2018年秋九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3解直角三角形练习(新版)湘教版

4.3 解直角三角形
知|识|目|标
1．通过探索、讨论，理解解直角三角形的定义与依据．
2．通过阅读、自学，掌握已知2个元素(至少有1个是边)求3个未知元素的解法．3．通过转化思想，能把非直角三角形问题转化为直角三角形问题来解决．
目标一理解解直角三角形的定义与依据
例1 教材补充例题在Rt△ABC中，根据下列条件，可求三角形其他元素的是( ) A．已知a＝5，∠C＝90°
B．已知∠B＝48°，∠C＝90°
C．已知a＝5，∠B＝48°
D．已知∠B＝48°，∠A＝42°
[全品导学号：90912121]
例2 教材补充例题在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠B和a，则有( )
A．c＝a cos B B．c＝a sin B
C．c＝
a
sin B
D．c＝
a
cos B
【归纳总结】解直角三角形的条件和依据
1．解直角三角形的条件：除直角外，已知两个条件中至少有1个是边．2．解直角三角形的依据：
(1)直角三角形两个锐角的互余关系；
(2)直角三角形三边之间的关系(勾股定理)；
(3)直角三角形边角之间的关系(锐角三角函数)．
目标二会解直角三角形
例3 教材例1针对训练如图4－3－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，BC＝5，解这个直角三角形．
图4－3－1
例4 教材补充例题在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 3，b＝6，解这个直角三角形．
【归纳总结】解直角三角形的类型与解法
1．解直角三角形的基本方法：
2.计算边时，可按照“有斜用弦，无斜用切”的原则，即若与斜边有关，则使用正、余弦；若与斜边无关，则使用正切．
例5 教材补充例题如图4－3－2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB 上一点，∠BDC＝45°，AD＝4.求BC的长(结果保留根号)．
图4－3－2
【归纳总结】含双直角三角形的问题的解法
对于含有公共直角边的双直角三角形问题，一般从特殊角入手，以含特殊角的直角三角形为基本图形，先分析基本图形，将边转移到另外的直角三角形中，再利用其中特殊的边角，结合锐角三角函数的定义构造方程求解．
目标三 会把非直角三角形转化为直角三角形求解
例6 教材补充例题如图4－3－3，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，sin C ＝3
5，D 是BC 上一点，
且DC ＝AC .
(1)求BD 的长的值； (2)求tan ∠BAD .
图4－3－3
【归纳总结】 非直角三角形转化为直角三角形的解法
求不规则图形中的边或角的关键是作出辅助线(高)，构造直角三角形，把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决．注意熟练掌握锐角三角函数的定义．
知识点一 解直角三角形的定义与依据
在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是______)，就可以求出其余的3个未知元素．我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形．
如图4－3－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为
a ，
b ，
c (以下字母同)，则解直角三角形的主要依据是：
(1)三条边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2
； (2)两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；
(3)边角之间的关系：sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝1tan B ＝a
b
.
图4－3－4
知识点二 解直角三角形的方法
(1)解直角三角形时，已知一个锐角及邻边，可用______求出斜边，用______求出对边； (2)解直角三角形时，已知一个锐角及对边，可用______求出斜边，用正切求出邻边； (3)解直角三角形时，已知两边，可用勾股定理求出第三边，用正切求出锐角． [点拨] 解直角三角形时，应先分析清楚已知元素与所求元素，可作草图帮助理解，正确寻求能够沟通已知与所求元素之间的函数关系式．
分析下列解题过程是否正确？若不正确，请指出错误的原因，并给出正确解法． 问题：在△ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝6，AC ＝2 3，求AB 的长．
解：如图4－3－5，作出符合题意的几何图形，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.
∵sin A ＝CD AC ＝1
2
，且AC ＝2 3，∴CD ＝ 3.
又sin ∠CBD ＝CD BC
＝36
＝
2
2
，∴∠CBD ＝45°， ∴tan ∠CBD ＝CD BD
＝1， ∴CD ＝BD ＝ 3.
