平行四边形知识梳理

平行四边形知识梳理平行四边形是我们常见的一种图形，它是中心对称图形，具有十分和谐的对称美．经过三角形和四边形及平移、旋转和对称图形的学习后，进一步学习的一类重要几何图形．研究平行四边形问题的基本思想方法是转化法．即把平行四边形的问题转化成为三角形及平移、旋转和对称图形的问题来研究．三角形、平移、旋转对称的特征与研究方法是研究平行四边形的基础．反过来平行四边形的特征与研究方法又丰富和充实了三角形、平移、旋转对称的知识．在研究平行四边形的特征和识别的过程中，一是通过线段的平移；二是连结对角线得三角形及中心对称图形，将四边形问题转化成三角形及中心对称的问题，通过直观感知与操作确认产生新的知识——平行四边形的特征和识别．让学生动手做一做、试一试从中认识图形的主要特征与图形的基本变换，学会识别不同的图形，培养学生一定的合情推理能力与解决实际问题的能力． (－)知识要点：一、平行四边形：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．二、平行四边形的特征：1、基本特征：具有四边形的所有特征：有四条边、四个内角、两条对角线．四个内角和等于3600 ，外角和等于360 0 ，2、本质特征：平行四边形是中心对称图形3、主要特征：两组对边平行边 一组对边平行且相等两组对边相等 角 两组对角相等对角线 对角线互相平分推论：夹在两条平行线间的平行线段相等平行线之间的距离处处相等三、平行四边形的面积：S □＝底边×高平行四边形的一条对角线把平行四边形分成了面积相等的两个三角形平行四边形的两条对角线把平行四边形分成了面积相等的四个小三角形(二)、典型例析：一、填空题：1、平行四边形是 中心 对称图形，两条对角线的交点是它的 对称中心 ；2、如图1，平行四边形ABCD 被两条对角线分成面积相等的 三角形有 4 对，它们是 △AOB 与△COD ，△BOC 与△DOA ，△ABC 与△CDA ，△ABD 与△CDB ． 3、如图1，在平行四边形ABCD 中，0为对角线的交点，那么关于0对称的三角形有 4 对，它们是 △AOB 与△COD ，△BOC 与△DOA ，△ABC 与△CDA ，△ABD 与△CDB ．4、在□ABCD 中，∠A 比∠B 大10 0，则∠C 的度数为 95 0 ．5、已知□ABCD 的周长为48，△ABC 的周长为35，则□ABCD 的一条对角线AC 的长为 11 ；6、若□ABCD 的一边AB ＝8cm ，一条对角线AC ＝6cm ，那么另一条对角线BD 的取值范围是 10cm < BD < 22cm ；7、如图2在□ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， 则图中共有 6 平行四边形；8、如图3，过△A ＢＣ的顶点A 、B 、C 分别作对边的平行线， 平行四边形 A D O B C 图1 C D E F A B 图2A ED B C图3两两相交于点D 、E 、F ，图中有 3 个平行四边形，它们是 □ACBD 、□ABCE 、□ABFC ；说明：解以上各题的关键是熟练掌握平行四边形的基本特征：具有四边形的所有特征；及平行四边形的主要特征；还要注意利用平行四边形的本质特征即：平行四边形是中心对称图形．二、选择题：1、下面特征中，平行四边形不一定具备的是：( A )Ａ、对角互补 Ｂ、邻角互补 Ｃ、一组对边平行 Ｄ、内角和360 02、下列说法错误的是：( Ｄ )Ａ、平行四边形的对角线互相平分 Ｂ、对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｃ、平行四边形的对边相等 Ｄ、对边相等的四边形是平行四边形3、能够识别一个四边形是平行四边形的条件是：( C )Ａ、一组对角相等 Ｂ、两条对角线互相垂直Ｃ、两组对边分别平行 Ｄ、两组邻角互补4、在□ABCD 中，∠A ：∠B ＝7：2，则∠C 的度数为：( D )Ａ、20 0 Ｂ、40 0 Ｃ、70 0 Ｄ、140 05、已知□ABCD 的一条边长为10，那么两条对角线的长度可取下列各组数中的：( B )Ａ、7和13 Ｂ、9和12 Ｃ、8和12 Ｄ、10和106、给定平面上不在同一条直线上的三点，则以此三点为顶点的平行四边形有( C )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 7、如图4，O 为□ABCD 