下载文档原格式
索罗学院
二次函数图像的平移问题
疑点：二次函数的图像如何才能正确平移?
解析：平移在考试中会考，但是分值不会太大，重点是考察一般形式下的二次函数。
平移口诀：上加下减，左加右减。
一般情况下，不用担心h，k的正负情况。
只去看向上向下还是向左向右移就可以了。
1、上下平移将抛物线y=ax²向上移动k个单位，那么得到y=ax²+k
将抛物线y=ax²向下移动k个单位，那么得到y=ax²-k
2、左右平移将抛物线y=ax²向右移动h个单位，那么得到y=a(x-h)²
将抛物线y=ax²向左移动h个单位，那么得到y=a(x+h)²
记住上面4条就可以了。
例如：将抛物线y=ax²向右平行移动1个单位，再向上移动2个单位，就可以得到
y=a(x-1)²+2的图象;
也许你会担心h，k的正负情况，其实不用担心，只需遵循前面那4条，直接把h，k 的值代入式子中。
结论：上加下减，左加右减。
本文由索罗学院整理索罗学院是一个免费的中小学生学习网，上面有大量免费学习视频，欢迎大家前往观看！。
二次函数的平移张尚军在考试中，有些题目是求二次函数平移后的解析式，学生做起来很不方便，普遍感到求平移后的解析式比较困难.就此，我从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律.一.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k （a ≠0）时1.向右或向左平移时，解析式的变化规律.将抛物线向右平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h+m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)²+k 变为y=a[x-(h+m)]2+k=a （x-m-h)2+k两解析式比较可得出图像向右平移m 个单位，括号内减去m ，同理可推出向左平移m 个单位括号内加上m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x+m-h)2+k.2.向上或向下平移时，解析式的变化规律.将抛物线向上平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h ，k ）变为（h ，k+n ）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2²+k 变为y=a(x-h)2+k+n. 比较两个解析式可得出向上平移n 个单位，括号外加n ，同理可推出向下平移n 个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x+m-h)2+k-n.二.当解析式为一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)时1.向右或向左平移时,解析式的变化规律.将抛物线向右平移m 个单位.因为y=ax 2+bx+c=a （x+a 2b ）2+ab 4-ac 42 有前面的规律可知。
y=a(x+a 2b -m)2+ab 4-ac 42 =ax 2+a 4b 2+am ²+bx-2amx-bm+c-a 4b 2=ax 2-2amx+am ²+bx-bx+c=a(x-m)2+b(x-m)+c两式比较,可得出抛物线向右平移m 个单位,自变量上减去m;同理可推出抛物线向左平移m 个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c2.向上或向下平移时,解析式的变化规律.将抛物线向上平移n 个单位,因为y=ax 2+bx+c=a(x+ a 2b )2+ab 4-ac 42 由前面的规律可知 y=a(x+a 2b )2+ab 4-ac 42+n =ax 2+bx+c+n两式比较:可得抛物线向上平移n 个单位,常数项上加n;同理可推出抛物线向下平移n 个单位,自变量上减去n ，即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=ax 2+bx+c -n. 综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项.当解析式为交点式y=a(x-1x )(x-2x )时，解析式的变化规律，请读者自己完成.应用这一规律，不但便于教师授课，而且更有利于学生掌握应用，解起题来更加方便快捷.发表于2012.08下旬总第132期《新课程学习》。
研究二次函数的平移性质二次函数是代数学中的重要概念，它可以用来描述很多现实生活中的实际问题。
在研究二次函数时，我们经常要讨论其平移性质，即改变函数图像的位置。
平移是函数图像向左、向右、向上或向下移动的过程。
接下来，我将详细讨论二次函数的平移性质。
