大版)第二章课件

于是，所求概率为：
P( X 2)C (0.05) (0.95) 0.007125
2 3 2
请注意：
1、若将本例中的“有放回”改为”无放回”, 那么 各次试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 . 此时, 只能用古典概型求解.
P( X 2)
C C C
1 95
2 5
3 100
0.00618
这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值 单值函数.定义域为样本空间S，取值为实数.
e.
s
这即为所谓的随机变量
X(e)
R
定义 设随机试验的样本空间为S={e}. X= X(e)是 定义在样本空间S上的实值单值函数.称X= X(e)为 随机变量. 简记为 r.v. 说明 （1）它是一个变量, 它的取值随试验结果而改变 （2）由于试验结果的出现具有一定的概率，故 随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一 定的概率. (3)随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N 等表 示,而表示随机变量所取的值时,一般采用小写 字母 x, y, z, w, n等.
解：按第一种方法。 以 X 记 “ 第 一 人 维 护 的 20台 中 同 一 时 刻 发 生 故 障 的 台 数 ” 。 以 Ai i 1, 2, 3, 4 表 示 事 件 “ 第 i 人 维 护 的 2 0台 中 发 生 故 障 不 能 及 时 维 修 ” ， 则 知 80台 中 发 生 故 障 不 能 及 时 维 修 的 概 率 为 ：
k k nk
， 0， ， n k 1，
P 易证：（1） ( X k ) 0
（2） P ( X k ) 1
k 0
n
称 r.v X 服从参数为n和p的二项分布，记作 X~b(n,p) 显然，当 n=1 时 X ~ B 1， p 此时有 PX k p k 1 p 1 k , k 0,1 0 p 1

解 X 的分布密度函数为
f(x) 13, 2 x5, 0, 其他.
设 A 表示“ X 的观测值大于 3”,
即 A={ X >3 }.
由 P (A 于 ) P { X 3 }
51 dx
2,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b 3,
32.
P{Y2}23322132333231320
解： F(x) = P(X x) =
x
f (t)dt
f(x)2 1x2, 1x1
0, 其它
解： 对x < -1，F(x) = 0
求 F(x).
对 1x1,
F(x)10d t x21t2dt
1
x
1x21ar
cxsi1n 2
对 x>1， F (x) = 1
即
0,
x1
F(x) x
1x21arcsx in1 2,
1, x 1
(2) 求X的概率密度.
解: (1) P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4
(2)
f(x)= dF ( x ) dx
2x,
0,
0 x 1 其它
注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数 在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在
F(x) 没意义的点处，任意规定 F(x)的值.
由此得， 1) 对连续型 r.v X,有
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb) P(aXb)
2) 由P(X=a)=0 可推知
P (X R a ) f(x )d x P (X a ) 1 而 {X=a} 并非不可能事件 {XR{a}}并非必然事件

二、伯努利（Bernoulli）试验及二项分布 1、伯努利（Bernoulli）试验 (1)n次独立重复试验
将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互 不影响,则称这n次试验是相互独立的. (2)n重伯努利试验 满足下列条件的试验称为伯努利（Bernoulli）试验: ①每次试验都在相同的条件下重复进行；
令X=“正面出现的次数”，则X是一个随着试 验结果不同而取值不同的量，其对应关系如下：
基本结果(e) 正面出现的次数X(e)
e1=（正，正）
2
e2=（正，反）
1
e3=（反，正)
1
e4=（反，反）
0
由上可知，对每一个样本点e，都有一个X的取值X(e)
与之对应。我们把X称为定义在这个试验上的随机变量。
P ( X x k ) p k k 1 ,2 ,3 , ( 1 )
称 (1) 式为离散型随机变量X的分布律. 注:离散型随机变量X的分布律可用公式法和表格 法描述。
1)公式法: P (X x k ) p k k 1 ,2 ,3 ,
2) 表格法:
X x1 x2 L pk p1 p2 L
例1：将一枚硬币连掷两次，求“正面出现的次 数X ”的分布律。
及 时 维 修 ” ， 则 知 80台 中 发 生 故 障 不 能 及 时 维 修 的 概 率 为 ：
P A 1 A 2 A 3 A 4 P A 1 P X 2
而 Xb20,0.01,故 有 ：
1
1
PX21PXk1 C 2 k00.01k0.9920k0.0169
k0
k0
即 有 ： P A 1 A 2 A 3 A 4 0 .0 1 6 9
text(x(1),pk(1), num2str(pk(1)),'FontSize',21); text(x(3),pk(3), num2str(pk(3)),'FontSize',21);

则X在任意区G（ 间G可以是开区,也间可以是 闭区间，或半开半间闭；区可以是有限区 也可以是无穷区间取）值上的概率为，
PXGfxdx
G
例2 某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以
f x 1000
x2
x 100 x 100
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.
1
x0
0x1 1x2
x2
即
0,
x0

F(x)



x2 , 2 2x 1 x2 ,
0 x 1 1 x 2

2
1,
x2
对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导 也可求出 f (x)，请看下例.
例3 设r.vX的分布函数为
0, x 0
(1) 求X取值在区间
F(x) 没意义的点处，任意规定 F(x)的值.
由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确 定. 所以，若已知密度函数，该连续型 r.v 的概率规律就得到了全面描述.
f (x)
o
x
下面给出几个常用连续型r.v的例子.
（1）若 r.vX的概率密度为： f ( x)
f(x)b1a, axb
例2 设r.v X 的密度函数为 f (x)
f(x)2 1x2, 1x1
0, 其它
求 F(x).
解： F(x) = P(X x) =
x
f (t)dt

f(x)2 1x2, 1x1
0, 其它
解： 对x < -1，F(x) = 0
求 F(x).
对 1x1,
0, 其它
求 F(x).