2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 6幂函数与二次
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考点规范练6幂函数与二次函数
基础巩固组
1.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=()
A.B.1 C.D.2
2.若a<0,则下列不等式成立的是()
A.2a>>(0.2)a
B.(0.2)a>>2a
C.>(0.2)a>2a
D.2a>(0.2)a>
3.若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于()
A.-
B.-
C.c
D.-
4.已知函数h(x)=4x2-kx-8在区间[5,20]上是单调函数,则k的取值范围是()
A.(-∞,40]
B.[160,+∞)
C.(-∞,40]∪[160,+∞)
D.⌀
5.(2017浙江绍兴一模)若x log52≥-1,则函数f(x)=4x--3的最小值为()
A.-4
B.-3
C.-1
D.0
6.若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f=.
7.已知函数f(x)=x2-2ax+5在(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,则实数a 的取值范围是.
8.设a∈R,函数f(x)=||x2-a|-a|-2恰有两个不同的零点,则a的取值范围为.
能力提升组
9.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是()
A.(-∞,-2)
B.(-2,+∞)
C.(-6,+∞)
D.(-∞,-6)
10.(2017浙江杭州二模)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的两个零点为x1,x2,若|x1|+|x2|≤2,则()
A.|a|≥1
B.|b|≤1
C.|a+2b|≥2
D.|a+2b|≤2
11.(2017浙江嘉兴平湖当湖中学期中测试)设函数f(x)=(a<0)的定义域为D,若所有点(s,f(t))(s,t∈D)构成一个正方形区域,则a的值为()
A.-2
B.-4
C.-8
D.不能确定
12.(2017浙江宁波诺丁汉大学附中试题)已知f(x)=ax2+bx+c(a>0),g(x)=f(f(x)),若g(x)的值域为
[2,+∞),f(x)的值域为[k,+∞),则实数k的最大值为() A.0 B.1 C.2 D.4
13.对于函数f(x),若存在x0∈Z,满足|f(x0)|≤,则称x0为函数f(x)的一个“近零点”.已知函数
f(x)=ax2+bx+c(a>0)有四个不同的“近零点”,则a的最大值为()
A.2
B.1
C.
D.
14.若函数f(x)=(x2-4)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,则a=,b=,f(x)的最小值为.
15.(2017浙江宁波二模)定义max{a,b}=,已知函数f(x)=max{|2x-1|,ax2+b},其中a<0,b∈R,若
f(0)=b,则实数b的范围为,若f(x)的最小值为1,则a+b=.
16.已知函数f(x)=|x2-a|.
(1)当a=1时,求f(x)在区间[-1,1]上的最大值;
(2)求f(x)在区间[-1,1]上的最大值M(a)的最小值.
17.(2017浙江温州中学模拟)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1,
设f(x)=.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上恒成立,求实数k的取值范围.
答案：
1.C由幂函数的定义知k=1.又f,所以,解得α=,从而k+α=
2.B因为a<0时,幂函数y=x a在(0,+∞)上是减函数,所以(0.2)a>>2a.
3.C由已知f(x1)=f(x2),且f(x)的图象关于x=-对称,则x1+x2=-,故
f(x1+x2)=f-=a-b+c=c,应选C.
4.C函数h(x)图象的对称轴为x=,要使h(x)在区间[5,20]上是单调函数,应有5或20,即k≤40或k≥160.故选C.
5.A x log52≥-1⇒log52x≥log55-1⇒2x,
令t=2x,则有y=t2-2t-3=(t-1)2-4,
当t=1,即x=0时,f(x)取得最小值-4.故选A.
6依题意设f(x)=xα(α∈R),则有=3,即2α=3,得α=log23,则f(x)=,于是
f-
7.[2,3]f(x)=(x-a)2+5-a2,根据f(x)在区间(-∞,2]上是减函数知,a≥2,则f(1)≥f(a+1),从而|f(x1)-f(x2)|max=f(1)-f(a)=a2-2a+1,由a2-2a+1≤4,解得-1≤a≤3,又a≥2,所以2≤a≤3.