二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数。
a决定了二次函数的开口方向和曲率，b决定了二次函数图像的位置，c决定了二次函数图像与y轴的截距。
首先我们来讨论二次函数图像向左或向右平移的情况。
当二次函数y=ax²+bx+c向左平移h个单位时，x的值变为x-h，实际上就是将原来的二次函数图像沿x轴方向右移h个单位。
这意味着函数图像上的每一个点(x, y)都变成了(x-h, y)。
同样地，当二次函数向右平移h个单位时，函数图像上的每一个点(x, y)都变成了(x+h, y)。
接下来我们来讨论二次函数图像向上或向下平移的情况。
当二次函数y=ax²+bx+c向上平移k个单位时，y的值变为y+k，实际上就是将原来的二次函数图像沿y轴方向上移k个单位。
这意味着函数图像上的每一个点(x, y)都变成了(x, y+k)。
同样地，当二次函数向下平移k个单位时，函数图像上的每一个点(x, y)都变成了(x, y-k)。
从平移的性质可以看出，平移只会改变二次函数图像的位置，而不会改变其形状或曲率。
这对于解决实际问题时十分有用。
在研究二次函数的平移性质时，我们还需要考虑平移的方向和距离。
平移的方向由平移量的正负决定，正值表示向右或向上平移，负值表示向左或向下平移。
平移的距离由平移量的大小决定，距离越大，平移得越远。
此外，我们还可以利用平移性质得到一些关于二次函数的重要结论。
例如，对于二次函数y=ax²+bx+c，如果我们知道其顶点的坐标为(h, k)，那么可以得到以下结论：1.此二次函数的顶点坐标为(h,k)。
这是因为顶点是二次函数图像的最低点或最高点，通过平移性质，我们可以将二次函数平移到顶点为原点的位置，即y=a(x-h)²+k。
二次函数的平移与垂直变换二次函数是高中数学中的一个重要概念，它是指一个以x的二次方作为最高次项的函数。
在图像的表示中，二次函数的平移与垂直变换是非常常见的操作。
本文将介绍二次函数的平移与垂直变换的概念和应用，并通过具体的例子进行解析。
一、平移变换平移是指将函数的图像沿着x轴或y轴的方向进行移动。
对于二次函数，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1.水平平移水平平移是指将函数的图像沿着x轴的方向进行移动。
具体而言，当二次函数的公式为y=a(x-h)²+k时，其中h表示水平平移的单位数。
当h为正数时，图像会向右移动h个单位；当h为负数时，图像会向左移动h个单位。
例如，考虑二次函数y=x²，我们可以通过改变h的值来实现水平平移。
当h=2时，原来的抛物线图像会向右平移2个单位，变为y=(x-2)²。
同样地，当h=-3时，图像会向左平移3个单位，变为y=(x+3)²。
2.垂直平移垂直平移是指将函数的图像沿着y轴的方向进行移动。
具体而言，当二次函数的公式为y=a(x-h)²+k时，其中k表示垂直平移的单位数。
当k为正数时，图像会向上移动k个单位；当k为负数时，图像会向下移动k个单位。
举个例子，考虑二次函数y=x²，我们可以通过改变k的值来实现垂直平移。
当k=3时，原来的抛物线图像会向上平移3个单位，变为y=x²+3。
同样地，当k=-4时，图像会向下平移4个单位，变为y=x²-4。
二、垂直变换垂直变换是指对函数的图像进行纵向的拉伸或压缩。
对于二次函数来说，这可以通过改变a的值来实现。
当a>1时，图像会被纵向拉伸；当0<a<1时，图像会被纵向压缩。
具体来说，当二次函数的公式为y=ax²时，参数a的变化会影响曲线的形状。
举个例子，考虑二次函数y=x²，我们可以通过改变a的值来实现垂直变换。
当a=2时，原来的抛物线图像将被纵向拉伸，变为y=2x²。
二次函数的平移问题关于二次函数的平移变换问题二次函数的平移变换可以分为上下平移和左右平移两种情况。
1.上下平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行上下平移，可以进行以下变换：向上平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c+m；向下平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c-m。
需要注意的是，m为正数，若m为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。
一般称这种变换为上加下减或上正下负。
2.左右平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行左右平移，可以进行以下变换：先将函数化为顶点式y=a(x-h)²+k；向左平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h+n)²+k；向右平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h-n)²+k。
