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离散数学08群

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离散数学半群与群

离散数学半群与群

运算.
（6）<R*,◦>为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定
义如下：
∀ x,y∈R*, x◦y=y
二、半群与独异点的性质
1．半群<S,◦>中的幂
可以定义元素的幂，对任意x∈S，规定：
x1=x
xn+1=xn◦x,
n∈Z+
用数学归纳法不难证明x 的幂遵从以下运算规则：
xn◦xm=xn+m
(xn)m= xnm
|b−1ab| = |a|. （2）设 |ab| = r，|ba| = t，则有 (ab)t+1 = a(ba)t b = ab
由消去律得 (ab) t = e，从而可知，r|t. 同理可证 t|r. 因此 |ab| = |ba|.
第三节 子群
一、子群的定义
定义11.8 设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中 的运算构成群，则称H是G 的子群, 记作H≤G.若H是G的子 群，且H⊂ G，则称H是G的真子群，记作H<G. 例 nZ（n 是自然数）是整数加群〈Z,+〉的子群. 当 n≠1 时,nZ 是 Z 的真子群.对任何群 G 都存在子群. G 和{e}都 是 G 的子群，称为 G 的平凡子群.
<e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.
2．群G 的中心C：设G为群,令C={a| a∈G∧∀ x∈ G(ax=xa)}，则C是G的子群，称为G 的中心.
证明：e∈C. C是G的非空子集. 任取a,b∈C，只需证明ab−1与G中所有的元素都可交换. ∀ x∈G，有 (ab−1)x = ab−1x = ab−1(x− )1 −1 = a(x−1b)−1 = a(bx−1)−1

离散数学第8章课件PPT,高等教育出版社,屈婉玲,耿素云,张立昂主编

离散数学第8章课件PPT,高等教育出版社,屈婉玲,耿素云,张立昂主编
17
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
16
函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
4
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}

离散数学课件-第十一章节半群与群

离散数学课件-第十一章节半群与群

半群与群在其他领域的应用
经济学
半群与群的概念在经济模型中用于描述市场交易 和供需关系，特别是在博弈论和经济计量学中。
社会学
群的概念在社会学中用于描述社会结构和群体行 为，例如在人类学和社会网络分析中。
语言学
群的概念在语言学中用于描述语言的语法和词法 结构，特别是在形式语言学和句法分析中。
05
习题与解答01Βιβλιοθήκη 020304
封闭性
群的二元运算是封闭的，即对 任意的a、b属于群，运算结
果仍属于群。
结合律
群的二元运算是满足结合律的 ，即(a*b)*c=a*(b*c)。
单位元存在
群中存在一个单位元e，使得 对任意的a属于群，都有 e*a=a*e=a。
逆元存在
对任意的a属于群，都存在唯 一的逆元a'，使得a*a'=e，
在S上的二元运算。
群是一个有序对(G,*)，其中G 是一个非空集合，*是一个在 G上的二元运算，满足封闭性、
结合性和存在单位元。
半群没有单位元，而群有； 半群的运算不满足结合律，
而群的运算满足结合律。
一个具体的半群的实例是自然数 集N和加法运算；一个具体的群 的实例是矩阵集合M和乘法运算 ，其中M是一个有限维线性空间 的可逆矩阵组成的集合，满足封 闭性、结合性和存在单位元。
第十一章节半群与群的习题
01
02
03
04
1. 什么是半群？请给出 其定义。
2. 什么是群？请给出其 定义。
3. 半群和群有哪些主要 区别？
4. 请举例说明一个具体 的半群和群的实例。
习题答案及解析
1. 半群的定义
2. 群的定义
3. 主要区别

离散数学复习(08)

