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高等流体力学-第四讲

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第四讲 流体运动描述方法及速度场_9670922

第四讲 流体运动描述方法及速度场_9670922

第四讲：流体流动描述方法及速度场流体流动描述方法及速度场一、流场及其描述方法二、流体流动的速度场三、迹线与流线流体运动学：用几何的观点研究流体流动现象及其规律;不涉及引起运动变化的原因,即力的作用。

描述流体运动的困难拉格朗日坐标•以一组数(a，b，c）作为标记，如质点初始时刻t=t0的位置坐标(a，b，c），来识别运动流体的一个质点，这组数称为拉格朗日坐标或随体坐标。

•流体不管什么时候，运动到哪，其拉格朗日坐标不变1-1 拉格朗日法●着眼于流体的质点，流体质点表示为拉格朗日坐标和时间的函数。

●流体质点运动轨迹：k z j y i x r t c b a z z t c b a y y t c b a x x ++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===迹线方程),,,(),,,(),,,(),,,(t c b a r=1-2 欧拉法✓欧拉坐标●以固定于空间的坐标系中的一组坐标，来表示流体质点在不同时刻运动到空间的一个位置，称为欧拉坐标。

●由连续性假设，流体质点与空间点，从而与欧拉坐标是一一对应的。

✓欧拉法（空间描述法）●着眼于空间点，将流体的运动和物理参数直接表示为空间坐标和时间的函数，而不是沿运动轨迹去追踪质点。

●任意空间点（x，y，z）处流体速度：●同理●流动问题有关任意物理量（矢量或标量）(,,,),(,,,)x y z t p p x y z t ρρ==(,,,)x y z t ϕϕ=ϕ(,,,)V V x y z t = k t z y x w j t z y x v i t z y x u ),,,(),,,(),,,(++=欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条件。

•欧拉法是描述流体运动常用的一种方法。

●关注沙尘暴（风暴）的走向，拉格朗日法描述。

●关注某一地区的天气情况，欧拉法描述拉格朗日描述与欧拉描述流场：流体由无穷多个质点构成，流体质点存在相对运动和相互作用。

第四章平面势流(4.1~4.4)详解

第四章平面势流(4.1~4.4)详解

关，只是平面上点的函数。
dz
W (z) dF F F dz x (iy)
W (z) F i u iv
x x x
W (z) F 1 u iv
(iy) i y y
第四章 平面势流
§4.2 复位势和复速度
三、复速度
复 速 度 ： W (z) u iv 共轭复速度： W (z) u iv 复速度与共轭复速度的乘积等于速度矢量模的平方。
B
Q = -vdx+udy
A
=
B A
Ψ x
dx +
Ψ y
dy =
B
dΨ
A
=Ψ2
-Ψ1
Ψ =Ψ2
Ψ =Ψ1 A
B
dl
u dy
v dx
第四章 平面势流
§4.1 速度势函数与流函数
二、流函数
3、流函数的性质
➢ 方 程
平面流动时，只存在z方向的涡量分量
v x
u y
x
x
y
y
2
有旋流动时： 2 或 2k
四、绕角流动
n=2 n=1
2
0
0
n= ½
2 0
n 小于 ½ 时得到大于 2π的区域，这显然没有物理意义。因此n应大于 ½ 。
第四章 平面势流
§4.3 基本流动
四、绕角流动ຫໍສະໝຸດ n=1/2n=3/2
n=2
n=3
第四章 平面势流
n=2/3
§4.3 基本流动
五、偶极子
偶极子：一对无限接近的强度相等的点源和点汇的迭加。
WW = (u - iv)(u +iv) = u2 + v2 = u u

