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2.4-6 差值与拟合2010(2)

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第二章插值法（2）2简单回顾•对于一般的n次代数插值多项式可以写成下列形式：•P n (x )=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n(1)•使其在给定的n+1个互异的插值基点上满足插值原则•P n (x i )=y i , i=0,1,…,n (2)•根据插值原则式(2),代数多项式(1)中的各个系数a 0,a 1,…,a n 应满足下列n+1阶线性方程组2001020002101121112012()()()n n n nn n n n n n n n n nP x a a x a x a x y P x a a x a x a x y P x a a x a x a x y ⎧=++++=⎪=++++=⎪⎨⎪⎪=++++=⎩3●满足插值条件P n (x i )=f (x i ), ( i=0,1,2,…,n)n 次插值多项式P n (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+……+a n x n 存在而且惟一。

●插值余项:R n (x )= f (x )-P n (x )=,●Lagrange 插值多项式()()()nn i i i L x f x l x ==∑011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x −+−+−−−−=−−−− 其中,i =0,1,…,n称为Lagrange 插值基函数每当增加一个节点时,不仅要增加求和的项数,而且以前的各项也必须重新计算.(1)1()()(1)!n n f x n ξω+++11()()()()()nn nii x x x x x x x x xω+==−−−=−∏400100120101011()()[,]()[,,]()() [,,,]()()()n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x −=+−+−−++−−− 牛顿插值5)实际计算过程为x 0 f (x 0)x 1 f (x 1)x 2 f (x 2)…x n −1 f (x n −1)x n f (x n )f [x 0, x 1]f [x 1, x 2]…………f [x n −1, x n ] f [x 0, x 1 , x 2]…………f [x n −2, x n −1, x n ] f [x 0, …, x n ]x n +1 f (x n +1)f [x n , x n +1]f [x n −1, x n , x n +1]f [x 1, …, x n +1] f [x 0, …, x n +1]001001201()()[,]()[,,]()()...n N x f x f x x x x f x x x x x x x =+−+−−+))...(](,...,[100−−−+n n x x x x x x f ...))(](,,[)](,[)()(1021001001+−−+−+=+x x x x x x x f x x x x f x f x N n ))...(](,...,[100−−−+n n x x x x x x f 0101[,...,]()...()()n n n f x x x x x x x x +−+−−−6(1)1()()()(1)!n n n f R x x n ξω++=+1010()()()()()nn n i i x x x x x x x x x ω+==−−−=−∏ 牛顿插值多项式N n (x )与拉格朗日插值多项式L n (x )满足同样的插值条件L n (x j )=f (x j ) (j = 0,1,…,n)，实质是同一多项式，因此余项相同，均可用公式表示为：2.3.3 牛顿插值余项定理3满足插值条件N n (x k ) = f (x k ) (k = 0,1,…,n)的n 次Newton 插值多项式N n (x )的余项为011()()()[,,,,]()n n n n R x f x N x f x x x x x ω+=−= 其中1010()()()()()nn n i i x x x x x x x x x ω+==−−−=−∏需要说明的是，式中的n+1阶差商f [x0,x1,…,xn,x]与f(x)的值（它正是我们要计算的）有关，故不可能准确地计算出f [x0,x1,…,xn,x]的精确值，只能对它作出一种估计。

011()()()[,,,,]()n n n nR x f x N x f x x x x xω+=−=782.3.4 差分以及等距节点牛顿插值多项式上面讨论的是节点任意分布的Newton 插值多项式。

在实际应用中，有时碰到等距节点的情况，即节点为x i = x 0+ih (i =0,1,…,n )这时利用节点等距的特点，可以使Newton 公式简化。

定义4 设函数f (x )在等距节点x i 上的函数值为f (x i )= f i(i =0,1,…,n )，则称f i +1-f i 为f (x )在x i 处以h 为步长的1阶向前差分，简称1阶差分，记作if Δ1i i if f f +Δ=−于是，函数f (x )在各节点处的一阶差分依次为,,…，。

010f f f Δ=−121f f f Δ=−11n n n f f f −−Δ=−9又称一阶差分的差分21()k k k kf f f f +Δ=ΔΔ=Δ−Δ为二阶差分。

