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《第十九讲图形的初步知识》基础演练【基础演练】1．(2012·某某)下面四个角中，最有可能与70°互补的是( )解析与70°互补的角为一钝角，只有D项适合．故选D.答案 D2．平面上有三个点，可以确定直线的条数是( )A．1条B．2条C．3条 D．1条或3条解析因为两点确定一条直线，所以当平面内三点在一条直线上时，可以确定一条直线，当平面内三点不在同一直线上时，可以确定三条直线，故选D.答案 D3．如图，点A、O、B在同一直线上，CO⊥AB于点O，若∠1＝∠2，则图中互余的角共有( )A．5对 B．4对C．3对 D．2对解析∵CO⊥AB，∴ ∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠1＋∠COD＝90°，∠2＋∠AOE＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠COD＝90°，∠2＋∠AOE ＝90°.即图中互余的角有4对．答案 B4．(2011·某某省某某)如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，交CD 于点D ，∠CDE ＝150°，则∠C 的度数是 ( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．150°解析 ∵∠CDE ＝150°，∴∠CDB ＝180°－∠CDE ＝180°－150°＝30°，∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝30°，又∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠ABD ＝2×30°＝60°，∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝180°－∠ABC ＝180°－60°＝120°.故应选C.答案 C5．(2012·某某)如图，AB ∥CD ，直线EF 交AB 于点 E ，交CD于点F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，∠1＝50°，则∠2等于( )A ．50°B ．60°C ．65°D ．90°解析 ∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠1＝180°∴∠BEF ＝180°－∠1＝180°－50°＝130°∵EG 平分∠BEF∴∠BEG ＝12∠BEF ＝12×130°＝65° ∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠BEG ＝65°.故选C.答案 C6．如图，直线l 1∥l 2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3＝ ( )A．55°B．60°C．65°D．70°解析∵l1∥l2，∴∠BCA＝∠1＝40°，∵∠ABC是∠2的对顶角，∴∠ABC＝∠2＝75°，在△ABC中，∠3＋∠BCA＋∠ABC＝180°.∴∠3＝180°－(∠BCA＋∠ABC)＝180°－(40°＋75°)＝65°.故应选C.答案 C7．45°角的余角是( )A．30°B．45°C．60°D．135°解析由余角的定义知45°角的余角为90°－45°＝45°.答案 B8．如图，直线a、b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2＝( )A．50°B．60°C．140°D．160°解析∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°.答案 C9．(2012·东营)下图能说明∠1>∠2的是( )解析由对顶角相等，得∠1＝∠2，A不对．B不对．由外角定理知∠1>∠2，故C对．由同角的余角相等知∠1＝∠2，故D不对．答案 C10．(2012·某某)如图，与∠1是内错角的是( )A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5解析由内错角定义选B.答案 B11．(2012·崇左)如图，BC∥DE，∠1＝108°，∠AED＝75°，则∠A的大小是( )A．60°B．33°C．30°D．23°解析∵BC∥DE∴∠ADF＝∠1＝108°，∵∠A＋∠AED＝∠ADF，∴∠A＝∠ADF－∠AED＝108°－75°＝33°.答案 B12．(2012·某某)已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，则∠4＝________．解析∵∠1＝∠3＝59°，∴a∥b，∴∠4＝∠1＋∠5，∠1＋∠5＝180°－∠2＝180°－59°＝121°，∴∠4＝121°.∴填121°.答案121°13．(2012·某某)一个锐角是38度，它的余角是________度．解析这个角的余角为90°－38°＝52°，∴填52.答案52【能力提升】14．(2012·义乌)如图，已知a ∥b ，小亮把三角板的直角顶点放在直线b 上，若∠1＝40°，则∠2的度数为________．解析 ∵a ∥b ，∴∠2＝∠3∵∠3＋∠1＋90°＝180°∴∠3＝90°－∠1＝90°－40°＝50°∴∠2＝50°，∴填50°.答案 50°15．(2012·某某)如图，AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC ＋∠ACE ＋∠CEF ＝________度．解析 ∵AB ∥CD∴∠BAC ＋∠ACD ＝180°①∵CD ∥EF∴∠CEF ＋∠ECD ＝180°②①＋②，得∠BAC ＋∠ACD ＋∠CEF ＋∠ECD＝180°＋180°＝360°即∠BAC ＋∠ACE ＋∠CEF ＝360°答案 36016．已知线段AB ＝8 cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC＝4 cm ，点M 是线段AC 的中点， 求线段AM 的长．解 (1)当点C 在线段AB 上时，如图(1)AC ＝AB －BC＝8－4＝4(cm)∵M 是AC 的中点，∴AM ＝12AC ＝12×4＝2(cm)． (2)当点C 在线段AB 的延长线上时，如图(2)AC ＝AB ＋BC ＝8＋4＝12(cm)∵M 是AC 的中点，∴AM ＝12AC ＝12×12＝6(cm)，所以线段AM 的长是2 cm 或6 cm. 17.(2012·某某)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝72°，(1)用直尺和圆规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点D .(保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)中作出∠ABC 的平分线后，求∠BDC 的度数．解 (1)如图，BD 就是所要求作的∠ABC 的平分线．(2)在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC ＝72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝12∠ABC ＝12×72°＝36°, 在△BDC 中，∵∠BDC ＋∠CBD ＋∠C ＝180°.∴∠BDC ＝180°－(∠CBD ＋∠C )＝180°－(36°＋72°)＝72°.。
