第11章第6讲 几何概型
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第6讲几何概型基础知识整合1．几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的□01长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的两个基本特点2．几何概型的概率公式P(A)＝□04构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1．(2019·大连模拟)在长为6 m的木棒上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是()A.14 B.13 C.12 D.23答案 B解析 将木棒三等分，当P 位于中间一段(不包括两个三等分点)时，点P 到木棒两端点的距离都大于2 m ，∴P ＝26＝13.2．(2019·湖南长沙统一检测)某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为( )A.120B.112C.16D.15 答案 B解析 设距离电台的整点报时还有x 分钟，由题意可得，0≤x ≤60，等待的时间不多于5分钟的概率为P ＝560＝112，故选B.3．(2019·湖南株洲二模)如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的点分别为3335,6665，则图形Ω面积的估计值为( )A.16B.14C.13D.12 答案 C解析 设图形Ω的面积为S ，则由几何概型及题意，得S S 正方形＝S 1×1≈333510000，所以S ≈333510000＝0.3335≈13，即图形Ω面积的估计值为13.故选C.4．(2019·衡水中学调研)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )A.π4 B.π8 C.π6 D.π12答案 C解析设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为4π3×⎝⎛⎭⎪⎫a2 3＝16πa3，故点M在球O内的概率为16πa3a3＝π6.5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________.答案 3解析由题意，知m>0，当0<m<2时，－m≤x≤m，此时所求概率为m－(－m)4－(－2)＝56，解得m＝52(舍去)；当2≤m<4时，所求概率为m－(－2)4－(－2)＝56，解得m＝3；当m≥4时，概率为1，不符合题意，故m＝3.6．(2020·保定调研)在区间[－1,1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x－1的概率是________．答案78解析点(x，y)分布在如图所示的正方形区域内，画出x－y－1≤0表示的区域(图中阴影部分)，可知所求的概率为1－124＝78.核心考向突破考向一与长度有关的几何概型例1(1)(2020·上海模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数k，则直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点的概率为()A.29 B.36 C.13 D.33答案 D解析圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，圆心到直线y＝k(x－2)的距离为|2k|k2＋1.要使直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点，需|2k|k2＋1<1，解得－33<k<33，所以在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点的概率P＝33－⎝⎛⎭⎪⎫－331－(－1)＝33.故选D.(2)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是________．答案35解析本题可以看成向区间[0,5] 内均匀投点，设A＝{某乘客候车时间不超过3分钟}，则P(A)＝区间[2，5]的长度区间[0，5]的长度＝35.求解与长度有关的几何概型应注意的问题(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比．(2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度．[即时训练] 1.(2019·河南濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于()A.215 B.715 C.35 D.1115答案 D解析∵f(x)＝－x2＋mx＋m的图象与x轴有公共点，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4或m≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m，函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率P＝[－4－(－6)]＋(9－0)9－(－6)＝1115.故选D.2．(2019·湖北武汉调研)在长为16 cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP 的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm2的概率为()A.14 B.12 C.13 D.34答案 A解析设MP＝x cm,0<x<16，则NP＝(16－x) cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率为P＝416＝14.故选A.精准设计考向，多角度探究突破考向二与面积有关的几何概型角度1与平面图形面积有关的问题例2(2019·安徽淮北、宿州第二次质量检测)古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝12AB ＝1，连接AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；以A为圆心，AD 为半径画弧，交AB于点E，则点E即为线段AB的黄金分割点．如图所示，在Rt△ABC中，扇形区域ADE记为Ⅰ，扇形区域BCD记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为P1，P2，P3，(参考数据：5≈2.236)则()A．P1>P2B．P1<P2C．P1＝P2＋P3D．P2＝P1＋P3答案 B解析由题意可知S△ABC＝12×2×1＝1，tan∠ACB＝ABBC＝2> 3.故∠ACB>π3.所以S扇形BCD>12×π3×12＝π6>12.又因为S△ABC＝1，所以S扇形BCD>S扇形ADE，即P2>P1，且P2>P1＋P3.故B正确，A，C，D错误，故选B.