上海市重点期中考试：徐汇中学高一期中数学试卷及参考答案(2019.11)

上海市徐汇区高一上学期期中考试数学试卷一、填空题（共12小题）.1．集合M＝{x∈R|x≤2020}，有下列四个式子：①π∈M；②{π}⊆M；③π⊆M；④{π}∈M，其中正确的是（填序号）．2．将化为有理数指数幂的形式为．3．陈述句“x＞1或y＞1”的否定形式是．4．若0＜a＜1，s＜0，则a s1（填符号“＞，≥，＜，≤，”）．5．已知集合A＝{x，y}，B＝{2x，2x2}，且A＝B，则集合A＝．6．已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m 的取值范围为．7．关于x的不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），则实数a＝．8．如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是．9．若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为．10．已知正数x，y满足4x+9y＝xy且x+y＜m2﹣24m有解，则实数m的取值范围是．11．不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b∈Z，则a+b＝．12．已知实数a＞b＞c，且满足：a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，则s＝b+c的取值范围是．二、选择题13．已知a1a2b1b2≠0，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0有相同的解集；陈述句，则P是Q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（）A．B．C．D．15．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（）①；②；③；④．A．4B．3C．2D．116．已知，集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，且c1≤c2≤c3≤c4，则c4﹣c1不可能的值是（）A．4B．9C．16D．64三、解答题17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．（1）若A∪B＝A，求实数a的值；（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19．（1）设集合P＝{n|n＝3k+1，k∈N}，集合Q＝{n|n＝3m﹣2，m∈N}，求证：P⊂Q；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，当函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为6时，求证：++≥12．20．（16分）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为∅，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围．21．（18分）已知集合A＝{a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝0，且na n＝2（a1+a2+…+a n）；（3）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．参考答案一、填空题1．集合M＝{x∈R|x≤2020}，有下列四个式子：①π∈M；②{π}⊆M；③π⊆M；④{π}∈M，其中正确的是①②（填序号）．解：因为π≈3.14，所以元素π∈M，集合{π}⊆M，故①②正确，③④错误．故答案为：①②．2．将化为有理数指数幂的形式为．解：∵a＞0，∴＝＝＝．故答案为：．3．陈述句“x＞1或y＞1”的否定形式是x≤1且y≤1．解：命题为全称命题，则“x＞1或y＞1”的否定形式为x≤1且y≤1，故答案为：x≤1且y≤1．4．若0＜a＜1，s＜0，则a s＞1（填符号“＞，≥，＜，≤，”）．解：∵0＜a＜1时，函数y＝a x为减函数，∴当s＜0时，a s＞a0＝1，故答案为：＞．5．已知集合A＝{x，y}，B＝{2x，2x2}，且A＝B，则集合A＝．解：显然x≠0，由A＝B得，解得．故答案为：{，1}．6．已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m 的取值范围为[0，3]．解：∵P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴，解得0≤m≤3，∴m的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．7．关于x的不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），则实数a＝2．解：∵|2x﹣a|+a＜6，∴a﹣6＜2x﹣a＜6﹣a，即a﹣3＜x＜3，∵不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），∴a﹣3＝﹣1，解得a＝2．故答案为：2．8．如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是3﹣2（当且仅当时取等号）．解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积S＝ab．