北师大版高中数学必修五数列的概念教案(1)

学习资料数列§1数列1．1数列的概念学习目标核心素养1．了解数列通项公式的概念．2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点) 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．（重点、难点）1．通过数列基本概念的学习培养数学抽象素养．2．通过数列通项公式的应用培养逻辑推理及数学运算素养．1．数列的基本概念阅读教材P3～P4，完成下列问题．(1)数列的有关概念数列按一定次序排列的一列数叫作数列项数列中的每一个数叫作这个数列的项首项数列的第1项常称为首项通项数列中的第n项a n叫数列的通项(2)数列的表示①一般形式：a1,a2，a3，…,a n，…；②字母表示：上面数列也可记为｛a n}．③数列的分类分类标准名称含义举例按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2，3,4，…，n 无穷数列项数无限的数列1，4,9,…,n2，…思考：(1)［提示]数列1，2,3，4,5和数列5,4，3,2，1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．（2）数列的项和项数有何区别?[提示]数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号,如数列1,2，3，4，5中第1项为a1＝1,其项数是1．2．通项公式阅读教材P5“抽象概括”以下至“例1"以上的内容，完成下列问题．(1）如果数列｛a n｝的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成a n＝f(n），那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．(2）数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．思考：（1)若a n＝2n－1，则a2＋a3的值是什么?[提示］因为a n＝2n－1,所以a2＝2×2－1＝3,a3＝2×3－1＝5，则a2＋a3＝3＋5＝8．（2)数列的通项公式a n＝f(n）与函数解析式y＝f(x)有什么异同？［提示］数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）为定义域的函数a n＝f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域:数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2＋1,则122是该数列的（)A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项C[由n2＋1＝122得n2＝121,∴n＝11．故选C．]2．数列3,4，5,6，…的一个通项公式为（)A．a n＝n B．a n＝n＋1C．a n＝n＋2 D．a n＝2nC[经检验可知,它的一个通项公式为a n＝n＋2．]3．若数列{a n}的通项公式为a n＝sin 错误!,则a2＝________．0[a2＝sin 错误!＝sin π＝0．]4．已知数列｛a n}的通项公式为a n＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．1－1［当n＝8时，a8＝（－1)8＝1．当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1．］数列的概念【例1】(1A．数列0,1，2,3，…的首项是0B．数列｛a n｝中，若a1＝3，则从第2项起，各项都不等于3C．数列中的每一项都是数D．如果已知数列的通项公式，那么可以写出该数列的任意一项(2）下列各组元素能构成数列吗?如果能,构成的数列是有穷数列,还是无穷数列？并说明理由．①8,8,8，8；②－3,－1,1，x，5,7，y，11；③当n取1,2，3,4，…时，(－1）n的值排成的一列数．(1）B［同一个数可以在一个数列中重复出现,故B错误．]（2)［解]①能构成数列，且构成的是有穷数列．②当x，y代表数时是数列,此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的．③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1，1，－1,1,…．数列及其分类的判定方法(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数．(2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列,否则是无穷数列．错误!1．下列说法正确的是（)A．1,2,3，4，…，n是无穷数列B．数列3，5，7与数列7,5,3是相同数列C．同一个数在数列中不能重复出现D．数列｛2n＋1｝的第6项是13D［A错误，数列1,2，…，n，共n项,是有穷数列．B错误，数列是有次序的．C错误，数列中的数可以重复出现．D正确，当n＝6时,2×6＋1＝13．]根据数列的前n项写出数列的通项公式（1)错误!，错误!,错误!，错误!，…；（2)错误!，2，错误!，8，错误!，…；（3)－1，2，－3，4，…；（4)2,22，222,2 222，…．［解]（1）分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5，5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积．故a n＝错误!．(2)将分母统一成2，则数列变为错误!，错误!，错误!，错误!,错误!，…，其各项的分子为n2．∴a n＝错误!．(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同,且奇数项为负,偶数项为正，故a n＝（－1)n·n．(4）通过观察分析可知所求通项公式为a n＝错误!(10n－1)．由数列的前几项求通项公式的思路（1）通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系．(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数,或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式．(3）要借助一些基本数列的通项,如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等．