苏教版数学中考总复习[中考总复习：锐角三角函数综合复习--重点题型巩固练习](基础)

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的Ca b记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．要点二、特殊角的三角函数值(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A．2 B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【课程名称：锐角三角函数395948：例1（1）-（2）】【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．a【答案】c = 5 ，sinA = 35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟） sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模） +tan60°﹣．【答案与解析】 解：（1）原式==12(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+3；(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【课程名称： 锐角三角函数 395948 ：例1（3）-（4）】 【变式】在Rt ΔABC 中，∠C =90°，若∠A=45°，则∠B = ，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=，cosA=，sinB=cosB=．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．【答案与解析】连结AC，∵ AB是⊙O的直径，∴∠ACP＝90°，又∵∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴△PCD∽△PAB，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ，∴ 4AC a ==，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，BD ==，∴ sadA BD AD == 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。

——教学资料参考参考范本——江苏省中考数学第一部分考点研究复习第四章三角形第23课时锐角三角函数及其应用真题精选含解析______年______月______日____________________部门第23课时锐角三角函数及其应用江苏近4年中考真题精选命题点1 锐角三角函数(20xx年6次，2015年5次，20xx年6次，20xx年7次)1. (20xx无锡7题3分)sin30°的值为( )A. B. C. D. 332. (20xx南通6题3分)如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tanα的值是( )A. B. C. D. 2第2题图第3题图3. (20xx宿迁4题3分)如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是( )A. B. C. D. 313134. (20xx徐州14题3分)若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm，则它的底边长为______ cm.5. (20xx南通14题3分)如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则cosA＝________．第5题图6. (20xx连云港25题10分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝.(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．(精确到0.1.参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2)第6题图命题点2 (20xx年8次，20xx年7次，2014年10次，20xx年7次) 7. (20xx苏州10题3分)如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2 km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( )A. 4 kmB. (2＋) kmC. 2 kmD. (4－) km第7题图8. (20xx宿迁22题6分)如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C三点在一条直线上，从点A处测得楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5°，已知旗杆DE的高度为12米，试求楼房CB的高度．(参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80)第8题图9. (20xx淮安24题8分)为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度，如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24 m，∠BAC＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．(结果取整数，参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)第9题图10. (20xx南京23题8分)如图，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′.求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)第10题图11. (20xx淮安24题8分)小华想测量位于池塘两端的A、B两点的距离，他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝60°，若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．第11题图12. (20xx盐城26题10分)如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF，经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA＝90°，且BC ＝1.5 m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC＝30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD＝60°，又测得AD＝1 m，请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度．第12题图13. (20xx南京22题8分)已知不等臂跷跷板AB长4 m．如图①，当AB的一端A碰到地面时，AB与地面的夹角为α；如图②，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β.求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH.(用含α、β的式子表示)第13题图14. (20xx泰州22题10分)图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6 m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8 m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h(精确到0.1 m)．(参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)第14题图15. (20xx盐城25题10分)如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米．现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳(取1.73)．(1)求楼房的高度约为多少米？(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫还能否晒到太阳？请说明理由．第15题图16. (20xx徐州25题8分)如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100 km的点B处，再航行至位于点B 的北偏东75°且与点B相距200 km的点C处．(1)求点C与点A的距离．(精确到1 km)(2)确定点C相对于点A的方向．(参考数据：≈1.414，≈1.732)第16题图17. (20xx宿迁23题8分)如图是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD ∥EF，AM∥BC∥DE，AB＝CD＝EF，∠AMF＝90°，∠BAM＝30°，AB＝6 m，(1)求FM的长；(2)连接AF，若sin∠FAM＝，求AM的长．第17题图答案1. A 【解析】根据特殊角的三角函数值计算即可．sin30°＝.2. C 【解析】令(2，1)为点B，如解图，过点B作BC⊥x轴于点C，tanα＝＝.第2题解图3. B 【解析】由图可得tan∠AOB＝.4. 2 【解析】如解图，由已知得，∠B＝∠C＝(180°－120°)＝30°，AB＝2，∴BC＝2BD＝2AB·cos30°＝2.第4题解图5. 【解析】∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝2，∴AB＝4，∴cosA＝＝.6. 解：(1)如解图①，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，第6题解图①∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝2，CD＝AC×cos30°＝4×＝2，∵在Rt△ABD中，tanB＝＝，∴＝，∴BC＝16－2；(2)如解图②，在CB上截取CE＝CA＝4，则∠CEA＝∠CAE＝∠ACD＝15°，第6题解图②∴tan15°＝＝＝＝2－≈0.3.7. B 【解析】如解图，过点B作BE⊥AD交AC于点E.则BE＝AB＝2，AE＝2；∠AEB＝∠EBC＋∠ECB，∵∠AEB＝45°，∠EBC＝22.5°，∴∠ECB＝22.5°，∴CE＝BE＝2，所以AC＝2＋2，所以CD＝(2＋) km.第7题解图8. 解：在Rt△ADE中，∵tan22°＝，∴AD＝≈＝30，在Rt△BCD中，设BC＝x，则CD＝≈＝x，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，解得x＝24.答：楼房CB的高度约为24米．9. 解：如解图，过B点作BD⊥AC于点D.第9题解图∵∠ACB＝45°，∠BAC＝66.5°，∴在Rt△ADB中，AD＝，在Rt△CDB中，CD＝BD，∵AC＝AD＋CD＝24，∴＋BD＝24，解得BD≈17，∴AB＝≈18，答：这棵古杉树AB的长度大约为18 m．10. 解：设梯子的长为x m.在Rt△ABO中，cos∠ABO＝，∴OB＝AB·cos∠ABO＝x·cos 60°＝x，在Rt△CDO中，cos∠CDO＝，∴OD＝CD·cos∠CDO＝x·cos 51°18′≈0.625x，∵BD＝OD－OB，∴0.625x－x＝1，解得x＝8.答：梯子的长约为8 m．11. 解：如解图，过点A作AG⊥EF于点G，过点B作BH⊥EF于点H，第11题解图由题意可知，CD＝100米，AG＝BH＝60米，∠ACF＝45°，∠BDH＝60°.在Rt△ACG中，AG＝60，∠ACF＝45°，∴CG＝60.在Rt△BDH中，BH＝60，∠BDH＝60°，∴tan60°＝，∴＝，∴DH＝20，∴AB＝CD＋DH－CG＝100＋20－60＝40＋20.答：AB两点之间的距离为(40＋20)米．12. 解：如解图，过点B作BH⊥EF于点H，第12题解图∴四边形BCFH为矩形，BC＝HF＝1.5 m，∠HBA＝∠BAC＝30°，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝1.5 m，∴AB＝3 m，∵AD＝1 m，∴BD＝2 m，在Rt△EDB中，∵∠EBD＝60°，∴∠BED＝90°－60°＝30°，∴EB＝2BD＝2×2＝4 m，又∵∠HBA＝∠BAC＝30°，∴∠EBH＝∠EBD－∠HBD＝30°，∴EH＝EB＝2 m，∴EF＝EH＋HF＝2＋1.5＝3.5 m.答：该支架的边BE为4 m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5 m．13. 解：在Rt△AHO中，sinα＝，∴OA＝，在Rt△BHO中，sinβ＝，∴OB＝，∵AB＝4，∴OA＋OB＝4，即＋＝4，∴OH＝ m．14. 解：如解图，过C点作FG⊥AB于点F，交DE于点G.第14题解图∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD＝80°，∴∠ACF＝∠FCD－∠ACD＝90°＋12°－80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC·sin∠CAF＝0.8·sin68°≈0.744 m，在Rt△CDG中，CG＝CD·sin∠CDE＝1.6·sin12°≈0.336 m，∴FG＝FC＋CG≈1.1 m.答：跑步机手柄的一端A的高度h约为1.1 m．15. 解：(1)在Rt△AEB中，∠A＝90°，∠α＝60°，AE＝10，∴AB＝AE·tan60°＝10×≈17.3.答：楼房的高约为17.3米；(2)当α＝45°时，小猫仍然能晒到太阳．第15题解图理由如下：假设没有台阶，如解图，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F，与MC的交点为H.∵∠BFA＝∠ABF＝45°，∴BA＝AF，此时影长AF＝BA＝17.3，∴CF＝AF－AC＝17.3－17.2＝0.1＜0.2，∴CH＝CF＝0.1，则大楼影子落在台阶MC这个侧面上．∴小猫仍然能晒到太阳．16. 解：(1)如解图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ABC＝75°－15°＝60°，第16题解图在Rt△ABD中，∵∠ABC＝60°，AB＝100 km，∴BD＝50 km，AD＝50 km，∴CD＝BC－BD＝200－50＝150 km，在Rt△ACD中， AC＝＝100≈173 km.答：点C与点A的距离约为173 km；(2)在△ABC中，∵AB2＋AC2＝1002＋(100)2＝40000，BC2＝2002＝40000，∴在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°.答：点C位于点A的南偏东75°方向．17. 解：(1)如解图，分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N，DG⊥BC延长线于点G，FH⊥DE延长线于点H，第17题解图在Rt△ABN中，∵AB＝6 m，∠BAM＝30°，∴BN＝AB·sin∠BAN＝6×＝3 m，∵AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB＝CD＝EF，同理可得：DG＝FH＝3 m，∴FM＝FH＋DG＋BN＝9 m．(2)在Rt△FAM中，∵FM＝9 m，sin∠FAM＝，∴AF＝＝27 m，∴AM＝＝18 m.即AM的长为18 m．。

2011南京中考数学总复习：锐角三角函数【例1——特殊的锐角三角函数值】填写表格:45sin a cos a tan a【反馈】①已知/ A 是锐角，且sinA= 艾，那么90。

一z A 等于 ②当锐角a >30°时，贝U cos a 的值是()【例2——与三角形的有关计算】已知 Rt △ ABC 中，Z C=90° , tanA=4 , BC=8则AC 等于3 1【反馈】①如图，在等腰 Rt △ ABg, / C=90o , AC=6, D 是AC 上一点，若tan / DBA 己，5则AD 的长为 .②在△ ABC 中，Z A=75° , Z B=60° , AB=2』2，贝U AC=. 【例3 --- 锐角三角函数之间的关系】若 sin28 ° =cos a ,贝U a =. 【反馈】①直角三角形两锐角的正切函数的积为 .② 在 Rt △ ABC 中，/ C=90° ,若 sinA 是方程 5x2-14x+8=0 的一个根，贝U sin A ___________tan A .③ tan2 ° - tan4 ° - tan6 ° - • tan88°【例4 --- 锐角三角函数的计算】 sin 230° +cos 245° + J2 sin60 ° - tan45 °A.大于B.小于一2 D.小于-3 2B. 32C. 10D. 12 22【反馈】① 2cos60 °—（2009 —兀0 +s/92 ^.2 a ...②先化简.再求代数式的值. （——+ —）+——其中a= tan60 —2sin30a 1 a2 _1 a -15 ...... …【例5——解直角二角形】在^ ABC中，90 , BO 24cm, cosA =—,求这个二角形13的周长.【反馈】已知：如图，在RtA ABC中，E C =90 =, AC=J3 .点D为BC边上一点，且BD=2AD , 2ADC =60。