高等流体力学PPT课件

高等流体力学PPT课件
1 ur
2
aij ijkk
uD S r
表示由于流体微团变形而产生的 M 点相对于M点 的速度变化。
uR
1 ur
2
表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 对于M 点的速度变化。
M 点相
26
26
欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
欧拉参考系：
u t x,y,z
u
u(x,
y,
z,
t)
某一空间点上的流体速度随时间的变化，称当地导 数或局部导数。
拉格朗日参考系：u u(x0, y0, z0,t)
u
t
x0 , y0 ,z0
流体质点速度随时间的变化，即加速度。
在欧拉参考系下用 Du 表示流体质点的速度变化。
25
速度分解定理，应变率张量和旋转率张量
速度分解定理
ui
ui x j
xj
1 2
ui x j
u j xi
1 2
ui x j
u j xi
xj
sij x j aij x j S r A r
Sr 1 ur
2
u uD uR
aij x j ijk x jk r
物质导数
以矢量和张量下标形式表示的物质导数
D
Dt
t
uk
xk
D
Dt
t
u
t
u
算符
u
ui vj wk
i
x
j
y
k
z
u v w x y z
13
13
物质导数物理意义
D Dt t uk xk
D 物质导数，质点导数，随体导数；
Dt
欧拉参考系中的时间导数，称局部导数或就地导数，表示空

第四讲生物流体力学微循环典型的微循环由微动脉、后微动脉

第四讲生物流体力学微循环典型的微循环由微动脉、后微动脉

研究目的：考察表观粘度与管径和红血球压积率间 的关系，所以要知道中心层厚度，中心层红细胞浓 度Hc， 管径和HD是自变量，表观粘度和HT实验数据给出， 由15，19式可以得到中心层厚度，中心层红细胞压 积率Hc随 HD和管径的变化 由14获得外围区域的粘度0
相HH关TD的经H验D 公(式1 H D )(11.7e0.35D 0.6e0.01D ) （4.21）
促进血管新生疗法 阻碍血管血管新生
心肌坏死时氧的分布状态
乏氧区
肿瘤组织和正常组 织血管的结构
三分叉血管 环路血管
网状血管
4.2 微循环的结构尺寸及特征：
指动脉和静脉的直径小于180m的血管。包括：
细动脉 arteriole 10m<d<180m
毛细血管 capillary 3m<d<10m
细静脉 venule
狭窄血管内的流变学特征 Fahraeus-Lindquist effect： dependence of apparent viscosity on tube diameter当管径变小时，表观粘度 会降低。 原因解释之一：plasma skimming 狭窄管内有两层流体： 1.plasma-cell-free layer-无 细胞层，粘性较低。2. Cell layer 血管越窄，靠近管壁的cell-free layer的比例比较大， 从而整个表观粘度降低。 对于红血球压积在40-50%的血液，它的cell-free层的 厚度在1m和3-5m之间。
Sharan, M. and Popel A. S., Atwo-phase model for flow of blood in narrow tubes with increased effective viscosity near the wall, Biorheology Vol. 38 (2001), pp.415-428

流体力学第四章ppt课件

流体力学第四章ppt课件

对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数
不随空间坐标ｘ，ｙ，ｚ和时间ｔ变化，因此
它在整个流场为常数。精选课件
10
U p V2 C
2
(通用常数)
对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的 定常无、旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成
p V2
z
C
(通用常数)
2g
上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在
整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场
建立了速度和压力之间精的选课件关系。
11
若能求出了流场的速度分布（理论或实验的 方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分 布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流 体与固体之间的相互作用力。
应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物
理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行
U 2
2
g
近似代替 20
适用于有限大流束的伯努利方成为：
z p U2 const
2g
或
z1p1U 21g2 z2p2
U22 2g
方程适用条件：
（13） （14）
（１）理想流体，定常流动；
（２）只有重力的作用；
（３）流体是不可压缩的；
（4）１.２截面处流动须是渐变流。但1.2两断
面间不必要求为渐变流精动选课件。
驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引
的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为
什么会产生“吸底现象”等等。
精选课件
12
讨论： 1. 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流
动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？ 2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产 生互相吸引的“船吸现象”。

