完全平方公式的综合应用(讲义及答案)

完全平方公式的综合应用例1：矩形面积最大问题假设一个菜农要栽种一片长方形菜田，如果他只有一定长度的篱笆，那么他应该怎样才能使得菜田的面积最大呢？解法：设菜田的长度为x，宽度为y，根据题意我们可以得到一个方程：2x+y=200（因为需要两条边之和等于篱笆的长度）现在我们要找到这个方程的最大值，首先将方程变形为：y=200-2x 接下来我们可以使用完全平方公式来求解最大值。

根据完全平方公式，这是一个开口向下的抛物线，所以我们可以知道最大值是在顶点处取得的。

所以矩形的长度为50，宽度为100，当且仅当菜田是一个正方形时，面积最大。

例2：解一元二次方程假设有一个一元二次方程x^2+8x+16=0，我们需要求解它的解。

解法：首先，我们观察这个方程可以发现它可以化简为一个完全平方形式。

将方程变形为：(x+4)^2=0根据完全平方公式，我们知道只有当一个数的平方等于0时，这个数才能等于0。

所以，我们可以得到：x+4=0或x=-4所以方程的解为x=-4例3：求两点之间的距离假设有两个点A(5,7)和B(9,3)，我们需要求解它们之间的距离。

解法：我们可以利用两点之间的距离公式来求解。

根据两点之间的距离公式，我们可以得到：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)将点A的坐标代入为x1=5，y1=7，将点B的坐标代入为x2=9，y2=3，带入方程可得：d=√((9-5)^2+(3-7)^2)d=√(4^2+-4^2)d=√(16+16)d=√32所以点A和点B之间的距离为√32通过以上例子，我们可以看到完全平方公式在解决不同类型的问题时起到了非常重要的作用。

无论是求解最值问题、解一元二次方程还是求解两点之间的距离，完全平方公式都是一个非常有用的工具。

在实际生活中，完全平方公式也有很多其他应用，比如在物理学中的运动学问题、在经济学中的成本最小化问题等等。

因此，熟练掌握完全平方公式的应用是非常有价值的。

完全平方的综合应用一、公式移项变形运用：1、若3,2a b ab +=-=， 则22a b += ，()2a b -=2、若x y x y 22126-=+=，，则x ＝_____________，y ＝_____________3、已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______ 若a 2+2a=1则(a+1)2=________.4、若1,2=-=-c a b a ,则=-+--22)()2(a c c b a5、若22a b +=7，a+b=5，则ab= 若22a b +=7，ab =5，则a+b= 6、若22a b +=7，a-b=5，则ab= 若22a b +=3，ab =-4，则a-b=7.若(x-3)2=x 2+kx+9,则k=_________. 若x 2+y 2=12,xy=4,则(x-y)2=_________. 8.已知:a+b=7,ab=-12,求 (1)a 2+b 2= (2)a 2-ab+b 2= (3)(a-b)2=9、多项式192+x 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是10、若4x 2-Mxy+9y 2是两数和的平方,则M 的值是 ( )A.36 B.±36 C.12 D.±1211．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－2 （D ）213．如果m-n=15, m 2+n 2=5125,那么(mn)2005的值为 ( )A.1 B.-1 C.0 D.无法确定二、公式的组合及变形应用：1、已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求: (1)a 2+b 2= (2)ab=2、若a―b=7, ab=2, 则(a+b)2的值3、已知a+b=－8,ab=12,则（a －b)2= 若x-y=3，xy=1，则（x+y ）2=________4．若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= ]5、若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，ab =_________6. 若()()x y x y a -=++22，则a 为（ ） A. 0B. -2xy ;C. 2xyD. -4xy7. 如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( )A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy8．已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于（ ）A 、()n m -21 B 、()n m --21 C 、()n m -41 D 、()n m --419．若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（ ）A. -24ab B.12ab C.24ab D.-12ab三、公式中的特殊关系： 1、如果12a a +=,那么221a a += 2、已知51=+x x ，那么221x x +=_______ 3、 已知31=-x x ，则221x x +的值是 4、若12a a += 且0<a<1,求a － a1的值是 5. 已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+和a － a1和221a a +的值；6.已知242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a+=++-求：（）7．已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；四、公式倒用：1.已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004x y +的值.2、练习：若x y x y 2246130++-+=，x ，y 均为有理数，求x y=3、已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值。