离散数学复习(08)
陪集与拉格朗日定理 设<H，*>是群 <G,*>的一个子群，a∈G，则集合 定的H在G中的左陪集，记为aH。 拉格朗日定理。 {a}H称为由a所确
1、设<S，*>是一个半群，如果S是一个有限集，则必有a∈S，使 得a*a=a。 2、设<G,*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一 个有限集， 那末只要运算*在B上封闭，<B,*>必定是<G,*>的子群。 3、设<G,*>是群，S是G的非空子集，如果对于S中的 任意元素a和b有a*b-1∈S，则<S,*>是<G,*>的子群。 4、设<S,*>是有限的可交换独异点，且对任意的a,b,c∈S，等式 a*b=a*c 蕴含着 b = c，证明<S,*>是阿贝尔群。 5、设<G,*>是一个群，<G,*>是阿贝尔群的充要条件 是对任意 的a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 6、设<H , *>是群<G , *>的子群， A={x|x∈G , x*H*x-1=H}，证明 <A , *>是<G , *>的一个子群。 7、设<H，﹡>是群<G，﹡>的子群， aH和bH是H在G中的任意 两个左陪集，证明：或者aH=bH，或者aH∩bH=Ф。 8、若<A,*>是半群，e是左幺元且对每一个x∈A，存的a，b，c∈A，如果a*b＝a*c，则b＝c。 b)通过证明e是<A,*>中的幺元，证明<A,*>是群。 9、证明：循环群的同态象必定是循环群。
Ch5 代数系统
• 运算的性质(封闭性、交换性、结合性、分配律、吸收 律、等幂律) • 特殊的元素(幺元、零元、逆元) • 广群、半群、独异点、群和子群 • 阿贝尔群和循环群 证明方法举例： 设<S，*>是一个半群，如果S是一个有限集，则必有 对于bS , b*bS，记b2=b*b b2*b=b*b2S，记b3=b2*b=b*b2 …… 由于S是有限集，所以必存在 j>i，使得bi=bj ……

离散数学08群

离散数学08群

8.1 群及其性质
S=R- 1}， 上定义运算* 例8.2 设S=R-{-1}，S上定义运算*： a*b=a+b+ab，试证明<S; *>是群 是群。 a*b=a+b+ab，试证明<S; *>是群。 从以下几方面进行证明： 证明 从以下几方面进行证明： 运算* 上封闭： 1) 运算*在S上封闭： 任意a，b∈S，有a*b=a+b+ab∈R，且a≠-1， 任意a b∈S， a*b=a+b+ab∈R， a≠b≠b≠-1。 若a*b=-1即a+b+ab=-1，则a=-1或b=-1，与题 a*b=a+b+ab=a=b=设矛盾， a*b≠设矛盾，故a*b≠-1. 所以a*b∈S，即运算* 所以a*b∈S，即运算*在S上封闭。 a*b∈S 上封闭。
8.1 群及其性质
群是抽象代数中具有简单的二元运算的代数 结构，有时为了方便，在不致混淆的情况下， 结构，有时为了方便，在不致混淆的情况下，也 常把群的代数运算称作“乘法” 且把a*b a*b简记 常把群的代数运算称作“乘法”，且把a*b简记 ab。 另外，也常用G来表示群<G <G； 为ab。 另外，也常用G来表示群<G；*>。 如果一个群只包含有限个元素，则称为有限 如果一个群只包含有限个元素，则称为有限 否则称为无限群 无限群。 若有限群G 群，否则称为无限群。 若有限群G的元素个数为 则称n 的阶，并记为|G|=n |G|=n。 n，则称n为群G的阶，并记为|G|=n。 无限群的 阶称为无限。 阶称为无限。
8.1 群及其性质
<G; a,b∈ 例 8.4 设 <G;*> 是 半 群 ， 若 任 意 a,b∈G ， 方 程 a*x=b， y*a=b有解 则称<G *>是可解的 有解， <G; 是可解的， a*x=b ， y*a=b 有解 ， 则称 <G;*> 是可解的 ， 试证 此可解半群<G *>是群 <G; 是群。 明：此可解半群<G;*>是群。 首先证G有单位元。根据题意，方程a*x=a 证明 首先证G有单位元。根据题意，方程a*x=a 有解。 设它的一个解为 一个解为e 则有a*e=a a*e=a。 （a∈G）有解。 设它的一个解为e∈G，则有a*e=a。 对于任意b 方程y*a=b有解，设解为c y*a=b有解 对于任意b∈G，方程y*a=b有解，设解为c，则有 c*a=b。 c*a=b。 于是， b*e=(c*a)*e=c*(a*e)=c*a=b。 因此e 于是 ， b*e=(c*a)*e=c*(a*e)=c*a=b 。 因此 e 的右单位元。 为G的右单位元。 类似地，方程y*a=a y*a=a， 有解。设它的一个 类似地，方程y*a=a，a∈G有解。设它的一个 解为e 则有e *a=a。对于任意b 解为e′∈G，则有e′*a=a。对于任意b∈G，方程 a*x=b有解 设解为c 则有a*c=b 有解， a*c=b。 a*x=b有解，设解为c，则有a*c=b。

