四川省成都市郫都区2019-2020学年高一(下)期末数学(文科)试题

高一下期末文科数学参考答案题号123456789101112答案B DC AD BD ACCBB13.314．215.2816．11分分分分）（分分分）原式解：（10---------------------229------------4πcos 4πsin 27----------2cos 12sin 16-------------cos 22sin 1cos 2)cos (sin ∴8π25---------420sin 2120sin 23------------10cos 10sin )10-30sin(21-----------10cos 10sin )10sin 23-10cos 21(210cos 10sin 10sin 3-10cos 117.222+=++=+++=++=++======x x x x xx x x18．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，-------------------1分由已知，211116,12a a q a q a q +=+=---------------------------------2分两式相除，得2q =.------------------------------3分所以12a =，--------------------------------4分所以数列{}n a 的通项公式2nn a =.----------------------5分（2）设等差数列{}n b 的公差为d ，----------------------6分则114,316b d b d +=+=------------------------------------------7分解得12,6b d =-=---------------------------------------------8分()()()1234100123499100b b b b b b b b b b b -+-+-=-+-++- 50300d =-=----------------------------------------------------------------------10分19．解：（1）34tan =α ，又αβ、为锐角，由22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==得：4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，---------------3分227cos 2cos sin 25ααα∴=-=-；----------------------6分（2）由（1）得，24sin 22sin cos 25ααα==，则sin 224tan 2cos 27ααα==-．α 又，(0,2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，-----------------------7分sin()5αβ∴+=．---------------------------8分则sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+．-------------------------------------9分tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++------------------------12分20．解：（1） 点()(),n n S n *∈N 均在二次函数()232f x x x =-的图象上，∴232n S n n =-．----------------------1分当2n ≥时，()()22132312165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦；--------3分当1n =时，21131211a S ==⨯-⨯=，满足上式．（5分）-------------5分∴数列{}n a 的通项公式是65n a n =-．-------------------------------6分（2） 65n a n =-，∴()()1661165616561n n n b a a n n n n +===--+-+．----------------8分∴123n nb b b b T =++++ 11111111771313196561n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭----------9分O11111111771313196561n n -+-+-++--+ -------------10分1=161n -+661nn =+．-----------------------12分21解：（1）设1A B 与1AB 交于O ，连接OD ，---------2分在平行四边形11ABB A 中，O 为1AB 中点，D 为AC 中点，所以1//OD B C ，---------4分OD ⊂ 平面1A BD ，因1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ；-------------6分（2）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD C C ⊥．---------------------------8分又BD AC ⊥，1AC C C C = ，所以BD ⊥平面11ACC A ．因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥，--------------10分又11A D AC ⊥，1A D BD D ⋂=，所以1AC ⊥平面1A BD ．------------11分又1AC ⊂平面11AB C ，所以平面11AB C ⊥平面1A BD ．--------------12分22．（1）因为在ABC ∆中，30,B AC D ∠== 是边AB 上一点，所以由余弦定理得：(22222202cos 2AC AB BC AB BC ABC AB BC BC AB BC==+-⋅∠=+-⋅≥-⋅------------------3分所以(202AB BC ⋅≤=+----------------------------------------------4分所以(1sinB 522ABC S AB BC =⋅≤+ -------------------------------------------6分所以ABC ∆的面积的最大值为5(2+（2）设ACD θ∠=，在ACD ∆中，因为2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，所以11sin 2sin 422ABC S AC CD θθ=⋅=⨯= --------------------------------7分所以sin 55θθ==，------------------------------------8分由余弦定理，得，22252cos 2048165AD AC CD AC CD θ=+-⋅=+-=所以4=AD ，------------------------------------------10分由正弦定理，得sin sin AD CD A θ=，所以42sin sin A θ=，所以sin 5A =，-------11分此时sin sin BC AC A B =，所以sin 4sin AC A BC B==．------------------------------------12分所以BC 的长为4。

