三垂直模型与全等综合的

正方形中的三垂直全等问题本文将介绍正方形中的三垂直全等问题的背景和重要性。

此问题具体描述了正方形中的三垂直全等问题，包括定义和要求。

在一个正方形中，有三条垂直线段，它们彼此之间相互垂直，并且长度相等。

针对这三条垂直线段的情况，要求解决以下问题：求出每条垂直线段的长度。

求出任意两条垂直线段之间的夹角。

分析并解释为什么这三条垂直线段在正方形中是全等的。

以上是正方形中的三垂直全等问题的具体描述，包含了问题的定义和要求。

解决方法在正方形中，我们可以讨论三个垂直全等的问题。

下面是解决这个问题的一种方法和思路：了解垂直全等。

了解什么是垂直全等对于解决这个问题至关重要。

垂直全等意味着两个或多个角度或边长完全相等。

了解垂直全等。

了解什么是垂直全等对于解决这个问题至关重要。

垂直全等意味着两个或多个角度或边长完全相等。

确定正方形性质。

首先，我们需要明确正方形的一些性质。

正方形的四个内角都是直角，边长相等，且对角线相等。

确定正方形性质。

首先，我们需要明确正方形的一些性质。

正方形的四个内角都是直角，边长相等，且对角线相等。

确定正方形性质。

首先，我们需要明确正方形的一些性质。

正方形的四个内角都是直角，边长相等，且对角线相等。

确定正方形性质。

首先，我们需要明确正方形的一些性质。

正方形的四个内角都是直角，边长相等，且对角线相等。

绘制正方形。

我们可以通过绘制一个简单的正方形来帮助我们可视化问题。

使用纸和铅笔，或者计算机绘图工具，绘制出一个具有相等边长的正方形。

绘制正方形。

我们可以通过绘制一个简单的正方形来帮助我们可视化问题。

使用纸和铅笔，或者计算机绘图工具，绘制出一个具有相等边长的正方形。

绘制正方形。

我们可以通过绘制一个简单的正方形来帮助我们可视化问题。

使用纸和铅笔，或者计算机绘图工具，绘制出一个具有相等边长的正方形。

绘制正方形。

我们可以通过绘制一个简单的正方形来帮助我们可视化问题。

使用纸和铅笔，或者计算机绘图工具，绘制出一个具有相等边长的正方形。

全等三角形之三垂直模型与一线三等角模型一、模型图示二、特色讲解1.三垂直模型例1，已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠CDE=90°，问BD=AB+ED吗?分析：（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角，得到一组等量关系；（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：练习1：如图，如果△ABC≌△CDE，请说明AC与CE的关系。

提示：线段的关系包括：大小关系与位置关系练习2：如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F，求证：DE=BF练习3：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。

练习4：在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，△ADC≌△CEB，且DE=AD+BE。

你能说出其中的道理吗？（2）当直线MN绕点C旋转到图10的位置时，DE =AD-BE。

说说你的理由。

（3）当直线MN绕点C旋转到图11的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。

BA BAA图102.一线三等角模型例2：如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形。

（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化想到得到？写出变化过程。

练习1.如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α，（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且EF在直线CD上，请解决下面两个问题①如图①，若∠BCA=90°，∠α=90°，请问：BE与CF，EF与BE-AF的绝对值的大小关系分别是什么？②如图②，0°<∠BCA<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件？，使得①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论。

全等三角形模型——三垂直模型真题精炼1、如图，已知：AB=AC，直线m经过点A，点D、E是直线m上两个动点，连接BD、CE．（1）如图1，若∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE．求证：DE=BD+CE．（2）如图2，若∠BAC=∠BDA=∠AEC，则（1）中的结论DE=BD+CE是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由.2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．3、（16-17学年南师江宁月考）如图，B 、C 、D 三点在同一条直线上，AC CD =，90B E ∠=∠=︒，AC CD ⊥，则不正确．．．的结论是（）A ．A ∠与D ∠互为余角B ．2A ∠=∠C ．ABC CED≌△△D ．12∠=∠4、（16-17学年南外月考）如图，Rt ABC △的直角顶点B 在直线PQ 上，AD PQ ⊥于D ，CE PQ ⊥于E ，且7cm BD CE ==，3cm AD =，则梯形ADEC 的面积是________2cm .5、（17-18学年求真月考）如图，AE ⊥AB ，且AE=AB ，BC ⊥CD ，且BC=CD ，EF=6，BG=3，DH=4，计算图中实线所围成的图形的面积S 是50．6、如图，在正方形ABCD 中，如果AF=BE ，那么∠AOD 的度数是_______.7、（16-17学年育外期中）如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线L ，过A 、C 、D 作L 的垂线，垂足分别为点E 、F 、G .若AE=2，CF=6，则DG 的值为________.8、（17-18学年南师江宁月考）【提出问题】如图①，点B 、A 、C 在同一条直线上，DB BC ⊥，EC BC ⊥，且90DAE ∠=︒，AD AE =，易证DBA △≌ACE △．【类比探究】（1）如图②，在DBA △和ACE △中，AD AE =，若60DAE ∠=︒，120BAC ∠=︒，120B C ∠=∠=︒．求证：DBA △≌ACE △．【知识应用】（2）如图②，在DBA △和ACE △中，AD AE =，若60DAE ∠=︒，120BAC ∠=︒，120B C ∠=∠=︒，若DAC ∠的度数是E ∠的4倍，则D ∠=__________︒．【数学思考】（3）如图②，在DBA △和ACE △中，AD AE =，若(090)DAE αα∠=︒<<︒，2BAC α∠=，当DBA △≌ACE △时，B C ∠=∠=__________．（结果用含有α的代数式表示）。