专题15 锐角三角函数及应用学校：___________姓名：___________班级：___________1.【江苏省无锡市2015年中考数学试题】tan45º的值为( )A ．12B ．1C ．22D ． 2 【答案】B.【解析】根据特殊角的三角函数值可得tan45º=1，故选B.【考点定位】特殊角的三角函数值.2.【江苏省南通市海安县2015届九年级上学期期末考试数学试题】如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB 的值是（ ）A ． 12B ．2C ．5D ．5【答案】C ．【考点定位】锐角三角函数的定义．3.【江苏省扬州市2015年中考数学试题】如图，若锐角△ABC 内接于⊙O ,点D 在⊙O 外（与点C 在AB 同侧）， 则下列三个结论：①D C ∠>∠sin sin ；②D C ∠>∠cos cos ；③D C ∠>∠tan tan 中，正确的结论为( )A 、①②B 、②③C 、①②③D 、①③【答案】D【考点定位】锐角三角函数，圆周角定理.4.【江苏省南通市海安县2015届九年级上学期期末考试数学试题】苏中七战七捷纪念馆位于江苏海安县城中心，馆内纪念碑碑身造型似一把刺刀矗立在广袤的苏中大地上，堪称世界之最，被誉为“天下第一刺刀”．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测纪念碑碑身的高度AB ，小明在D 处用高1.5m 测角仪CD ，测得纪念碑碑身顶端A 的仰角为30°，然后向纪念碑碑身前进20m 到达E 处，又测得纪念碑碑身顶端A 的仰角为45°，已知纪念碑碑身下面的底座高度BH 为1.8m ．则纪念碑碑身的高度AB 为（ ）m （结果1.414≈ 1.732≈2.236≈）A ．27B ．16C ．37D ．15【答案】A ．故选A.【考点定位】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.5.【江苏省南京市鼓楼区2015届九年级下学期中考二模考试数学试题】如图，方格纸中有三个格点A 、B 、C ，则sin ∠ABC= ．【答案】145． 【解析】首先过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接AC ，进而结合S △A BC 得出AD 的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．如图所示：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接AC ，∵S △ABC =20-12×2×5-12×2×4-12×1×4=9，S △ABC =12×BC ×AD=9，∴12×A D=9，解得：AD=5故sin∠ABC=145ADAB==．故答案为：145.【考点定位】1.勾股定理；2.锐角三角函数的定义．6.【江苏省苏州市区2015届九年级下学期中考数学一模试题】如图，一侧面为矩形的建筑物ABCD，AP为建筑物上一灯杆（垂直于地面），夜晚灯杆顶端灯亮时，EH段是建筑物在斜坡EF上的影子．己知BC=8米，AP=12米，CE=6米，斜坡EF的坡角∠FEG=30°，EH=4米，且B，C，E，G在同一水平线上，题中涉及的各点均在同一平面内，建筑物的高度AB为米（结果保留根号）．【答案】．【解析】作HM⊥BG于点M，延长DH交BG于点N，首先在直角三角形EMH中求得HM、EM的长，然后求得MN 的长，最后利用三角形相似求得DC的长即可求得建筑物的高．作HM⊥BG于点M，延长DH交BG于点N，【考点定位】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．7.【江苏省苏州市区2015届九年级下学期中考数学一模试题】如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接AE，则sin∠AED= ．【答案】.5【解析】过A点作AG⊥ED，根据等腰直角三角形的性质得出AG和EG的长度，再根据勾股定理得出AE的长度，最后利用三角函数解答即可．过A点作AG⊥ED，如图：【考点定位】1.正方形的性质；2.等腰直角三角形；3.解直角三角形．8.【江苏省江阴市华士实验中学2015届九年级下学期期中考试数学试题】如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）. 的点C处.则点C与点A的距离约为 km（精确到1km）【答案】173km.【考点定位】解直角三角形的应用（方向角问题）；特殊角的三角函数值；勾股定理和逆定理．9.【江苏省苏州市吴中、相城、吴江区2015届九年级中考一模数学试题】某研究性学习小组，为了测量某池塘边A、B两点间的距离，让一架航模在直线AB的正上方24米的高度飞行，当航模位于点D处时，在A 点处测得航模仰角为60°，5分钟后，当航模在点C处时，在B点测得航模仰角为45°，己知航模飞行的速度为每分钟45米，试计算A、B两点的距离．（结果精确到0.1．）【答案】A、B两点的距离214.8米．【解析】试题解析：如图所示，作DM ⊥AB 于M ，BN ⊥CD 于N ，则DM=BN=24米，在Rt △ADM 中，由题意∠DAM=60°，∴AM=24 60tan 在Rt △BNC 中，由题意∠NCB=45°，∴DN=DC-NC=45×5-24=201米，∴米，答：A 、B 两点的距离214.8米．【考点定位】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．10.【江苏省南京市2015年中考数学试题】如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C 处，测得∠CAO =45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km /h 和36km /h ，经过0.1h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 处，测得∠DBO =58°，此时B 处距离码头O 多远？（参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1，60）【答案】13.5km ．【解析】试题分析：设B 处距离码头Oxkm ，分别在Rt △CAO 和Rt △DBO 中，根据三角函数求得CO 和DO ，再利用DC =DO ﹣CO ，得出x 的值即可．试题解析：设B 处距离码头Oxkm ，【考点定位】解直角三角形的应用．。

考点综合专题：锐角三角函数与其他知识的综合——代几结合，掌握中考风向标 ◆类型一 锐角三角函数与四边形的综合1．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为( )A ．3 B.163 C.203 D.165第1题图第2题图2．(2016·宝山区一模)如图，菱形ABCD 的边长为10，sin∠BAC ＝35，则对角线AC 的长为________．3．(2016·福州中考)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O )为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan∠ABC 的值是________．第3题图第4题图4．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，tan A ＝43，则CD ＝________．5．(2016·菏泽中考)如图，在正方形ABCD 外作等腰直角△CDE ，DE ＝CE ，连接BE ，则tan∠EBC ＝________．第5题图第6题图6．(2016·东营中考)如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE ＝55cm ，且tan∠EFC ＝34，那么矩形ABCD 的周长为________cm.7．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 于点E .(1)求证：∠BAM ＝∠AEF ；(2)若AB ＝4，AD ＝6，cos∠BAM ＝45，求DE 的长．8．(2016·杭州中考)如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H .(1)求sin∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．◆类型二 锐角三角函数与其他函数的综合9．如图，直线y ＝34x ＋3与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，则cos∠BAO 的值是( )A.45B.35C.43D.54第9题图第10题图10．(2016·海曙区一模)如图，P (12，a )在反比例函数y ＝60x图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan∠POH 的值为________．◆类型三 锐角三角函数与圆的综合11．(2016·衢州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin E 的值为( )A.12B.22C.32D.33第11题图第12题图12．(2016·颍泉区二模)如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，若BC ＝10，cos∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 313．(2016·贵阳中考)如图，已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2cm ，则tan∠OPA 的值是________．第13题图第14题图14．如图，圆O 的直径AB ＝8，AC ＝3CB ，过C 作AB 的垂线交圆O 于M ，N 两点，连接MB ，则∠MBA 的余弦值为________．15．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径是4，sin B ＝14，则线段AC 的长为________．16．(2016·温州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连接EF .(1)求证：∠1＝∠F ； (2)若sin B ＝55，EF ＝25，求CD 的长．17．如图，AB 为⊙O 的直径，CO ⊥AB 于O ，D 在⊙O 上，连接BD ，CD ，延长CD 与AB 的延长线交于E ，F 在BE 上，且FD ＝FE .(1)求证：FD 是⊙O 的切线；(2)若AF ＝8，tan∠BDF ＝14，求EF 的长．考点综合专题：锐角三角函数与其他知识的综合1．B 解析：由题意可得AB ＝CD ＝4，∠ADE ＝∠ACD ＝α.在Rt△ADC 中，cos∠ACD ＝cos α＝CD AC ＝35，即4AC ＝35，∴AC ＝203.根据勾股定理得AD ＝AC 2－CD 2＝163.2．163.32解析：如图，连接EA ，EC ，设菱形的边长为a ，由题意得∠AEF ＝30°，∠BEF ＝60°，AE ＝3a ，EB ＝2a ，∴∠AEB ＝90°，∴tan∠ABC ＝AE BE ＝3a 2a ＝32.4.65 解析：延长AD 和BC 交于点E .∵在Rt△ABE 中，tan A ＝BE AB ＝43，AB ＝3，∴BE ＝4，∴EC ＝BE －BC ＝4－2＝2.∵在△ABE 和△CDE 中，∠B ＝∠EDC ＝90°，∠E ＝∠E ，∴∠DCE＝∠A ，∴Rt△CDE 中，tan∠DCE ＝tan A ＝DE DC ＝43，∴设DE ＝4x ，则DC ＝3x .在Rt△CDE 中，EC 2＝DE 2＋DC 2，∴4＝16x 2＋9x 2，解得x ＝25，则CD ＝65.5.13 解析：作EF ⊥BC 于F ，设DE ＝CE ＝a .∵△CDE 为等腰直角三角形，∴CD ＝2CE ＝2a ，∠DCE ＝45°.∵四边形ABCD 为正方形，∴CB ＝CD ＝2a ，∠BCD ＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△CEF 为等腰直角三角形，∴CF ＝EF ＝22CE ＝22a .∴BF ＝BC ＋CF ＝322a .在Rt△BEF 中，tan∠EBF ＝EF BF ＝13，即tan∠EBC ＝13.6．36 解析：∵tan∠EFC ＝34，∴设CE ＝3k ，则CF ＝4k ，由勾股定理得EF ＝DE ＝5k ，∴DC ＝AB ＝8k .由题意可得∠B ＝∠AFE ＝90°，∴∠AFB ＋∠BAF ＝90°，∠AFB ＋∠EFC ＝90°，∴∠BAF ＝∠EFC ，∴tan∠BAF ＝tan∠EFC ＝34，∴BF ＝6k ，AF ＝BC ＝AD ＝10k .在Rt△AFE中，由勾股定理得AE 2＝AF 2＋EF 2，即(55)2＝(10k )2＋(5k )2，解得k ＝1，故矩形ABCD 的周长为2(AB ＋BC )＝2(8k ＋10k )＝36k ＝36×1＝36(cm)．7．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠BAC ＝90°.∵EF ⊥AM ，∴∠AFE ＝90°，∴∠EAF ＋∠BAM ＝∠EAF ＋∠AEF ＝90°，∴∠BAM ＝∠AEF ；(2)解：在Rt△ABM 中，∵∠B ＝90°，AB ＝4，cos∠BAM ＝45，∴AM ＝5.∵F 为AM 的中点，∴AF ＝52.∵∠BAM ＝∠AEF ，∴cos∠BAM ＝cos∠AEF ＝45.∴sin∠AEF ＝35.在Rt△AEF 中，∵∠AFE ＝90°，AF ＝52，sin∠AEF ＝35，∴AE ＝256.∴DE ＝AD －AE ＝6－256＝116.8．解：(1)作EM ⊥AC 于M .∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC ＝90°，AD ＝DC ＝3，∠DCA ＝45°.在Rt△ADE 中，∵∠ADE ＝90°，AD ＝3，DE ＝1，∴AE ＝AD 2＋DE 2＝10.在Rt△EMC 中，∵∠EMC ＝90°，∠ECM ＝45°，EC ＝2，∴EM ＝CM ＝2.∴在Rt△AEM 中，sin∠EAM ＝EM AE＝210＝55； (2)在△GDC 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ，∠GDC ＝∠EDA ，DC ＝DA ，∴△GDC ≌△EDA ，∴∠GCD ＝∠EAD ，GC ＝AE＝10.又∵∠AED ＝∠CEH ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°，∴AH ⊥GC .∵S △AGC ＝12AG ·DC ＝12GC ·AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ，∴AH ＝6510. 9．A 10.51211.A12．D 解析：过B 作BF ⊥DE 于F .在Rt△CBD 中，∵BC ＝10，cos∠BCD ＝35，∴BD ＝8.在Rt△BCE 中，∵BC ＝10，∠BCE ＝30°，∴BE ＝5.在Rt△BDF 中，∵∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8，∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt△BEF 中，∵∠BEF ＝∠BCD ，即cos∠BEF ＝cos∠BCD＝35，BE ＝5，∴EF ＝BE ·cos∠BEF ＝3.∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 13.5314.12 解析：连接OM .∵AB ＝8，AC ＝3CB ，∴OC ＝14AB ＝2，∴在Rt△OCM 中，OC ＝12OM ，∴∠MOC ＝60°，∴△MOB 为等边三角形，∴∠MBA ＝60°，∴cos∠MBA ＝12.15．2 解析：连接CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∵∠D ＝∠B ，∴sin D ＝sin B ＝14.在Rt△ACD 中，∵sin D ＝AC AD ＝14，∴AC ＝14AD ＝14×8＝2. 16．(1)证明：连接DE .∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DEB ＝90°.又∵E 是AB 的中点，∴DE 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠1＝∠B .∵∠B ＝∠F ，∴∠1＝∠F ；(2)解：∵∠1＝∠F ，∴AE ＝EF ＝25，∴AB ＝2AE ＝4 5.在Rt△ABC 中，∵AC ＝AB ·sin B ＝4，∴BC ＝AB 2－AC 2＝8.设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x .在Rt△ACD 中，∵AC 2＋CD 2＝AD 2，即42＋x 2＝(8－x )2，∴x ＝3，即CD ＝3.17．(1)证明：连接OD .∵CO ⊥AB ，∴∠E ＋∠C ＝90°.∵FE ＝FD ，OD ＝OC ，∴∠E ＝∠FDE ，∠C ＝∠ODC ，∴∠FDE ＋∠ODC ＝90°，∴∠ODF ＝90°，∴OD ⊥DF ，∴FD 是⊙O 的切线；(2)解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠A ＋∠ABD ＝90°.∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠A ＋∠ODB ＝90°.∵∠BDF ＋∠ODB ＝90°，∴∠A ＝∠BDF .而∠DFB ＝∠AFD ，∴△FBD ∽△FDA ，∴DF AF ＝BD AD .在Rt△ABD 中，tan A ＝tan∠BDF ＝BD AD ＝14，∴DF 8＝14，∴DF ＝2，∴EF ＝2.。

