绝密★启用前专题01 2021高考数学基础训练卷一一、单选题1．如图，集合{}0,2,4A =，{}1,3,4B =，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}4B ．{}0,1,2,3,4C ．{}0,2D ．{}1,3【答案】C 【分析】阴影部分表示集合A 中去掉A B 部分剩余元素组成的集合.【详解】{}4A B ⋂=阴影部分表示集合A 中去掉A B 部分剩余元素组成的集合，即阴影部分表示的集合是{}0,2.故选：C 2．设2iz i+=，则||z =（ ）A B C ．2D ．5【答案】B 【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可. 【详解】()22212i ii z i i i++===-，∴z ==故选：B ．3．已知直线l ：y ＝k (x 和圆C ：()2211x y +－＝，若直线l 与圆C 相切，则k ＝（ ）A ．0 BC ．3或0 D 0【答案】D 【分析】根据直线与圆相切的条件建立方程，可得选项． 【详解】因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝1，解得k ＝0或k 故选：D.4．已知变量x ，y 之间的一组数据如表：若y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则ˆa =（ ） A ．0.1 B ．0.2C ．0.35D ．0.45【答案】C 【分析】先求x ，y ，代入ˆˆ0.7yx a =+，即可得计算ˆa 的值. 【详解】34564.54x +++==,2.534 4.53.54y +++==，将 4.5x =， 3.5y =代入ˆˆ0.7yx a =+ 得ˆ0.35a=， 故选：C5．已知(1,1),(2,4),(,9)A B C x --，且//AB AC ，则x =（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．-1【答案】A【分析】先求出AB 和AC 的坐标，利用向量共线的坐标表示列方程即可求解. 【详解】()1,5AB =-，()1,10AC x =--，因为//AB AC ，所以()()11051x ⨯-=--，解得：3x =， 故选：A6．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4 C ．12-D ．12±【答案】C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩， 故选：C.7．若球的半径为10cm ，一个截面圆的面积是236cm π，则球心到截面圆心的距离是（ ） A ．5cm B ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】C 【分析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离． 【详解】由截面圆的面积为236cm π可知，截面圆的半径为6cm ，则球心到截面圆心的距离为8d ==cm ． 故选：C ． 【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面． 8．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211a e f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞【答案】B 【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案.【详解】∵()()2x f x e f x -=，∵()()()x x xf xe f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x <时()()0f x f x +'>，∵()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∵()()211211a a ef a e f a +++≥+，∵()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+， 解得，203a -≤≤， 故选：B. 【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e--==-，根据左右相同的形式，构造函数()()x g x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211a e f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.二、多选题9．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A ．x y e -= B ．3y x = C ．ln y x = D ．y x =【答案】BD 【分析】利用基本初等函数的基本性质可得结论. 【详解】对于A 选项，101e <<，所以，函数1xx y e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭是定义域为R 的减函数；对于B 选项，函数3y x =是定义域为R 的增函数； 对于C 选项，函数ln y x =是定义域为()0,∞+的增函数； 对于D 选项，函数y x =是定义域为R 的增函数. 故选：BD. 【点睛】本题考查基本初等函数定义域和单调性的判断，属于基础题. 10．在下列函数中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．sin 2y x = B ．cos y x =C ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】ABC 【分析】利用周期公式或图像判断即可.【详解】 对于A ，2T ππω==，对于B ，cos y x =的周期是2π，cos y x =的图像是把cos y x =的图像的x 轴下方部分关于x 轴对称，周期减半，故cos y x =的周期是π，对于C ，2T ππω==，对于D ，2ππT ω==， 故选：ABC. 【点睛】此题考函数的周期的求法，属于简单题. 11．已知曲线22:1C mx ny +=（ ） A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 B ．