2014年浙江省温州市永嘉县瓯渠中学中考数学复习专题三：归纳猜想问题一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）（2013•武昌区校级模拟）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2013应标在（）A．第503个正方形的左下角B．第503个正方形的右下角C．第504个正方形的左上角D．第504个正方形的右下角2．（3分）（2011•台湾）已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2010年、2012年举办．若这三项运动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？（）A．公元2070年B．公元2071年C．公元2072年D．公元2073年3．（3分）（2011•安顺）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（）A．（4，0）B．（5，0）C．（0，5）D．（5，5）4．（3分）（2011•德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是（）A．2n B．4n C．2n+1D．2n+25．（3分）（2011•黔南州）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，…．根据上述算式中的规律，请你猜想210的末位数字是（）A．2 B．4 C．8 D．6二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）6．（3分）（2011•保山）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…那么第n个数是．7．（3分）（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数a用整数n表示的式子；（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．2请回答：①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？8．（3分）（2014•永嘉县校级模拟）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式=．（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=．2014年浙江省温州市永嘉县瓯渠中学中考数学复习专题三：归纳猜想问题参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）（2013•武昌区校级模拟）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2013应标在（）A．第503个正方形的左下角B．第503个正方形的右下角C．第504个正方形的左上角D．第504个正方形的右下角【分析】观察图形得到一个正方形从左上角开始按逆时针标四个数，而2013=4×503+1，则可判断数2013应标在第504个正方形的左上角．【解答】解：∵2013=4×503+1，∴数2013应标在第504个正方形的左上角．故选C．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．2．（3分）（2011•台湾）已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2010年、2012年举办．若这三项运动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？（）A．公元2070年B．公元2071年C．公元2072年D．公元2073年【分析】由已知，我们可总结出每4年举办一次，只要每个选项与2009，2010，2012的差有一个是4的倍数，则能在这一年此项运动会，否则这三项运动会均不在这一年举办．【解答】解：A、2070﹣2009=61，2070﹣2010=60，2070﹣2012=58，其中60是4的倍数，所以亚运会能在2070年举办，则世运会在2069年、奥运会在2072年举办．B、2071﹣2009=62，2071﹣2010=61，2071﹣2012=59，均不是4的倍数，所以，这三项运动会均不在2071年举办．C、2072﹣2009=63，2072﹣2010=62，2072﹣2012=60，60是4的倍数，所以奥运会能在2072年举办，则世运会在2069年、亚运会在2071年举办．D、2073﹣2009=64，2073﹣2010=63，2073﹣2012=61，64是4的倍数，所以世运会能在2073年举办，则亚运会在2074年、奥运会在2076年举办．故选：B．【点评】此题考查的知识点是数字变化类问题，解题的关键是要通过每4年举办一次，求出每个选项与2009，2010，2012的差，看是否有4的倍数确定答案．3．（3分）（2011•安顺）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（）A．（4，0）B．（5，0）C．（0，5）D．（5，5）【分析】由题目中所给的质点运动的特点找出规律，即可解答．【解答】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．故第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（5，0）．故选：B．【点评】本题主要考查点的坐标问题，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．4．（3分）（2011•德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是（）A．2n B．4n C．2n+1D．2n+2【分析】从图1到图3，周长分别为4，8，16，由此即可得到通式，利用通式即可求解．【解答】解：下面是各图的周长：图1中周长为4；图2周长为8；图3周长为16；所以第n个图形周长为2n+1．故选C．【点评】本题考查了图形的变化规律，首先从图1到图3可得到规律，然后利用规律得到一般结论解决问题．5．（3分）（2011•黔南州）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，…．根据上述算式中的规律，请你猜想210的末位数字是（）A．2 B．4 C．8 D．6【分析】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出210的末位数字．【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…∴210的末位数字是4．故选B．【点评】本题主要考查了有理数的乘方，根据题意找出规律是本题的关键．二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）6．（3分）（2011•保山）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…那么第n个数是．