小题满分限时练(十)
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限时练(十)(限时:40分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知z 为复数z 的共轭复数,且(1-i)z =1+i ,则z 为( )A.-iB.iC.1-iD.1+i解析 ∵(1-i)z =1+i ,∴z ==(1+i)2=i ,则z =-i.1+i 1-i 12答案 A2.已知集合A =,B =,则A ∩(∁R B )=( ){x |12)<2x ≤2}{x |ln (x -12)≤0)}A.∅B.(-1,12]C.D.(-1,1][12,1)解析 ∵A =={x |-1<x ≤1},B =={x |12<2x ≤2)}{x |ln (x -12))≤0},{x |12<x ≤32)}∴∁R B =,{x |x >32或x ≤12)}则A ∩(∁R B )=.(-1,12]答案 B3.某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测,如图是根据抽样检测后零件的质量(单位:克)绘制的频率分布直方图,样本数据分8组,分别为[80,82),[82,84),[84,86),[86,88),[88,90),[90,92),[92,94),[94,96],则样本的中位数落在( )A.第3组B.第4组C.第5组D.第6组解析 由图可得,前四组的频率为(0.037 5+0.062 5+0.075+0.1)×2=0.55,则其频数为40×0.55=22,且第四组的频数为40×0.1×2=8.故中位数落在第4组.答案 B4.已知角θ的终边过点,若sin θ=2·sin cos ,则实(2sin 2π8-1,a )313π12π12数a 等于( )A.-B.-662C.±D.±662解析 2sin 2-1=-cos =-,∵角θ的终边过点,sin θ=2π8π422(2sin 2π8-1,a )sin cos =-,∴=-,∴a =-.313π12π1232a 12+a 23262答案 B5.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题是真命题的是( )A.若m ∥α,m ∥β,则α∥βB.若m ∥α,α∥β,则m ∥βC.若m ⊂α,m ⊥β,则α⊥βD.若m ⊂α,α⊥β,则m ⊥β解析 由m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,知:在A 中,若m ∥α,m ∥β,则α与β相交或平行,故A 错误;在B 中,若m ∥α,α∥β,则m ∥β或m ⊂β,故B 错误;在C 中,若m ⊂α,m ⊥β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故C 正确;在D 中,若m ⊂α,α⊥β,则m 与β相交、平行或m ⊂β,故D 错误.答案 C6.执行如图所示的程序框图,则输出的S 的值是( )A.7B.6C.5D.3解析 根据流程图所示的顺序知,该程序的作用是累加S =1+02+12+22+…+(k -1)2的值,S =1+02+12+22=6>5,输出S =6.答案 B7.在△ABC 中,|+|=|-|,||=||=3,则·=( )AB → AC → 3AB → AC → AB → AC → CB → CA →A.3B.-3C.D.-9292解析 由平面向量的平行四边形法则,在△ABC 中,|+|=AB → AC → |-|,||=||=3,如图,设|OC |=x ,则|OA |=x .所以3AB → AC → AB → AC →3|AO |2+|OC |2=|AC |2,即3x 2+x 2=9,解得x =,所以|BC |=3,则△ABC 为等边32三角形.因此·=3×3×cos 60°=.CB → CA → 92答案 C8.已知x ,y 满足线性约束条件若z =x +4y 的最大值与最小值之差{y -x ≤3,x +y ≤5,y ≥λ,)为5,则实数λ的值为( )A.3B.C.D.17332解析 作出不等式组对应的平面区域,由题设得A (1,4),B (λ-3,λ).由z =x +4y ,得y =-x +,14z 4平移直线y =-x ,由图象可知当直线经过点A 时,14直线y =-x +的截距最大,此时z 最大,且z max =1+4×4=17.14z 4当直线经过点B 时,直线的截距最小,此时z 最小,且z min =λ-3+4λ=5λ-3.∵z =x +4y 的最大值与最小值的差为5,∴17-(5λ-3)=20-5λ=5,得λ=3.答案 A9.将函数y =cos 的图象向左平移个单位后,得到f (x )的图象,则(2x +π3)π6( )A.f (x )=-sin 2xB.f (x )的图象关于x =-对称π3C.f =(7π3)12D.f (x )的图象关于对称(π12,0)解析 依题意,得f (x )=cos =cos =-sin 的图象,[2(x +π6)+π3](2x +2π3)(2x +π6)故排除A.当x =-时,f (x )=1,为最大值,故f (x )的图象关于x =-对称,π3π3故B 正确.f =-sin =-sin =-,故排除C.