04中山大学-流体力学课程-课件(精华版)

04中山大学-流体力学课程-课件(精华版)

§4.4 能量方程
能量守恒定律
d U2 ∂T ρ ( E + )dτ = ∫ k dS + ∫ ρ qdτ S τ dt ∫τ 2 ∂n + ∫ ρ F ⋅ udτ + ∫ p n ⋅ udS
d du ∫τ ρuδτ =∫τ ρ dt δτ dt
利用奥高公式，动量定理可表达为 利用奥高公式，
用张量表示为
du ∫τ (ρ dt − ρF−∇P)δτ =0 P是应力张量 是应力张量
∂ρij dui ρ = ρF + i dt ∂xj
兰姆兰姆-葛罗米柯运动方程 在速度的随体导数中，利用场论基本运算公式 在速度的随体导数中，
单位时间内由于热传导通过表面传入体积的热量单位时间内由于辐射或其他原因传入体积的总热量质量力和面力所做的功44积分形式的能量方程根据物质体积分的随体导数能量守恒定律可以写为根据物质体积分的随体导数能量守恒定律可以写为内能和动能总和的体积分的随体导数为内能和动能总和的体积分的随体导数为利用奥高公式并假定所有体积分的被积函数连续可以得到利用奥高公式并假定所有体积分的被积函数连续可以得到微分形式的能量方程单位体积内内能的随体导数单位体积内动能的随体导数单位体积内热传导传入的热量单位体积内质量力做的功单位体积内面力做的功单位体积内面力所做功的一项可表示为单位体积内面力所做功的一项可表示为可以证明微分形式的能量方程的另一种形式单位体积内单位时间内能的增加等于由热传导辐射或其他原因传入的热量与流体变形后面力做功的总和
积分形式的动量定理 流体动量体积分的随体导数为
d ∂(ρu) ∫τ ρuδτ =∫τ ∂t δτ +∫S ρunuδS dt
代入得积分形 式的动量方程
∂(ρu) ∫τ ∂t δτ + ∫S ρnunuδS =∫τ ρFδτ + ∫S ρnδS

高等流体力学讲义课件_第四章二维势流4.2.

高等流体力学讲义课件_第四章二维势流4.2.
ε <<1 z
ε 2 m ε ε = ln + + + 0 2 2π z z z ε m ε ε m ε ln + + 0 2 = + 0 2 2π z z 2π z z
0 sin 0 0,
0 1 4Ua
1 4Ua
•有环量流动，
0 1 4Ua
有两个驻点，分别位于3，4象限，且关于y轴对称。 顺时针点涡流场与绕流圆柱流场叠加在 1 ， 2 象限速度方 向相同，速度增加；在 3 ， 4 象限速度方向相反，速度减 少，于是分别在 3 ， 4 象限的某个点处速度为零。相当于 把θ＝0和π的两个驻点分别移动至3，4象限。
4.7 圆柱的无环量绕流
叠加原理
势函数和流函数满足的控制方程是线性的，因此它们的解具有可 叠加性。依据这一原理，上面给出的基本流动的复位势函数可以叠 加起来给出较为复杂的流动问题的解。
4.7 圆柱的无环量绕流
均匀流与偶极子叠加
沿 x 方向的均匀流和在原点的偶 极子叠加给出圆柱绕流的解，
F(z) Uz +
4.6 偶极子流动
F( z ) μ z
显然 z ＝ 0 处是上述函数的奇点。
4.6 偶极子流动
偶极子是一对无限接近的非常强的点源和非常强的点汇
ε m m m z+ε m z F( z ) ln z + ε ln(z - ε)= ln = ln 2π 2π 2π z - ε 2π - ε z +
有环量绕流速度场对 y 轴对称，压强场也对 y 轴对称，因此在 x 轴方向圆柱所受表面力合力为零。 由于环量的存在，流场对 x 轴不再对称，在圆柱上表面顺时针 的环流和无环量的绕流方向相同，因此速度增加，而在下表面 则方向相反，速度减少。根据伯努利方程上表面压强减小，下 表面压强增大，于是产生向上的合力，称升力。