【分析】根据题意，首先从各个数开始分析，n=1时，分子：2=（﹣1）2•21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=（﹣1）3•22，分母：5=2×2+1；…，即可推出第n个数为【解答】解：∵n=1时，分子：2=（﹣1）2•21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=（﹣1）3•22，分母：5=2×2+1；n=3时，分子：8=（﹣1）4•23，分母：7=2×3+1；n=4时，分子：﹣16=（﹣1）5•24，分母：9=2×4+1；…，∴第n个数为：故答案为：【点评】本题主要考查通过分析数的变化总结归纳规律，解题的关键在于求出分子、分母与n的关系．7．（3分）（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数a用整数n表示的式子；（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．2请回答：①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1．（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成分数的形式，据此可以得到答案；（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律；【解答】解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：a=2n+1；（2）有理数b=（n≠0）；（3）①当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=1时，y=1，当x=时，y=．故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…②当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=时，y=，当x=时，y=，故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…【点评】本题考查了二次函数的性质及实数的性质，解题的关键是发现规律并利用规律解题．8．（3分）（2014•永嘉县校级模拟）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=1．【分析】（1）根据规律能得出（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的值，即可推出（a+b）5的值；（2）根据规律得出原式=（2﹣1）5，求出即可．【解答】解：（1）∵（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，∴（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，故答案为：（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2﹣1）5=15=1（根据（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5的逆运用得出的），故答案为：1．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，解此题的关键是找出规律，题目比较好，但是有一定的难度．参与本试卷答题和审题的老师有：gsls；马兴田；lbz；Liuzhx；ZHAOJJ；sjzx；zjx111（排名不分先后）菁优网2016年6月8日。
《阶段检测三》基础演练（时间：100分钟 满分：100分）一、选择题（每小题2分，共20分）1.（2012·某某）一次函数y ＝－2x ＋4的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A.（0，4） B.（4，0） C.（2，0） D.（0，2）解析 令x ＝0，得y ＝－2×0＋4＝4， 则函数图象与y 轴的交点坐标是（0，4）. 答案 A2.（2012·某某）矩形的长为x ，宽为y ，面积为9，则y 与x 之间的函数关系式用图象表示大致为（ ）解析 矩形的长为x ，宽为y ，面积为9，则y 与x 之间的函数关系式是：y ＝9x（x ＞0）.是反比例函数，且图象只在第一象限. 答案 C3.（2012·某某）将抛物线y ＝3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）A.y ＝3（x ＋2）2－1 B.y ＝3（x －2）2＋1 C.y ＝3（x －2）2－1D.y ＝3（x ＋2）2＋1解析 由“左加右减”的原则可知，将抛物线y ＝3x 2向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y ＝3（x ＋2）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y ＝3（x ＋2）2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y ＝3（x ＋2）2－1. 答案 A4.（2012·某某）点（－1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）均在函数y ＝6x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A.y 3＜y 2＜y 1 B.y 2＜y 3＜y 1 C.y 1＜y 2＜y 3D.y 1＜y 3＜y 2解析 ∵函数y ＝6x中k ＝6＞0，∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵－1＜0，∴点（－1，y 1）在第三象限， ∴y 1＜0，∵0＜2＜3，∴（2，y 2），（3，y 3）在第一象限，∴y 2＞y 3＞0， ∴y 2＞y 3＞y 1. 答案 D5.（2012·某某）当a ≠0时，函数y ＝ax ＋1与函数y ＝ax在同一坐标系中的图象可能是（ ）解析 当a ＞0时，y ＝ax ＋1过一、二、三象限，y ＝a x过一、三象限；当a ＜0时，y ＝ax ＋1过一、二、四象限，y ＝ax过二、四象限.答案 C6.（2012·某某）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）的图象如图所示，当－5≤x ≤0时，下列说法正确的是（ ） A.有最小值－5、最大值0 B.有最小值－3、最大值6 0、最大值6D.有最小值2、最大值6 解析 由二次函数的图象可知， ∵－5≤x ≤0，∴当x ＝－2时函数有最大值，y 最大＝6； 当x ＝－5时函数值最小，y 最小＝－3. 答案 B7.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝bx ＋c 和反比例函数y ＝a x在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）.解析 ∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0， ∵对称轴x ＝－b2a ＜0，∴b ＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c ＝0，∴一次函数y ＝bx ＋c 过第二、四象限且经过原点，反比例函数y ＝ax位于第二、四象限，纵观各选项，只有C 选项符合. 答案 C8.