江苏省兴化市高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案

高中数学青年教师基本功考核笔试试题（含答案）考试时间：60分钟 满分：100分一、选择题：（每题6分，共30分）1. 已知符号函数，则函数的零点个数为1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2()sgn(ln )ln f x x x =- ( )（A ）． （B ）． （C ）． （D ）．43212. 已知单位向量α，β，满足(α＋2β)(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为 （）⋅（A ） （B ） （C ） （D ）13-1312153. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且，222b a ac c =-+，则90C A -=︒cos cos A C =（ ）（A ）（B（C ） （D ）4141-4. 函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为( )⎩⎨⎧≤≤+-<≤-+=)20(2)02(2)(2x x x x x f x (A).(B). (C). （D ）. 326+234+3246+2234+5．某单位安排7位员工在2012年1月22日至1月28日（即今年除夕到正月初六）值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有（）（A ）504种（B ）960种（C ）1008种（D ）1056种二、填空题：（每题6分，共30分）6．抛物线的准线为，点在圆上，设抛物线上28y x =l Q 22:68210C x y x y ++++=任意一点到直线的距离为，则的最小值为．P l m ||m PQ +7. 已知，，，，，322322=+833833=+15441544=+t at a66=+（a,t 均为正实数），类比以上等式，可推测a ，t 的值，则 .=+t a 8. 函数的定义域为 ，值域为()f x =+_________。

9. 已知是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足()x f R b a ∈,(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n nf f f ab af b bf a f a n N b n N n **=+==∈=∈ 下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列)1()0(f f =)(x f {}n a 为等差数列．其中正确的是．{}n b 10. 如下图所示，已知点F 的坐标为（3，0），点A B ，分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点．设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：355d x =-（05x ≤≤），给出以下四个结论：①3OB =；②5BF =；③5OA =；④2AF =．其中正确结论的序号是 ．第10题图三、解答题：（本大题共40分）11．（本小题满分20分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1.a 2（1）证明: PA ⊥平面ABCD ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的大小； （3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC？若存在，指明F 的位置并证明你的结论。

2023年兴化市教师考试真题及答案（满分100分时间120分钟）【说明】1.遵守考场纪律，杜绝违纪行为，确保考试公正；2.请严格按照规定在试卷上填写自己的姓名、准考证编号；3.监考人员宣布考试开始后方可答题；4.监考人员宣布考试结束时，请将试题、答题纸和草稿纸放在桌上，待监考人员收取并清点完毕后方可离开考场。

一、单选题（每题只有一个正确答案，答错、不答或多答均不得分）1.教师公正的核心是（）。

A.对同事公正B.对自己公正C.对上级公正D.对学生公正【答案】：D2.教师职业道德在全社会道德体系中处于（）和主干地位。

A.主导B.首要C.核心D.重要【答案】：C3.指导学生的日常交往属于（）。

A.学习指导B.生活管理C.学习管理D.生活指导【答案】：D4.热爱学生是现代教师必备的（）。

1/ 10A.教育理论素质B.思想政治素质C.职业道德素质D.职业技能素质【答案】：C5.教学最重要的目标是使学生将获得知识、技能和行为方式有效地用于解决新的问题，这是指要促进学生的（）。

A.形成表征B.学习迁移C.操作D.理解【答案】：B6.教师的教育专业素养除要求具有先进的教育理念、良好的教育能力外，还要求具有一定的（）。

A.管理能力B.研究能力C.交往能力D.学习能力【答案】：B7.《学记》中提出的“杂施而不孙，则坏乱而不修”的主张对应的教学原则是（）。

A.因材施教原则B.循序渐进原则C.巩固性原则D.启发性原则【答案】：B8.下列关于GDP说法错误的是（）。

A.GDP是一个地域概念B.GDP是一定时期内（往往为一年）所生产或销售掉的最终产品价值，不包括服务C.GDP即国内生产总值D.GDP是一个时期内生产活动的最终成果，中间产品价格不计入GDP【答案】：B9.“桑之未落，其叶若沃。

”出自：（）2/ 10A.《小雅·采薇》B.《王风·黍离》C.《卫风·氓》D.《小雅·鹿鸣》【答案】：C10.下列选项中，不能根据领导人的授意而直接表述主题的公文文种是（）。

高三教师基本功联考大赛试题新高考(全国版)本卷共35题，满分255分一、选择题。

(本大题共11小题，每题5分，共55分，在每小题给出的四个选项种，只有一个选项符合要求)1. 已知复数z =a +bi a >0,b >0 满足z 2+z =z =3，则z 3+9z3的值为()(A).33(B).9(C).39(D).422.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1a >b >0 与圆M ：x 2+y -b 2=b 2，且直线l ：y =kx +m k ,m >0 与圆M 及椭圆C 均相切．若k ∈3,43 ，则椭圆C 离心率的取值范围为()(A).10515,63(B).10521,104(C).5618,34 (D).305,323.某同学进行一项投篮测试，若该同学出现连续三次投篮成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则未通过测试．已知该同学每次投篮的成功率均为23，则该同学通过测试的概率为()(A).23(B).1627(C).2542(D).32514.已知平面向量a ，b ，c 满足a =1，a +b =2，a -c =3，则b ⋅c 的取值范围为()(A).-12,6(B).-12,4(C).-10,6(D).-10,45.已知函数f x =x +1e x -1-x -1,x ∈-1,1 f 12x-32 ,x >1，若对于任意的非零实数k ，方程f x =kx +b 恒有且只有一个实数解，则b 的取值范围为()(A).-∞,1-e 2 ∪1+e 2,+∞(B).-∞,2-2e 2 ∪8,+∞(C).-∞,-2e 2 ∪10,+∞ (D).-∞,-e -e 2 ∪2e +1,+∞6.已知点P ，Q 分别为曲线C ：x 2+y 2+xy =8与圆M ：x -2 2+y 2=r 2r >0 上的动点，若存在点P ，Q ，使得三角形POQ 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则r 的取值范围为()(A).783,42+2(B).46-63,42+2(C).46-63,38 (D).783,38 7.已知函数f x =2x ，g x=-x +m m <22 ，定点A 0,2 ，直线y =a 与函数f x 和g x 的图象分别交于B ，C 两点，若AB +BC ≥10对任意a >0恒成立，则实数m 的取值范围为()(A).-∞,0(B).-∞,-2(C).-∞,-4(D).-∞,-68.已知函数f x =ln x +12ex 2-ax 存在两个极值点．若对任意满足f x 1 =f x 2 =f x 3 的x 1，x 2，x 3x 1<x 2<x 3 ，均有f e x 1<f e x 2<f e x 3，则实数a 的取值范围为()(A).2e ,e(B).2e ,2+1e(C).2e,1+1e(D).2e,2+1e9.已知△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C ，则1sin A +1sin B -1sin C的最小值为()(A).333(B).11(C).27(D).35210.量子计算机是一类遵循量子力学规律进行高速数学和逻辑运算、存储及处理量子信息的物理装置．我国中国科学技术大学研究团队构建的62比特超导处理器“祖冲之号”，是世界范围内公开发表的首个比特数超过60的超导量子计算机领域的成果，并入选2021年度中国科学十大进展．量子比特是量子信息的计量单位，如果用0，1表示二进制数各位上的数字，那么一个量子比特可同时表示0，1两个状态，而两个量子比特可同时表示00，01，10，11四个状态，三个量子比特可同时表示000，001，010，011，100，101，110，111八个状态．若用x 表示不小于x 的最小整数，若要同时表示n n ∈ℕ* 个状态，则需要的量子比特数至少为()(A).log 2n +1 (B).log 2n +1 +1(C).log 2n(D).log 2n +111.“康威生命游戏”是由普林斯顿大学的教授约翰⋅何顿⋅康威(John Horton Conway )设计的一款计算机程序．程序界面是一个无限大的网格，程序开始时，在每个方格中放置一个生命细胞，每个生命细胞只有“生”或“死”两种状态，用黑色方格表示该细胞为“生” ，白色方格(空格)表示该细胞为“死” ，初始状态每个细胞随机地设定为“生”或“死”，然后根据一定的规则计算出下一代每个细胞的状态，画出下一代细胞的生死分布图，再计算出下一代每个细胞的状态，画出下一代细胞的生死分布图，以此类推．每个细胞迭代后的状态由该细胞本身的状态及周围8个细胞的状态所决定，规则如下表所示：当代细胞状态生生生死死周围存活细胞数0 或 12 或 3>33≠3迭代后细胞状态死生死生死若某种初始状态迭代了若干代(包含一代)之后能够回到初始状态，则称该初始状态具有周期性，则下列四种初始状态中(图中末画出的网格外侧均视为空格)，具有周期性的初始状态的个数为()(A).1(B).2(C).3(D).4二、选择题。