（4）符号用（－1）n或(－1)n＋1来调整．（5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系．[跟进训练]2．(1）数列1，错误!,错误!，错误!,错误!，…的一个通项公式a n＝(）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（2）根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．①错误!，错误!，错误!，错误!，…；②－3，7，－15,31，…;③2，6，2,6，…．(1）B［由已知得，数列可写成错误!，错误!,错误!,错误!，错误!,…，故通项公式为n2n－1．］（2)[解]①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，所以a n＝1(n＋1)(n＋3)．②正负相间，且负号在奇数项,故可用（－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数（项数加1)次幂减1，所以a n＝（－1)n（2n＋1－1）．③此数列为摆动数列，一般求两数的平均数错误!＝4,而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1）n 来表示．所以a n ＝4＋（－1)n ·2或a n ＝错误!通项公式的应用［探究问题]1．已知数列{a n }的通项公式,如何求数列的某一项？[提示] 把n 的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值关于n 的方程．2．已知数列{a n ｝的通项公式，如何判断某一个数是否为该数列中的项？[提示］ 假定这个数是数列中的第n 项，由通项公式可得关于n 的方程，解方程求得n ，若n 是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n 不是正整数，则该数不是数列中的项．【例3】 数列｛a n ｝的通项公式是a n ＝n 2－21n 2(n ∈N ＋）．（1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是,那么是第几项？（2）数列｛a n ｝中是否存在连续且相等的两项？若存在,分别是第几项？ 思路探究：（1）错误!⇒错误!⇒错误!（2）假设存在连续且相等的两项⇒错误!⇒错误!⇒错误! ［解］ （1)若0是{a n }中的第n 项,则错误!＝0， 因为n ∈N ＋，所以n ＝21．所以0是{a n }中的第21项． 若1是{a n ｝中的第n 项，则错误!＝1, 所以n 2－21n ＝2， 即n 2－21n －2＝0．因为方程n 2－21n －2＝0不存在正整数解， 所以1不是｛a n ｝中的项．（2)假设｛a n ｝中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1,解得m ＝10． 所以数列｛a n ｝中存在连续的两项，即第10项与第11项相等．1．(变条件)在例3中，把“a n ＝错误!”改为“a n ＝n 2－3n ”，解答(1）（2）两题． [解］ (1)若0是{a n ｝中的第n 项，则n 2－3n ＝0，因为n ∈N ＋,所以n ＝3，故0是{a n }中的第3项．若1是{a n }中的第n 项，则n 2－3n ＝1,即n 2－3n －1＝0，因为方程n 2－3n －1＝0不存在正整数解，所以1不是{a n ｝中的项．(2）假设{a n ｝中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1,所以m 2－3m ＝（m ＋1)2－3(m ＋1),解得m ＝1．所以数列｛a n ｝中存在连续的两项,第1项与第2项相等．2．（变结论）例3的条件不变,求a 3＋a 4的值和a 2n ．[解] a 3＋a 4＝32－21×32＋错误!＝－61，a 2n ＝错误!＝2n 2－21n ．1．由通项公式写出数列的指定项,主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．1．观察法写通项公式的注意事项据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．2．并非每一个数列均有通项公式，例如由错误!的不足近似值构成的数列1,1．4,1．41,1．414，…，便无通项公式．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”） (1）数列中的项不能相等．( ) (2）数列1，2，3，4,…，n －1，只有n －1项． ( ） (3）数列1,2，3,4，…，n 2是无穷数列． ( ）［答案] (1）× (2)√ (3）×[提示］ 数列中的项可以相等，故(1)错；数列1,2，3，4,…,n 2共n 2项，是有穷数列,故(3)错．2．在数列－1，0,19，错误!，…,错误!，…中0．08是它的( ）A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项C [由题意知，a n ＝错误!． 令a n ＝0．08，即错误!＝错误!， 所以n ＝10,n ＝52（舍去），故选C ．]3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n ，则a 2n ＝________，错误!＝________．3－4n错误![根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．因为a n＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n,错误!＝错误!＝错误!．]4．已知数列{a n｝的通项公式为a n＝错误!．（1）写出数列的前三项；（2）错误!和错误!是不是数列｛a n｝中的项？如果是，是第几项? ［解](1）数列的前三项：a1＝错误!＝1，a2＝错误!＝错误!＝错误!，a3＝错误!＝错误!＝错误!．（2)令错误!＝错误!,则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8,注意到n∈N＋，故n＝－8舍去．所以错误!是数列｛a n}的第5项．令错误!＝错误!，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝错误!或n＝－错误!，注意到n∈N＋,所以错误!不是数列{a n}中的项．。