角度2与线性规划交汇的问题例3(2020·西南名校联盟适应性月考)小明和小波约好在周日下午4：00～5：00之间在某处见面，并约定好若小明先到，最多等小波半小时；若小波先到，最多等小明15分钟，则小明和小波两人能见面的概率为()A.1332 B.1732 C.1932 D.2332答案 C解析设小明到达时间为x，小波到达时间为y，x，y∈(0,1)，则由题意可列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y－x≤12，x－y≤14，0<x<1，0<y<1，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，计算得阴影部分的面积与正方形面积的比值为1932，故选C.角度3与定积分交汇的问题例4(2020·甘肃武威阶段考试)如图所示的阴影区域由x轴、直线x＝1及曲线y＝e x－1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是()A.1e B.1e－1C．1－1e D．1－1e－1答案 B解析由题意，阴影部分的面积为⎠⎛1(e x－1)dx＝(e x－x)10＝e－2，∵矩形区域OABC的面积为e－1，∴该点落在阴影区域的概率是e－2e－1，故该点落在非阴影区域的概率为1e－1.求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．[即时训练] 3.(2019·河南郑州三模)关于圆周率，数学发展史上出现过很多有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高一年级n名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(0<x<1,0<y<1)；②若卡片上的x，y能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m；④根据统计数n，m估计π的值．那么可以估计π的值约为()A.mn B.n－mnC .4mn D .4(n －m )n答案 D解析 由题意，n 个实数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，构成区域的面积为1，能与1构成锐角三角形的实数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，x 2＋y 2>1，x ＋y >1，构成区域的面积为1－π4，因为能与1构成锐角三角形的实数对(x ，y )的个数为m ，所以m n ≈1－π4，则π≈4(n －m )n .故选D.4．(2019·山东郓城一中三模)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为( )A.14B.17C.18 D.116答案 C解析 设包含7块板的正方形边长为4，其面积为4×4＝16，雄鸡的鸡尾是标号为6的板块，其面积为S ＝2×1＝2，所以在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为P ＝216＝18.故选C.5．(2019·四川宜宾模拟)向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为________．答案 18解析 由题意可知阴影部分的面积为2⎠⎛01x 3d x ＝2×14x 410＝12，所以所求概率为P ＝122×2＝18.考向三 与体积有关的几何概型例5 (1)(2019·厦门模拟)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12B ．1－π12C.π6D．1－π6答案B解析正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr3＝12×43π×13＝2π3，则点P到点O的距离大于1的概率为1－2π38＝1－π12.故选B.(2)如图，正四棱锥S－ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．答案12π解析设球的半径为R，则所求的概率为P＝V锥V球＝13×2R×2R×R43πR3＝12π.与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．[即时训练] 6.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P ，则点P 满足V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC 的概率是________．答案 78解析 设三棱锥P －ABC 的高为h .由V三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC ，得13S △ABC ·h <12·13S △ABC ·3，解得h <32，即点P 在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P 满足V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC 的概率是P ＝1－13·14S △ABC ·3213S △ABC ·3＝78.考向四 与角度有关的几何概型例6(1)如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于15°的概率为( )A.14B.13C.12D.23 答案 D解析 依题意可知∠AOC ∈[15°，75°]，∠BOC ∈[15°，75°]，故O C 活动区域为与OA ，OB 构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形的圆心角为(90°－30°)＝60°.故所求概率P ＝OC 活动区域的圆心角度数∠AOB 的度数＝60°90°＝23.(2)(2020·鞍山摸底)过等腰Rt △ABC 的直角顶点C 在∠ACB 内部随机作一条射线，设射线与AB 相交于点D ，求AD<AC 的概率．解在AB上取一点E，使AE＝AC，连接CE(如图)，则当射线CD落在∠ACE 内部时，AD<AC.易知∠ACE＝67.5°，∴AD<AC的概率P＝67.5°90°＝0.75.与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P(A)＝构成事件A的区域角度试验的全部结果所构成区域的角度.(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算．[即时训练]7.如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．解因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝3，∠B＝60°，所以BD＝ADtan60°＝1，∠BAD＝30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式，得P(N)＝30°75°＝25.课时作业1．