第四讲 流体运动描述方法及速度场_9670922

第四讲 流体运动描述方法及速度场_9670922

第四讲：流体流动描述方法及速度场流体流动描述方法及速度场一、流场及其描述方法二、流体流动的速度场三、迹线与流线流体运动学：用几何的观点研究流体流动现象及其规律;不涉及引起运动变化的原因,即力的作用。

描述流体运动的困难拉格朗日坐标•以一组数(a，b，c）作为标记，如质点初始时刻t=t0的位置坐标(a，b，c），来识别运动流体的一个质点，这组数称为拉格朗日坐标或随体坐标。

•流体不管什么时候，运动到哪，其拉格朗日坐标不变1-1 拉格朗日法●着眼于流体的质点，流体质点表示为拉格朗日坐标和时间的函数。

●流体质点运动轨迹：k z j y i x r t c b a z z t c b a y y t c b a x x ++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===迹线方程),,,(),,,(),,,(),,,(t c b a r=1-2 欧拉法✓欧拉坐标●以固定于空间的坐标系中的一组坐标，来表示流体质点在不同时刻运动到空间的一个位置，称为欧拉坐标。

●由连续性假设，流体质点与空间点，从而与欧拉坐标是一一对应的。

✓欧拉法（空间描述法）●着眼于空间点，将流体的运动和物理参数直接表示为空间坐标和时间的函数，而不是沿运动轨迹去追踪质点。

●任意空间点（x，y，z）处流体速度：●同理●流动问题有关任意物理量（矢量或标量）(,,,),(,,,)x y z t p p x y z t ρρ==(,,,)x y z t ϕϕ=ϕ(,,,)V V x y z t = k t z y x w j t z y x v i t z y x u ),,,(),,,(),,,(++=欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条件。

•欧拉法是描述流体运动常用的一种方法。

●关注沙尘暴（风暴）的走向，拉格朗日法描述。

●关注某一地区的天气情况，欧拉法描述拉格朗日描述与欧拉描述流场：流体由无穷多个质点构成，流体质点存在相对运动和相互作用。

高等计算流体力学讲义(4)

高等计算流体力学讲义(4)

高等计算流体力学讲义（4）§5. Riemann 问题的近似求解器(Ⅰ)：HLL 方法一．Godunov 格式和Riemann 问题考虑下列Euler 方程：()0t x U F U += （1）要求在适当的初边值条件下求（1）式的数值解。

前面已经讲过，求解(1)式的显式格式可以写为：11221n ni i ii t U U F F x ++-∆⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∆ （2） 在采用Godunov 格式时：()1122(0)i i F F U ++= （3）其中12(0)i U +是Riemann 问题的精确解12(/)i U x t +在/0x t =时的值。

而12(/)i U x t +是下列初值问题（Riemann 问题）的解：()00(,0)0t x LR U F U U ifx U x U ifx +=⎫⎪<⎧⎬=⎨⎪>⎩⎭（4）在采用零阶重构时：1,i L i R U U U U +== （5） 为了使以后的讨论适用于多维问题，我们考虑多维问题的x-分裂形式，即在（1）中，认为：2u u u p U F v uv E uH ρρρρρρρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6）（这里只考虑二维问题，但容易推广到三维问题）。

由于Riemann 问题须迭代求解计算量很大；而且一般的非线性双曲型守恒律的Riemann 问题可能不存在解析解，所以有必要发展Riemann 问题的近似解法。

近似解法可以分为两大类（1）在Riemann 问题的提法是准确的条件下求近似解；（2）求近似的Riemann 问题的精确解。

二．Riemann 问题的HLL 近似(Harten-Lax-van Leer)Harten 等提出，（4）式的解可以近似写为下列形式：(,)xtLL hll x t L Rx tRRU if D U x t U if D D U ifD ⎧≤⎪=≤≤⎨⎪≤⎩ （7）其中L D 、R D 是Riemann 问题的解中左波和右波运动速度的近似值。

