2015-2016学年江苏省扬州市江都二中、宜陵中学联考九年级上学期期中数学试卷与解析

2015-2016学年江苏省扬州市江都市七校联考九年级（上）月考数学试卷（10月份）一．选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上）1．方程x2=﹣x的解是（）A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1或x2=0 D．x1=1或x2=02．方程mx2﹣3x=2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为（）A．m≠1 B．m≠0 C．m≠﹣1 D．m≠±13．已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，则x等于（）A．36 B．6 C．﹣6 D．6或﹣64．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（）A．500（1+2x）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+x2）=720 D．720（1+x）2=5005．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A．B．C．D．6．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD2=BD•CD D．CD•AB=AC•BD7．如图，⊙O上A、B、C三点，若∠B=50，∠A=20°，则∠AOB等于（）A．30°B．50°C．70°D．60°8．如图，△ABC与△DEF都是等腰三角形，且AB=AC=3，DE=DF=2，若∠B+∠E=90°，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．9：4 B．3：2 C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在答题卡上）9．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a=0的一个根，则a=．10．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1x2=．根据上述材料填空：已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两个实数根，则（x1﹣1）（x2﹣1）=．11．关于的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是．12．已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是．13．线段AB=10cm，C为AB上的一点（AC＞BC），若AC=cm时，点C为AB的黄金分割点（精确到0.1cm）14．⊙O的弦AB的长等于半径，那么弦AB所对的圆周角等于度．15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=度．16．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm．17．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，C=70°．现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB；③AE=BE；④CE•AB=2BD2．其中正确结论的序号是．18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（2015秋•江都市月考）解下列方程（1）2x（x﹣3）=（x﹣3）（2）用配方法解方程：x2﹣4x﹣4=0．20．先化简，再求值：÷（m+2﹣）．其中m是方程x2+3x﹣1=0的根．21．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根．（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．22．（10分）（2015•枣庄）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．23．（10分）（2015秋•江都市校级月考）如图：已知P是半径为5cm的⊙O内一点．解答下列问题：（1）用尺规作图找出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）（2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD．（3）已知OP=3cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有条．24．如图，经测量石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8cm，则桥拱半径为多少？25．已知：如图，P是等边△ABC外接圆的弧BC上一点，CP的延长线和AB的延长线相交于D点，连接BP．求证：（1）∠D=∠CBP；（2）AC2=CP•CD．26．（10分）（2010•青海）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？27．（12分）（2014秋•怀柔区期末）对于点E和四边形ABCD，给出如下定义：在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，则称E为四边形ABCD边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们称E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．（1）如图1，在四边形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，点E是AB边上一点，∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD边AB上的相似点，并证明你的结论正确；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3．①在AB边上是否存在点E，使点E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．若存在，有几个？试在图2中画出所有强相似点；②在①所画图形的基础上求AE的长．28．（12分）（2015秋•江都市月考）已知：⊙O上两个定点A、B和两个动点C、D，AC、BD交于E．（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；（2）如图2，若，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．2015-2016学年江苏省扬州市江都市七校联考九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上）1．方程x2=﹣x的解是（）A．x=1 B．x=0 C．x1=﹣1或x2=0 D．x1=1或x2=0考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：解：方程移项得：x2+x=0，分解因式得：x（x+1）=0，可得x=0或x+1=0，解得：x1=0，x2=﹣1．故选C点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．方程mx2﹣3x=2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为（）A．m≠1 B．m≠0 C．m≠﹣1 D．m≠±1考点：一元二次方程的定义．分析：根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．解答：解：由方程mx2﹣3x=2是关于x的一元二次方程，得m≠0．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3．已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，则x等于（）A．36 B．6 C．﹣6 D．6或﹣6考点：比例线段．分析：根据已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．解答：解：∵a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，∴=，∴x2=ab=4×9=36，∴x=±6，x=﹣6（舍去）．故选B．点评：此题主要考查学生对比例线段这一知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．4．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（）A．