若0m n =>，则CC ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【答案】AD 【分析】由曲线方程及圆锥曲线的性质逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =，为两条直线，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n<<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n+=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误；对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确.故选：AD.12．如图，在正方体ABCD 1111A B C D -中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列四个命题，则其中正确的命题的是（ ）A ．1//D P 平面11A BCB ．1D P BD ⊥C ．平面PD 1B ⊥平面11A BC D ．三棱锥11A BPC -的体积不变 【答案】ACD 【分析】确定平面1//ACD 平面11A BC ，可判断A ，取特殊点可判断B ，证明1B D ⊥平面1ACD 后得面面垂直，可判断C ，由棱锥体积公式可判断D ． 【详解】如下图，正方体中11//AC A C ，由线面平行的判定定理，得//AC 平面11A BC ，同理1//AD 平面11A BC ，因此可得平面1//ACD 平面11A BC ，从而平面1ACD 内的直线1//D P 平面11A BC ，A 正确；如下图，当P 是AC 与BD 交点时，1D PD ∠是锐角，B 错；如下图，由正方体中AC BD ⊥，1AC BB ⊥可得AC ⊥平面1BDB ，从而AC BD ⊥，同理有1AD BD ⊥，因此有1B D ⊥平面1ACD ，∵平面1PDB ⊥平面1ACD ，C 正确；如上图，11PA C 的面积是矩形11ACC A 面积的一半，不变，B 到平面11PA C 的距离不变是12BD ，因此三棱锥11B PAC -即三棱锥11A BPC -的体积不变，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查空间线面关系，棱锥的体积，掌握线面平行的判定，线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系是解题关键．解题时对三个垂直的间相互转化需熟练掌握．第II 卷（非选择题）三、填空题13．已知1x >，且1x y -=，则1x y+的最小值是______ 【答案】3 【分析】由题得0y >，再利用基本不等式求函数的最小值. 【详解】由题得11,0x y y =+>∴>.所以11111x y y y y y +=++=++≥， （当且仅当1y =时取等） 所以函数的最小值为3. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．已知()8223160123161x a a x a x a x a x -=+++++，则45a a +=______.【答案】28 【分析】先求出二项的通项公式()()82181rrrr T C x -+=-，由此通项可知展开式中x 的次数均为偶数，所以50a=，当6r =时，x 的次数为4，从而可求出4a ，进而可得结果. 【详解】解：因为()821-x 的第1r +项为()()82181rrrr T C x -+=-（08r ≤≤且r *∈N ）， 所以5x 不存在，所以50a =，因为4x 的系数为()668128C -=，所以428a =，所以4528a a +=.故答案为：28 【点睛】此题考查二项式展开式的指定项的系数，熟记二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题. 15．某县城中学安排5位老师（含甲）去3所不同的村小（含A 小学）支教，每位老师只能支教1所村小，且每所村小学都有老师支教，其中至少安排2位老师去A 小学，但是甲不去A 校，则不同的安排方法数为________. 【答案】44 【分析】A 小学若安排3人有8种，A 小学若安排2人有36种，利用加法原理计算即可.【详解】解：A 小学若安排3人，则有23428C A =种；A 小学若安排2人.则有22243236C C A =种.故不同的方法数为83644+=. 故答案为：44 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，考查分类讨论的思想及逻辑推理能力，属于基础题.16．若数列{}n a 是等差数列，n S 是数列的前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等差数列.类比上述结论，若数列{}n b 是等比数列，n T 是数列的前n 项积，则对应的结论为________ 【答案】n T ，2n n T T ，32nnT T 也成等比数列. 【分析】根据题中条件，类比等差数列的性质，在等比数列中研究n T ，2n n T T ，32nnT T 之间关键即可. 【详解】因为若数列{}n b 是等比数列，n T 是数列的前n 项积，则12...n n b b T b ⋅⋅=，212212212.........n nn n n n n T b b b b b b T b b b ++⋅⋅==⋅⋅⋅⋅， 3123212232122.........n nn n n n nT b b b b b b T b b b ++⋅⋅==⋅⋅⋅⋅，所以()()()()2312122232332...n n n n n n nn T b b b b b b T b b T +++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()()222221232...nn n n n nT b b b b T +++⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭， 所以n T ，2n n T T ，32nnT T 成等比数列. 故答案为：n T ，2n n T T ，32nnT T 也成等比数列. 【点睛】本题主要考查类比推理，涉及等比数列的性质，属于基础题型.四、解答题17．在等差数列{}n a 中，已知616a =，1636a =.在①14n n n b a a +=；②()1nn n b a =-⋅；③2na n nb a =⋅这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若______，求数列{}n b 的前n 项和n S .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）24n a n =+；（2）答案见解析. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件，求出公差，进而可得通项公式； （2）分别选①②③，根据裂项相消法，分组求和法，以及错位相减法，即可得出结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()166166a a d =+-， 即361610d =+，解得2d =，故()166224n a n n =+-⨯=+. （2）选①，由()()()()14412324214n n n b a a n n n n +====+++++⎡⎤⎣⎦1123n n -++得，()111111113445233333n n S n n n n =-+-++-=-=++++. 选②，()()()1124nnn n b a n =-⋅=-⋅+. 当n 为偶数时，()234562212n nS n n =-+-+-++=⨯⨯=⎡⎤⎣⎦； 当n 为奇数时，()()()1234561221252n n S n n n n -⎡⎤=-+-+-++-+=⨯-+=--⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 故,5,.n n n S n n ⎧=⎨--⎩为偶数，为奇数选③，由()242242n an n n b a n +=⋅=+⋅得，()6810246282102242n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅，①()()810242646282222242n n n S n n ++=⋅+⋅+++⋅++⋅，②①-②得，()68102426362222222242n n n S n ++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅()82662622262224212n n n ++⎛⎫-=⋅+-+⋅ ⎪-⎝⎭727552233n n +⎛⎫=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭， 故2735640299n n n S ++=⋅-. 【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：已知数列是等差或等比的数列，可根据求和公式直接计算；（2）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用导学相加法；（3）错位相减法：数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法；（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和； （5）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减；（6）并项求和：一个数列的前n 项，可由两两结合求解，则称之为并项求和，形如： ()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.18．在△ABC 中，a b c 、、分别为三个内角A 、B 、C 的对边，且222sin .3b Ac a -+= (1)求角A ；(2)若4sin sin 3B C ，=且2a ，=求△ABC 的面积．【答案】（1）3A π=； （2.【分析】（1）整理222sin b A c a +=得：222sin b c a A +-=，再由余弦定理可得cos A A =，问题得解．（2）由正弦定理得：3R =，2sin b R B =，2sin c R C =，再代入ABC S ∆=1sin 2bc A 即可得解．【详解】（1）由题意，得2222cos sin cos tan b c a bc A A A A A +-==⇒=⇒=， ∵3A π=；（2）由正弦定理，得2sinB sinC sin a R R b A c ===⇒=2sin b R B =,2sin c R C =∵2232si 1n s sin sin 24in 2ABCS R A B c A C b ∆===⋅=⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题．19．如图，四棱锥-P BCDE 中，//BC DE ，2222BC CD DE PE ====，CE O 是BE 中点，PO ⊥平面BCDE .（1）求证：平面PBE ⊥平面PCE ； （2）求二面角B PC D --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）11. 【分析】（1）根据题中所给长度可得222CE DE CD =+，即90CDE ∠=︒，利用余弦定理，可求得BE =，则可得CE BE ⊥，利用线面垂直的性质，可得PO CE ⊥，根据线面垂直的判定定理即可得证.（2）如图建系，分别求得平面PCD 和平面PBC 的法向量，利用向量法求得二面角B PC D --的余弦值，进而可求得答案. 【详解】（1）证明：∵1CD DE ==，CE∵222CE DE CD =+，即90CDE ∠=︒，45CED ∠=︒， ∵//BC DE ，∵45BCE CED ∠=∠=︒，∵2BC =，∵222222cos 452BE BC CE BC CE BC CE =+-⋅⋅︒==-， ∵CE BE ⊥，∵PO ⊥平面BCDE ，∵PO CE ⊥， ∵PO BE O ⋂=，PO ，BE ⊂平面PBE ， ∵CE ⊥平面PBE ， ∵CE ⊂平面PCE ， ∵平面PBE ⊥平面PCE .（2）以O 为坐标原点，以过点O 且平行于CD 的直线为x 轴，过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，直线PO 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由1PE =，122OE BE ==，PO BE ⊥知2PO =， 则11,,022B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，13,,022C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,,022D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PCD 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100n CD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111030x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令12z =，可得120,,3n ⎛= ⎝， 设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z ，则2200n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220x y y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令22z =，可得(22,0,n =， ∵12121233,n n cos n n n n ⋅<>==⋅，则二面角B PC D --. 