郫都区2019—2020学年度下期期中考试高一文科数学试题说明：1.本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答.第I 卷（选择题 共60分）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.不等式(1)(2)0x x --<的解集为（ ） A. {|1,x x <或2}x > B. {|12}x x << C. {|2,x x <-或1}x >- D. {|21}x x -<<-【答案】B 【解析】分析：结合二次函数的图象解不等式可得结果． 详解：结合二次函数的图象解不等式得12x <<， ∴不等式的解集为{|12}x x <<． 故选B ．点睛：解一元二次不等式的步骤（1）对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的形式；（2）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； （3）根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集． 2.cos45cos15sin 45sin15︒︒-︒︒=（ ） 32 C.12D.624- 【答案】C【解析】 【分析】逆用两角和的余弦公式求解即可.【详解】()1cos 45cos15sin 45sin15cos 45152︒︒-︒︒=︒+︒= 故选：C【点睛】本题主要考查了逆用两角和的余弦公式，属于基础题. 3.设a b >，则下列不等式成立的是（ ） A. 22a b > B.11a b< C.11a b a>- D.22a b c c > 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法和不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误. 【详解】a b >，对于A 选项，取1a =-，2b =-，则22a b <，A 选项中的不等式不成立；对于B 选项，取1a =，1b =-，则11a b >，B 选项中的不等式不成立； 对于C 选项，取0b =，则11a b a=-，C 选项中的不等式不成立； 对于D 选项，0c ≠，则210c >，a b >，由不等式的基本性质得22a b c c>，D 选项中的不等式成立. 故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、特殊值法、作差（商）法、函数单调性来判断，考查推理能力，属于基础题.4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知466a a +=-，则9S =（ ） A. -27 B. 27C. -54D. 54【答案】A 【解析】 试题分析：因466a a +=-,故，所以应选A.考点：等差数列的性质及其前项和．晨鸟教育5.已知{}n a 是等比数列，且5371,422a a a =+=，则9a = A. 2± B. 8 C. 18D. 2【答案】D 【解析】{}n a 是等比数列，且512a =,得237514a a a ==.又3742a a +=，联立得314a =.253 q 2a a ==. 4952a a q ==.故选D.6.已知ABC ∆中，45,2,A a b =︒==那么B ∠为（ ）A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒【答案】A 【解析】试题分析：在ABC ∆中，45,2,A a b =︒==a b >，A B ∠>∠，那么B ∠为锐角，由正弦定理可得2,,sin sin sin45sin a b A B B==即解得01sin ,302B B =∴=. 考点：正弦定理的应用. 7.若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,4)B. [0,2)C. [0,4)D. (2,4]【答案】C 【解析】 【分析】等价于不等式210ax ax ++>的解集为R, 结合二次函数的图象分析即得解. 【详解】由题得210ax ax ++>的解集为R, 当0a =时，1＞0恒成立，所以0a =.当0a ≠时，240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，所以04a <<. 综合得04a ≤<. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和二次函数的图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.在ABC 中，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形【答案】D 【解析】 【分析】 在ABC中，把()sin sin sin cos +cos sin C A B A B A B=+=⋅⋅代入到2cos sin sin B A C =中，化简即可【详解】解：在ABC 中，()sin sin sin cos +cos sin C A B A B A B =+=⋅⋅ 因为2cos sin sin B A C =，所以()2cos sin sin cos +cos sin sin cos cos sin 0sin 0B A A B A BA B A B A B =⋅⋅⋅-⋅=-= 所以A B =，则ABC 的形状等腰三角形 故选：D【点睛】考查两角和的正弦公式和三角形中的恒等式，基础题.9.在ABC ∆，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若内角,,A B C 依次成等差数列，且不等式220x ax c -++>的解集为1,2，则b 等于（ ）A. B. 3C. 4D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质得出60B =︒，根据不等式的解集得出4,2c a ==，再由余弦定理即可得出答案.【详解】因为内角,,A B C 依次成等差数列，所以2B A C B π=+=-，即60B =︒ 因为不等式220x ax c -++>的解集为()1,2-，所以方程220x ax c -++=的两根为1,2- 则122a -+=--，122c -⨯=-，即4,2c a == 由余弦定理可知，2222212cos 24224122b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， 即23b = 故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，涉及等差数列的性质，一元二次不等式的应用，属于中档题.10.