500（1+2x）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+x2）=720 D．720（1+x）2=500 考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．解答：解：设平均每月增率是x，二月份的产量为：500×（1+x）；三月份的产量为：500（1+x）2=720；故本题选B．点评：找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键；本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A．B．C．D．考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，∵CM⊥AB，∴M为AD的中点，∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM=，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，解得：AM=，∴AD=2AM=．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD2=BD•CD D．CD•AB=AC•BD考点：相似三角形的判定；圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：由∠ADC=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：如图，∠ADC=∠ADB，A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故B选项正确；C、∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；D、∵CD•AB=AC•BD，∴CD：AC=BD：AB，但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误．故选：D．点评：此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，⊙O上A、B、C三点，若∠B=50，∠A=20°，则∠AOB等于（）A．30°B．50°C．70°D．60°考点：圆周角定理．分析：先根据圆周角定理得出∠ACB=∠AOB，再由三角形内角和定理即可得出结论．解答：解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠B=50，∠A=20°，∴∠ACB=∠AOB．∴180°﹣∠AOB﹣∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B，即180°﹣∠AOB﹣20°=180°﹣∠AOB﹣50°，解得∠AOB=60°．故选D．点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．8．如图，△ABC与△DEF都是等腰三角形，且AB=AC=3，DE=DF=2，若∠B+∠E=90°，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．9：4 B．3：2 C． D．考点：解直角三角形；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠E=∠F，再利用三角形内角和得到∠A+∠D=180°，则sinA=sinD，然后根据三角形面积公式得到S△BAC=sinA，S△EDF=2sinD，再计算它们的比值．解答：解：∵△ABC与△DEF都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠E=∠F，∵∠B+∠E=90°，∴∠A+∠D=180°，∴sinA=sinD，∵S△BAC=AB•ACsin∠A=sinA，S△EDF=DE•DFsin∠D=2sinD，∴S△BAC：S△EDF=：2=9：4．故选A．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在答题卡上）9．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a=0的一个根，则a=1．考点：一元二次方程的解．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的定义把x=﹣1代入方程2x2+ax﹣a=0，然后解关于a的一元一次方程即可．解答：解：∵x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a=0的一个根，∴2×（﹣1）2﹣a﹣a=0，∴a=1．故答案为：1．点评：本题考查了解一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．10．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1x2=．根据上述材料填空：已知：x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两个实数根，则（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1．考点：根与系数的关系．专题：阅读型．分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=4，x1•x2=2，再把（x1﹣1）（x2﹣1）展开整理得x1•x2﹣（x1+x2）+1，然后利用整体代入的方法计算即可．解答：解：根据题意得x1+x2=4，x1•x2=2，（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=2﹣4+1=﹣1．故答案为﹣1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．11．关于的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤且k≠0．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：根据一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个实数根，得出△≥0，根据k≠0从而得出k的取值范围．解答：解：∵关于的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=1﹣4k≥0，级的k≤，∵k≠0，∴k的取值范围是k≤且k≠0．故答案为k≤且k≠0．点评：本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是点O在⊙P上．考点：点与圆的位置关系；坐标与图形性质．分析：首先求得点O与圆心P之间的距离，然后和圆的半径比较即可得到点O与圆的位置关系．解答：解：由勾股定理得：OP==5，∵⊙P的半径为5，∴点O在⊙P上．故答案为点O在⊙P上．点评：本题考查了点与圆的位置关系，求出点到圆心的距离是解决本题的关键．点与圆的位置关系有3种：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．13．线段AB=10cm，C为AB上的一点（AC＞BC），若AC= 6.2cm时，点C为AB的黄金分割点（精确到0.1cm）考点：黄金分割．分析：根据黄金比值是0.618进行计算即可．解答：解：点C为AB的黄金分割点时，AC=0.618AB=6.18≈6.2．故答案为：6.2．点评：本题考查的是黄金分割的概念，掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比是解题的关键．14．⊙O的弦AB的长等于半径，那么弦AB所对的圆周角等于30或150度．考点：圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：一条弦所对的圆周角有两种情况：当圆周角的顶点在优弧上，圆周角应是一个锐角；当圆周角的顶点在劣弧上，圆周角是一个钝角．解答：解：∵弦AB的长等于半径，∴当把圆心分别与点A，B连接，可得等边三角形，等边三角形的内角是60°，∴弦AB所对的圆心角是60°，∴弦AB把圆分成60°和300°的两段弧，根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数，而一条弧所对的圆周角的度数等于所对圆心角度数的一半，∴弦AB所对的圆周角等于30°或150°．故弦AB所对的圆周角等于30°或150°．点评：一条弦（非直径）把圆分成两条弧，两条弧对应两个不同度数的圆周角．15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=60度．考点：圆周角定理；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后由三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD 的度数．