六年级奥数-行程问题(一)流水问题

第一讲行程问题学习目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：发车问题（1）、一般间隔发车问题。

用3个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。

标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。

（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。

时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。

公式类行程问题之流水行船、扶梯问题、环形跑道重要结论：加油站同一条河中两船的相遇与追及和水速无关。

四个速度：丢物品与追物品用的时间一样。

⑴顺水速度＝船速＋水速，V顺＝V船＋V水；⑵逆水速度＝船速－水速，V逆＝V船－V水；⑶船速＝(顺水速度＋逆水速度)÷2；⑷水速＝(顺水速度－逆水速度)÷2。

【例1】（★★）【例2】（★★★）平时轮船从A地顺流而下到B地要行20小时，从B地逆流而上到A 地要行28小时. 现正值雨季，水流速度为平时的2倍，那么，从A 到B再回A共需_____小时. 一只轮船从甲港顺水而下到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用了8小时.已知顺水每小时比逆水多行20千米，又知前4小时比后4小时多行60千米.那么，甲、乙两港相距多少千米？1【例3】（★★★★）【例4】（★★★★）一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50 千米处.客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变.客船出发时有一物品从船上落入水中，10 分钟后此物距客船5 千米.客船在行驶20 千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇.求水流的速度.A、B两地相距100千米，甲乙两艘静水速度相同的船同时从A、B两地出发，相向而行，相遇后继续前进，到达B、A后再沿原路返回。

已知第一次和第二次相遇地点相距20千米，水流速度为每秒2米，那么船的静水速度是每小时多少千米？【例5】（★★★）扶梯问题：（1）顺行速度＝人速＋电梯速度（2）逆行速度＝人速－电梯速度（3）电梯级数＝可见级数＝路程某城市火车站中，从候车室到大厅有一架向上的自动扶梯.海海想逆行从上到下，如果每秒向下迈两级台阶，那么他走过80 级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过60级台阶到达站台.自动扶梯有多少级台阶?2【加加点睛】【例6】（★★★）注意路程和时间的转化小丁在捷运站搭一座电扶梯下楼.如果他向下走14阶，则需时30秒即可由电扶梯顶到达底部；如果他向下走28阶，则需时18秒即可由电扶梯顶到达底部.请问这座电扶梯有几阶？【例7】（★★★）环形路线问题：有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙两人同时同地出发每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发，沿周长是400米（1）相向而行：相遇一次合走一圈的圆形跑道行走，那么最少经过多少分钟之后，3人又可以相聚在跑道上同一处?（2）同向而行：追上一次多走一圈3【例8】（★★★）【例9】（★★★★★）甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米? 二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈后，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。

年级六年级学科奥数版本通用版课程标题行程问题（一）编稿老师宋玲玲一校林卉二校黄楠审核高旭东行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都占有非常重要的地位。

行程问题包括：相遇问题、追及问题、流水问题、火车过桥、环形行程、复杂行程等。

每一类问题都有自己的特点，解决方法也各有不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量、三个关系”：三个量是：路程（s）、速度（v）、时间（t）三个关系：1. 简单行程：路程＝速度×时间2. 相遇问题：路程和＝速度和×时间3. 追及问题：路程差＝速度差×时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的这三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。

要正确的解答有关“行程问题”的应用题，必须弄清物体运动的具体情况。

如运动的方向（相向，相背，同向），出发的时间（同时，不同时），出发的地点（同地，不同地），运动的路线（封闭，不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、交错而过、追及）。

两个物体运动时，运动的方向与运动的速度有着很大关系，当两个物体“相向运动”或“相背运动”时，它们的运动速度都是“两个物体运动速度的和”（简称速度和），当两个物体“同向运动”时，它们的追及速度就变为“两个物体运动速度的差”（简称速度差）。

例如：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A，B之间这段路程，如果两人同时出发，那么AB之间的路程＝甲走的路程＋乙走的路程＝甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间＝（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间“相遇问题”的核心是速度和问题。

例1 小陈和小许二人分别从两地同时骑车相向而行。

小陈每小时行16千米，小许每小时行13千米，两人相遇时距中点3千米。

求全程长多少千米？分析与解：要求全程长多少千米，必须知道“速度和”与“相遇时间”。

奥数行程问题的基本公式Revised as of 23 November 2020行程问题的基本公式基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。

关键问题：确定行程过程中的位置相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写出其他公式）追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

仅供参考：【和差问题公式】（和+差）÷2=较大数；（和-差）÷2=较小数。

【和倍问题公式】和÷（倍数+1）=一倍数；一倍数×倍数=另一数，或和-一倍数=另一数。

【差倍问题公式】差÷（倍数-1）=较小数；较小数×倍数=较大数，或较小数+差=较大数。

【平均数问题公式】总数量÷总份数=平均数。

【一般行程问题公式】平均速度×时间=路程；路程÷时间=平均速度；路程÷平均速度=时间。

【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。

这两种题，都可用下面的公式解答：（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。

【同向行程问题公式】追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。

行程问题和流水问题行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。

解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。

解题关键及规律：同时同地相背而行：路程=速度和×时间。

同时相向而行：相遇时间=速度和×时间同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。

同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。

例甲在乙的后面28 千米，两人同时同向而行，甲每小时行16 千米，乙每小时行9 千米，甲几小时追上乙？分析：甲每小时比乙多行（16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（16-9 ）千米，这是速度差。