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，则下列结论正确的是 （ ）.A.ac ＞0B.方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是x 1＝－1，x 2＝3 C.2a －b ＝0D.当y>0时，y随x的增大而减小解析根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断：A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；B.∵抛物线对称轴是x＝1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（－1，0），即方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3，故本选项正确；C.∵抛物线对称轴为x＝－b2a＝1，∴2a＋b＝0，故本选项错误；D.∵抛物线对称轴为x＝1，开口向下，∴当x＞1时，y随x B.答案 B9.下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序（）.①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）A. ①②④③B.③④②①C.①④②③D.③②④①解析本题考查的是变量关系图象的识别，借助生活经验，弄明白一个量是如何随另一个量的变化而变化是解决问题的关键.①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系），路程是时间的正比例函数，对应第四个图象；②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系），高度是注水时间的函数，由于锥形瓶中的直径是下大上小，故先慢后快，对应第二个函数的图象；③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系），温度计的读数随时间的增大而增大，由于温度计的温度在放入热水前有个温度，故对应第一个图象； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系），水温随时间的增大而减小，由于水冷却到室温后不变化，故对应第三个图象；综合以上，得到四个图象对应的情形的排序为③②④①. 答案D10.如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面y 和x ，则y 与x 的函数图象大致是 （ ）.解析 由y －x 2等于该圆的周长，得列方程式y －x 2＝π2x ，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12x .∴y 与x A.答案 A二、填空题（每小题2分，共20分）11.（2012·某某）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式y ＝ Ｗ.解析 ∵反比例函数位于二、四象限， ∴k ＜0，解析式为：y ＝－1x.故答案为y ＝－1x，答案不唯一.答案 y ＝－1x，答案不唯一l 甲、l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S （千米）随时间t （分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶千米.解析 ∵据函数图形知：甲用了30分钟行驶了12千米，乙用（18－6）分钟行驶了12千米， ∴甲每分钟行驶12÷30＝25千米，乙每分钟行驶12÷12＝1千米， ∴每分钟乙比甲多行驶1－25＝35千米.答案 3513.（2012·某某）一次函数y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，且k ≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为Ｗ.解析 ∵一次函数y ＝kx ＋b 过（2，3）（0，1）点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝2k ＋b ， 1＝b 解得： k ＝1，b ＝1， 一次函数的解析式为：y ＝x ＋1，∵一次函数y ＝x ＋1的图象与x 轴交与（－1，0）点， ∴关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为x ＝－1. 答案x ＝－114.（2012·某某）如图，某某建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx .小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需秒.解析 设在10秒时到达A 点，在26秒时到达B ， ∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，∴A ，BA 到B 需要16秒，则从A 到D 需要8秒. ∴从O 到D 需要10＋8＝18秒. ∴从O 到C 需要2×18＝36秒. 答案 3615.（2012·聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为Ｗ.解析 ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的14，设正方形的边长为b ，则14b 2＝9，解得b ＝6，∵正方形的中心在原点O ， ∴直线AB 的解析式为：x ＝3， ∵点P （3a ，a ）在直线AB 上， ∴3a ＝3，解得a ＝1，∴P （3，1），∵点P 在反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象上， ∴k ＝3，∴此反比例函数的解析式为：y ＝3x.答案 y ＝3x16.在函数y ＝1－2xx －12中，自变量x 的取值X 围是. 解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0x －12≠0，所以x ＜12.答案 x ＜1217.已知点P （2a ＋1，2a －3）关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值X 围是 .P （2a ＋1，2a －3）在第四象限，则点P的横坐标为正，纵坐标为负，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＞02a －3＜0，易求得结果为－12＜a ＜32.答案 －12＜a ＜3218.根据下图所示程序计算函数值，若输入的x 的值为52，则输出的函数值为.解析 因为2≤52≤4，把x ＝52代入y ＝1x 得，y ＝25.答案 2519.在平面直角坐标系中，一青蛙从点A （－1，0）处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长度到点A ′处，则点A ′的坐标为.A （－1，0）向右跳2个单位长度，－1＋2＝1，向上2个单位，0＋2＝2，所以点A ′的坐标为（1，2）. 答案 （1，2）20.在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x 轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换.