锐角三角函数的实际应用巩固集训1。

（2014盐城)盐城电视塔是我市标志性建筑之一，如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB.小明在D处用高1。

5 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°,然后向电视塔前进224 m到达E处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°，求电视塔的高度AB。

(错误!取1。

73。

结果精确到0.1 m）第1题图2. (2017原创）如图,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内,与地面的夹角∠BPC为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5 m，窗户的高度AF为2.5 m．求窗外遮阳篷外端一点D到教室窗户上端的距离AD。

(参考数据：错误!≈1.73，结果精确0.1 m）第2题图3。

（2015河南)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据:sin48°≈0。

74，cos48°≈0.67，tan48°≈1。

11，错误!≈1.73)第3题图4。

（2015义乌)如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°. (1)求∠BPQ的度数；(2）求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m）．备用数据：3≈1.7，错误!≈1。

4.第4题图5。

（2016遵义）某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB的长为 3 m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6 m(踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m，成人的“安全高度”为2 m．(计算结果精确到0。

—第一学期初三数学期终复习要点四第7章 锐角三角函数知识点：锐角三角函数（正切、正弦、余弦），特殊角的三角函数，由三角形值求锐角，解直角三角形，用锐角三角函数解决问题。

典型例题：例1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，∠B =30°，则AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．3 例2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 可以表示为A ．a 2＋b 2B ．a ⋅cos B ＋b ⋅cos AC ．a ⋅sin B ＋b ⋅sin AD ．sin sin a b A B+ 例3．在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，CD ⊥AB ，AC =8，AB =10，则tan ∠ACD= ． 例4．计算：()102cos601212-+︒⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 例5．如图，为了测量旗竿CD 的高度，在平地上选择点A ，用测角仪测得旗竿顶D 的仰角为30°，再在A 、C 之间选择一点B （A 、B 、C 三点在同一直线上）进行测量，已知AB =40m ．(1)若测得∠DBC =60°，则CD = m ；(2)若测得∠DBC =75°，求旗竿CD 的高度（以上结果均保留根号）．例6．如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，OC ⊙OB ，连接AB 交OC 于点D ．(1)求证：AC ＝CD ； (2)如果OD ＝1，tan ⊙OCA ＝，求AC 的长．52A C B（第1题） A B C D 30°当堂练习：1．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列等式一定能成立的有（ ）A ．sinA ＝sinB B ．a ＝c ．sinBC ．sin 2A ＋cos 2B ＝1D ．sin A ＝tanA ．cosA2．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2， sinA 35=，则弦AB 的长为（ ） A ．45 B ．213 C ．4 D ．25 （第2题）（第3题）3．如图，在顶角为30°的等腰△ABC 中，AB ＝AC ，若过点C 作CD ⊥AB 于点D ．根据图形计算tan ∠BCD ＝ ．4．计算：2cos30° － tan45°－()21tan 60+︒．5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20．(1)求BC 的长；(2)求BCD ABCS S ∆∆的值．6. 小美和同学一起到游乐场游玩．游乐场的大型摩天轮的半径为20 m ，匀速旋转1周需要12 min ．小美乘坐最底部的车厢(离地面约0.5 m)开始1周的观光，请回答下列问题：（参考数据：≈1.414，3≈1.732）(1)1.5min 后小美离地面的高度是 ▲ m ；(精确到0.1m)(2)摩天轮启动多长时间后，小美离地面的高度将首次达到10.5 m?(3)摩天轮转动一周，小美在离地面10.5m 以上的空中有多长时间？ 2课后作业：1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值为（）A．34B．43C．35D．45（第1题）（第2题）2. （•鄂州）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将⊙ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin⊙ECF=（）A．B．C．D．3．计算：－222cos60°＋1 13-⎛⎫⎪⎝⎭4. 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．求教学楼AB的高度．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）5. （•鄂州）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB= 。