在解决几何问题中，“一线三等角，K形全等”的基本图形常常出现，我们称之为“三垂直模型”，掌握好该模型及其变形，有助于我们解决复杂几何数学题。

“三垂直模型”的一般形式：这是最基础的“三垂直模型”，在同一直线上有三个直角，即∠D=∠ACB=∠E，且BC=AC，那么可以通过“AAS”或“AAS”判定两个三角形全等。

两个三角形已经满足两个条件，加上∠B+∠BCD=90°，∠BCD+∠ACE=90°，所以得到∠B=∠ACE，那么通过“AAS”得到△BDC≌△CEA。

其它“三垂直模型”：证明的方法与上面类似，通过直角三角形两个锐角互余，得到两个角相等，从而证明两个三角形全等。

例题1：如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=5cm，BD=2cm，求DE的长分析：看到等腰直角三角形，我们应该可以想到很多结论，比如“三线合一”，比如在等腰直角三角形的斜边中点处构造直角与两腰相交，会得到一个新的等腰直角三角形等等。

并且，等腰直角三角形满足一个角为直角，且两条腰相等，因此我们也常构造“三垂直”模型，过顶点的一条直线绕着顶点旋转，过两个底角顶点做该直线的垂线，可以构造出“三垂直模型”，有“内K图”，也有“外K 图”。

本题可根据AAS证明△ACE≌△CBD，可得AE=CD=5cm，CE=BD=2cm，由此即可解决问题。

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题。

例题2：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE，连接CE，求CE的长分析：延长AC，过E作EF⊥AF，垂足为F，由ABDE为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，AE=AB，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得到三角形AEF与三角形ABC全等，利用全等三角形的对应边相等得到EF=AC=6，AF=BC=8，由FA+AC求出FC的长，在直角三角形CEF中，利用勾股定理即可求出EC的长．此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键。

三垂直全等模型"三垂直模型"是初中必会的一种几何模型，它是一个应用非常广泛的模型，它可以应 用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数 以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以这一知识点的掌握对于中考至关重要。

模型三垂直全等模型如图：/ D =Z BCA =Z E = 90°, BC = AC. 结论：Rt △ BCD 也 Rt△ CAE.模型分析 说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位, 很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图 形去求解•图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。

证明：••• AE 丄 DE , AB 丄BC , DC 丄 BC,三垂直图形变形如下图③、 图④，这也是由弦图演变而来的。

如图,B 丄 BC ,D 丄BC AE 丄 DE AE = DE 求证：AB + CD = BC.B图① 图②BAID 图④C 图③A B C•••/AED =Z B = Z C = 90° .•••/ A +Z AEB = Z AEB +Z CED = 90° •••/ BAE = Z CED.在厶ABE 和厶ECD 中,A CEDAE ED• AB = EC , BE = CD.• AB + CD = EC + BE = BC.AC = BC , BE 丄 CE , AD 丄 CE 于 D , AD = 2.5cm , BE = 0.8cm ,解答：••• BE 丄CE , AD 丄CE ,E =Z ADC = 90° .EBC +Z BCE = 90 ° .BCE +Z ACD = 90EBC =Z DCA.CEB 和厶 ADC 中,E ADCEBC DCABC AC•••△ CEB ^A ADC.• DE = CE — CD = 2.5 — 0.8 =1.7cm.例3如图，在平面直角坐标系中，等腰 的坐标。