【点睛】当题中条件有边的具体长度，考虑用勾股定理证明垂直，再结合线面垂直的判定定理，性质定理进行证明，学生需熟练掌握各个定理，考查推理证明，求值计算的能力.20．互联网在带给人们工作､学习方便､快捷的同时，网络游戏也让一些人沉溺于其中不能自拔，游戏成瘾，无心工作､学习，特别是青少年.前不久，网络消息称某985高校有18名学生由本科降为专科.某心理咨询机构为了调研青少年网瘾成因，随机地调查了200名大一学生，得到以下22⨯列联表：（1）是否有99.5%的把握认为本人沉溺于网游与伙伴中有沉溺于网游有关？说明你的理由；（2）在所有受调查的学生中，按分层抽样的方法抽出20人，再在这20人中随机地抽取5人进行访谈，求至少有一名学生沉溺于网游的概率. 附表及公式：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++【答案】（1）有99.5%的把握认为本人沉溺于网游与伙伴中有沉溺于网游有关，理由见解析；（2）137228. 【分析】（1）根据列联表中的数据求得2K 的值，再与临界值表对照下结论.（2）记“从20人中随机地抽取5人至少有一名学生沉溺于网游”为事件A ，由()()1P A P A =-求解, 【详解】 （1）()2220011*********.4587.8791703012080K ⨯-⨯=≈≥⨯⨯⨯∴有99.5%的把握认为本人沉溺于网游与伙伴中有沉溺于网游有关；（2）记“从20人中随机地抽取5人至少有一名学生沉溺于网游”为事件A()()51752011C P A P A C ∴=-=-=137228.21．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为，点P ⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的上、下焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求1F AB 的内切圆的半径的最大值．【答案】（1）2214y x +=；（2）12. 【分析】（1）根据椭圆离心率以及点在椭圆上，结合222a b c =+得到关于,,a b c 的方程组，求解出,,a b c 的值，则椭圆方程可求；（2）根据等面积法将内切圆的半径与12x x -联系在一起，采用联立方程思想并结合韦达定理以及基本不等式求解出12x x -的最大值，从而内切圆的半径的最大值可求. 【详解】（1）因为2c a =，且,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为：2214y x +=； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，内切圆的半径为R ，由条件可知直线AB的斜率存在，故设直线:AB y kx =因为()11212111122F ABSF F x x F A F B AB R =⋅-=++⋅，且1148F A F B AB a ++==，122F F c ==124x x R -=R =，所以当12x x -取最大值时R 有最大值，又2244y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，所以()22410k x +--=，所以1212214x x x x k +==-+， 所以12x x -===，所以()1224433+3x x -==≤=，=，即k=所以1432R =≤=，所以内切圆的半径最大值为12. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法： （1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积； （2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为1212AB x x ⋅⋅-或1212EF y y ⋅⋅-； （3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为()12a b c R ⋅++⋅（,,a b c 为三角形三边长度，R 为内切圆半径）. 22．已知函数311()ln 62f x x x x x =+-. （1）求曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程；（2）若()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，求a 的最小值.【答案】（1）23y =；（2）31162e e -. 【分析】 （1）求导211'()ln 22f x x x =--，再分别求得(1)f ，'(1)f ，用点斜式写出切线方程.（2）根据()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，则()max a f x >，再利用导数求解()max f x 即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞. 由已知得211'()ln 22f x x x =--，且2(1)3f =. 所以'(1)0f =.所以曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程为23y =. （2）设()'()g x f x =，（1x e e<<） 则211'()x g x x x x-=-=. 令'()0g x =得1x =.当x 变化时，'()g x 符号变化如下表：则()(1)0g x g ≥=，即'()0f x ≥，当且仅当1x =时，'()0f x =. 所以()f x 在1(,)e e上单调递增. 又311()62f e e e =-， 因为()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，所以31162a e e ≥-， 所以a 的最小值为为31162e e -.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<；。