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—巩固练习【巩固练习】一、选择题1. （2016•乐山）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2.（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3. 已知锐角α满足sin25°＝cos α，则α＝( )A ．25°B ．55°C ．65°D ．75°4．如图所示，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为 ( )A ．12B ．34C ．45第4题 第5题5．如图，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sinB 的值是( )A B C D 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值( )A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．扩大4倍D ．不变7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC ＝30cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC BC 的长为( )A ．cmB ．．．第7题 第8题8. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若AC ，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A ．3B ．3C ．2D ． 23二、填空题9．（2016•临夏州）如图，点A （3，t ）在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α=，则t 的值是 ．10. 用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20° (2)tan18°________tan21°11．在△ABC 中，若2sin cos 0A B ⎫-+-=⎪⎪⎝⎭，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数为 . 12．如图所示，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA ＝________．13．已知：正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点，若DP ＝1，则tan ∠BPC 的值是________．第12题 第15题14．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 的最小角为A ，那么tanA 的值为________．15．如图所示，△ABC 的内心在y 轴上，点C 的坐标为(2，0)，点B 的坐标是(0，2)，直线AC 的解析式为112y x =-，则tanA 的值是________． 16.（2014•高港区二模）若α为锐角，且，则m 的取值范围是 ．三、解答题17．如图所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，且∠BCD ＝30°，求∠CDA 的正弦值、余弦值和正切值．18. 计算下列各式的值．(1) （2015•普陀区一模）；(2) （2015•常州模拟）sin45°+tan45°﹣2cos60°． (3) （2015•奉贤区一模）﹣cos60°．19．如图所示，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE ＝BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ．(1)求证：AB ＝DF ；(2)若AD ＝10，AB ＝6，求tan ∠EDF 的值．20. 如图所示，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B 、C 两点除外)．(1)求∠BAC 的度数；(2)求△ABC 面积的最大值．(参考数据：sin 602=°，cos302=°，tan 303=°．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C.【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，sinB=， ∵AD ⊥BC ，∴sinB=，sinB=sin ∠DAC=， 综上，只有C 不正确故选：C ．2.【答案】D ；【解析】如图：由勾股定理得，AC=，AB=2，BC=，∴△ABC 为直角三角形， ∴tan∠B==， 故选：D ．3. 【答案】C ；【解析】由互余角的三角函数关系，cos sin(90)αα=-°，∴ sin25°-sin(90°-α)，即90°-α＝25°，∴ α＝65°．4.【答案】C ；【解析】设⊙A 交x 轴于另一点D ，连接CD ，根据已知可以得到OC ＝5，CD ＝10，∴ OD == ∠OBC ＝∠ODC ，∴ cos OB cos 102OD C ODC CD ∠=∠===．5.【答案】D ；【解析】如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°，又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD ，∴ BD ＝BA+AD ＝5，在Rt △BCD 中，BC ===∴ sin 14CD B BC ===．6.【答案】D ； 【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关．7.【答案】C ；【解析】由tan BC BAC AC ∠==，∴ 30BC AC ===8. 【答案】A ；【解析】 ∵ 3AB =，∴ sin sin 3AC ACD B AB ∠=∠==二、填空题9.【答案】．【解析】过点A 作AB ⊥x 轴于B ，∵点A （3，t ）在第一象限，∴AB=t ，OB=3，又∵tan α===， ∴t=． 故答案为：．10.【答案】(1)＜； (2)＜；【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴ cos50°＜cos20°；当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴ tan18°＜tan21°．11．【答案】105°；【解析】∵ 2sin cos 0A B ⎫+-=⎪⎪⎝⎭，∴ sin 02A -=cos 0B -=即sin 2A =，cos B =又∵ ∠A 、∠B 均为锐角，∴ ∠A ＝45°，∠B ＝30°，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C ＝180°，∴ ∠C ＝105°．12．【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C 点向AB 所在直线作垂线CH ．垂足为H ，则∠A 在直角△ACH 中，利用勾股定理得AC ==∴sin 5CH A AC ===． 13．【答案】2或23【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P 是直线CD 上一点，所以点P 既可以在边CD 上，也可以在CD 的延长线上，当P 在边CD 上时，tan 2BC BPC PC ∠==；当P 在CD 延长线上时，2tan 3BC BPC PC ∠==．14．【答案】13或4； 【解析】由2430x x -+=得11x =，23x =，①当3为直角边时，最小角A 的正切值为1tan 3A =；②当3为斜边时，=∴ 最小角A的正切值为tan 4A ==. 故应填13或4． 15．【答案】13； 【解析】由△ABC 的内心在y 轴上可知OB 是∠ABC 的角平分线，则∠OBA ＝45°，易求AB 与x 轴的交点为(-2，0)，所以直线AB 的解析式为：2y x =+， 联立2112y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩可求A 点的坐标为(-6，-4)， ∴AB ==OC ＝OB ＝2，∴ BC＝．在Rt △ABC中，1tan 3BC A AB ===．16.【答案】 ； 【解析】∵0＜cos α＜1， ∴0＜＜1， 解得.三、解答题17.【答案与解析】过D 作DE ∥AC ，交BC 于点E ．∵ AD ＝BD ，∴ CE ＝EB ，∴ AC ＝2DE ．又∵ DC ⊥ AC ，DE ∥AC ，∴ DC ⊥DE ，即∠CDE ＝90°．又∵ ∠BCD ＝30°，∴ EC ＝2DE ，DC DE ．设DE ＝k ，则CD ，AC ＝2k ．在Rt △ACD 中，AD ．∴ sinAC CDA AD ∠===cos 7CD CDA AD ∠===．tanAC CDA CD ∠===．18.【答案与解析】解：（1）原式=4×﹣×+× =1+3． (2) 原式=×+1﹣2× =1+1﹣1=1．(3) 原式=﹣× =﹣=14． 19.【答案与解析】(1)证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC ，AD ＝BC∴ ∠DAF ＝∠AEB又∵ AE ＝BC ，∴ AE ＝AD又∵ ∠B=∠DFA ＝90°，∴ △EAB ≌△ADF ．∴ AB ＝DF ．(2)解：在Rt △ABE 中，8BE =∵ △EAB ≌△ADF ，∴ DF ＝AB ＝6，AF ＝EB ＝8，∴ EF ＝AE-AF ＝10-8＝2．∴ 21tan 63EF EDF DF ∠===．20.【答案与解析】(1)连接BO 并延长，交⊙O 于点D ，连接CD ．∵ BD 是直径，∴ BD ＝4，∠DCB ＝90°．在Rt △DBC 中，sin 42BC BDC BD ∠=== ∴ ∠BDC ＝60°，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝60°．(2)因为△ABC 的边BC 的长不变，所以当BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点A 应落在优弧BC 的中点处．过O 作OE ⊥BC 于点E ，延长EO 交⊙O 于点A ，则A 为优孤BC 的中点．连结AB ，AC ， 则AB ＝AC ，∠BAE 12=∠BAC ＝30°．在Rt △ABE 中，∵ BE =BAE ＝30°，∴3tan303BEAE===°，∴132ABCS=⨯=△答：△ABC面积的最大值是。

苏州备战中考数学(锐角三角函数提高练习题)压轴题训练一、锐角三角函数1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2) 求证：∠ACF=90°；(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.图1 图2【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2π【解析】试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（1）BE=FH．理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF（SAS）∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°过E作EN⊥AC于点NRt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt△ENA中，EN =又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30°∴AE=Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°=2π·4·（90°÷360°）=2π考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．【答案】（1）∠BME=15°；（2BC=4；（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，当h≥2时，S=18﹣3h．【解析】试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．试题解析：解：（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OCE=60°，∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，∴∠BME=∠CMA=15°；如图3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OBC=∠DEC=30°，∵OB=6，∴BC=4；（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，∵△CMN∽△CED，∴，∴，解得FM=4﹣，∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如图3，当h≥2时，S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ．【解析】试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．试题解析：（1）如图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．∵KG2=KD•GE，即，∴，又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；（3）连接OG，OC，如图3所示，∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．∵sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（2）2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，∴FG=【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．4．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究：把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)记AC BC＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 3CPE V 总是等边三角形【解析】【分析】 （1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FP MC PB=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC BC =tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可．【详解】解：（1）PC=PE 成立，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴EM FP MC PB=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；（2）PC=PE 成立，理由如下：如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ，∴△DAF ≌△EAF （AAS ），∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中，∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ，∴△DAP ≌△EAP （SAS ），∴PD=PE ，∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，∴FD ∥BC ∥PM ， ∴DM FP MC PB=， ∵点P 是BF 的中点，∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ，∴PC=PD ，又∵PD=PE ，∴PC=PE ；（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形，∴∠CEP=60°，∴∠CAB=60°，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°，∵AC k BC =，AC BC=tan30°，∴k=tan30°=3，3∴当k为3时，△CPE总是等边三角形．【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．5．在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH、PH.（1）若点P在线CD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）【答案】（1）①如图；②AH＝PH，AH⊥PH．证明见解析（2）或【解析】试题分析：（1）①如图（1）；②（1）法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH．连接CH，根据正方形的每条对角线平分一组对角得：△DHQ等腰Rt△，根据平移的性质得DP＝CQ，证得△HDP≌△△HQC，全等三角形的对应边相等得PH＝CH，等边对等角得∠HPC＝∠HCP，再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．（2）轴对称作法同（1）作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则.由代入HR，CR解方程即可得出x的值. 四点共圆作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴．试题解析：（1）①法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH证：连接CH，得：△DHQ等腰Rt△，又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△△HQC，∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCPBD为正方形ABCD对称轴，∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．法二：四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．（2）法一：轴对称作法考虑△DHQ等腰Rt△，PD＝CQ，作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则.由得：，∴．即PD=法二：四点共向作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴．考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；死电脑共圆6．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=×=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【考点】二次函数综合题．7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC＝80，BD＝60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．(1)求菱形ABCD的周长；(2)记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；(3)当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）在菱形ABCD中，∵AC⊥BD，AC=80，BD=60，∴。

锐角三角函数◆考点聚焦1．了解锐角三角函数的定义，并能通过画图找出直角三角形中边、角关系，•这也是本节的重点和难点．2．准确记忆30°、45°、60°的三角函数值．3．会用计算器求出已知锐角的三角函数值．4．已知三角函数值会求出相应锐角．5．掌握三角函数与直角三角形的相关应用，这是本节的热点．◆备考兵法充分利用数形结合的思想，对本节知识加以理解记忆．◆识记巩固1．锐角三角函数的定义：如图，在Rt△ABC中，∠=90°，斜边为c，a，b分别是∠A的对边和邻边，则sinA=______=_______；cosA=______=_______；tanA=______=_______．2．填表：30°45°60°sinαcosαtanα注意：30°，45°，60°的三角函数值是中考的必考考点，其他数值是利用数形结合的方法推导的，要求在理解的基础上进行识记．3．锐角三角函数间的关系：（1）互为余角的三角函数间的关系：sin（90°-α）=____，cos（90°-α）=_____．（2）同角三角函数的关系：①平方关系：sin2α+cos2α=_______；②商数关系：sincosαα=_______．注意：对于互为余角的锐角三角函数关系，要求学生能利用定义，•结合图形进行理解，并能灵活运用公式；对于同一锐角三角函数的关系，仅让学生了解，不作中考要求．4．锐角三角函数值的变化：（1）当α为锐角时，各三角函数值均为正数，且0<sinα<1，0<cosα<1，当0°≤α≤45°时，sinα，tanα随角度的增大而_______，cosα随角度的增大而_______．（2）当0°<α<45°时，sinα_____cosα；当45°<α<90°时，sinα______cosα．识记巩固参考答案1．A∠的斜边斜边acA∠的邻边邻边bcAA∠∠的对边的邻边ab2．122232322212321 33．（1）cosα sinα（2）①1 ②tanα4．（1）增大减小（2）< >◆典例解析例1 （2011某某某某，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C=30°．折叠纸片使BC经过点D．点C落在点E处，BF是折痕，且BF= CF =8．（l）求∠BDF的度数；（2）求AB的长．【解】（1）∵BF=CF ，∠C=030，∴∠FBC=030，∠BFC=0120又由折叠可知∠DBF=030∴∠BDF=090（2）在Rt △BDF 中，∵∠DBF=030，BF=8∴BD=3∵AD ∥BC ，∠A=090∴∠ABC=090又∵∠FBC=∠DBF=030∴∠ABD=030在Rt △BDA 中，∵∠AVD=030，BD=43∴AB=6．6. （2011某某襄阳，19，6分）先化简再求值：412)121(22-++÷-+x x x x ，其中160tan -︒=x . 【答案】原式12)1()2)(2(212+--=+-+⋅+--=x x x x x x x ················· 2分 当13160tan -=-︒=x 时， ···················· 3分 原式13333113213-=--=+----=. 6分例2 已知α为锐角，且tan α=______． 解析 方法一：在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan α=2，令，b=2，则此时． ∴sin α=a ccos α=∴原式===1)332326-⨯==． 方法二：∵tan α=sin cos αα=2． ∴2sin αα．又∵sin 2α+cos 2α=1．==12()22-===． 方法三：∵tan α=sin cos αα=2，sin 2α+cos2α=1． ∴原式sin cos ||cos ααα-===|tanα-1|=|22-1|=222-．答案222 -例3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=35，点D在BC边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值．解析过点B作BE⊥AD，交AD延长线于E．∵∠C=90°，∴sinB=ACBA=35．∵∠ADC=45°，∴AC=DC=6，∴AB=10，BC=8，∴BD=2．∵∠ADC=45°，∴∠BDE=45°，∴DE=BE=22BD=2．又∵在Rt△ACD中，AD=DC=62，∴AE=72，∴tan∠BAD=272BEAE==17．点评要求∠BAD的正切值，首先得将∠BAD转化到某一直角三角形中去，因此通过作垂线，构造直角三角形是解决这个问题的关键．2011年真题1. （2011某某某某，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为A ．12B ．13C ．14D ．24【答案】B2. （2011某某某某，9,3分）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于 A.43 B.34 C.53 D. 54【答案】B3. （2011某某内江，11，3分）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，则△ABC 的面积为 A ．83B ．15C ．3D ．3【答案】C4. （2011某某某某，13，3分）如图，△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝53，则△ABC 的面积是（） B A C D EAB C C ’B ’A ．221B ．12C ．14D ．21 【答案】A5. （2011某某某某，8，4分）如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ).A ．12B ． 34C ． 32D ．45【答案】C6. （2011某某日照，10，4分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A =ab ．则下列关系式中不成．．立．的是（ ）（A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A（C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1【答案】D7. （2011某某某某，9,4分）如果△ABC 中，sin A =cos B 2，则下列最确切的结论是（ ） A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形C. △ABC 是等腰直角三角形D. △ABC 是锐角三角形【答案】C8. (2011 某某某某，4，3)如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC =2，则tan A的值为A．2B．12C．55D．255【答案】B9. （2011某某某某，5，4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB＝13，BC＝5，则sin A的值是( )A．513B．1213C．512D．135【答案】A10．（2011某某某某2，3分）如图，在4×4的正方形网格中，tanα=A．1 B．2 C．12D．52【答案】B11. （2011某某某某，8,4分）如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y 轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ).A．12B．34C．3．45【答案】B12. （2011某某黄冈，9，3分）cos30°=（ ）A ．12B ．22C ．32D ．3【答案】C13. （2011某某某某，8，3分）如图，已知：9045<<A ，则下列各式成立的是A ．sinA ＝cosAB ．sinA >cosAC ．sinA >tanAD ．sinA <cosA【答案】B14. (20011某某某某,6,2分)如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为 D.若AC=5,BC=2,则sin ∠ACD 的值为( )A.53B.255C.52D.23答案【 A 】15. （2011某某某某，9，3分）cos30°=（ ） A ．12 B ．22 C ．32 D ．3【答案】C16. （2011某某荆州，8，3分）在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则B sin 的值是A ．1475B ．53C ．721D ．1421 【答案】D17. （2011某某某某，11，3分）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm ，∠C=90°，tan∠BAC=33,则边BC 的长为( ). A. 303cm B. 203cm C.103cm D. 53cm（第11题图）【答案】C18.二、填空题1. （2011某某某某，13,3分）如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB=【答案】105°2. （2011某某滨州，16，4分）在等腰△ABC 中，∠C=90°则tanA=________.【答案】13. （2011某某某某，14，3分）如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.【答案】124. （ 2011某某江津， 15，4分）在Rt △ABC 中,∠C=90º,BC=5,AB=12,sinA=_________. 【答案】125· 5. （2011某某某某，18，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转15°后得到△AB 1C 1，B 1C 1交AC 于点D ，如果AD=22，则△ABC 的周长等于.DAC B1C1【答案】6236. (2011某某某某，11，2分)如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos∠AOB 的值等于_________．【答案】127. （2011某某某某，17，3分）如图，测量河宽AB （假设河的两岸平行），在C 点测得∠ACB ＝30°，D 点测得∠ADB ＝60°，又CD ＝60m ，则河宽AB 为▲m （结果保留根号）.【答案】303.8. （2011某某某某市，13，3分）sin 30°的值为_____．【答案】21 9. (20011某某某某,11,2分)∠α的补角是120°,则∠α=______,sin α=______. 答案:60°，3210．（2011某某某某，14，4分）如图，点E (0，4)，O (0，0)，C (5，0)在⊙A 上，BE 是⊙A 上的一条弦，则tan ∠OBE =．【答案】54 11.12. 第14题图(第11题) BA MO三、解答题(1) 1. （2011某某某某，17（1），6分）计算：20113015(1)()(cos68)338sin 602π---+++-. 【答案】解：解:原式1818=--++……………………………………………4分 8=-6分2. （2011某某某某市，19，8分）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE,点F 落在AD 上.(1)求证：⊿ABE∽⊿DFE ;(2)若sin∠DFE=31,求tan∠EBC 的值. F EDCB A【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠D=∠C=90°∵⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE∴∠BFE=∠C=90°∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°又∠AFB+∠ABF=90°∴∠ABF=∠DFE∴⊿ABE ∽⊿DFE (2)解：在Rt ⊿DEF 中，sin ∠DFE=EF DE =31 ∴设DE=a,EF=3a,DF=22DE EF -=22a∵⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE∴CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a, ∠EBC=∠EBF又由（1）⊿ABE ∽⊿DFE ，∴BF FE =ABDF =a a 422=22 ∴tan ∠EBF=BF FE =22 tan ∠EBC=tan ∠EBF=223. （2011某某某某，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°1014cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭的值。