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北o 45（即o 45BAC ∠=）的方向上，行驶6006m 后到达B 处，测得此山顶在北偏东o 15（即o 75ABC ∠=）的方向上，仰角o 30DBC ∠=，则此山的高度CD =（ ）A. 800 3 mB. 600 3 mC. 400 3 mD.200 3 m【答案】C 【解析】 分析】根据正弦定理先求得BC ,再求出DC 即可. 【详解】易得180457560BCA ∠=︒-︒-︒=︒.由正弦定理得sin 1200sin sin sin AB BC AB BACBC m BCA BAC BCA⋅∠=⇒===∠∠∠.故tan301200CD BC m =⨯︒==. 故选：C【点睛】本题主要考查了解三角形中的正余弦定理的实际运用,属于中等题型. 11.已知2sin2cos21θθ-=，则sin 2cos21sin 2cos21θθθθ++-+的值为（ ）A.45B. 0C. 2D. 0或2【答案】D 【解析】 【分析】先利用二倍角公式对2sin2cos21θθ-=化简，可得cos 0θ=或1tan 2θ=，再对sin 2cos21sin 2cos21θθθθ++-+利用二倍角公式化简，代值可得结果.【详解】解：因为2sin2cos21θθ-=， 所以24sin cos 2cos θθθ=， 所以cos 0θ=或1tan 2θ=因为22sin 2cos 212sin cos 2cos 2cos (sin cos )cos =sin 2cos 212sin cos 2sin 2sin (sin cos )sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++++==-+++所以sin 2cos 21=0sin 2cos 21θθθθ++-+或2故选：D【点睛】此题考查三角函数恒等变换中的二倍角公式，属于基础题.12.已知函数()()2cos sin cos 1f x x x x =-+的定义域为,a b ，值域为2⎡⎢⎣⎦，则b a -的值不可能是（ ）A.3π B.2π C.712π D. 34π【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，再由正弦函数的性质得出b a -的取值范围，即可进行判断. 【详解】2()2cos (sin cos )12sin cos 2cos 1sin 2cos 2f x x x x x x x x x =-+=-+=-2sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,222444a xb a x b πππ∴---又222sin 242x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 11sin 242x π⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭正弦函数sin y x =在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦这一个周期中，其图像如下图所示由图可知，当246b ππ-=，7246a ππ-=-时，2244b a ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最大值即()max 1272663b a πππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=当246b ππ-=，242a ππ-=-时，2244b a ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最小值 即()min 16232b a πππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=则2,33b a ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦由于32,433πππ⎡⎤∉⎢⎥⎣⎦，则D 错误 故选：D【点睛】本题主要考查了已知正弦型函数的值域求参数的范围，涉及了三角恒等变换的应用，属于中档题.第II 卷（非选择题 共90分）注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效. 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知等差数列{}n a 的通项公式为23n a n =-，那么它的公差为______________. 【答案】3- 【解析】 【分析】利用第二项减去第一项，即可得出答案.【详解】()()21232231413d a a =-=-⨯--⨯=-+=- 故答案为：3-【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.14.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需的移动最少次数，{}na 满足11a=，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数为_____.【答案】7【解析】 【分析】利用{}n a 的通项公式，依次求出2,3a a ，从而得到4a ，即可得到答案． 【详解】由于n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需的移动最少次数，{}na 满足11a=，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数所以21212111=-=⨯-=a a ，32222124=+=⨯+=a a ，故43212417=-=⨯-=a a ，所以解下4个环所需的最少移动次数为7 故答案为7.【点睛】本题考查数列的递推公式，属于基础题．15.已知sin76m ︒=，则cos7︒=________.（用含m 的式子表示）【解析】 【分析】通过寻找76︒，7︒与特殊角90︒的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可． 【详解】因为sin76m ︒=，即()sin 9014m ︒-︒=，所以cos14m ︒=， 所以22cos 71m ︒-=，所以21cos141cos 722m+︒+︒==，又cos 72ο==. 【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力． 16.在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边, 222a c b +-=,则cos sin A C +的取值范围为__________．【答案】2⎛- ⎝【解析】分析：由已知及余弦定理可求cos B ，即可求B ，根据三角形内角和定理可求56C A π=-，利用三角函数恒等变换的应用可求cos sin 3A C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由A 的范围利用正弦函数的图象和性质即可得答案.