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2020年全国中考数学试题精选分类（3）——分式方程一．选择题（共26小题）1．（2020•阜新）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（）A．﹣＝30B．﹣＝30C．﹣＝30D．﹣＝302．（2020•朝阳）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（）A．B．C．D．3．（2020•鞍山）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（）A．B．C．D．4．（2020•呼伦贝尔）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．+＝130 D．﹣130＝5．（2020•绵阳）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（）A．1.2小时B．1.6小时C．1.8小时D．2小时6．（2020•海南）分式方程＝1的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝5 D．x＝27．（2020•广西）甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min，则可列方程为（）A．﹣＝B．＝﹣C．﹣20＝D．＝﹣208．（2020•十堰）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（）A．＝+1 B．＝﹣1C．＝+2 D．＝﹣29．（2020•云南）若整数a使关于x的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于y的方程+＝1的解为非正数，则a的值为（）A．﹣61或﹣58 B．﹣61或﹣59C．﹣60或﹣59 D．﹣61或﹣60或﹣5910．（2020•鸡西）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m的值是（）A．3 B．5 C．3或5 D．3或411．（2020•荆门）已知关于x的分式方程＝+2的解满足﹣4＜x＜﹣1，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（）A．正数B．负数C．零D．无法确定12．（2020•广元）按照如图所示的流程，若输出的M＝﹣6，则输入的m为（）A．3 B．1 C．0 D．﹣113．（2020•宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝+814．（2020•荆州）八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20 B．﹣＝20C．﹣＝D．﹣＝15．（2020•牡丹江）若关于x的方程＝0的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠416．（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．＝B．+80＝C．＝﹣80 D．＝17．（2020•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）A．＝B．＝C．＝D．＝18．（2020•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣4＝的解为正数，则k的取值范围是（）A．﹣8＜k＜0 B．k＞﹣8且k≠﹣2 C．k＞﹣8 且k≠2 D．k＜4且k≠﹣2 19．（2020•泸州）已知关于x的分式方程+2＝﹣的解为非负数，则正整数m的所有个数为（）A．3 B．4 C．5 D．620．（2020•齐齐哈尔）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（）A．m＜﹣10 B．m≤﹣10C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣621．（2020•自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．﹣＝40 B．﹣＝40C．﹣＝40 D．﹣＝4022．（2020•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程+＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．7 B．﹣14 C．28 D．﹣5623．（2020•遂宁）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（）A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣324．（2020•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．025．（2020•上海）用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝026．（2020•枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是（）A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7二．填空题（共8小题）27．（2020•河池）方程＝的解是x＝．28．（2020•潍坊）若关于x的分式方程+1有增根，则m＝．29．（2020•徐州）方程＝的解为．30．（2020•内江）若数a使关于x的分式方程+＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为．31．（2020•淮安）方程+1＝0的解为．32．（2020•菏泽）方程的解是．33．（2020•绥化）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程．34．（2020•嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程．三．解答题（共16小题）35．（2020•日照）（1）计算：+（）﹣1﹣×cos30°；（2）解方程：+1＝．36．（2020•黔南州）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同．（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？37．（2020•锦州）某帐篷厂计划生产10000顶帐篷，由于接到新的生产订单，需提前10天完成这批任务，结果实际每天生产帐篷的数量比计划每天生产帐篷的数量增加了25%，那么计划每天生产多少顶帐篷？38．（2020•葫芦岛）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A 种书架？39．（2020•桂林）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．（1）求每副围棋和象棋各是多少元？（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？40．（2020•赤峰）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？（2）我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？41．（2020•沈阳）某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？42．（2020•益阳）“你怎么样，中国便是怎么样；你若光明，中国便不黑暗”．2019年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城．针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．（1）求原来生产防护服的工人有多少人？（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？43．（2020•丹东）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．求八年级捐书人数是多少？44．（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？45．（2020•大庆）解方程：﹣1＝．46．（2020•长春）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？47．（2020•镇江）（1）解方程：＝+1；（2）解不等式组：48．（2020•吉林）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．49．（2020•云南）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？50．（2020•岳阳）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．2020年全国中考数学试题精选分类（3）——分式方程参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．（2020•阜新）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（）A．﹣＝30B．﹣＝30C．﹣＝30D．﹣＝30【答案】B【解答】解：设实际每天铺xm管道，则原计划每天铺m管道，根据题意，得﹣＝30，故选：B．2．（2020•朝阳）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：设班级共有x名学生，依据题意列方程得，．故选：B．3．（2020•鞍山）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：设甲每小时加工x个零件，根据题意可得：＝．故选：B．4．（2020•呼伦贝尔）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．+＝130 D．﹣130＝【答案】A【解答】解：设甲每天做x个零件，根据题意得：，故选：A．5．（2020•绵阳）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（）A．1.2小时B．1.6小时C．1.8小时D．2小时【答案】C【解答】解：设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3﹣x）小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据题意得：＝，解得：x1＝1.8或x2＝9，经检验：x1＝1.8或x2＝9是原方程的解，x2＝9不合题意，舍去，故选：C．6．（2020•海南）分式方程＝1的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝5 D．x＝2【答案】C【解答】解：去分母，得x﹣2＝3，移项合并同类项，得x＝5．检验：把x＝5代入x﹣2≠0，所以原分式方程的根为：x＝5．故选：C．7．（2020•广西）甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min，则可列方程为（）A．﹣＝B．＝﹣C．﹣20＝D．＝﹣20【答案】A【解答】解：因为提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，所以提速后动车的速度为1.2vkm/h，根据题意可得：﹣＝．故选：A．8．（2020•十堰）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（）A．＝+1 B．＝﹣1C．＝+2 D．＝﹣2【答案】A【解答】解：∵原计划每周生产x万个口罩，一周后以原来速度的1.5倍生产，∴一周后每周生产1.5x万个口罩，依题意，得：＝+1．故选：A．9．（2020•云南）若整数a使关于x的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于y的方程+＝1的解为非正数，则a的值为（）A．﹣61或﹣58 B．﹣61或﹣59C．﹣60或﹣59 D．﹣61或﹣60或﹣59【答案】B【解答】解：解不等式组，得＜x≤25，∵不等式组有且只有45个整数解，∴﹣20≤＜﹣19，解得﹣61≤a＜﹣58，因为关于y的方程+＝1的解为：y＝﹣a﹣61，y≤0，∴﹣a﹣61≤0，解得a≥﹣61，∵y+1≠0，∴y≠﹣1，∴a≠﹣60则a的值为：﹣61或﹣59．故选：B．10．（2020•鸡西）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m的值是（）A．3 B．5 C．3或5 D．3或4【答案】D【解答】解：解分式方程，得x＝，经检验，x＝是分式方程的解，因为分式方程有正整数解，则整数m的值是3或4．故选：D．11．（2020•荆门）已知关于x的分式方程＝+2的解满足﹣4＜x＜﹣1，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（）A．正数B．负数C．零D．无法确定【答案】A【解答】解：＝+2，（2x+3）（x+3）＝k+2（x﹣2）（x+3），解得x＝﹣3，∵﹣4＜x＜﹣1且（x﹣2）（x+3）≠0且k为整数，∴﹣4＜﹣3＜﹣1，解得﹣7＜k＜14且k≠0，∴解k＝﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13，∴符合条件的所有k值的乘积为正数．故选：A．12．（2020•广元）按照如图所示的流程，若输出的M＝﹣6，则输入的m为（）A．3 B．1 C．0 D．﹣1【答案】C【解答】解：当m2﹣2m≥0时，，解得m＝0，经检验，m＝0是原方程的解，并且满足m2﹣2m≥0，当m2﹣2m＜0时，m﹣3＝﹣6，解得m＝﹣3，不满足m2﹣2m＜0，舍去．故输入的m为0．故选：C．13．（2020•宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝+8【答案】B【解答】解：设文学类图书平均每本x元，则科普类图书平均每本（x+8）元，依题意，得：＝．故选：B．14．（2020•荆州）八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20 B．﹣＝20C．﹣＝D．﹣＝【答案】C【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，依题意，得：﹣＝．故选：C．15．（2020•牡丹江）若关于x的方程＝0的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠4【答案】C【解答】解：∵解方程，去分母得：mx﹣2（x+1）＝0，整理得：（m﹣2）x＝2，∵方程有解，∴，∵分式方程的解为正数，∴，解得：m＞2，∴m的取值范围是：m＞2．故选：C．16．（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．＝B．+80＝C．＝﹣80 D．＝【答案】D【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意，得：＝．故选：D．17．（2020•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】B【解答】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：＝．故选：B．18．（2020•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣4＝的解为正数，则k的取值范围是（）A．﹣8＜k＜0 B．k＞﹣8且k≠﹣2 C．k＞﹣8 且k≠2 D．k＜4且k≠﹣2【答案】B【解答】解：分式方程﹣4＝，去分母得：x﹣4（x﹣2）＝﹣k，去括号得：x﹣4x+8＝﹣k，解得：x＝，由分式方程的解为正数，得到＞0，且≠2，解得：k＞﹣8且k≠﹣2．故选：B．19．