（考试时间120分钟 满分200分）姜堰市教研室命制一、 基础知识（30分）1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家 和费马做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。

2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子 提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的大致意思是 。

3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的 函数()f x 都可以化成sin()a x θ+或者cos()a x θ+的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。

4、《江苏省2010年高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、 这五个能力。

5、《江苏省2010年高考说明》对知识的考查要求依次为了解、理解、 三个层次（分别对应A 、B 、C ）6、《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、 。

二、 解题能力（90分）1、函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为 。

2、设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = ．3、已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是_______________．4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)的汽车大约有 辆．5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是 ．6、已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段PQ 长度的最小值为7、(本题满分15分)试证明定理：在空间，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

频率第4图第5图8、(本题满分15分)△ABC 中，BC=10，AB=c ，AC=b ，∠ABC=θ，()tan ,1m B =，()1tan ,1tan n C C =-+ 且m n ⊥（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）①试用θ（不含b ，c ）表示△ABC 的面积()f θ；②试用b ，c （不含θ）表示△ABC 的面积(),g b c ；（Ⅲ）求△ABC 面积的最大值．9、(本题满分15分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f (x )=1-ax 2 (a >0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线切于点P ，设(,())P t f t （Ⅰ）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ； （Ⅱ）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t10、(本题满分15分) 将曲线xy C 1:=绕原点逆时针旋转 45得曲线'C ，分别运用中学选修4-2矩阵变换、选修4-4坐标系与参数方程的知识，求曲线C '的方程。

高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案江苏省兴化市周庄高级中学教育教学研究室江苏省兴化市教育局教研室数学试卷(考试时间为150分钟，满分150分．)本卷由三部分组成；解题研究；试题命制；教学设计．1．解题研究本题满分40分(问题1为必答题，问题2、问题3两题任选一题做答，每题满分20分)．1．1．错因分析学生在学习中，总会产生错误，错误往往是正确认知的前兆，这正是失败乃成功之母，所以教师要珍视学生学习中的错误，并以此为契机，培养学生的批判性思维，发展思维能力．写出学生解决下面问题有可能出现的典型错误，并分析产生错误的根本原因(至少分析两个典型错误)，最后请您给出本题的正确解答．问题1：求函数y＝sin（-3x+π/4）(x∈的单调递减区间．1．2．总结策略教学目的之一是为了让学生掌握思考问题和解决问题的方法，当学生面临一个新的情境下的问题时总要联想，把以往获得的方法再加工迁移到新的问题上，因此有教育家提出了为“迁移而教”的口号，为了实现“迁移”就必须对学习加以总结概括，总结概括得越精当，越有利于“迁移”的产生，从而能够迅速地解决新问题．解下列问题，完成后请您总结解决该类“恒成立”问题的解题策略．问题2：已知c>0，设P：函数y=Cx在R上单调递减；Q：不等式x+∣x-2c∣>1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求C的取值范围。

1．3 探究拓展著名数学家、教育家波利亚说过，解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈．在解题中，当您解完了一道题，可以借助如，类比，(1)类比推理：根据两种事物在某些方面属性的相似，推想此两种事物在其他一些方面的属性也相似；(2)方法类比：将处理某种事物卓有成效的经验或方法移植到处理与其相似的另一事物上，以及其他一些科学思维策略和数学思想方法，对问题进行探索与拓展，从而解决一类问题，发展思维能力。

完成下面一道题后，根据探索的要求进行探索与拓展。

青年教师基本功比赛解题赛化学科试题参考答案及评分标准本卷可能需要的相对原子质量:Ca 40 Mg:24 Na:23 O：16 H ：1 N：14 C：12 S:32一、选择题(本题共8小题，每小题有一个或二个选项符合题意。

错选、多选不给分。

有二个答案的，只选一个且正确，给1分。

每小题3分，共24分1、小丽在复习单质、氧化物、酸、碱、盐性质时，用铁、氧化铜、稀硫酸、氢氧化钠溶液、硫酸铜溶液五种物质，构建了如右图所示的知识网络图（图中短线“—”表示相连的两种物质能在一定条件下发生反应）。

下列有关说法不正确( A ．甲物质一定为NaOH 溶液 B ．戊物质一定为CuOC ．丙和丁的反应一定属于置换反应D ．乙物质可以使紫色石蕊溶液变红2、在 pH 为12的无色水溶液中可能大量存在的离子组是（）A ．MnO 4-、Cl -、Na +、K +B ．K +、CO 32-、Ca 2+、NO 3-C ．Cl -、K + 、SO 42-、Na +D ．K +、Cl -、Mg 2+、Na +4、在FeSO 4和CuSO 4的混合溶液中加入一定量锌粉，充分反应后得到一定量固体。

