养老金计划
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养老金计划摘要保险与人们生活密切相关，在年老失去工作能力后可以按期领取补偿金，为人们正常生活奠定了经济基础。
本文以投保人月退休金为研究对象，重点考虑开始参加投保的年龄，金融危机，家庭经济状况，年龄高低对投保人月退休金的影响，通过从相关文献和资源网上搜集相应的数据并加以整理和分析，分别建立了主要影响因素与月退休金之间的差分方程模型和递推模型，求解并分析了其合理性。
本文首先分析了对投保人月退休金可能产生影响的多个因素，然后通过相关文献和已知数据，分别利用差分方程法和递推方法分析开始参加投保的年龄对投保人退休金的影响程度，对这一主要因素，本文建立了它们与月退休金之间的差分方程模型和递推模型，用两种思路建立模型并求解：思路一：按年利率来计算月退休金，建立差微分方程，运用MATLAB 进行求解，问题一二三的月退休金分别为：41.202510⨯ 元，35.701010⨯元，34.619710⨯元。
思路二：按月利率来计算月退休金，建立递推关系，运用MATLAB 进行求解，问题一二三的月退休金分别为：41.143710⨯ 元，35.791110⨯元，34.82210⨯元 。
通过以上分析，分别以年和月为计算单位，建立差微分方程模型和递推模型，两种方法得到的结果虽然有一定的出入，但是分析它们的绝对误差值大致是一条直线，说明误差比较稳定。
说明两种模型是合理的。
从另一方面说明参加投保时间越长，所得月退休金越多。
从而验证了两种模型的可行性和合理性。
本文首先分析了影响投保人月退休金的多个因素，然后分别利用差分方程模型和递推模型，应用MATLAB 软件分别用月利率和年利率产生利息计算月退休金。
这两种建模方法值得推广。
本文建立的差分方程适应于多数离散动态系统数学模型如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型等。
一问题重述养老保险属于一种自愿的投资计划，参加者在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，也是老年人生活的基本保障。
也引起了很多人的关注。
本文围绕投保人的月退休金，在给定年利率和退休年龄的前提下，用两种计算思想求得月退休金，重点解决以下问题：1. 从20岁开始参加养老金计划，假设1234200X X X X====元，求投保人的月利润。
2. 从35岁开始参加养老金计划，假设2200X=元，3500X=元，41000X=元, 求投保人的月利润。
3. 从48岁开始参加养老金计划，假设31000X=元，42000X=元, 求投保人的月利润。
二问题分析本文探讨的是月退休金的问题，关键要解决如下问题：首先，通过从相关文献和资源网上搜集相应的资料，可以分析到月退休金的影响因素有多个，如开始投保的年龄，金融危机，家庭经济状况，人的年龄，年利率等，考虑到模型的可行性，我们建立了一个最简单的差分方程模型，提取了主要因素——开始投保的年龄，由于每个年龄每个月的投保金额不都完全相同，对所提出的问题，我们有两种不同的理解，一种是按月利率产生的，一种是按照年利率产生的我们分别用月利率和年利率求出了本利息，到60岁时不用交投保金，每月领取固定的退休金，在未到80岁时，上次所剩下的钱又可作为本金产生利息，直到80岁的第一个月领取最后的P元，这样就可以利用MATLAB软件求得P。
问题一二三分别是在20，35，48这三个不同的年龄阶段进行投保，每月的投保额不相同，通过比较分析，可以检验开始投保的年龄是影响月退休金的主要因素。
三模型假设根据题目的规定和实际情况，做出如下合理的假设，使问题简化易于解决。
（1）假设投保人能活到80岁。
（2）不考虑通货膨胀、金融危机等因素对养老保险的影响。
（3）假设开始投保都在每年第一个月初。
（4）每月领取退休金额不变。
四 符号说明1X 20岁~29岁每月存入的金额 2X 30岁~39岁每月存入的金额 3X 40岁~49岁每月存入的金额 4X 50岁~59岁每月存入的金额A 投保人开始投保时的年龄P 表示投保人每月可领取的退休金五 模型的建立与求解通过对问题的分析，本文采用两种方法建立模型与求解模型，第一种方法是按年利率来计算每年的本利和，运用差分方程模型对问题进行求解，第二种方法是按月利率来计算每年的本利和，运用数学归纳法对模型进行求解，两种方法所的结果近似相等，分别对问题进行如下分析：思路一：用年利率来计算月退休金，建立差分方程模型 5.1模型的建立r 表示年利率；i R 表示60岁前每年的交保额()1,2,3,4i =；()1,2,3,4i B i =表示第i 个年龄段的时间； ()1,2,3,4i n i =表示1j ij B =∑年的储蓄额。
由题意可以分析到当投保人到60岁时就停止投保，开始领取投保退休金，显然，当投保人到80岁之前，每年领取退休金后剩下的养老金储蓄仍可作为本金产生利息，直到80岁末领完所有退休金。