（2020•泸州）已知关于x的分式方程+2＝﹣的解为非负数，则正整数m的所有个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：去分母，得：m+2（x﹣1）＝3，移项、合并，得：x＝，∵分式方程的解为非负数，∴5﹣m≥0且≠1，解得：m≤5且m≠3，∴正整数解有1，2，4，5共4个，故选：B．20．（2020•齐齐哈尔）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（）A．m＜﹣10 B．m≤﹣10C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6【答案】D【解答】解：去分母得：3x＝﹣m+5（x﹣2），解得：x＝，由方程的解为正数，得到m+10＞0，且m+10≠4，则m的范围为m＞﹣10且m≠﹣6，故选：D．21．（2020•自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．﹣＝40 B．﹣＝40C．﹣＝40 D．﹣＝40【答案】A【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，依题意，得：﹣＝40，即﹣＝40．故选：A．22．（2020•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程+＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．7 B．﹣14 C．28 D．﹣56【答案】A【解答】解：不等式组整理得：，由解集为x≤a，得到a≤7，分式方程去分母得：y﹣a+3y﹣4＝y﹣2，即3y＝a+2，解得：y＝，由y为正整数解，且y≠2得到a＝1，71×7＝7，故选：A．23．（2020•遂宁）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（）A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3【答案】D【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．24．（2020•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0【答案】B【解答】解：不等式组整理得：，由解集为x≥5，得到2+a＜5，即a＜3，分式方程去分母得：y﹣a＝﹣y+2，即2y﹣2＝a，解得：y＝+1，由y为非负整数，且y≠2，得到a＝0，﹣2，之和为﹣2，故选：B．25．（2020•上海）用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0【答案】A【解答】解：把＝y代入原方程得：y+＝2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0．故选：A．26．（2020•枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是（）A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7【答案】B【解答】解：根据题意，得＝﹣1，去分母得：1＝2﹣（x﹣4），解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故选：B．二．填空题（共8小题）27．（2020•河池）方程＝的解是x＝﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：方程的两边同乘（2x+1）（x﹣2），得：x﹣2＝2x+1，解这个方程，得：x＝﹣3，经检验，x＝﹣3是原方程的解，∴原方程的解是x＝﹣3．故答案为：﹣3．28．（2020•潍坊）若关于x的分式方程+1有增根，则m＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：3x＝m+3+（x﹣2），整理得：2x＝m+1，∵关于x的分式方程有增根，即x﹣2＝0，∴x＝2，把x＝2代入到2x＝m+1中得：2×2＝m+1，解得：m＝3；故答案为：3．29．（2020•徐州）方程＝的解为x＝9．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：9（x﹣1）＝8x9x﹣9＝8xx＝9检验：把x＝9代入x（x﹣1）≠0，所以x＝9是原方程的解．故答案为：x＝9．30．（2020•内江）若数a使关于x的分式方程+＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为40．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母，得：x+2﹣a＝3（x﹣1），解得：x＝，∵分式方程的解为非负数，∴≥0，且≠1，解得a≤5且a≠3，解不等式﹣≥﹣，得：y≤0，解不等式2（y﹣a）＜0，得：y＜a，∵不等式组的解集为y≤0，∴a＞0，∴0＜a≤5，则整数a的值为1、2、4、5，∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5＝40，故答案为：40．31．（2020•淮安）方程+1＝0的解为x＝﹣2．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程+1＝0，去分母得：3+x﹣1＝0，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解．故答案为：x＝﹣2．32．（2020•菏泽）方程的解是x＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程＝，去分母得：（x﹣1）2＝x（x+1），整理得：x2﹣2x+1＝x2+x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故答案为：x＝．33．（2020•绥化）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程﹣＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：设原计划每天加工零件x个，则实际每天加工零件1.5x个，依题意，得：﹣＝2．故答案为：﹣＝2．34．（2020•嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得，＝，故答案为：＝．三．解答题（共16小题）35．（2020•日照）（1）计算：+（）﹣1﹣×cos30°；（2）解方程：+1＝．【答案】（1）﹣2；（2）x＝1．【解答】解：（1）原式＝．（2）+1＝，两边同乘以（x﹣2）得，x﹣3+（x﹣2）＝﹣3，解得，x＝1．经检验x＝1是原分式方程的解．36．（2020•黔南州）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同．（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？【答案】（1）甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；（2）购买了20瓶乙品牌消毒剂．【解答】解：（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，由题意得：＝，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解且符合实际意义，3x﹣5═40，答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，由题意得：30y+40（40﹣y）＝1400，解得：y＝20，∴40﹣y＝40﹣20＝20，答：购买了20瓶乙品牌消毒剂．37．（2020•锦州）某帐篷厂计划生产10000顶帐篷，由于接到新的生产订单，需提前10天完成这批任务，结果实际每天生产帐篷的数量比计划每天生产帐篷的数量增加了25%，那么计划每天生产多少顶帐篷？【答案】200顶．【解答】解：设计划每天生产x顶帐篷，则实际每天生产帐篷（1+25%）x顶，依题意得：﹣10＝．解得x＝200．经检验x＝200是所列方程的解，且符合题意．答：计划每天生产200顶帐篷．38．（2020•葫芦岛）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A 种书架？【答案】（1）购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．（2）最多可购买10个A种书架．【解答】解：（1）设B种书架的单价为x元，根据题意，得．解得x＝80．经检验：x＝80是原分式方程的解．∴x+20＝100．答：购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．（2）设准备购买m个A种书架，根据题意，得100m+80（15﹣m）≤1400．解得m≤10．答：最多可购买10个A种书架．39．（2020•桂林）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．（1）求每副围棋和象棋各是多少元？（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？【答案】（1）每副围棋18元，则每副象棋10元；（2）该校最多可再购买25副围棋．。
2020年中考数学第二轮复习 第九讲 分式方程【强基知识】一、分式方程的概念分母中含有 的方程叫做分式方程注意：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据 二、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即整式方程转化去分母分式方程→ 2、解分式方程的一般步骤：①、 ②、 ③、 3、增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
注意：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。
如：131=---xx a x 有增根，则a= ，若 该方程无解，则a= 。
三、分式方程的应用：解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
注意：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型【中考真题考点例析】 考点一：分式方程的解A ．a≤-1B ．a≤-1且a≠-2C ．a≤1且a≠-2D ．a≤1．对应练习1－1 （贵港）关于x 的分式方程011=++x m的解是负数，则m 的取值范围是（ ）考点二：解分式方程 例2.（2019年淄博）解分式方程22121--=--xx x 时，去分母变形正确的是A ．()2211---=+-x xB ．()2211--=-x xC ．()x x -+=+-2211D ．()2211---=-x x对应练习2－1 （2019年山东临沂）解方程：25-x ＝x 3． 对应练习2－2（2019年山东滨州）方程33122x x x-+=--的解是_________． 考点三：含字母系数的分式方程 例3.（2019年烟台）若关于x 的分式方程3xx －2－1＝m ＋3x －2有增根，则m 的值为____________考点四：由实际问题抽象出分式方程 例4. ( 2019年济宁)世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（ ） A ．5005004510x x -= B ．5005004510x x -= C ．500050045x x -= D ．500500045x x-= 对应练习4－1 （2019年莱芜）已知A 、C 两地相距40千米，B 、C 两地相距50千米，甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C 地．设乙车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 对应练习4－2 （深圳）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ）A ．1440144010100x x -=-B ．1440144010100x x =++ C ．1440144010100x x =+-D ．1440144010100x x-=+考点五：分式方程的应用 例5.（2019年菏泽）（本题6分）列方程（组）解应用题.德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工，届时，如果汽车行驶在高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求汽车在高速公路的平均速度. 对应练习5－1（2019年泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进A 、B 两种粽子1100个，购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同，已知A 粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍. （1）求A 、B 两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购买A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变，求A中粽子最多能购进多少个？对应练习5－2 （2019年威海）小明和小刚约定周末到某体育馆打羽毛球，他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米。
2020年全国中考数学试题精选分类（3）——分式方程一．选择题（共26小题）1．（2020•阜新）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（）A．﹣＝30B．﹣＝30C．﹣＝30D．﹣＝302．（2020•朝阳）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（）A．B．C．D．3．（2020•鞍山）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（）A．B．C．D．4．（2020•呼伦贝尔）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．+＝130 D．﹣130＝5．（2020•绵阳）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（）A．1.2小时B．1.6小时C．1.8小时D．2小时6．（2020•海南）分式方程＝1的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝5 D．x＝27．（2020•广西）甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min，则可列方程为（）A．﹣＝B．＝﹣C．﹣20＝D．＝﹣208．（2020•十堰）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（）A．＝+1 B．＝﹣1C．＝+2 D．＝﹣29．（2020•云南）若整数a使关于x的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于y的方程+＝1的解为非正数，则a的值为（）A．﹣61或﹣58 B．﹣61或﹣59C．﹣60或﹣59 D．﹣61或﹣60或﹣5910．（2020•鸡西）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m的值是（）A．3 B．5 C．3或5 D．3或411．（2020•荆门）已知关于x的分式方程＝+2的解满足﹣4＜x＜﹣1，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（）A．正数B．负数C．零D．无法确定12．（2020•广元）按照如图所示的流程，若输出的M＝﹣6，则输入的m为（）A．3 B．1 C．0 D．﹣113．（2020•宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝+814．（2020•荆州）八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20 B．