高等流体力学课件 高等流体力学第四章平面势流

高等流体力学课件 高等流体力学第四章平面势流

2010-10-25
西安交通大学流体力学课程组
9
流函数1
不可压缩平面流动连续方程
d dx dy vdx udy x y u v 0 x y
流 流 函 函 数 数
直角坐标系 极坐标系
u , v x y
, u uR R R
4.10 4.10 施瓦茨 施瓦茨-克里斯托弗尔变换 克里斯托弗尔变换
2010-10-25 西安交通大学流体力学课程组 1
理想不可压缩流体流动1
基本方程组 基本方程组
连续方程 运动方程
const
0
u 0
u 1 u u p f t
W uR iu e i
2010-10-25
e i cos i sin
17
西安交通大学流体力学课程组
复位势与复速度4
复位势的性质 复位势可以相差一个常数而不影响其所代表的流 场性质
F z const
x , y const x , y const
满足柯西—黎曼条件的速度势函数和流函数必然 满足拉氏方程，它们是一对共轭的调和函数
复位势 复位势
、 满足柯西—黎曼条件且可微，则可构造解析函数
F z i
2010-10-25
z x iy
i 1
15
西安交通大学流体力学课程组
复位势和复速度2
复速度 复速度
F F dF F i x iy dz y
2 个方程 拉普拉斯方程线性 分开求解，先求解速度势 函数，再由速度势函数求 解速度，最后求解压强
2010-10-25
4 个方程 欧拉方程非线性

高等流体力学第4讲

高等流体力学第4讲

第四讲 气体流动的基本方程气体动力学是研究气体与物体之间有相对运动时，气体的运动规律以及气体和物体间相互作用的一门科学。

与液体相比，气体具有较大的压缩性，但这并不意味着所有情况下气体的密度都会有明显的变化。

在这里有必要澄清可压缩流体与可压缩流动这两个概念。

当气体速度流动较小（马赫数小于0.3)时，其密度变化不大，或者说对气流速度的变化不十分敏感，气体的压缩性没有表现出来。

因此，在处理工程实际问题时，可以把低速气流看成是不可压缩流动，把气体可以看作是不可压缩流体。

而当气体以较大的速度流动时，其密度要发生明显的变化，则此时气体的流动必须看成是可压缩流动。

由于可压缩流动要比不可压缩流动复杂得多，所以在本课程中只能简要地介绍有关气体一元稳定流动的一些基本知识，其中包括气体一元稳定流动的基本方程、声速及马赫数、气流参数、气动函数及其应用以及一元稳定管流等方面的知识，为今后的进一步研究复杂的气体流动打下一个基础。

一、一元稳定气流的基本方程一元稳定流动是一种最简单的理想化的流动模型。

气体在实际管道中的流动都不是真正的一元流动，但在工程上，只要在同一截面的气流参数变化比沿流动方向上的气体参数变化小得多，就可以看作是一元流动。

因此，在工程实际问题中，一元近似方法有着极其广泛的用途。

但是应该记住，一元流动假设只是一个较好的近似，如果需要更精确的结果，则必须用二元或三元流动的理论去处理。

在一元稳定流动中，气体的流动当然仍要遵守自然界中的一些基本定律，如质量守恒定律、牛顿第二定律、热力学第一定律和第二定律。

下面就来推导这些基本定律应用于气体一元稳定流动时的数学表达式，即流动的基本方程式。

（一）状态方程由热力学知道，气体的状态可用压力p 、温度T 和密度ρ等参数来描述，三者之间的函数关系称为状态方程，即(,,)0f p ρT = （4－1） 对完全气体而言，状态方程可写成p ρRT = （4－2） 式中p 绝对压力，Pa ；T 为热力学温度，K ；R 为特定气体的气体常数，对空气来讲R 可取为，287.06J/(kg·K)。