《数列的概念》本节通过6个实例，指出数列实际就是按一定次序排列的一列数，数列中的每一项和它的序号有关，并由此得出通项、首项、有穷数列等概念，进而抽象出数列可以看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。

实际教学时先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式。

【知识与能力目标】通过本节学习，让学生理解数列的概念，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式。

【过程与方法目标】通过探究、思考、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，大胆猜想，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度。

【情感态度价值观目标】通过对本节的学习，让学生体会数学的科学价值和美学价值，加深学生对数学的理解和认识，激发学生学习数学的兴趣。

【教学重点】理解数列及其有关的概念，了解数列通项公式的意义，会根据数列的前几项写出它的一个通项公式。

【教学难点】根据数列的前几项，归纳出数列的一个通项公式。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分思路1：（情境导入）引导学生阅读章前科学史上的一个真实故事，直观感受数列在科学上的应用价值，体会到小小一列数可真是不简单。

由此点明，本章主要学习有关数列的基本知识，建立等差数列和等比数列两种模型，探索它们的基本数量关系，感受它们的应用，相信你会有更大的收获。

由此进行数列概念的探究，展开新课。

思路2：（直接导入）让学生阅读章前故事后，每人随手写出5个数，教师适时指出，你写的5个数就是一个数列，由此展开新课。

二、研探新知，建构概念探究1.阅读教材P3～P4，完成下列问题。

1．数列的有关概念2.数列的表示。

北师大版高中必修5第一章数列课程设计一、背景数列是数学中一种基本的概念，也是高中数学必修的一个章节。

数列的概念不仅在数学中有广泛的应用，也涉及到某些实际问题的策略和方法。

因此，数列的学习对高中数学的日常课程以及未来的学习和发展有重要的影响。

二、课程设计目标通过本课程，学生应该能够达到以下目标：•掌握数列的概念和性质；•熟练进行数列的公式推导及题目求解；•对数列的应用能够有一定的理解和掌握。

三、教学内容3.1 数列的概念1.数列概念1.等差数列的概念2.等比数列的概念3.斐波那契数列的概念2.数列的性质1.数列有界性及数列极限的概念2.数列的递推公式及通项公式3.2 数列的基本操作1.求和公式的推导及实际应用2.数列基本操作题目讲解及习题完成3.3 数列的应用1.数列在实际问题中的应用2.数列应用题目讲解及习题完成四、教学步骤4.1 第一课时4.1.1 导入数列是数学中的一个基础概念，本章的教学将介绍所涉及到的数列类型及数列的基本性质，让同学们对此有一个清晰的认识。

4.1.2 引入本节课将主要讲解等差数列的概念及性质，包括差、首项、公差等。

学生应该学会如何求出等差数列的通项公式及其与和式的关系。

4.1.3 操作1.老师首先讲解等差数列的概念及性质。

2.引导学生完成一系列简单的等差数列题目，以掌握其推导和应用方法。

3.最后让学生独立完成几道综合性的等差数列应用题目。

4.2 第二课时4.2.1 导入本节课将主要讲解等比数列的概念及性质，包括比、首项、公比等。

学生应该学会如何求出等比数列的通项公式及其与和式的关系。

4.2.2 引入本章主要讲解斐波那契数列的概念及其应用，引导学生从一个简单的问题入手，渐渐深入到一系列的高层应用。

4.2.3 操作1.老师首先讲解等比数列的概念及性质。

2.引导学生完成一系列简单的等比数列题目，以掌握其推导和应用方法。

3.最后让学生独立完成几道综合性的等比数列应用题目。

4.3 第三课时4.3.1 导入数列学习的最后一个环节是数列的应用，是这个学习过程的重点，将深入介绍数列在实际问题中的应用。

第二课时典例剖析题型一 由数列的递推关系，求数列的项例1、设数列{}n a 满足11111(1).nn a a n a -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩写出这个数列的前五项。

题型二 由数列的递推关系，求数列通项公式 【例2】已知数列｛a n ｝的递推公式是a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，且a 1＝1，a 2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛a n ｝的通项公式. 备选题【例3】设12n n S a a a =+++，其中n S 为数列的前n 项和，已知数列{}n a 的前n 项和251n S n =+，求该数列的通项公式。