解答：解：连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B=∠AOC，∵∠AOC=2∠ADC，∴∠B=2∠ADC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°，∴3∠ADC=180°，∴∠ADC=60°，∴∠B=∠AOC=120°，∵∠1=∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）﹣（∠ADO+∠CDO）=∠AOC﹣∠ADC=120°﹣60°=60°．故答案为：60．点评：此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．16．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为2 cm．考点：垂径定理；勾股定理．专题：压轴题．分析：通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．解答：解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵OA=2OD=2cm，∴AD===cm，∵OD⊥AB，∴AB=2AD=cm．故答案为：2．点评：本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用．17．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，C=70°．现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB；③AE=BE；④CE•AB=2BD2．其中正确结论的序号是②④．考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．分析：连结AD，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，加上CD=BD，则可判断△ABC 为等腰三角形，于是可对（2）进行判断；由于∠ABC=∠C=70°，则∠BAC=40°，则可对（1）进行判断，加上∠AEB=90°，所以∠ABE=50°，则可对（3）进行判断；连结ED，如图，证明△CED∽△CBA，利用相似比可对（4）进行判断．解答：解：连结AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，而CD=BD，∴△ABC为等腰三角形，∴AC=AB，所以（2）正确．∠ABC=∠C=70°，∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°，所以（1）错误，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=50°，∴AE＞BE，所以（3）错误；连结ED，如图，∵∠CED=∠ABC，∠ECD=∠BCA，∴△CED∽△CBA，∴=，即CE•CA=CD•CB，∵CA=AB，BD=CD，∴CE•AB=2BD2，所以（4）正确．故答案为（2）、（4）．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：压轴题．分析：过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．解答：解：过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，∵点C为弧BD的中点，∴=，∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠D=∠CBE，在△CBE和△CDF中∴△CBE≌△CDF，∴BE=DF，在△AEC和△AFC中∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF，设BE=DF=x，∵AB=3，AD=5，∴AE=AF=x+3，∴5=x+3+x，解得：x=1，即AE=4，∴AC==，故答案为：．点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（2015秋•江都市月考）解下列方程（1）2x（x﹣3）=（x﹣3）（2）用配方法解方程：x2﹣4x﹣4=0．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．分析：（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：（1）2x（x﹣3）=（x﹣3）2x（x﹣3）﹣（x﹣3）=0，（x﹣3）（2x﹣1）=0，x﹣3=0，2x﹣1=0，，x1=3 x2=；（2）x2﹣4x﹣4=0，x2﹣4x=4，x2﹣4x+4=4+4，（x﹣2）2=8，x﹣2=，点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，因式分解法，配方法．20．先化简，再求值：÷（m+2﹣）．其中m是方程x2+3x﹣1=0的根．考点：分式的化简求值；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2+3x﹣1=0的根，那么m2+3m﹣1=0，可得m2+3m的值，再把m2+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可．解答：解：原式=÷=•==；∵m是方程x2+3x﹣1=0的根．∴m2+3m﹣1=0，即m2+3m=1，∴原式=．点评：本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入．21．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根．（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．考点：根的判别式．分析：（1）根据题意可得△＞0，进而可得[﹣2（m+1）]2﹣4m2＞0解不等式即可；（2）根据（1）中所计算的m的取值范围，确定出m的值，再把m的值代入方程，解方程即可．解答：解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即：[﹣2（m+1）]2﹣4m2＞0解得m＞﹣；（2）∵m＞﹣，∴取m=0，方程为x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2．点评：此题主要考查了根的判别式，以及解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．22．（10分）（2015•枣庄）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0）；（3）△A2B2C2的面积是10平方单位．考点：作图-位似变换；作图-平移变换．专题：作图题．分析：（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．解答：解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．故答案为：10．点评：此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．23．（10分）（2015秋•江都市校级月考）如图：已知P是半径为5cm的⊙O内一点．解答下列问题：（1）用尺规作图找出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）（2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD．（3）已知OP=3cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条．考点：作图—复杂作图；勾股定理；垂径定理．分析：（1）利用过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，进而求出即可；（2）利用最长弦AB即为直径和最短弦CD，即为与AB垂直的弦，进而得出答案；（3）求出CD的长，进而得出长度为整数的弦，注意长度为9cm，的有两条．解答：解：（1）如图所示：点O即为所求；（2）如图所示：AB，CD即为所求；（3）如图：连接DO，∵OP=3cm，DO=5cm，∴在Rt△OPD中，DP==4（cm），∴CD=8cm，∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有：4条．故答案为：4．点评：此题主要考查了复杂作图以及勾股定理和垂径定理，注意长度为整数的弦不要漏解．24．如图，经测量石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8cm，则桥拱半径为多少？考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：连接OA，设OA=OC=x，则OD=8﹣x，根据垂径定理得出AD，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案．