平⽅差公式和完全平⽅公式（习题及答案）平⽅差公式和完全平⽅公式（习题）例题⽰范例1：计算：23(1)(1)2(1)a a a -+---+．【操作步骤】（1）观察结构划部分：23(1)(1)2(1)a a a -+---+①②（2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算．第⼀部分：a -和a -符号相同，是公式⾥的“a ”，1和-1符号相反，是公式⾥的“b ”，可以⽤平⽅差公式；第⼆部分：可以⽤完全平⽅公式，利⽤⼝诀得出答案．（3）每步推进⼀点点．【过程书写】解：原式2223()12(21)a a a ??=---++??223(1)242a a a =----2233242a a a =----245a a =--巩固练习1. 下列多项式乘法中，不能⽤平⽅差公式计算的是（）A ．()()x y y x ---+B ．()()xy z xy z +-C ．(2)(2)a b a b --+D ．1122x y y x --- ??2. 下列各式⼀定成⽴的是（）A ．222(2)42x y x xy y -=-+B ．22()()a b b a -=-C ．2221124a b a ab b ??-=++D ．222(2)4x y x y +=+3. 若2222(23)412x y x xy n y +=++，则n =__________．4. 若222()44ax y x xy y -=++，则a =________．5. 计算：①112233m n n m --- ??；②22()()()y x x y x y -++；③22(32)4x y y ---；④2()a b c +-；⑤296；⑥2112113111-?．6. 运⽤乘法公式计算：①2(2)(2)(2)x y x y x y -+-+；②22(1)2(24)a a a +--+；③(231)(231)x y x y +--+；④3()a b -；⑤222233m m +-- ? ?；⑥2210199-．思考⼩结1. 在利⽤平⽅差公式计算时要找准公式⾥⾯的a 和b ，我们把完全相同的“项”看作公式⾥的“_____”，只有符号不同的“项”看作公式⾥的“_____”，⽐如()()x y z x y z +---，_______是公式⾥的“a”，_______是公式⾥的“b ”；同样在利⽤完全平⽅公式的时候，如果底数⾸项前⾯有负号，要把底数转为它的______去处理，⽐如22()(_______)a b --=2. 根据两⼤公式填空：+(_______)+(_______)b )22(2【参考答案】巩固练习1. C2. B3. ±34. -25. ①22149n m - ②44x y -+ ③2912x xy +④222 222a ab b bc ac c ++--+ ⑤9 216⑥1 6. ①242xy y --②267a a -+- ③224961x y y -+- ④322333a a b ab b -+- ⑤83m ⑥400 思考⼩结1. a ，b ，(x -z )，y ，相反数，a +b2. 2ab ，2ab ，4ab。

完全平方公式和平方差公式综合应用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One111月13日1．4a 2＋4a ＋3＝（2a ＋1）2＋_______．2．（a －b ）2＝（a ＋b ）2－________．3． （－2m －3n ）2 4. （41s ＋31t 2）25. （－2a ＋4b ）2；6. （41a －32c ）2；7.（5x －3y －2）（5x ＋3y －2）； 8.（x －2y ）（x 2+4y 2）（x ＋2y ）；9.（a ＋3）2＋（3a －5）2； 11. （2a ＋3）2＋（3a －2）2（6）（a －b ＋5c －2）（a ＋b －5c －2）；（7）（－s +2t ）（－s －2t ）－（－s －2t ）2；（8）（t －4）2（t ＋4）2（t 2＋16）2．2．用简便方法计算：（1）1982； （2）3022；（3）1992－198×200； （4）49×51－502．3．已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。

4．已知16x x -=，求221x x+的值。

5观察下列各式的规律．;)121(2)21(12222+⨯=+⨯+;)132(3)32(22222+⨯=+⨯+;)143(4)43(32222+⨯=+⨯+…（1）写出第2007行的式子；（2）写出第n 行的式子，并说明你的结论是正确的．6．试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。