如图，已知等边三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别是（－1，－1），（－3，－1），把△ABC 经过连续9次这样的变换得到△A 9B 9C 9，则点A 的对应点A 9的坐标是.解析 可求得点A （－2，－1－3）经过一次变换后得点A 1（0，1＋3）， 第二次后A 2（2，－1－3） 第三次A 3（4，1＋3）第四次A 4（6，－1－3） 第五次A 5（8，1＋3） 第六次A 6（10，－1－3） 第七次A 7（12，1＋3） 第八次A 8（14，－1－3） 第九次A 9（16，1＋3）. 答案 （16，1＋3）三、解答题（共60分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 21.（10分）（2012·某某）如图，一次函数y 1＝kx ＋b 的图象与反比例函数y 2＝mx的图象相交于点A （2，3）和点B ，与x 轴相交于点C （8，0）.（1）求这两个函数的解析式； （2）当x 取何值时，y 1＞y 2.解 （1）把 A （2，3）代入y 2＝m x，得m ＝6. 把 A （2，3）、C （8，0）代入y 1＝kx ＋b ， 得k ＝－12，b ＝4，∴这两个函数的解析式为y 1＝－12x ＋4， y 2＝6x；（2） 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋4，y ＝6x解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝6，y 1＝1⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝3.当x ＜0 或 2＜x ＜6 时，y 1＞y 2.22.（10分）（2012·某某）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水——清洗——灌水”中水量y （m 3）与时间 t （min ）之间的函数关系式. （1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y （m 3）与时间t （min ）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？解 （1）排水阶段：设解析式为：y ＝kt ＋b ， 图象经过（0，1 500），（25，1 000），则：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1 500， 25k ＋b ＝1 000 解得： k ＝－20，b ＝1 500，故排水阶段解析式为：y ＝－20t ＋1 500； 清洗阶段：y ＝0，灌水阶段：设解析式为：y ＝at ＋c ， 图象经过（195，1 000），（95，0），则：⎩⎪⎨⎪⎧195a ＋c ＝1 000， 95a ＋c ＝0解得： a ＝10，c ＝－950， 灌水阶段解析式为：y ＝10t －950；（2）∵排水阶段解析式为：y ＝－20t ＋1 500； ∴y ＝0时，0＝－20t ＋1 500， 解得：t ＝75， 则排水时间为75分钟，清洗时间为：95－75＝20（分钟），∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1 500（m 3）， ∴1 500＝10t －950， 解得：t ＝245，故灌水所用时间为：245－95＝150（分钟）.答 排水时间为75分钟；清洗时间20分钟；灌水所用时间150分钟.23.（10分）在同一直角坐标系中反比例函数y ＝m x 的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象相交，且其中一个交点A 的坐标为（－2，3），若一次函数的图象又与x 轴相交于点B ，且△AOB 的面积为6（点O 为坐标原点）.求一次函数与反比例函数的解析式.解 将点A （－2，3）代入y ＝m x 中得：3＝m －2， ∴m ＝－6.∴反比例函数的解析式为y ＝－6x. 又∵△AOB 的面积为6，∴12|OB |·|y A |＝6. ∴12|OB |·3＝6，∴|OB |＝4. ∴B 点坐标为（4，0）或（－4，0）.①当B （4，0）时，又∵点A （－2，3）是两函数图象的交点，∴代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0－2k ＋b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝2. ∴y ＝－12x ＋2. ②当B （－4，0）时，又∵点A （－2，3）是两函数图象的交点，∴代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0，－2k ＋b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32，b ＝6.∴y ＝32x ＋6. 综上所述，一次函数的解析式为y ＝－12x ＋2或y ＝32x ＋6. 24.（10分）在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A （3，0），B （0，4）.以点A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋转，得△ACD .记旋转角为α.∠ABO 为β.（1） 如图①，当旋转后点D 恰好落在ABD 的坐标；（2） 如图②，当旋转后满足BC ∥xα与β之间的数量关系；（3） 当旋转后满足∠AOD ＝βCD 的解析式.解 （1）∵点A （3，0），B （0，4），∴OA ＝3，OB ＝4.∴在Rt △ABO 中，由勾股定理，得AB ＝OA 2＋OB 2＝32＋42＝5.根据题意，有DA ＝OA ＝3.如图①.过点D 作DM ⊥x 轴于点M ，则MD ∥OB .∴△ADM ∽△ABO .有AD AB ＝AM AO ＝DM BO， 得AM ＝AD AB ×AO ＝95，DM ＝AD AB ×BO ＝125. 又OM ＝OA －AM ，得OM ＝3－95＝65.∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125. （2）如题图②.由已知，得∠CAB ＝α，AC ＝AB ，∴∠ABC ＝∠ACB .∴在△ABC 中，由∠ABC ＋∠ACB ＋∠CAB ＝180°，得α＝180°－2∠ABC .又∵BC ∥x 轴，得∠OBC ＝90°，有∠ABC ＝90°－∠ABO ＝90°－β.∴α＝180°－2（90°－β）＝2β.（3）如图1，连接BD ，作DF ⊥x 轴于点F .由∠AOD ＝β＝∠ABO 可证△AOB ≌△ADB ，∴∠ADB ＝∠AOB ＝90°.又∵∠ADC ＝90°， ∴B 在直线CD 上， ∴可设直线CD 方程式为y ＝kx ＋4.由△AOE ∽△ABO 得OE OB ＝OA AB ⇒OE ＝OA ·OB AB ＝3×45＝125⇒OD ＝245. 设D 点坐标为（a ，b ），则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝43（△ODF ∽△BAO ），a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2452，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9625，b ＝7225. 代入直线CD 方程y ＝kx ＋4，得k ＝－724. ∴直线CD 的解析式为y ＝－724x ＋4.