离散数学刘任任版课后答案 习题20《群》

离散数学刘任任版课后答案 习题20《群》
又设 是 到 的自然同态。于是， 是从 到 的满同态。并且，对任意 ,
故 .由第三同态定理有， .
分析：利用定理17.4.2易证 是 的正规子群，由定理17.5.3知存在 到 的自然同态 ，则有 到 的同态 ，利用同态定义17.5.4证明 ，根据定理17.5.4证明结论成立。
证明：先证 是 的正规子群。对任意 有 使 。因为 是 的正规子群，所以， .于是, .即
故 是 的正规子群。
设 是 到 的自然同态。令 .则 ～ .由
分析：因为 ， 互质，利用整除性质，见书定理16.1.3，易证 .
证明：因为 ,所以存在整数 使得 .于是
.但 , 是 的子群.故 .
12.设 是群， 且 ， 和 的周期分别为 和 .试证：若 ，则 的周期等于 与 的最小公倍数.
分析：设 的周期为 ， 和 的最小公倍数为 ，要证明 ,只需证明 ， 即可。利用定理17.2.5易证 ；利用整除的基本性质，定理16.1.1，分别可以将 表示成 , 的倍数与余数之和，利用 ，可得 ,即 是 , 的倍数， .
分析：根据定义17.5.1即可证。
证明：显然， 是 到 上的复合映射，且对任意 有
故 .
28.设 是群， ，映射 定义如下：
试证： 是 到 的一个自同构.
分析：利用定义17.5.2，17.5.3，分别证明 是 到 的同态，并且是双射。
证明：对任意 ,显然 .因此, 是单射.又对任意 ,有 ,使 .故 是满射,从而 是 到 的双射.再任取 .有
7.试证：1阶群，2阶群，3阶群和4阶群都是交换群，并构造一个不是交换群的6阶群.
证明：设 至 阶群分别为
1)显然， 是交换群。
2) 是交换群。
3)对 ，若 ，则有 ，即 ,从而 （矛盾）;

