幂函数

幂函数的性质幂函数是数学中常见的一种函数形式，由x的幂次和常数项构成。

幂函数的一般形式可以表示为f(x) = ax^n + b，其中a、n和b为常数，且n为正整数。

幂函数具有独特的性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像特点等，下面将详细探讨幂函数的各种性质。

一、定义域幂函数的定义域取决于幂指数n的奇偶性：当n为奇数时，幂函数的定义域为实数集；当n为偶数时，幂函数的定义域取决于系数a的正负性：- 若a>0，则幂函数的定义域为非负实数集，即x ≥ 0；- 若a<0，则幂函数的定义域为空集，即不存在实数使幂函数的结果为负数。

二、值域幂函数的值域也与幂指数n的奇偶性和系数a的正负性相关：当n为奇数时，幂函数的值域为全体实数；当n为偶数时，幂函数的值域取决于系数a的正负性：- 若a>0，则幂函数的值域为非负实数集，即f(x) ≥ 0；- 若a<0，则幂函数的值域在实数轴上存在最大值，即存在一个唯一的实数C使得f(x) ≤ C。

三、奇偶性幂函数的奇偶性由幂指数n来决定：当n为偶数时，幂函数为偶函数，即f(x) = f(-x)，图像关于y轴对称；当n为奇数时，幂函数为奇函数，即f(x) = -f(-x)，图像关于原点对称。

四、单调性幂函数的单调性与幂指数n的奇偶性和系数a的正负性相关：当n为正整数且n为奇数时，幂函数在整个定义域上单调递增或单调递减；当n为正整数且n为偶数时，幂函数在定义域上存在极值点，若系数a>0，则为单调递增，若系数a<0，则为单调递减。

五、图像特点幂函数的图像具有一些特点：当n为正整数时：- 当n为奇数时，幂函数的图像经过点(0, 0)且从第三象限经过第一象限，右上倾斜；- 当n为偶数时，幂函数的图像经过点(0, 0)，右侧在y轴上方且上升（a>0）或下降（a<0）。