同样考虑∠AOD 在x 轴下方的情况，如图2，可得直线CD 的解析式y ＝724x －4. ∴直线CD 的解析式y ＝－724x ＋4或y ＝724x －4. 25.（10分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝14x 2＋1，点C 的坐标为（－4，0），平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q （x ，y ）在抛物线上，点P （t ，0）在x 轴上.（1）写出点M 的坐标；（2）当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时；①求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值X 围；②当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值.解 （1）M （0，2）.（2）①当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时t ＝4，解得x ＝1±5，当Q 与B 或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x ＝±2，∴x 的取值X 围是x ≠1±5，且x ≠±2的所有实数.②分两种情况讨论：Ⅰ.当CM ＞PQ 时，则点P 在线段OC 上，t ＝－2.Ⅱ.当CM ＜PQ 时，则点P 在OC 的延长线上，当x ＝－23时，得t ＝－8－23，∴当x ＝23时，得t ＝23－8.26.（10分）如图，直线y ＝x ＋3与坐标轴分别交于A ，B 两点，抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过点A ，B ，顶点为C ，连接CB 并延长交x 轴于点E ，点D 与点B 关于抛物线的对称轴MN 对称.（1）求抛物线的解析式及顶点C 的坐标；（2）求证：四边形ABCD 是直角梯形.（1）解 ∵y ＝x ＋3与坐标轴分别交与A ，B 两点，∴A 点坐标（－3，0）、B 点坐标（0，3）.∵抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b －3a ＝0，－3a ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2. ∴抛物线解析式为：y ＝－x 2－2x ＋3.∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－（x ＋1）2＋4，∴顶点C 的坐标为（－1，4）.（2）证明 ∵B ，D 关于MN 对称，C （－1，4），B （0，3），∴D （－2，3）.∵B （0，3），A （－3，0），∴OA ＝OB .又∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＝∠BAO ＝45°.∵B ，D 关于MN 对称，∴BD ⊥MN .又∵MN ⊥x 轴，∴BD ∥x 轴.∴∠DBA ＝∠BAO ＝45°.∴∠DBO ＝∠DBA ＋∠ABO ＝45°＋45°＝90°. 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把B （0，3），C （－1，4）代入得， ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，－k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3.∴y ＝－x ＋3.当y ＝0时，－x ＋3＝0，x ＝3，∴E （3，0）. ∴OB ＝OE ，又∵∠BOE ＝90°，∴∠OEB ＝∠OBE ＝∠BAO ＝45°.∴∠ABE ＝180°－∠BAE －∠BEA ＝90°. ∴∠ABC ＝180°－∠ABE ＝90°.∴∠CBD ＝∠ABC －∠ABD ＝45°.∵CM ⊥BD ，∴∠MCB ＝45°.∵B ，D 关于MN 对称，∴∠CDM ＝∠CBD ＝45°，CD ∥AB .又∵AD 与BC 不平行，∴四边形ABCD 是梯形. ∵∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是直角梯形.。
2014年浙江省温州市永嘉县瓯渠中学中考数学复习卷23：等腰三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共3小题，共9.0分)1.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故选：D．由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME△CNE是等腰三角形．2.等腰三角形的两内角度数之比是1：2，则顶角的度数是（）A.90°B.45°C.36°D.90°或36°【答案】D【解析】解：分两种情况，一种是底角与顶角之比为1：2时，则顶角为°×2=90°，另一种情况是顶角与底角之比为1：2时，则顶角为°=36°，∴顶角为90°或36°．故选：D．根据已知条件，根据等腰三角形的性质进行讨论，即可得出顶角的度数．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；本题通过设适当的参数，根据三角形内角和定理建立方程求解．注意要分类讨论：那个角为顶角，那个角为底角．3.在钝角三角形ABC中，若AB=AC，D是BC上一点，AD把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为（）A.150°B.124°C.120°D.108°【答案】D【解析】解：设∠ABC为x．（180°-x）÷2+x+2x=180°解得x=36°∴180°-36°×2=108°．故选D．从已知条件结合图形，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理列出方程求解即可．本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握定理是解决本题的关键．题目比较简单，属于基础题．二、填空题(本大题共7小题，共21.0分)4.一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为______ cm．【答案】22或20【解析】解：当三边是8cm，8cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是22cm；当三边是8cm，6cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是20cm．因此等腰三角形的周长为22或20cm．故填22或20．本题已知了等腰三角形的两边的长，但没有明确这两边哪边是腰，哪边是底，因此要分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= ______ ．【答案】3【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，∴BD=BC=×6=3．故答案为：3．直接根据等腰三角形“三线合一”的性质进行解答即可．本题考查的是等腰三角形的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．6.