过滤后向固体中加入少量稀硫酸，有气泡产生。

对固体成分的说法正确的是（）①一定含有Zn ②一定含有Fe ③一定含有Cu ④可能含有Zn ⑤可能含有FeA ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．①②④5、右图1是甲、乙两种物质的溶解度曲线。

20℃时，向两支试管中加入等质量的甲、乙两种固体物质，分别加入10 g水，使其充分溶解，观察到如图2所示的现象。

下列说法不正确．．．的是（） A ．20℃时，乙溶液可能是饱和溶液 B ．图1中b 表示甲物质的溶解度曲线C ．升高温度可使两试管中甲、乙溶液溶质的质量分数均增大D ．降低温度后，甲溶液溶质的质量分数一定减小6、一定量的木炭在盛有氮气和氧气混合气体的密闭容器中燃烧后生成CO 和CO 2，且测得反应后所得CO 、CO 2、N 2的混合气体中碳元素的质量分数为24%，则其中氮气的质量分数可能为（） A ．10% B ．30% C ．50% D ．70%7、下列解释不科学的是（）A ．在溶洞中，水中溶解的Ca(HCO3 2发生分解，析出固体（在洞顶或洞底），日久天长便形成了钟乳石B ．长期盛放NaOH 溶液的试剂瓶不易打开，是因为NaOH 与瓶中的CO 2反应导致瓶内气压小于瓶外大气压的缘故C ．“通风橱”是利用排风扇将橱内废气直接排放到室外的装置，它是一种不完善的防污设施D ．高压氧舱可治疗煤气中毒，原因是和血红蛋白结合的CO 跟氧气反应生成无毒的CO 2 8、0.76 g某物质R 与0.96 gO 2恰好完全反应，化学方程式为：R + 3O 2 XO 2 +2SO2。

高中青年教师基本功比赛试题高中青年教师基本功比赛试题高中青年教师基本功比赛试题1．高中数学课程性质是什么？高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。

高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。

高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。

高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。

同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。

2．高中数学课程的基本理念有哪些？答：构建共同基础，提供发展平台；提供多样课程，适应个性选择；倡导积极主动、勇于探索的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”；强调本质，注意适度形式化；体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的整合；建立合理、科学的评价体系。

3．高中数学课程设置的原则与意图是什么？必修课程内容确定的`原则是：满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。

选修课程内容确定的原则是：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学修养奠定基础。

其中，4．《高中数学课程标准》关于“三维目标”中的“知识与技能”所涉及主要的行为动词有哪些？答：（1）知道/了解/模仿：了解，体会，知道,识别，感知，认识，初步了解，初步体会，初步学会，初步理解，求（2）理解/独立操作：描述，说明，表达，表述，表示，刻画，解释，推测，想像，理解，归纳，总结，抽象，提取，比较，对比，判定，判断，会求，能，运用，初步应用，初步讨论。

（3）掌握/应用/迁移：掌握，导出，分析，推导，证明，研究，讨论，选择，决策，解决问题5．《高中数学课程标准》关于“三维目标”中的“过程与方法” 所涉及主要的行为动词有哪些？答：（1）经历/模仿：经历，观察，感知，体验，操作，查阅，借助，模仿，收集，回顾，复习，参与，尝试（2）发现/探索：设计，梳理，整理，分析，发现，交流，研究，探索，探究，探求，解决，寻求6．《高中数学课程标准》关于“三维目标”中的“情感、态度与价值观” 所涉及主要的行为动词有哪些？答(1)反应/认同:感受，认识，了解，初步体会，体会(2)领悟/内化:获得，提高，增强，形成，养成，树立，发挥，发展7.高中数学课程的总目标是什么？答：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