(7π3)29π65π612当x =时,f (x )=-≠0,故f (x )的图象不关于对称,故D 错误.π1232(π12,0)答案 B10.已知函数f (x )=设m >n ≥-1,且f (m )=f (n ),则m ·f ({5(12)2x ,-1≤x <1,1+4x 2,x ≥1,)m )的最小值为( )2A.4B.2C.D.222解析 作出函数f (x )的图象如图:∵f (m )=f (n ),m >n ≥-1,∴1≤m <4,∴mf (m )=m =m +≥2,当且仅当m 2(1+2m 2)2m 2时取等号.2因此m ·f (m )的最小值为2.22答案 D 11.已知双曲线C :-=1(a >0,b >0)的左焦点为F (-c ,0),M ,N 在双曲线x 2a 2y 2b 2C 上,O 是坐标原点,若四边形OFMN 为平行四边形,且四边形OFMN 的面积为cb ,则双曲线C 的离心率为( )2A.B.22C.2D.223解析 双曲线C :-=1(a >0,b >0)焦点在x 轴上,x 2a 2y 2b2设M (x 0,y 0),N (x 1,y 0),其中x 0<0,因为M ,N 均在双曲线上,所以-=1且-=1,所以x 0=-x 1,x a 2y b 2x a 2y b 2因为四边形OFMN 为平行四边形,所以对边长度相等,有x 1-x 0=2x 1=-2x 0=c 成立,∴x 0=-,四边形OFMN 的面积为cb ,∴|y 0|c =cb,即|y 0|=c2222b ,则M ,代入双曲线方程-=1,整理得-2=1,e 2=12,由(-c 2,2b )x 2a 2y 2b 2c 24a 2e >1,解得e =2.3答案 D12.已知函数f (x )=的图象上关于y 轴对称的点至{sin (π2x )-1,x <0,log a x (a >0,a ≠1),x >0)少有3对,则实数a 的取值范围是( )A. B.(0,55)(55,1)C. D.(33,1)(0,33)解析 f (x )={sin (π2x )-1,x <0,log a x (a >0,a ≠1),x >0,)令φ(x )=sin -1(x <0),则φ(x )关于y 轴对称的函数为g (x )=-sin -(π2x )(π2x )1(x >0),则函数f (x )的图象上关于y 轴对称的点至少有3对,即函数g (x )的图象与函数h (x )=log a x (a >0,a ≠1)的图象至少有3个交点(如图所示),则0<a <1且g (5)<h (5),∴解之得0<a <.{0<a <1,-2<log a 5.)55答案 A二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.在二项式的展开式中,若常数项为-10,则a =________.(ax 2+1x )5解析 展开式的通项公式T r +1=(ax 2+1x )5 C (ax 2)5-r =a 5-r C x 10-r ,令10-=0,解得r =4.r 5(1x )r r 5525r 2∴常数项为a C =-10,∴a =-2.45答案 -214.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点M (x 0,2)是抛物线C 上一2点,圆M 与y 轴相切且与线段MF 相交于点A ,若=2,则p =________.|MA ||AF |解析 设M 到准线的距离为|MB |,则|MB |=|MF |,∵=2,∴x 0=p ,从而2p 2=8,∴p =2.|MA ||AF |答案 215.设△ABC 三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a 2sin C =4sin A ,(ca +cb )(sin A -sin B )=sin C (2-c 2),则△ABC 的面积为________.7解析 由a 2sin C =4sin A 及正弦定理,得a 2c =4a ,则ac =4.∵(ca +cb )(sin A -sin B )=(2-c 2)sin C ,7∴c (a +b )(a -b )=(2-c 2)c ,整理得a 2+c 2-b 2=2.77∴由余弦定理得cos B ===,a 2+c 2-b 22ac 272×474则sin B ==.∴S △ABC =ac sin B =×4×=.1-cos 2B 3412123432答案 3216.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为3的正方形,AA 1=23,E 是线段A 1B 1上一点,若二面角A -BD -E 的正切值为3,则三棱锥A -A 1D 1E 外接球的表面积为________.解析 过点E 作EF ∥AA 1交AB 于F ,过F 作FG ⊥BD于G ,连接EG ,则∠EGF 为二面角A -BD -E 的平面角,∵tan ∠EGF =3,∴=3,EF FG∵EF =AA 1=3,∴FG =1,则BF ==B 1E ,2∴A 1E =2,则三棱锥A -A 1D 1E 外接球的直径为=,28+9+1835因此三棱锥A -A 1D 1E 外接球的表面积S =35π.答案 35π。