解答：解：连接OA，设OA=OC=x，OD=8﹣x，由垂径定理得AD=4，在直角三角形AOD中，OA2=OD2+AD2，即x2=（8﹣x）2+42，解得x=5，所以桥拱半径为5m．点评：此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．25．已知：如图，P是等边△ABC外接圆的弧BC上一点，CP的延长线和AB的延长线相交于D点，连接BP．求证：（1）∠D=∠CBP；（2）AC2=CP•CD．考点：圆周角定理；等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由题意要证角相等，需证三角形相似，根据圆周角定理及等边三角形性质得到相似条件；第二问根据第一问相似三角形条件得出相似比例，从而求解．解答：证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠ABC=60°．∴∠DBC=180°﹣∠ABC=120°．∵四边形ABPC为圆内接四边形，∴∠A+∠BPC=180°．∴∠BPC=120°．∴∠DBC=∠BPC=120°．又∵∠BCP=∠DCB，∴△BPC∽△DBC．∴∠D=∠CBP．（2）由（1）知△BPC∽△DBC，∴．又∵AC=BC，∴AC2=CP•CD．点评：此题主要考相似三角形的判定及相似三角形性质，还考查等边三角形的性质，在圆中解题要分析各角之间的关系．26．（10分）（2010•青海）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？考点：二次函数的应用；二次函数的最值．专题：应用题．分析：本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值．解答：解：（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）=6 000（4分）解得x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，所以x=5．（6分）（2）设涨价z元时总利润为y，则y=（10+z）（500﹣20z）=﹣20z2+300z+5 000=﹣20（z2﹣15z）+5000=﹣20（z2﹣15z+﹣）+5000=﹣20（z﹣7.5）2+6125当z=7.5时，y取得最大值，最大值为6 125．（8分）答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．（10分）点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．27．（12分）（2014秋•怀柔区期末）对于点E和四边形ABCD，给出如下定义：在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，则称E为四边形ABCD边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们称E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．（1）如图1，在四边形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，点E是AB边上一点，∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD边AB上的相似点，并证明你的结论正确；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3．①在AB边上是否存在点E，使点E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．若存在，有几个？试在图2中画出所有强相似点；②在①所画图形的基础上求AE的长．考点：相似形综合题．分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解；（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求；②连接DE、CE．设AE=x，则EB=8﹣x，AD=3，根据点E是四边形ABCD边AB上的“强相似点”．得到△ADE∽△BCE，于是得到，代入相关数据，解方程即可得到结果．解答：解：（1）由图可知，∠A=∠B=45°，∵∠DEC=45°，∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°∴∠ADE=∠CEB，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．（2）①如图1所示，在AB边上存在点E，使点E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”，这样的点有2个，点E，E′即为所求；②连接DE、CE．设AE=x，∴EB=8﹣x，AD=3，∵点E是四边形ABCD边AB上的“强相似点”．∴△ADE∽△BCE，∴，∵AD=BC=3，∴，解得：x=4±，。

2015-2016学年江苏省扬州市江都二中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡上．）1．（3分）（2014秋•清河区校级期末）在我校开展的“1116”读书活动中，九年级某班对学生5天内读书的情况做了抽查，统计如下：10，23，42，80，42（单位：页）．这组数据的众数和中位数分别是（）A．36，42 B．42，23 C．42，36 D．42，422．（3分）（2014秋•滨海县期末）若2x=3y，则的值为（）A．B．C．D．3．（3分）（2014•锦江区模拟）体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较两名同学成绩的（）A．平均数B．众数 C．方差 D．中位数4．（3分）（2015秋•吴中区期末）二次函数y=x2+2x﹣3的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣4）B．（1，﹣4）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）5．（3分）（2013秋•昆山市期末）已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣a+1的顶点在x轴上，则a的值是（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．16．（3分）（2014秋•清河区校级期末）已知函数y=（x﹣1）2﹣1，当函数值y随x的增大而减小时，x 的取值范围是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞17．（3分）（2009•滨州）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）（2012•高新区一模）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF为⊙O的直径，有下列结论：①∠ABP=∠AOP；②=；③AC平分∠PAB；④2BE2=PE•BF，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）9．（3分）（2014秋•滨海县期末）如果两个相似三角形的对应中线之比是1：4，那么它们的周长比是______．10．（3分）（2014秋•滨海县期末）将抛物线y=（x﹣1）2+2向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式是______．11．（3分）（2016•南安市模拟）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为______．12．（3分）（2008•西宁）将半径为3的半圆围成一个圆锥的侧面，此圆锥底面半径为______．13．（3分）（2009•钦州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是______．14．（3分）（2008•泸州）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1=0有两个不相同的实数根，则k 的取值范围是______．15．（3分）（2015秋•江都区校级月考）一组数据3、﹣4、1、x的极差为8，则x的值为______．16．（3分）（2014秋•高邮市期末）某药品原价每盒16元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒9元，则该药品平均每次降价的百分率是______．17．（3分）（2013•咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为______．18．（3分）（2015秋•江都区校级月考）如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，且点C是弧AB的中点，若扇形的半径为，则图中阴影部分的面积等于______．