ABCD 兴化市高中数学青年教师解题比赛试卷(考试时间：150分钟 满分：160分) 2011年9月25日一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在各题的相应的横线上．1．若ABC ∆的内角,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B 的值为 ． 2．已知()y f x =是定义在R 上的函数，且(2)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =图象关于直线 对称．3．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若3620a a +=，则63S S 的值是 ． 4．若函数()2x x f x e e -=+定义域是[0,1]，则函数()f x 的值域是 ． 5．设2121221021)1(x a x a x a a x ++++=- ，则a a 1011+的值为 ． 6．已知x 是实数且2,3x ≠．若11min{,}|2||3|S x x =--，那么max S = ．7．设123,,,,nA A A A⋅⋅⋅是空间中给定的(3)n n ≥个不同的点，则使1230n MA MA MA MA +++⋅⋅⋅+=成立的点M 的个数为 ．8．如图，直线MN 过ABC ∆的重心G ，且,AM mAB AN nAC ==（其中0,0m n >>)，则mn 的最小值是 ．(第8题图) (第9题图)9．如图，在四面体D ABC -中，DA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，1DA AB BC ===，则四面体D ABC -的外接球的表面积为 ．Read xIf x >0 Then2011y x ←+Else2011y x ←-End If Print y (第11题图)10．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为 ．11．如图，是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数列12010n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(*)n N ∈ 中的前10000项，则输出y 值中的最小值为 ．12．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过坐标原点的直线交椭圆于A P ,两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，若 PB PA ⊥，则椭圆的离心率为__ ．13．设函数32()23(1)61f x x a x ax =-+++，当[]1,3x ∈时，()f x 的最小值为5，则实数a 的值 ．14．设正实数,,x y z 满足21x y z ++=，则19()x yx y y z++++的最小值为 ．DC 1A 1B 1CBA二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2B C b ==．（1）求cos A 的值；（2）求cos(2)4A π+的值．16．（本小题满分14分）如图,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点，12A A AB ==,3BC =.（1）求证：1//AB 平面1BC D ； （2求四棱锥11-B AAC D 的体积．17．（本小题满分14分）如图，点A （非顶点）为抛物线),0(22>=p px y 上任一点，F 是抛物线的焦点．求作抛物线在点A 处的切线，并证明．18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项为1，记1212()k nn n k n n nf n a C a C a C a C =+++++ ()n N +∈. （1）若{}n a 为常数列，求(4)f 的值；（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式；（3）数列{}n a 能否成等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立?若能，求出数列{}n a 的通项公式；若不能，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知Ra∈，函数axxxf-=)(，（1）当a=2时，写出函数)(xfy=的单调递增区间；（2）求函数)(xfy=在区间[]2,1上的最小值；（3）设0≠a，函数)(xf在),(nm上既有最大值又有最小值，请分别求出nm、的取值范围（用a表示）．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈）， 将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ．（1）求1234,,,c c c c ；（2）求证：在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ； （3）求数列{}n c 的通项公式．EODC 1A 1B 1CBA兴化市高中数学青年教师解题比赛参考答案1．1116； 2．1x =； 3．12； 4．2]e e+； 5．0； 6．2； 7．1； 8．49； 9．3π； 10．25； 11．2011； 12； 13．2； 14．7．15．解：（1）由,2B C b ==，可得2c b a ==，所以222222331cos 23a a a b c a A bc +-+-===．（2）因为1cos ,(0,)3A A π=∈，所以sin 3A ==27cos 22cos 19A A =-=-，sin 22sin cos 9A A A ==所以7cos 2cos 2cos sin 2sin 4449292A A A πππ⎛⎫⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 16．（1）证明:连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△1ABC 的中位线, ∴ 1//OD AB . ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D .（2）解法1：∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,EODC 1A 1B 1CBA∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =. 作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， ∵12AB BB ==，3BC =， 在Rt ABC ∆中，AC ===AB BC BE AC ⋅==， ∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+⋅⋅126=3=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3.解法2：1⊥AA 平面ABC ,AB ⊂平面ABC ，∴1⊥AA AB . ∵11//BB AA , ∴1BB ⊥AB .∵1,AB BC BC BB B ⊥= ， ∴AB ⊥平面11BB C C .取BC 的中点E ,连接DE ,则1//,2DE AB DE AB =， ∴DE ⊥平面11BB C C . 三棱柱111-ABC A B C 的体积为1162V AB BC AA =⋅⋅⋅=， 则1111111326D BC C V BC CC DE V -=⨯⋅⋅⋅==，111111111112323A BBC V B C BB A B V -=⨯⋅⋅⋅==. 而V =1D BCC V -+111A BB C V -+11B AA C D V -,∴6=12+11B AAC DV -+. ∴113B AA C D V -=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3.17．解：作法一：以抛物线的焦点F 为圆心，以|F A |为半径画弧与抛物线的对称轴交于一点B ，且点B 在顶点O 的左侧，则直线AB 就是抛物线在点A 处的切线．证明：抛物线的焦点F 的坐标为（0,2），设A （00,y x ），则|F A|=20px +，从而B （0,0x -），故过点A 、B 的直线方程为)(200x x x y y +=（*） 利用方程0202px y =将方程（*）整理得00()y y p x x ⋅=+，此方程即为抛物线在点A 处的切线点方程．作法二：过A 作y 轴垂线，交y 轴于D 点，在x 轴上截取BO DA =，且点B 在顶点O 的左侧，连BA ，则直线BA 为所求作的切线．证明同上．18．解:（1）∵{}n a 为常数列，∴1n a =()n N +∈.∴12344444(4)15f C C C C =+++=.（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，∴12n n a -=()n N +∈.∴1231()242n n n n n nf n C C C C -=++++ ， ∴1223312()12222n n n n n nf n C C C C +=+++++ ，(12)3nn+=， 故31()2n f n -=.（3）假设数列{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，设公差为d ，则121121()kn nn n k n n nn nf n a C a C a C a C a C --=++++++ ， 且121121()n n k n n n n k n n nf n a C a C a C a C a C --=++++++ ， 相加得 121112()2()()k n n n n n n n f n a a a C C C C --=+++++++ ， ∴12111()()2k n n n n n n n a a f n a C C C C --+=++++++11(22)2nn n a a a -+=+-[]11(1)2(2)(21)n n d n d -=+-++--. ∴[]1()1(2)2(2)2n f n d n d --=-++-(1)2n n =-恒成立， 即02)2)(2()2(1=--+--n n d d n N +∈恒成立，∴2d =.故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，它的通项公式为21n a n =-. （也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分） 19．解：（1）当2=a 时，=-=|2|)(x x x f ⎩⎨⎧<-≥-2),2(2),2(x x x x x x由图象可知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）（开区间不扣分）（2）当1<a 时，12,4)2()()(22<--=-=aa a x a x x x f ∴a f x f -==1)1()(min当21≤≤a 时，0||min =-a x ，∴0)(min =x f当2>a 时，（Ⅰ）当32≤<a 时，42)2()(min -==a f x f（Ⅱ）当3>a 时，1)1()(min -==a f x f∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤<-=3,132,4221,01,1)(mina a a a a a a x f （3）⎩⎨⎧<-≥-=ax x a x ax a x x x f ),(),()(①当0>a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-==)(42a x x y a y 得2)12(a x += ∴20am <≤，a n a 212+≤< ②当0<a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(42x a x y a y 得a x 2)21(+= ∴a m a <≤+221， 02≤<n a ．20．解：（1） 12349,11,12,13c c c c ====； （2） ① 任意*n N ∈，设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即2132n n a b --=．② 假设26627n k a n b k =+==+⇔*132k n N =-∈（矛盾），∴ 2{}n n a b ∉． ∴ 在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ． （3） 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+，∵ 63656667k k k k +<+<+<+，∴ 当1k =时，依次有111222334,,,b a c b c a c b c =====，……∴ *63(43)65(42),66(41)67(4)n k n k k n k c k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩．EODC 1A 1B 1CBA兴化市高中数学青年教师解题比赛参考答案1．1116； 2．1x =； 3．12； 4．2]e e+； 5．0； 6．2； 7．1； 8．49； 9．3π； 10．25； 11．2011； 12； 13．2； 14．7．15．解：（1）由,2B C b ==，可得2c b a ==，所以222222331cos 23a a a b c a A bc +-+-===．（2）因为1cos ,(0,)3A A π=∈，所以sin 3A ==27cos 22cos 19A A =-=-，sin 22sin cos 9A A A ==所以7cos 2cos 2cos sin 2sin 4449292A A A πππ⎛⎫⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 16．（1）证明:连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△1ABC 的中位线, ∴ 1//OD AB . ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D .（2）解法1：∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,EODC 1A 1B 1CBA∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =. 作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， ∵12AB BB ==，3BC =， 在Rt ABC ∆中，AC ===AB BC BE AC ⋅==， ∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+⋅⋅126=3=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3.解法2：1⊥AA 平面ABC ,AB ⊂平面ABC ，∴1⊥AA AB . ∵11//BB AA , ∴1BB ⊥AB .∵1,AB BC BC BB B ⊥= ， ∴AB ⊥平面11BB C C .取BC 的中点E ,连接DE ,则1//,2DE AB DE AB =， ∴DE ⊥平面11BB C C . 三棱柱111-ABC A B C 的体积为1162V AB BC AA =⋅⋅⋅=， 则1111111326D BC C V BC CC DE V -=⨯⋅⋅⋅==，111111111112323A BBC V B C BB A B V -=⨯⋅⋅⋅==. 而V =1D BCC V -+111A BB C V -+11B AA C D V -,∴6=12+11B AAC DV -+. ∴113B AA C D V -=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3.17．解：作法一：以抛物线的焦点F 为圆心，以|F A |为半径画弧与抛物线的对称轴交于一点B ，且点B 在顶点O 的左侧，则直线AB 就是抛物线在点A 处的切线．证明：抛物线的焦点F 的坐标为（0,2），设A （00,y x ），则|F A|=20px +，从而B （0,0x -），故过点A 、B 的直线方程为)(200x x x y y +=（*） 利用方程0202px y =将方程（*）整理得00()y y p x x ⋅=+，此方程即为抛物线在点A 处的切线点方程．作法二：过A 作y 轴垂线，交y 轴于D 点，在x 轴上截取BO DA =，且点B 在顶点O 的左侧，连BA ，则直线BA 为所求作的切线．证明同上．18．解:（1）∵{}n a 为常数列，∴1n a =()n N +∈.∴12344444(4)15f C C C C =+++=.（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，∴12n n a -=()n N +∈.∴1231()242n n n n n nf n C C C C -=++++ ， ∴1223312()12222n n n n n nf n C C C C +=+++++ ，(12)3nn+=， 故31()2n f n -=.（3）假设数列{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，设公差为d ，则121121()kn nn n k n n nn nf n a C a C a C a C a C --=++++++ ， 且121121()n n k n n n n k n n nf n a C a C a C a C a C --=++++++ ， 相加得 121112()2()()k n n n n n n n f n a a a C C C C --=+++++++ ， ∴12111()()2k n n n n n n n a a f n a C C C C --+=++++++11(22)2nn n a a a -+=+-[]11(1)2(2)(21)n n d n d -=+-++--. ∴[]1()1(2)2(2)2n f n d n d --=-++-(1)2n n =-恒成立， 即02)2)(2()2(1=--+--n n d d n N +∈恒成立，∴2d =.故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，它的通项公式为21n a n =-. （也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分） 19．解：（1）当2=a 时，=-=|2|)(x x x f ⎩⎨⎧<-≥-2),2(2),2(x x x x x x由图象可知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）（开区间不扣分）（2）当1<a 时，12,4)2()()(22<--=-=aa a x a x x x f ∴a f x f -==1)1()(min当21≤≤a 时，0||min =-a x ，∴0)(min =x f当2>a 时，（Ⅰ）当32≤<a 时，42)2()(min -==a f x f（Ⅱ）当3>a 时，1)1()(min -==a f x f∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤<-=3,132,4221,01,1)(mina a a a a a a x f （3）⎩⎨⎧<-≥-=ax x a x ax a x x x f ),(),()(①当0>a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-==)(42a x x y a y 得2)12(a x += ∴20am <≤，a n a 212+≤< ②当0<a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(42x a x y a y 得a x 2)21(+= ∴a m a <≤+221， 02≤<n a ．20．解：（1） 12349,11,12,13c c c c ====； （2） ① 任意*n N ∈，设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即2132n n a b --=．② 假设26627n k a n b k =+==+⇔*132k n N =-∈（矛盾），∴ 2{}n n a b ∉． ∴ 在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ． （3） 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+，∵ 63656667k k k k +<+<+<+，∴ 当1k =时，依次有111222334,,,b a c b c a c b c =====，……∴ *63(43)65(42),66(41)67(4)n k n k k n k c k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩．。