如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为______ ．【答案】2【解析】解：∵在等边三角形ABC中，AB=6，∴BC=AB=6，∵BC=3BD，∴BD=BC=2，∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD=2．故答案为：2．由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形的性质，即可求得BD的长，然后由旋转的性质，即可求得CE的长度．此题考查了旋转的性质与等边三角形的性质．此题难度不大，注意旋转中的对应关系．7.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于______ ．【答案】8【解析】解：∵BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，∴CD=BD，∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AD+BD+AC=AC+AB，而AB=5，AC=3，∴△ADC的周长=8．故填空答案：8．已知中BC的垂直平分线交AB于D，根据线段的垂直平分线的性质可以得到CD=BD，由此推出△ADC的周长=AC+CD+AD=AD+BD+AC=AC+AB，然后利用已知条件就求出△ADC的周长．此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，进行线段的等效代换是正确解答本题的关键．8.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= ______ 度．【答案】15【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E 的度数．本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．9.若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为______ 度．【答案】35【解析】解：∵等腰三角形的一个外角为70°，∴与它相邻的三角形的内角为110°；①当110°角为等腰三角形的底角时，两底角和=220°＞180°，不合题意，舍去；②当110°角为等腰三角形的顶角时，底角=（180°-110°）÷2=35°．因此等腰三角形的底角为35°．故答案为：35．本题可先求出与70°角相邻的三角形的内角度数，然后分两种情况求解即可．本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．10.如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为______cm．【答案】3【解析】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，所以AD=A′D，AE=A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，=BC+BD+CE+AD+AE，=BC+AB+AC，=3cm．故答案为：3．由题意得AE=A′E，AD=A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．三、计算题(本大题共1小题，共6.0分)11.如图，在R t△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）【答案】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°，∵∠BAC=90°，∴∠C=180°-90°-60°=30°，∵AB=2，∴BC=2AB=4，在R t△ABC中，由勾股定理得：AC===2，∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2+4+2=6+2．答：△ABC的周长是6+2．【解析】根据等边三角形性质求出∠B=60°，求出∠C=30°，求出BC=4，根据勾股定理求出AC，相加即可求出答案．本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，等边三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．四、解答题(本大题共3小题，共24.0分)12.已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．【答案】（1）证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，∴∠BEC=∠CDB=90°，∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠CBD，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．理由：连接AO并延长交BC于F，在△AOB和△AOC中，∴△AOB≌△AOC（SSS）．∴∠BAF=∠CAF，∴点O在∠BAC的角平分线上．【解析】（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形；（2）首先连接AO并延长交BC于F，通过证△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，即点O在∠BAC的角平分线上．此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及角平分线的判定等知识．此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用．13.如图，CD是等边△ABC的角平分线，延长CB到E，使BE=BD，F是AE的中点，已知CD=6cm，求DF的长．【答案】解∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，又∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=30°，且CD⊥AB，D是AB的中点，又∵F是AE的中点，∴DF是△AEB的中位线，∴DF=EB，又∵BE=BD，∴DF=DB，R t△DBC中，∵∠DCB=30°，CD=6，∴BD=CD•tan∠DCB=6×=2∴DF=×2=（cm）．【解析】首先根据等腰三角形的性质可得∠DCB=30°，且CD⊥AB，D是AB的中点，再根据三角形中位线定理可得DF=EB=BD，再根据三角函数可得BD=CD•tan∠DCB，进而得到答案．此题主要考查了三角形中位线，以及三角函数的应用，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．14.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．【答案】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，∠ABD=∠ABC-15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=15°+45°=60°，∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC．（2）如图，连接MC．∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM．在△ADC与△EMC中，∠∠∠∠，∴△ADC≌△EMC（AAS），∴ME=AD=BD．【解析】（1）根据等腰直角△ABC，求出CD是边AB的垂直平分线，求出CD平分∠ACB，根据三角形的外角性质求出∠BDE=∠CDE=60°即可．（2）连接MC，可得△MDC是等边三角形，可求证∠EMC=∠ADC．再证明△ADC≌△EMC 即可．此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目．。