两条对角线的交点，E 、F 分别是OA 、OC的中点，则图中形状、大小相同的三角形有 ( D ) OA 、3对B 、4对C 、6对D 、7对8、A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB ∥CD ；②AB ＝CD ；③BC ∥AD ；④BC ＝AD ，这四个条件中任选两个能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有( B )A 、3种B 、4种C 、5种D 、6种说明：平行四边形的特征与识别等概念是解此类题的依据，熟练掌握、充分理解、灵活应用是选择正确的保证．三、解答题：1、如图5，在□ABCD 中，AE ⊥BD 于Ｅ，CF ⊥BD 于Ｆ，连结AF 、CE ，求证：四边形AECF 是平行四边形 分析：平行四边形的识别方法有多种，证题时应根据题目的特点，灵活应用． 证明：在□ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝CD∴∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ 又∵AE ⊥BD 于Ｅ，CF ⊥BD 于Ｆ(已知)∴△CDF 是由△ABE 绕O 点旋转180 0的图形，由旋转的特征得：AE ∥FC 且AE ＝FC 方法一：(证一组对边平行且相等) ∵AE ∥FC 且AE ＝FC ∴四边形AECF 是平行四边形方法二：(证两组对边分别相等) ∴AE ＝FC ，BE ＝FD 又∵ＢC ＝ＡD ，∠EBC ＝∠FDA∴△BEC 与△DFA 成中心对称 ∴EC ＝AF ∴四边形AECF 是平行四边形方法三：(证两组对边分别平行)由上旋转对称的特征得：∠BEC ＝∠DFA ，∠FEC ＝∠AFE∴E Ｃ∥ＡF 又AE ∥FC ∴四边形AECF 是平行四边形方法四：( 证对角线互相平分 ) ∴ BE ＝FD 在□ABCD 中，OA ＝OC OB ＝OD∴ OE ＝OF 又 OA ＝OC ∴四边形AECF 是平行四边形方法五：在□ABCD 中，∵△ABD 和△CDB 的面积相等 且AE ⊥BD ，CF ⊥BD ∴AE ＝CF又∵AE ⊥BC ，CF ⊥BC ∴ AE ∥CF(同垂直于一直线的两条直线平行)E D C A BF 图4 F A DB C 图5 E O∴四边形AECF 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)说明：要充分利用平面图形的变换，认识平行四边形的中心对称；理解其边、角与对角线之间的关系．解法五由两个垂直关系考虑到高、面积和平行等关系，再利用一条对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形，利用面积法可使解题简化．本题也可把垂直改为角平分或改为对角线上两条线段相等等条件．2、已知，如图6在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BC ＝AD ，E 、F 是对角线AC 上两点，且AE ＝CF ，试说明BE 与DF 的关系． (河北省03)分析：要说明BE 与DF 的关系，可考虑BE 与DF 所在的四边形BEDF 是否为平行四边形解：连结BF 、DE 和BD 交AC 于点O 在四边形ABCD 中 ∵AB ＝CD ，BC ＝AD ∴四边形ABCD 是平行四边形 (两组对边平行的四边形) ∴ AO ＝OC ，BO ＝OD (平行四边形的对角线互相平分)∵AE ＝CF ∴ EO ＝OF 又BO ＝OD ∴四边形BEDF 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)则BE ＝DF ，BE ∥DF (平行四边形的一组对边平行且相等) 即BE 与DF 相等且平行说明：根据题目中的已知条件，找出解题的思路先识别平行四边形，利用平行四边形的特征，从中寻找与所求线段有关的四边形情况，再识别平行四边形，再利用平行四边形的特征，反复运用平行四边形的识别与特征从中获得解题的方法．