由已知，得a+b+c＝2，∴a+b+＝2，∴2＝a+b+≥2+＝（2+），∴≤＝2﹣，∴ab≤（2﹣）2＝6﹣4，∴S＝ab≤3﹣2，当且仅当a＝b＝2﹣时，S取最大值3﹣2．故答案为：3﹣2（当且仅当时取等号）．9．若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为7．解：∵2a＝72b＝m，∴a＝log2m，2b＝log7m，∴b＝＝＝log49m，∴+＝2，∴log m2+log m49＝2，∴log m98＝2，∴m2＝98，∴m＝7．故答案为：7．10．已知正数x，y满足4x+9y＝xy且x+y＜m2﹣24m有解，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．解：∵正数x，y满足4x+9y＝xy，∴+＝1，∴x+y＝（x+y）（+）＝++13≥2+13＝25，当且仅当＝，即x＝15，y＝10时取等号，∴x+y的最小值为25，∵x+y＜m2﹣24m有解，∴25＜m2﹣24m，即m2﹣24m﹣25＞0，解得m＞25或m＜﹣1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．11．不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b∈Z，则a+b＝10或4．解：当b≤0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，可得ax+3＜0对x∈（﹣∞，0）恒成立，则a不存在；当b＞0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，令f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，又g（x）的大致图象如图所示，所以，又a，b∈Z，所以或，所以a+b＝4或a+b＝10．故答案为：4或10．12．已知实数a＞b＞c，且满足：a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，则s＝b+c的取值范围是．解：∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴b+c＝1﹣a，bc＝[（b+c）2﹣（b2+c2）]＝a2﹣a﹣1，∵bc＜，∴a2﹣a﹣1＜，∴3a2﹣2a﹣5＜0，即，∴＜1﹣a＜2，∴＜b+c＜2，下面精确a的下限，假设a＜1，由a＞b＞c，由﹣＜b＜a＜1，﹣＜c＜a＜1，所以a2＜1，b2＜1，c2＜1，因此a2+b2+c2＜3，矛盾，故a＞1，所以b+c＝1﹣a＜0，综上可得＜b+c＜0，故答案为：．二、选择题13．已知a1a2b1b2≠0，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0有相同的解集；陈述句，则P是Q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：∵若＝时，如取a1＝b1＝1，a2＝b2＝﹣1，关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0即不等式x+1＞0与﹣x﹣1＞0的解集不相同，∴“＝”不能推出“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”，反之，“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”⇒“＝”，∴P是Q的充分非必要条件．故选：A．14．设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（）A．B．C．D．解：由lg2＝a，lg3＝b，得log1225＝＝．故选：D．15．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（）①；②；③；④．A．4B．3C．2D．1解：a，b为非零实数，①∵（a﹣b）2≥0，展开可得；②∵（a﹣b）2≥0，展开可得a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴；③取a＝b＝﹣1，则不成立；④取ab＜0，则不成立．综上可得：成立的只有①②．故选：C．16．已知，集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，且c1≤c2≤c3≤c4，则c4﹣c1不可能的值是（）A．4B．9C．16D．64解：∵集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，则函数f（x）有7个解，且全是整数，又∵x2﹣4x+m＝0 中两个解满足x1+x2＝4，x1•x2＝m，∴可知解为2和2，3和1，4和0，5和﹣1，6和﹣2，7和﹣3，8和﹣4，9和﹣5，10和﹣6，..．∴m＝4，3，0，﹣5，﹣12，﹣21，﹣32，﹣45，﹣60..．∵c1≤c2≤c3≤c4，∴C4＝4，则C1＝﹣5，或﹣12，或﹣21，或﹣32，或﹣45，或﹣60，..．则c4﹣c1不可能的值是4，故选：A．三、解答题17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．（1）若A∪B＝A，求实数a的值；（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．