点击双基1．已知a n +1=a n +3，则数列{a n }是（ ）A.递增数列B.递减数列常数列D.摆动数列2．已知数列{a n }满足a 1=12，且a n +1=21a n ,则数列10a =（）A.81()2B. 91()2101()2D. 111()23．数列1，3，6，10，15，……的递推公式是（ ）A.⎩⎨⎧∈+==+*`,111N n n a a a n nB.⎩⎨⎧≥∈+==-2*,,111n N n n a a a n nC.⎩⎨⎧≥∈++==+2*,),1(111n N n n a a a n nD.⎩⎨⎧∈-+==-*),1(111N n n a a a n n4．设凸n 边形的对角线条数为f (n )，则f (n +1)=______(用f (n )表示).5．根据数列1a ＝3, 1+n a ＝2n a －1 (n ∈N).的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式课外作业一 选择题1．已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是（ ）A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定 2．数列{}n a 中，n n n a a a -=++21，51=a ，23a =，则5a 为（ ） A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 3．正偶数数列 2，4，6，8，10…的递推公式是（ ） A ．)2(21≥+=+n a a n n B ．)2(21≥=-n a a n nC ．)2(2,211≥+==-n a a a n nD ．)2(2,211≥==-n a a a n n4．已知数列{a n }的首项，a 1=1,且a n =2a n －1+1(n ≥2),则a 5为（ ） A.75．若数列{a n }满足a 1=21, a n =1－11-n a ,n ≥2，n ∈N *,则a 2010等于（ ） A.21B.－ C.26．已知{}n a 中，n a a a n n 2,211=-=-，则n a 等于（ ） A ．n n +2B ．n n -2C ．n 2D ．22n 7、在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ） A 11 B 12 C 13 D 148、以下四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是( )A.23B.32C.39D.380 二 填空题9、数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n+5,则a 6+a 7+a 8=______________________.10、已知数列{a n }的递推公式为⎪⎩⎪⎨⎧+==+12111n n n a a a a n ∈N *,那么数列{a n }的通项公式为______.11、已知数列｛a n ｝的递推公式是a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，且a 1＝1，a 2＝3，则a 5=三、解答12、已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=22，求数列{}n a 的通项公式。