一般地，称111kk k i i if f f −−+Δ=Δ−Δ为f (x )在点x i 处以h 为步长的k 阶向前差分，简称k 阶差分10为了便于计算与应用，通常采用表格形式计算差分k f Δ2k f Δ3kf Δ4kf Δ0f Δ1f Δ2f Δ3f Δ2f Δ21f Δ22f Δ3f Δ31f Δ4f Δx k f k x 0x 1x 2x 3x 4f 0f 1f 2f 3f 411010201011()()()() ()()()n n n N x a a x x a x x x x a x x x x x x −=+−+−−++−−− 在等距节点x i =x 0+ih (i =0,1,…,n )情况下，可以利用差分表示牛顿插值多项式的系数，并将所得公式加以简化。

事实上，由插值条件N n (x 0)=f 0立即可得a 0=f 0再由插值条件可得110110()() n f N x a a x x ==+−100110f f f a x x h−Δ==−12由插值条件22012022021()()()()n f N x a a x x a x x x x ==+−+−−可得2020210220212211002()2()()2()22!f hf f x x f f f a x x x x h h f f f f f h h hΔ−−−−+==−−∗−−−Δ==∗⋅一般地，由插值条件N n (x k )=f k 可得0(12)!kk k f a k ,,,n k hΔ==⋅ 于是，满足插值条件N n (x i )=f i 的插值多项式为20000012011()()()()2! ()()()!n n n nf f N x f x x x x x x h h f x x x x x x n h−ΔΔ=+−+−−⋅Δ++−−−⋅13令x = x 0+ th (t >0),并注意到x i =x 0+ih (i =0,1,…,n ),则可简化为20000010000000(1)(1)(1)()2!!-() ,!nn k k nk j t t t t t n N x th f t f f f n f x x t j t f f k h −==−−−++=+Δ+Δ++ΔΔ=−=Δ=∑∏ 其中这个用向前差分表示的插值多项式，称为牛顿向前插值公式。

20000012011()()()()2! ()()()!n n n nf f N x f x x x x x x h h f x x x x x x n h−ΔΔ=+−+−−⋅Δ++−−−⋅14由插值余项公式，可得(1)1()()()(1)!n n n f R x x n ξω++=+1010()()()()()nn n i i x x x x x x x x x ω+==−−−=−∏ ),( )()!1()()1()(0)1(10n n n n x x f h n n t t t th x R ∈+−−=+++ξξ15例从给定的正弦函数表出发计算sin(0.12)，并估计截断误差。

取x 0=0.1,此时，构造差分表。

表中带下划线各数依次为sin x 在x 0=0.1处的函数值和各阶差分。

2.01.01.012.00=−=−=h x x t 0.099830.198670.295520.389420.479430.564640.10.20.30.40.50.6sin x x-0.00096-0.00094-0.00091-0.00199-0.00295-0.00389-0.004800.098840.096850.093900.090010.08521fΔ2fΔ3fΔ16若用线性插值求sin(0.12)的近似值，则可得sin(0.12)≈N 1(0.12)=0.09983+0.2×0.09884＝0.11960用二次插值得)00199.0(2)12.0(2.009884.02.009983.0)12.0()12.0sin(2−×−×+×+=≈N =N 1(0.12)+0.00016=0.11976用三次插值得sin(0.12)≈N 3(0.12)11971.0)00096.0(6)22.0()12.0(2.0)12.0(2=−×−×−×+=N 20000(1)(1)(1)()2!!nn t t t t t n N x th f t f f n −−−++=+Δ+Δ++Δ17因N 3(0.12)与N 2(0.12)很接近，且由差分表可以看出，三阶差分接近于常数（即Δ4f 0接近于零），故取N 3(0.12)=0.11971作为sin(0.12)的近似值，此时由余项公式可知其截断误差000002.0 )4.0sin()1.0(24)32.0()22.0()12.0(2.0)12.0(43<××−×−×−×≤R ),( )()!1()()1()(0)1(10n n n n x x f h n n t t t th x R ∈+−−=+++ξξ18向后差分与牛顿向后插值公式在等距节点x k =x 0+kh (k =0,1,…,n )下，除了上面提到的向前差分外，还可引入向后差分，它的定义和记号如下：y =f (x )在点x k 处以h 为步长的一阶向后差分和m 阶向后差分分别为)2,3,(m 111121 =∇−∇=∇∇−∇=∇−=∇−−−−−k m k m k mk k k k k k y y y y y y y y y y y y −=Δm m m y y y 11−−Δ−Δ=Δ19各阶向后差分的计算，可通过构造向后差分表来完成y 0y 1y 2y 3y 4x 0x 1x 2x 3x 4y k x k k y ∇ky 2∇ky 3∇ky 4∇1y ∇2y ∇3y ∇4y ∇)2,3,(m 111121 =∇−∇=∇∇−∇=∇−=∇−−−−−k m k m k mk k k k k k y y y y y y y y y 42y ∇32y ∇22y ∇33y ∇43y ∇44y ∇向后差分表20利用向后差分，可以简化牛顿插值多项式，导出与牛顿向前插值公式类似的公式。