详解：由条件222a c b +-=，根据余弦定理得：222cos 2a c b B ac +-==， B 是三角形内角，6B π∴=，56A C π∴+=，即56C A π=-，53cos sin cos sin cos 623A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又506A π<<， 7336A πππ∴<+<，cos sin A C ⎛∴+∈ ⎝.故答案为2⎛- ⎝.点睛：本题主要考查了余弦定理、三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想.三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知α， ,2πβπ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，且3cos 5α=-(Ⅰ)求tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ)若()3sin 5αβ-=，求sin β的值. 【答案】(Ⅰ) 7-；(Ⅱ) 1 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题中条件，求出4sin 5α==，进而可得tan α，再由两角差的正切公式，即可得出结果；(Ⅱ)根据题中条件，得到02παβ<-<，求出()4cos 5αβ-=，再由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】(Ⅰ)因为3cos 5α=-，,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4sin 5α==，因此sin tan s 43co ααα==-， 所以41tantan 34tan 7441tan tan 143παπαπα+-⎛⎫-===- ⎪⎝⎭+⋅-； (Ⅱ)因为α， ,2πβπ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以22ππαβ-≤-≤，又()3sin 5αβ-=，所以02παβ<-<，所以()4cos 5αβ-=， 因此()()()4433sin sin sin cos cos sin 15555βααβααβααβ=--=---=⋅+⋅=⎡⎤⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型. 18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25a =-，612S =-． （1）求{}n a 的通项公式；（2）当n 取何值时n S 有最小值，并求出该值？【答案】（1）29n a n =-；（2）当4n =，最小值为16-. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及求和公式，列出方程组，求解即可； （2）由等差数列的求和公式，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得115254a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得17,2a d =-=所以{a n }的通项公式为29n a n =-； （2）由（1）得221()8(4)162n n n a a S n n n +==-=--， 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16.【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，二次函数法求等差数列前n 项和的最值，属于中档题. 19.已知sin2cos 022x x+=， （1）求tan x 的值；（2）求cos 2)sin 4xx xπ+的值.【答案】（1）43（2）74【解析】 【分析】 （1）由sin2cos 022x x +=可得tan 2x=-2，然后再利用正切的二倍角公式可求得tan x 的值； （2）先利用二倍角公式和两角和的余弦公式将分子和分母化简，再利用同角三角函数的关系将其转化为正切，然后将第一问的正切值代入可得结果. 【详解】解：由sin2x +2cos 2x =0，得tan 2x=-2． 222tan2(2)421tan 1(2)31tan 2xx x ⨯-===---（）(2)()()()22cos sin cos sin cos 2cos sin cos sin sin sin )sin 4x x x x x x xx x xx x xπ-++==-+13711tan 44x =+=+= 【点睛】此题考查同角三角函数关系和二倍角公式，属于基础题.20.在ABC ∆中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 所对的边，且()2cos cos 0a b C c A -+=.（1）求C 的大小； （2）若2b =，c =AB 边上的高.【答案】（1）3C π=；（2）7. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想可求得cos C 的值，结合角C 的取值范围可得出角C 的值； （2）利用余弦定理求得a 的值，利用正弦定理求得sin A 的值，进而可得出AB 边上的高为sin b A ，即可得解.【详解】（1）()2cos cos 0a b C c A -+=，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos 0A C A C B C +-=， 即()sin 2sin cos 0A C B C +-=，即()sin 12cos 0B C -=，0B π<<，sin 0B ∴>，则有1cos 2C =，0C π<<，因此，3C π=；（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，整理得2230a a --=，0a >，解得3a =，由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin 14a C A c ==， 因此，AB边上的高为sin 2147b A =⨯=. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了三角形高的计算，涉及正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题.21.定义行列式运算：13x x 24x x 1423x x x x =-，若函数sin()cos ()301x x f x πωω-=（0>ω）的最小正周期是π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）数列{}n a 的前n 项和2n S An =，且5()12A f π=，求证：数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T <. 