余角、补角与对顶角

A．2个B．3个C．4个D．6个
A．20°B．40°C．50°D．60°
A．B．C．D．
A．B．C．D．
2、相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
【练习】
1（2006•河南）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）A．一定有一个锐角B．一定有一个钝角
C．一定有一个直角D．一定有一个不是钝角
3（2011•柳州）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）
A．∠2和∠3B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠1和∠2
4（2009•南平）如图，某同学在课桌上随意将一块三角板的直角叠放在直尺上，则∠1+∠2的度数是（）
A．45°B．60°C．90°D．180°。

角与余（补）角、对顶角、平行和垂直知识框架⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩角的相关概念基础知识点钟面上角的比较余角、补角、对顶角平行线的相关概念垂线的概念和性质与角有关的基本概念垂线段在生活中的应用一副直角三角形板中的的角度问题重难点题型旋转、折叠有关的角度问题作图题与角有角度问题关的综合题 基础知识点知识点1-1角的相关概念1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边．角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．如图4-3-7所示，∠BAC 可以看成是以A 为端点的射线，从AB 的位置绕点A 旋转到AC 的位置而成的图形．如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）．1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°．3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种：(1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置．(2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆．(3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α．4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合）(3)读数（读出另一边所在线的刻度数）．5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的160为1分，记作“1′”，即l°＝60′.1′的160为1秒，记作“1″”，即1″＝60″．1．（2020·安丘市初一月考）下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形2．（2020·江苏省初一期中）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（）．A．B．C．D．3．（2020·南京市初一期末）如图，下列表示角的方法中，不正确的是( )A．∠A B．∠a C．∠E D．∠13．（2020·广东省初一期末）如图所示，下列关于角的说法错误的是（）A．∠1与∠AOB表示同一个角B．∠β表示的是∠BOCC．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC D．∠AOC也可用∠O来表示4．（2020·河北省初一期中）有下列说法：①射线是直线的一半；②线段AB是点A与点B 的距离；③角的大小与这个角的两边所画的长短有关；④两个锐角的和一定是钝角．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）下列各数中，正确的角度互化是（）A．63.5°=63°50′ B．23°12′36″=23.48° C．18°18′18″=18.33° D．22.25°=22°15′6．（2020·成都市嘉祥外国语初一月考）某人下午6点到7点之间外出购物，出发和回来时发现表上的时针和分针的夹角都为110°，此人外出购物共用了__________分钟．7．（2020·上海市静安区实验中学月考）用量角器量图中的角，30°的角有_____个，60°的角有_____个，90°的角有_____个，120°的角有_____个．8．（2020山西吕梁初一期末）如图，在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，喜羊羊同学认为是两点确定一条直线，懒羊羊同学认为是两点之间线段最短．你认为_____同学的说法是正确的．9．（2020·江苏仪征市初一期中）日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针；和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识.（1）如图1，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针的夹角等于________；（2）请在图2中画出8:20这一时刻时针和分针的大致位置，思考并回答：从上午8:00到8:20，时钟的分针转过的度数是________，时钟的时针转过的度数是________；（3）“元旦”这一天，小明上午八点整出门买东西，回到家中时发现还没到九点，但是时针与分针重合了，那么小明从离开家到回到家的时间为多少分钟？10．（2020·辽宁鞍山初一期末）如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有个角；画2条射线，图中共有个角；画3条射线，图中共有个角；求画n条射线所得的角的个数 .知识点1-2角的比较1）角的比较方法(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.2）角的和、差由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF ＝∠DEG-∠1．3）角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图4-4-9所示，射线OC 是∠BOA 的平分线，则∠BOC ＝∠COA ＝21∠BOA ,∠BOA ＝2∠BOC ＝2∠COA .4）方向的表示○1方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。

对顶角余角和补角的定义
顶角、余角和补角是在几何学和三角学中常见的概念。

顶角指的是两条直线相交时，形成的相对的两个角，这两个角的顶点是同一个点。

余角是指一个角的补角，即与该角相加为90度的角。

而补角则是两个角的和为90度的角。

从几何学的角度来看，顶角是指两条直线相交时形成的相对的两个角，它们共享一个公共顶点。

例如，在一个三角形中，顶角通常指的是三角形的顶点所对的角。

余角是指一个角的补角，也就是与该角相加为90度的角。

例如，如果一个角的度数是x度，那么它的余角就是90度减去x度。

补角是指两个角的和为90度的角。

例如，如果一个角的度数是x度，那么它的补角就是90度减去x度。

从三角学的角度来看，顶角、余角和补角也有特定的定义。

在三角函数中，余角是指角A的余角是90度减去角A的度数。

补角是指两个角的和为90度的角，例如，如果角A的度数是x度，那么角A的补角就是90度减去x度。

这些概念在解题和推导三角函数的过程中经常被用到。

总的来说，顶角、余角和补角是几何学和三角学中非常基础和
重要的概念，它们帮助我们理解角的关系，解决各种几何和三角学问题。

通过理解这些概念，我们能更好地应用它们解决实际问题，并且在数学推导和证明中起到重要的作用。

第1课时 对顶角、余角和补角1.知道直线的两种位置关系.2.能识别对顶角，知道它的性质.3.理解补角和余角的概念和性质，并能进行简单的角度计算.自学指导 阅读课本P38~39，完成下列问题.知识探究一、观察下面几幅生活中的图片：1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.2.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线 .3.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.二、(1)如图所示是一把将剪刀的简易图，那么∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？能试着说明,你的理由吗？解：因为∠AOB 和∠COD 都是平角，即∠1+∠AOD=180°，∠2+∠AOD=180°，等式两边同时都减去∠AOD ，则∠1=180°-∠AOD ，∠2=180°-∠AOD ，即∠1=∠2.归纳总结得出结论：在上图中，直线AB 与CD 相交于点O ，∠1与∠2的有一个公共点O ，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫对顶角.对顶角相等.(2)在图中，AOD ∠∠和1有什么数量关系？解：∠1+∠AOD=180°.归纳总结得出结论： 如果两个角的和是︒180，那么称这两个角互为补角.类似的，如果两个角的和是︒90，那么称这两个角互为余角.注意：互余和互补是指两个角的数量关系，与它们的位置无关.自学反馈1．下列图形中，表示∠1和∠2是对顶角的图形是（ D ）22211121D C B A2.下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是（D ）3.已知点A 既在直线1l 上，又在直线2l 上，且1l 与2l 不重合，则直线1l 与直线2l 的位置关系是 相交4.如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，则∠AOD 的对顶角是∠BOC ；若∠AOC=50°，则∠BOD=50°，∠COB =130°.OFE D CB A活动1 小组讨论例 如图1,打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹的红球会直接入袋，此时21∠=∠图1 图2 将图1抽象成成图2，ON 与DC 交于点O ，∠DON=∠CON=︒90，∠1=∠2。