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插值与拟合实验

插值与拟合实验


x x x x
j 1 j 1 j + 1 j + 1
, x , x 其
j 1
≤ x
x ≤
≤ x
x
j
j
≤ 它
j + 1
1 , 6≤ x≤6 【例 2】 g ( x ) = 】 2 1+ x
用分段线性插值法求插值,并观察插值误差 用分段线性插值法求插值 并观察插值误差. 并观察插值误差 1.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取5个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch11) 2.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取11个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch12) 3.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取21个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch13) 4.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取41个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch14)
Matlab程序： 程序： 程序 ch607.m
【例 5】 】 已知飞机下轮廓线上数据如下， 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。 每改变0.1时的y 0.1时的
X Y
0 0
3 5 7 9 11 12 13 14 15 12 17 20 21 20 18 12 10 16
机翼下 轮廓线
【例 6】 】 测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 3*5网格点处的温度分别为 测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。 z=f(x,y)的图形 1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图. 1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图. 先在三维坐标画出原始数据 输入以下命令： 输入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; mesh(x,y,temps) 2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值. 以平滑数据, 方向上每隔0.2个单位的地方进行插值. 0.2个单位的地方进行插值
插值与拟合试验

插值与拟合试验

实验：插值与拟合实验目的1.掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值的结果进行初步的分析。

2.掌握用MATLAB作线性最小二乘的方法。

3.通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。

实验内容选择一些函数，在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。

通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。

适当增加n，再作比较，由此作初步分析。

y=exp(-x2),-2≤x≤2.取n=5,m=80用MATLAB计算插值数据比较如下：y是精确值，y1是分段线性值，y2是三次样条法插值，y3是拉格朗日插值由于对称性，只给出x>0的值程序：function y=lagr(x0,y0,x)%函数输入：n个节点以数组x0，y0输入，m个插值点以数组x输入?%函数输出：输出数组y为m个插值?n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end结果：x0=-2:0.5:2;y0=exp(-1*x0.^2);x=-2:0.05:2y=exp(-1*x.^2);y1=lagr(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x);y3=spline(x0,y0,x);[x;y;y1;y2;y3]'plot(x,y,'k--',x,y1,'r'),xlabel('x')ylabel('y/y1')title('拉格朗日插值(n=9,m=21)'),legend('原函数曲线','拉格朗日插值曲线'), pause,plot(x,y,'k--',x,y2,'r'),xlabel('x')ylabel('y/y2')title('分段线性插值(n=9,m=21)'),legend('原函数曲线','分段线性插值曲线'), pause,plot(x,y,'k--',x,y3,'r'),xlabel('x')ylabel('y/y1')title('三次样条插值(n=9,m=21)'),legend('原函数曲线','三次样条插值曲线'), x =Columns 1 through 9-2.0000 -1.9500 -1.9000 -1.8500 -1.8000 -1.7500 -1.7000 -1.6500 -1.6000Columns 10 through 18-1.5500 -1.5000 -1.4500 -1.4000 -1.3500 -1.3000 -1.2500 -1.2000 -1.1500Columns 19 through 27-1.1000 -1.0500 -1.0000 -0.9500 -0.9000 -0.8500 -0.8000 -0.7500 -0.7000Columns 28 through 36-0.6500 -0.6000 -0.5500 -0.5000 -0.4500 -0.4000 -0.3500 -0.3000 -0.2500Columns 37 through 45-0.2000 -0.1500 -0.1000 -0.0500 0 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000Columns 46 through 540.