三垂直模型一,三垂直与勾股定理大正方形的面积=四个直角三角形+中心正方形面积=2ab+c2(a+b)2=2ab+c2c²= a²+b²，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值为( )A ．113B ．103C ．3D ．83【答案】B 2．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt ABC △中，AC b =，BC a =，90ACB ∠=︒，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求2()a b +的值．【答案】2()=79a b + 3．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab ＋(a －b )2，所以4×12ab ＋(a －b )2=c 2，即a 2＋b 2=c 2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2＋b 2=c 2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2)试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC 的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a －2b )2=a 2－4ab ＋4b 2，画在上面的网格中，并标出字母a ，b 所表示的线段．【答案】（1）见解析；（2）125；（3）见解析 4．（阅读理解）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长的平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么222+=a b c ．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为()212a b +或者是211222ab c ⨯+，因此得到()221112222a b ab c +=⨯+，运用乘法公式展开整理得到222+=a b c ．（尝试探究）（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为a 、b ，斜边长为c ，请你根据古人的拼图完成证明． （2）如图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a 、b ，斜边长为c ，请你帮助完成． （实践应用）（3）已知a 、b 、c 为Rt ABC △的三边()c b a >>，试比较代数式2222a ca b +与44c b -的大小关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系是相等． 5．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形（如下图），设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD 的面积是_______【答案】1．6．把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD 的面积为_____．【答案】1．规律总结:角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)²=AD•DC，（2）(AB)²=AD•AC ，（3）(BC)²=CD•CA.直角三角形射影定理的证明在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴AD BDBD CD=即BD²=AD•DC.其余同理可得可证有射影定理如下：AB²=AD•AC，BC²=CD•CA两式相加得：AB²+BC²=（AD•AC）+（CD•AC）=（AD+CD)•AC=AC².CE a=，HG b=，则斜边BD的长是（）A ．+a bB ．⋅a bC ．D 【答案】C2．已知Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点E 为△ABC 内一点，连接AE ，CE ，CE ⊥AE ，过点B 作BD ⊥AE ，交AE 的延长线于D ．（1）如图1，求证BD=AE ；（2）如图2，点H 为BC 中点，分别连接EH ，DH ，求∠EDH 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 为CH 上的一点，连接EM ，点F 为EM 的中点，连接FH ，过点D 作DG ⊥FH ，交FH 的延长线于点G ，若GH ：FH =6：5，△FHM 的面积为30，∠EHB =∠BHG ，求线段EH 的长．【答案】（1）见解析；（2）∠EDH ＝45°；（3）EH ＝．3．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ， BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，试问DE 、AD 、BE 的等量关系?并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE ，理由见解析 4．在Rt AOB ∆中，AOB 90∠=．(1)如图①，以点A 为直角顶点，AB 为腰在AB 右侧作等腰Rt ABC ∆，过点C 作CD OA ⊥交OA 的延长线于点D ．求证：A AOB CD ∆∆≌．(2)如图②，以AB 为底边在AB 左侧作等腰Rt ABC ∆，连接OC ，求AOC ∠的度数．(3)如图③，Rt AOB ∆中，,OA OB OD AB =⊥,垂足为点D ，以OB 为边在OB 左侧作等边OBC ∆,连接AC 交OD 于E ，3AE =,2OE =,求AC 的长． 【答案】（1）见解析；（2）135AOC ∴∠=；（3）85．如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE，理由见解析；(2) DE=BE-AD6．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点；（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交于G点，若BC＝4，BE＝3，则AGCG＝（直接写出结果）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）113或53模型分析:规律总结:标为3-，求点B的坐标.【答案】B （0，-3）． 2．如图所示，()1,0A-，()0,3B ，以AB 为边作正方形ABCD ，求C ，D 的坐标.【答案】()3,4C -；()4,1D -3．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 在x 轴上，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，且A （2，0）、B （3，3），BC 交y 轴于M ， （1）求点C 的坐标；（2）连接AM ，求△AMB 的面积；（3）在x 轴上有一动点P ，当PB +PM 的值最小时，求此时P 的坐标．【答案】（1）C 的坐标是（﹣1，1）；（2）154；（3）点P 的坐标为（1，0）． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴正半轴于点A （1，0）和点B ，交y 轴于点C ．（1）如图1，直线3y x =-+经过点B 、点C ，求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 为该抛物线223y x nx =-+的顶点，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D ，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点P ，当FP EP ⊥时，求P 点的纵坐标． （3）如图3，在（1）（2）的结论下，抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点G ，作⊥GH x 轴于点H ，延长EP交GH 于K ，当GK =时，求G 点的坐标．【答案】（1）243y x x =-+；（2）点P 的纵坐标为2；（3）G 点的坐标为（2+，11）．5．如图，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点， O M AB ⊥于点M ，点P 为直线l 上不与点A B 、重合的一个动点. (1)求线段OM 的长；(2)当BOP △的面积是6时，求点P 的坐标；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使得以O 、P 、Q 为顶点的三角形与OMP 全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，否则，说明理由.