指数函数及其性质
【知识梳理】
1．指数函数的定义
函数x
y a =(0a >且1a ≠)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 2．指数函数的图象和性质
1a > 01a <<
图 象
性 质
定义域
R
值域 ()0,+∞
过定点 过点()0,1即x =0时，y =1
单调性
是R 上的增函数
是R 上的减函数
【常考题型】
题型一、指数函数的概念
【例1】 (1)下列函数：
①23x
y =⋅；②13x y +=；③3x y =；④3
y x =.
其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
(2)函数()2
2x
y a a =-是指数函数，则( ) A ．1a =或3a = B ．1a = C ．3a =
D ．0a >且1a ≠
[解析] (1)①中，3x
的系数是2，故①不是指数函数；
②中，1
3
x y +=的指数是1x +，不是自变量x ，故②不是指数函数；
③中，3x
y =的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x
一项，故③是指数函数；
④中，3
y x =中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．
(2)由指数函数定义知()2
21
01
a a a ⎧-=⎪⎨>≠⎪⎩且，所以解得3a =.
[答案] (1)B (2)C 【类题通法】
判断一个函数是否为指数函数的方法
判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数0a >，且1a ≠. (2)x
a 的系数为1.
(3)x
y a =中“a 是常数”，x 为自变量，自变量在指数位置上． 【对点训练】
下列函数中是指数函数的是________(填序号)．
①2x
y =⋅
；②12x y -=；③2x
y π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；④x y x =；
⑤1
3y x
=-；⑥1
3y x =.
解析：
①中指数式
x
的系数不为1，故不是指数函数；②中1
1222
x x y -==
⋅，指数式2x
的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x ，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.
答案：③
题型二、指数函数的图象问题
【例2】 (1)如图是指数函数①x
y a =，②x
y b =，③x
y c =，④x
y d =的图象，则a ，
b ，
c ，
d 与1的大小关系为( )
A ．1a b c d <<<<
B ．1b a d c <<<<
C ．1a b c d <<<<
D ．1a b d c <<<< (2)函数3
3x y a
-=+(0a >，且1a ≠)的图象过定点________．
[解析] (1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.
过点()1,0作直线1x =，如图所示，在第一象限直线1x =与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1d c <<，1b a <<，从而可知a ，b ，c ，d 与1的大小关系为
1b a d c <<<<.
(2)法一：因为指数函数x
y a =(0a >，且1a ≠)的图象过定点()0,1，所以在函数
33x y a -=+中，令3x =，得134y =+=，即函数的图象过定点()3,4．
法二：将原函数变形，得3
3x y a
--=，然后把3y -看作是()3x -的指数函数，所以当
30x -=时，31y -=，即3x =，4y =，所以原函数的图象过定点()3,4．
[答案] (1)B (2)()3,4 【类题通法】
底数a 对函数图象的影响
(1)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当1a >时，指数函数的图象“上升”；当01a <<时，指数函数的图象“下降”．
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是1a >，还是01a <<，在第一象限底数越大，函数图象越靠近y 轴．
当1a b >>时，
①若0x >，则1x
x
a b >>；
②若0x <，则10x
x
b a >>>.
当10a b >>>时，
①若0x >，则10x
x
a b >>>；
②若0x <，则1x
x
b a >>.
【对点训练】
若函数()1x y a b =+-(0a >，且1a ≠)的图象不经过第二象限，则有( ) A ．1a >且1b < B ．01a <<且1b ≤ C ．01a <<且0b >
D ．1a >且0b ≤
解析：选D 由指数函数图象的特征可知01a <<时，函数()1x y a b =+-(0a >，且1a ≠)的图象必经过第二象限，故排除选项B 、C.又函数()1x
y a b =+-(0a >，且1a ≠)的图象不
经过第二象限，则其图象与y 轴的交点不在x 轴上方，所以当0x =时，()010y a b =+-≤，即0b ≤，故选项D 正确.
题型三、与指数函数有关的定义域、值域问题
【例3】 求下列函数的定义域和值域：
(1)y =(2)1
4
2
x y -=；(3)23y ⎛= ⎪
⎝⎭
.
[解] (1)要使函数式有意义，则130x
-≥，即0
313x
≤=， 因为函数3x
y =在R 上是增函数，所以0x ≤，
故函数y (],0-∞．
因为0x ≤，所以031x
<≤，所以0131x
≤-<，
[)0,1，即函数y [)0,1．
(2)要使函数式有意义，则40x -≠，解得4x ≠，所以函数14
2
x y -=的定义域为
{}R 4x x ∈≠．
因为
1
04
x ≠-，所以1
421x -≠，即函数142x y -=的值域为{}01y y y >≠且．