解：（1）由x2﹣3x+2＝0得x＝1或2，所以A＝{1，2}，由x2﹣ax+a﹣1＝0得x＝1或a﹣1，所以1∈B，a﹣1∈B，因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a﹣1＝1或2，所以a＝2或3；（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A，当C＝∅时，Δ＝4（m+1）2﹣4（m2﹣5）＜0，解得m＜﹣3，当C＝{1}时，，无解，当C＝{2}时，，解得m＝﹣3，当C＝{1，2}时，，无解，综上，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]．18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（Ⅰ）由题意知，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将代入化简得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增在[0，a]上单调递增，所以x＝a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（注：当a≥1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）19．（1）设集合P＝{n|n＝3k+1，k∈N}，集合Q＝{n|n＝3m﹣2，m∈N}，求证：P⊂Q；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，当函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为6时，求证：++≥12．【解答】证明：（1）先证P⊆Q，任取n∈P，存在m＝k+1∈N，使得n＝3k+1＝3（k+1）﹣2＝3m﹣2∈Q，∵P⊆Q，又∵﹣2∈Q，﹣2∉P，∴P⊂Q，即得证．（2）证明：∵f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）+（b﹣x）|+c＝a+b+c＝6，∴＝，当且仅当a＝b＝c＝2时取等号，故．20．（16分）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为∅，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围．解：（1）当a＝4时，﹣1≥0无解，满足题意，当a＝﹣4时，8x﹣1≥0有解，舍去，当a≠±4时，解得，综上，实数a的取值范围是；（2）由得，即（x+2）[（m﹣1）x﹣（3m+2）]≥0且x≠﹣2，当m＝1时，，解集为x∈（﹣∞，﹣2），当m＞1时，，且x≠﹣2，解集为，当m＜1时，且x≠﹣2，当0＜m＜1时，解集为，当m＝0时，解集为∅，当m＜0时，解集为，综上，当m＝1时，解集为x∈（﹣∞，﹣2），当m＞1时，解集为，当0＜m＜1时，解集为，当m＝0时，解集为∅，当m＜0时，解集为；（3）由（1）得A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，当A∩B中有且只有三个元素，显然0≤m≤1不可能，当m＞1时，因为，不合题意，舍去，当m＜0时，，因为A∩B中有且只有三个元素，所以，，解得，综上，实数m的取值范围是．21．（18分）已知集合A＝{a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝0，且na n＝2（a1+a2+…+a n）；（3）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．【解答】（1）解：因为0+1，0+3，0+4，1+3，4﹣1，4﹣3都属于数集{0，1，3，4}，所以数集{0，1，3，4}具有性质P，因为2+3和3﹣2均不属于数集{0，2，3，6}，所以数集{0，2，3，6}不具有性质P；（2）证明：令i＝j＝n，因为a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A，所以a n+a n不属于A，所以a n﹣a n属于集合A，即0∈A，所以a1＝0，令j＝n，i＞1，因为a i+a j，与a j﹣a i两数中至少有一个属于A，所以a i+a j不属于A，所以a j﹣a i属于集合A，令i＝n﹣1，则a n﹣a n﹣1是集合A中的某一项，若a n﹣a n﹣1＝a2，符合题意，若a n﹣a n﹣1＝a3，则a n﹣a3＝a n﹣1，所以a n﹣a2＞a n﹣a3＝a n﹣1，矛盾，同理a n﹣a n﹣1等于其他项均矛盾，所以a n﹣a n﹣1＝a2，同理，令i＝n﹣2，n﹣3，⋯，2，可得a n＝a i+a n+1﹣i，倒序相加得，即na n＝2（a1+a2+a+⋯+a n）；（3）解：当n＝5时，令j＝5，当i≥2时，a i+a5＞a5，因为集合A具有性质P，所以a5﹣a i∈A，所以a5﹣a i∈A，i＝1，2，3，4，5，所以a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5＝0，所以a5﹣a1＝a5，a5﹣a2＝a4，a5﹣a3＝a3，所以a2+a4＝a5，a5＝2a3，所以a2+a4＝2a3，即0＜a4﹣a3＝a3﹣a2＜a3，又因为a3+a4＞a2+a4＝a5，所以a3+a4∉A，所以a4﹣a3∈A，所以a4﹣a3＝a2＝a2﹣a1，所以a5﹣a4＝a2＝a2﹣a1，所以a5﹣a4＝a4﹣a3＝a3﹣a2＝a2﹣a1＝a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2＝3的等差数列，所以A＝{0，3，6，9，12}．。