【答案】(1)12 5； (2) (-4，6)； (3) (125-，245)或(125，65)或(365，125-)或(45，125) 6．如图,直线AB 与坐标轴分别交于点A 、点B,且OA 、OB 的长分别为方程x 2－6x+8=0的两个根（OA ＜OB ）,点C在y 轴上,且OA ︰AC=2︰5,直线CD 垂直于直线AB 于点P,交x 轴于点D ．（1）求出点A 、点B 的坐标. （2）请求出直线CD 的解析式.（3）若点M 为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点M,使以点B 、P 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【答案】（1）A(0,2)，B(－4,0);（2）直线CD 的解析式:y CD =－2x+7;（3）存在，()15.53M -，，()29.53M ，，()3 2.53M --，．7．（模型建立）（1）如图1，等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过点A 作AD ⊥ED 于点D ，过点B 作BE ⊥ED 于点E ，求证：△BEC ≌△CDA ； （模型应用）（2）如图2，已知直线l 1：y ＝32x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线l 1绕点A 逆时针旋转45°至直线l 2；求直线l 2的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B （3，﹣4），过点B 作BA ⊥x 轴于点A 、BC ⊥y 轴于点C ，点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线y ＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD 能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D 的坐标，若不能，请说明理由．【答案】（1）见详解；（2）510y x =--；（3）点D 坐标得（113，193-）或（4，-7）或（83，133-）．8．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 、y 轴于点A 、B ，直线BC 分别交x 、y 轴于点C 、B ，点A 的坐标为（2，0），∠ABO=30，且AB ⊥BC ．（1）求直线BC 和AB 的解析式；（2）将点B 沿某条直线折叠到点O ，折痕分别交BC 、BA 于点E 、D ，在x 轴上是否存在点F ，使得点D 、E 、F 为顶点的三角形是以DE 为斜边的直角三角形？若存在，请求出F 点坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）+；（2）（﹣2，0）或（0，0） 9．如图，在平面直角坐标系中，l 是经过A （2，0），B （0，b ）两点的直线，且b >0，点C 的坐标为（-2，0），当点B 移动时，过点C 作CD ⊥l 交于点D ．（1）求点D ，O 之间的距离； （2）当tan ∠CDO =12时，求直线l 的解析式； （3）在（2）的条件下，直接写出△ACD 与△AOB 重叠部分的面积． 【答案】（1）2；（2）24y x =-+；（3）115ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，点E 为线段BO 上一点，连接CE ，将CE 绕C 点顺时针旋转90︒得到CF ，连接EF 交CD 于点G .（1）若4,ABBE ==，求CEF ∆的面积；（2）如图2，线段FE 的延长线交AB 于点H ，过点F 作FM CD ⊥于点M ，求证：2BH MG BE +=； （3）如图3，点E 为射线OD 上一点，线段FE 的延长线交直线CD 于点G ，交直线AB 于点H ，过点F作FM 垂直直线CD 于点M ，请直接写出线段BH MG BE 、、的数量关系.【答案】（1）5；（2）见解析；（3）2BHMG BE -=2．探究：如图1和2,四边形ABCD 中,已知AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．（1）①如图 1,若B 、ADC ∠都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，则能证得EF BE DF =+，请写出推理过程；②如图 2，若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足数量关系_______时，仍有EF BE DF =+;（2）拓展：如图3,在ABC 中，90BAC ∠=︒,AB AC ==D 、E 均在边BC 上,且45DAE ∠=︒．若1BD =，求DE 的长．【答案】（1）①见解析；②180B D ∠+∠=︒，理由见解析；（2）5=3DE 3．（操作发现）如图①，在正方形ABCD 中，点N 、M 分别在边BC 、CD 上，连结AM 、AN 、MN ．∠MAN ＝45°，将△AMD 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△ABE ．易证：△ANM ≌△ANE ，从而得DM +BN ＝MN ．（实践探究）（1）在图①条件下，若CN ＝3，CM ＝4，则正方形ABCD 的边长是 ．（2）如图②，点M 、N 分别在边CD 、AB 上，且BN ＝DM ．点E 、F 分别在BM 、DN 上，∠EAF ＝45°，连接EF ，猜想三条线段EF 、BE 、DF 之间满足的数量关系，并说明理由．（拓展）（3）如图③，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，点M 、N 分别在边DC 、BC 上，连结AM ，AN ，已知∠MAN ＝45°，BN ＝1，求DM 的长．【答案】（1）6；（2）222EF BE FD =+，见解析；（3）24．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AB 边上的点，且AE ⊥DF ，垂足为点O ，△AOD ，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】5．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__．【答案】136．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且BE ＝CF ．求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析规律总结:E ，连接DE ．（1）判断DE 与O 的位置关系并说明理由； （2）求证：22DE CD OE =⋅．2．如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF 和AD ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠EAC ＝60°，求AD 的长．【答案】（1）见解析；（2）AD ＝3．如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OE AD ⊥，OE 与AB 的延长线交于点E ，点C 在OE上， 满足CBE ADB ∠=∠．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若30CBE ADB ∠=∠=，3OA =， 求线段CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE4．如图，AB 是△ABC 外接圆的直径，O 为圆心，CH ⏊AB ，垂足为H ，且∠PCA=∠ACH ， CD 平分∠ACB ，交⊙O 于点D ，连接BD ，AP=2．（1）判断直线PC 是否为⊙O 的切线，并说明理由；（2）若∠P=30°，求AC 、BC 、BD 的长．（3）若tan ∠ACP=12，求⊙O 半径．【答案】（1）PC 是⊙O 的切线，理由见解析；（2）AC=2；BC=BD=（3）⊙O 的半径为3．5．如图，AB 是O 的直径，点D 是弧AE 上一点，且BDE ∠=∠，BD 与AE 交与点F ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若BD 平分ABE ∠，求证：2DE DF DB =⋅；(3)在(2)的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若PA AO =，2DE =，求PD 的长和O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6．已知BC 是⊙O 的直径，点D 是BC 延长线上一点，AB=AD ，AE 是⊙O 的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD 是⊙O 的切线；（2）若AE ⊥BC ，垂足为M ，⊙O 的半径为4，求AE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）。