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500 0.5000 0.5500 0.6000 0.6500Columns 55 through 630.7000 0.7500 0.8000 0.8500 0.9000 0.9500 1.0000 1.0500 1.1000Columns 64 through 721.1500 1.2000 1.2500 1.3000 1.3500 1.4000 1.4500 1.5000 1.5500Columns 73 through 811.6000 1.6500 1.7000 1.7500 1.8000 1.8500 1.9000 1.95002.0000ans =-2.0000 0.0183 0.0183 0.0183 0.0183 -1.9500 0.0223 0.0048 0.0270 0.0207 -1.9000 0.0271 0.0011 0.0357 0.0243 -1.8500 0.0326 0.0044 0.0444 0.0292 -1.8000 0.0392 0.0127 0.0531 0.0355 -1.7500 0.0468 0.0243 0.0619 0.0433 -1.7000 0.0556 0.0381 0.0706 0.0525 -1.6500 0.0657 0.0535 0.0793 0.0633 -1.6000 0.0773 0.0700 0.0880 0.0757 -1.5500 0.0905 0.0873 0.0967 0.0897 -1.5000 0.1054 0.1054 0.1054 0.1054 -1.4500 0.1222 0.1244 0.1316 0.1229 -1.4000 0.1409 0.1446 0.1579 0.1421 -1.3500 0.1616 0.1660 0.1841 0.1633 -1.3000 0.1845 0.1889 0.2104 0.1863 -1.2500 0.2096 0.2136 0.2366 0.2114 -1.2000 0.2369 0.2402 0.2629 0.2384 -1.1500 0.2665 0.2689 0.2891 0.2675-1.1000 0.2982 0.2998 0.3154 0.2988 -1.0500 0.3320 0.3328 0.3416 0.3322 -1.0000 0.3679 0.3679 0.3679 0.3679 -0.9500 0.4056 0.4050 0.4090 0.4058 -0.9000 0.4449 0.4439 0.4501 0.4455 -0.8500 0.4855 0.4844 0.4912 0.4867 -0.8000 0.5273 0.5261 0.5322 0.5288 -0.7500 0.5698 0.5687 0.5733 0.5716 -0.7000 0.6126 0.6117 0.6144 0.6145 -0.6500 0.6554 0.6547 0.6555 0.6571 -0.6000 0.6977 0.6972 0.6966 0.6989 -0.5500 0.7390 0.7388 0.7377 0.7397 -0.5000 0.7788 0.7788 0.7788 0.7788 -0.4500 0.8167 0.8168 0.8009 0.8159 -0.4000 0.8521 0.8524 0.8230 0.8507 -0.3500 0.8847 0.8850 0.8452 0.8827 -0.3000 0.9139 0.9142 0.8673 0.9117 -0.2500 0.9394 0.9397 0.8894 0.9372 -0.2000 0.9608 0.9610 0.9115 0.9588 -0.1500 0.9778 0.9779 0.9336 0.9763 -0.1000 0.9900 0.9901 0.9558 0.9892 -0.0500 0.9975 0.9975 0.9779 0.99720 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0500 0.9975 0.9975 0.9779 0.9972 0.1000 0.9900 0.9901 0.9558 0.9892 0.1500 0.9778 0.9779 0.9336 0.9763 0.2000 0.9608 0.9610 0.9115 0.9588 0.2500 0.9394 0.9397 0.8894 0.9372 0.3000 0.9139 0.9142 0.8673 0.9117 0.3500 0.8847 0.8850 0.8452 0.8827 0.4000 0.8521 0.8524 0.8230 0.8507 0.4500 0.8167 0.8168 0.8009 0.8159 0.5000 0.7788 0.7788 0.7788 0.7788 0.5500 0.7390 0.7388 0.7377 0.7397 0.6000 0.6977 0.6972 0.6966 0.6989 0.6500 0.6554 0.6547 0.6555 0.6571 0.7000 0.6126 0.6117 0.6144 0.6145 0.7500 0.5698 0.5687 0.5733 0.5716 0.8000 0.5273 0.5261 0.5322 0.5288 0.8500 0.4855 0.4844 0.4912 0.4867 0.9000 0.4449 0.4439 0.4501 0.44550.9500 0.4056 0.4050 0.4090 0.40581.0000 0.3679 0.3679 0.3679 0.3679 1.0500 0.3320 0.3328 0.3416 0.33221.1000 0.2982 0.2998 0.3154 0.2988 1.1500 0.2665 0.2689 0.2891 0.2675 1.2000 0.2369 0.2402 0.2629 0.2384 1.2500 0.2096 0.2136 0.2366 0.2114 1.3000 0.1845 0.1889 0.2104 0.1863 1.3500 0.1616 0.1660 0.1841 0.1633 1.4000 0.1409 0.1446 0.1579 0.1421 1.4500 0.1222 0.1244 0.1316 0.1229 1.5000 0.1054 0.1054 0.1054 0.1054 1.5500 0.0905 0.0873 0.0967 0.0897 1.6000 0.0773 0.0700 0.0880 0.0757 1.6500 0.0657 0.0535 0.0793 0.0633 1.7000 0.0556 0.0381 0.0706 0.0525 1.7500 0.0468 0.0243 0.0619 0.0433 1.8000 0.0392 0.0127 0.0531 0.0355 1.8500 0.0326 0.0044 0.0444 0.0292 1.9000 0.0271 0.0011 0.0357 0.02431.9500 0.0223 0.0048 0.0270 0.02072.0000 0.0183 0.0183 0.0183 0.0183上图是根据插值数据作出的曲线。