∵∠A ＝30°，AC ＝2 3，
∴AD ＝AC ·cos A ＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.
图4－3－5
详解详析
【目标突破】
例1 [解析] C A ．已知一边和一角，一角是直角，Rt △ABC 不可解，不符合题意；
B ．没有一条边，Rt △AB
C 不可解，不符合题意；
C ．已知一边和一角，一角不是直角，Rt △ABC 可解，符合题意；
D ．没有一条边，Rt △ABC 不可解，不符合题意．
例2 [解析] D 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∵cos B ＝a c ，∴c ＝a
cos B
.
例3 解：∵∠C ＝90°，∠B ＝45°， ∴∠A ＝90°－45°＝45°， ∴∠A ＝∠B ， ∴AC ＝BC ＝5. 在Rt △ABC 中，
∵cos B ＝cos45°＝BC
AB
，∴AB ＝
BC
cos45°
＝5 2，
∴∠A ＝45°，AC ＝5，AB ＝5 2.
例4 解：∵a＝2 3，b ＝6， ∴tan A ＝a b ＝2 36＝3
3，
∴∠A ＝30°，
∴∠B ＝90°－30°＝60°，c ＝2a ＝4 3.
例5 解：设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠ABC ＝90°，∠BDC ＝45°，∴BD ＝BC ＝x. 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4＋x ， ∴tan A ＝BC AB ，即33＝x
4＋x ，解得x ＝2 3＋2.
∴BC 的长为2 3＋2.
例6 解：(1)如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E . ∵AB ＝AC ， ∴BE ＝CE .
在Rt △ACE 中，AC ＝10，sin C ＝3
5，
∴AE ＝6，
从而CE ＝AC 2
－AE 2
＝8， ∴BC ＝2CE ＝16，
∴BD ＝BC －DC ＝BC －AC ＝6.
(2)如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F . 在Rt △BDF 中，BD ＝6，sin B ＝sin C ＝3
5，
∴DF ＝185
，
从而BF ＝BD 2－DF 2
＝245
，
∴AF ＝AB －BF ＝26
5，
∴tan ∠BAD ＝DF AF ＝
9
13
.
备选题型 解非直角三角形
例 如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，BC ＝3＋3 3，求AB 的长．
[解析] 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，将特殊角∠B ，∠C 放在两个直角三角形中，再利用相应的锐角三角函数求解．
解：过点A 作AD ⊥BC 于点D . ∵∠B ＝45°， ∴AD ＝BD ，AB ＝2BD . 设AD ＝BD ＝x ，在Rt △ADC 中， ∵tan C ＝AD
DC ，即x DC ＝33
， ∴DC ＝3x . 又∵BC ＝BD ＋DC ， ∴x ＋3x ＝3＋3 3， 解得x ＝3， ∴AB ＝3 2.
[归纳总结] (1)在直角三角形中求边长可以从勾股定理和锐角三角函数两个方面考虑． (2)在含有特殊角的非直角三角形中，通常需要作辅助线构造直角三角形来解决问题，通常情况下是以一个特殊角为它的一个锐角构造直角三角形．
(3)根据条件中的线段的比或锐角三角函数值，可以设出一个未知数，然后列出方程求解．
【总结反思】 [小结] 知识点一 边
知识点二 (1)余弦 正切 (2)正弦
[反思] 解：解题过程有不正确，错误原因是符合条件的几何图形不是唯一的．正解：情形(1)见题中所给解答，情形(2)如下：过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ，
∴∠ADC ＝90°.
∵sin A ＝CD AC ＝1
2
，且AC ＝2 3，∴CD ＝ 3.
又sin ∠CBD ＝CD BC
＝36
＝
22
， ∴∠CBD ＝45°， ∴tan ∠CBD ＝CD BD
＝1， ∴CD ＝BD ＝ 3.
∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴AD ＝AC ·cos A ＝3， ∴AB ＝AD －BD ＝3－ 3.
综合情形(1)与(2)，得AB 的长为3＋3或3－ 3.。