2021备战中考数学〔苏科版〕稳固复习-锐角函数〔含解析〕一、单项选择题1.α为等腰直角三角形的一个锐角，那么cosα等于〔〕A. B. C. D.2.聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．〞被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早起，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为β，假设tanαtanβ=1，点D，C，B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为〔参考数据：≈3.162〕〔〕A.15.81米B.16.81米C.30.62米D.31.62米3.如图，在Rt△ABC中，△C=90°，BC=6，AC=8，那么sinA的值等于〔〕A. B. C. D.4.在Rt△ABC中，△C=90°，cosA=，AC=，那么BC等于〔〕A. B.1 C.2 D.35.tanA=1，那么锐角A的度数是〔〕A.30°B.45°C.60°D.75°6.一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高〔〕米．A. B.3 C. D.以上的答案都不对7.在正方形网格中，如图放置，那么等于〔〕A. B. C. D.8.假如把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的余弦值〔〕A.扩大到原来的2倍B.缩小到原来的C.不变D.都不能确定9.以下三角函数值最大的是〔〕A.tan46°B.sin50°C.cos50°D.sin40°10.A，B都是锐角、且sinA＜sinB，那么以下关系正确的选项是〔〕A.△A＞△BB.tanA＞tanBC.cosA＞cosBD.以上都不正确11.如图,从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°、45°,假如此时热气球C处的高度CD为100m,点A，D，B在同一直线上,CD△AB,那么A、B两点的间隔是(〕A.200mB.200 mC.mD.二、填空题12.如图，△ABM=37°，AB=20，C是射线BM上一点．〔1〕在以下条件中，可以唯一确定BC长的是________ ．〔填写所有符合条件的序号〕①AC=13；②tan△ACB=；③连接AC，△ABC的面积为126．〔2〕在〔1〕的答案中，选择一个作为条件，画出草图，BC=________．〔参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75〕13.将一个三角形经过放大后得到另一个三角形，假如所得三角形在原三角形的外部，这两个三角形各对应边平行且间隔都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形〞，它们对应边之间的间隔叫做“等距〞．假如两个等边三角形是“等距三角形〞，它们的“等距〞是1，那么它们周长的差是________．14.某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡的长度为________米．15.假设tan〔x+10°〕=1，那么锐角x的度数为________．16.在Rt△ABC中，△C=90°，sinA=，那么tanA=________17.如图，将45°的△AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合．OB与尺上沿的交点B在尺上的读书恰为2厘米，假设按一样的方式将37°的△AOC放置在该刻度尺上，那么OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为________厘米．〔结果准确到0.1厘米，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75〕18.小杰在楼上点A处看到楼下点B处的小丽的俯角是36°，那么点B处的小丽看点A处的小杰的仰角是________度．三、计算题19.计算：()-1+|1-|-2cos．20.以下各锐角的三角函数值，求这些锐角的大小〔准确到1″〕〔1〕sinα=0.5018．〔2〕cosA=0.6531．〔3〕tanβ=0.3750．四、解答题21.在Rt△ABC中，△C=90°，AC=8，AB=10，求△B的三个三角函数值．22.sin A=0.328 6,tan B=10.08,利用计算器求锐角A,B.(结果准确到0.01°)五、综合题23.如图是某货站传送货物的平面示意图．为了进步传送过程的平安性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．原传送带AB长为4米．〔1〕求新传送带AC的长度；〔2〕假如需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断间隔B点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．〔说明：〔1〕〔2〕的计算结果准确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45〕24.某学校体育场看台的侧面如图阴影局部所示，看台有四级高度相等的小台阶．看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC〔杆子的底端分别为D，C〕，且△DAB=66.5°．〔1〕求点D与点C的高度差DH；〔2〕求所用不锈钢材料的总长度l．〔即AD+AB+BC，结果准确到0.1米〕〔参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30〕25.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真〞的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．山坡AB的坡度i=1：〔斜坡的铅直高度与程度宽度的比〕，经过测量AB=10米，AE=15米.〔1〕求点B到地面的间隔；〔2〕求这块宣传牌CD的高度．〔测角器的高度忽略不计，结果保存根号〕答案解析局部一、单项选择题1.【答案】B【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：cosα=cos45°=．应选B．【分析】根据等腰直角三角形的锐角为45°求解．2.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【解答】解：△BC=10米，BD=25米，△在Rt△ABC中，AB=BC•tanα=10tanα①，在Rt△ABD中，AB=BD•tanβ=25tanβ②．△tanαtanβ=1，△AB2=10tanα•25tanβ=250，△AB==5≈5×3.162=15.81〔米〕．应选A．【分析】先根据锐角三角函数的定义用tanα与tanβ表示出AB的长，再由tanαtanβ=1即可得出结论．3.【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：由勾股定理，得AB==10．由正弦函数的定义，得sinA===，应选：C．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据正弦函数等于对边比斜边，可得答案．4.【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：如图：△cosA=，△=，又△AC=，△BC==1．应选B．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出BC的长．5.【答案】B【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：△tanA=1，A为锐角，tan45°=1，△△A=45°．应选B．【分析】根据tan45°=1解答即可．6.【答案】B【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】【解答】解：△坡度为1：7，△设坡角是α，那么sinα=，△上升的高度是：30×=3米．应选B．【分析】根据坡度即可求得坡角的正弦值，根据三角函数即可求解．7.【答案】D【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】cos△BAC= ，故答案为：D．【分析】根据勾股定理求出格点上的边的值，由三角函数的定义，得到cos△BAC的值.8.【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：△把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍后所得的三角形与原三角形相似，△锐角A的大小没改变，△锐角A的余弦值也不变．应选：C．【分析】首先判断出把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍后所得的三角形与原三角形相似，锐角A的大小没改变，然后根据锐角A的邻边b与斜边c的比叫做△A的余弦，可得锐角A的余弦值也不变，据此解答即可．9.【答案】A【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：△tan46°＞tan45°＞1；而任何锐角的正弦，余弦值都小于1；△最大的是：tan46°应选A．【分析】根据正切函数的函数值随角度的增大而增大，正弦以及余弦函数的值的范围即可确定．10.【答案】C【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：△A，B都是锐角、且sinA＜sinB，△△A＜△B，△tanA＜tanB，cosA＞cosB，△A、B、D选项都是错误的，C选项是正确的．应选C．【分析】先由条件sinA＜sinB，根据当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，得到△A＜△B，再根据锐角三角函数的增减性进展判断即可．11.【答案】D【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】解：△从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，△△BCD=90°﹣45°=45°，△ACD=90°﹣30°=60°．△CD△AB，CD=100m，△△BCD是等腰直角三角形，△BD=CD=100m．在Rt△ACD中，△CD=100m，△ACD=60°，△AD=CD•tan60°=100× =100 m，△AB=AD+BD=100 +100=100〔+1〕m．故答案为：D．【分析】将实际问题转化为数学问题，可证得△BCD是等腰直角三角形，可求出BD的长，再在Rt△ACD中，利用解直角三角形求出AD的长，然后根据AB=AD+BD，即可求解。