（考试时间120分钟 满分200分）姜堰市教研室命制一、 基础知识（30分）1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家 和费马做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。

2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子 提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的大致意思是 。

3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的 函数()f x 都可以化成sin()a x θ+或者cos()a x θ+的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。

4、《江苏省20XX 年高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、 这五个能力。

5、《江苏省20XX 年高考说明》对知识的考查要求依次为了解、理解、 三个层次（分别对应A 、B 、C ）6、《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、 。

二、 解题能力（90分）1、函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为 。

2、设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = ．3、已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是_______________．4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)的汽车大约有 辆．5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是 ．6、已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段PQ 长度的最小值为7、(本题满分15分) 试证明定理：在空间，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

频率第4图第5图8、(本题满分15分)△ABC 中，BC=10，AB=c ，AC=b ，∠ABC=θ，()tan ,1m B =，()1tan ,1tan n C C =-+ 且m n ⊥（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）①试用θ（不含b ，c ）表示△ABC 的面积()fθ；②试用b ，c （不含θ）表示△ABC 的面积(),g b c ； （Ⅲ）求△ABC 面积的最大值．9、(本题满分15分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f (x )=1-ax 2 (a >0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线切于点P ，设(,())P t f t （Ⅰ）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ； （Ⅱ）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t10、(本题满分15分)将曲线xy C 1:=绕原点逆时针旋转45得曲线'C ，分别运用中学选修4-2矩阵变换、选修4-4坐标系与参数方程的知识，求曲线C '的方程。