﹣＝20C．﹣＝D．﹣＝15．（2020•牡丹江）若关于x的方程＝0的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠416．（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．＝B．+80＝C．＝﹣80 D．＝17．（2020•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）A．＝B．＝C．＝D．＝18．（2020•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣4＝的解为正数，则k的取值范围是（）A．﹣8＜k＜0 B．k＞﹣8且k≠﹣2 C．k＞﹣8 且k≠2 D．k＜4且k≠﹣2 19．（2020•泸州）已知关于x的分式方程+2＝﹣的解为非负数，则正整数m的所有个数为（）A．3 B．4 C．5 D．620．（2020•齐齐哈尔）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（）A．m＜﹣10 B．m≤﹣10C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣621．（2020•自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．﹣＝40 B．﹣＝40C．﹣＝40 D．﹣＝4022．（2020•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程+＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．7 B．﹣14 C．28 D．﹣5623．（2020•遂宁）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（）A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣324．（2020•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．025．（2020•上海）用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝026．（2020•枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是（）A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7二．填空题（共8小题）27．（2020•河池）方程＝的解是x＝．28．（2020•潍坊）若关于x的分式方程+1有增根，则m＝．29．（2020•徐州）方程＝的解为．30．（2020•内江）若数a使关于x的分式方程+＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为．31．（2020•淮安）方程+1＝0的解为．32．（2020•菏泽）方程的解是．33．（2020•绥化）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程．34．（2020•嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程．三．解答题（共16小题）35．（2020•日照）（1）计算：+（）﹣1﹣×cos30°；（2）解方程：+1＝．36．（2020•黔南州）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同．（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？37．（2020•锦州）某帐篷厂计划生产10000顶帐篷，由于接到新的生产订单，需提前10天完成这批任务，结果实际每天生产帐篷的数量比计划每天生产帐篷的数量增加了25%，那么计划每天生产多少顶帐篷？38．（2020•葫芦岛）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A 种书架？39．（2020•桂林）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．（1）求每副围棋和象棋各是多少元？（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？40．（2020•赤峰）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？（2）我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？41．（2020•沈阳）某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？42．（2020•益阳）“你怎么样，中国便是怎么样；你若光明，中国便不黑暗”．2019年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城．针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．（1）求原来生产防护服的工人有多少人？（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？43．（2020•丹东）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．求八年级捐书人数是多少？44．（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？45．（2020•大庆）解方程：﹣1＝．46．（2020•长春）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？47．（2020•镇江）（1）解方程：＝+1；（2）解不等式组：48．（2020•吉林）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．49．（2020•云南）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？50．（2020•岳阳）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．2020年全国中考数学试题精选分类（3）——分式方程参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．（2020•阜新）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（）A．﹣＝30B．﹣＝30C．﹣＝30D．﹣＝30【答案】B【解答】解：设实际每天铺xm管道，则原计划每天铺m管道，根据题意，得﹣＝30，故选：B．2．（2020•朝阳）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：设班级共有x名学生，依据题意列方程得，．故选：B．3．（2020•鞍山）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：设甲每小时加工x个零件，根据题意可得：＝．故选：B．4．（2020•呼伦贝尔）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．+＝130 D．﹣130＝【答案】A【解答】解：设甲每天做x个零件，根据题意得：，故选：A．5．（2020•绵阳）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（）A．1.2小时B．1.6小时C．1.8小时D．2小时【答案】C【解答】解：设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3﹣x）小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据题意得：＝，解得：x1＝1.8或x2＝9，经检验：x1＝1.8或x2＝9是原方程的解，x2＝9不合题意，舍去，故选：C．6．（2020•海南）分式方程＝1的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝5 D．x＝2【答案】C【解答】解：去分母，得x﹣2＝3，移项合并同类项，得x＝5．检验：把x＝5代入x﹣2≠0，所以原分式方程的根为：x＝5．故选：C．7．（2020•广西）甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min，则可列方程为（）A．﹣＝B．＝﹣C．﹣20＝D．＝﹣20【答案】A【解答】解：因为提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，所以提速后动车的速度为1.2vkm/h，根据题意可得：﹣＝．故选：A．8．（2020•十堰）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（）A．＝+1 B．＝﹣1C．＝+2 D．＝﹣2【答案】A【解答】解：∵原计划每周生产x万个口罩，一周后以原来速度的1.5倍生产，∴一周后每周生产1.5x万个口罩，依题意，得：＝+1．故选：A．9．（2020•云南）若整数a使关于x的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于y的方程+＝1的解为非正数，则a的值为（）A．﹣61或﹣58 B．﹣61或﹣59C．﹣60或﹣59 D．﹣61或﹣60或﹣59【答案】B【解答】解：解不等式组，得＜x≤25，∵不等式组有且只有45个整数解，∴﹣20≤＜﹣19，解得﹣61≤a＜﹣58，因为关于y的方程+＝1的解为：y＝﹣a﹣61，y≤0，∴﹣a﹣61≤0，解得a≥﹣61，∵y+1≠0，∴y≠﹣1，∴a≠﹣60则a的值为：﹣61或﹣59．故选：B．10．（2020•鸡西）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m的值是（）A．3 B．5 C．3或5 D．3或4【答案】D【解答】解：解分式方程，得x＝，经检验，x＝是分式方程的解，因为分式方程有正整数解，则整数m的值是3或4．故选：D．11．（2020•荆门）已知关于x的分式方程＝+2的解满足﹣4＜x＜﹣1，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（）A．正数B．负数C．零D．无法确定【答案】A【解答】解：＝+2，（2x+3）（x+3）＝k+2（x﹣2）（x+3），解得x＝﹣3，∵﹣4＜x＜﹣1且（x﹣2）（x+3）≠0且k为整数，∴﹣4＜﹣3＜﹣1，解得﹣7＜k＜14且k≠0，∴解k＝﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13，∴符合条件的所有k值的乘积为正数．故选：A．12．（2020•广元）按照如图所示的流程，若输出的M＝﹣6，则输入的m为（）A．3 B．1 C．0 D．﹣1【答案】C【解答】解：当m2﹣2m≥0时，，解得m＝0，经检验，m＝0是原方程的解，并且满足m2﹣2m≥0，当m2﹣2m＜0时，m﹣3＝﹣6，解得m＝﹣3，不满足m2﹣2m＜0，舍去．故输入的m为0．故选：C．13．（2020•宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝+8【答案】B【解答】解：设文学类图书平均每本x元，则科普类图书平均每本（x+8）元，依题意，得：＝．故选：B．14．（2020•荆州）八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20 B．﹣＝20C．﹣＝D．﹣＝【答案】C【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，依题意，得：﹣＝．故选：C．15．（2020•牡丹江）若关于x的方程＝0的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠4【答案】C【解答】解：∵解方程，去分母得：mx﹣2（x+1）＝0，整理得：（m﹣2）x＝2，∵方程有解，∴，∵分式方程的解为正数，∴，解得：m＞2，∴m的取值范围是：m＞2．故选：C．16．（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．＝B．+80＝C．＝﹣80 D．＝【答案】D【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意，得：＝．故选：D．17．（2020•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】B【解答】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：＝．故选：B．18．（2020•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣4＝的解为正数，则k的取值范围是（）A．﹣8＜k＜0 B．k＞﹣8且k≠﹣2 C．k＞﹣8 且k≠2 D．k＜4且k≠﹣2【答案】B【解答】解：分式方程﹣4＝，去分母得：x﹣4（x﹣2）＝﹣k，去括号得：x﹣4x+8＝﹣k，解得：x＝，由分式方程的解为正数，得到＞0，且≠2，解得：k＞﹣8且k≠﹣2．故选：B．19．（2020•泸州）已知关于x的分式方程+2＝﹣的解为非负数，则正整数m的所有个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：去分母，得：m+2（x﹣1）＝3，移项、合并，得：x＝，∵分式方程的解为非负数，∴5﹣m≥0且≠1，解得：m≤5且m≠3，∴正整数解有1，2，4，5共4个，故选：B．20．（2020•齐齐哈尔）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（）A．m＜﹣10 B．m≤﹣10C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6【答案】D【解答】解：去分母得：3x＝﹣m+5（x﹣2），解得：x＝，由方程的解为正数，得到m+10＞0，且m+10≠4，则m的范围为m＞﹣10且m≠﹣6，故选：D．21．（2020•自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．﹣＝40 B．﹣＝40C．﹣＝40 D．﹣＝40【答案】A【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，依题意，得：﹣＝40，即﹣＝40．故选：A．22．（2020•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程+＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．7 B．﹣14 C．28 D．﹣56【答案】A【解答】解：不等式组整理得：，由解集为x≤a，得到a≤7，分式方程去分母得：y﹣a+3y﹣4＝y﹣2，即3y＝a+2，解得：y＝，由y为正整数解，且y≠2得到a＝1，71×7＝7，故选：A．23．（2020•遂宁）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（）A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3【答案】D【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．24．（2020•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0【答案】B【解答】解：不等式组整理得：，由解集为x≥5，得到2+a＜5，即a＜3，分式方程去分母得：y﹣a＝﹣y+2，即2y﹣2＝a，解得：y＝+1，由y为非负整数，且y≠2，得到a＝0，﹣2，之和为﹣2，故选：B．25．（2020•上海）用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0【答案】A【解答】解：把＝y代入原方程得：y+＝2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0．故选：A．26．