已知甲在乙的后面28 千米（追击路程），28 千米里包含着几个（16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。

列式2 8 ÷（16-9 ）=4 （小时）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。

它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。

它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。

船速：船在静水中航行的速度。

水速：水流动的速度。

顺水速度：船顺流航行的速度。

逆水速度：船逆流航行的速度。

顺速=船速＋水速逆速=船速－水速解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。

解题时要以水流为线索。

解题规律：船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2路程=顺流速度×顺流航行所需时间路程=逆流速度×逆流航行所需时间例一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28 千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。

逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。

求甲乙两地相距多少千米？分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。

行程问题（一）一、考点、热点顺水：行驶速度=静水速度+流水速度逆水：行驶速度=静水速度—流水速度相遇问题：相距距离÷速度和=相遇时间追及问题：相距距离÷速度差=追及时间二、典型例题例1 一只船在静水中每小时行8千米，逆水行4小时航行24千米，求水流速度？例2 一只每小时航行13千米的客船在一条河中航行，这条河的水速为每小时7千米，这只客船顺水航行140千米需要多少小时？例3 甲乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达。

求船在静水的速度？例4 甲河是乙河的支流，甲河水流速度为每小时3千米，乙河水流速度为每小时2千米，一艘船沿乙河逆水航行6小时，行了84千米到达甲河，在甲河还要顺水航行133千米，这艘船一共航行多少小时？例5 一艘客船从A港驶往B港顺水下行，每小时航行28千米，到达B港后，又逆水上行回到A港，逆水上行比顺水下行多用2小时，已知水流速度为每小时4千米，求A、B两港相距多少千米？例6 A、B两船分别从上游的甲港和下游的乙港同时相向而行，6小时相遇，然后相并向下游驶去，A船经3小时到达乙港，B船经4小时回到乙港。

已知甲、乙两港间相距936千米，求AB两船的速度及水速各是多少千米？例7 一艘客轮顺水航行60千米需4小时，逆水航行60千米需5小时，现在客轮从上游甲城到下游乙城，已知两城间的水路长75千米。

开船时一旅客从窗口投出一木板，问船到乙城时，木板离乙城还有多少千米？例8 两只木排，甲木排和漂流物同时从A地到B地前行，乙木排也同时从B地向A地前行，甲木排5小时后与漂流物相距75千米，乙木排15小时后与漂流物相遇，两木排的划速相同，AB两地距离多长？三、习题练习1、AB两码头相距360千米，一艘轮船在其间航行，顺流需18小时，逆流需24小时，求水流速度。

2、甲、乙两港相距200千米，有一艘汽艇顺水行完全程需8小时，这条河的水流速度是每小时2.5千米，求逆水行完全程要多少小时？3、一只小船在静水中每小时航行35千米，逆水航行180千米需6小时，顺水航行这段水路需多少小时？4、光明号客船顺水航行200千米要8小时，逆水航行120千米也要8小时，那么在静水中航行200千米需要多少小时？5、一艘客轮每小时行驶27千米，在大河中顺水航行160千米，每小时水速5千米，需要航行多少小时？6、一艘货轮每小时行驶25千米，大河中水速为5千米，要在大河中逆水航行7小时，能行驶多少千米？7、甲乙两地相距270千米，客轮从甲地顺水以每小时27千米的速度航行到乙地要用9小时，这样水速是每小时多少千米？8、一只船顺水行320千米需用8小时，水流每小时15千米，逆水每小时行多少千米？9、惟惟划船，沿河向上游划去，不巧帽子被风刮走了。

1.小学生奥数流水行船公式顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。

解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。

船在静水中行驶，单位时间内所走的距离叫做划行速度或叫做划力；顺水行船的速度叫顺流速度；逆水行船的速度叫做逆流速度；船放中流，不靠动力顺水而行，单位时间内走的距离叫做水流速度。

各种速度的关系如下：（1）划行速度+水流速度=顺流速度（2）划行速度-水流速度=逆流速度（3）（顺流速度+逆流速度）÷2=划行速度（4）（顺流速度-逆流速度）÷2=水流速度流水问题的数量关系仍然是速度、时间与距离之间的关系。

即：速度×时间=距离；距离÷速度=时间；距离÷时间=速度。

但是，河水是流动的，这就有顺流、逆流的区别。

在计算时，要把各种速度之间的关系弄清楚是非常必要的。

2.小学生奥数流水行船练习题根据甲、乙两港的距离和从甲港到乙港的时间可以求出顺水速度是每小时200÷10=20（千米/小时），顺水速度是船速与水速的和，已知船速是水速的9倍，可以求出水速是20÷（1+9）=2（千米/小时），船速为2×9=18（千米/小时），逆水速度为18-2=16（千米/小时）解：顺水速度：200÷10=20（千米/小时）水速：20÷（1+9）=2（千米/小时）船速：2×9=18（千米/小时）逆水速度：18-2=16（千米/小时）返回时间：200÷16=12.5（小时）答：这艘轮船从乙港返回甲港用12.5个小时。