【答案】（1）π5πππ1212k k k Z ，，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）见解析【解析】 【分析】（1）由行列式运算，化简可得()sin -3fx x πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由周期求出ω值，然后由πππ2π22π232k x k k Z -≤-≤+∈，可求出函数的单调增区间； （2）由5()12A f π=求出A ，从而可得2n S An =，再由1n n n a S S -=- 求出数列{}n a 的通项，由此可得数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，再利用裂项相消法可得结果. 【详解】（1）解：由题意：()sin -3fx x πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵2ππ02ωωω=>⇒=，，∴()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由πππ2π22π232k x k k Z -≤-≤+∈，可得π5πππ1212k x k k Z -≤≤+∈，， ∴()f x 的单调增区间为π5πππ1212k k k Z ，，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）证明：由（Ⅰ）得5π5πππsin 2sin 1121232A f ⎛⎫⎛⎫==⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2n S n =，①当1n =时，111a S ==； ②当()2n n N +≥∈时，()221121nn n aS S n n n -=-=--=-，而12111a =⨯-=，满足上式∴21n a n =-，则()()1221121212121n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111111335212121n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<-++．【点睛】此题考查了三角函数的图像和性质，数列的求和方法，属于中档题. 22.已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123232x x x x +=-=， （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点()()()112211,1,2,1n n P x P x P x n ++⋯+，得到折线121n PP P +⋯，求由该折线与直线0y =，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T ..【答案】（Ⅰ）12n n x -= （Ⅱ）(21)212n n n T -⨯+=【解析】【详解】(I)设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >.由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为0q >,所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（II ）过123,,,P P P ……1n P+向x 轴作垂线，垂足分别123,,,Q Q Q ……1n Q +,由(I)得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以123n T b b b =+++……+n b=101325272-⨯+⨯+⨯+……+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②①-②得121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+=【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.。

2019—2019—2020成都市高一数学期末考试卷含答案解析一、选择题：1. 集合{1；2；3}的真子集共有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 2. 已知角α的终边过点P (－4；3) ；则2sin cos αα+ 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．52-D ． 253. 已知扇形OAB 的圆心角为rad 4；其面积是2cm 2则该扇形的周长是( )cm.A ．8B ．6C ．4D ．2 4. 已知集合{}2,0x M y y x ==>；{})2lg(2x x y x N -==；则M N I 为( )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．[)+∞,2D ．[)+∞,16. 函数 )252sin(π+=x y 是 （ ） A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 7. 右图是函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象；此函数的解析式为可为( )A ．)32sin(2π+=x y B ．)322sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x y ) D ．)32sin(2π-=x y8.已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间[2；+∞)上是增函数； 则a 的取值范围是( )A ．（]4,∞-B ．（]2,∞-C ．（]4,4-D ．（]2,4-9. 已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3),(1)f x f x f y f x ++==-的图象关于点(1,0)对称；则(2013)f =（ ）A ．10B ．5-C ．5D ．010. 已知函数21(0)(),()(1)(0)x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根；则实数a 的取 值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1)-∞C ．[0,1)D ．[0,)+∞二、填空题:11.sin 600︒= __________.12. 函数()lg 21y x =+的定义域是__________. 13. 若2510a b ==；则=+ba 11__________. 14. 函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是__________.15. 函数()f x 的定义域为D ；若存在闭区间[,]a b D ⊆；使得函数()f x 满足:①()f x 在[,]a b 内是单调函数;②()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ；则称区间[,]a b 为()y f x =的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有________①)0()(2≥=x x x f ;②()()xf x e x =∈R ; ③)0(14)(2≥+=x x xx f ; ④()sin 2()f x x x R =∈三、解答题16. 已知31tan =α； （1）求：ααααsin cos 5cos 2sin -+的值（2）求：1cos sin -αα的值3讨论关于x 的方程m x f =)(解的个数。