三垂直全等模型模型 三垂直全等模型如图：∠D ＝∠BCA ＝∠E ＝90°，BC ＝AC .结论：Rt △BCD ≌Rt △CAE .模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图. 图①图②三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.图③A图④DE ABC例1 如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE ＝DE ，求证：AB ＋CD ＝BC . DAB证明：∵AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°.∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°.∴∠BAE ＝∠CED .在△ABE 和△ECD 中，B C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABE ≌△ECD . A∴AB ＝EC ，BE ＝CD .∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ EDA解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°.∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°.∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC .∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm .∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标. xy图①BA (0,3)C (-2,0)O x y 图②C (0，3)A O B (-1,0)解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°.由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°.∴∠DBC ＝∠ACO .在△BCD 和△CAO 中，BDC AOC DBC ACO BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCD ≌△CAO .∴CD ＝OA ，BD ＝OC .∵OA ＝3，OC ＝2.∴CD ＝3，BD ＝2.∴OD ＝5.∴B （－5，2）. xy图③BA (0,3)C (-2,0)OD（2）如图④，过点A 作AD ⊥y 轴于点D .在△ACD 和△CBO 中，ADC COB DAC OCB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBO .∴CD ＝OB ，AD ＝CO .∵B （－1，0），C （0，3）∴OB ＝1，OC ＝3.∴AD ＝3，OD ＝2.∴OD ＝5.∴A （3，2）. xy图④C (0，3)A OB (-1,0)D1．如图，正方形ABCD ，BE ＝CF .求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF .FA证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△BCF .∴AE ＝BF .（2）∵△ABE ≌△BCF .∴∠BAE ＝∠CBF .∵∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°.∴∠BGE ＝90°，∴AE ⊥BF .2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是_____. c b aD A解答：∵a 、b 、c 都是正方形，∴AC ＝CD ，∠ACD ＝90°.∵∠ACB ＋∠DCE ＝∠ACB ＋∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠DCE .在△ABC 和△CBE 中，ABC CED BAC DCE AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACB ≌△CDE .∴AB ＝CE ，BC ＝DE .在Rt △ABC 中，2AC ＝2AB ＋2BC ＝2AB ＋2DE即b S ＝a S ＋c S ＝5＋11＝16.3．已知，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 为BC 上一动点（BP <CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E 、CF ⊥AP 于F .（1）求证：EF ＝CF －BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.FC A BPP解答：∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°.∴∠F AC ＋∠ACF ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＋∠F AC ＝90°，∴∠BAE ＝∠ACF .在△ABE 和△CAF 中，AEB AFC BAE ACF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CAF .∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE －AF ，∴EF ＝CF －BE .（2）如图，EF ＝BE ＋CF .理由：同（1）易证△ABE ≌△CAF .∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE ＋AF ，∴EF ＝ BE ＋ CF . FA4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，设∠BCD ＝α，以D 为旋转中心，将 腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE .（1）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（2）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（3）当0°<α<90°，猜想△EAD 的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD 的面积S 与α的关系式；若无关，请证明结论.D解答：（1）1；（2）1；（3）过点D 作DG ⊥BC 于点G ，过点E 作EF ⊥AD 交AD 延长线于点F .∵AD ∥BC ，DG ⊥BC ，∴∠GDF ＝90°.又∵∠EDC ＝90°，∴∠1＝∠2.在△CGD 和△EFD 中，12DGE DFE CD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCG ≌△DEF∴EF ＝CG ，∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，∴BG ＝AD ＝2，∴CG ＝1.∴EAD S ＝12AD ·EF ＝1. ∴△EAD 的面积与α大小无关. 12FD5．向△ABC 的外侧作正方形ABDE 、正方形ACFG ，过A 作AH ⊥BC 于H ，AH 的反向延长线与EG 交于点P . 求证：BC ＝2AP . PE AG解答：过点G 作GM ⊥AP 于点M ，过点E 作EN ⊥AP 交AP 延长线于点N .∵四边形ACFG 是正方形，∴AC ＝AG ，∠CAG ＝90°.∴∠CAH ＋∠GAM ＝90°.又∵AH ⊥BC ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.∴∠ACH ＝∠GAM .在△ACH 和△GAM 中，AHC GMA ACH GAM AC GA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ACH ≌△GAM∴CH ＝AM ，AH ＝GM .同理可证△ABH ≌△EAN∴BH ＝AN ，AH ＝EN .∴EN ＝GM .在△EPN 和△GPM 中， EPN GPM ENP GMP EN GM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPN ≌△GPM . ∴NP ＝MP ，∴BC ＝BH ＋CH＝AN ＋AM＝AP ＋PN ＋AP －PM ＝2AP . P EAG M。