7如图，四边形ABCD 、BEFG 均为正方形．（1）如图1，连接AG 、CE ，判断AG 和CE 的数量关系和位置关系并证明．（2）将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG 、CE 相交于点M ，连接MB ，求出∠EMB 的度数．（3）若BE=2，BC=6，连接DG ，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），则在这个旋转过程中线段DG 长度的取值范围 （直接填空，不写过程）．。

算2023-11-06CATALOGUE 目录•整式运算的基本概念•《完全平方公式》的推导与证明•《完全平方公式》在整式运算中的应用•《完全平方公式》的拓展与延伸•练习与思考01整式运算的基本概念整式单项式与多项式的统称，是基本的数学概念之一。

分类按项数可分为单项式和多项式，按次数可分为一次、二次、三次等。

整式的定义与分类加减法乘法除法多项式乘以多项式，按分配律展开，再合并同类项。

多项式除以多项式，转化为乘法，再合并同类项。

03整式的运算规则02 01合并同类项，系数相加减，字母及指数不变。

交换两个整式的顺序，结果不变。

整式的性质交换律结合两个整式的乘除法，结果不变。

结合律分配两个整式的乘除法，结果不变。

分配律02《完全平方公式》的推导与证明《完全平方公式》的推导过程运用多项式的展开与合并利用乘法分配律借助完全平方数的性质利用多项式的恒等变形拆项、分组、配方证明结论：两数平方和加上或减去两倍乘积，等于两倍乘积的和或差。

《完全平方公式》的证明方法《完全平方公式》的应用举例求解一元二次方程利用完全平方公式转化为一元一次方程求出方程的根•证明一些等式或不等式•利用完全平方公式进行恒等变形•证明等式或不等式成立•在整式的运算中，《完全平方公式》是一个非常重要的内容。

它不仅在求解一元二次方程中有着广泛的应用，还可以用于证明一些等式或不等式。

通过掌握《完全平方公式》的推导过程和证明方法，可以更好地理解整式的运算法则，提高数学运算能力。

03《完全平方公式》在整式运算中的应用完全平方公式可以简化整式乘法运算，提高计算效率。

总结词在整式乘法中，如果两个多项式相乘，我们可以通过将两个多项式的每一项分别相乘得到结果，然后合并同类项。

但是，如果使用完全平方公式，可以将两个多项式的乘积表示为另一个多项式，从而简化计算过程。

例如，$(a+b)(a^2+2ab+b^2)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$，通过完全平方公式，我们可以快速得到结果。

学生做题前请先回答以下问题问题1：已知，求的值．你是怎么思考的？问题2：已知，求的值．你是怎么思考的？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：已知，求的值．你是怎么思考的？答：观察式子，可以先把等式左边用完全平方公式展开，然后和等式右边的式子对比，确定字母k的值．所以，所以．问题2：已知，求的值．你是怎么思考的？答：观察式子，可以先把等式左边用完全平方公式展开，然后和等式右边的式子对比，确定字母k的值．所以，所以．平方差公式和完全平方公式（含参）（人教版）一、单选题(共12道，每道8分)1.若，则的值为( )A.-2B.2C.±4D.4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式2.若，则的值为( )A.-4B.±4C.±4yD.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式3.若，则的值为( )A.3B.-3C.±3D.±9答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式4.若，则的值为( )A.7B.±7C.-7D.以上都不对答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式5.若是完全平方式，则的值为( )A.2B.-2C.±2D.±1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式6.若是完全平方式，则的值为( )A.36B.9C.-9D.±9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式7.若是完全平方式，则的值为( )A.-6B.-12C.±6D.±12答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式8.若，则的值为( )A.2B.-2C.±2D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式9.若，则的值为( )A.-1B.1C.±1D.-4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式10.若，则的值分别为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式11.计算的结果是( )A.0B.1C.-1D.2 004答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式12.计算的结果为( )A.27 501B.29 501C.39 601D.49 501答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式。