综上所述，幂函数的性质主要包括定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像特点。

幂函数的概念与性质在数学中，幂函数是一种常见而重要的函数类型。

它是一种形如f(x) = x^n的函数，其中n是常数，x是自变量，而f(x)则是因变量。

幂函数的性质取决于n的值，下面将详细介绍幂函数的概念与性质。

一、幂函数的定义幂函数是一类特殊的单变量函数，其定义为f(x) = x^n，其中n是常数，x是自变量。

在这个函数中，自变量x的值经过幂指数n的运算而得到新的函数值f(x)。

当幂函数的指数n为正数时，函数图像会呈现出不同的特点。

例如当n为2时，幂函数为f(x) = x^2，它代表了二次函数的图像，是一个开口向上的抛物线。

当n为3时，幂函数为f(x) = x^3，它代表了一个呈现出S形曲线的三次函数。

同理，幂函数的指数n为负数时，函数图像也会呈现出不同的形状。

二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为实数集R，除非指数n为分数时会有例外。

对于n为整数的幂函数，其值域为非负实数集R+；当n 为奇数时，幂函数的值域为整个实数集R。

2. 对称性：当幂函数的指数n为偶数时，函数图像关于y轴具有对称性。

当幂函数的指数n为奇数时，函数图像关于原点具有对称性。

3. 单调性：幂函数的单调性与指数n的正负性有关。

当n为正数时，幂函数是递增的；当n为负数时，幂函数是递减的。

4. 极限性质：幂函数具有一些特殊的极限性质。

当n大于0时，随着x趋于正无穷或负无穷，幂函数的值趋于正无穷；当n小于0时，随着x趋于正无穷或负无穷，幂函数的值趋于零。

5. 奇偶性：幂函数的奇偶性与指数n的奇偶性一致。

当n为偶数时，幂函数为偶函数；当n为奇数时，幂函数为奇函数。

6. 渐近线：幂函数的图像可以存在水平渐近线、斜渐近线和铅直渐近线。

具体的渐近线取决于指数n的正负和奇偶性。

7. 凸凹性：当指数n大于1时，幂函数的图像为凸函数；当指数n小于1时，幂函数的图像为凹函数。

综上所述，幂函数是一种常用且重要的函数类型，其性质与指数n的值密切相关。

明目标、知重点 1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝12x的图象，并通过其图象了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用．1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象与性质由幂函数y＝x、y＝12x、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(2)幂函数的图象都过点(1,1)；(3)当α>0时，幂函数图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递增；(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上单调递减．[情境导学]我们知道对于N＝a b，N随b的变化而变化，我们建立了指数函数y＝a x；如果a一定，b随N的变化而变化，我们建立了对数函数y＝log a x.设想：如果b一定，N随a的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题．探究点一幂函数的概念问题(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w 的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；(3)如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V＝a3，这里V是a的函数；(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝12s，这里a是S的函数；(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝t－1 km/s，这里v是t的函数．思考1上述5个问题中函数的对应关系分别是什么？答(1)乘以1；(2)求平方；(3)求立方；(4)求算术平方根；(5)求－1次方．思考2上述5个问题中的函数有什么共同特征？答问题中涉及到的函数，都是形如：y＝xα的函数，其中x是自变量，α是常数．小结幂函数定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考3判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？答 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数．例1 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ∵y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1), 所以常函数y ＝1不是幂函数．反思与感悟 只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子，才是幂函数，否则就不是． 跟踪训练1 已知y ＝(m 2＋2m －2)21xm -＋2n －3是定义域为R 的幂函数，求m ，n 的值．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.探究点二 幂函数的图象和性质问题 如图在同一坐标系内作出函数(1)y ＝x ；(2)y ＝x 12；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象，思考下列问题：思考1 你能从这五个具体的函数图象中，发现什么规律？ 答 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称；(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．思考2 仔细观察你画出的五个函数的图象，你能填写表格的内容吗？答证明 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2，因为x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0， 所以f (x 1)<f (x 2)，即幂函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．反思与感悟 证明函数的单调性，一般是利用单调性的定义进行证明，证明的关键是通过变形，能够得出各因式的正负，从而能判断出f (x 1)－f (x 2)的正负． 跟踪训练2 求证：函数f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证明 设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－x 31＋1)－(－x 32＋1) ＝x 32－x 31＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22)．∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，又∵x 21＋x 1x 2＋x 22＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋34x 22 且⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222≥0，34x 22≥0. 上式中两等号不能同时取得(否则x 1＝x 2＝0与x 1<x 2矛盾)，∴x 21＋x 1x 2＋x 22>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数． 例3 比较大小：(1)121.5，121.7；(2)(－1.2)3，(－1.25)3； (3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.解 (1)∵y ＝12x 在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7， ∴121.5<121.7；(2)∵y ＝x 3在R 上是增函数，－1.2>－1.25， ∴(－1.2)3>(－1.25)3； (3)∵y ＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1；∵y ＝5.26x 是增函数，－1>－2， ∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.反思与感悟 比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同底数不同时，要利用幂函数的单调性比较，底数相同而指数不同时，要利用指数函数的单调性比较，指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用时进行比较． 跟踪训练3 比较下列各组数的大小：(1)788--和7819-（）； (2)(－2)－3和(－2.5)－3；(3)(1.1)－0.1和(1.2)－0.1；(4)25(4.1)，23(3.8)-和35(1.9).解 (1)788--＝781()8-，函数y ＝78x 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则781()8>781()9， 从而788--<－781()9.(2)幂函数y ＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，又∵－2>－2.5，∴(－2)－3<(－2.5)－3. (3)幂函数y ＝x－0.1在(0，＋∞)上为减函数，又∵1.1<1.2，∴1.1－0.1>1.2－0.1. (4)25(4.1) >251＝1；0<23(3.8)-<231-＝1；35( 1.9)-<0，∴35( 1.9)-<23(3.8)-<25(4.1).1．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3 C ．y ＝2x D ．y ＝x －1答案 C解析 根据幂函数的定义：形如y ＝x α的函数称为幂函数，选项C 中自变量x 的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C 不是幂函数． 2．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值等于( ) A ．16 B.116 C ．2 D.12答案 D解析 由f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，得22＝2α，所以α＝－12，则f (4)＝124-＝2－1＝12.3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A解析 y ＝x－1的定义域为x ≠0，y ＝12x 的定义域为x ＞0，只有y ＝x ，y ＝x 3的定义域为R .4．当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．答案 二、四解析 幂函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 3的图象分布在第一、三象限，y ＝12x 的图象分布在第一象限．所以幂函数y ＝x α(α∈{－1，12，1,3})的图象不可能经过第二、四象限．[呈重点、现规律]1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．3．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．一、基础过关1．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b )B ．f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )D ．f (1a )<f (a )<f (1b )<f (b )答案 C解析 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a，故选C.2．函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )答案 B解析 y ＝12x 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y ＝12x －1的图象可看作由y ＝12x 的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝12x －1的图象关于x 轴对称后即为选项B. 3．下列是y ＝23x 的图象的是( )答案 B解析 y ＝23x ＝3x 2，∴x ∈R ，y ≥0， f (－x )＝3(－x )2＝3x 2＝f (x )， 即y ＝23x 是偶函数， 又∵23<1，∴图象上凸．4．设a ＝233()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a答案 A解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y ＝25x 在x >0时是增函数，所以a >c ，y ＝(25)x 在x >0时是减函数，所以c >b .5．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或2答案 B解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B. 6．给出以下结论：①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为________． 答案 ④解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确． ④正确．7．已知幂函数y ＝x m －2(m ∈N )的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．解 ∵图象与x ，y 轴都无交点， ∴m －2≤0，即m ≤2. 又m ∈N ，∴m ＝0,1,2. ∵幂函数图象关于y 轴对称， ∴m ＝0，或m ＝2.当m ＝0时，函数为y ＝x －2，图象如图1；当m ＝2时，函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图2.二、能力提升8．函数y ＝53x 的图象大致是( )答案 B解析 函数y ＝53x ＝3x 5是定义域为R 的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除A ，C.另外，因为y ＝531()2＝12×231()2<12，y ＝531＝1，y ＝532＝2×232>2，所以当x ∈(0,1)时，函数y ＝53x 的图象在直线y ＝x 的下方；当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝53x 的图象在直线y ＝x 的上方．故选B.9．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1 答案 B解析 因为f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，故m <53.又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5，f (－x )≠f (x )，不符合题意；当m ＝1时，f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意．综上知，m ＝1. 10．若12(1)a -+＜12(32)a --，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫23，32解析 12(1)a -+＜12(32)a --⇔121()1a +＜121()32a-，函数y ＝12x 在[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，解得23＜a ＜32.11．已知函数f (x )＝1x2＋1.(1)判断函数f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性并证明； (2)求f (x )在区间[1,3]上的最大值和最小值． 解 (1)函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数． 证明如下：设x 1，x 2是区间(0，＋∞)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(1x 21＋1)－(1x 22＋1)＝(x 1＋x 2)(x 2－x 1)(x 1x 2)2，∵x 2>x 1>0，∴x 1＋x 2>0，x 2－x 1>0，(x 1x 2)2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上减函数． (2)由(1)知函数f (x )在区间[1,3]上是减函数， 所以当x ＝1时，取最大值，最大值为f (1)＝2， 当x ＝3时，取最小值，最小值为f (3)＝109.12．已知幂函数21()()mm f x x -+= (m ∈N *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数． ∴函数f (x )＝21()m m x-+ (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝21()2m m -+，即211()22=2m m -+.∴m 2＋m ＝2. 解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ≥0，a －1≥02－a >a －1.解得1≤a <32. ∴a 的取值范围为[1，32)． 三、探究与拓展 13．已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足3(1)ma -+＜3(32)ma -－的a 的取值范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m －3＜0，解得m ＜3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称，∴m －3是偶数，而2－3＝－1为奇数，1－3＝－2为偶数，∴m ＝1.而f (x )＝13x-在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， ∴13(1)a -+＜13(32)a --等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a .解得a ＜－1或23＜a ＜32. 故a 的取值范围为{a |a ＜－1或23＜a ＜32}．。