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）（2013秋•昆山市期末）解方程：（1）x2﹣2x﹣2=0；（2）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0．20．（8分）（2015秋•江都区校级月考）市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：第1次第2次第3次第4次第5次第6次甲10 9 8 8 10 9乙10 10 8 10 7 9（1）根据表中的数据，分别计算甲、乙两人的平均成绩：=______环，=______环．（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；S甲2=______ 环2，S乙2=______环2．（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．21．（8分）（2014秋•清河区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．（1）直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标．（2）连结AC，求线段AC和弧AC围成的图形的面积（结果保留π）．22．（8分）（2014•云南）某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片（除数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．（1）请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果；（2）你认为这个规则公平吗？请说明理由．23．（10分）（2016•梅州校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AE=6，求AF的长．24．（10分）（2015秋•江都区校级月考）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场采取降价措施．假设一定范围内，衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．设衬衫单价降了x元．（1）商场每天可售出______ 件衬衫；（2）如果销售这批衬衫每天盈利1250元，请求出x的值．25．（10分）（2012春•滁州期末）已知关于x的方程．（1）求证：无论k取什么实数值，方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长？（9分）26．（10分）（2016•河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．（1）求证：BC2=BD•BA；（2）判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．27．（12分）（2015秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．（1）若AB=10cm，则AD=______；（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．28．（12分）（2015秋•江都区校级月考）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使S△BCM最大，求出M的坐标；（3）过抛物线的顶点D作过A，B，C三点的圆的切线，求此抛物线与x轴的交点的坐标．2015-2016学年江苏省扬州市江都二中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡上．）1．D；2．B；3．C；4．A；5．B；6．C；7．C；8．D；二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）9．1：4；10．y=x2；11．3π；12．；13．4；14．k＞-2，且k≠-1；15．4或-5；16．25%；17．2；18．π-2；三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．；20．9；9；；；21．；22．；23．；24．20+2x；25．；26．；27．（5-5）cm；28．；。

2014-2015学年江苏省扬州市江都二中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个答案正确，请把你认为正确的答案前面的字母填入下表相应的空格内，每小题3分，计24分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是( )A．（x+1）2=2（x+1） B．C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣12．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是( )A．8 B．8或10 C．10 D．8和103．方程2x2+x﹣4=0的解的情况是( )A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个实数根4．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个5．已知⊙O的半径为5cm，P到圆心O的距离为6cm，则点P在⊙O( )A．外部 B．内部 C．上D．不能确定6．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，则∠BOC等于( )A．30°B．120°C．110°D．100°7．若圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则这条弦所对的圆周角等于( ) A．45°B．135°C．90°和270 D．45°和135°8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为( )A．22 B．24 C．10D．12二、填空题（每题3分，共30分）9．若，则=__________．10．已知两个相似多边形的一组对应边分别是5cm和13cm，它们的周长差40cm，则其中较大三角形的周长是__________cm．11．以﹣3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是__________．12．有一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3，如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3=﹣9，现将实数对（m，﹣5m）放入其中，得到实数8，则m=__________．13．如图，在⊙O中，弦BC=1，点A是圆上一点，且∠BAC=30°，则⊙O的半径是__________．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD=65°，则∠ADC=__________度．15．图中△ABC外接圆的圆心坐标是__________．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，若S△OAB：S△OBC=1：4，则S△OAD：S△OCB=__________．17．某公司在布置联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条．如图所示：在Rt△ABC中，AC=30cm，BC=40cm．依此裁下宽度为1cm的纸条，若使裁得的纸条的长都不小于5cm，则能裁得的纸条的张数为__________．18．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S n=__________（用含n的式子表示）．三、解答题（本大题共10小题，计96分，请写出必要的步骤．）19．用适当的方法解下列方程．（1）2x2﹣8x+4=0（用配方法解）（2）（1﹣3y）2+2（3y﹣1）=0．20．如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B （4，2）（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）=3：1在位似中心的同侧将△TAB 放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．21．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，弦AE∥CD，求证：=．22．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．23．