高中数学青年教师解题比赛试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷共5页， 满分为150分．考试时间120分钟． 第I 卷（选择题共60分）参考公式：三角函数和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式 2c o s2s i n2s i n s i n φθφθφθ-+=+ ()l c c S +'=21台侧 其中c '、c 分别表示 2sin2cos2sin sin φθφθφθ-+=- 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长2c o s2c o s2c o s c o s φθφθφθ-+=+ 台体的体积公式：()h S S S S V +'+'=31台体 2sin2sin2cos cos φθφθφθ-+-=- 其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填下表中.区（县级市） 学校 考生号 姓名密 封 线 内 不 要 答 题（1）常数T 满足()x x T cos sin -=+ 和()x x T g ctg t =-,则T 的一个值是（ ）．（A ）π- （B ）π （C ）2π-（D ）2π（2）在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ,则1092a a - 的值为（ ）．（A ）24 （B ）22 （C ）20 （D ）8-（3）设点P 对应复数是i 33+,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）．（A）34π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B）54π⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）33,4π⎛⎫-⎪⎝⎭（4）设A 、B 是两个非空集合，若规定：{}B x A x x B A ∉∈=-且,则()B A A --等于（ ）．（A ）B （B ）B A （C ）B A （D ）A （5）函数()x f y =的图象与直线1=x 的交点个数为（ ）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）0或1（6）设函数()()ϕω+=x A x f sin （其中R x A ∈>>,0,0ω）,则()00=f 是()x f 为奇函数的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，∠BAC ＝90°，AC BC ⊥1，过1C 作⊥H C 1底面ABC ，垂足为H ，则（ ）．（A ）H 在直线AC 上 （B ）H 在直线AB 上（C ）H 在直线BC 上 （D ）H 在△ABC 内（8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超1C 1B 1A AB C过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费.则通话收S （元）与通话时间t （分钟）的函数图象可表示为（ ）．（A ） （B ）（C ） （D ）（9）以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相 切的圆的方程为（ ）．（A ）091022=+-+x y x （B ）091022=--+x y x （C ）091022=-++x y x （D ）091022=+++x y x（10）已知()nx 21+的展开式中所有项系数之和为729，则这个展开式中含3x 项的系数是（ ）．（A ）56 （B ）80 （C ）160 （D ）180（11）AB 是过圆锥曲线焦点F 的弦，l 是与点F 对应的准线，则以弦AB 为直径的圆与直线l 的位置关系（ ）．（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）由离心率e 决定 （12）定义在R 上的函数()x f y -=的反函数为()x fy 1-=，则()x f y =是（ ）．（A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）非奇非偶函数 （D ）满足题设的函数()x f 不存在第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上．（13）函数)23(sin ππ≤≤=x x y 的反函数是 ． （14）已知抛物线的焦点坐标为()12，，准线方程为02=+y x ,则其顶点坐标为 ．（15）如图，在棱长都相等的四面体A —BCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，则直线 AF 、CE 所成角的余弦值为 ．（16）甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛，决出了第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你 和乙都没拿冠军”，对乙说：“你当然不是最差的.”请从这个回答分析， 5人的名次排列共可能有 种不同情况（用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）已知复数2cos 2cos 2Ci A u +=，其中A 、C 为△ABC 的内角，且三个内角 满足2B ＝A ﹢C .试求i u -的取值范围.封 线 内 不 要 答 题ABCDEF（18）（本小题满分12分）已知曲线C上的任一点M()y x,（其中0≥x）,到点()02，A的距离减去它到y轴的距离的差是2，过点A的一条直线与曲线C交于P、Q两点，通过点P和坐标原点的直线交直线02=x于N.+（I）求曲线C的方程；（II）求证：N Q平行于x轴.（19）（本小题满分12分） 是否存在一个等差数列{}n a ,使对任意的自然数n ，都有212a a n ⋅…n n n P a 2=.（20）（本小题满分12分）南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点O表示）光线OCD与地面成锐角θ.（I）遮阳棚与地面成多少度的二面角时，才能使遮影△ABD面积最大？（II）当AC＝3，BC＝4，AB＝5，θ＝30°时，试求出遮影△ABD的最大面积.（21）（本小题满分14分）名姓甲、乙、丙三种食物维生素A 、B 含量及成本如下表：千克丙种食物 配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000 单位维生素B .试用x 、y 表示混合物的成本M （元）；并确定x 、y 、z 的值， 使成本最低.（22）（本小题满分14分）定义在()1,1-上的函数()x f 满足：①对任意x 、()1,1-∈y ,都有()+x f ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=xy y x f y f 1；②当()0,1-∈x 时，有()0>x f .证明：（I ）函数()x f 在()1,1-上的图象关于原点对称；（II ）函数()x f 在()0,1-上是单调减函数；（III ）⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛21331131712f n n f f f .()z n ∈高中数学青年教师解题比赛试卷参考答案一、选择题：二、填空题：（13）[]0,1,arcsin -∈-=x x y π （14）⎪⎭⎫⎝⎛2,1 （15）3 （16）54三、解答题：（17）（本小题满分10分） 解：由△ABC 的内角关系2602C A B C B A CA B +=︒=⇒⎭⎬⎫=+++=π， 又()C i A Ci A u cos 1cos 2cos 2cos 2++=+=则22cos 122cos 1cos cos 22CA C A i u +++=+=- ()C A 2cos 2cos 211++= ()C A --=cos 211由()︒<-<︒-⇒⎭⎬⎫︒︒∈-︒=-⇒︒=+12012012002120120C A ，C ，A C C A C A()1cos 21≤-<-⇒C A 从而2522<-≤i u 为所求. （18）（本小题满分12分）（I ）解：由题设知：曲线C 上任意一点M ()y x ,到定点()0,2A 距离等于它到直线2-=x 的距离.由抛物线定义知： 曲线C 的方程为x y 82=…（注：若不限制0≥x ，抛物线C 还可为()00<=x y ,即x 轴负半轴） （II ）证明：①当过点A 的直线P Q 不与x 轴垂直时，斜率PQ K 存在， 设P Q 方程为()2-=x k y由()01682822=--⇒⎩⎨⎧-==y k y x k y x y16-=⇒Q P y y又直线OP 方程为x x y y PP⋅=而点N 在直线OP 上，也在直线2-=x 上()P PP y y y 16282-=-⋅=⎭⎬⎫-=⋅-=⋅1616Q P N P y y y yQ N y y =⇒故NO// x 轴②当过点A 的直线P Q 与x 轴垂直时，结论显然成立 （19）（本小题满分12分）解：若存在一个等差数列{}n a 满足题设，则 1=n 时，有121121=⇒=a P a ；2=n 时，有32224212=⇒=a P a a ； 3=n 时，有523363213=⇒=a P a a a .()2-=⇒PPN x y y（证Q 、N 点纵坐标相等）∴猜想存在这样的一个数列{}n a 的通项为()N n n a n ∈-=12以下用数学归纳法证明：（1）当1=n 时， 11=a 满足12-=n a n （2）假设()N k k n ∈=满足题设， 即k k k k P a a a 22112=+ 成立当1+=k n 时 , 12121122+++⋅=⋅k k k n k k a P a a a a()k k P k 2122⋅+=即()()()()()12125321221212532121+-⋅⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅⋅+k k k k k k ()()()()12212+⋅+++=k k k k k()()()()()21132++++⋅+++=k k k k k k k()112++=k k P则1+=k n 也成立.综上（1）、（2）知12-=n a n 对N n ∈都有n n k n P a a a 2212= 成立.（20）（本小题满分12分）（I ）解：设H 为点O 在地面的射影，连结HD 交AB 于E . 则θ=∠CDE ，且OH ⊥平面ABDAB ⊂平面ABD又AB 是南北方向，CD 是西东方向，则CD ⊥AB⎩⎨⎧⊥⇒⊥⇒CE AB DE AB 在△ABD 中，要使面积最大，只须DE 最大 而△CDE 中，由正弦定理DCE CEDE ∠⋅=sin sin θ.（目标函数中CE ,sin θ均为定值） 所以，当∠DCE ＝90°时DCE ∠sin 最大，则DE 最大，从而θ-︒=∠90CED 时，遮影△ABD 面积最大.（II ）解：当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，AB OH ⊥⇒OHD AB 平面⊥⇒DE 是△ABD 中AB 边上的高且∠CED 是C —AB —D 的平面角.()1252452121max =⋅⋅=⋅⋅=∆DE AB S ABD 为所求. （21）（本小题满分14分） （I ）依题设知：z y x M 4911++= 又y x z z y x --=⇒=++100100代入上式则y x M 57400++=为所求.（II ）由题设得⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x将y x z --=100分别代入①、②得：⎩⎨⎧≥-≥+130316032y x y x 此时y x M 57400++= ()()y x y x -+++=33224001301602400+⋅+≥850=当且仅当⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 即⎩⎨⎧==2050y x 时取等号答：当50=x 千克，20=y 千克，30=z 千克成本最低为850元.（22）（本小题满分14分）证明：（I ）由条件①可取(),1,1-∈-=x y 则()()()0f x f x f =-+再取(),1,10-∈=y 则()()()x f f x f =+0 ()()0=-+⇒x f x f()x f ⇒在()1,1-上图象关于原点对称（II ）令0121<<<-x x由于()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=-212121211x x x x f x f x f x f x f .1121<-<-x x 且()10102121<-<-⇒<-x x x x 及()2211102121<+<⇒<<x x x x则由（1）（2）得0112121<--<-x x x x①② ⇒⇒<<<-01又21x x由条件②知012121>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x f ,从而()()21x f x f >，故()x f 在()0,1-上单调递减函数.（III ）由奇函数的对称性知：()x f 在()1,0上仍是减函数，且()0<x f ※对()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎭⎫⎝⎛++211121112113312n n n n f n n f n n f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-+-+=21112111211112111n f n f n f n f n n n n f 则有⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛331131712n n f f f⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=211141313121n f n f f f f f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121n f f . 由※式知：1210<+<n 时有⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+212121021f n f f n f 故⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛21331131712f n n f f f .条件①。