高一上学期数学期中考试一试卷一、单项选择题1. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的会集是（）A. B.C. D.【答案】 C【考点】交、并、补集的混杂运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩ P 的子集，不属于会集S，属于会集S 的补集即是 C I S 的子集则阴影部分所表示的会集是（M∩P）∩ ?I S故答案为： C．【解析】依照会集的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的会集.2. 以下各组函数中，表示同一函数的是（）A.与B.与C.与D.（）与（）【答案】 D【考点】判断两个函数可否为同一函数【解析】【解答】关于 A 选项，， f （ x）的定义域为R，g（ x）的定义域为 [0 ，+∞），∴不是同一函数；关于 B 选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；关于 C选项， f （0） =-1 ，g（ 0） =1， f （ 0）≠ g（ 0），∴不是同一函数．关于 B 选项， f （x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为： D.【解析】判断两个函数可否表示同一个，看定义域和对应关系可否相同即可.3. 已知，则“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a， b∈ R+，若“a2+b2＜1”则 a2+2ab+b2＜ 1+2ab+a2?b2，∴（ a+b）2＜（ 1+ab）2∴ab+1＞ a+b．若 ab+1＞ a+b，当 a=b=2 时， ab+1＞a+b 成立，但 a2+b2＜1 不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ ab+1＞a+b”的充分不用要条件．故答案为： A．【解析】依照不等式的性质，结合充分、必要条件的看法进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每耗资1 升汽油执行的里程，以下列图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不相同速度下得燃油效率状况，以下表达中正确的选项是（）A. 耗资 1 升汽油，乙车最多可执行 5 千米B.以相同速度执行相同行程，三辆车中，甲车耗资汽油最多C. 甲车以 80 千米 / 小时的速度执行 1 小时，耗资10 升汽油D.某城市灵巧车最高限速 80 千米 / 小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】 D【考点】函数的图象【解析】【解答】关于 A，耗资升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；关于B,以相同速度行驶相同行程，三辆车中甲车耗资汽油最少，故错；关于C,甲车以千米/小时的速度行驶小时，耗资升汽油,故错；关于D, 车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为： D.【解析】依照图象的实质意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5. 函数的定义域为 ________【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得，即定义域为【解析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即可求出函数的定义域 .6. 已知会集，，则________【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题会集会集故.故答案为.【解析】经过求函数的定义域求出会集A，经过求二次函数的值域求出会集B，依照交集的含义求出相应的会集即可.7. 不等式的解集是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式，则故答案为.【解析】经过作差，将分式不等式转变成整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集 .8. “若且，则”的否命题是________【答案】若或，则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【解析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可获取否命题.9. 已知，则的取值范围是________【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b 可化为 b=a-z ，可看作斜率为 1 的直线，平移直线可知，当直线经过点A（ 1， -1 ）时， z 取最小值 -2 ，当直线经过点O（0， 0）时， z 取最大值0，∴ a-b 的取值范围是，故答案为：．【解析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.10. 若，，且，则的取值范围是_________ 【答案】【考点】会集关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【解析】经过解绝对值不等式表示出会集A，将会集之间的关系转变成区间端点值的大小比较，即可求出实数 a 的取值范围 .11. 若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【解析】对二次项系数的取值分类谈论，当系数为0 时，求出 a 值，直接考据吻合题意；当二次项系数不为 0 时，张口向下，鉴识式小于0，解不等式组即可求出实数 a 的取值范围 . 