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，求学校旗杆的高度．24．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？25．如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m．（1）鸡场的面积能达到150m2吗？（2）鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．26．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．27．阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB 上的强相似点；（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．28．（14分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P 从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省扬州市江都二中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个答案正确，请把你认为正确的答案前面的字母填入下表相应的空格内，每小题3分，计24分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是( )A．（x+1）2=2（x+1） B．C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1【考点】一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2=2（x+1），故选A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是( )A．8 B．8或10 C．10 D．8和10【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得第三边的边长为2或4．边长为2，4，2不能构成三角形；而2，4，4能构成三角形，∴三角形的周长为2+4+4=10，故选C．【点评】求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．3．方程2x2+x﹣4=0的解的情况是( )A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个实数根【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式的值与零的大小关系即可判断．【解答】解：依题意，得△=b2﹣4ac=1﹣4×2×（﹣4）=33＞0，所以方程有两不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：若△＞0，则有两不相等的实数根；若△＜0，则无实数根；若△=0，则有两相等的实数根．4．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】三角形的外接圆与外心；圆的认识；确定圆的条件．【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．【解答】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选：B．【点评】此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．5．已知⊙O的半径为5cm，P到圆心O的距离为6cm，则点P在⊙O( )A．外部 B．内部 C．上D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，P到圆心O的距离为6cm，即OP＞5，∴点P在⊙O外．故选A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．6．如图，△A BC内接于⊙O，∠A=60°，则∠BOC等于( )A．30°B．120°C．110°D．100°【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A，代入求出即可．【解答】解：∵弧BC对的圆周角是∠A，对的圆心角是∠BOC，∵∠BOC=2∠A，∵∠A=60°，∴∠BCO=2×60°=120°，故选B．【点评】本题考查了对圆周角定理的应用，解此题的关键是求出∠BOC=2∠A．7．若圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则这条弦所对的圆周角等于( ) A．45°B．135°C．90°和270 D．45°和135°【考点】圆周角定理．【分析】圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则所分的劣弧的度数是90°，当圆周角的顶点在优弧上时，这条弦所对的圆周角等于45°，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周角等于135°．【解答】解：如图，弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．连接OA、OB；则∠AOB=90°；①当所求的圆周角顶点位于D点时，这条弦所对的圆周角∠ADB=∠AOB=45°；②当所求的圆周角顶点位于C点时，这条弦所对的圆周角∠ACB=180°﹣∠ADB=135°．故选D．【点评】本题主要利用了圆周角定理进行求解，注意圆周角的顶点位置有两种情况，不要漏解．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为( )A．22 B．24 C．10D．12【考点】圆的综合题．【分析】易知直线y=kx﹣3k+4过定点D（3，4），运用勾股定理可求出OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．【解答】解：对于直线y=kx﹣3k+4，当x=3时，y=4，故直线y=kx﹣3k+4恒经过点（3，4），记为点D．过点D作DH⊥x轴于点H，则有OH=3，DH=4，OD==5．∵点A（13，0），∴OA=13，∴OB=OA=13．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，因此运用垂径定理及勾股定理可得：BC的最小值为2BD=2=2×=2×12=24．故选：B．【点评】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（3，4）以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键．二、填空题（每题3分，共30分）9．若，则=．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，设x=4k，y=3k，直接代入求解即可．【解答】解：设x=4k，y=3k，∴==．【点评】已知几个量的比值时，通常设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．10．已知两个相似多边形的一组对应边分别是5cm和13cm，它们的周长差40cm，则其中较大三角形的周长是65cm．【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的性质，得到比例式，解方程即可．【解答】解：设其中较大三角形的周长是xcm，则较小三角形的周长是（x﹣40）cm，根据相似多边形的性质可知：=，解得，x=65cm，【点评】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：对应角相等、对应边的比相等．11．以﹣3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是x2﹣4x﹣21=0．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先计算出﹣3+7=4，﹣3×7=﹣21，然后根据根与系数的关系写出满足条件的方程．【解答】解：∵﹣3+7=4，﹣3×7=﹣21，∴﹣3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程为x2﹣4x﹣21=0．故答案为x2﹣4x﹣21=0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．12．有一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3，如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3=﹣9，现将实数对（m，﹣5m）放入其中，得到实数8，则m=11或﹣1．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】新定义．