离散数学代数结构部分

离散数学代数结构部分离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的、分离的、离散化的对象和结构。

其中代数结构是离散数学的一个重要部分，涉及到一些常见的代数结构，如群、环和域等。

下面将从群、环和域三个方面展开，对离散数学中的代数结构进行详细介绍。

一、群群是离散数学中的一个基本代数结构，它由三个主要部分组成：集合、运算和满足一定性质的公理。

具体地，一个群G是一个非空集合，也即G={a,b,c,...}，其中的元素a、b、c等叫做群的元素。

除此之外，群还具有一个二元运算，记作"·"，满足以下四个公理：1.封闭性公理：对于群的任意两个元素a、b，它们的乘积c=a·b仍然属于G，即c∈G。

2.结合律公理：对于群的任意三个元素a、b、c，(a·b)·c=a·(b·c)。

3.单位元公理：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a。

4.逆元公理：对于群中任意元素a，存在一个元素b，使得a·b=b·a=e，其中e是群的单位元。

群结构的研究对于解决各类数学问题具有重要意义。

例如，在密码学中，通信双方使用群的运算来实现加密和解密的功能。

二、环环是另一个重要的代数结构，在离散数学中有广泛的应用。

一个环R由一个非空集合以及两个满足一定条件的二元运算分别组成。

对于一个环R={G,+,·}，其中G是一个非空集合，"+"和"·"分别是R上的两个二元运算，满足以下四个公理：1.集合G关于"+"构成一个阿贝尔群，即对于任意的a、b、c∈G，满足以下性质：(a+b)+c=a+(b+c)，存在单位元0，对于任意元素a，有a+0=0+a=a，对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a+(-b)=-b+a=0，且满足交换律性质：a+b=b+a。

离散数学代数系统中的群与域知识梳理

离散数学代数系统中的群与域知识梳理离散数学是研究不连续量的数学分支，而代数系统是离散数学的基础概念之一。

在代数系统中，群与域是两个重要的概念。

本文将对离散数学代数系统中的群与域的相关知识进行梳理。

一、群的定义及性质群是代数系统中一种基本的代数结构，它是一个集合与一个二元运算的组合，满足四个条件：封闭性、结合律、单位元和逆元。

1.1 封闭性在群中的任意两个元素进行运算后，结果仍然属于这个群。

即对于群 G 中任意的 a、b，有 a * b ∈ G。

1.2 结合律在群中进行运算的结果不受运算元素的顺序影响。

即对于群 G 中任意的 a、b、c，有 (a * b) * c = a * (b * c)。

1.3 单位元群中存在一个特殊元素，称为单位元，它与群中的任意元素进行运算后得到这个元素本身。

即对于群 G 中任意的 a，有 a * e = e * a = a，其中 e 是群 G 的单位元。

1.4 逆元对于群 G 中的每个元素 a，群中存在一个元素 b，使得 a * b = b * a = e，其中 e 是群 G 的单位元，并且称元素 b 是元素 a 的逆元，记作 b = a^(-1)。

二、群的例子2.1 整数环（Z，+）整数环是一个群，其中的运算为加法。

整数环满足群的四个条件：封闭性、结合律、单位元和逆元。

例如，对于整数环中的任意两个整数 a、b，其和仍然为整数，满足封闭性；整数的加法满足结合律；0 是整数环的单位元，对于任意整数 a，有 a + 0 = 0 + a = a；对于任意整数 a，存在一个整数 -a，使得 a + (-a) = (-a) + a = 0。

2.2 二进制群（Zn，⊕）二进制群是一个有限集合，其中的运算为模 n 的加法（⊕）。

二进制群也满足群的四个条件：封闭性、结合律、单位元和逆元。

例如，对于二进制群中的任意两个元素 a、b，其模 n 的和仍然在这个群中，满足封闭性；模 n 的加法满足结合律；0 是二进制群的单位元，对于任意元素 a，有 a ⊕ 0 = 0 ⊕ a = a；对于任意元素 a，存在一个元素 b，使得 a ⊕ b = b ⊕ a = 0。

离散数学离散数学第8章 一些特殊的图 PPT课件


在23岁时，他发表了他还是一个17岁的孩子时作出的“奇怪的发 现”，…即《光线系统理论》第一部分，这是一篇伟大的杰作，它对于 光学，就象拉格朗日的《分析力学》之于力学。
哈密尔顿最深刻的悲剧既不是酒精，也不是他的婚姻，而是他顽固地
相信，四元数是解决物质宇宙的数学关键。…从来没有一个伟大的数学
家这样毫无希望地错误过。
2
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(2) 有限面与无限面：面积有限的区域称为有 限面(或内部面)，否则为无限面(或外部面) 。 上图中，面4是无限面。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
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(3) 面的次数等于面边界的边数(注意：悬挂边算2 次)，记为deg(R).
(4) 平面图中面的次数之和等于边数m的两倍，即
d(u)+d(v)≥n-1 则G是半哈密尔顿图。
注意:
此定理条件显然不是必要条件，如n≥6的n边形，对于 任意不相邻的顶点u, v, d(u)+d(v)=4，4<n-1，而n边形显 然有哈密尔顿通路。
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
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哈密尔顿图的充分条件
❖ 设G是n(n≥3)阶无向简单图，若G中 任意不相邻的顶点对u,v均满足： d(u)+d(v)≥n 则G是哈密尔顿图。
a
bc
d
e
f g
h
i j
k
l
ba
d
g
e j
f
l
b
a
c
d
g
j
i
e
h
f
k
7/1/2020 9:05 PM