12. 若函数，则________【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设, 则则即即答案为.【解析】采用换元法，求出函数 f （x）的表达式，代入即可求出 f （ 2x+1） .13. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数 a 的最小值为．故答案为．【解析】将不等式恒成立问题进行转变，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实数 a 的最小值 .14. 已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由 f （ x）＞ 1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2 ＜x＜ -1 或 2＜ x＜ 3} ．由 g（ x）＜ 0 得 x2-3ax+2a 2＜0，即（ x-a ）（ x-2a ）＜ 0， g（x）＜ 0 的解集为B={x|2a ＜ x＜ a，a＜ 0} ．A 的取值范围是 {a|a ≤ -2 或 -≤a＜0}．即答案为.【解析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数 a 的取值范围 .15. 当时，可以获取不等式，，，由此可以实行为，则________【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈ R+时可获取不等式，∴在 p 地址出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【解析】依照已知式子归纳猜想，获取相应的关系即可确定P.16. 已知数集（，）拥有性质：对任意、（），与两数中最少有一个属于会集，现给出以下四个命题：①数集拥有性质；②数集拥有性质；③若数集拥有性质，则；④若数集（）拥有性质，则；其中真命题有 ________（填写序号）【答案】②③④【考点】元素与会集关系的判断【解析】【解答】①数集中，，故数集不拥有性质；②数集满足对任意、（），与两数中最少有一个属于会集，故数集拥有性质；③若数列 A 拥有性质 P，则 a n+a n=2a n与 a n-a n=0 两数中最少有一个是该数列中的一项，∵0≤a＜a ＜＜ an ， n≥3，1 2而 2a n不是该数列中的项，∴ 0 是该数列中的项，∴ a1=0；故③正确；④当 n=5 时，取 j=5 ，当 i ≥2时， a i +a5＞ a5，由 A 拥有性质 P，a5-a i∈ A，又 i=1 时， a5-a 1∈ A，∴ a5-a i∈ A， i=1 ， 2， 3， 4，5∵ 0=a1＜ a2＜ a3＜ a4＜ a5 ，∴ a5-a 1＞ a5-a 2＞ a5-a 3＞ a5-a 4＞ a5 -a 5=0，则 a5-a 1=a5 ， a 5-a 2=a4 ， a 5-a 3=a3 ，从而可得 a +a =a5 ， a =2a3， A +a =2a3，2 4 5 2 4即答案为②③④ .【解析】依照会集中元素的特点，结合会集中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.三、解答题17. 设会集，会集.（ 1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（ 2）若中只有一个整数，求实数的取值范围 .【答案】（ 1）解：若“”是“”，则 B? A，∵ A={x|- 1≤x≤2} ，①当时， B={x|2m ＜x＜ 1} ，此时 - 1≤2m＜ 1? ；②当时， B=?，有 B? A 成立；③当时 B=?，有 B? A 成立；；综上所述，所求 m的取值范围是（ 2）解：∵ A={x|- 1≤x≤2} ，∴ ?R A={x|x ＜ -1 或 x＞ 2} ，①当时，B={x|2m ＜ x＜ 1} ，若?R A∩B中只有一个整数，则 - 3≤2m＜ -2 ，得②当 m当时，不吻合题意；③当时，不吻合题意；综上知， m的取值范围是 -【考点】会集关系中的参数取值问题【解析】【解析】（1）依照必要条件的看法，将会集的关系转变成端点值比较大小，即可求出实数 m的取值范围；（ 2）依照交集、补集的看法，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围 . 18. 若“，求证：”除了用比较法证明外，还可以有以下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，试一试解决以下问题：（ 1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（ 2）试将上述不等式实行到（）个正数、、、、的状况，并证明 .【答案】（ 1）解：，∴，当且仅当时等号成立（ 2）解：故. 当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【解析】（ 1）依照题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（ 2）依照详尽例子，归纳实行即可证明相应的不等式.19.某公司有价值 10 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（ 1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（ 2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（ 1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为， t 为常数，（ 2）解：由于定义域中函数在上单调递减，故.