（2020•枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是（）A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7【答案】B【解答】解：根据题意，得＝﹣1，去分母得：1＝2﹣（x﹣4），解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故选：B．二．填空题（共8小题）27．（2020•河池）方程＝的解是x＝﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：方程的两边同乘（2x+1）（x﹣2），得：x﹣2＝2x+1，解这个方程，得：x＝﹣3，经检验，x＝﹣3是原方程的解，∴原方程的解是x＝﹣3．故答案为：﹣3．28．（2020•潍坊）若关于x的分式方程+1有增根，则m＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：3x＝m+3+（x﹣2），整理得：2x＝m+1，∵关于x的分式方程有增根，即x﹣2＝0，∴x＝2，把x＝2代入到2x＝m+1中得：2×2＝m+1，解得：m＝3；故答案为：3．29．（2020•徐州）方程＝的解为x＝9．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：9（x﹣1）＝8x9x﹣9＝8xx＝9检验：把x＝9代入x（x﹣1）≠0，所以x＝9是原方程的解．故答案为：x＝9．30．（2020•内江）若数a使关于x的分式方程+＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为40．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母，得：x+2﹣a＝3（x﹣1），解得：x＝，∵分式方程的解为非负数，∴≥0，且≠1，解得a≤5且a≠3，解不等式﹣≥﹣，得：y≤0，解不等式2（y﹣a）＜0，得：y＜a，∵不等式组的解集为y≤0，∴a＞0，∴0＜a≤5，则整数a的值为1、2、4、5，∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5＝40，故答案为：40．31．（2020•淮安）方程+1＝0的解为x＝﹣2．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程+1＝0，去分母得：3+x﹣1＝0，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解．故答案为：x＝﹣2．32．（2020•菏泽）方程的解是x＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程＝，去分母得：（x﹣1）2＝x（x+1），整理得：x2﹣2x+1＝x2+x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故答案为：x＝．33．（2020•绥化）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程﹣＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：设原计划每天加工零件x个，则实际每天加工零件1.5x个，依题意，得：﹣＝2．故答案为：﹣＝2．34．（2020•嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得，＝，故答案为：＝．三．解答题（共16小题）35．（2020•日照）（1）计算：+（）﹣1﹣×cos30°；（2）解方程：+1＝．【答案】（1）﹣2；（2）x＝1．【解答】解：（1）原式＝．（2）+1＝，两边同乘以（x﹣2）得，x﹣3+（x﹣2）＝﹣3，解得，x＝1．经检验x＝1是原分式方程的解．36．（2020•黔南州）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同．（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？【答案】（1）甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；（2）购买了20瓶乙品牌消毒剂．【解答】解：（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，由题意得：＝，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解且符合实际意义，3x﹣5═40，答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，由题意得：30y+40（40﹣y）＝1400，解得：y＝20，∴40﹣y＝40﹣20＝20，答：购买了20瓶乙品牌消毒剂．37．（2020•锦州）某帐篷厂计划生产10000顶帐篷，由于接到新的生产订单，需提前10天完成这批任务，结果实际每天生产帐篷的数量比计划每天生产帐篷的数量增加了25%，那么计划每天生产多少顶帐篷？【答案】200顶．【解答】解：设计划每天生产x顶帐篷，则实际每天生产帐篷（1+25%）x顶，依题意得：﹣10＝．解得x＝200．经检验x＝200是所列方程的解，且符合题意．答：计划每天生产200顶帐篷．38．（2020•葫芦岛）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A 种书架？【答案】（1）购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．（2）最多可购买10个A种书架．【解答】解：（1）设B种书架的单价为x元，根据题意，得．解得x＝80．经检验：x＝80是原分式方程的解．∴x+20＝100．答：购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．（2）设准备购买m个A种书架，根据题意，得100m+80（15﹣m）≤1400．解得m≤10．答：最多可购买10个A种书架．39．（2020•桂林）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．（1）求每副围棋和象棋各是多少元？（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？【答案】（1）每副围棋18元，则每副象棋10元；（2）该校最多可再购买25副围棋．。
分式方程增根与换元法解分式方程1．若关于x的方程只有一个实数根，则符合条件的所有实数a的值的总和为（）A．﹣6 B．﹣30 C．﹣32 D．﹣382．关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣6且m≠2 B．m＞6且m≠2 C．m＜6且m≠﹣2 D．m＜6且m≠2 3．若数a使关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程﹣=2有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．34．若分式方程=a无解，则a的值为（）A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣15．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠46．若关于x的方程=1﹣无解，则k的值为（）A．3 B．1 C．0 D．﹣17．关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．0 B．﹣5 C．﹣2 D．﹣78．解方程会产生增根，则m等于（）A．﹣10 B．﹣10或﹣3 C．﹣3 D．﹣10或﹣49．关于x的方程有增根，那么a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．310．用换元法解方程组时，如设=u，=v，则将原方程组可化为关于u和v的整式方程组（）A．B．C．D．11．用换元法解分式方程﹣=5时，设=y，原方程变形为（）A．2y2﹣5y﹣3=0 B．6y2+10y﹣1=0 C．3y2+5y﹣2=0 D．y2﹣10y﹣6=0 12．已知﹣x2=2+x，则代数式2x2+2x的值是（）A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2或613．已知x为实数，且，那么x2+9x的值为（）A．1 B．﹣3或1 C．3 D．﹣1或314．已知x为实数，且﹣（x2+x）=2，则x2+x的值为（）A．0 B．1 C．2 D．x215．解方程﹣=2时，如果设=y，则原方程可化为关于y的整式方程是（）A．3y2+2y+1=0 B．3y2+2y﹣1=0 C．3y2+y+2=0 D．3y2+y﹣2=016．若1﹣+=9，则的值是（）A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．±317．用换元法解方程时，设x+=y，则原方程可化为（）A．y2﹣2y﹣3=0 B．y2﹣2y﹣1=0 C．y2﹣y﹣1=0 D．y2﹣2y+3=018．若关于x的方程有增根，则m的值是三．解答题（共11小题）19．若解关于x的分式方程+=会产生增根，求m的值．20．解方程：．21．解分式方程：22．解方程：x2+3x﹣=8．23．解方程：．24．用换元法解下列方程（1）；（2）．25．用换元法解方程：．26．解方程：x2﹣=2x﹣1 27．用换元法解方程：x+=2．28．解方程组：．29．解方程：分式化简练习1．计算的结果是_________．2．若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=_________3．已知等式：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，10+=102×，（a，b均为正整数），则a+b=_________6．计算（x+y）•=_________．4．化简，其结果是_________．5．化简：=_________．6．化简：=_________．7．化简：=_________．8．化简：=_________19．化简：=_________21．化简：=_________．22．化简：=_________23．计算：=_________．24．计算=_________．。
1．当m为何值时，去分母解方程=1﹣会产生增根？考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母3（x﹣2）=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．解答：解：方程两边都乘3（x﹣2），得4x+1=3x﹣6+3（5x﹣m）即3m=14x﹣7分式方程若有增根，则分母必为零，即x=2，把x=2代入整式方程，3m=14×2﹣7，解得m=7，所以当m=7时，去分母解方程=1﹣会产生增根．点评：根问题可按如下步骤进行：①根据分式方程的最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．a为何值时，关于x的方程会产生增根？考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+2）（x﹣2）=0，得到x=﹣2或2，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．解答：解：原方程可化为2（x+2）+ax=3（x﹣2）（a﹣1）x=﹣10．此方程的增根x=±2，当x=2时，（a﹣1）×2=﹣10，a=﹣4；当x=﹣2时，（a﹣1）×（﹣2）=﹣10，a=6．因此当a=﹣4或a=6时，关于x的方程会产生增根．点评：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3．分式方程+3=有增根．（1）这个增根是什么？（2）求m的值．考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣2=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．解答：解：（1）∵方程有增根，∴最简公分母x﹣2=0，即增根是x=2．（2）方程两边都乘（x﹣2），得m+3（x﹣2）=x﹣1把增根x=2代入整式方程，得m=1．点评：增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．本题需注意分母互为相反数的分式方程的最简公分母是相反数中的一个．4．已知关于x的方程有增根，则k为多少？考点：分式方程的增根。
妙用分式方程的增根求参数值解分式方程时，常通过适当变形化去分母，转化为整式方程来解，若整式方程的根使分式方程中的至少一个分母为零，则是增根，应舍去，由此定义可知：增根有两个性质：（1）增根是去分母后所得整式方程的根；（2）增根是使原分式方程分母为零的未知数的值，灵活运用这两个性质，可简捷地确定分式方程中的参数（字母）值，请看下面例示：一、分式方程有增根，求参数值例1 a 为何值时，关于x 的方程342-+-x a x x =0有增根？ 分析：先将原分式方程转化为整式方程，然后运用增根的两个性质将增根代入整式方程可求a 的值 解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得x 2-4x+a=0（※）因为分式方程有增根，增根为x=3，把x=3代入（※）得，9-12+a=0 a=3所以a=3时，342-+-x a x x =0有增根。
点评：运用增根的性质将所求问题转化为求值问题，简捷地确定出分式方程中的参数（字母）值例2 m 为何值时，关于x 的方程11-x +2-x m =23222+-+x x m 有增根。
分析：原分式方程有增根，应是使分母为0的x 值。
将这样的x 值代入去分母的整式方程可求出m 的值。
解：原方程两边同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得（1+m ）x=3m+4（※）因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为x=1或x=2。
把x=1代入（※），解得m=-23；把x=2代入（※）得m=-2所以m=-23或-2时，原分式方程有增根 点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实），如方程1+x k +1=)2)(1(2-+x x 有增根，可求得k=-32，但分式方程这时有一实根x=38。
二、分式方程是无实数解，求参数值例3 若关于x 的方程52--x x =5-x m +2无实数根，求m 的值。
分析：因原方程无实数根，将原方程去分母得到整式方程解出的x 值为原方程的增根，又x=5是原方程的增根，故可求出m 的值解：去分母，得x-2=m+2x-10，x=-m+8因为原方程无解，所以x=-m+8为原方程的增根。
方程与不等式专题-分式方程专项训练之分式方程的增根问题一．选择题（共12小题） 1．方程21mx x =+的解为增根，则增根是( ) A ．2x = B ．0x = C ．1x =- D ．0x =或1x =-2．分式方程133x mx x +=--有增根，则m 为( ) A ．0B ．1C ．3D ．63．若解关于x 的方程311x mx x +=++会产生增根，则m 的值是( ) A ．2B ．1C ．1-D ．2-4．若关于x 的分式方程2111a x x+=--有增根，则a 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或25．分式方程11(1)(1)x m x x x -=--+有增根，则m 的值为( ) A ．0和2 B ．1 C ．1和2- D ．26．若关于x 的方程3533x mx x+=--有增根，则m 的值是( ) A ．3 B ．3- C ．9 D ．9-7．关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根，则a 的值是( ) A ．4或6 B ．4-或6- C ．4或6- D ．4-或68．若分式方程1322ax x +=-+有增根，则a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．1- D ．2-9．如果方程3233x x x=---有增根，则它的增根一定是( ) A ．0B ．1C ．2D ．310．如果关于x 的分式方程2122mx x =---有增根，则m 的值为( ) A ．3- B ．3 C ．1- D ．2-11．若分式方程132a xx a x-+=-+有增根，则a 的值是( ) A ．2- B ．0 C ．2 D ．0或2-12．已知分式方程651(1)x x x x +=--有增根，则增根是( )A ．1x =B ．1x =或0x =C ．0x =D ．不确定二．填空题（共10小题） 13．若方程3122kx x =+--有增根，则k = ． 14．若关于x 的方程33x ax x x -=--有增根，则a = ． 15．若解分式方程1244x m x x -=+++产生增根，则m = ． 16．若关于x 的分式方程2133m x x =+--有增根，增根是 ，m = ． 17．若关于x 的分式方程3322x m x x +=--有增根，则m 的值为 ． 18．若关于x 的方程233x kx x -=--会产生增根，则k 的值为 ． 19．已知关于x 的方程2322x mx x+=--会产生增根，则m = ． 20．若分式方程1322x mx x ++=++有增根，则m 的值是 ． 21．若分式方程1122k x x+=--有增根，则k = ． 22．关于x 的分式方程223111kx x x x +=--+会产生增根，则k = ． 三．解答题（共8小题） 23．若关于x 的方程4233k x x x-+=--有增根，求增根和k 的值．24．关于x 的方程22242x x m xx x x +-=--+有增根，求m 的值．25．若关于x 的方程225111mx x x +=---有增根，求增根和m 的值．26．若解关于x 的分式方程223242mx x x x +=--+会产生增根，求m 的值．27．关于x 的分式方程2213m x x x+-=-有增根，请求出增根及此时m 的值．28．若关于x 的方程2111333x kx x x x ++-=--有增根，求增根和k 的值．29．若方程222211m xx x x +=+++有增根，求m 的值．30．解关于x 的方程1221(1)(2)x x kx x x x x ++-=+--+ 时产生了增根，请求出所有满足条件的k 的值．方程与不等式专题-分式方程专项训练之分式方程的增根问题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题） 1．方程21mx x =+的解为增根，则增根是( ) A ．2x = B ．0x = C ．1x =- D ．0x =或1x =-【解答】解：化为整式方程为：22x xm +=， 整理得：(2)2m x -=， 则可得0x ≠， 原方程有增根， ∴最简公分母(1)0x x +=，解得0x =或1-． 0x ≠， ∴增根是1-．故选：C ． 2．分式方程133x mx x +=--有增根，则m 为( ) A ．0B ．1C ．3D ．6【解答】解：去分母得：3x x m +-=， 由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =， 把3x =代入整式方程得：3m =， 故选：C ．3．若解关于x 的方程311x mx x +=++会产生增根，则m 的值是( ) A ．2B ．1C ．1-D ．2-【解答】解：方程两边同时乘以1x +，得 3x m +=分式方程产生増根， 1x ∴=-2m ∴=．故选：A ．4．若关于x 的分式方程2111a x x+=--有增根，则a 的值是( ) A ．0B ．1C ．2D ．0或2【解答】解：去分母得：21a x -=-， 由分式方程有增根，得到10x -=，即1x =， 代入整式方程得：2a =， 故选：C ． 5．分式方程11(1)(1)x mx x x -=--+有增根，则m 的值为( ) A ．0和2B ．1C ．1和2-D ．2【解答】解：方程两边都乘(1)(1)x x -+，得(1)(1)(1)x x x x m +--+=， 方程有增根，∴最简公分母(1)(1)0x x -+=，即增根是1x =或1-，把1x =代入整式方程，得2m =，把1x =-代入整式方程，得0m =，经检验，0m =时，方程无解， 2m ∴=，故选：D ． 6．若关于x 的方程3533x mx x+=--有增根，则m 的值是( ) A ．3B ．3-C ．9D ．9-【解答】解：方程两边都乘(3)x -，得 35(3)x x m +-=-，方程化简，得 158m x =-，原方程增根为3x =，∴把3x =代入整式方程，得9m =-，故选：D ． 7．关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根，则a 的值是( ) A ．4或6B ．4-或6-C ．4或6-D ．4-或6【解答】解：方程两边都乘(2)(2)x x +-， 得2(2)3(2)x ax x ++=-原方程有增根，∴最简公分母(2)(2)0x x +-=，解得2x =-或2，当2x =-时，212a -=-，解得6a =， 当2x =时，4a =-． 故a 的值是6或4-． 故选：D ． 8．若分式方程1322ax x +=-+有增根，则a 的值是( ) A ．1B ．0C ．1-D ．2-【解答】解：去分母得：223122x x ax a ++-=-，由分式方程有增根，得到20x +=或20x -=，即2x =或2x =-， 把2x =代入整式方程得：40=，无解； 把2x =-代入整式方程得：0a =， 故选：B ． 9．如果方程3233x x x=---有增根，则它的增根一定是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：由分式方程有增根，得到30x -=， 解得：3x =， 故选：D ．10．如果关于x 的分式方程2122mx x =---有增根，则m 的值为( ) A ．3-B ．3C ．1-D ．2-【解答】解：方程两边都乘以(2)x -得：2(2)x m =--， 分式方程有增根， 20x ∴-=，将2x =代入2(2)x m =--，得：2m =-， 故选：D ． 11．若分式方程132a xx a x-+=-+有增根，则a 的值是( ) A ．2-B ．0C ．2D ．0或2-【解答】解：方程两边都乘()(2)x a x +-，得 3(2)()()(2)x a x x a a x x ++-+=--，原方程有增根，∴最简公分母()(2)0a x x +-=， ∴增根是2x =或a -，当2x =时，方程化为：20a +=，解得：2a =-；当x a =-时，方程化为2(2)a a a a -+=--，即(2)0a a +=， 解得：0a =或2-． 当2a =-时，原方程可化为12322x x x --+=--， 化为整式方程得，13(2)2x x +-=--， 即：34x =，不存在增根，故不符合题意， 当0a =时，原方程可化为132xx x-+=-， 化为整式方程得，3(2)(2)x x x x x +-=--， 解得74x =或0x =，此时，有增根为0x =， 0a ∴=符合题意，故选：B ． 12．已知分式方程651(1)x x x x +=--有增根，则增根是( ) A ．1x =B ．1x =或0x =C ．0x =D ．不确定【解答】解：去分母得：65x x =+， 解得：1x =， 经检验1x =是增根． 故选：A ．二．填空题（共10小题） 13．若方程3122kx x =+--有增根，则k = 3 ． 【解答】解：分式方程去分母得：23x k -+=， 由题意将2x =代入得：223k -+=， 解得：3k =． 故答案为：3．14．若关于x 的方程33x ax x x -=--有增根，则a = 3- ． 【解答】解：原方程去分母得： (3)x x x a --=- 22x x a -=-因为分式方程的増根为3x =， 所以96a -=-， 得3a =-． 故答案为3-． 15．若解分式方程1244x m x x -=+++产生增根，则m = 5- ． 【解答】解：去分母得：128x m x -=++， 由分式方程有增根，得到40x +=，即4x =-， 把4x =-代入整式方程得：5m =-， 故答案为：5-16．若关于x 的分式方程2133m x x =+--有增根，增根是 3x = ，m = ． 【解答】解：去分母得：23m x =+-， 由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =， 把3x =代入整式方程得：2m =， 故答案为：3x =，2 17．若关于x 的分式方程3322x m x x +=--有增根，则m 的值为 3 ． 【解答】解：去分母得：33x m =+， 由分式方程有增根，得到20x -=，即2x =， 把2x =代入方程得：63m =+， 解得：3m =， 故答案为：3 18．若关于x 的方程233x kx x-=--会产生增根，则k 的值为 3- ． 【解答】解：方程两边都乘(3)x -，得 2(3)x x k --=-，原方程增根为3x =，∴把3x =代入整式方程，得3k =-．故答案为：3-． 19．已知关于x 的方程2322x mx x+=--会产生增根，则m = 4 ． 【解答】解：去分母得：236x m x -=-， 由分式方程有增根，得到20x -=，即2x =， 把2x =代入整式方程得：40m -=， 解得：4m =， 故答案为：4 20．若分式方程1322x mx x ++=++有增根，则m 的值是 1- ． 【解答】解：去分母得：13(2)x x m +++=， 由分式方程有增根，得到20x +=，即2x =-， 把2x =-代入整式方程得：21m -+=， 解得：1m =-， 故答案为：1-． 21．若分式方程1122k x x+=--有增根，则k = 1- ． 【解答】解：1122k x x+=--， 21x k -+=-， 1x k =-，分式方程1122k x x+=--有增根， 20x ∴-=，解得：2x =， 21k ∴=-，解得1k =-． 故答案为：1-． 22．关于x 的分式方程223111kx x x x +=--+会产生增根，则k = 4-或6 ． 【解答】解：方程两边都乘(1)(1)x x +-，得 2(1)3(1)x kx x ++=-，即(1)5k x -=-，最简公分母为(1)(1)x x +-， ∴原方程增根为1x =±，∴把1x =代入整式方程，得4k =-．把1x =-代入整式方程，得6k =． 综上可知4k =-或6． 故答案为：4-或6 三．解答题（共8小题） 23．若关于x 的方程4233k x x x-+=--有增根，求增根和k 的值． 【解答】解：方程两边都乘(3)x -， 得2(3)4k x x +-=-+ 原方程有增根， ∴最简公分母(3)0x -=，解得3x =， 当3x =时，1k =． 24．关于x 的方程22242x x m xx x x +-=--+有增根，求m 的值． 【解答】解：两边乘(2)(2)x x +-得到，(2)2(2)x x x m x x +--=-① 方程有增根，2x ∴=或2-， 2x =时，820m --=，6m =， 2x =-时，216m -=，14m =-，经检验，6m =或14-均符合题意，m ∴的值为6或14-．25．若关于x 的方程225111mx x x +=---有增根，求增根和m 的值． 【解答】解：去分母得：3(1)x m -+=，由分式方程有增根，得到210x -=，即1x =或1x =-， 把1x =代入整式方程得：6m =-； 把1x =-代入整式方程得：0m =（舍去）， 则增根为1x =，6m =-． 26．若解关于x 的分式方程223242mx x x x +=--+会产生增根，求m 的值．【解答】解：去分母得：2436x mx x ++=-， 由分式方程有增根，得到(2)(2)0x x +-=，解得：2x =或2x =-，当2x =时，4420m ++=，即4m =-；当2x =-时，212m -=-，即6m =，综上，m 的值是4-或6．27．关于x 的分式方程2213m x x x+-=-有增根，请求出增根及此时m 的值． 【解答】解：原方程去分母得：(25)6m x -=-， 根据原方程有增根，得到(3)0x x -=，解得：0x =或3x =，当0x =时，m 不存在；当3x =时，32m =-． 28．若关于x 的方程2111333x k x x x x ++-=--有增根，求增根和k 的值． 【解答】解：去分母得：331x x x kx +-+=+， 由分式方程有增根，得到3(1)0x x -=，解得：0x =或1x =，把0x =代入整式方程得：40=，矛盾，舍去； 把1x =代入整式方程得：5k =．29．若方程222211m x x x x +=+++有增根，求m 的值． 【解答】解：方程的两边都乘以2(1)x +，得22(1)2(1)m x x x ++=+．化简，得22m x =+原方程有增根，∴最简公分母2(1)0x +=，解得1x =-，当1x =-时，2(1)20m =⨯-+=．30．解关于x 的方程1221(1)(2)x x kx x x x x ++-=+--+ 时产生了增根，请求出所有满足条件的k 的值． 【解答】解：方程去分母后得：(2)3k x +=-，分以下两种情况： 令1x =，23k +=-，5k ∴=-令2x =-，2(2)3k -+=-，12k ∴=-， 综上所述，k 的值为5-，或12-．。
2021年九年级中考数学小专题复习：分式方程的增根无解问题（附答案）1．若分式方程+＝有增根，则实数a的取值是（）A．0或2B．4C．8D．4或82．关于x的方程＝2+有增根，则k的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．23．分式方程有增根，则m的值为（）A．0和2B．1C．1和﹣2D．24．若关于x的分式方程无解，则m的值是（）A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣6 5．若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（）A．m＝0或m＝3B．m＝3C．m＝0D．m＝﹣16．若关于x的分式方程＝有增根，则m的值是（）A．m＝﹣1B．m＝1C．m＝﹣2D．m＝27．若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（）A．m＝0B．m＝﹣1C．m＝0或m＝3D．m＝38．若分式方程+3＝有增根，则a的值是（）A．﹣1B．0C．1D．29．若分式方程＝2+有增根，则a的值为（）A．4B．2C．1D．010．若解分式方程﹣＝产生增根，则m的值是（）A．﹣1或﹣2B．﹣1或2C．1或2D．1或﹣2 11．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（）A．m＝2B．m＝1C．m＝3D．m＝﹣3 12．分式方程有增根，则m为（）A．0B．1C．3D．6 13．如果关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．﹣3B．3C．4D．10 14．解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（）A．2B．1C．k≠2且k≠一2D．无法确定15．关于x的分式方程＝2﹣有增根，则a的值为（）A．﹣3B．﹣5C．5D．2 16．关于x的方程＝有增根，则k的值是（）A．2B．3C．0D．﹣3 17．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（）A．0B．1C．2D．0或2 18．若关于x的方程＝1有增根，则a＝（）A．﹣1B．﹣3C．1D．3 19．若关于x的分式方程＝﹣3有增根，则实数m的值是．20．当m＝时，解分式方程＝会出现增根．21．关于x的分式方程会产生增根，则k＝．22．若分式方程﹣＝2有增根，则这个增根是．23．若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为．24．已知关于x的分式方程有增根且m≠0，则m＝．25．若关于x的方程有增根，则m的值是26．如果关于x的分式方程＝1有增根，那么m的值为．27．若关于x的分式方程有增根，则m的值为．28．若关于x的方程产生增根，则m＝．29．关于x的分式方程有增根，则m的值为．30．若分式方程有增根，则m＝．31．m＝时，方程会产生增根．32．若关于x的分式方程＝7有增根，则a的值为．33．若关于x的分式方程﹣＝1有增根，则a的值．34．若分式方程+1＝有增根，则a的值是．35．（1）若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．（2）若方程＝﹣1的解是正数，求a的取值范围．36．解关于x的方程﹣＝时产生了增根，请求出所有满足条件的k 的值．37．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？