8.(-1,2)当a≤0时,f(x)=x2-2a-2,此时f(x)=0有两个不同零点的条件为2a+2>0,故-1<a≤0;当a>0时,根据函数图象可知,f(x)=0有两个不同零点的条件是f(||)<0,即a-
2<0,因此0<a<2.故符合题意的a的取值范围为(-1,2).
9.A不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,令f(x)=x2-4x-2,x ∈(1,4),所以f(x)<f(4)=-2,所以a<-2.
10.B|x1|+|x2|≥2=2,所以22,则|b|≤1,故选择B.
11.B由题意可知:所有点(s,f(t))(s,t∈D)构成一个正方形区域,则对于函数f(x),其定义域的x的长度和值域的长度是相等的,f(x)的定义域为ax2+bx+c≥0的解集,设x1、x2
是方程ax2+bx+c=0的根,且x1<x2,则定义域的长度为|x1-x2|=-
-,而f(x)的值域为-,则有--,∴|a|=2-,∴a=-4.故选B
12.C设t=f(x),由题意可得g(x)=f(t)=at2+bt+c,t≥k,
函数y=at2+bt+c,t≥k的图象为y=f(x)的图象的部分,
即有g(x)的值域为f(x)的值域的子集,
即[2,+∞)⊆[k,+∞),
可得k≤2,即有k的最大值为2.
故选C.
13.D由题意,可设四个近零点为m,m+1,n,n+1(m<n,m,n∈Z),且n-m≥2,则有
|f(m+1)|=|a(m+1)2+b(m+1)+c|,|f(m)|=|am2+bm+c|,
由|f(m+1)-f(m)|≤|f(m+1)|+|f(m)|,得|2am+b|,同理可得|2an+b|, 因此|(2an+b)-(2am+b)|≤|2an+b|+|2am+b|≤1,
,等号成立当且仅当f(m),f(m+1)异号, 即|2(n-m)a|≤1,∵n-m≥2,∴a
-
f(n),f(n+1)异号,且n-m=2.故a的最大值为
14.40-16根据题意,可知f(0)=f(-2),则-4b=0,b=0;又f(2)=f(-4),则0=12×(16-4a),a=4;所以f(x)=(x2-4)(x2+4x),令g(x)=f(x-1),则函数g(x)的图象是由函数f(x)的图象向右平移1个单位长度得到,因此f(x)与g(x)的最小值相等.而g(x)=f(x-1)=(x2-2x-3)(x2+2x-3)=(x2-3)2-(2x)2=(x2-5)2-16≥-16,故f(x)的最小值为-16.
15.[1,+∞)1∵f(0)=max{1,b}=b,∴b≥1;
作出y=|2x-1|与y=ax2+b的函数图象,如图所示:
∵f(x)的最小值为1,∴y=ax2+b恰好经过点(1,1),
∴a+b=1.故答案为:[1,+∞),1.
16.解(1)当a=1时,f(x)=|x2-1|,f(x)在区间[-1,1]上的最大值为1.
(2)由于f(x)=|x2-a|在区间[-1,1]上是偶函数,故只需考虑f(x)在[0,1]上的最大值即可.若a≤0,则f(x)=x2-a,它在[0,1]上是增函数,故M(a)=1-a.若a>0,由a=1-a知,当a<
时,M(a)=1-a,当a时,M(a)=a,故当a=时,M(a)最小,最小值为
17.解(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,
因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,
故,解得
(2)由已知可得f(x)=x+-2,所以f(2x)-kx≥0可化为2x+-2≥k·2x,
化为1+-2k,令t=,则k≤t2-2t+1,因x∈[-1,1],故t,
记h(t)=t2-2t+1,因为t,故h(t)min=0, 所以k的取值范围是(-∞,0].。