锐角三角函数考点例析锐角三角函数是初中“图形与几何”的重点内容之一，也是中考的重要考查内容.本文.采撷几例2016年部分省市的中考试题，进行分类评析，供同学们学习时参考.一、考查三角函数的的概念例1 (广东)如图1，在R t A B C V 中，30B ∠=︒，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥交AB 于点D ，以CD 为较短的直角边向CDB V 的同侧作Rt DEC V ，满足30E ∠=︒，90DCE ∠=︒再用同样的方法作Rt FGC V ，90FGC ∠=︒，继续用同样的方法作Rt HCI V ，90HCI ∠=︒，若AC a =，求CI 的长.解析 由题意，知60A EDC GFC IHC ∠=∠=∠=∠=︒∵AC a =sin 60AC AC ∴=︒= 同理3sin 604CF DC a =︒=sin 60CH CF =︒= 9sin 6016CI CH a =︒=. 点评 本题考查三角形的内角和与三角函数的应用.解题的关键是明确题意，找出关键直角三角形，通过锐角三角函数的定义解决问题.二、锐角三角函数在四边形中的应用例2 (福州)如图2,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角O ∠为60︒，A 、B 、C 都在格点上，则tan ABC ∠的值是 解析 如图2，连结EA ，EC ，设菱形的边长为a .由题意，得30AEF ∠=︒，60BEF ∠=︒AE =，2EB a =90AEB ∴∠=︒tan AE ABC BE ∴∠===点评 本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形.本题属于中考常考题型.如图2，连结EA ，EB ，先证明90AEB ∠=︒，根据tan AE ABC BE∠=，求出AE 、BE 即可解决间题. 三、锐角三角函数在圆中的应用例3 (温州)如图3，在ABC V 中，90C ∠=︒，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连结EF(1)求证:1F ∠=∠(2)若sin B =，EF =CD 的长解析 (1)如图3，连结DE .∵BD ⊙O 的直径90DEB ∴∠=︒∵E 是AB 的中点DA DB ∴=1B ∴∠=∠∵B F ∠=∠∴1F ∠=∠(2) ∵1F ∠=∠AE EF ∴==2AB AE ∴==sin 4AC AB B ==8BC ∴==设CD x =则8AD BD x ==-222AC CD AD +=Q即2224(8)x x +=- 3x ∴=，即3CD =.点评 此题考查圆周角定理与解直角三角形.连结DE ，由BD ⊙O 的直径，得到90DEB ∠=︒，由于E 是AB 的中点，得到DA DB =，根据等腰三角形的性质得到1B ∠=∠，等量代换即可得到结论.(2)根据等腰三角形的判定定理，得到AE EF ==，2AB AE ∴== 在Rt ABC V ，根据勾股定理，得到8BC ==.设CD x =，则8AD BD x ==-,根据勾股定理列方程即可得到结论.四、锐角三角函数的实际应用1.方向角问题例4 (大连)如图4，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30︒方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55︒方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为 海里(结果取整数)(参考数据:sin550.8︒≈，cos550.6︒≈，tan55 1.4︒≈).解析 如图4，作PC AB ⊥于点C .在Rt PAC V 中，18PA =Q ，30A ∠=︒1118922PC PA ∴==⨯=9PC =Q ，55B ∠=︒911sin 0.8PC PB B ∴=≈≈∠. 故此时渔船与灯塔P 的距离约为11海里. 点评 本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，含30︒角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，等.解一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的间题，解决的方法就是作高线.变式 (大庆)一艘轮船在小岛A 的北偏东60︒方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向 航行3小时后到达小岛的北偏西45︒的C 处，则该船行驶的速度为 海里/小时2.仰角俯角问题例5 (上海)如图6，航拍再人机从A 处侧得一幢建筑物顶部B 的仰角为30︒，测得底部C 的俯角为60︒，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米，那么该建筑物的高度BC 约为 米.(精确到1米，参考数据 1.73≈ )解析 由题意，可得tan 30903BD BD AD ︒===解得BD =tan 60903DC DC AD ︒===解得DC =故该建筑物的高度为208BC BD DC =+=≈(m)故答案为208米.点评此题主要考查直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题的关键.分别利用锐角三角函数关系得出BD,DC的长，进而求出该建筑物的高度.变式 (聊城)聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图7，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33︒，测得圆心O的︒≈，仰角为21︒，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为(tan330.65︒≈)( )tan210.38(A )169米 (B)204米 (C)240米 (D )407米。

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确使用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.3030°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：要点诠释：1求∠2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

锐角三角函数章末重难点题型【举一反三】【苏科版】【考点1 锐角三角函数定义】【方法点拨】锐角角A 的正弦（sin ）,余弦（cos ）和正切（tan ）,都叫做角A 的锐角三角函数。