3.小学生奥数流水行船练习题船在静水中的速度为每小时15千米，水流的速度为每小时2千米，船从甲港顺流而下到达乙港用了13小时，从乙港返回甲港需要多少小时？分析：船速＋水速＝顺水速度，可知顺水速度为17千米/时。

顺水行驶时间为13小时，可以求出甲乙两港的路程。

30道奥数行程问题+详解行程问题核心公式：S=V×T，因此总结如下：当路程一定时，速度和时间成反比当速度一定时，路程和时间成正比当时间一定时，路程和速度成正比从上述总结衍伸出来的很多总结如下：追击问题：路程差÷速度差=时间相遇问题：路程和÷速度和=时间流水问题：顺水速度=船速+水流速度；逆水速度=船速-水流速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2:船速=（顺水速度-逆水速度）×2两岸问题：S=3A-B，两次相遇相隔距离=2×(A-B)电梯问题：S=（人与电梯的合速度）×时间=（人’与电梯的合速度）×时间平均速度：V平=2（V1×V2）÷（V1+V2）1、邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面的山坳里，从邮局开始要走12千米的上坡路，8千米的下坡路。

他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地后停留1小时，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局【解析】核心公式：时间=路程÷速度去时：T=12/4+8/5=小时返回：T’=8/4+12/5=小时T总=++1=10小时7：00+10：00=17：00"整体思考：全程共计：12+8=20千米去时的上坡变成返回时的下坡，去时的下坡变成返回时的上坡因此来回走的时间为：20/4+20/5=9小时所以总的时间为：9+1=10小时7：00+10：00=17：002、小明从甲地到乙地，去时每小时走6千米，回时每小时走9千米，来回共用5小时。

小明来回共走了多少千米【解析】当路程一定时，速度和时间成反比速度比=6：9=2：3时间比=3：2—3+2=5小时，正好S=6×3=18千米来回为18×2=36千米3、A、B两城相距240千米，一辆汽车原计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故在途中停留了30分钟。

如果按照原定的时间到达B城，汽车在后半段路程速度应该加快多少【解析】核心公式：速度=路程÷时间前半程开了3小时，因故障停留30分钟，因此接下来的路程需要小时来完成V=120÷=48千米/小时原V=240/6=40千米/小时所以需要加快：48-40=8千米/小时4、甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B 两地的距离等于B，C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车。

奥数行程问题的基本公式HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】行程问题的基本公式基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。

关键问题：确定行程过程中的位置相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写出其他公式）追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

仅供参考：【和差问题公式】（和+差）÷2=较大数；（和-差）÷2=较小数。

【和倍问题公式】和÷（倍数+1）=一倍数；一倍数×倍数=另一数，或和-一倍数=另一数。

【差倍问题公式】差÷（倍数-1）=较小数；较小数×倍数=较大数，或较小数+差=较大数。

【平均数问题公式】总数量÷总份数=平均数。

【一般行程问题公式】平均速度×时间=路程；路程÷时间=平均速度；路程÷平均速度=时间。

【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。

这两种题，都可用下面的公式解答：（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。

【同向行程问题公式】追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。

小学奥数必做的30道行程问题行程问题核心公式：S=V×T，因此总结如下：当路程一定时，速度和时间成反比当速度一定时，路程和时间成正比当时间一定时，路程和速度成正比从上述总结衍伸出来的很多总结如下：追击问题：路程差÷速度差=时间相遇问题：路程和÷速度和=时间流水问题：顺水速度=船速+水流速度；逆水速度=船速-水流速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2船速=（顺水速度-逆水速度）×2两岸问题：S=3A-B，两次相遇相隔距离=2×(A-B)电梯问题：S=（人与电梯的合速度）×时间=（人与电梯的合速度）×时间平均速度：V平=2（V1×V2）÷（V1+V2）1、邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面的山坳里，从邮局开始要走12千米的上坡路，8千米的下坡路。

他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地后停留1小时，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？【解析】核心公式：时间=路程÷速度去时：T=12/4+8/5=4.6小时返回：T’=8/4+12/5=4.4小时T总=4.6+4.4+1=10小时7：00+10：00=17：00整体思考：全程共计：12+8=20千米去时的上坡变成返回时的下坡，去时的下坡变成返回时的上坡因此来回走的时间为：20/4+20/5=9小时所以总的时间为：9+1=10小时7：00+10：00=17：002、小明从甲地到乙地，去时每小时走6千米，回时每小时走9千米，来回共用5小时。

小明来回共走了多少千米？【解析】当路程一定时，速度和时间成反比速度比=6：9=2：3时间比=3：23+2=5小时，正好S=6×3=18千米来回为18×2=36千米3、A、B两城相距240千米，一辆汽车原计划用6小时从A 城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故在途中停留了30分钟。