高中数学专业素养1、在创立解析几何学的过程中，法国数学家 笛卡尔 和费马做出了最重要的奉献，成为解析几何学的创立者。

2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子 祖暅 提出一条原理：“幂势既同，那么积不容异〞这句话的大致意思是 两等高的几何体假设在所有等高处的程度切面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的 叠加 函数()f x 都可以化成sin()a x θ+或者cos()a x θ+的形式，而且周期不变〞的结论，可以解释声波的共振现象。

4、?江苏省2021年高考说明?对数学根本才能的考察主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理 这五个才能。

5、?江苏省2021年高考说明?对知识的考察要求依次为理解、理解、掌握 三个层次〔分别对应A 、B 、C 〕6、?普通高中数学课程标准〔试验〕?简称新课标中提出的三维目的是指：知识与技能、过程与方法、情感、态度和价值观。

1、函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为 。

2、设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,那么a = ．3、y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，那么132+++x y x 的取值范围是_______________． 4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如下图，那么时速在[50,60)的汽车大约有 辆．5、某算法的流程图如以下图所示，那么输出的结果是 ．6、P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，那么线段PQ 长度的最小值为频率第4图8、(此题总分值15分)△ABC 中，BC=10，AB=c ，AC=b ，∠ABC=θ，()tan ,1m B =，()1tan ,1tan n C C =-+ 且m n ⊥〔Ⅰ〕求角A ；〔Ⅱ〕①试用θ〔不含b ，c 〕表示△ABC 的面积()f θ；②试用b ，c 〔不含θ〕表示△ABC 的面积(),g b c ；〔Ⅲ〕求△ABC 面积的最大值．〔Ⅰ〕4π=A 〔5分〕 〔Ⅱ〕θπθθsin )4sin(250)(+=f ，bc c b g 42),(=〔5分〕 〔Ⅲ〕)12(25max +=S 〔5分〕9、(此题总分值15分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如下图)上进展开发建立,阴影局部为一公共设施建立不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f (x )=1-ax 2 (a >0)的一局部,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线切于点P ，设(,())P t f t〔Ⅰ〕将OMN ∆〔O 为坐标原点〕的面积S 表示成t 的函数()S t ； 〔Ⅱ〕假设在12t =处，()S t 获得最小值，求此时a 的值及()S t〔1〕2y ax '=-，切线的斜率为2at -，∴切线l 的方程为2(1)2()y at at x t --=--令0,y =得22221121222at at at at x t at at at--++=+== 21(,0)2at M at+∴,令0t =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+ MON ∴∆的面积222211(1)()(1)224at at S t at at at++=⋅+= 〔7分〕 (2) 2422222321(1)(31)()44a t at at at S t at at+-+-'== 0,0a t >>,由()0S t '=,得2310,at t -==得当2310,at t ->>即时, ()0S t '>当2310,0at t -<<<即时, ()0S t '<,()t S t ∴=当有最小值在12t =处, ()S t 取得最小值,故有14,23a =∴= 故当41,32a t ==时,2min 41(1)1234()()4123432S t S +⋅===⋅⋅ 〔8分〕 1、(,1),(2,)-∞+∞ 2、1 3、[3，9] 4、360 5、5 6、)2ln 1(22+ 1. 数学是研究__现实世界_________和____数量关系_______的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。

射阳县2010年高中数学青年教师基本功大赛笔试试题(一)(考试时间:90分钟；满分:120分)一、基础知识（共10小题，每题3分，计30分）1. 新课程提倡的学习方式有(请列举三个)：(1)_____________________；(2)______________________； (3)______________________________，改变过去的那种单纯接受式的学习方式.2. 新课程的“三维目标体系”是指：(1)________________________；(2)_________________________； (3)_____________________________.3. 请连线:4. 我们常说要重视“数学思想方法”的教学，请列举三个常见的“数学思想”：(1)_________________________；(2)__________________________；(3)________________________.5.《江苏高考说明》的命题指导思想中提出“重视数学基本能力的综合能力的考查”,请你列举三个“数学基本能力”: (1)___________________；(2)_____________________；(3)____________________.6. 我们常说要“数学地思维”，而良好的思维品质是具有一些特性的,请列举其中的三个特性：(1)_______________________；(2)_________________________；(3)_________________________. 7. 数学史上的三次数学危机是指(不必太详细): (1)____________________________________________； (2)_______________________________________；(3)________________________________________. 8. 华罗庚先生在强调“数形结合”的重要性时曾说过的一句话是:“______________________________, ______________________________________.”9. 高中数学选修课程系列4包括10个专题,请列举其中的三个: (1)______________________________； (2)_____________________________________；(3)____________________________________. 10. 波利亚在“怎样解题”表中把数学题的求解过程分为四个阶段，即第一阶段:弄清问题；第二阶段：______________________；第三阶段：______________________；第四阶段：___________________.二、解题能力测试（共5题，每题18分，计90分）11.请建立适当的模型来推导“两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+”.12. 已知一个函数的解析式为2y x =,它的值域为[0,4],这样的函数有多少个?试写出其中两个函数.欧几里德 勾股定理毕达哥拉斯 形式主义数学希尔伯特 《几何原本》学校:_________姓名:_________13.一半径为,水轮圆心O 距离水面2米.已知水轮按逆时针方向旋转,每分钟转动5圈.现在当水轮上点P 从水中浮现时(图中点0P )开始计时.试探究:(Ⅰ)OP 旋转的角速度ω是多少?(单位:弧度/秒)(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,设点P 距离水面的高度z (米)与时间t (秒)的函数关系为()sin()2z f t A t ωϕ==++,其中0A >,而(0)2πϕϕ-<<是以Ox 为始边, 0OP 为终边的角.请写出函数()f t 的解析式；(Ⅲ)点P 第二次到达最高点需要的时间是多少秒?14. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足22222345a a a a +=+, 77S =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； (Ⅱ)试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.15. 已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .(Ⅰ)过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；(Ⅱ)求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为 4的⊙M 的方程；(Ⅲ)设P 为（Ⅱ）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应 的定值；若不存在，请说明理由.第15题第13题。