完全平方公式的综合应用(习题) 例题示范例1:已知x = 2，求x2 ^2，x4•丄的值.x x x【思路分析】观察题目特征(已知两数之差和两数之积1x 1，所求为两数的平方和)，x判断此类题目为“知二求二”问题；1“x”即为公式中的a，“ - ”即为公式中的b,根据他们之间的关系可得:x2 1x —x1将X-— =2,x 2 2x 丄；xi 1 )=X —x1x - =1代入求解即可;x同理，X4•［二x2x4I即可求解.【过程书写】-2x2•丄，将所求的X2•厶的值及x2 x例2: 若x2 -2x + y2 +6y +10 =0，贝U x= _____ ，y= _______ .【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”.观察等式左边，x2 -2x以及y2 6y均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到(x-1)2• (y • 3)2 = 0 . 根据平方的非负性可知：(x -1)2 =0且(y 3)^0，从而得到x=1，厂-3 .巩固练习1.若(a—2b)2=5，ab =1，则a2+4b2 =________ ，(a + 2b)2= ____ .2.已知x • y =3，xy =2，求x2 y2，x4 y4的值.1 13. 已知a2 -3a •仁0，求a2•盲,a^ —的值.a a4. (1)若x2+mxy + 9y2是完全平方式，则m= _________ .(2)若9x2-kxy+16y2是完全平方式，则k= __________ .5. 多项式4x2 4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______ ，分别是____________2 2 a6. 若a +4b -6a-4b+10 = 0 ,贝U b = _________ .7. 当a为何值时，a2 -8a 14取得最小值，最小值为多少？8. 求x2 4y^4x 4y 8 的最值.思考小结1. 两个整数a，b (a z b)的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题: 若x 满足(210 _x)(x_200) =一204，试求(210 _x)2 (x — 200)2的值. 解：设210-x=a, x-200=b,则ab=- 204,且 a b = (210 _x) (x 一200) =10 ,由(a b)2 = a2 2ab b2得，a2 b2 =(a b)2 -2ab = 102 -2 (-204) =508 ,即(210 -x)2 (x-200)2的值为508.根据以上材料，请解答下题：若x满足(2015 -x)2 (2 013-x)2=4032,贝U (2 015 - x)(2 013 —x) = ____ .【参考答案】例题示范1例 1 .解：•/ x 2x --x丿=4 224 2X 2X 2 =34 1.913 2. 517 3. 747 4. ±i24 5. 52 -4x -4 8x -8x 6. 8 例2: 1 巩固练习 x 4 7. a =4时取得最小值，最小值为-28. 最小值为3思考小结1. (a -b)2 -3=36= 36-222. 2 0144。

平方差公式与完全平方公式一、 公式透析平方差公式：22))((b a b a b a -=-+特点是相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。

所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。

完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±注意不要漏掉2ab 项二、 典例解析例1：下列各式可以用平方差公式的是（ ）)4)(4.(c a c a A -+- )2)(2.(y x y x B +- )31)(13.(a a C --- )21)(21.(y x y x D +--例2:如何用公式计算2))(1(y x --例3：已知22124,10n m mn n m +==+），求（ 2))(2(n m -三、 双基过关A 组.)213)(213)(1(22n m n m -+ )46)(46)(2(n m n m ++-B 组2)21)(3(b a - (4)2)3(b a --.4184371.4._____1,51.3.____,2).(2.____ 124___,4.12222222⨯=+=+=++=+-=++=++）用简便方法计算（则则式，则是一个完全平方是完全平方公式，则xx x x M y xy x M y x m m xy x a ax x222222221295969798991002-⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-）（C 组)3)(31-+++b a b a ）（（ )3)(3)(2(c b a c b a --+-22)331()331)(3(b a b a --+ 2)43)(4(--y x(5))7)(7()3(+---a a a a四、 综合应用1.按图中所示的方式分割正方形，你能得到什么结论2.观察下列各式,你会发现什么规律,用只含一个字母n 的式子表示出来. 1121431311163575141553222-==⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅-==⨯-==⨯3).1)13()13)(13(232423++⋅⋅⋅++。