【分析】根据公式a2+2b﹣3，可将（m，﹣5m）代入得出m2+2×（﹣5m）﹣3=8，解方程即可．【解答】解：根据题意得，m2+2×（﹣5m）﹣3=8，解得m1=11，m2=﹣1，故答案为：11或﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是根据题意列出方程．13．如图，在⊙O中，弦BC=1，点A是圆上一点，且∠BAC=30°，则⊙O的半径是1．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】连结OB、OC，根据圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=60°，而OB=OC，于是可判断△OBC为等边三角形，所以OB=BC=1．【解答】解：连结OB、OC，如图，∵∠BOC=2∠BAC=2×30°=60°，而OB=OC，∴△OBC为等边三角形，∴OB=BC=1，即⊙O的半径为1．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD=65°，则∠ADC=25度．【考点】圆周角定理；平行线的性质．【专题】计算题．【分析】根据圆周角定理和直角三角形两锐角互余解答．【解答】解：∵CD∥AB，∴∠ADC=∠BAD，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=∠BAD=90°﹣∠ABD=25°．故答案为：25【点评】本题主要考查直径所对的圆周角是直角，两直线平行内错角相等等性质．15．图中△ABC外接圆的圆心坐标是（5，2）．【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．【专题】压轴题．【分析】本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标．【解答】解：设圆心坐标为（x，y）；依题意得：A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则有：==；即（3﹣x）2+（6﹣y）2=（1﹣x）2+（4﹣y）2=（1﹣x）2+y2，化简后得：x=5，y=2；因此圆心坐标为：（5，2）．【点评】本题考查了三角形外接圆的性质和坐标系中两点间的距离公式．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，若S△OAB：S△OBC=1：4，则S△OAD：S△OCB=．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据等高三角形的比，可得等高三角形底边的比，根据相似三角形的判定与性质，可得答案．【解答】解：∵S△OAB：S△OBC=1：4∴OA：OC=1：4．又AD∥BC故△OAD∽△OCB故S△OAD：S△OCB=（）2=1：16，故答案为：1：16．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用等高三角形的比得出等高三角形底边的比是解题关键．17．某公司在布置联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条．如图所示：在Rt△ABC中，AC=30cm，BC=40cm．依此裁下宽度为1cm的纸条，若使裁得的纸条的长都不小于5cm，则能裁得的纸条的张数为26．【考点】相似三角形的应用．【专题】计算题．【分析】根据相似三角形对应边成比例，求出纸条长度是5cm时纸条的上边沿离顶点A的距离，然后再计算纸条的上边沿离BC的距离，便不难得到纸条的张数．【解答】解：如图，设EF=5cm，∵裁出的是矩形纸条，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ACB，∴=，即=，解得AE=3.75cm，∴CE=AC﹣AE=30﹣3.75=26.25cm，∵裁得的纸条的长都不小于5cm，∴CE≤26.25cm，∵纸条宽度为1cm，∴CE最大是26cm，∴最多可以裁得的纸条的张数为26．故答案为：26．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，需要注意根据题意要取整数．18．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S n=（用含n的式子表示）．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】由n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B1，B2，B3，…B n在一条直线上，可作出直线B1B2．易求得△AB1C1的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S1的值，同理求得S2的值，继而求得S n的值．【解答】解：n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B1，B2，B3，…B n 在一条直线上，作出直线B1B2．∴S△AB1C1=×2×=，∵∠B1C1B2=60°，∴AB1∥B2C1，∴△B1C1B2是等边△，且边长=2，∴△B1B2D1∽△C1AD1，∴B1D1：D1C1=1：1，∴S1=，同理：B2B3：AC2=1：2，∴B2D2：D2C2=1：2，∴S2=，同理：B n B n+1：AC n=1：n，∴B n D n：D n C n=1：n，∴S n=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．三、解答题（本大题共10小题，计96分，请写出必要的步骤．）19．用适当的方法解下列方程．（1）2x2﹣8x+4=0（用配方法解）（2）（1﹣3y）2+2（3y﹣1）=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】（1）方程移项变形后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；（2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x=﹣2，配方得：x2﹣4x+4=2，即（x﹣2）2=2，开方得：x﹣2=±，解得：x1=2+，x2=2﹣；（2）方程整理得：（3y﹣1）2+2（3y﹣1）=0，分解因式得：（3y﹣1）（3y﹣1+2）=0，解得：y1=，y2=﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．20．如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B （4，2）（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）=3：1在位似中心的同侧将△TAB 放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．【考点】作图-位似变换．【专题】作图题；网格型．【分析】根据题目的叙述，正确地作出图形，然后确定各点的坐标即可．【解答】解：（1）如图，A′（4，7），B′（10，4）；（2）C′（3a﹣2，3b﹣2）．【点评】正确理解位似变换的定义，会进行位似变换的作图是解题的关键．21．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，弦AE∥CD，求证：=．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】证明题．【分析】首先连接OE，由弦AE∥CD，易证得∠AOC=∠DOE，又由对顶角相等，可得∠AOC=∠BOD，继而证得∠BOD=∠DOE，然后由圆心角的性质，证得结论．【解答】证明：连接OE，∵弦AE∥CD，∴∠DOE=∠E，∠AOC=∠A，∵OA=OE，∴∠A=∠E，∴∠AOC=∠DOE，∵∠AOC=∠BOD，∴∠BOD=∠DOE，∴=．【点评】此题考查了圆心角与弧的关系、等腰三角形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．22．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【专题】判别式法．【分析】（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．【解答】解：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1•x1=﹣，x1=﹣．（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．23．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，求学校旗杆的高度．【考点】相似三角形的应用．【专题】应用题．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比，因而作DE⊥AB于点E，则AE与DE的比值，即同一时刻物高与影长的比值，即可求解．