高等流体力学-第4讲

高等流体力学-第4讲

·二次曲面 F ( r ) = ± 1 可看作二阶对称张量的几何表示，是有心二次曲面； ·在主轴坐标系下：如果主值 λ1 λ 2 λ 3 同号，表示的半径分别为：
G
1
1
1
λ1
λ2
λ3
的椭球面；
·在主轴坐标系下： 如果主值异号，则表示的双曲椭圆面。
G 1 (5) 对称张量 S 与矢径的内积为 ： S ⋅ r = gradF 2
∇P= ∂ pi i "i ∂xk
1 2
n
其梯度运算的结果是一个 (n+1) 阶张量 。
( )
JGJG ∂aij JGJGJG ∂ JG ek aij ei e j = ek ei e j ∇A = ∂xk ∂xk
(
)
1.5 张量初步
1.5.6 张量的微分运算
¾ 张量的散度运算 n 阶张量P 的散度 — 定义为哈密顿算子与张量P 的左向内积：
ei′ = α ij ei′
α isα js = α siα sj = δ ij
ai′ = αij a j a j = α ji ai′
′ = αisα jt pst pij ′ pij = αsiαtj pst
1.5 张量初步
1.5.5 二阶张量
⎛ p11 ⎜ {pij } ↔ ⎜ p21 ⎜p ⎝ 31 p12 p 22 p32 p13 ⎞ ⎟ p 23 ⎟ p33 ⎟ ⎠
+
p11 p31
p11 p12 ⎞ ⎟− p =0 + p33 p21 P22 ⎟ ⎠ p13
由根与系数的关系得知: —— 二阶张量的三个不变量 ——
I1 = p11 + p22 + p33 =λ1 +λ2 +λ3

高等流体力学--无粘性不可压缩流体的无旋运动 ppt课件

高等流体力学--无粘性不可压缩流体的无旋运动 ppt课件

ppt课件
5
第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组
不可压缩的假设：
❖ 在自然界通常的条件下，流体(液体和气体)的运 动速度较低，压缩性的影响可以忽略。
❖ 可把液体和低速气体近似作为不可压缩流体。
无旋的假设：
❖ 涡保持性定理指出，在一定条件下(体力有势、 正压、无粘性)，如果在流体中初始时刻没有涡 量的话，以后就永远不能具有涡量。
关于速度势函数的说明：
• 速度势满足拉普拉斯方程的条件： 2 0 (1) 流动无旋；(2) 流体不可压。
• 对于粘性不可压缩流体，如果运动无旋，则也 存在速度势函数，且同样满足拉普拉斯方程， 但边界条件要发生变化。(什么变化？)
• 速度势满足拉普拉斯方程与流动是否定常无关； 对于非定常流动，时间 t 在方程中以参数的形 式出现。
• 在原基本方程组中，速度与压强耦合，引 入速度势函数后，基本方程组转化为只需 求解速度势就可以了，成为一个纯数学问 题；在求得速度势和流动速度后，代入运 动方程即可求解压强。
ppt课件
9
第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组
二、速度势函数
压强的求解：
正压
体力势
函数
对于正压和体力有势流体，当流动无旋时， 存在拉格朗日积分：
rotv 0
v x, y, z,t
divv 0
v
2 0
代入不可压 流体连续性
方程
ppt课件
拉普拉斯方 程
8
第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组
2 0
v
引入速度势函数的意义：
二、速度势函数
Dv Dt

Fb

1
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uuj uuj p(u , uj )duduj i i i i