2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0的解集为（）A．{x|x＜1，或x＞2} B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜﹣2，或x＞﹣1} D．{x|﹣2＜x＜﹣1}2．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°＝（）A．B．C．D．3．设a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．D．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a4+a6＝﹣6，则S9＝（）A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．545．已知{a n}是等比数列，且a5，4a3+a7＝2，则a9＝（）A．2 B．±2 C．8 D．6．已知△ABC中，A＝45°，a＝2，b，那么∠B为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°7．若函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，4）B．[0，2）C．[0，4）D．（2，4] 8．在△ABC中，若2cos B?sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形9．在△ABC，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若内角A，B，C依次成等差数列，且不等式﹣2x2+ax+c＞0的解集为（﹣1，2），则b等于（）A．B．3 C．4 D．10．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45°（即∠BAC＝45°）的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在北偏东15°（即∠ABC＝75°）的方向上，仰角∠DBC为30°，则此山的高度CD＝（）A．200m B．400m C．600m D．800m11．已知2sin2θ﹣cos2θ＝1，则的值为（）A．B．0 C．2 D．0或212．已知函数f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）+1的定义域为[a，b]，值域为，则b﹣a的值不可能是（）A．B．C．D．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝2﹣3n，那么它的公差为．14．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，{a n}满足a1＝1，且a n，则解下4个环所需的最少移动次数为．15．若sin76°＝m，则cos7°＝．16．在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a2+c2﹣b2ac，则cos A+sin C 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已如α，β，且cosα．（Ⅰ）求tan（α）的值；（Ⅱ）若sin（α﹣β），求sinβ的值．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝﹣5，S6＝﹣12．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求当n取何值时S n有最小值．19．已知．（1）求tan x的值；（2）求sin x的值；（3）求的值．20．在△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且（a﹣2b）cos C+c cos A＝0．（1）求C的大小；（2）若b＝2，，求AB边上的高．21．定义行列式运算：x1x4﹣x2x3，若函数f（x）（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）数列{a n}的前n项和，且，求证：数列的前n项和T n ＜1．22．已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2＝3，x3﹣x2＝2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n+1，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝x n+1所围成的区域的面积T n．参考答案一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0的解集为（）A．{x|x＜1，或x＞2} B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜﹣2，或x＞﹣1} D．{x|﹣2＜x＜﹣1}【分析】根据一元二次不等式的解法与步骤，求解即可．解：解不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0，得1＜x＜2，∴不等式的解集为{x|1＜x＜2}．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．2．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°＝（）A．B．C．D．【分析】观察所求的式子，发现满足两角和与差的余弦函数公式，故利用此公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．解：cos45°cos15°﹣sin45°sin15°＝cos（45°+15°）＝cos60°．故选：A．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．3．设a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．D．【分析】通过举例可得ABD不正确，利用不等式的基本性质可得C成立．解：A．取a＝2，b＝﹣3，则a2＞b2不成立；B．取a＝2，b＝﹣3，则不成立；C．由a＞b，0，可得成立；D．取a＝2，b＝﹣3，则，因此不正确．