初中几何一线三垂直模型构造全等三角形一线三垂直模型构造全等三角形【模型说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90º，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线.过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）.常见的两种图形：【典型例题1】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.当α=45°时，求△EAD的面积.当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD 的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.【答案解析】∵AD∥BC,DG⊥BC∴∠GDF=90°又∵∠EDC=90°∴∠1=∠2在△CGD和△EFD中∠DGC=∠DFE∠1=∠2CD=DE∴△DCG≌△DEF更多内容见公众号：初中数学解题思路∴EF=CG∵AD∥BC,AB⊥BC,AD=2，BC=3∴BG=AD=2∴CG=1，EF=1，△EAD的面积与α无关【典型例题2】如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P，求证：BC=2AP【答案解析】过点G作GM⊥AP于点M,过点E作EN⊥AP交AP的延长线于点N∵四边形ACFG是正方形.更多内容见公众号：初中数学解题思路∴AC=AG,∠CAG=90°∴∠CAH+∠ACH=90°∴∠ACH=∠GAM在△ACH和△GAM中∠AHC=∠GMA∠ACH=∠GAMAC=GA∴△ACH≌△GAM∴CH=AM,AH=GM同理可证△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP一线三垂直模型构造全等三角形【模型说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90º，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

三垂直全等模型模型三垂直全等模型如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.图①图②三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.图③图④DEABC例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.D证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°.∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.∴∠BAE＝∠CED.在△ABE和△ECD中，AB C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ECD .∴AB ＝EC ，BE ＝CD .∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？EDAB解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°.∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°.∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC .∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm .∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.xy图①BA (0,3)C (-2,0)O解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°.由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°.∴∠DBC ＝∠ACO .在△BCD 和△CAO 中，BDC AOC DBC ACO BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCD ≌△CAO .∴CD ＝OA ，BD ＝OC .∵OA ＝3，OC ＝2.∴CD ＝3，BD ＝2.∴OD ＝5.∴B （－5，2）.（2）如图④，过点A 作AD ⊥y 轴于点D .在△ACD 和△CBO 中，ADC COB DAC OCB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBO .∴CD ＝OB ，AD ＝CO .∵B （－1，0），C （0，3）∴OB ＝1，OC ＝3.∴AD ＝3，OD ＝2.∴OD ＝5.∴A （3，2）. 跟踪练习1．如图，正方形ABCD ，BE ＝CF .求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF .F证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△BCF .∴AE ＝BF .（2）∵△ABE ≌△BCF .∴∠BAE ＝∠CBF .∵∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°.∴∠BGE ＝90°，∴AE ⊥BF .2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是_____.解答：∵a 、b 、c 都是正方形，∴AC ＝CD ，∠ACD ＝90°.∵∠ACB ＋∠DCE ＝∠ACB ＋∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠DCE .在△ABC 和△CBE 中，ABC CED BAC DCE AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACB ≌△CDE .∴AB ＝CE ，BC ＝DE .在Rt △ABC 中，2AC ＝2AB ＋2BC ＝2AB ＋2DE即b S ＝a S ＋c S ＝5＋11＝16.3．已知，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 为BC 上一动点（BP <CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E 、CF ⊥AP 于F .（1）求证：EF ＝CF －BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.P解答：∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°.∴∠F AC ＋∠ACF ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＋∠F AC ＝90°，∴∠BAE ＝∠ACF .在△ABE 和△CAF 中，AEB AFC BAE ACF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABE ≌△CAF .∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE －AF ，∴EF ＝CF －BE .（2）如图，EF ＝BE ＋CF .理由：同（1）易证△ABE ≌△CAF .∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE ＋AF ，∴EF ＝ BE ＋ CF .4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，设∠BCD ＝α，以D 为旋转中心，将 腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE .（1）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（2）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（3）当0°<α<90°，猜想△EAD 的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD 的面积S 与α的关系式；若无关，请证明结论.EADB解答：（1）1；（2）1；（3）过点D 作DG ⊥BC 于点G ，过点E 作EF ⊥AD 交AD 延长线于点F .∵AD ∥BC ，DG ⊥BC ，∴∠GDF ＝90°.又∵∠EDC ＝90°，∴∠1＝∠2.在△CGD 和△EFD 中，12DGE DFE CD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCG ≌△DEF∴EF ＝CG ，∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，∴BG ＝AD ＝2，∴CG ＝1.∴EADS ＝12AD ·EF ＝1. ∴△EAD 的面积与α大小无关.5．向△ABC 的外侧作正方形ABDE 、正方形ACFG ，过A 作AH ⊥BC 于H ，AH 的反向延长线与EG 交于点P . 求证：BC ＝2AP .PFD E AG解答：过点G 作GM ⊥AP 于点M ，过点E 作EN ⊥AP 交AP 延长线于点N . ∵四边形ACFG 是正方形，∴AC ＝AG ，∠CAG ＝90°.∴∠CAH ＋∠GAM ＝90°.又∵AH ⊥BC ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.∴∠ACH ＝∠GAM .在△ACH 和△GAM 中，AHC GMAACH GAM AC GA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ACH ≌△GAM∴CH ＝AM ，AH ＝GM .同理可证△ABH ≌△EAN∴BH ＝AN ，AH ＝EN .∴EN ＝GM .在△EPN 和△GPM 中，EPN GPMENP GMP EN GM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△EPN ≌△GPM .∴NP ＝MP ，∴BC ＝BH ＋CH＝AN ＋AM＝AP ＋PN ＋AP －PM＝2AP .。

K模型图与全等知识点基本图形本题 8 分）如图，在等腰Rt △ABC中，∠ACB=90 °，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点 B 作 BF∥AC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，求证：AF＝CF．22 ．边长为 1 的正方形 ABCD 中， E 是 AB 中点，连CE，过 B 作 BF⊥ CE 交 AC 于 F，求AF.D CFHA EB 【例 8】CFEA D B【例 9 】等腰 Rt △ABC 中∠ACB ＝ 90 °，AC=BC ； F 是 BC 上的中点，连AF ，作 CD ⊥ AF 于 E，交 AB 于 D；连 FD. 求证： AD ＝2BD ；【例 3 】已知△ABC 中 ,∠C=90 ,AC=BC,D是AB的中点,E是BC上任一点,EP⊥ CB,PF⊥ AC,E、F为垂足 ,CFE求证 :△DEF 是等腰直角三角形.A D P B【例 4 】如图， D 为线段 AB 的中点，在AB 上取异于 D 的点 C，分别以 AC、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与 BCF，连结 DE、 DF、 EF，求证：△ DEF 为等腰直角三角形。

DFEHEAA C D BBFC【例 5 】如图，分别以△ ABC 的边 AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，等腰 Rt △ACE；连接 DE。

AF 是△ABC 的中线，FA 的延长线交DE 于点 H ，求证： DE＝ 2AF【例 6 】如图，在正方形ABCD 中，点 N 是 BC 边上的点。

连接AN ，MN ⊥ AN 交∠DCB 的外角平分线于点M 。

求证： AN ＝ MN9、如图，直线AB 交 x 轴正半轴于点 A（a，0），交 y 轴正半轴于点B（0， b），且 a 、b 满足 a 4+ |4 －b|=0（1）求A、B两点的坐标；（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB 于 E，求证∠BDO=∠EDA；yBEFO D A x（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt△PBM ，其中 PB= PM，直线 MA 交 y 轴于点 Q，当点 P 在 x轴上运动时，线段 OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段 OQ 的取值范围.yM BO A PxQ 1024 ．（ 12分）如图， VCOD 等腰直角三角形， CA ⊥ x 轴。