需要注意的是，n为正数，若n为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。
一般称这种变换为左加右减或左正右负。
例题：1.将抛物线y=-x²向左平移一个单位，再向上平移三个单位，平移后的表达式为（）A。
y=-(x-1)²+3B。
y=-(x+1)²+3C。
y=-(x-1)²-3D。
y=-(x+1)²-32.抛物线y=x²+bx+c向右平移两个单位，再向下平移三个单位，得到的抛物线表达式为y=x²-2x-3，则b、c的值分别为（）A。
b=2，c=2B。
b=2，c=0C。
b=-2，c=-1D。
b=-3，c=23.将函数y=x²+x的图像向右平移a（a>0）个单位，得到函数y=x²-3x+2的图像，则a的值为（）A。
1B。
2C。
3D。
44.已知二次函数y=x²-bx+1（-1≤b≤1），当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。
下列关于抛物线移动方向的描述中，正确的是（）A。
二次函数的平移与伸缩二次函数是一种常见的数学函数，在数学和物理等领域有广泛的应用。
平移和伸缩是二次函数的重要性质，它们可以改变函数图像的位置和形状。
本文将详细介绍二次函数的平移和伸缩的概念、性质及其在图像变化中的应用。
一、平移的概念与性质平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向上下或左右移动，而不改变函数的形状。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，平移的一般形式可以表示为 f(x - h) + k，其中 (h, k) 表示平移的距离和方向。
1. 水平平移：当 h > 0 时，函数图像向右平移 h 个单位；当 h < 0 时，函数图像向左平移 |h| 个单位。
2. 垂直平移：当 k > 0 时，函数图像向上平移 k 个单位；当 k < 0 时，函数图像向下平移 |k| 个单位。
平移的性质：平移后的函数图像与原函数图像相似，但位置发生了变化。
平移不改变二次函数的对称轴和开口方向。
二、伸缩的概念与性质伸缩是指将函数图像在坐标轴的方向上拉长或压缩，通过改变函数的系数实现。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，伸缩的一般形式可以表示为 f(px) = a(p·x)^2 + b(p·x) + c，其中 p 表示伸缩的比例。
1. 水平伸缩：当 p > 1 时，函数图像在 x 轴方向上被压缩；当 0 < p < 1 时，函数图像在 x 轴方向上被拉长。
2. 垂直伸缩：当 a > 1 时，函数图像在 y 轴方向上被拉伸；当 0 < a< 1 时，函数图像在 y 轴方向上被压缩。
伸缩的性质：伸缩后的函数图像与原函数图像相似，但形状和大小发生了改变。
伸缩改变了二次函数的开口程度，但不改变二次函数的对称轴。
三、平移与伸缩的应用1. 位置调整：通过平移可以将函数图像移动到坐标系中合适的位置，使得图像与实际问题相符合。
二次函数的平移与缩放二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
在这篇文章中，我们将探讨二次函数的平移和缩放以及如何在二维平面中对其进行图形变换。
一、平移平移是指将函数图像沿着坐标轴上下左右方向移动的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c来说，平移可以通过改变常数b和常数c实现。
1. 沿x轴平移当我们想要将二次函数沿x轴平移时，只需要改变常数c的值即可。
若c>0，则图像向上平移；若c<0，则图像向下平移。
平移的距离与常数c的绝对值成正比。
2. 沿y轴平移相对于沿x轴平移，沿y轴平移需要更改常数b的值。
当b>0时，图像向右平移；当b<0时，图像向左平移。
平移的距离与常数b的绝对值成正比。
3. 综合平移如果我们需要进行综合平移，即同时沿x轴和y轴方向移动，我们可以同时改变常数b和常数c的值。
二、缩放缩放是指通过改变二次函数中的参数a的值来改变函数图像的形状和幅度。
1. a的绝对值大于1当a的绝对值大于1时，函数图像会在x轴的方向上发生压缩，图像将变得更瘦高。
a的绝对值越大，图像的压缩程度也越高。
2. 0 < a的绝对值 < 1当0 < a的绝对值 < 1时，函数图像会在x轴的方向上发生伸展，图像将变得更矮胖。
a的绝对值越小，图像的伸展程度也越高。
3. a的值为负数当a的值为负数时，函数图像将上下翻转。
这种情况下，函数图像的顶点将变为最低点，变为最低点处的y值也会变为最高点处的y值。
三、综合平移与缩放在实际应用中，我们常常需要同时进行平移和缩放来对二次函数进行变换。