【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【解析】（1）依照题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到 f （ x）机器定义域；（ 2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20. 设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（ 1）若，试证明中还有别的两个元素；（ 2）会集可否为双元素会集，并说明原由；（ 3）若中元素个数不高出8 个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求会集.【答案】（ 1）证明：若x∈ A，则又∵ 2∈ A，∴∵ -1∈ A，∴∴ A 中别的两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中最少有 3 个元素，∴不是双元素会集（ 3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与会集关系的判断【解析】【解析】（1）将 x=2 代入，即可求出会集 A 中的别的两个元素；（2）依照会集中元素的特点，确定会集A 中最少有三个元素；（3）设出会集中相应的元素，结合元素之和，即可求出会集A.21. 已知，设，，（，为常数） . （ 1）求的最小值及相应的的值；（ 2）设，若，求的取值范围；（ 3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围 .【答案】（1）解：。

2019-2020学年上海市徐汇区南洋模范中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知数列{a n }，则“a n+1>a n −1”是“数列{a n }为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 若扇形的半径为1，周长为π，则该扇形的圆心角为( )A. πB. π−1C. π−2D.π−123. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上且满足=2，则·等于( )．A.B.C. −D. −4. 若偶函数f(x)在[1,+∞)上是减函数，则下列关系式中成立的是( )A. f(2)<f(−32)<f(−1) B. f(−32)<f(−1)<f(2) C. f(2)<f(−1)<f(−32)D. f(−1)<f(−32)<f(2)二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 在平面直角坐标系中，已知角α+π4的终边经过点P(3,4)，则cosα=______．6. 过原点O 作圆x 2+y 2−6x −8y +20=0的两条切线，设切点分别为M ，N ，则线段MN 的长为______ ．7. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a =5，b =5√23，A =π4，则cosB = ． 8. 的值 9. 已知，，则的值为_________。

10. 方程sinx +√3cosx =1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于______ ． 11. y =√log 12(3x −2)的定义域是______．12. 函数y =tan(πx +π6)的最小正周期为______13. 已知sin(x −40°)=cos(x +10°)−cos(x −10°)，则tanx = ______ ．14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，B=π，tanC=7，则b=______．415.已知tanα=3，求4sinα−cosα的值等于______．3sinα+5cosα16.f(x)=ln|x−2|−m(m∈R)的所有零点之和为__________．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.已知3sinθtanθ=8，且0<θ<π．(Ⅰ)求cosθ；]上的值域．(Ⅱ)求函数f(x)=6cosxcos(x−θ)在[0,π418.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90∘，∠BAC=30∘，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(Ⅰ)证明：EF⊥BC；(Ⅱ)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．19.如图，设计一个小型正四棱锥形冷水塔，其中顶点P在底面的射影为正方形ABCD的中心O，返水口E为BC的中点，冷水塔的四条钢梁(侧棱)设计长度均为10米．冷水塔的侧面选用钢板，基于安全与冷凝速度的考量，要求钢梁(侧棱)与底面的夹角α落在区间[π6,π3]内，如何设计可得侧面钢板用料最省且符合施工要求？20.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ−π6)(0<φ<π,ω>0)为奇函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2．