第05讲一线三垂直模型构造全等三角形【应对方法与策略】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：图1 图2【多题一解】1．（2022•鹿城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．2．（2022•东港区校级一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．（3）如图4，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝6，求的值．3．（2022•齐齐哈尔三模）综合与实践数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．（1）原型题：如图1，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，AP＝PC，AP⊥PC，则△ABP ≌△，请你说明理由．（2）利用结论，直接应用：如图2，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为a、b、c，A、B、N、E、F五点在同一条直线上，则△CBN≌△，c＝（用含a、b的式子表示）．如图3，四边形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2，CD＝4，以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离为．（3）弱化条件，变化引申：如图4，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于点F，ME 交BC于点G，连接FG，则△AMF与△BGM的关系为：，若，AF＝3，则FG ＝．4．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．5．（2022•沈河区校级开学）在△ABC中，AB＝AC．（1）在图（a）中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝∠B＝60°．求证：BD•CD＝AB•CE．（2）在图（b）中，∠ADE＝∠B＝60°，EF⊥AD于点F，若CD＝2BD，求的值．（3）在图（c）中，∠ADB＝∠ABC＝45°，DB、AC交于点E，若AD＝2，CE＝，请直接写出BE 的长度．6．（2022•信阳模拟）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．7．（2021•平房区二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，OA＝2，△AOB的面积为2．（1）如图1，求直线AB的解析式．（2）如图2，线段OA上有一点C，直线BC为y＝kx﹣2k（k＜0），AD⊥y轴，将BC绕点B顺时针旋转90°，交AD于点D，求点D的坐标．（用含k的式子表示）（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD，交直线BC于点E，若3∠ABC﹣∠BDO＝45°，求点E的坐标．【一题多解】1．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），tan∠ACO＝，D为抛物线顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，点E在线段BD上方抛物线上运动（不含端点B、D），求S△EDB的最大值及此时点E的坐标；（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，M为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移后的线段记为A′C′（线段A'C′始终在直线l左侧），是否存在以A′、C′、M为顶点的等腰直角△A'C′M？若存在，请写出满足要求的所有点M的坐标，并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．3．（2022•抚顺县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2021•金华二模）如图，平面直角坐标系中，A（0，4），C（﹣4，0），D是OC中点，E是直线AD上的一动点，以OE为边作正方形OFGE（顺时针标记），连结FC交AE于点H．（1）当D与E重合时，求直线FC解析式；（2）在（1）的条件下，连结OH，求△AOH的面积；（3）设E的横坐标为t，若△HFE与△OAD相似，请求出t的值．。

三角形全等-三垂直模型数学模型初几学三角形全等-三垂直模型是初中数学中的一个重要概念，它是指当两个三角形的对应边长相等，并且其中一个三角形的一个角等于另一个三角形的一个角时，这两个三角形全等。