1.1 数列的概念1．数列的基本概念阅读教材P3～P4，完成下列问题(1)数列的有关概念①一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…；②字母表示：上面数列也可记为{a n}．③数列的分类[提示] 数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．(2)数列的项和项数有何区别？[提示] 数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号，如数列1,2,3,4,5中第1项为a1＝1，其项数是1.2．通项公式阅读教材P5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题．(1)如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成a n＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．(2)数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．思考：(1)若a n＝2n－1，则a2＋a3的值是什么？[提示] 因为a n＝2n－1，所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，则a2＋a3＝3＋5＝8.(2)数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？[提示] 数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2＋1，则122是该数列的( )A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项C[由n2＋1＝122得n2＝121，∴n＝11.故选C．]2．若数列{a n}的通项公式为a n＝2n2－3n，则a2＝________.2 [a2＝2×22－3×2＝2.]3．数列1,2,3,4,5，…的通项公式为________．a n＝n(n∈N＋) [观察知数列的通项公式为a n＝n(n∈N＋)．]4．已知数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．1 －1 [当n＝8时，a8＝(－1)8＝1.当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1.]A．数列4,7,3,4的首项是4B．数列{a n}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C．数列1,2,3，…就是数列{n}D．数列中的项不能是三角形(2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由．①8,8,8,8；②－3，－1,1，x,5,7，y,11；③当n 取1,2,3,4，…时，(－1)n的值排成的一列数．(1)B [根据数列的相关概念，数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A 正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B 错误；根据数列的相关概念可知C 正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D 正确．](2)[解] ①能构成数列，且构成的是有穷数列．②当x ，y 代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x ，y 中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的．③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1,1，－1,1，….数列及其分类的判定方法(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；(2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．1．下列说法正确的是( ) A ．1,2,3,4，…，n 是无穷数列 B ．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列 C ．同一个数在数列中不能重复出现 D ．数列{2n ＋1}的第6项是13D [A 错误，数列1,2，…，n ，共n 项，是有穷数列． B 错误，数列是有次序的． C 错误，数列中的数可以重复出现． D 正确，当n ＝6时，2×6＋1＝13.](1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)－1,2，－3,4，…；(4)2,22,222,2 222，….[解] (1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积． 故a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(2)将分母统一成2，则数列变为12，42，92，162，252，…，其各项的分子为n 2.∴a n ＝n 22.(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故a n ＝(－1)n·n . (4)通过观察分析可知所求通项公式为a n ＝29(10n－1)．由数列的前几项求通项公式的思路(1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系．(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式．(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等． (4)符号用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．(5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系．2．(1)数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A ．n 2n ＋1B ．n 2n －1C ．n2n －3D ．n2n ＋3(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． ①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，….(1)B [由已知得，数列可写成11，23，35，47，59，…，故通项公式为n2n －1.](2)[解] ①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，所以a n ＝1(n ＋1)(n ＋3).②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数(项数加1)次幂减1，所以a n ＝(－1)n(2n ＋1－1)．③此数列为摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．所以a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 是奇数，6，n 是偶数.[1．已知数列{a n }的通项公式，如何求数列的某一项？[提示] 把n 的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值．2．已知数列{a n }的通项公式，如何判断某一个数是否为该数列中的项？[提示] 假定这个数是数列中的第n 项，由通项公式可得方程，解方程求得n ，若n 是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n 不是正整数，则该数不是数列中的项．【例3】 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－21n2(n ∈N ＋)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 思路探究：(1)令a n ＝0，a n ＝1⇒求n ⇒判断(2)假设存在连续且相等的两项⇒列方程⇒求解⇒判断 [解] (1)若0是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝0，因为n ∈N ＋，所以n ＝21.所以0是{a n }中的第21项． 若1是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝1，所以n 2－21n ＝2，即n 2－21n －2＝0.因为方程n 2－21n －2＝0不存在正整数解， 所以1不是{a n }中的项．(2)假设{a n }中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1，解得m ＝10. 所以数列{a n }中存在连续的两项，即第10项与第11项相等．1．(变条件)在例3中，把“a n ＝n 2－21n2”改为“a n ＝n 2－3n ”，解答(1)(2)两题．[解] (1)若0是{a n }中的第n 项，则n 2－3n ＝0，因为n ∈N ＋，所以n ＝3，故0是{a n }中的第3项．若1是{a n }中的第n 项，则n 2－3n ＝1，即n 2－3n －1＝0，因为方程n 2－3n －1＝0不存在正整数解，所以1不是{a n }中的项．(2)假设{a n }中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1，所以m 2－3m ＝(m ＋1)2－3(m ＋1)，解得m ＝1.所以数列{a n }中存在连续的两项，第1项与第2项相等． 2．(变结论)例3的条件不变，求a 3＋a 4的值和a 2n .[解] a 3＋a 4＝32－21×32＋42－21×42＝－61，a 2n ＝(2n )2－21×2n 2＝2n 2－21n .1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．1．观察法写通项公式的注意事项据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．2．并非每一个数列均有通项公式，如2的不同近似值，依不同的近似值，可得数列1,1.4,1.41,1.414，…，便无通项公式，有些数列通项公式也不唯一．3．通项公式的应用．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列中的项不能相等．( )(2)数列1,2,3,4，…，n －1，只有n －1项．( ) (3)数列1,2,3,4，…，n 2是无穷数列．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)×[提示] 数列中的项可以相等，故(1)错；数列1,2,3,4，…，n 2共n 2项，是有穷数列，故(3)错．2．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项C [由题意知，a n ＝n －2n 2. 令a n ＝0.08，即n －2n 2＝8100， 所以n ＝10，n ＝52(舍去)，故选C ．]3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n，则a 2n ＝________，a 2a 3＝________. 3－4n15 [根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项． 因为a n ＝3－2n， 所以a 2n ＝3－22n＝3－4n，a 2a 3＝3－223－23＝15.] 4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n. (1)写出数列的前三项；(2)110和1627是不是数列{a n }中的项？如果是，是第几项？ [解] (1)数列的前三项：a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝410＝25，a 3＝432＋3×3＝418＝29. (2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0， 解得n ＝5或n ＝－8，注意到n ∈N ＋，故n ＝－8舍去． 所以110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0， 解得n ＝32或n ＝－92，注意到n ∈N ＋，所以1627不是数列{a n }中的项．。

数列概念学案学习目标：了解数列的概念和数列几种常见表示方法（列表、图像、通项公式）并能根据一定条件求数列的通项公式。

学习重点：数列概念学习难点：根据条件求数列的通项公式 学习过程：一、课前准备：阅读P 3—4 二、新课导入：①什么是数列数： ②数列项是： ③按项分类数列分为： 和 ④数列通项公式： 自主测评1、判断下列是否有通项公式若有，写出其通项公式。