这样可以更好地适应我们的需求，并绘制出我们想要的图像形状和位置。
综上所述，二次函数的平移与缩放是通过改变函数中的常数a、b和c的值来实现的。
平移是通过改变常数b和常数c的值来实现图像在坐标轴上的上下左右移动。
缩放是通过改变常数a的值来改变函数图像的形状和幅度。
二次函数的平移翻折与缩放二次函数的平移、翻折与缩放是数学中常见的概念，它们描述了二次函数图像相对于原点的位置、方向和大小的变化。
在本文中，我将详细介绍二次函数的平移、翻折与缩放的概念和公式，并通过实例来说明其应用。
一、平移平移是指二次函数图像在平面上沿着坐标轴的平行方向上移动一定的距离。
对于二次函数y = a(x-h)² + k，其中(h, k)表示原点O到新的位置的平移向量。
横向平移：当平移向量为(h, 0)时，图像将沿x轴方向移动h个单位。
若h>0，图像向右移动；若h<0，图像向左移动。
纵向平移：当平移向量为(0, k)时，图像将沿y轴方向移动k个单位。
若k>0，图像向上移动；若k<0，图像向下移动。
通过改变平移向量的值，我们可以观察到二次函数图像在平面上不同位置的变化。
例如，考虑二次函数y = x²，若将其向右平移3个单位，则新的函数为y = (x-3)²。
图像向右移动了3个单位，其形状保持不变。
二、翻折翻折是指二次函数图像关于坐标轴进行对称。
分为横向翻折和纵向翻折两种情况。
横向翻折：当翻折轴为x轴时，二次函数图像关于x轴进行对称。
对于二次函数y = a(x-h)² + k，进行横向翻折后，新的函数为y = -a(x-h)² + k。
此时，形状不变，但图像位于原来位置的上方。
纵向翻折：当翻折轴为y轴时，二次函数图像关于y轴进行对称。
对于二次函数y = a(x-h)² + k，进行纵向翻折后，新的函数为y = a(-x-h)² + k。
此时，形状不变，但图像位于原来位置的左侧。
通过翻折操作，我们可以将二次函数图像在平面上不同位置进行对称变换。
例如，考虑二次函数y = x²，若将其关于x轴翻折，则新的函数为y = -x²。
图像关于x轴对称，形状保持不变。
三、缩放缩放是指二次函数图像在平面上根据比例因子进行拉伸或压缩。
《二次函数的平移》教学设计杜军涛
一、教材分析
1、教材分析
本节课是北师大新版初中数学九年级下册第二章第三节二次函数的平移的一个延伸和拓展，也是陕西中考近几年的一个热点和难点。
本节课是在八年级下册第三章学习了图形的平移之后，在九年级下学习了二次函数的图像和性质，a,b,c对图像的影响，二次函数的平移的基础上的进一步专题研究。
通过本节课的学习为后面二次函数的旋转变换，对称变换提供了一定的研究思路，也为后面二次函数其他的专题研究打下了基础，同时又为高中的数学学习做好了铺垫，具有承上启下的作用。
2、学情分析
学生的身心特点：九年级的学生他们有着强烈的求知欲，具有一定的观察能力，模仿借鉴能力，思维和思辨的能力。
他们喜欢动手操作，独立思考，合作交流，他们乐于在课堂上展
示自己的想法和做法。
因此，本节课我将留出充足的时间和思维空间让学生进行自主探索学习，合作交流，展示自己独特的想法。
从认知状况来说：九年级学生学生在此之前已经学习了图形（包括直线，抛物线）的平移，对二次函数的平移已经有了初步的认识，但是部分学生对于二次函数的平移只是记住了平移
规律，对于平移的本质理解不够深刻。
对于二次函数平移与几何图形相结合的问题（由于其
抽象程度较高，）仍有一定的困难，因此本节课会将重心放在引导分析以上两个问题。
基于以上对教材和学情的认识，我设计了如下的教学目标
二、教学目标分析
教学目标：理解并掌握在平移过程中图像的变化对a,b,c的影响
通过对二次函数平移的研究，培养学生的动手操作、观察、分析、分类讨论、归
纳概括的能力；
情感、态度和价值观：通过数学活动让学生学会与人相处，养成自主探索，合作交流的良好学习习惯。
教学重点：利用二次函数的平移解决几何图形的的相关问题，培养学生数形结合的思想方法。
教学难点：利用二次函数的平移解决几何图形的的相关问题，培养学生数形结合的思想方法。
三、教学方法分析
按照新课标的理念；本节课我将采用启发式、讨论式的教学方法，以问题串的形式由浅入深，层层递进，尊重学生的个体差异，激发学生的求知欲，始终在学生知识的“最近发展区”
设置问题，给学生留出足够的思考时间和思维空间，让学生进行自主探索和合作交流，从真正意义上完成对知识的自我建构。
四、学习方法分析：
通过开展自主探索，合作交流，展示等活动，培养学生分析问题，解决问题的能力
五、教学过程：
新课标指出，教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，
是师生共同发展的过程。
为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：
(1) 复习导入（2分钟）
同学们，在前面我们已经学习了平移，那么什么叫平移？平移有哪些特点?