1）同一点上的两脉动速度相关系数（correlation coefficient）
Qij u ( x , t )uj ( x , t ) i
Rij
Qij u 2 uj 2 i
北京工业大学市政学科部——马长明 高等流体(水）力学讲稿
6
第四讲
紊（湍）流运动基础
二、基于统计理论的紊流运动方程
1、基本统计量 对不可压缩流动问题，基本未知量ui，p可认为是具有一定统计规律 的随机变量，即：可表示为
ui ui u i
p p p
其中上划线表示平均值，上ui’ 、p’表示脉动值，称为“涨落” （Fluctuation）。 （1）系综平均与时间平均 1）系综平均（ensemble average）
空间相关图示
R22 (r ) g (r )
u ( x1 )u ( x1 r ) 2 2
u 2 2
f(r) 、g(r )曲线
其中f(r) 、g(r) 存在关系
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
4
第四讲
紊（湍）流运动基础
（4）充分发展的紊流研究 紊流的发生：剪切层的存在—产生涡。（剪切层的类型图示）
对充分发展的紊流研究分类： 1）自由剪切紊流：剪切层由流速间断面引起，紊动发展 不受边壁的限制； 2）边壁剪切紊流：剪切层由边壁附着引起，紊动发展受 边壁限制。 3）均匀各向同性紊流：作为理论研究的假想模型。流动 中无速度梯度，也无剪切应力。
u i 0 x i
可得：
ui 0 x i
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紊（湍）流运动基础
ui ui 1 p 2 ui uj fi t x j x i x j x j
（2）雷诺平均运动方程（RANS）
由N-S方程：
稳定流动性图示
（3）紊流是否有规律—紊流结构的实验研究 1）壁面剪切紊流的拟序结构（Quasi-order Structure） 猝发（Burst）过程：低速带，上升马蹄涡，喷射，清扫。
拟序结构图片
拟序图示1 轴对称射流
拟序图示2 尾流
2）自由紊流的相干结构（Coherent Structure）
二维差混合层
u ( x, t )
ui ( x, t )
i
N
N
p( x , t )
pi ( x , t )
i
N
N
系综平均测定
系综测定概率密度
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1 t T / 2 1 t T u ( x, t ) udt udt t T / 2 T T t
可得紊流动能方程
u k k uj uuj i i t x j x j x j Ck Pk
式中： Ck：紊动动能的随体导数，称为传输项； Pk：雷诺应力与平均流速梯度的乘积，称为产生项； Dk：是一种梯度表示，称为扩散项； ε：是速度脉动量的平均值，称为耗散项。
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1 k uu i i 2
puj k u u i i k uj x j x j x j Dk
1 引入紊流动能： k uu ; i i 2
进行时均运算，可得RANS： ui ui ui 1 p 1 uj fi ( uuj ) i t x j x i x j x j
（3）紊流脉动运动方程
紊流脉动量运动方程：
剪应力比较图
将N-S方程与RANS相减可得紊流脉动量运动方程
u u u u 1 p 1 i i j i uj u ( i uuj uuj ) i i t x j x j x i x j x j
从紊流频谱图可以看出：完全发展的紊流是具有： 宽频带，连续谱扰动的完全不规则流动。 紊流发展过程图释
紊流发展过程图片
可以归结为： （1）层流：满足N-S方程，在给定定解条件下有确定性解。 （2）过渡初始阶段：出现时间（空间）上的周期性扰动。 （3）过渡过程的发展阶段：出现多种周期的窄带扰动，规 则性流动逐渐破坏。 （4）紊流：宽频带，连续谱扰动的完全不规则流动； 紊流运动是实验不能完全再现的随机运动，同 样的定界条件将给出不同的众多解。
Q Ei u 2 i
2）同一点上同一脉动速度在不同时刻的相关——时间相关系数
QEi u ( x, t )u ( x, t ) i i
Rij ( x, r )
REi
3）不同点上两脉动速度的相关——空间相关系数
Qij ( x , r ) u ( x )uj ( x r ) i
Re
与来流的紊动度及环境扰动有关。 临界雷诺数： Re , c 2300