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a4+a6＝﹣6，则S9＝（）A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．54【分析】由等差数列{a n}的性质可得：a4+a6＝﹣6＝a1+a9，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．解：由等差数列{a n}的性质可得：a4+a6＝﹣6＝a1+a9，则S99×（﹣3）＝﹣27．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知{a n}是等比数列，且a5，4a3+a7＝2，则a9＝（）A．2 B．±2 C．8 D．【分析】由已知列式求得a3，进一步求得公比，再由等比数列的通项公式求得a9．解：在等比数列{a n}中，由，得，又4a3+a7＝2，联立解得：．则q2，∴．故选：A．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6．已知△ABC中，A＝45°，a＝2，b，那么∠B为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【分析】根据正弦定理，求出sin B的值，再根据b＜a得出B＜A，即可求出B的值．解：△ABC中，A＝45°，a＝2，b，由正弦定理得，，∴sin B；又b＜a，∴B＜A，∴B＝30°．故选：A．【点评】本题考查了正弦定理的简单应用问题，是基础题目．7．若函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，4）B．[0，2）C．[0，4）D．（2，4]【分析】根据f（x）的定义域为R可得出ax2+ax+1＞0的解集为R，讨论a：a＝0时，显然满足题意；a≠0时，需满足，解出a的范围即可．解：∵f（x）的定义域为R；∴ax2+ax+1＞0的解集为R；①a＝0时，1＞0恒成立，ax2+ax+1＞0的解集为R；②a≠0时，则；解得0＜a＜4；∴综上得，实数a的取值范围是[0，4）．故选：C．【点评】考查函数定义域的概念及求法，一元二次不等式的解集为R时，判别式△满足的条件．8．在△ABC中，若2cos B?sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】在△ABC中，总有A+B+C＝π，利用此关系式将题中：“2cos B?sin A＝sin C，”化去角C，最后得到关系另外两个角的关系，从而解决问题．【解答】解析：∵2cos B?sin A＝sin C＝sin（A+B）?sin（A﹣B）＝0，又B、A为三角形的内角，∴A＝B．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦函数，属于基础题，在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，另一个方向是角，走三角变换之路．9．在△ABC，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若内角A，B，C依次成等差数列，且不等式﹣2x2+ax+c＞0的解集为（﹣1，2），则b等于（）A．B．3 C．4 D．【分析】不等式﹣2x2+ax+c＞0的解集为（﹣1，2），可得﹣1，2是方程﹣2x2+ax+c＝0的两个实数根，利用根与系数点关系可得：a，c．根据A，B，C依次成等差数列，可得B．再利用余弦定理即可得出．解：不等式﹣2x2+ax+c＞0的解集为（﹣1，2），∴﹣1，2是方程﹣2x2+ax+c＝0的两个实数根，可得：﹣1+2，﹣1×2，a＝2，c＝4．∵A，B，C依次成等差数列，∴B（A+C）（π﹣B），解得B．则b2＝22+42﹣2×2×4cos12，解得b＝2．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45°（即∠BAC＝45°）的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在北偏东15°（即∠ABC＝75°）的方向上，仰角∠DBC为30°，则此山的高度CD＝（）A．200m B．400m C．600m D．800m【分析】△ABC中由正弦定理求得BC的值，Rt△ABC中求出山高CD的值．解：△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝600，∠ABC＝75°，∴∠ACB＝60°，由正弦定理得，BC1200，Rt△ABC中，∠DBC＝30°，∴CD＝BC tan∠DBC＝1200400，则山高CD为400m．故选：B．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，从实际问题中抽象出三角形是解题的关键，属基础题．11．已知2sin2θ﹣cos2θ＝1，则的值为（）A．B．0 C．2 D．0或2【分析】由已知求得cosθ＝0或tan，然后分类求解得答案．解：由2sin2θ﹣cos2θ＝1，得4sinθcosθ＝2cos2θ，得cosθ＝0或tan．若cosθ＝0则，2θ＝π+2kπ，则0；若tan，则．∴的值为0或2．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．12．已知函数f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）+1的定义域为[a，b]，值域为，则b﹣a的值不可能是（）A．B．C．D．【分析】利用辅助角公式将函数化为y＝A sin（ωx+φ）的形式，根据正弦函数在一个区间上单调性，建立关系，求解b﹣a的范围．解：函数f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）+1＝2sin x cos x﹣2cos2x+1＝sin2x﹣cos2xsin（2x），其定义域为[a，b]，即x∈[a，b]，所以2x∈[2a，2b]；又其值域为[，]，即sin（2x），所以﹣1≤sin（2x）；在正弦函数y＝sin x的一个周期内，要满足上式，则2x，所以（b﹣a）max（），所以b﹣a的值不可能为．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的性质与应用问题，也考查了分析与运算能力，是中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝2﹣3n，那么它的公差为﹣3 ．【分析】利用公差d＝a2﹣a1即可得出．解：公差d＝a2﹣a1＝2﹣3×2﹣（2﹣3）＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，{a n}满足a1＝1，且a n，则解下4个环所需的最少移动次数为7 ．【分析】根据已知规律和递归式，推导出a4的值即可．解：根据题意，a2＝2a1﹣1＝1；a3＝2a2+2＝4；a4＝2a3﹣1＝7；即解下4个圆环最少移动7次；故答案为：7．【点评】本题比较新颖，考查学生对于递归式的掌握和理解，属基础题．要注意n的奇偶性，代入不能搞错．15．若sin76°＝m，则cos7°＝．