在三角形全等-三垂直模型中，我们主要关注三角形的垂直关系，通过垂直关系的运用，可以解决许多与三角形全等相关的问题。

我们来了解一下什么是垂直。

在数学中，两条线段或者两个平面相互垂直，是指它们的交角为90度，也就是直角。

在三角形中，如果一个线段与另一个线段垂直，我们可以称它们为三角形的垂直线段。

在三角形全等-三垂直模型中，我们主要关注三个垂直关系：高线垂直于底边、角平分线垂直于底边以及中线垂直于底边。

我们来看高线垂直于底边的情况。

在一个三角形中，如果从顶点引一条垂直于底边的线段，那么这条线段与底边垂直。

而当两个三角形的底边相等，并且高线相等时，我们可以得出这两个三角形全等。

接下来，我们来看角平分线垂直于底边的情况。

在一个三角形中，如果从顶点引一条角平分线，那么这条角平分线与底边垂直。

当两个三角形的底边相等，并且角平分线相等时，我们可以得出这两个三角形全等。

我们来看中线垂直于底边的情况。

在一个三角形中，如果从顶点引一条中线，那么这条中线与底边垂直。

当两个三角形的底边相等，并且中线相等时，我们可以得出这两个三角形全等。

通过三角形全等-三垂直模型，我们可以解决许多与三角形全等相关的问题。

例如，我们可以利用垂直关系求解三角形的边长、角度等未知量。

同时，我们也可以利用三角形的全等性质来证明一些三角形的性质或者其他几何定理。

三角形全等-三垂直模型是初中数学中的一个重要概念，它通过垂直关系的运用，帮助我们解决与三角形全等相关的问题。

在实际应用中，我们可以利用这个模型来解决一些几何问题，同时也可以通过证明来深入理解三角形的性质和几何定理。

通过不断练习和探索，我们可以更好地掌握三角形全等-三垂直模型，并在数学中取得更好的成绩。

D P FE BCA K 模型图与齐等之阳早格格创做知识面基原图形原题8分）如图，正在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中面，DE ⊥AB ，垂脚为E ，过面B 做BF ∥AC 接DE 的延少线于面F ，对接CF ．（1）供证：AD ⊥CF ；（2）对接AF ，供证：AF ＝CF ．22．边少为1的正圆形ABCD 中，E 是AB 中面，连CE ，过B 做BF ⊥CE 接AC 于F ，供AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC上的中面，连AF ，做CD ⊥AF 于E ，接AB 于D ； 连FD.供证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90,AC=BC,D 是AB 的中面,E 是BC 上任一面,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂脚, 供证:△DEF 是等腰直角三角形.【例4】如图，D 为线段AB 的中面，正在AB 上与同于D的面C ，分别以AC 、BC 为斜边正在AB 共侧做等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，供证：△DEF 为等腰直角三角形.【例5】如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 背中做等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；对接DE.AF是△ABC的中线，FA的延少线接DE于面H，供证：DE＝2AF【例6】如图，正在正圆形ABCD中，面N是BC边上的面.对接AN，MN⊥AN接∠DCB的中角仄分线于面M.供证：AN＝MN9、如图，直线AB接x轴正半轴于面A（a，0），接y 轴正半轴于面B（0，b），且a 、b谦脚4 a+ |4－b|=0（1）供A、B二面的坐标；（2）D为OA的中面，对接BD，过面O做OE⊥BD于F，接AB于E，供证∠BDO=∠EDA；（3）如图，P为x轴上A面左侧任性一面，以BP为边做等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA接y 轴于面Q，当面P正在x轴上疏通时，线段OQ的少是可爆收变更？若没有变，供其值；若变更，供线段OQ的与值范畴.1024．（12分）如图，COD 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴.⑴若面C 的坐标是（—2，—4），供D 面的坐标.（4分） ⑵连结CD ，面E 为CD 的中面，供证：AE ⊥BE ；（4分） ⑶如图，面P 是y 轴正半轴是一面，OP=AB ，当面A 、B 正在x 轴上疏通时，∠APB+∠CPD 的值是可爆收变更？若并证明缘由.（4分）“K”为过二顶面做该直线垂线. 例：已知等腰RT △ABC 中，过面A △ABE ≌△CAF衍死：仄里直角坐标系中A （1,3），以OA 为边做正圆形OABC ，供B 、C 坐标.变式：仄里直角坐标系中，面A （4,1），过面O 做一条直线与OA 夹角为45°，供该直线剖析式.衍伸：仄里直角坐标系中直线3:2OA l y x =与单直线k y x=接于面A ，以OA 为边做等腰RT △OAB ，面B 刚刚佳降正在单直线上.供k.原题8分）如图，正在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中面，DE ⊥AB ，垂脚为E ，过面B 做BF ∥AC 接DE 的延少线于面F ，对接CF ．（1）供证：AD ⊥CF ；（2）对接AF ，供证：AF ＝CF ． ABC 的直角顶面C 正在x 轴上，面B 正在y 轴上.（1）如图1，若面C 的坐标为（2,0），A 的坐标为（-2，-2），供面B 的坐标.（2）如图2，直角边BC 正在坐标轴上疏通，使面A 正在第四象限内，过面A 做AD ⊥y 轴于D ，供CO AD BO -的值. 八年级数教每日一题（041-045）P —041如图，如图，正在仄里直角坐标系中，面A 战面B 的坐标分别是A （0，a ），B （b ，0），且a 、b 谦脚330a b -+=.（1）供面A 、面B 的坐标；（2）面C 是第三象限内一面，以BC 为直角边做等腰直角D yx A O C B O C B A△BCD，∠BCD=90º，过面A战面D分别做直线CO的垂线，垂脚分别是面E、F.试问线段AE、DF、CO之间是可存留某种决定的数量闭系？为什么？P—042 如图，正在仄里直角坐标系中，面A、面C分别正在y轴的正半轴战背半轴上，面B正在x轴正半轴上，∠ABC=90º.面E正在BC延少线上，过面E做ED∥AB，接y轴于面D，接x轴于面F，DO–AO=2CO.（1）供证：AB=DE；（2）若AB=2BC，供证：EF=EC；（3）正在（2）的条件下，若面B的坐标是（2，0），供面E 的坐标.9、如图，直线AB接x轴正半轴于面A（a，0），接y 轴正半轴于面B（0，b），且a 、b谦脚4 a+ |4－b|=0（1）供A、B二面的坐标；（2）D为OA的中面，对接BD，过面O做OE⊥BD于F，接AB于E，供证∠BDO=∠EDA；（3）如图，P为x轴上A面左侧任性一面，以BP为边做等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA接y 轴于面Q，当面P正在x轴上疏通时，线段OQ的少是可爆收变更？若没有变，供其值；若变更，供线段OQ的与值范畴.10如图，正在仄里直角坐标系xoy中，直线AP接x轴于面P （p，0），接y轴于面A（0，a），且a、b谦脚＋(p＋1)2＝0．（1）供直线AP的剖析式；（2）如图1，面P 闭于y轴的对于称面为Q，R（0，2），面S正在直线AQ上，且SR=SA，供直线RS的剖析式战面S的坐标；（3）如图2，面B（-2，b）为直线AP上一面，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC，面C正在第一象限，D为线段OP上一动面，对接DC，以DC为直角边，面D为直角顶面做等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂脚，下列论断：①2DP+EF的值没有变；②AO−EF的值没有变；其中惟有一个论断精确，请您采用出精确的论断，并供出其定值．如图，正在仄里直角坐标系xoy中，直线AP接x轴于面P （p，0），接y轴于面A（0，a），且a、b谦脚＋(p＋1)2＝0．（1）供直线AP的剖析式；（2）如图1，面P 闭于y轴的对于称面为Q，R（0，2），面S正在直线AQ上，且SR=SA，供直线RS的剖析式战面S的坐标；（3）如图2，面B（-2，b）为直线AP上一面，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC，面C正在第一象限，D为线段OP上一动面，对接DC，以DC为直角边，面D为直角顶面做等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂脚，下列论断：①2DP+EF的值没有变；②AO−EF的值没有变；其中惟有一个论断精确，请您采用出精确的论断，并供出其定值．。

FEC F E DCB A K 模型图与全等知识点 基本图形本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ；（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ； 连FD. 求证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形.H A B DCE FFED C BAH F ED C B A【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ，分别以AC 、BC 为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。

【例5】如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACE ；连接DE 。

AF 是△ABC 的中线，FA 的延长线交DE 于点H ，求证：DE ＝2AF【例6】如图，在正方形ABCD 中，点N 是BC 边上的点。

连接AN ，MN ⊥AN 交∠DCB 的外角平分线于点M 。

求证：AN ＝MN9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点B （0， b ），且a 、b 满足4 a + |4－b |=0（1）求A 、B 两点的坐标；（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，求证∠BDO =∠EDA ；（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM ，A BO D EFy x其中PB =PM ，直线MA 交y 轴于点Q ，当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ 的取值范围.10ABO MPQxyEDCB AOxyDCB AOxy P24．（12分）如图，COD 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴。