三角形中内接矩形

探究三角形内接矩形的最大面积在几何学中，三角形内接矩形的最大面积的研究一直是几何学家们一直关注的一个问题，早在古希腊时期就已经开始研究了。

在古希腊，几何学家们特别关注三角形内接矩形的最大面积这一研究，他们发现三角形内接矩形的最大面积是三角形的面积的三分之一，这个结论即是所谓的“克劳底法则”，也就是“克劳底定理”。

劳底定理认为，在任意三角形中，三角形的最大内接矩形的面积是三角形的面积的三分之一，其实这个定理也可以由几何的角度去证明。

我们用简单的步骤来证明这一定理：首先，我们把三角形A、B、C三个顶点连接起来，画出三角形ABC（图1）。

接下来，我们将这个三角形ABC进行象限分割，将其分为六个相等的小三角形（图2）。

紧接着，我们将三角形A、B、C的外接圆的半径均分，把A点的半径均分之后的圆心投射到BC边上，这里就得到了点D，将BC边上的D点连接为ABC三角形的内接矩形的一个顶点（图3）。

因此，由于三角形ABC的六个部分三角形的面积相等，所以三角形ABC内接矩形的面积也就是六分之一，即是三角形ABC的面积的三分之一，这就是克劳底定理（图4）。

另外，我们还可以用数学的方法来证明克劳底定理，我们把三角形A、B、C的边长分别用a、b、c表示，把三角形ABC内接矩形的面积用S表示，那么根据克劳底定理，有：S = 1/3 a b c这就是克劳底定理的数学表达式，也就是三角形ABC的最大内接矩形的面积是三角形ABC的面积的三分之一。

从上面的几何和数学的角度去证明克劳底定理，我们可以看到，三角形内接矩形的最大面积的研究，在古希腊时期已经开始，经过数千年的发展，几何学家们最终得出了克劳底定理，因此，克劳底定理在几何学中有着重要的地位，为研究三角形内接矩形的最大面积这一问题提供了重要的参考。

总结一下，三角形内接矩形的最大面积一直是几何学家们关注的一个重要的研究问题。

古希腊时期已经开始研究三角形内接矩形的最大面积，最终得出了克劳底定理，即三角形的最大内接矩形的面积是三角形的面积的三分之一。

三角形内接矩形的关系式及其应用作者：沐文中来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第02期如果矩形有四个顶点都在三角形的边上，那么这个矩形称为此三角形的内接矩形.三角形及其内接矩形有一个应用广泛的关系式，现介绍如下：命题如图1，矩形EFGH的两个顶点E、H在BC上，另外两个顶点F、G分别在AB、AC上，若BC=a，BC边上的高AD=h，EF=Y，FG=x，则xa+yh=1.证明因为FG∥BC，所以△AFG∽△ABC，所以FGBC=AKAD，即xa=h-yh，所以xa+yh=1.这一关系或在课标入教版，北师大版，华师大版等教材中均有所介绍.下面就举例说明此关系式在中考中的应用.例1 （2012年山东日照）如图2，在Rt△ABC内有矩形PQMN，P、N分别在直角边AB、AC上，Q、M在斜边BC上，已知AB=3，AC=4，内接矩形PQMN的面积等于53，求BQ和MC的长.解因为AB=3，AC=4，所以BC=32+42=5.作AD⊥BC于D，则由AD·BC=AB·AC=2S△ABC得AD=3×45=125.设PQ=y，PN=x，则由关系式，得x5+y125=1. ①又xy=53（已知）②故解①、②得y=2或y=25.因为Rt△CMN∽Rt△CAB，所以CMMN=CAAB即CM=43y，所以CM=83或CM=815.同理可得BQ=34y，故BQ=32或BQ=310.点评本题借助三角形内接矩形的关系式和矩形面积公式列出二元一次方程组，简捷明快地先求得了PQ和PN的长度，然后再通过相似三角形求得BQ和MC的长度，使问题由繁变简，从而使复杂的问题简单化了.例2 （2012年辽宁大连）如图3，在Rt△ABC的斜边AB上任取一点P，过P点作AC、BC的平行线分别交BC、AC于N、M，则△APM和△PBN的面积之和不小于矩形MPNC的面积，试证明之.证明设AC=b，BC=a，PM=x，PN=y，S矩形MPNC=S1，S△APM+S△PBN=S由关系式点评本题应用上述关系式和面积公式，通过变形化简求得xa与yb的积与和，利用韦达定理的逆定理，构造出一元二次方程，再运用根的判别式得证.这种解题思路充分体现了构造法解题的科学性，符合新课程的理念要求，它能使抽象或隐含的条件清晰地显示出来，能把复杂的问题转化为简单的问题，因而解题时，就能化繁为简，变难为易.例3 （2012年云南大理）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长225cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图4所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第几张？所以这张正方形的纸条是第6张.点评本题是一道创新中考试题，通过六次运用本文的关系式，最后求得JK的长为3厘米，从而使实际问题得到了解决，如果不用三角形内接矩形的上述性质求解，将会使思路陷入困境.例4 （2012年山西大同）已知△ABC和内接矩形EFGH（如图5），问：在什么条件下，矩形EFGH的面积最大？解如图5，作AC边上的高BI，交EF于J，设BI=h，AC=b，则由题设条件，可设EH=x，所以由关系式得EFb+xh=1，故EF=bh（h-x），所以矩形EFGH的面积S=f（x）=EF·EH=bh（h-x）x=-bhx2+bx.因为-bh〈0，所以二次函数f（x）有最大值.故当x=--b2·bh=h2时，f（x）max=0-b24-bh=bh4=12S△ABC，这时，EF=bh（h-h2）=b2，所以，当内接矩形的长、宽分别等于三角形的底边和底边上的高的一半时，其面积最大.点评本题是运用本文的关系式和矩形面积公式先求得二次函数解析式，再运用二次函数求最大值的方法，求得矩形面积的最大值，方法新，过程简，易理解，要重视.综上述可知，应用本文关系式解中考问题，其关键在于要从问题的实际出发，根据题设去灵活应用.通过教学实践，笔者认为：注意对学生进行联系课本内容的专题讲座的训练，利于帮助学生理解课本内容提高学习数学的兴趣，利于拓宽学生的视野，提高解题水平，利于启迪学生思维，调动学习的积极性.因此在今后的教学过程中，注意对学生进行这类专题内容的探索与研究，是很有必要的.。

中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。

下面给出几个几何问题。

1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。

2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。

3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。

一、平行线分线段成比例（一）、比例式比例式：1、设2y －3x ＝0（y ≠0），则yyx +＝ ． 比例中项：1、已知线段a=2，b=8，若线段c 是线段a 与b 的比例中项，则c ＝ ．（二）、A 字型1、在△ABC 中，已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝1cm ，AB ＝3cm ，DE ＝4cm ，那么BC ＝ cm ．2、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝4cm ，AB ＝6cm ，DE ＝3cm ，那么BC ＝ cm ．3、如图，在△ABC 中，DE ∥B C ，DB AD ＝21， 则BCDE＝ ． 4、已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，DC AD ＝31，DE ＝6，则AB ＝ ．（三）、X 型1、如图，AB//CD ，AD 与BC 交于点O ， 若35=OD OC ，则BO AO= ．2、如图，E 是平行四边形ABCD 边AD 上一点，且AE ∶ED=1∶2，CE 与BD 交于点O ，则BO ：OD= ．3、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ．且AB ＝2CD ，点E 、F 分别是AB 和BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ．求证：DM ＝2BM ．（四）、中间比1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AB ，那么下列比例式中正确的是（ ） （A ）EB AE ＝FC BF ； （B ）EB AE ＝FBCF；A D CEBDBCAE FE DAB CODACB OB CD AE FMBCADE（C ）BC DE ＝DC AD ； （D ）BC DE ＝ABDF． 2、已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，点F 为AD 上的一点，且AD 2＝AB ·AF ． 求证：EF ∥CD ．3、已知：如图，AB ∥PD ，BC ∥PE ． 求证：AC ∥DE ． 1、判定三角形相似1、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线．过点M 作CM 的垂线与AC 和CB 的延长线分别交于点D 和点E ，求证：△CDM ∽△ABC ；2、已知：如图七，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E 、F 是AB 边所在直线上的两点， 且∠EC F ＝135°.（1）求证：△ECA ∽△CFB ；（2）若AE ＝3，设AB ＝x ，BF ＝y ，求 y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域.针对训练：1、已知矩形ABCD ，长BC=12cm ，宽AB=8cm ，P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点。

三角形内接矩形的结论三角形内接矩形，这个听起来挺复杂的名词，其实也没那么高深。

想象一下，一个三角形，里面竟然能塞进一个矩形，这事儿不就是有点儿像我们在挤公交车的时候，想要在一个小小的空间里挤出个坐席吗？哈哈，是不是觉得有点儿有趣？好吧，今天就来聊聊这个神奇的数学现象。

先来捋一捋这个三角形内接矩形的概念。

简单说，就是你在一个三角形里面，找一个矩形，能完全被三角形包住，听起来是不是像在说一场魔术？我们想象一下，一边是尖尖的三角形，另一边则是四四方方的矩形，真是个奇妙的组合。

这个矩形的边，既得和三角形的边平行，又不能超过三角形的边，简直就像是你在学校里，得按老师的规定来，不能越界！不得不提个小秘密。

三角形内接矩形的最大面积，恰好在三角形的重心位置。

就好比生活中，有时候最舒心的地方就是家里沙发的那个位置，坐下去就觉得整个世界都安静了下来。

数学上，这个重心的概念，听上去高大上，实际上就跟找对了位置，舒服的坐着，真是妙不可言。

再说说这个矩形怎么画。

先不急，先得找到三角形的重心。

嘿，重心是个神奇的地方，不仅能帮我们找到最大面积的矩形，还能让整个三角形看起来更有层次感。

想象一下，你把三角形的三个顶点连起来，随便哪两条边交汇的地方，都是你可以下手的点。

然后，画个矩形，把它安稳地放在里面。

听起来容易，其实就是个“大开脑洞”的过程。

这时候你可能会想，哎，这个矩形的边长有什么讲究吗？没错！这就得提到一个小细节。

矩形的长和宽，得依赖三角形的边，不能太长也不能太短。

就像买衣服一样，适合自己的才是最好的。

多一分则挤，多一分则偏，简直就跟调料一样，得有个合适的比例才行。

说到这里，可能有人会觉得无聊。

其实不然，咱们可以把这个话题轻松一点。

就像生活中的挑战，找到内接矩形的过程，就像找对象，得观察，得比较，最后才能找到合适的那一个。

我们在三角形里寻找矩形的过程，就像是在探索自己的内心，发现最适合自己的那个“形状”。

而且这个内接矩形，还能给我们带来其他的启示呢。