离散数学 半群和独异点、群与子群

定理 设<S,*>是一个独异点，则在关于运算*的运算表中任何
两行或两列都是不相同的。 证明 设S中关于运算*的幺元是e。因为a,bS且a≠b，总有
e*a=a≠b=e*b 和 a*e=a≠b=b*e 所以，在*的运算表中任何两行或两列都是不相同的。
定理
设<S, * >是独异点，对于任意a,b∈S,且a,b均有逆元，则 1) (a-1)-1=a 2) a * b有逆元，且(a * b)-1=b-1 * a-1
则称代数系统 <S，*>为半群。
例 设集合Sk={x|x ∈I ∧ x≥k}，k≥0，那么<Sk,+>是一个
半群吗？（其中+是普通加法运算） 分析 因为加法运算在Sk上是封闭的，并且该运算可结合，
所以<Sk,+>是一个半群。 注意 若k＜0，则运算+在Sk上是不封闭的。
？ 代数系统<I+,－>是半群吗？<R，/>呢？
定理 设<S，*>是一个半群，如果S是一个有限集，则必有
a∈S，使得a*a=a。
证明
因为<S，*>是一个半群。对于bS ，由*的封闭性可知 b*bS，记b2=b*b b2*b=b*b2S，记b3=b2*b=b*b2
……
由于S是有限集，所以必存在 j>i，使得bi=bj 令p=j－i，有bi=bp*bi，所以对q≥i，有bq=bp*bq 因为p≥1，所以总可以找到k≥1，使得kp≥i 就有bkp= bp*bkp
构成群，则称 <S，*>是<G,*>的一个子群。
定理 设<G,*>是一个群， <S，*>是<G,*>的一个子群，那末， <G,*>中的幺元 e 必定也是<S,*>中的幺元。
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8.1 群及其性质
如果H是G的子群， 1）G的单位元与H的单位元关系？； 2）a∈H， a作为子群H的元素，其逆元？ a作为G的元素，其逆元？
8.1 群及其性质
如果H是G的子群，则容易得到如下结论： 1）若a，b∈H，则ab∈H； 2）G的单位元e也是H的单位元； 3）a∈H，则a-1∈H。 结论1）是由于H在G的运算下满足封闭性，2） 成立是因为：设e为G单位元，e′为H单位元，则在 G中，ee′=e′，在H中有e′=e′e′,于是 ee′=e′e′,从而由群G的消去律有e′=e。 3） 可按2）同样方式得到结论，或按如下方法讨论： 设a∈H在H中的逆元为b，则ab=e，于是，在G中变 换此式可得b=a-1。从而a-1∈H。
8.1 群及其性质
2）由ab=ba有(ab)nm=anmbnm=(an)m(bm)n=e， 于是，可令|ab|=s，且有s|nm。
由(ab)s=e有e=(ab)sn=asnbsn=bsn。
于是m|sn，而(n,m)=1，因此m|s。 同理n|s。 又由(n,m)=1，可得nm|s。 综上得，s=nm。
8.1 群及其性质
进一步，证明G的每一个元素存在逆元。 对任意aG，方程a*x=e有解c，则c即为a的 右逆元。 类似地，a有左逆元。 综上，半群<G; *>存在单位元，且G中每一 个元素可逆， 故G是一个群。
8.1 群及其性质
定理8.1 设<G; *>是一个群， 1）运算*满足消去律； 即对于任意a,b,c∈G， 则有：(1) 若a*b=a*c 则b=c； (2) 若b*a=c*a 则b=c。 2）对于任意a，b∈G，方程a*x=b, y*a=b对于未知量x、 y皆有惟一解；
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第8章 群
Group