(1)求f(π8)的值；(2)当x∈[−π3,5π12]时，方程f(x)=k有两个不同的实根，求实数k的取值范围．21.如图，一个质点在平衡位置点O附近摆动．如果不计阻力，可将这个摆动看作周期运动．它离开点O向右运动4s后第1次经过点M，再过2s 第2次经过点M.该质点再过多长时间第3次经过点M？【答案与解析】1.答案：B解析：根据充分条件和必要条件的定义结合递增数列的性质即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用递增数列的性质是解决本题的关键，比较基础．解：若数列{a n}为递增数列，则a n+1>a n>a n−1成立．若当a n=c，满足a n+1>a n−1，但数列{a n}为常数列，∴数列{a n}为递增数列，不成立，即“a n+1>a n−1”是“数列{a n}为递增数列”的必要不充分条件，故选：B．2.答案：C解析：本题考查了计算扇形弧长所对的圆心角应用问题，是基础题．计算扇形的弧长，即可求得改扇形的圆心角．解：扇形的半径为1，周长为π，所以扇形的弧长为π−2，=π−2．扇形弧长所对的圆心角为π−21故选：C．3.答案：A解析：由=2知，P为△ABC的重心，所以+=2，则·=2·=2cos0°=2×××1=．4.答案：A解析：解：f(x)为偶函数； ∴f(−32)=f(32),f(−1)=f(1)；又f(x)在[1,+∞)上是减函数； ∴f(2)<f(32)<f(1)； 即f(2)<f(−32)<f(−1)． 故选A ．由f(x)为偶函数即可得到f(−32)=f(32),f(−1)=f(1)，而根据f(x)在[1,+∞)上为减函数即可比较f(2),f(32),f(1)的大小关系，从而得出f(2),f(−32),f(−1)的大小关系，即得出正确选项． 考查偶函数的定义，减函数的定义，以及根据减函数定义比较函数值大小的方法．5.答案：7√210解析：解：角α+π4的终边经过点P(3,4)， 所以sin(α+π4)=45，cos(α+π4)=35，即√22(sinα+cosα)=45，√22(−sinα+cosα)=35，解得cosα=7√210．故答案为：7√210． 直接利用任意角的三角函数的定义，列出关系式，然后求解cosα即可． 本题考查三角函数的定义的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．6.答案：4解析：解：圆x 2+y 2−6x −8y +20=0可化为(x −3)2+(y −4)2=5， 圆心C(3,4)到原点的距离为5.故cos∠OCM =√55，∴cos∠MCN =2cos 2∠OCM −1=−35，∴|MN|2=(√5)2+(√5)2+2×(√5)2×35=16.∴|MN|=4． 故答案为：4先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cos∠OCM ，二倍角公式求出cos∠MCN ，三角形MCN 中，用余弦定理求出|MN|．本题考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，以及用余弦定理求边长．7.答案：23√2解析：试题分析：由a ，b 及sin A 的值，利用正弦定理求出sin B 的值，由a 大于b ，利用大边对大角得到B 小于A ，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos B 的值． ∵a =5，b =5√23，A =π4，∴由正弦定理asinA =bsinB 得：sinB =bsinA a=5√23×√225=13， ∵a >b ，∴B <A =π4， 则cosB =√1−sin 2B =23√2． 故答案为：23√28.答案：解析：试题分析：根据三角函数的求值，先化简然后求解得到结论。

所以此时点 所转过的弧度为 ，
由终边相同的角的概念可知， 与 终边相同，所以此时点 位于y轴上，故点P的坐标为 .
答案为
【点睛】
本题主要考查任意角，由终边相同的角的概念确定点 位置，即可求解，属于基础题型.
三、解答题
17．已知 求 的值。
【答案】
【解析】将 变成 ，利用两角和的正切公式展开，将 代入即可得解。
【详解】
【点睛】
本题主要考查了构造思想及两角和的正切公式，考查计算能力，属于中档题。
18．在△ABC中， 分别为三个内角A、B、C的对边，且
(1)求角A；
(2)若 且 求△ABC的面积。
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）整理 得： ，再由余弦定理可得 ，问题得解。
（2）由正弦定理得： ， ， ，再代入 即可得解。
【详解】
（1）由题意，得 ，
∴ ；
（2）由正弦定理，得 ，
,
∴ .
【点睛】
本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题。
19．已知函数
(1)求 的最小正周期及单调递增区间；
(2)若 求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）化简 得： ，利用周期公式即可求得周期为 ，再利用复合函数及三角函数的性质即可求得 的单调递增区间.
【详解】
因为
.
将 代入上式可得：
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系及正、余弦的二次齐次式变形，考查化简能力及计算能力，属于中档题。
11．方程 的实数根的个数是______.
【答案】6
【解析】如下图，由于函数y＝lg|x|是偶函数，所以它的图象关于y轴对称．