【分析】将已知等式中的角76°变形为90°﹣14°，利用诱导公式sin（90°﹣α）＝cosα化简，用m表示出cos14°，将cos14°利用二倍角的余弦函数公式化简，得到关于cos7°的方程，求出方程的解即可用m表示出cos7°．解：∵sin76°＝sin（90°﹣14°）＝cos14°＝m，∴cos14°＝2cos27°﹣1＝m，则cos7°．故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．16．在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a2+c2﹣b2ac，则cos A+sin C 的取值范围为．【分析】由已知及余弦定理可求cos B，结合B是锐角，可求B，根据三角形内角和定理可求，利用三角函数恒等变换的应用可求cos A+sin C，由△ABC是锐角三角形，可求A的范围，进而可求范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解其取值范围．解：由条件根据余弦定理得：，∵B是锐角，∴．∴，即，，又△ABC是锐角三角形，∴，即，∴，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已如α，β，且cosα．（Ⅰ）求tan（α）的值；（Ⅱ）若sin（α﹣β），求sinβ的值．【分析】（Ⅰ）根据cosα，求出，然后由两角差的正切公式求出tan（α）的值；（Ⅱ）根据sin（α﹣β），求出，然后由sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]求出sinβ的值．解：（Ⅰ）∵α，且cosα，∴，∴，∴；（Ⅱ）由α，β，得，∵，∴，∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]．【点评】本题考查了两角差的正弦公式，两角差的正切公式和三角函数求值，考查了计算能力和转化思想，属基础题．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝﹣5，S6＝﹣12．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求当n取何值时S n有最小值．【分析】（1）设{a n}的公差为d，由题意得，解得a1，d，即可得出通项公式．（2）由（1）得S n＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，利用二次函数的单调性即可得出．解：（1）设{a n}的公差为d，由题意得，得a1＝﹣7，d＝2．∴{a n}的通项公式为a n＝2n﹣9．（2）由（1）得S n＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，∴当n＝4时，S n取得最小值，最小值为﹣16．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知．（1）求tan x的值；（2）求sin x的值；（3）求的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tan2，利用二倍角的正切函数公式即可求解．（2）由（1）利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．（3）利用二倍角公式，两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．解：由sin2cos0，得tan2，（1），（2），（3）．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．20．在△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且（a﹣2b）cos C+c cos A＝0．（1）求C的大小；（2）若b＝2，，求AB边上的高．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos C，进而可求C；（2）由余弦定理可求a，然后结合正弦定理可求sin A，进而可求．解：（1）∵（a﹣2b）cos C+c cos A＝0，由正弦定理得sin A cos C+cos A sin C﹣2sin B cos C＝0，即sin（A+C）﹣2sin B cos C＝0，即sin B（1﹣2cos C）＝0，∵0＜B＜π，∴sin B＞0，则有，∵0＜C＜π，因此，；（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，整理得a2﹣2a﹣3＝0，∵a＞0，解得a＝3，由正弦定理，得，因此，AB边上的高为．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．21．定义行列式运算：x1x4﹣x2x3，若函数f（x）（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）数列{a n}的前n项和，且，求证：数列的前n项和T n ＜1．【分析】（1）利用已知条件，结合运算法则，利用两角和与差的三角函数化简，结合正弦函数的单调性求解即可．（2）求出A，利用数列的和求出通项公式，然后化简，通过裂项相消法求解数列的和即可．【解答】（1）解：由题意x1x4﹣x2x3，可得函数f（x）sin（ωx）×1﹣0×cosωx＝sin （ωx），所以，∵，∴，由可得．∴f（x）的单调增区间为．（2）证明：由（Ⅰ）得，∴，①当n＝1时，a1＝S1＝1；②当n≥2（n∈N+）时，，而a1＝2×1﹣1＝1，满足上式，∴a n＝2n﹣1，则，∴．【点评】本题考查新定义的应用，数列求和以及数列的递推关系式的应用，三角函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22．已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2＝3，x3﹣x2＝2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n+1，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝x n+1所围成的区域的面积T n．【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q＝2或q（舍），∴x1＝1，∴x n＝2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，记梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n（2n+1）×2n﹣2，∴T n＝3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n＝3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1（2n+1）×2n﹣1（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n．【点评】本题考查了等比数列的性质，错位相减法求和，属于中档题．。