38．解方程：．39．关于x的方程+＝去分母转化为整式方程后产生增根，求m的值．参考答案1．若分式方程+＝有增根，则实数a的取值是（）A．0或2B．4C．8D．4或8解：方程两边同乘x（x﹣2），得3x﹣a+x＝2（x﹣2），由题意得，分式方程的增根为0或2，当x＝0时，﹣a＝﹣4，解得，a＝4，当x＝2时，6﹣a+2＝0，解得，a＝8，故选：D．2．关于x的方程＝2+有增根，则k的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．2解：∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣3＝0，解得x＝3，方程两边都乘（x﹣3），得：x﹣1＝2（x﹣3）+k，当x＝3时，k＝2，符合题意，故选：D．3．分式方程有增根，则m的值为（）A．0和2B．1C．1和﹣2D．2解：方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）﹣（x﹣1）（x+1）＝m，∵方程有增根，∴最简公分母（x﹣1）（x+1）＝0，即增根是x＝1或﹣1，把x＝1代入整式方程，得m＝2，把x＝﹣1代入整式方程，得m＝0，方程无解，∴m＝2．故选：D．4．若关于x的分式方程无解，则m的值是（）A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣6解：去分母得：﹣x﹣m+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2），由分式方程无解，得到x＝2或x＝﹣2，把x＝2代入整式方程得：m＝6；把x＝﹣2代入整式方程得：m＝2．故选：A．5．若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（）A．m＝0或m＝3B．m＝3C．m＝0D．m＝﹣1解：去分母得：3﹣x﹣m＝x﹣4，由分式方程有增根，得到x﹣4＝0，即x＝4，把x＝4代入整式方程得：3﹣4﹣m＝0，解得：m＝﹣1，故选：D．6．若关于x的分式方程＝有增根，则m的值是（）A．m＝﹣1B．m＝1C．m＝﹣2D．m＝2解：方程两边同时乘以x﹣1，得m+1＝﹣x，解得：x＝﹣m﹣1，∵方程有增根，∴x＝1，∴﹣m﹣1＝1，∴m＝﹣2，故选：C．7．若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（）A．m＝0B．m＝﹣1C．m＝0或m＝3D．m＝3解：方程两边都乘x﹣4，得3﹣（x+m）＝x﹣4，∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣4＝0，解得x＝4，百度文库精品文档当x＝4时，3﹣（4+m）＝4﹣4，m＝﹣1，故选：B．8．若分式方程+3＝有增根，则a的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2解：∵分式方程+3＝有增根，∴x＝2是方程1+3（x﹣2）＝a+1的根，∴a＝0．故选：B．9．若分式方程＝2+有增根，则a的值为（）A．4B．2C．1D．0解：已知方程去分母得：x＝2（x﹣4）+a，解得：x＝8﹣a，由分式方程有增根，得到x＝4，即8﹣a＝4，则a＝4．故选：A．10．若解分式方程﹣＝产生增根，则m的值是（）A．﹣1或﹣2B．﹣1或2C．1或2D．1或﹣2解：方程两边都乘以x（x+1）得，2x2﹣m﹣1＝（x+1）2，百度文库精品文档若分式方程产生增根，则x（x+1）＝0，解得x＝0或x＝﹣1，当x＝0时，﹣m﹣1＝1，解得m＝﹣2，当x＝﹣1时，2﹣m﹣1＝0，解得m＝1，∴m的值为1或﹣2．故选：D．11．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（）A．m＝2B．m＝1C．m＝3D．m＝﹣3解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．12．分式方程有增根，则m为（）A．0B．1C．3D．6解：去分母得：x+x﹣3＝m，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：m＝3，故选：C．13．如果关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．﹣3B．3C．4D．10百度文库精品文档解：去分母得：4＝x﹣3+m，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：m＝4．故选：C．14．解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（）A．2B．1C．k≠2且k≠一2D．无法确定解：去分母得，x（x+1）﹣k＝x（x﹣1），解得x＝k，∵方程不会产生增根，∴x≠±1，∴k≠±1，即k≠±2．故选：C．15．关于x的分式方程＝2﹣有增根，则a的值为（）A．﹣3B．﹣5C．5D．2解：分式方程去分母得：x﹣2＝2（x+3）﹣a，由分式方程有增根，得到x+3＝0，即x＝﹣3，把x＝﹣3代入整式方程得：a＝5．故选：C．16．关于x的方程＝有增根，则k的值是（）A．2B．3C．0D．﹣3解：∵方程有增根，∴x﹣3＝0．解得：x＝3．方程＝两边同时乘以（x﹣3）得：x﹣1＝k，将x＝3代入得：k＝3﹣1＝2．故选：A．17．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（）A．0B．1C．2D．0或2解：去分母得：2﹣a＝x﹣1，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，代入整式方程得：a＝2，故选：C．18．若关于x的方程＝1有增根，则a＝（）A．﹣1B．﹣3C．1D．3解：分式方程去分母得：ax+1＝x﹣1，整理得：（a﹣1）x＝﹣2，由分式方程有增根，得到a﹣1≠0时，x＝＝1，即a＝﹣1，故选：A．19．若关于x的分式方程＝﹣3有增根，则实数m的值是1．解：去分母，得：m＝x﹣1﹣3（x﹣2），由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程可得：m＝1，故答案为：1．20．当m＝2时，解分式方程＝会出现增根．解：分式方程可化为：x﹣5＝﹣m，由分母可知，分式方程的增根是3，当x＝3时，3﹣5＝﹣m，解得m＝2．故答案为：2．21．关于x的分式方程会产生增根，则k＝﹣4或6．解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x+1）+kx＝3（x﹣1），即（k﹣1）x＝﹣5，∵最简公分母为（x+1）（x﹣1），∴原方程增根为x＝±1，∴把x＝1代入整式方程，得k＝﹣4．把x＝﹣1代入整式方程，得k＝6．综上可知k＝﹣4或6．故答案为：﹣4或622．若分式方程﹣＝2有增根，则这个增根是x＝1．解：根据分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，则方程的增根为x＝1．故答案为：x＝123．若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为1．解：方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝1故m的值是1，故答案为124．已知关于x的分式方程有增根且m≠0，则m＝﹣4．解：去分母，得2x+4+mx＝0，∴（2+m）x＝﹣4，∵关于x的分式方程有增根，∴x＝2或﹣2，当x＝2时，（2+m）×2＝﹣4，解得m＝﹣4，当x＝﹣2时，（2+m）×（﹣2）＝﹣4，解得m＝0，又∵m≠0，∴m的值为﹣4，故答案为：﹣4．25．若关于x的方程有增根，则m的值是﹣1解：将方程两边都乘以x﹣2，得：1﹣x﹣m＝x﹣2，解得：x＝，∵x的方程有增根，∴增根x＝＝2，解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．26．如果关于x的分式方程＝1有增根，那么m的值为﹣4．解：＝1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：m+2x＝x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x＝2时，m+4＝2﹣2，m＝﹣4．故答案为：﹣4．27．若关于x的分式方程有增根，则m的值为1．解：方程两边同时乘以x﹣2，得x+m﹣3m＝2（x﹣2），解得：x＝4﹣2m，∵分式方程有增根，∴x＝2，∴4﹣2m＝2，∴m＝1，故答案为1．28．若关于x的方程产生增根，则m＝2．解：方程两边都乘（x﹣1），得x+2＝m+1∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣1＝0，即增根是x＝1，把x＝1代入整式方程，得m＝2．29．关于x的分式方程有增根，则m的值为4．解：去分母得：7x+5x﹣5＝2m﹣1，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程得：12﹣5＝2m﹣1，解得：m＝4，故答案为：430．若分式方程有增根，则m＝2．解：方程两边都乘（x﹣3），得m＝2+（x﹣3），∵方程有增根，∴最简公分母x﹣3＝0，即增根是x＝3，把x＝3代入整式方程，得m＝2．故答案为2．31．m＝3时，方程会产生增根．解：方程去分母得：x﹣2（x﹣3）＝m，将x＝3代入得：m＝3，故答案为：3．32．若关于x的分式方程＝7有增根，则a的值为3．解：原分式方程变形为2﹣x+a＝7（x﹣5），∵分式方程有增根，∴x﹣5＝0，x＝5为增根，将x＝5代入上式，2﹣5+a＝0，∴a＝3．故答案为3．33．若关于x的分式方程﹣＝1有增根，则a的值4．解：﹣＝1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：x+x﹣a＝x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x＝2时，2+2﹣a＝2﹣2，解得a＝4．故答案为：4．34．若分式方程+1＝有增根，则a的值是4．解：+1＝，方程两边同时乘以x﹣3得，1+x﹣3＝a﹣x，∵方程有增根，∴x﹣3＝0，解得x＝3．∴1+3﹣3＝a﹣3，解得a＝4．故答案为：4．35．（1）若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．（2）若方程＝﹣1的解是正数，求a的取值范围．解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），∴原方程增根为x＝±2，∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣4．把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6．综上，可知m＝﹣4或6．（2）解：去分母，得2x+a＝2﹣x解得：x＝，∵解为正数，∴，∴2﹣a＞0，∴a＜2，且x≠2，∴a≠﹣4∴a＜2且a≠﹣4．36．解关于x的方程﹣＝时产生了增根，请求出所有满足条件的k 的值．解：方程去分母后得：（k+2）x＝﹣3，分以下两种情况：令x＝1，k+2＝﹣3，∴k＝﹣5令x＝﹣2，﹣2（k+2）＝﹣3，∴k＝﹣，综上所述，k的值为﹣5，或﹣．37．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1解得x＝0经检验，x＝0是原分式方程的解．（2）设？为m，方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1由于x＝2是原分式方程的增根，所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1．38．解方程：．解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），得：x+2﹣（x+2）（x﹣2）＝4，整理，得：x2﹣x﹣2＝0，解此方程，得：x1＝2，x2＝﹣1，经检验：x＝2是增根，舍去x＝﹣1是原方程的根，则原方程的根为x＝﹣1．39．关于x的方程+＝去分母转化为整式方程后产生增根，求m的值．解：方程两边同乘以x2﹣1，得2（x﹣1）﹣5（x+1）＝m，当x2﹣1＝0时，x＝±1，∴关于x的方程+＝的增根为±1，当x＝1时，m＝2（1﹣1）﹣5（1+1）＝﹣10；当x＝﹣1时，m＝2（﹣1﹣1）﹣5（﹣1+1）＝﹣4，故m的值为﹣10或﹣4。
与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。
1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值解答此类问题必须明确增根的意义：（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例1. （2000年潜江市）使关于x 的方程a x x a x 2224222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2C. ±2D. 与a 无关解：去分母并整理，得： ()a x 22401--=<>因为原方程的增根为x =2，把x =2代入<1>，得a 2=4所以a =±2故应选C 。
例2. （1997年山东省） 若解分式方程21112x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2C. 1或2D. 1或－2解：去分母并整理，得：x x m 22201---=<>又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入<1>式，得：m =2或m =1故应选C 。
例3. （2001年重庆市）若关于x 的方程ax x +--=1110有增根，则a 的值为__________。
解：原方程可化为：()a x -+=<>1201又原方程的增根是x =1，把x =1代入<1>，得：a =-1故应填“-1”。
例4. （2001年鄂州市）关于x 的方程x x k x -=+-323会产生增根，求k 的值。
解：原方程可化为：()x x k =-+<>231又原方程的增根为x =3，把x =3代入<1>，得：k=3例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()1151112x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。