江苏省兴化市高中数学教师教学能力测试（考试用时：150分钟卷面分值：150分）说明：本卷共四大部分. 不另附答题纸，请在试卷上直接作答.题号一二三四总分评分人复评分人得分第一部分课程与文化下列1～10题为填空题，每空格2分，合计20分，请直接在空格线上填写答案．1．《普通高中数学课程标准》指出，高中数学课程应具有多样性与，使不同的学生在数学上得到不同的发展．2．《数学课程标准》评价建议要求正确评价学生的数学基础知识和基本技能．评价要注重对的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿和复杂技巧．3．《普通高中数学课程标准》中指出数学在形成人类和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用．4．《高考说明》对知识点的考查要求分“了解”、“理解”和“”三个层次．5．《2012年江苏高考说明》中要求的数学基本能力主要包括空间想象、、推理论证、运算求解、数据处理．6．《2012年江苏高考说明》中的8个C级考点分别是：两角和（差）的正弦、余弦及正切，，等差数列，等比数列，基本不等式，一元二次不等式，直线方程，圆的标准方程与一般方程．7．宋元时期是我国数学的鼎盛时期，这一时期我国著名数学家提出了可以通过三角形的三边长计算三角形面积的“三斜求积”公式，这一公式等价于西方的“海伦公式”．8．一般认为，人类历史上最伟大的四位数学家是阿基米德、、高斯、欧拉．9．古代“百鸡问题”，现代机器证明数学定理的“吴方法”，集成电路的布线安排，其中都蕴含着丰富的思想．10．著名美籍匈牙利数学家、教育家G·波利亚所著的《》、《数学的发现》、《数学与猜想》等书，对世界数学教育产生了深远的影响．第二部分 解题能力下列11～18题为解答题，前4题每小题8分，后4题每小题12分，合计80分． 11．如图，直角梯形ABCD 中， AB ∥CD ，AD AB ⊥，E 为腰AD 上一点，若已知2,2==AD AB ，AC BE BC BA ⋅=⋅， 求BE 的长．12．设)(x f 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间]1,1[-上，2,10()2,011x a x f x bx ax x +-≤<⎧⎪=+⎨≤≤⎪+⎩， 其中R b a ∈,，若)23()21(f f =，试求b a +的值．13．在平面直角坐标系中，动圆C 的方程为0822=+-+m x y x ，若直线634=-y x 上D CABE至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，求实数m 的取值范围．14．已知三角形的三边长分别为c b a ,,，且满足b a c a c b 32,32≤+≤+， 求ba ba ++2的取值范围．15．ABC ∆中，已知BC BA C A AB ⋅=⋅3． （1）求证：A B tan 3tan =；（2）若2=AC ，求ABC ∆面积的最大值．POBD E CA16．如图，AB 是圆O 的直径，四边形ABCD 内接于圆O ， PA 垂直于圆O 所在平面，点E 是PD 中点．（1）求证：平面⊥PBC 平面PAC ；（2）试判断OE 是否与平面PBC 平行？若平行，请证明； 若不平行，说明理由．17．已知函数11ln )(-+=xx a x f ． （1）求使0)(≥x f 恒成立的a 值；（2）当2-=a 时，如果对任意的),1[,21+∞∈x x ，有212111)()(x x mx f x f -≥-， 求实数m 的取值范围．………………………装…………………………………………订…………………………………………线…………………………………………………18.（1）若无穷等差数列{}n a 是有界的，求证{}n a 是常数列； （2）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 同时满足：*122,n nn n na b a n N a b ++=∈+，*12,n n n b b a n N +=-∈，且{}n a 是等差数列，求数列{}n a 和{}n b 的通项．第三部分 教材与教法下列19～20题为设计题，每小题10分，合计20分．要求写出完整的设计过程． 19．搭建脚手架，有效突破难点【原题】题1：已知函数)3(log 22++=ax x y 的值域为R ，试求实数a 的取值范围．题2：已知函数)3(log 22++=ax x y 的定义域为R ，试求实数a 的取值范围．以上两题是学生普遍感到困难，不易理解的两道形似质异的问题，请通过设计适当的问题串，帮学生循序渐进的理解这两个问题．20．审题不慎，利用变式辨析【原题】在ABC ∆中，C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知43cos ,2,10===+A A C c a ， 求b 的值． 错解： 由正弦定理得23cos 2sin cos sin 2sin 2sin sin sin =====A A A A A A A C a c ； 由23=a c 及10=+c a 得6,4==c a ， 由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，即b b 936162-+=， 解得4=b 或5=b ．（1）请分析以上解法错误的原因，并给出正确的解法；（2）请针对以上错解提出合理的教学建议，并给出条件变式以示辨析．第四部分 解题研究下列21～23题为教材题目的推广及当年高考题的变式研究，每小题10分，合计30分．推广是数学研究的基本方法之一,是数学发现的工具．数学理论中有许多核心概念是通过推广现有概念而建立的,许多重要定理、公式也是通过对已知结果或命题的推广而发现的． 21. 苏教版必修5教材《数列》一章复习题中有如下一道习题： 【原题】在等差数列{}n a 中，已知)(,q p p S q S q p ≠==，求q p S +．……线…………………………………………………（1）请解答这道习题；（2）请将习题中的结论推广到一般的二次函数，并给出证明．22．苏教版必修4第98页练习题2为： 【原题】已知31cos cos ,21sin sin =-=+βαβα，求)cos(βα+的值． （1）将原题条件推广为：已知n b a m b a =-=+βαβαcos cos ,sin sin ，其中b a ,为非零常数，求)cos(βα+的值．（2）将原题改编成一道三角型求取值范围的问题，并解答．（3）将原题改编成一道代数型求取值范围的问题，不需解答．x y PF 2F 1O AB23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2212x y +=的左、右 焦点分别为12,F F ，,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线 1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（1）求P 点的轨迹方程．（2）在双曲线2212x y -=中有类似的结论吗？请写出你的结论，不需证明． （3）试提出问题（1）的一个逆向问题，不需证明．。