【解答】解：作DE⊥AB于点E，根据题意得：=，=，解得：AE=8米．则AB=AE+BE=8+2=10米．即旗杆的高度为10米．【点评】同一时刻物高与影长成正比，是在相似部分经常出现的问题，直角梯形的问题可以通过作高线转化为三角形的问题求解．24．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？【考点】圆周角定理；等边三角形的判定．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）根据已知利用SAS判定△APC≌△BDC，从而得到PC=DC，因为AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°，所以∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°，又知∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°，从而推出△PDC为等边三角形；（2）同理可证△PDC为等边三角形．【解答】解：（1）如图①，△PDC为等边三角形．理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°∴△PDC为等边三角形；（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°∴△PDC为等边三角形．【点评】此题主要考查学生对学生以圆周角定理及等边三角形的判定方法的理解及运用．25．如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m．（1）鸡场的面积能达到150m2吗？（2）鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设垂直于墙的边长为未知数，则平行于墙的边长为木栏长﹣2垂直于墙的边长，鸡场的面积=垂直于墙的边长×平行于墙的边长，把相关数值代入，看是否有合适的解即可．【解答】解：设垂直于墙的边长为xm．（1）x（35﹣2x）=150，解得x1=10，x2=7.5．当x=7.5时，35﹣2x=20＞18，不合题意，舍去．当x=10时，35﹣2x=15．∴x=10．答：垂直于墙的边长为10m，平行于墙的边长为15米时，鸡场的面积为150m2；（2）x（35﹣2x）=180，2x2﹣35x+180=0．∵△＜0，∴此方程无解．答：鸡场的面积不能达到180m2．【点评】考查一元二次方程的应用；得到平行于墙的边长的代数式是解决本题的易错点．26．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】连接AC，根据已知条件利用等角对等边可以得到CF=BF；作CG⊥AD于点G，先利用HL判定Rt△BCE≌Rt△DCG，推出BE=DG，根据边之间的关系可求得BE的值，再根据相似三角形的判定得到△BCE∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例，可得到BC2=BE•AB，这样便求得BC的值，注意负值要舍去．【解答】（1）证明：连接AC，如图∵C是弧BD的中点∴∠BDC=∠DBC又∵∠BDC=∠BAC在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴∠BCE=∠BAC∠BCE=∠DBC∴CF=BF；（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，∵C是弧BD的中点∴∠CAG=∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线．∴CE=CG，AE=AG在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）∴BE=DG∴AE=AB﹣BE=AG=AD+DG即6﹣BE=2+DG∴2BE=4，即BE=2又∵△BCE∽△BAC∴BC2=BE•AB=12BC=±2（舍去负值）∴BC=2．解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分在Rt△ADB与Rt△FEB中，∵∠ABD=∠FBE∴△ADB∽△FEB，则，即，∴BF=3EF又∵BF=CF，∴CF=3EF利用勾股定理得：又∵△EBC∽△ECA则，则CE2=AE•BE∴（CF+EF）2=（6﹣BE）•BE即（3EF+EF）2=（6﹣2EF）•2EF∴EF=∴BC=．【点评】此题主要考查学生对圆周角的定理，相似三角形的判定，全等三角形的判定等知识点的综合运用能力．27．阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB 上的强相似点；（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．【考点】相似形综合题．【专题】几何图形问题．【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求；（3）由点E是矩形ABC D的AB边上的一个强相似点，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根据相似三角形的对应角相等，可求得∠BCE=∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性质可得BE与AB，BC边之间的数量关系，从而可求出AB与BC边之间的数量关系．【解答】解：（1）∵∠A=∠B=∠DEC=45°，∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°∴∠ADE=∠CEB，在△ADE和△BEC中，，∴△A DE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．（2）如图所示：点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点，（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，BE=，在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°=，∴．【点评】本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解强相似点的定义是解题的关键．28．（14分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P 从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；压轴题；动点型．【分析】（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．。

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A．8
B．12
C．

D．
【考点】圆的综合题． 【分析】求出 A、B 的坐标，根据勾股定理求出 AB，求出点 C 到 AB 的距离，即可求出圆 C 上点到 AB 的最大距离，根据面积公式求出即可． 【解答】解：∵直线 y= x﹣3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， ，B 点的坐标为（0，﹣3） ，3x﹣4y﹣12=0， ∴A 点的坐标为（4，0）
即 OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，
过 C 作 CM⊥AB 于 M，连接 AC， 则由三角形面积公式得： ×AB×CM= ×OA×OC+ ×OA×OB， ∴5×CM=4×1+3×4， ∴CM= ， = ，
∴圆 C 上点到直线 y= x﹣3 的最大距离是 1+ ∴△PAB 面积的最大值是 ×5× 故选：C． = ，
【考点】正多边形和圆． 【分析】求得边长是 1 的等边三角形的面积，正六边形的面积是等边三角形的面积的 6 倍， 据此即可求解． 【解答】解：边长是 1 的等边三角形的面积是： 则正六边形的面积是： 故答案是： ． ×6= cm2． ，
15．直径为 10cm 的⊙O 中，弦 AB=5cm，则弦 AB 所对的圆周角是 【考点】圆周角定理；含 30 度角的直角三角形；垂径定理．
故选 A． 4．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数 及方差 S2 如下表所示： 甲 8 S2 1 乙 9 1.1 丙 9 1.2 丁 8 1.3
若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】方差． 【分析】先比较平均数，乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答． 【解答】解：由图可知，乙、丙的平均成绩好， 由于 S2 乙＜S2 丙，故丙的方差大，波动大． 故选 B． 5．如图，△ABC 内接于⊙O，OD⊥BC 于 D，∠A=50°，则∠OCD 的度数是（