则根据题意可得出相邻两个月储蓄额之间的关系，如表1所示： 第一个年龄段20~29岁表1 第1~1B 年末的储蓄额记第1B 年末的储蓄额为1n ,解得：111[(1)1](1)B r r n R r+-+= （1）第二个年龄段30~39岁表2 11B +~12B B +年末的储蓄额记12B B +个月末的储蓄额为2n ,解得:：22212[(1)1](1)(1)B B r r n n r R r+-+=++ （2）同理第三个年龄段40~49岁，记第123B B B ++年末的储蓄额为3n ，解得:33323[(1)1](1)(1)B B r r n n r R r+-+=++ （3）第四个年龄段，记1234B B B B +++年末的储蓄额为4n ，解得:44434[(1)1](1)(1)B B r r n n r R r+-+=++ （4）设每年领取的退休金为Q ，60岁后每次领完退休金余下的仍作为本金产生利息，79岁末本利和为Q ，80岁取完，根据递推关系有：20420(1)(1)1n r Q r r +=+- （5） 由假设每年中每个月所领取的退休金不变，从而可以得到投保人60岁开始直到80岁每月可领取的退休金为：12QP =（6） 5.2模型的求解将（1）（2）（3）（4）（5）代入（6）式得每月的退休金：()1234234344211212032434(1)()(1)112(1)1()(1)()(1)B B B B B B B B B B R r R R r r P r R R r R R r R ++++++⎡⎤++-++=⎢⎥⎡⎤+-+-++-+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦（7）表3 A 与P 中参数的关系针对问题一二三，代入数据，运用MATLAB 软件进行求解（编程见附录一）可得月养老金思路二：用月利率来计算月退休金，建立递推模型 5.1模型的建立将投保的整个过程20~60岁分成4个年龄段，求取60岁前总的储蓄额。
用A 表示投保人开始参加投保时的年龄；()1,2,3,4i C i =表示第i 个年龄段投保的时间。
根据投保人开始投保时的年龄A 得出第i 个年龄段的投保时间i C 如表4。
表4 i C 与A 的关系用i m 表示1ij j C =∑个月后的储蓄额（1,2,3,4i =）。
第一个年龄段20~29岁，根据相邻两个月储蓄额之间的关系得到1C 个月后储蓄额为：表5 第1~1C 年末的储蓄额记第1C 个月末的储蓄额为1m ,得到：111[(1)1](1)C a a m X a+-+=第二个年龄段30~39岁，根据相邻两个月储蓄额之间的关系得到12C C +个月后储蓄额为：表6 第12C C +个月末的储蓄额记12C C +个月末的储蓄额为2m 得到：22212[(1)1](1)(1)C C a a m m a X a+-+=++同理第三个年龄段40~49岁，根据相邻两个月储蓄额之间的关系得到第123C C C ++个月后的储蓄额，记为3m ，则有33323[(1)1](1)(1)C C a a m m a X a+-+=++第四个年龄段50~59岁，根据相邻两个月储蓄额之间的关系得到第1234C C C C +++个月末的储蓄额，记为3m ，则有44434[(1)1](1)(1)C C a a m m a X a+-+=++4m 即为退休前总的储蓄额。
5.2 模型的求解设每月领取养老金P 元，用i W 表示领取i 月后的剩余本息和，有04W m =，1n W P -=，推到过程如下表：10(1)(1)1n naW a P a -+=+- 针对问题一二三，代入数据，运用MATLAB 软件进行求解（编程见附录二）可得月养老金六 模型分析与检验本文首先分别以年和月为计算单位，根据递推法用月利率和月利率来计算每月所领取的退休金额，运用递推法进行定量求解，所求结果大致相同。
以年为单位计算结果如下表8以月为计算单位结果如下表9以下分别针对问题一二三所得结果进行误差分析针对问题一表10 从20岁开始投保图2 问题一两种方法结果比较针对问题二表11 从35岁开始投保35岁开始投保20-29 30-39 40-49 50-59 月退休金P 以月利率计算0 15599 145100 597300 5701 以年利率计算0 16117 146990 591630 5791 绝对误差0 518 1890 5670 90图2 问题二两种方法结果比较针对问题三表11 从48岁开始投保48岁开始投保20-29 30-39 40-49 50-59 月退休金P以月利率计算0 0 26656 484020 4619以年利率计算0 0 27720 492650 4822绝对误差0 0 1064 8630 203问题三两种方法结果比较通过以上数据和图像分析可得两种方法所的结果比较吻合，绝对误差值几乎为0。
检验模型S表示投保人第n年的投保额与利息之和，r表示年利率，R和Q 用n表示月份，n分别表示60岁前每年的交保额和60岁后每年所领取的退休金，由题意可以分析到当投保人到60岁时就停止投保，开始领取投保退休金，显然，当投保人到80岁之前，每年领取退休金后剩下的养老金仍可作为本金投保产生利息，直到80岁末（81岁初）可领取退休额为0。
则根据题意可得出相邻两个月储蓄额之间的 关系，如表1所示表1 相邻两年储蓄额之间的关系投保时间 储蓄额第一个年 A 0第二个年初 10(1)A A r x =++ 第三个年初 21(1)A A r x =++ 第四个年初32(1)A A r x =++LL第n+2年末1(1)n n A A r x +=++由上表可得相邻两个月之间的递推关系式1(1)n n A A r x +=++用L 表示投保人从开始参加投保到60岁时一共投保的年数，即 L=60-投保人开始参加养老金计划时的年龄；用N 表示投保人从开始参加投保到80岁时一共投保的年数，即N=80-投保人开始参加养老金计划时的年龄；当n L ≤时,x R =；当1L n N +≤≤时, x Q =-。