(2019·重庆一中模拟)在[－2,3]上随机取一个数x，则(x＋1)(x－3)≤0的概率为()A.25 B.14 C.35 D.45答案 D解析由(x＋1)(x－3)≤0，得－1≤x≤3.由几何概型得所求概率为45.2．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58 C.38 D.310答案 B解析行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P ＝2540＝58.故选B.3．(2019·四川名校联盟模拟)不等式组⎩⎨⎧x ≥0，0≤y ≤1，y ≥x 2所表示的平面区域为Ω，用随机模拟方法近似计算Ω的面积，先产生两组(每组100个)在区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x 100和y 1，y 2，…，y 100，由此得到100个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，100)，再数出其中满足y i <x 2i (i ＝1,2，…，100)的点数为33，那么由随机模拟方法可得平面区域Ω面积的近似值为( )A ．0.33B ．0.66C ．0.67 D.13答案 C解析 设平面区域为Ω的面积为S ，依题意S 1≈100－33100，得S ≈0.67.故选C.4．(2019·湖南长沙联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4 B.π12 C.π4 D ．1－π12答案 A解析 鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.故选A.5．(2020·山西晋城摸底)定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，由集合{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤1}确定的区域记作Ω，由曲线C ：y ＝min{x ，－2x ＋3}和x 轴围成的封闭区域记作M ，向区域Ω内投掷12000个点，则估计落入区域M 的点的个数为( )A ．3000B ．3500C ．4000D ．4500答案 D解析 如图，S M ＝12×32×1＝34，S Ω＝1×2＝2，落入区域M 的概率为P ＝S MS Ω＝342＝38，从而估计落入区域M 的点的个数为12000×38＝4500.6．(2019·河南大联考)已知实数m ∈[0,1]，n ∈[0,2]，则关于x 的一元二次方程4x 2＋4mx －n 2＋2n ＝0有实数根的概率是( )A ．1－π4 B.π4 C.π－32 D.π2－1答案 A解析关于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有实数根，Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0得m2＋(n－1)2≥1，如图所示，长方形面积为2，扇形面积为π2，图中白色部分是满足题意的点集合区域，故概率为2－π22＝1－π4.故选A.7．(2019·辽宁大连模拟)在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()A.16 B.13 C.23 D.45答案 C解析设AC＝x cm(0<x<12)，则CB＝(12－x) cm，则矩形面积S＝x(12－x)＝12x－x2<32，即(x－8)(x－4)>0，解得0<x<4或8<x<12，在数轴上表示为由几何概型概率公式，得概率为812＝23.故选C.8．在区间(0,1)中随机取出两个数，则两数之和小于45的概率是()A.825 B.925 C.1625 D.1725答案 A 解析设取出的两个数为x，y则⎩⎨⎧0<x<1，0<y<1，若两数之和小于45，则⎩⎪⎨⎪⎧0<x<1，0<y<1，x＋y<45，原问题可以转化为求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0<x<1，0<y<1，x＋y<45表示的区域与⎩⎨⎧0<x<1，0<y<1表示的区域的面积之比的问题，如图所示，易得其概率为12×45×451×1＝825.9．(2019·长春模拟)如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝13AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为()A.14 B.13 C.27 D.38答案 A解析设OA＝3，则AB＝33，AP＝3，由余弦定理可求得OP＝3，∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为3π4，扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为3π43π＝14.10．(2020·铁岭摸底)已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为()A.16 B.13 C.12 D.23答案 C解析如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为1＋26＝1 2.11．(2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则() A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3答案 A解析不妨取AB＝AC＝2，则BC＝22，所以区域Ⅰ的面积为S△ABC＝2；区域Ⅲ的面积为π－2；区域Ⅱ的面积为π－(π－2)＝2，所以根据几何概型的概率公式，易得p1＝p2.故选A.12．(2019·河南洛阳尖子生第一次联考)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的曲线y ＝sin x，x∈[－π，π]与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，往圆O内随机投一个点A，则点A落在区域M内的概率是()A.4π2 B.4π3 C.2π2 D.2π3答案 B解析由题意知圆O的面积为π3，根据图形的对称性得区域M的面积为2⎠⎛πsin x d x＝－2cos xπ0＝4，由几何概型的概率计算公式可得，点A落在区域M内的概率为P＝4π3.故选B.13．平面上有一个边长为43的等边△ABC，现将一个直径等于2的均匀硬币重复多次抛掷在此平面上(假定硬币的中心每次都落在△ABC的内部)，则硬币落下后与等边△ABC的边界没有公共点的概率为________．答案14解析设事件M＝{硬币落下后与等边△ABC的边界没有公共点}．由题意，知所有的基本事件所构成的区域为△ABC及其内部．当硬币与边有一个或两个公共点，则硬币的中心就是临界点的位置．如图，所有临界点形成三条临界线，三条临界线构成一个小△EFG区域，因此事件M所构成的区域为△EFG内部区域(不包含边界)．经计算得△EFG的边长为2 3.所以P(M)＝S△EFGS△ABC＝34×23×2334×43×43＝1 4.。