群是抽象代数中发展最早、内容最广泛、 应用最充分的一部分，是建立其它代数结构的 基础。 群论的研究起源于对置换群的研究， 随后，发现大多数问题中，重要的不是构成群 的置换本身，而应该是集合在代数运算下的性 质，因而提出了一般群的概念，这扩大了群论 研究的对象与应用，丰富了群论研究的方法。 群论在包括计算机科学在内的自然科学中具有 重要的应用，如组合计数、编码理论、信息安 全等领域。 本章将结合群在计算机科学中的 应用，重点讨论群及其性质。
8.1 群及其性质
例8.3 下面是一些常见数集及其上运算是否构成 群的例子。 1) 整数集Z关于数的加法均构成群，常称为整数 加群。是交换群。
2) 整数集Z对于数的乘法不构成群。
3) 实数集R对普通乘法不能构成群。 4) 但R-{0}对普通乘法构成群。 5) 设S为一集合，则P(S)与集合的对称差运算构 成群，为单位元，任意A∈P(S)的逆元是其 自身。
即对于任意的a,b∈G. 有： (1) 存在唯一元素 x∈G，使得a*x=b； (2) 存在唯一元素 y∈G，使得y*a=b。 3）对于任意a，b∈G，有(a-1)-1=a, (a*b)-1=b-1*a-1
8.1 群及其性质
推论： 设<G;*>是半群， <G;*> 是群↔任意a,bG,方程a*x=b,y*a=b有解
8.1 群及其性质
由于群<G；*>满足结合律， 对任意a∈G可以把n个a的乘积记为an, n∈I+，
还规定，a0 =e。
a-n = (a-1)n, n∈ I+ 。 在群中有： aman=am+n, ama-n=am-n，
(am)n=amn 这里，n,m∈Z。
8.1 群及其性质
练习1 设<G; >是一个群,uG,在G中定义新的运 算*,使得对于任意的a,bG,a*b=a u-1 b,试证明 <G;*>也是一个群。
上述代数结构之间的关系
广群 半群 独异点 群 阿贝尔群
8.1 群及其性质
8.1.1 群及其性质
定义8.1 设<G；*>为代数结构，其中G是一个非空集合， *是G上的一个二元运算，若 1）运算*满足结合律，即a，b，c∈G， (a*b)*c=a*(b*c)， 2）运算*存在单位元e∈G：e*a=a*e=a，a∈G， 3）对任意a∈G，存在逆元a-1∈G，使得a*a-1=a-1*a=e， 则称代数结构<G；*>是一个群(Group)。
8.1 群及其性质
A={1,3,9,7},A上模10乘法*运算表如下
* 1 3 9 7 1 1 3 9 7 3 3 9 7 1 9 9 7 1 3 7 7 1 3 9
<A,*>是群
31=3， 32=9， 33=7， 34=1， 71=7， 72=9， 73=3， 74=1， 91=9， 92=1， 93=9， 94=1， 11=1， 12=1， 13=1， 14=1，
4个元素的阶是多少？
8.1 群及其性质
定理8.2 设a是群<G；*>中的一个阶为r的元素， k是一个整数，则有 1）ak=e当且仅当r|k； 2）a与a-1的阶相同； 3）r小于或等于群<G；*>中元素的个数。
8.1 群及其性质
例 8.6 证 明 ： 若 群 G 中 元 素 a 的 阶 是 n ， 则 H ={a0,a1,a2,„,an-1}为群。 证明 0)首先注意到，H显然非空,H中任意n个元素是互 异的，且运算封闭。 1）显然群G上的运算在H上满足结合律。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8.3 陪集与拉格朗日定理
8.4 正规子群与群同态基本定理
8.5 群在计算机科学中的应用
代数结构
半群 独异点 循环独异点
广群
结合律？ 单位元？ gA, s.t. aA, 有 a=gm (m N)
子半群、子独异点
i) 存在单位元e ii)G中每个元素存在逆元