插值与拟合

插值与拟合


且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 （Runge）现象。
• 例：在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时， 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x)，但 对于满足条件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值，而是发生突变，产生 剧烈震荡，即Runge现象。
总结
• 拉格朗日插值：其插值函数在整个区间 上是一个解析表达式；曲线光滑；收敛 性不能保证，用于理论分析，实际意义 不大。
• 分段线性插值和三次样条插值：曲线不 光滑（三次样条已有很大改进）；收敛 性有保证；简单实用，应用广泛。
1.2 二维插值
• 二维插值是基于一维插值同样的思想， 但是它是对两个变量的函数Z=f(x,y)进 行插值。
• n=5; • x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x); • subplot(2,2,2), • plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),hold on %原曲线 • plot(x,y1,'b'),gtext('L8(x)','FontSize',12),pause %Lagrange曲线
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
插值与拟合

插值与拟合

实验十一：曲线的插值与拟合（设计性实验）一、实验目的1、掌握用MATLAB 计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析；2、掌握matlab 多项式拟合及最小二乘拟合命令的用法；3、通过实例学习用曲线插值和拟合解决实际问题。

二、实验原理在大量应用中，人们常面临用一个解析函数描述数据间的关系问题。

解决这个问题有两种方法。

函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。

而面对一个实际问题，究竟用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。

在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。

在曲线拟合或回归方法里，是设法找出某条光滑曲线，使它最佳地拟合数据，而不必经过任何数据点。

1、一维插值插值问题的提法是，已知1+n 个节点n j y x j j ,,2,1,0),,( =，其中j x 互不相同，不妨设b x x x a n =<<<= 10，求任一插值点)(*j x x ≠处的插值*y 。

),(j j y x 可以看成是由某个函数)(x g y =产生的，g 的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式。

也可以未知。

求解的基本思路是，构造一个相对简单的函数)(x f y =，使f 通过全部节点，即),,2,1,0()(n j y x f j j ==，再由)(x f 计算插值，即*)(*x f y =。

MATLAB 中用interp1()函数来进行一维插值计算，其调用格式为： y=interp1(x0,y0,x,’method ’)其中x0,y0是同维数据向量，分别表示插值节点的横、纵坐标，x 是待求函数值的插值节点向量。

’method ’为可选项，说明插值使用的方法。

对于一维插值interp1来说，matlab 提供的可选的方法有：nearest,linear,spline,cubic ，它们分别表示最近插值，线性插值，三次样条插值和三次插值。