本节课我们就来进一步学习“二次函数中的平移问题”
(2)基础练习（自主学习环节）(5分钟）
例1：已知抛物线4)1(2+--=x y ，向右平移2各单位，再向下平移3个单位，所得抛物
线的解析式为__________.
变式1：已知抛物线4)1(2+--=x y ，经过平移后的抛物线的解析式为1162+--=x x y ,
请写出平移方向和距离________.
变式2：已知抛物线4)1(2+--=x y 向上（下），或向左（右）平移m 个单位，使平移后
的图像恰好经过原点，则m 的最小值为__________.
设置意图：以问题串的形式由浅入深，层层递进，尊重学生的个体差异，激发学生的求知欲，同时引导学生理解“线”的平移的本质就是“点”的平移，一般抓关键点（如顶点或交点），同时也为后面的旋转变换和对称变换打好基础，初步渗透数形结合的思想方法。
（3 )例题讲解 (自主学习环节）（10分钟）
变式3:（2016年陕西中考第24题变形）
例2：已知: 如图抛物线L: 经过点A （-1，0）和B （3，0）与y 轴交于点C (0，3) ①求抛物线的解析式
②平移抛物线L ，使平移后的抛物线经过点A （-1，0） 且与y 轴交于点E ，同时满足以A 、O 、E 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
24
3217
4
学生可能存在的问题：
问题1： 学生不知道怎样才能得到平移过程？
问题2: 学生容易忽略平移过程中的不变量a=-1，A(-1，0)这些已知条件？
问题3: 学生对等腰直角三角形的认识不足（特别是点A 和点E 的位置理解不清）？ 问题4： 学生考虑不全面？
设计意图：引导学生从代数的角度，和几何的角度寻找等量关系并求解，渗透数形结合和分类讨论的数学思想方法。
变式4：拓展提升（2013年陕西中考第24题变形）（合作交流10分钟）
已知抛物线的顶点为P （1，0），且经过点（0，1）．
（1）求该抛物线对应的函数的解析式；
（2）将该抛物线向下平移m 个单位，设得到的抛物线的顶点为A ，与x 轴的两个交点为B 、C （点B 在点C 的左侧），若△ABC 为等边三角形．求m 的值；
∵由△ABC 为等边三角形，
∴BH=HC=12
BC ，∠CAH=30°，
∴HC 即m =，
由m ＞0，
解得：m=3
（3）将2(1)y x =-向下平移m 个单位得2(1)y x m =-- ①若90PBC ∠=，此时抛物线经过原点， 把（0,0）代入2(1)y x m =--中得， m=1
②若BPC 90∠=，则此时点B 一定在x 轴负半轴.
当y=0时 22(1)-0x m -=即
C(1+可证△BOP ∽△POC
∴OC 2=OAOB
2
= 1=m-1 , 解得 m=2
11)
③若BCP90
∠=，则此种情况不存在.
综上所述：m=1或m=2
变式五：
已知抛物线L：y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B（3，0），该抛物线的对称轴为直线x=1．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线L平移得到抛物线L'，如果抛物线L'经过点C时，那么在抛物线L'上是否存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，应将抛物线L怎样平移；若不存在，请说明理由
设置意图:强化学生对图形的认知能力，学会举一反三，一题多变（例如：平移前后抛物线上的关键点构成的四边形若为平行四边形，或矩形，菱形，正方形其方法不变）
六、小结归纳，拓展深化（3分钟）
①通过本节课的学习，你学会了哪些知识；
②通过本节课的学习，你最大的体验是什么；
③通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的方法？
七、布置作业，提高升华
以作业的巩固性和发展性为出发点，设计必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的进一步延伸。
总的设计意图是反馈教学，巩固提高。
八、板书设计
一：平移的特点例2：三：课堂小结：1,2,3
二：例题讲解变式4：
例1：变式5：四：作业布置：
变式1：
变式2
九、教学反思：。