《第二十六讲矩形、菱形、正方形》基础演练【基础演练】1．(2012·滨州)菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则该菱形两邻角度数比为( ) A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1解析如图所示：∵菱形的周长为8，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∵AE＝1，AE⊥BC，∴∠B＝30°，∴∠BAD＝150°.答案 C2．(2012·沈阳)如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有 ( )A．4个B．6个C．8个D．10个解析∵正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，∴AB＝BC＝CD＝DA，OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABC，△BCD，△ADC，△ABD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形，一共8个．答案 C3．(2012·长沙)如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC且交BC于E，AD＝6 cm，则OE的长为( )A．6 cm B．4 cm C．3 cmD．2 cm解析∵菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，∴BO＝DO，AB＝BC＝CD＝AD＝6，∵OE∥DC，∴△BOE∽△BDC，∴OE CD ＝BO BD ＝12，即OE 6＝12，∴OE ＝3. 答案 C4．(2012·武汉)如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 的点F 处．若AE＝5，BF ＝3，则CD 的长是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析 ∵△DEF 由△DEA 翻折而成，∴EF ＝AE ＝5，在Rt △BEF 中，∵EF ＝5，BF ＝3，∴BE ＝ EF 2－BF 2＝ 52－32＝4，∴AB ＝AE ＋BE ＝5＋4＝9，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝9.答案 C5．(2012·黄冈)若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形B ．菱形C ．对角线互相垂直的四边形D ．对角线相等的四边形解析 已知：如图，四边形EFGH 是矩形，且E 、F 、G 、H 分别AB 、BC 、CD 、AD 的中点，求证：四边形ABCD 是对角线互相垂直的四边形．证明 由于E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，根据三角形中位线定理得：EH ∥FG ∥BD ，EF ∥AC ∥HG ；∵四边形EFGH 是矩形，即EF ⊥FG ，∴AC ⊥BD .答案 C6．(2012·杭州)已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10 cm ，体积为150 cm 3，则这个棱柱的下底面积为________cm 2；若该棱柱侧面展开图的面积为200 cm 2，记底面菱形的顶点依次为A ，B ，C ，D ，AE 是BC 边上的高，则CE 的长为________cm.解析 因为底面为菱形的直棱柱，高为10 cm ，体积为150 cm 3，所以这个棱柱的下底面积为15 cm2，又因为该棱柱的侧面展开图的面积为200 cm2，则该棱柱的底面为菱形的边长为5 cm，又因为AE是BC边上的高，所以AE＝3 cm，又因为E可能在点B的左边或右边，所以CE的长为1或9 cm.答案15 1或97．(2012·盐城)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是________．(填上你认为正确的一个答案即可)解析添加的条件是∠A＝90°，理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．答案∠A＝90°8．(2012·温州)如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连结AD.求证：四边形ACFD是菱形．证明由平移变换的性质得：CF＝AD＝10 cm，DF＝AC，∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，∴AC＝AB2＋BC2＝36＋64＝10，∴AC＝DF＝AD＝CF＝10.∴四边形ACFD是菱形．【能力提升】9．(2012·东营)(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.求证：CE＝CF；(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用(1)的结论证明：GE＝BE＋GD；(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，(BC>AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面积．(1)证明∵四边形是ABCD正方形，∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF.(2)证明如图①，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF.由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE＝GF，∴GE＝GF＝DF＋GD＝BE＋GD.(3)解如图②，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G.在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG＝BC.∵∠DCE＝45°，根据(1)(2)可知，ED＝BE＋DG.∴10＝4＋DG，即DG＝6.设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，在Rt△AED中，∵DE2＝AD2＋AE2，即102＝(x－6)2＋(x－4)2.解这个方程，得：x ＝12或x ＝－2(舍去)． ∴AB ＝12.∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·AB ＝12×(6＋12)×12＝108. 即梯形ABCD 的面积为108.。