群(Group)
交换律？
子群 Abel群 循环群(Cyclic group)
8.1 群及其性质
练习2 设有群〈Z6；6〉,其中Z6={0,1,2,3,4,5}, 6是模6加法,试求出群〈Z6；6〉的阶和群中每 一元素的周期。
8.1 群及其性质
8.1.3 子群 定义8.3 群G的非空子集H如果对于G的运算也成 一个群，则称H为G的子群(Subgroup)。 如果|G|>1，群G的两个平凡子群： {e}（以后常记为e）， 另一个是G自身， 其它子群，则被称为非平凡子群或真子群。
8.1 群及其性质
3) 每个元素存在逆元： 对于任意a∈S,
若 a*b=0 即 a+b+ab=0, b=(-a)/(1+a) ∈ S ， 即 有a*(-a)/(1+a)=0
又(-a)/(1+a)*a=(-a)/(1+a)+a+(-a)·a/(1+a) –a(1+a)/(1+a)+a=0 故(-a)/(1+a)为a之逆元。 综上知<S；*>是群。
对于群<G；*>任意的二元素a，b∈G，均有a*b=b*a， 则称<G；*>为交换群或称为阿贝尔群(Abel)。
8.1 群及其性质
群是抽象代数中具有简单的二元运算的代数 结构，有时为了方便，在不致混淆的情况下，也 常把群的代数运算称作“乘法”，且把a*b简记 为ab。 另外，也常用G来表示群<G；*>。 如果一个群只包含有限个元素，则称为有限 群，否则称为无限群。 若有限群G的元素个数为 n，则称n为群G的阶，并记为|G|=n。 无限群的 阶称为无限。
B={0,1,2,3,4,5},B上模6乘法*运算表如下
* 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 4 3 0 3 0 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1
3
4
0
0
3
4
0
2
3
0
5
0
5
4
3
<B,*>不是群,?
8.1 群及其性质
例8.4 设<G;*>是半群，若任意a,bG，方程a*x=b， y*a=b有解，则称<G;*>是可解的，试证明：此可 解半群<G;*>是群。 证明 首先证G有单位元。 根据题意， 给定aG,方程a*x=a（aG）有解。 设它的一个解为eG，则有a*e=a。 对于任意bG，方程y*a=b有解，设解为c，则有 c*a=b。 于是，b*e=(c*a)*e=c*(a*e)=c*a=b。因此e为G的 右单位元。 类似地，G有左单位元 。 所以，G存在单位元，不妨设为e。
8.1 群及其性质
8.1.2 群中元素的阶 定义8.2 设a为群G的一个元素，使an=e 的最小正整数n，称为元素a的阶（Order, 或周 期）。若这样的n不存在，则称元素a的阶为无限， 常记为∞。元素a的阶常用|a|表示。 根据定义，易知，单位元的阶为1，其它元 素的阶均大于1。在群<Z;+>中，0的阶为1，其它 元素的阶皆是无限的。R-{0}对普通乘法构成群 中，1的阶为1，-1的阶为2，其它元素的阶均为 无限。
以人造卫星仪器舱布局为例，如何求解全局最 优的一种布局方案？ 可以应用图论、群对集合的作用、轨道与等价 关系等刻划各种布局方案的同构、等价类等内 在性质，从而找出一种全局优化算法。 简化为着色问题
主要内容
1 群（群性质、子群） 2 群同态定理（正规子群、商群）
8.1 群及其性质 8.2 置换群与循环群
8.1 群及其性质
B={0,1,2,3},B上模4加法+运算表如下
+
0 0
1
1
2
2
3
3
0 1
2 3
1
2 3
2
3 0
3
0 1
0
1 2
<B,+>是群 A={1,3,9,7},A上模10乘法*运算表如下