3、如图7，已知E 是平行四边形ABCD 中DA 延长线上一点，且AE ＝AD ，连结EC 分别交AB 、BD 于F 、G ，试说明AF ＝BF (浙江湖州02)分析：要说明AF ＝BF 可考虑AB 与CE 互相平分，就必须先识别四边形ACBE 是平行四边形解：在□ABCD 中 ∵AD ∥BC ，AD ＝BC又∵AE ＝AD ∴ AE ∥BC ，AE ＝BC由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 可得四边形ACBE 是平行四边形再由平行四边形的对角线互相平分得：AF ＝BF 说明：要识别线段相等，应根据两条线段的位置关系和条件：当相邻时，考虑等角对等边寻找角相等；当相交时，考虑旋转变换寻找旋转中心；当同一直线上时，考虑等式加减或互相平分，寻找等量关系或识别平行四边形．4、把边长为3cm 、5cm 、7cm 的两个形状和大小相同的三角形拼成平行四边形，请问可拼成几个不同的平行四边形？它们的周长分别是多少？分析：要拼成四边形必须把相同的边长合在一起，那么可拼成6个四边形，其中有3个平行四边形．则相同的边成为平行四边形的对角线，另两条是平行四边形的邻边．解：可拼成3个不同的平行四边形．它们的周长分别是16cm 、20cm 、24cm当7cm 长为对角线时，周长为2×(3＋5) ＝16cm当5cm 长为对角线时，周长为2×(3＋7) ＝20cm当3cm 长为对角线时，周长为2×(7＋5) ＝24cm5、如图8，在□ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，且AE ＝CF ．请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图形中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可)； (北京市2003)(1) 连结 BF 、DF ． (2) 猜想： DF ＝ BE ． (3) 证明：连结BD 交AC 于O ， 在□ABCD 中，AO ＝OC 、BO ＝OD ∴AE ＝CF OE ＝OFA DB C EF O 图6E AF BG D C图7 F D C OEA B 图8∴四边形BEDF 是平行四边形 (对角线互相平分)说明：应引导学生通过操作与探索，发现识别平行四边形；挖掘平行四边形的特征，从而认识平行四边形的边、角及对角线之间的位置关系和数量关系．本题属开放题型有多种的结论．也可猜想BF ＝DE 等．6、如图9，在□ABCD 中，E 在AC 上，AE ＝2CE ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积是2cm 2，求□ABCD 的面积．解：∵BF ＝2AF ，△BEF 的面积是2cm 2 A F B ∴△AEF 的面积是1cm 2 ，△AEB 的面积是3cm 2又∵AE ＝2CE ，△AEB 的面积是3cm 2 E∴△BEC 的面积是23cm 2 ，△ABC 的面积是(3＋23)cm 2 D C 在□ABCD 中，S □ABCD ＝2S △ABC ＝2×(3＋23)＝9 cm 2说明：平行四边形的面积计算公式是底乘以高，但有时也转化为两个或四个三角形的面积来计算．注意利用同底等高或同高等底三角形面积比转化为底或高的比，达到解平行四边形面积问题．7、如图10，己知：D 、E 分别是△ABC 中AB 、AC 的中点，试说明：①DE ∥BC ②DE ＝21BC ． 分析：一般地我们是把四边形的问题转化为三角形来解决，现在我们将思维逆转一下，将三角形的问题转化为四边形来解决，充分地体现转化思想在数学知识中的运用．解：延长DE 到F ，使EF ＝DE 连结AF 、CD∵E 为AC 的中点 ∴AE ＝EC∴四边形ADCF 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形)∴DA ∥CF AD ＝FC (平行四边形一组对边平行且相等)又∵AD ＝DB ∴DB ＝CF∴四边形DBCF 也是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴DF ∥BC DF ＝BC (平行四边形一组对边平行且相等)又∵DE ＝21DF ∴DE ＝21BC 说明：平行四边形的特征是说明两条线段相等、两个角相等，两条直线平行或垂直的重要依据．要大胆地构造、运用平行四边形的有关特征和性质来证明边、角的相等关系和位置关系．本题是三角形的中位线定理，可利用中点、延长中线构成对角线互相平分的四边形是平行四边形，再从平行四边形的特征得到对边平行且相等使问题获解．图9 E A B 图10 D F C。