与分式方程的增根有关的问题在初中数学教材中先后出现了可化为一元一次方程的分式方程和可化为一元二次方程的分式方程的相关问题，其中，让学生一直感到困惑的是与增根有关的问题，下面就常见的几种情况加以分析．题型一、解分式方程例1 解方程：22011x x x -=+-． 错解 方程两边同乘（x －1）（x ＋1），得2（x －1）－x ＝0．解这个方程，得x ＝2．所以，x ＝2是原方程的解．误区 此题错在没有检验，必须检验的原因是去分母时方程两边同乘的整式（最简公分母）的值可能为零．这样，原分式方程中的分式就失去了意义，也就是说变形后的整式的根不适合原方程，解分式方程时可能产生增根，所以，解分式方程时必须检验． 正解 方程两边同乘（x －1）（x ＋1），得2（x －1）－x ＝0．解这个方程，得x ＝2． 检验：当x ＝2时，（x －1）(x ＋1)≠0，所以x ＝2是原方程的解．评注 这题类型直观、简捷，主要考察学生对“类比转化”的思想方法和对方程的根的意义的掌握情况，是学生比较容易得分的一类题．上述题目只要严格按照“化分式方程为整式方程——解整式方程——检验”的步骤去做，一般不会有差错．题型二、含参数的分式方程有增根，求这个参数的值分式方程有增根就是分式方程去分母后得到的整式方程有根，而这个根使原分式方程的分母为零，使分式方程中的分式失去了意义的根．所以，解这一类题只要先化分式方程为整式方程，然后，把使原分式方程中的分式无意义的未知数的值代入，即可求得参数值． 例2 若关于x 方程233x k x x -=--有增根，试求k 的值， 解 方程两边同乘以x －3，得x －2（x －3）＝k ，化简得x ＝6－k ，由最简公分母x －3＝0，得x ＝3．把x ＝3代入x ＝6－k ，得k ＝3．变式 若关于x 方程232111a x x x +=-+-有增根，求a ．分析 本题与例题最大的区别是，使最简公分母x 2－1为零的未知数的取值有两个， 即1和－1，这时我们千万不能漏解．答案：a ＝－6，或－4．题型三、含参数的分式方程有增根，求增根例3 若方程()()61111m x x x -=+--有增根，求这个方程的增根． 分析 原分式方程化为整式方程：x 2＋m x ＋m －7＝0．由最简公分母x 2－1＝0得x ＝±1．把x ＝1代入整式方程得m ＝3；把x ＝－1代入得－6＝0，无解．也就是说，不存在m 的一个取值使化简后的整式方程有x ＝－1这个根．所以，该分式方程只有一个增根x ＝l ．评注 很多学生认为使分母为零的未知数的取值就是方程的增根，其实不然．这要看变形后的整式方程是否有这些根．解这一类题目的一般步骤是：先化分式方程为整式方程，再把使最简公分母为零的未知数的值分别代入整式方程，得到关于参量的一个方程．若关于参量的方程有解，则该未知数可以是增根，否则不是．题型四、含参数的分式方程有解，求参数的范围例4 若分式方程()6311x k x x x x+=---有解，求k 的取值范围． 分析 先化分式方程为整式方程得：8x ＝k ＋3，解得x ＝38k +． 这只是整式方程的解，要使分式方程有解，则这个解不能使最简公分母为零．故x ＝38k +≠0，且x ＝38k +≠1 解得k ≠－3，且k ≠5． 例5（15届江苏省初中数学竞赛题）关于x 的方程2211k x kx x x x x +-=--只有一解（相等的解算一个），求k的值及方程的解．分析先化分式方程为整式方程得：k x2＋（2－3k）x－1＝0．本题与例题1不同之处在于，化简后的整式方程具有一元二次方程的形式，所以，要讨论二次项的系数是否为零两种情况．①若k＝0，则2x－1＝o，解得x＝12；②若k≠0，则△＝13k2－12k＋4＝5k2＋4(k－1)2>0．方程总有两个不相等的实数根，按题设原方程只有一个解，因此，必有一根是原方程的增根．从原方程知道增根只能是0或1，显然0不是方程k x2＋（2－3k）x－1 ＝0的根．故x＝1是方程k x2＋(2－3k)x－1＝0的根，代入得k＝12．而方程k x2＋（2－3k）x－1＝0的另一个根必是原方程的根，由韦达定理得方程的另一根为x＝－2．综上，当k＝0时，方程的解为x＝12；当k＝12时，方程的解为x＝－2．评注分式方程有解，首先要满足它对应的整式方程有解，然后，若整式方程的解只有一个，那么它不能使原方程中的分式的分母为零；若整式方程的解有两个，那么至少有一个不能使原方程中的分式的分母为零．题型五、含参数的分式方程无解，求参数的值例6 关于x的方程213x mx+=--＝－1无解，求m的值．分析方程两边同乘x－3，得2x＋m＝3－x，整理得3x＝3－m．注意到x的系数是3，该整式方程有解是x33m-=．而分式方程无解，所以x33m-=是分式方程的增根．所以，33m-＝3，解得m＝－6．例7关于x的方程311x ax x--=-无解，求a的值．分析化分式方程为整式方程得：(a＋2)x＝3．考虑到x的系数含参量，故要分两种情况讨论：①当a＋2＝0，即a＝－2时，方程无解，故原分式方程无解；②当a＋2≠0时，方程两边同除以(a＋2)，得x＝32a+，因为原方程无解，所以x＝32a+＝0或1．若32a+＝0，则无解；若32a+＝1，解得a＝1．综上，当a＝－2或a＝1时，原分式方程无解．评注分式方程无解包括两种情况：一是变形后的整式方程有解，但却是分式方程的增根；二是变形后的整式方程本身无解．变形后的整式方程有两类：①ax＝6的形式．当a＝b＝0时方程有无数个解；当a＝0，b≠0时方程无解；当a≠0时方程有唯一解x＝ba．②ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．当△>0时方程有两个不相等的实数根；当△＝0时方程有两个相等的实数根；当△<0时方程没有实数根．总之，解与分式方程的增根有关的问题时，首先得化分式方程为整式方程，接着解整式方程，然后找出所有使最简公分母为零的未知数的取值，最后，根据题目的要求，确定整式方程的解，再考察与使最简公分母为零的未知数的取值之间的关系即可．。
中考复习——分式方程的增根与无解问题一、选择题1、关于x的分式方程71x-+3=1mx-有增根，则增根为（）．A. x=1B. x=-1C. x=3D. x=-3答案：A解答：方程两边都乘（x-1），得7+3（x-1）=m，∵原方程有增根，∴最简公分母x-1=0，解得x=1，当x=1时，m=7，这是可能的，符合题意．2、若关于x的分式方程23x-+3x mx+-=1有增根，则m的值为（）．A. 3B. 0C. -1D. -3答案：C解答：方程两边都乘（x-3），得2-（x+m）=x-3，∵原方程有增根，∴最简公分母x-3=0，解得x=3，当x=3时，m=-1，选C.3、关于x的分式方程322mx x---=1有增根，则m的值（）．A. m=2B. m=1C. m=3D. m=-3答案：D解答：去分母得：m+3=x-2，由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，把x=2代入整式方程得：m+3=0，解得：m=-3．选D.4、若关于x 的分式方程24x m x +-+2xx -=1有增根，则m 的值是（ ）． A. m =2或m =6 B. m =2C. m =6D. m =-2或m =-6答案：A解答：∵关于x 的分式方程24x m x +-+2xx -=1有增根， ∴x =±2是方程x +m -x （x +2）=4-x 2的根， 当x =2时，2+m -2（2+2）=4-4， 解得：m =6，当x =-2时，-2+m =4-4， 解得：m =2． 选A.5、关于x 的分式方程71x x -+5=211m x --有增根，则m 的值为（ ）．A. 1B. 3C. 4D. 5答案：C解答：方程两边都乘（x -1）， 得7x +5（x -1）=2m -1， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x -1=0， 解得x =1，当x =1时，7=2m -1， 解得m =4， 所以m 的值为4． 6、若关于x 的方程31x -=1-1k x-无解，则k 的值为（ ）．A. 3B. 1C. 0D. -1答案：A解答：方程两边都乘x -1， 得：3=x -1+k ， ∵原方程有增根，∴最简公分母x-1=0，解得x=1，当x=1时，k=3．故k的值为3．选A.7、关于x的方程321xx-+=2+1mx+无解，则m的值为（）．A. -5B. -8C. -2D. 5答案：A解答：去分母得：3x-2=2x+2+m，由分式方程无解，得到x+1=0，即x=-1，代入整式方程得：-5=-2+2+m，解得：m=-5，选A.8、关于x的方程12xx--=2mx-+2无解，则m的值是（）．A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C解答：去分母得x-1=m+2（x-2），解得x=3-m，当x=2时分母为0，方程无解，即3-m=2，m=1时方程无解．选C.9、若关于x的方程32233x mxx x-----=-1无解，则m的值为（）．A. 1B. 3C. 1或53D.53答案：C解答：两边同时乘x-3，得3-2x+mx-2=-x+3，∴（m-1）x=2．①当m=1时，0=2矛盾，∴无解．②当m ≠1时，x =21m -， ∴方程无解． ∴方程有增根， ∴x =3，即21m -=3， ∴m =53．综上所述m =1或53． 选C. 10、若分式232x a x x --+12x -=2x无解，则实数a 的取值为（ ）．A. 0或2B. 4C. 8D. 4或8答案：D 解答：解方程：232x a x x --+12x -=2x，去分母，得3x -a +x =2（x -2）， 去括号，得3x -a +x =2x -4， 移项，得3x +x -2x =-4+a ， 合并同类项，得2x =-4+a ， 系数化为1，得x =42a -， 又∵原分式方程无解， ∴42a -=0或2， ∴a =4或8． 选D.11、若关于x 的方程12x =3k x +无解，则k 的值为（ ）．A. 0或12B. -1C. -2D. -3答案：A解答：去分母得：x +3=2kx ， ∴（2k -1）x =3，当k =12时，（2k -1）x =3无解，即原方程无解． 由分式方程无解，得到2x （x +3）=0， 解得：x =0或x =-3．把x =0代入整式方程得：3=0，无解． 把x =-3代入整式方程得：-6k =0，解得k =0． 综上所述，k 的值为0或12． 选A. 二、填空题 12、若关于x 的方程32x x --=2mx-有增根，则m =______． 答案：1解答：方程两边都乘（x -2），得x -3=-m ， ∵方程有增根，∴最简公分母x -2=0，即增根是x =2， 把x =2代入整式方程，得m =1． 故答案为：1． 13、关于x 的方程23x x m--=0有增根．则m =______． 答案：9 解答：要使方程23x x m--=0有增根，则x =3使x 2-m =0， 得m =9． 14、分式方程233m x x---=1有增根，则m =______． 答案：-2解答：去分母得：m +2=x -3，由分式方程有增根，得到x -3=0，即x =3， 把x =3代入整式方程得：m +2=0， 解得m =-2． 故答案为：-2．15、若关于x 的分式方程31x a x x---=1无解，则a =______． 答案：1或-2解答：去分母得x 2-ax -3x +3=x 2-x ，（a +2）x =3， ①去分母后的整式方程无解，∴a +2=0，a =-2； ②解为增根，舍去，∴x =1，a =1， x =0，不符合题意． 16、若关于x 的分式方程3x x --2=3mx -有增根，则m 的值为______． 答案：3解答：方程两边都乘x -3， 得x -2（x -3）=m ． ∵原方程有增根， ∴最简公分母x -3=0， 解得x =3， 当x =3时，m =3． 故m 的值是3． 17、若关于x 的方程22x -+2x m x+-=2有增根，则m 的值是______． 答案：0解答：方程两边都乘以（x -2）， 得2-x -m =2（x -2）， ∵分式方程有增根， ∴x -2=0， 解得x =2， ∴2-2-m =2（2-2）， 解得m =0．18、已知关于x 的分式方程21x ax +-=1无解，则a 的值为______． 答案：-2 解答：21x ax +-=1 方程两边同乘以x -1，得移项及合并同类项，得 x =-1-a ，∵关于x 的分式方程21x ax +-=1无解， ∴x -1=0，得x =1， ∴-1-a =1，得a =-2． 故答案为：-2． 19、关于x 的分式方程2m x -+2xx-=2无解，则实数m 的值为______． 答案：2解答：去分母得：m -x =2x -2， 把x =2，代入得：m -2=22-2， 解得：m =2．20、如果关于x 的分式方程25x x --=5mx-无解，m 的值为______． 答案：-3解答：将原分式方程整理为整式方程：x =2-m ， ∵分式方程无解，∴分式方程有增根x =5， ∴m =-3．21、关于x 的分式方程2142m x x --+=0无解，则m =______． 答案：0或-4解答：方程去分母得：m -（x -2）=0，解得：x =2+m ，∴当x =2时分母为0，方程无解，即2+m =2，∴m =0时方程无解．当x =-2时分母为0，方程无解，即2+m =-2，∴m =-4时方程无解．综上所述，m 的值是0或-4． 22、若分式方程2111x mx x x +-+-=11x x +-无解，则m 的值是______． 答案：-3或-5或-1解答：方程去分母得：x （x -1）-（mx +1）=（x +1）（x +1）， 解得：x （3+m ）+2=0，当x =0时整式方程无解，即m =-3， ∴当x =1时分母为0，方程无解，∴当x =-1时分母为0，方程无解， 即m =-1．故答案为：-3或-5或-1． 23、若关于x 的分式方程52a x -+=2xx++3无解，那么a 的值为______． 答案：7 解答：52a x -+=2xx++3， 去分母得：5-a =x +3（x +2）， 将x =-2代入上式得：5-a =-2， 所以a =7． 故答案为：7．24、若关于x 的分式方程32xx --1=32m x +-有增根，则m 的值为______．答案：3解答：方程两边都乘（x -2），得3x -x +2=m +3， ∵原方程有增根，∴最简公分母x -2=0，解得x =2，把x =2代入3x -x +2=m +3，得3×2-2+2=m +3，解得m =3． 25、关于x 的方程3mx x -=33x -无解，则m 的值是______． 答案：1或0解答：去分母得mx =3，∵x =3时，最简公分母x -3=0，此时整式方程的解是原方程的增根， ∴当x =3时，原方程无解，此时3m =3，解得m =1， 当m =0时，整式方程无解． ∴m 的值为1或0时，方程无解． 故答案为：1或0． 三、解答题26、若关于x 的分式方程31x a x x---=1无解，求a 的值． 答案：a =1或a =-2．解答：去分母得：x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），去括号得：x2-ax-3x+3=x2-x，移项合并得：（a+2）x=3，（1）把x=0代入（a+2）x=3，∴a无解，当x=1代入（a+2）x=3，解得a=1，（2）（a+2）x=3，当a+2=0时，0×x=3，x无解，即a=-2时，整式方程无解，综上所述，当a=1或a=-2时，原方程无解，故答案为：a=1或a=-2．27、当a为何值时，关于x的方程ax=()21xx x+-无解？答案：1或-2解答：方程两边同乘x（x-1）得：a（x-1）=x+2，整理得：（a-1）x=2+a（i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解；（ii）当a-1≠0，原方程有增根x=0或1，当x=0时，2+a=0，即a=-2；当x=1时，a-1=2+a，无解，即当a=1或-2时原方程无解．28、已知关于x的分式方程21x-+()()12mxx x-+=12x+．（1）已知m=4，求方程的解．（2）若该分式方程无解，试求m的值．答案：（1）x=-1．（2）m的值可能为-1、1.5或-6．解答：（1）方程两边同时乘以（x+2）（x-1），去分母并整理得5x=-5，解得x=-1，经检验，x =-1是原方程的解．（2）方程两边同时乘以（x +2）（x -1）， 去分母并整理得（m +1）x =-5， ∵原分式方程无解，∴m +1=0或（x +2）（x -1）=0， 当m +1=0时，m =-1； 当（x +2）（x -1）=0时， 解得：x =-2或x =1， 当x =-2时，m =1.5； 当x =1时，m =-6；所以m 的值可能为-1、1.5或-6． 29、已知关于x 的分式方程1xx --1=()()12m x x -+ （1）m 为何值时，这个方程的解为x =2？ （2）m 为何值时，这个方程有增根？ 答案：（1）m =4．（2）m =3．解答：（1）分式方程去分母得：x （x +2）-（x -1）（x -2）=m ， 将x =2代入得：8-4=m ，即m =4．（2）分式方程去分母得：x （x +2）-（x -1）（x -2）=m ， 将x =1代入得：m =3；将x =-2代入得：m =0（舍去）． 则m =3．30、已知关于x 的方程111m xx x ----=0无解，方程x 2+kx +6=0的一个根是m ． （1）求m 和k 的值．（2）求方程x 2+kx +6=0的另一个根．答案：（1）m =2，k =-5．（2）方程的另一个根为3． 解答：（1）∵关于x 的方程111m xx x ----=0无解， ∴x -1=0， 解得x =1，方程去分母得：m -1-x =0，把x=1代入m-1-x=0得：m=2．把m=2代入方程x2+kx+6=0得：4+2k+6=0，解得：k=-5．（2）方程x2-5x+6=0，（x-2）（x-3）=0，∴x1=2，x2=3，∴方程的另一个根为3．。