正弦（sin ）等于对边比斜边， 余弦（cos ）等于邻边比斜边 正切（tan ）等于对边比邻边；【例1】（2019秋•工业园区校级月考）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AB BC =，则sin B 的值为( )A ．12BCD 【分析】设BC 为x ，根据题意用x 表示出AB ，根据勾股定理求出BC ，运用正弦的定义解答即可．【答案】解：设BC 为x ，则AB ＝3x ，由勾股定理得，AC ＝＝＝2x ，∴sin B ＝＝＝， 故选：D ．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．【变式1-1】（2019•南海区模拟）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是( )A ．B ．3C ．4D ．13【分析】根据勾股定理求出AC ，根据正切的概念计算即可．【答案】解：设BC ＝x ，则AB ＝3x ，由勾股定理得，AC ＝＝2x ，则tan B ＝＝2， 故选：A ．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．【变式1-2】（2019春•江岸区校级月考）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，下列各组线段的比不能表示sin BCD ∠的( )A ．BD BCB ．BC AC C ．CD BC D ．CD AC【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD ＝∠A ，再解直角三角形得出即可．【答案】解：∵CD ⊥AB ，∴∠CDA ＝∠CDB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD +∠ACD ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠BCD ＝∠A ，∴sin ∠BCD ＝sin A ＝＝＝，即只有选项C 错误，选项A 、B 、D 都正确，故选：C ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，则sin A ＝，cos A ＝，tan A ＝，cot A ＝．【变式1-3】（2018秋•禅城区期末）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的高，下列线段的比值等于cos A 的值的有( )个（1）AD AC （2）AC AB （3）BD BC （4）CD BC．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．【答案】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，∴∠A +∠ACD ＝90°，∠ACD +∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，∴cos A ＝＝＝，故（1），（2），（4）正确．故选：C ．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．【考点2 网格中的锐角三角函数值】【方法点拨】解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.【例2】（2018秋•慈溪市期末）如图，A ，B ，C 是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin ACB ∠的值为( )A B C ．12 D 【分析】由勾股定理可求AC ，BC 的长，由三角形的面积公式可求BD 的长，即可求sin ∠ACB 的值．【答案】解：设小正方形的边长为1，过点B 作BD ⊥AC 于D ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，∵S △ABC ＝2×7﹣＝5 由勾股定理可知：AC ＝＝5， ∵AC •BD ＝5，∴BD ＝，由勾股定理可知：BC ＝＝， ∴sin ∠ACB ＝＝＝ 故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练运用面积法求BD 的长是本题的关键．【变式2-1】（2019秋•柯桥区期末）由小正方形组成的网格如图，A ，B ，C 三点都在格点上，则ABC 的正切值为( )A B C ．12 D 【分析】作CD ⊥AB 于点D ，利用勾股定理计算出CD 和BD ，然后再求CD ：BD 可得答案．【答案】解：如图，作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝，BD ＝＝2， 故tan ∠ABC ＝＝＝， 故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理及解直角三角形，解题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用锐角三角函数解答问题．【变式2-2】（2019秋•泉州期末）如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则BAC ∠ 的正切值是( )A ．12BCD ．2【分析】如图，根据勾股定理可求BD ，AD ，再根据正切的定义可求∠BAC 的正切值．【答案】解：如图，在Rt △ADB 中，AD ＝＝，BD ＝＝2， 则∠BAC 的正切值是＝2． 故选：D ．【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是根据勾股定理求得BD ，AD ．【变式2-3】（2019•滕州市校级模拟）如图，在22⨯正方形网格中，以格点为顶点的ABC ∆的面积等于32，则sin (CAB ∠= )A B ．35 C D ．310【分析】根据勾股定理，可得AC 、AB 、BC 的长，根据三角形的面积公式，可得CD 的长，根据正弦函数的定义，可得答案．【答案】解：如图：作CD ⊥AB 于D ，AE ⊥BC 于E，由勾股定理，得AB ＝AC ＝，BC ＝． 由等腰三角形的性质，得BE ＝BC ＝．由勾股定理，得AE ＝＝，由三角形的面积，得AB •CD ＝BC •AE ．即CD ＝＝．sin ∠CAB ＝＝＝，故选：B ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用了勾股定理，利用三角形的面积公式得出CD 的长是解题关键．【考点3 锐角三角函数的增减性】【方法点拨】当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）【例3】（2019秋•余姚市期末）已知045α<<︒，关于角α的三角函数的命题有：①0sin α<<①cos sin αα<，①sin 22sin αα=，①0tan 1α<<，其中是真命题的个数是( )A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．【答案】解：由0＜α＜45°，得0＜sin α＜，故①正确；cos α＞sin α，故②错误；sin2α＝2sin αcos α＜2sin α，故③错误；0＜tan α＜1，故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查了锐角函数的增减性，熟记锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数是解题关键．【变式3-1】（2019秋•嵊州市期末）下列不等式不成立的是( )A ．sin20sin40sin70︒<︒<︒B ．cos20cos40cos70︒<︒<︒C ．tan20tan40tan70︒<︒<︒D ．sin30cos45tan60︒<︒<︒【分析】根据锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大，可得答案．【答案】解：A 、随角的增大而增大，故A 不符合题意；B 、余弦随角的增大而减小，故B 符合题意；C 、正切随角的增大而增大，故D 不符合题意；D 、sin30°＜cos45°＜tan60°，故D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大．【变式3-2】（2019秋•雁塔区校级月考）比较tan46︒，cos29︒，sin59︒的大小关系是( )A ．tan46cos29sin59︒<︒<︒B ．tan46sin59cos29︒<︒<︒C ．sin59tan46cos29︒<︒<︒D ．sin59cos29tan46︒<︒<︒【分析】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．【答案】解：∵cos29°＝sin61°＞sin59°∴cos29°＞sin59°又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1∴sin59°＜cos29°＜tan46°故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的增减性熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键．【变式3-3】（2019•江东区一模）如图，ABC∆是锐角三角形，4sin5C=，则sin A的取值范围是()A．30sin5A<<B．4sin15A<<C．34sin55A<<D．3sin15A<<【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据正弦定义得到sin C＝＝，则可设AH＝4x，AC＝5x，利用勾股定理得到CH＝3x，所以sin∠HAC＝＝，由于∠HAC＜∠BAC＜90°，然后根据正弦函数为增函数即可得到sin∠BAC的范围．【答案】解：作AH⊥BC于H，如图，在Rt△ACH中，sin C＝＝，设AH＝4x，AC＝5x，所以CH＝＝3x，所以sin∠HAC＝＝，∵∠HAC＜∠BAC＜90°，∴＜sin∠BAC＜1．故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：锐角三角函数值都是正值；当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；当角度在0°≤∠A ≤90°间变化时，0≤sin A ≤1，1≥cos A ≥0．【考点4 互余两角三角函数的关系】【方法点拨】互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,【例4】（2019秋•常州期末）如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ．给出下列四个结论：①sin sin B α=；①sin sin C β=；①sin cos B C =；①sin cos αβ=．其中正确的结论有 ．【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A ＝90°，AD ⊥BC ，可得∠α＝∠B ，∠β＝∠C ，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．【答案】解：∵∠A ＝90°，AD ⊥BC ，∴∠α+∠β＝90°，∠B +∠β＝90°，∠B +∠C ＝90°，∴∠α＝∠B ，∠β＝∠C ，∴sin α＝sin B ，故①正确；sin β＝sin C ，故②正确；∵在Rt △ABC 中sin B ＝，cos C ＝，∴sin B ＝cos C ，故③正确；∵sin α＝sin B ，cos ∠β＝cos C ，∴sin α＝cos ∠β，故④正确；故答案为①②③④．【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．【变式4-1】（2019秋•工业园区校级月考）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1cos 3A =，则sin B = ． 【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【答案】解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∴∠A +∠B ＝90°，∴sin B ＝cos A ＝．故答案为：．【点睛】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的余弦等于它余角的正弦．【变式4-2】（2019春•南关区校级期末）已知锐角α，且sin cos35α=︒，则α= 度．【分析】对于任意锐角A ，有sin A ＝cos （90°﹣A ），可得结论．【答案】解：∵sin α＝cos35°，∴α＝90°﹣35°＝55°，故答案为：55．【点睛】此题考查互余两角的三角函数，关键是根据互余两角的三角函数的关系解答．【变式4-3】（2019•荔湾区校级模拟）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，a ，b 分别是A ∠、B ∠的对边，如果sin :sin 2:3A B =，那么:a b 等于 ．【分析】根据正弦的定义得到sin A ＝，sin B ＝，再由sin A ：sin B ＝2：3得到：＝2：3，然后利用比例性质化简即可． 【答案】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b 分别是∠A 、∠B 的对边，c 为∠C 对的边， ∴sin A ＝，sin B ＝，∵sin A ：sin B ＝2：3，∴：＝2：3，∴a ：b ＝2：3．故答案为2：3．【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系：在直角三角形中，∠A +∠B ＝90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sin A ＝（90°﹣∠A ）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cos A ＝sin （90°﹣∠A ）．也考查了锐角三角函数的定义．【考点5 特殊角三角函数值的计算】【方法点拨】解决此类问题关键在于熟记特殊角三角函数值.【例5】（2018秋•北仑区期末）计算：2sin60cos45sin30tan60︒+︒-︒︒．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方，后算乘除，最后算加减即可．【答案】解：原式＝+﹣×，＝+﹣，＝．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．【变式5-1】（2018秋•兴化市期末）计算：（1）222sin30sin60sin45cos30︒+︒-︒+︒；（2）tan30tan45 tan60tan45︒+︒︒︒．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【答案】解：（1）原式＝（）2+﹣（）2+（）2＝+﹣+＝+；（2）原式＝＝．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【变式5-2】（2019春•市中区校级月考）2cos30tan30cos60︒+︒︒【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的加减运算法则计算．【答案】解：原式＝2×+×﹣+1＝+1．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【变式5-3】（2019秋•烟台期末）计算：sin45cos30sin30(cos45sin60) 32cos60︒+︒-︒︒-︒-︒【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，即可得到计算结果．【答案】解：原式＝﹣（﹣）＝﹣＝＝【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．【考点6 解直角三角形】【方法点拨】解直角三角形（Rt①ABC,①C＝90°）（1）三边之间的关系：a2+b2=c2．（2）两锐角之间的关系：①A＋①B＝90°．（3）边角之间的关系（4）解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．①已知两边．【例6】（2018春•临洮县期中）如图，在ABD∆中，AC BD⊥于点C，3 2BC CD =，点E是AB的中点，tan2D=，1CE=，求sin ECB∠的值和AD的长．【分析】利用已知表示出BC，CD的长，再利用勾股定理表示出AB的长，进而求出sin∠ECB的值和AD的长．【答案】解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°．∵点E是AB的中点，CE＝1，∴BE＝CE＝1，AB＝2CE＝2，∴∠B＝∠ECB．∵＝，∴设BC ＝3x ，CD ＝2x ．在Rt △ACD 中，tan D ＝2，∴＝2，∴AC ＝4x ．在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝＝5x ，∴sin ∠ECB ＝sin B ＝＝． 由AB ＝2，得x ＝， ∴AD ＝＝＝2x ＝2×＝． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确表示出AB 的长以及锐角三角三角函数关系是解题关键．【变式6-1】（2018秋•抚宁区期末）如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，45C ∠=︒，1sin 3B =，1AD =． （1）求BC 的长；（2）求tan DAE ∠的值．【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB ＝∠ADC ＝90°，再解Rt △ADC ，得出DC ＝1；解Rt △ADB ，得出AB ＝3，根据勾股定理求出BD ＝2，然后根据BC ＝BD +DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE 的值，则DE ＝CE ﹣CD ，然后在Rt △ADE 中根据正切函数的定义即可求解．【答案】解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°．在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1，∴DC ＝AD ＝1．在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝，AD ＝1，∴AB ＝＝3， ∴BD ＝＝2，∴BC ＝BD +DC ＝2+1；（2）∵AE 是BC 边上的中线，∴CE ＝BC ＝+，∴DE ＝CE ﹣CD ＝+﹣1＝﹣， ∴tan ∠DAE ＝＝＝﹣．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的高、中线的定义，勾股定理，难度中等，分别解Rt △ADC 与Rt △ADB ，得出DC ＝1，AB ＝3是解题的关键．【变式6-2】（2019•临河区一模）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=． （1）求AD 的长；（2）求sin DBC ∠的值．【分析】（1）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理以及锐角三角形函数的定义即可求出答案．