①3，3，3，3……②2，4，6，8，10……③1，3，5，7，9……④0，1，0，1，0，1…… ⑤0，1，-2，4，-7，6，10，5，9……2、数列{}n a 中，22(3)2n a log n =+-,写出数列前五项，32log 是这个数列的第几项 探究：（1）是不是所有数列都有通项公式，能否举例说明（2）若数列有通项公式，通项公式是不是唯一的，若不是能否举例说明三、巩固应用例1. P 5 试一试：P 6 T 1-2 例2. P 5 试一试：P 6 T 31、写出下列数列的一个通项公式 ①-2，-2，-2，-2……②7，77，777，7777…… ③0.7，0.77，0.777，0.7777…… ④3，5，9，17，33…… ⑤0，-1，0，1，0，-1，0，1……⑥1112,,,6323…… 四、总结提升 1、探究新知：2、数列通项公式n a 与函数有何联系 五、知识拓展 数列前几项和123nn S a a a a a n-1…+=++++且11(1)()nnn a n a s s n -=⎧=⎨-⎩≥2六、能力拓展 1、数列2102102101,1,1,1223(1)gg g n n +…………××中首次出现负值的项是第几项 ≥≤2、已知数例{}n a 的通项公式254n a n n =-+ （1）数列{}n a 中有多少项是负项？（2）当n 为何值时，n a 有最小值，最小值是多少？3、已知数列{}n a 的前n 项和221n s n n =++，求数列{}n a 的通项公式？自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？作业：P 9 A ：T 4 T 6 B ：T 1。

北师大版高中数学必修五第一章数列小结与复习教案一、数列的概念及相关知识点1.数列的定义：按照一定的顺序排列的一组数。

2.数列的表示：一般表示为{a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...}或者(a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...)，其中a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...依次称为数列的项，a₁称为数列的首项，aₙ称为数列的第n项。

3.数列的分类：-等差数列：差值相等的数列，常用公式：aₙ=a₁+(n-1)d。

-等比数列：比值相等的数列，常用公式：aₙ=a₁q^(n-1)。

-幂次数列：各项是公比的幂次方的数列。

-斐波那契数列：前两项为1，从第3项开始，每一项都等于前两项的和。

-拍数列：数列以递增或递减的方式排列，常用公式：aₙ=a₁+(n-1)bₙ。

4.数列的前n项和：-等差数列：Sₙ=(a₁+aₙ)*n/2-等比数列：Sₙ=(a₁*(q^n-1))/(q-1)，当，q，<1时，Sₙ=a₁/(1-q)。

-幂次数列：Sₙ=(aₙ*q-a₁)/(q-1)。

-斐波那契数列：Sₙ=Fₙ₊₂-1-拍数列：Sₙ=(n*(a₁+aₙ))/2二、数列的综合性题目解法与常用技巧1.求等差数列的和时，如果不能确定Sₙ的公式，则可以考虑用递推公式Sₙ=Sₙ₋₁+aₙ来求解。

2.求证一些结论时，可以尝试先计算前几项得出猜想，然后再进行严格的数学证明。

3.涉及等差数列与等差中项，常使用等差中项的性质：中项等于首项与末项的平均数。

4.利用等差数列的性质进行特殊的构造：例如构造等差数列a,a+d,a+2d，可以进行各种相加，相减和相乘操作。

5.利用平方差公式代数化简计算等差数列时，注意式子的变换与运算。

6.求证题目中如果存在级数或者级数之差的求和，可以考虑用数学归纳法进行证明。

三、教学重点与难点1.教学重点：数列的基本概念与常见分类，数列的各种公式与常用技巧，数列的前n项和公式的推导。

2.教学难点：利用数列的概念与公式解决实际问题，数学证明的推导与展示。

§1.1 数列的概念教学目标1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．教学重难点教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点是数列与函数的联系与区别．教学过程一．揭示课题先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数（板书） 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．（板书）第三章 数列（一）数列的概念二．讲解新课要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9②我国1998~2002年GDP 值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389 ③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533 ④正弦函数x y sin =的图像在y 轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成一列数:2π- 25π- 29π- 213π- 217π- ……⑤正整数 的倒数排成一列数：41,31,21,1...... ⑥某人2006年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 (1100)⑦函数21x y =当 依次取n ,...,3,2,1(*∈N n )时得到一列数：21,...,91,41,1n请学生观察7列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．（板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述七个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．对概念的理解 数集中的元素具有确定性，互异性，无序性，那么数列中的项是否具有这些属性？教师提出问题：1：1，2，3，4与4，3，2，1是否为同一数列？2： -1，1，-1，1是否为一个数列？遇到数学概念不但要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．（板书）2．数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为（板书）（1）列举法． 简记为． 一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法． （板书）（2）图示法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 41,31,21,1…为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即 ，这个函数式叫做数列的通项公式．（板书）（3）通项公式法 认识数列的通项公式数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法。