分式方程的增根问题二、方法剖析与提炼例1.（2020上海）解方程：214124x x -=--. 【∴x 1= ，x 2= .检验：当2x =时，公分母(2)(2)x x +-=0，故2x =是原方程的增根，舍去；当1x =-时，公分母(2)(2)0x x +-≠，故1x =-是原方程的根. ∴原方程根是1x =-.【解析】（1）掌握分式方程的定义，通过观察知道此方程为分式方程；（2）解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程，但需把所求结果代入公分母，若公分母为零，则所求结果为增根.【解法】分式方程的解法.【解释】解分式方程体现化归的数学思想，把分式方程转化为整式方程.另外，学生在解分式方程时，容易忘记检验.例2.（2020营口）若关于x 的分式方程2233x m x x++=--有增根，则m 的值是（ ）.A.m =-1B.m =0C.m =3D.m =0或m =3【解答】分式方程两边同乘公分母（x -3），得整式方程2-x -m =2（x -3）. 再根据题目条件原分式方程有增根，且增根必定是使公分母（x -3）为0的未知数的值，解得x =3，把x =3代入2-x -m =2（x -3），所以2-3-m =2（3-3），解得m =-1.故答案为A.【解析】先去分母得整式方程，又根据公分母知道原方程的增根为3，代入可求得m 的值.【解法】解答这类含参数方程的增根问题，一般是先化分式方程为整式方程，然后根据公分母为0确定增根，最后把增根代入整式方程，即可求得相关参数的值.【解释】需要先把分式方程中的字母m 看作已知数，考查学生对“字母表示数”的本质理解.另外，要正确做出本题，学生对增根的理解应到位.例 3.（2019龙东）关于x 的分式方程21042m x x -=-+无解，则m =_________.【解答】分式方程两边同乘公分母（x +2）（x -2），得整式方程m -（x -2）=0，解得x =2+m .根据公分母（x +2）（x -2）为0，可得x =2或-2，所以原分式方程的增根是x =2或-2.若x =2，则2+m =2，解得m =0，此时方程无解；若x =-2，则2+m =-2，解得m =-4，此时方程也无解. 故m =0或-4.因此本题答案为：0或-4.【解析】无解有两种情况，所以本题要分类讨论.【解法】分式方程的解法，分类讨论法.【解释】分式方程无解有两种情况：（1）分式方程化成的整式方程无解，则原分式方程无解；（2）转化后的整式方程的解都是原分式方程的增根，均被舍去，则原分式方程无解，本题属于后一种情况. 例4.（2019齐齐哈尔）关于x 的分式方程52a x x =-有解，则字母a 的取值范围是（ ）.A. a =5或a =0B. a ≠0C. a ≠5D. a ≠5且a ≠0【解答】分式方程两边同乘公分母x （x -2），得关于x 的一元一次方程5（x -2）=ax ，得（a -5）x =-10.因为原分式方程有解，所以未知数前面的系数a -5≠0，则a ≠5，两边同除以a -5，解得105x a =--；又由公分母x （x -2），可得该分式方程的增根是x =2或0. 若x =2，则a -5=-5，解得a =0；若x =0时，则10=05a --，而此方程无解. 因为原分式方程有解，所以x ≠2，即a ≠0.综上分析，字母a 的取值范围是a ≠5且a ≠0.故答案为D.【解析】先方程两边乘最简公分母x （x -2）转化为5（x -2）=ax ，得（a -5）x =-10.因为有解，所以可得字母a ≠5，再根据分式方程有解隐含其解不可能是增根的条件，求得待定系数取值范围.【解法】分式方程的解法，分类讨论法.【解释】解答此类问题，一般先把分式方程化为整式方程，再根据原分式方程有解，从而可以确定转化后的整式方程有解，进而确定字母的取值范围，再根据分式方程有解，则此解不可能是增根，从而最终求得字母参数的取值范围.例5.若关于x 的分式方程121m x -=-的解为非负数，求m 的取值范围. 【解答】分式方程两边同乘（x -1），得整式方程2（x -1）=m -1，解这个整式方程得12m x +=，再根据题目条件“解为非负数”，得12m +≥0，解得m ≥-1.又由原分式方程的增根只能是x =1，则所得整式方程的解12m x +=不可能等于1，即12m +≠1，得m ≠1. 所以m 的取值范围是m ≥-1且m ≠1.【解析】先化为整式方程2（x-1）=m-1，并解得12m x +=，再根据条件“解为非负数”和该分式方程的增根只能是x=1，可求得系数m 的取值范围.【解法】分式方程的解法.【解释】解答此类问题，容易遗漏“所求得整式方程的解不能为原分式方程的增根”这一情形，从而导致求得的字母取值范围不完整.三、能力训练与拓展1．（2019湖州）方程2113x x -=-的解是 ． 2．（2019无锡）分式方程431x x =-的解是 ． 3.分式方程23211x x x -+=-的增根是 . 4.若1x =是方程2312(1)(2)x x m x x x x +++=----的增根，则m = . 5.若方程2222x m x x -=--产生增根，则m 的值是（ ）A. 3±B. 3±C. 2±D.06.若解关于x 的方程2111x k x x x x -=--+不会产生增根，则k 的值是（ ）A. 2B. 1C. 不为2±的实数D.无法确定7．解方程：22011x x x -=+-8．解方程：26311x x=--9．（2019嘉兴）小明解方程121x x x--=的过程如图.请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程.10.关于x 的方程311x a x x--=-无解，求a 的值.1．解：方程两边都乘以x -3，得2x -1= x -3，解得2x =-.2．解：方程两边都乘以x (x -1)，得4(x -1)=3x ，解得4x =.3．解：把原分式方程化为整式方程，求得这个整式方程的解是x =1或3．当x =1时，公分母x-1的值为零，故分式方程的增根为x =1.4．解：把原分式方程化为整式方程，并解得2227m x x =+-．由已知条件1x =是原分式方程的增根，故把1x =代入2227m x x =+-得3m =-.5．解：方程两边同乘以x -2，并整理得24m x =-+，当分式方程出现增根时，公分母的值必为零，故增根必为2x =，把2x =代入24m x =-+，得22m =．即m =C .6．解：把原分式方程化为整式方程，可得2k x =。
分式方程的增根与无解问题专题练习一、分式方程的增根问题 1、关于x 的分式方程522x mx x -=++有增根，则m 的值为（ ）．A. 0B. -5C. -2D. -7答案：D解答：原分式方程去分母得：x -5=m ， ∵方程有增根， ∴x +2=0即x =-2， ∴m =-2-5=-7． 选D.2、关于x 的方程1xx --1=()()21a x x +-有增根，那么a =（ ）．A. -2B. 0C. 1D. 3答案：D解答：去分母得：x （x +2）-（x +2）（x -1）=a ， 由分式方程有增根，得到x +2=0或x -1=0， 解得：x =-2或x =1，把x =-2代入整式方程得：a =0，经检验不合题意，舍去； 把x =1代入整式方程得：a =3， 选D3、已知关于x 的方程22x mx +-=3有增根，则m 的值为______． 答案：-4 解答：∵22x mx +-=3， ∴2x +m =3x -6， ∴x =m +6． 又∵有增根， ∴m +6=2， ∴m =-4．4、若分式方程2111x m x x ----=1有增根，则m 的值是______． 答案：3 解答：2111x m x x ----=1， 同乘以x -1得： 2x -（m -1）=x -1， 2x -x =-1+m -1， x =m -2．∵该分式方程存在增根，即x -1=0，x =1， ∴m -2=1， ∴m =3．5、已知关于x 的分式方程1x mx +-=2有增根，则m 的值为______． 答案：-1解答：原方式可化为2（x -1）=m +x ． 当原分式方程有增根时，x =1． 将x =1代入得m +1=0． 解得m =-1． 6、已知关于x 的方程311x kx x ----=2有增根，则增根为______，k 的值为______． 答案：1；-2解答：原方程去分母，整理，得k =-x -1． ∵原方程有增根，而原方程的最简公分母为x -1． ∴由x -1=0可知原方程的增根为x =1． 当x =1时，k =-1-1=-2．因此，原方程的增根为1，k 的值为-2． 故答案为：1；-2． 7、若关于x 的分式方程12x x ++=2mx -有增根，则增根为______． 答案：2或-2解答：∵原方程有增根， ∴最简公分母（x +2）（x -2）=0，解得x=-2或2．故答案为2或-2．8、已知方程21 4x-+2=2kx-有增根，则k=______．答案：1 4解答：原方程去分母，得1+2（x2-4）=k（x+2）①，∵原方程有增根，∴x+2=0或x-2=0，∴x=-2或2．把x=-2代入①，得，方程无解．把x=2代入①，得，1+2×（22-4）=k（2+2），解得k=14．故答案为14．9、若关于x的方程21x x -+25kx x-+=211kx--有增根，则k的值为______．答案：3，6或9解答：去分母，得：x+1+（k-5）（x-1）=（k-1）x ①若x=1为增根，则：1+1+0=k-1，k=3，②若x=-1为增根，则：-1+1-2（k-5）=-（k-1），得：k=9，③若x=0为增根，则：0+1-（k-5）=0，k=6，综上，k的值为3，6或9．10、若关于x 的分式方程2611mx x ---=1有增根，则增根是______． 答案：x =1解答：去分母，得：6-m （x +1）=x 2-1， 移项，得：7-m （x +1）=x 2， 当x =-1时，原方程无解， 则x =1为原方程的增根． 11、关于x 的分式方程12mx x +-=-1有增根，求m 的值． 答案：-12． 解答：方程两边都乘（x -2），得mx +1=-（x -2）， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x -2=0， 解得x =2，当x =2时，2m +1=-（2-2），解得m =-12． 12、若关于x 的方程33x -+29ax x -=43x +有增根，求a 的值．答案：a =-6或a =8．解答：化为整式方程得：3（x +3）+ax =4（x -3）， 整理得ax =x -21，再将x =3，x =-3分别代入ax =x -21中，得a =-6或a =8． 二、分式方程的无解问题 13、关于x 的方程321x x -+=2+1mx +无解，则m 的值为（ ）．A. -5B. -8C. -2D. 5答案：A解答：去分母得：3x -2=2x +2+m ， 由分式方程无解，得到x +1=0， 即x =-1，代入整式方程得：-5=-2+2+m ， 解得：m =-5， 选A.14、若分式方程31xx+=1mx++2无解，则m=（）．A. -3B. -2C. -1D. 0答案：A解答：31xx+=1mx++2，3x=m+2x+2，x=m+2，∵x=-1是原方程的增根，原方程无解，∴m+2=-1，∴m=-3．选A.15、关于x的分式方程23m xx+--1=2x无解，则m的值为（）．A. -1.5B. 1C. -1.5或2D. -0.5或-1.5答案：D解答：23m xx+--1=2x，方程两边都乘以x（x-3），得：x（x+2m）-x（x-3）=2（x-3），整理，得：（2m+1）x=-6，x=-621 m+，∵原分式方程无解，∴2m+1=0或-621m+=3或-621m+=0．解得：x=-0.5或x=-1.5，选D.16、关于x的方程12xx--=1mx-+1无解，则m的值是（）．A. 0B. 0或1C. 1D. 2答案：B解答：解分式方程12xx--=1mx-+1，整理得（x-1}）2}=m（x-2）+（x-1）（x-2），（1-m ）x =1-2m ，当m =1时，整式方程无解； 当m ≠1时，x =121mm--． ∵当x =1或x =2时，x 为原方程的増根， 当x =1时，解得m =0； 当x =2时，方程121mm--=2无解． ∴当m =0或1时，原方程无解， 选B.17、若关于x 的方程323x x --+23mxx+-=-1无解，则m 的值为（ ）．A. 3B. -3C. -53或-1 D. 0答案：C解答：去分母得：3-2x -2-mx =-x +3整理为：（ ）（1+m ）x =-2 该整式方程无解时，原分式方程无解，此时m =-1该整式方程有解，此解恰好是原分式方程的增根，此时m =-53． 18、若分式方程31a x --=2无解，则a =______． 答案：3 解答：31a x --=2， 解得：a =2x +1， ∵x =1时，方程无解， ∴a =2×1+1=3． 19、若方程52m x --+1=12x -无解，则m =______． 答案：4 解答：52m x --=12x --1． 52m x --=()122x x ---．52m x --=32x x --．5-m =3-x ． x =-2+m ．当x =2时，方程无解． ∴-2+m =2． ∴m =4．20、若关于x 的方程3m x -+2=43xx --无解，则m 的值为______． 答案：1 解答：3m x -+2=43xx -- m +2（x -3）=4-x m +2x -6=4-x 3x =10-m∵方程无解，可知x =3． ∴9=10-m ， ∴m =1．21、若关于x 的分式方程1x k x +-=4x+1无解，则k 的值是______． 答案：3或-1解答：化整式方程得：x 2+kx =4x -4+x 2-x ， 化简得：（k -3）x =-4．当k -3=0时，整式方程无解，即k =3时，分式方程无解． 当k -3≠0时，整式方程的解x =43k-为分式方程增根1时， 即k =-1时分式方程无解， ∴k =3或-1．22、若关于x 的分式方程23kx x -+532x-=4无解，则k 的值为______． 答案：8或103解答：去分母，得：kx -5=4（2x -3）， kx -5=8x -12， kx -8x =-7，当k =8时，原方程无解，当k ≠8时，x =78k --， ∵无解， ∴2x -3=0，∴x =32， ∴78k --=32， ∴k =103，综上，k 的值为8或103． 23、关于x 的方程2ax x -=42x -+1无解，求a 的值．答案：a =1或2．解答：方程去分母得：ax =4+x -2， 解得：（a -1）x =2，∴当a -1=0即a =1时，整式方程无解，分式方程无解， 当a ≠1时，x =21a -， x =2时分母为0，方程无解， 即21a -=2，a =2时方程无解， 综上，当a =1或2时，原分式方程无解． 24、已知关于x 的分式方程2211a a x x x x---++=0无解，求a 的值． 答案：a =12，0，-1时，原方程无解． 解答：方程两边同时乘x （x +1），得： ax -（2a -x -1）=0， 整理得（a +1）x =2a -1，当a =-1时，整式方程无解，原分式方程无解； 当整式方程的解是原分式方程的增根时， 将x =0或x =-1代入整式方程，解得a =12或a =0． 综上所述，a =-1，12或0．。
知识点143 分式方程的增根(解答)1、m2、m3的关系是m3=m1+m2﹣15 ．考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为a，b，c 且a+b=c，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系．解答：解：探究1：方程两边都乘（x﹣3），得3x+5（x﹣3）=﹣m∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣3）=0，解得x=3，当x=3时，m=﹣9，故m的值是﹣9．探究2：方程两边都乘（x﹣3），得3x+5（x﹣3）=﹣m∵原方程的根为x=﹣1，∴m=23，探究3：由（1）（2）得x=，方程的三个对应根为a，b，c且a+b=c，即可得出对应的m，m1=15﹣8a，m2=15﹣8b，m3=15﹣8c，探究4：∵a+b=c，∴+=，整理得m3=m1+m2﹣15，故答案为m3=m1+m2﹣15．点评：本题考查了分式方程的增根，解分式方程要验根，但解含有字母参数的分式方程不用验根．17．解方程：=1+．考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：找到最简公分母（y+2）（y﹣2），方程两边同乘以最简公分母，然后化为整式方程求解．解答：解：去分母得：y+2=y2﹣4+4，…（2分）∴y2﹣y﹣2=0，…（1分）∴y1=2，y2=﹣1，…（2分）经检验知：y1=2是增根，舍去，y2=﹣1是原方程的根，…（1分）∴原方程的根是y=﹣1．点评：本题考查了分式方程的解法以及分式方程的增根，注：解分式方程要检验．18．已知方程有增根x=1，求k的值．考点：分式方程的增根。
专题：计算题。
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，得到x=1或﹣1，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．解答：解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）+k（x+1）=6∵原方程有增根x=1，∴当x=1时，k=3，故k的值是3．点评：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．19．使分式方程产生增根，则k的值为﹣8或8 ，增根为x=﹣4或4 ．考点：分式方程的增根。