（2）由（1）可求出CD ＝4，根据勾股定理可求出BD 的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：（1）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，∵等腰三角形ABC ，∠C ＝90°∴∠A ＝45°，∴AH ＝DH ，设AH＝x，∴DH＝x，∵tan∠DBA＝，∴BH＝5x，∴AB＝6x，∵AC＝6，∴由勾股定理可知：AB＝6，∴x＝，∴AH＝DH＝，∴由勾股定理可知：AD＝2；（2）由于AD＝2∴DC＝4，∴由勾股定理可知：DB＝2，∴，【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及解直角三角形，本题属于中等题型．【变式6-3】（2018秋•岳麓区校级期中）如图，已知Rt ABC∠=︒，CD是斜边AB上的中线，∆中，90ACB过点A作AE CD=．⊥，AE分别与CD、CB相交于点H、E，2AH CH（1）求sin CAH∠的值；（2）如果CD=，求BE的值．【分析】（1）由勾股定理得出AC＝＝CH，由锐角三角函数定义即可得出答案；（2）根据sin B的值，可得出AC：AB＝1：，由AB＝2，得AC＝2，设CE＝x（x＞0），则AE＝x，由勾股定理得出方程，求出CE＝1，从而得出BE．【答案】解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AHC＝90°，∵AH＝2CH，∴由勾股定理得：AC＝＝CH，∴sin∠CAH＝＝＝；（2）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝2，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACH＝90°，∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，∵sin B＝＝sin∠CAH＝＝，∴AC：AB＝1：，∴AC＝2．设CE＝x（x＞0），则AE＝x，在Rt△ACE中，由勾股定理得：x2+22＝（x）2，解得：x＝1，∴CE＝1，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4，∴BE＝BC﹣CE＝3．【点睛】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．【考点7 作垂线解斜三角形】【方法点拨】解决此类问题关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解.【例7】（2019春•南关区校级期末）如图，在ABC ∆中，30A ∠=︒，3tan 4B =，AC =AB 的长．【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，根据∠A ＝30°，tan B ＝，AC ＝6可求出AD 与BD 的长度． 【答案】解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．∵在Rt △CDA 中，∠A ＝30°，∴CD ＝AC •sin30°＝3，AD ＝AC ×cos30°＝9， 在Rt △CDB 中，∵tan B ＝∴＝∴BD ＝4，∴AB ＝AD +DB ＝9+4．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．【变式7-1】（2019春•香坊区校级月考）如图，在ABC ∆中，2AB =，4AC =，120A ∠=︒，求BC 的长．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用勾股定理即可求得BC的长，本题得以解决．【答案】解：作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则∠CDA＝90°，∵∠CAB＝120°，∴∠CAD＝60°，∴∠ACD＝30°，∵AC＝4，∴AD＝2，CD＝2，∵∠CDB＝90°，AB＝2，∴DB＝DA+AB＝4，∴BC＝＝2．【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式7-2】（2018秋•潜山县期末）已知．在ABC∆中，BC=，135BCA∠=︒，求tan A的值．【分析】过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝CD＝BC，根据正切的定义计算即可．【答案】解：过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，则∠BCD＝45，∴BD＝CD＝BC，设AC＝k，则BD＝CD＝k，AD＝2k，tan A＝＝．【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质、正切的定义是解题的关键．【变式7-3】（2019•渠县一模）如图，在ABCBC=，求sin A和AB．∆中，45∠=︒，AC=10B【分析】作CD⊥AB于D，如图，利用等腰直角三角形的性质得BD＝CD＝BC＝5，再利用勾股定理计算出AD，然后利用正弦定义求sin A，利用AD+BD计算AB的长．【答案】解：作CD⊥AB于D，如图，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝BC＝5，在Rt△ACD中，AD＝＝＝12，∴sin A＝＝＝，AB＝BD+AD＝5+12＝17．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活利用运用勾股定理和锐角三角函数．根据Rt△BCD是解决此题的关键．【考点8 解直角三角形的应用之坡度坡角问题】【方法点拨】坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离l 的比叫做坡度，用字母i 表示，则αtan i ==l h ，如图，坡度通常写成i=h ：l 的形式.【例8】（2019春•西湖区校级月考）如图，扶梯AB 坡比为1:2，滑梯CD 坡比为1:3．若40AE m =，30BC m =，某人从扶梯上去，经过顶部BC ，再沿滑梯滑下，共经过多少路径？（结果精确到0.1)(2 1.41m ≈，3 1.73≈，5 2.24)≈【分析】首先在直角△ABE 中根据AE ＝40m 和坡比求得AB 和BE ，然后得出CF 的长，最后在直角△CFD 中求得CD 的长即可，继而求出经过的路径＝AB +BC +CD 的长度即可．【答案】解：∵扶梯AB 的坡比为1：2，即BE ：AE ＝1：2，AE ＝40m ，∴BE ＝20m ，∴AB ＝＝＝20（m ）， ∵CF ＝BE ＝20米，CF ：DF ＝1：， ∴FD ＝CF ＝20（m ）， ∴CD ＝＝＝40（m ），∴经过的路径＝AB +BC +CD ＝20+30+40＝70+20≈114.8（m ）． 答：共经过路径长114.8m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知坡度的定义，利用坡度的知识求出三角形的边长．【变式8-1】（2019•岳麓区校级二模）今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡AB 到达B 点，再从B 点沿斜坡BC 到达山顶C 点，路线如图所示，斜坡AB 的长为米，斜坡BC 的长为米，坡度是1:1，已知A 点海拔121米，C 点海拔721米（1）求B 点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度；（3）为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆AC的长度．【分析】（1）根据题意和图形，可以求得点B的海波，本题得以解决；（2）根据题目中的数据可以求得AF和BF的长度，从而可以求得斜坡AB的坡度；（3）根据题目中的数据可以求得AD和CD的长度，然后根据勾股定理即可求得AC的长度．【答案】解：（1）作CD⊥AM于点D，作BE⊥CD于点E，作BF⊥AM于点F，连接AC，∵斜坡BC的长为200米，坡度是1：1，∴BE＝CE＝200米，∵A点海拔121米，C点海拔721米，∴CD＝600米，∴BF＝400米，∵121+400＝521（米），∴点B的海拔是521米；（2）∵斜坡AB的长为200米，BF＝400米，∴AF＝＝600米，∴BF：AF＝400：600＝2：3，即斜坡AB的坡度是2：3；（3）∵CD＝600米，AD＝AF+FD＝AF+BE＝600+200＝800（米），∴AC＝＝1000米，即钢缆AC的长度是1000米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式8-2】（2019•花都区一模）如图，水坝的横断面是梯形ABCD，背水坡AB的坡角60∠=︒，坡长BAD =，为加强水坝强度，将坝底从A处向后水平延伸到E处，使新的背水坡的坡度为1:2，求AE的20AB m长度（结果精确到1 1.414≈≈ 1.732)【分析】作BH⊥AD于H，根据正弦的定义求出BH，AH，根据正切的定义求出EH，结合图形计算，得到答案．【答案】解：作BH⊥AD于H，在Rt△ABH中，sin∠BAH＝，则BH＝AB•sin∠BAH＝20×＝10，AH＝AB＝10，在Rt△EBH中，BE的坡度为1：2，BH＝10，∴EH＝20，∴AE＝EH﹣AH＝20﹣10≈25（米），答：AE的长度约为25米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【变式8-3】（2019•无锡一模）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为1:2.4⊥，为了居民行车安全，i=，AB BC 现将斜坡的坡角改为13︒，即13ADC∠=︒（此时点B、C、D在同一直线上）．（1）求这个车库的高度AB；（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin130.225︒≈︒≈，cot13 4.331)︒≈，cos130.974︒≈，tan130.231【分析】（1）根据坡度的概念，设AB＝5x，则BC＝12x，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（2）根据余切的定义列出算式，求出DC．【答案】解：（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i＝＝，设AB＝5x，则BC＝12x，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5，答：这个车库的高度AB为5米；（2）由（1）得：BC＝12，在Rt△ABD中，cot∠ADC＝，∵∠ADC＝13°，AB＝5，∴DB＝5cot13°≈21.655（m），∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【考点9 解直角三角形的应用之仰角俯角问题】【方法点拨】仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.【例9】（2019秋•靖江市校级月考）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小明与同学们在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为53︒，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45︒，已知山坡AB 的坡度，10AB =米，21AE =米，求广告牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：4tan533︒≈，cos530.60)︒≈【分析】过B 作DE 的垂线，设垂足为G ，BH ⊥AE ．在△ADE 解直角三角形求出DE 的长，进而可求出EH 即BG 的长，在Rt △CBG 中，∠CBG ＝45°，则CG ＝BG ，由此可求出CG 的长然后根据CD ＝CG +GE ﹣DE 即可求出宣传牌的高度．【答案】解：过B 作BG ⊥DE 于G ，BH ⊥AE ，Rt △ABF 中，i ＝tan ∠BAH ＝＝， ∴∠BAH ＝30°，∴BH ＝AB ＝5米； ∴AH ＝5米，∴BG ＝AH +AE ＝（5+21）米， Rt △BGC 中，∠CBG ＝45°，∴CG ＝BG ＝（5+21）米．Rt △ADE 中，∠DAE ＝53°，AE ＝21米，∴DE ＝AE ＝28米．∴CD ＝CG +GE ﹣DE ＝26+5﹣28＝（5﹣2）m ． 答：宣传牌CD 高为（5﹣2）米．【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．【变式9-1】（2018秋•宣城期末）已知如图，斜坡AP的坡度为1:2.4，斜坡AP的水平长度为24米在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45︒，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为60︒．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果保留根号）．【分析】（1）作AD⊥PQ于D，延长BC交PQ于E，根据坡度的概念求出AD，得到答案；（2）设BC＝x米，根据正切的定义用x表示出AC，根据等腰直角三角形的性质列式计算即可．【答案】解：（1）作AD⊥PQ于D，延长BC交PQ于E，则四边形ADEC为矩形，∴AD＝CE，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，斜坡AP的水平长度为24米，∴AD＝10，即坡顶A到地面PQ的距离为10米；（2）设BC＝x米，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，即＝，解得，AC＝x，在Rt△BPE中，∠BPE＝45°，∴PE＝BE，即24+x＝x+10，解得，x＝21+7，答：古塔BC的高度为（21+7）米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【变式9-2】（2019•邓州市二模）如图（1），在豫西南邓州市大十字街西南方，耸立着一座古老建筑-福胜寺梵塔，建于北宋天圣十年（公元1032年），当地民谚云：“邓州有座塔，离天一丈八．”学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量“福胜寺梵塔”的高度．如图（2），刘明在点C处测得塔顶B的仰角为45︒，王华在高台上的点D处测得塔顶B的仰角为40︒，若高台DE高为5米，点D到点C的水平距离EC为1.3米，且A、C、E三点共线，求该塔AB的高度．（参考数据：sin400.64︒≈，︒≈，结果保留整数）cos400.77︒≈，tan400.84【分析】作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，根据矩形的性质得到CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，设FM＝x米，根据正切的定义用x表示出DM、BM，结合图形列出方程，解方程得到答案．【答案】解：作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，则四边形DECG为矩形，∴CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，设FM＝x米，由题意得，∠BDM＝40°，∠BFM＝∠BCA＝45°，∴∠CFG＝45°，BM＝FM＝x，∴GF＝GC＝5，∴DF＝DG+GF＝5+1.3＝6.3，在Rt△BDM中，tan∠BDM＝，∴DM＝≈，由题意得，DM﹣DF＝FM，即﹣6.3＝x，解得，x≈33.2，则BA＝BM+AM＝38.2≈38（米），答：该塔AB的高度约为38米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【变式9-3】（2019•碑林区校级三模）我校数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长）．直线MN垂直于地面，垂足为点P，在地面A处测得点M的仰角为60︒，点N的仰角为45︒，在B处测得点M的仰角为30︒，5AB=米．且A、B、P三点在一直线上，请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．（结果保留根号）【分析】在Rt△APN中根据已知条件得到P A＝PN，设P A＝PN＝x米，解Rt△APM得到MP＝AP•tan∠MAP＝x，然后在Rt△BPM中，根据tan∠MBP＝列方程即可得到结论．【答案】解：∵在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴P A＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP＝，设P A＝PN＝x米，∵∠MAP＝60°，∴MP＝AP•tan∠MAP＝x，在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，∵∠MBP＝30°，AB＝5，∴＝，∴x＝，∴MN＝MP﹣NP＝x﹣x＝，答：广告牌的宽MN的长为米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键．【考点10 解直角三角形的应用之方向角问题】【方法点拨】方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【例10】（2019秋•道里区校级月考）如图，射线MN表示一艘轮船的航行路线，从M到N的走向为南偏东30︒，在M的南偏东60︒方向上有一点A，A处到M处为100海里．（1）求点A到航线MN的距离；（2）在航线MN上有一点B，且15∠=︒，若轮船的速度为50海里/时，求轮船从M处到B处所用时MAB间为多少小时？（结果保留根号）【分析】（1）过A作AH⊥MN于H．由方向角的定义可知∠QMB＝30°，∠QMA＝60°，那么∠NMA ＝∠QMA﹣∠QMB＝30°．解直角△AMH中，得出AH＝AM，问题得解；（2）先根据直角三角形两锐角互余求出∠HAM＝60°，由∠MAB＝15°，得出∠HAB＝∠HAM﹣∠MAB ＝45°，那么△AHB是等腰直角三角形，求出BH＝AH距离，然后根据时间＝路程÷速度即可求解．【答案】解：（1）如图，过A作AH⊥MN于H．∵∠QMB＝30°，∠QMA＝60°，∴∠NMA＝∠QMA﹣∠QMB＝30°．在直角△AMH中，∵∠AHM＝90°，∠AMH＝30°，AM＝100海里，∴AH＝AM＝50海里，答：点A到航线MN的距离为50海里；（2）在直角△AMH中，∵∠AHM＝90°，∠AMH＝30°，∴∠HAM＝60°，∵∠MAB＝15°，∴∠HAB＝∠HAM﹣∠MAB＝45°，∵∠AHB＝90°，∴BH＝AH＝50海里，∵MH＝AH＝50海里，∴MB＝（50﹣50）海里，∴轮船从M处到B处所用时间为：＝（﹣1）小时，答：轮船从M处到B处所用时间约为（﹣1）小时．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式10-1】（2019春•南岗区校级月考）如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60︒的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30︒的方向上，（1）求B到C的距离；（2）如果在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由≈．1.732)【分析】（1）证出∠BAC＝∠ACB，得出BC＝AB＝24×＝12即可；（2）过点C作CD⊥AD于点D，分别在Rt△CBD、Rt△CAD中用式子表示CD、AD，再根据已知求得BD、CD的长，从而再将CD于9比较，若大于9则无危险，否则有危险．【答案】解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠MBC＝90°﹣30°＝60°，∵∠MBC＝∠BAC+∠ACB，∴∠ACB＝∠MBC﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝24×＝12（海里）；（2）该货船无触礁危险，理由如下：。