Ud
雷 诺 实 验
实验说明，随着雷诺数的增大，流动的发展过程： （1）层流 （2）过渡阶段 （3）紊流
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紊 流 频 谱 图
2、紊流的时间序列和频谱分析
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紊、发展物理机理和结构。 应用上要求回答：紊流的平均流场、阻力、能耗与扩散的定量确定。 （1）N-S方程是否能用于描述紊流运动？ （2）紊流的发生——流动稳定性研究（仅有几个线性流动解） 在给定边界条件的小扰动值下，求解线性化后的N-S方程，对不同的 雷诺数，由扰动是否衰减，来确定临界雷诺数。
N 概率分布函数： F (ua ) P ( u ua )
a
b
N
概率密度： p( u)
1 (u u ) 2 exp[ ] 高斯分布密度（正态分布）： p(u) 2 2 2
5）速度概率密度 p（x）、速度期望值与速度平均值
dF du
u ( x, t ) E u up(u)du
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5、充分发展紊流特性
对紊流还没有准确的、统一公认的定义。 简单的说：不规则的、随机的三维非恒定有旋运动。 紊流具有下述特性 （1）不规则性； （2）扩散性：动量、能量、浓度、温度的扩散，由紊动产 生的扩散能力远远大于分子扩散能力。 （3）三维有涡性。组成涡的尺度范围很大，小尺度涡趋于 各向同性，大尺度涡是各向异性的。 （4）耗能性：大尺度涡从主流中获得能量，小尺度涡耗散 掉这些能量。 （5）连续性； （6）大雷诺数。 紊流是由各种不同尺度的大小涡旋组合而成的复杂运动。
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本讲主要内容
一、紊流现象及特征
二、基于统计理论描述的紊流运动方程
三、紊流统计理论与紊流模式理论简介
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一、紊流现象及特征
1、雷诺实验
1883年雷诺进行了著名的实验，证实了流动的两种形态， 层流与紊流（湍流）（Turbulent Flow）。 流动形态与雷诺数有关，
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（5）紊流动能方程
对雷诺应力输运方程进行指i，j标收缩运算，可得：
uu uu ui p u i i i i i uk 2uu 2 i k t xk xk xi Cii xk Pii ii pu uu 2 u u k i i i i uu 2 ui i k xk xk xk Dii E ii
恒定紊流运动
2）时间平均（time-average）
3）系综平均与时间平均的关系
随机理论证明：当随机过程属于平稳过程（Stationary Process），则各态遍 历（Ergodic），系综平均值可用时间平均值代替。 4）速度分布的概率、概率分布函数与概率密度 概率： P ( u u u ) lim n
Qij ( x, r ) u 2 ( x ) uj 2 ( x r ) i
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2、紊流时均运动方程（对不可压流动）
（1）连续方程 ui 0 x i 时均运算：
ui ( ui u ) i 0 x i x i
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（2）紊流运动的比尺
紊流模型—均匀各向同性紊流。 1）脉动速度空间相关系数的表示 对均匀各向同性紊流，空间相关系数Rij（x，r）=Rij（r）中 仅有两个独立量，即：
R11 (r ) f (r ) u1 ( x1 )u1 ( x1 r ) u1 2
边界层中能量 各项平衡图示
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三、紊流统计理论与模式理论简介
紊流的研究主围绕对雷诺应力或各阶相关量的确定展开。 一百多年理论研究沿着两条不同的路线进行： 一种采用统计方法，侧重研究紊流机理，称为紊流统计理论； 另一种引入不同的经验假设，侧重解决工程实际问题，称为紊流模式理论。 1980年以后，随着计算计术的发展，N-S方程的直接数值模拟（DNS）及大 涡模拟（LES）得到蓬勃发展。