幂函数知识点1. 幂函数的定义幂函数是一种特殊的函数，其形式为f(x) = ax^b，其中a 和b都是实数，且a不等于0。

在幂函数中，x是自变量，b 是幂指数，a是幂函数的系数。

2. 幂函数的图像根据幂函数的定义，可以推断出幂函数的图像特征： - 当幂指数b为正数时，幂函数呈现上升趋势。

当x趋近于无穷大时，幂函数的值也趋近于无穷大；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于零。

- 当幂指数b为负数时，幂函数呈现下降趋势。

当x趋近于无穷大时，幂函数的值趋近于零；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于无穷大。

- 当幂指数b为零时，幂函数为常数函数，图像为一条水平直线。

3. 幂函数的性质幂函数具有以下性质： - 幂函数的定义域为实数集，值域依赖于a的正负性质。

- 幂函数在定义域上是连续的。

- 当幂指数b为正偶数时，幂函数的值始终为正数。

- 当幂指数b为正奇数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a 的正负性。

- 当幂指数b为负数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a的正负性。

- 幂函数在x=0处存在一个驻点，即当x=0时，幂函数的导数为0。

- 当b>0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而增加；当b<0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而减小。

4. 幂函数的应用幂函数在数学和物理中有广泛的应用，例如： - 在生物学中，幂函数常被用来描述生物体量和身高的关系，以及种群增长和资源利用的关系。

- 在经济学中，幂函数常被用来描述产出与投入的关系，以及利润与销售量的关系。

- 在物理学中，幂函数常被用来描述力与位移的关系，以及电力消耗与电流的关系。

5. 幂函数的求导根据幂函数的定义，我们可以得出幂函数的导数公式： - 对于f(x) = ax^b，其中a不等于0且b不等于0，幂函数的导数为f’(x) = abx^(b-1)。

其中b-1为幂指数减一。

在求幂函数的导数时，需要注意幂指数b的取值范围，以及系数a的正负性。

幂函数的定义及性质幂函数是数学中常见的一类函数形式，它的定义如下：定义：对于给定的实数a（a≠0）和非零实数b，幂函数f(x)=a⋅x^b。

其中，a称为幂函数的系数，b称为幂函数的指数，x称为幂函数的自变量，f(x)称为幂函数的因变量。

在幂函数的定义中，a是幂函数的系数，可以取任意非零实数。

系数a决定了函数的纵向伸缩变换，当a>0时，幂函数的图像在y轴上方，当a<0时，幂函数的图像在y轴下方。

指数b是幂函数的指数，决定了函数的横向伸缩变换以及函数的形状。

当b>1时，幂函数增长更为迅速；当0<b<1时，幂函数增长逐渐变缓；当b=1时，幂函数变为线性函数；当b<0时，幂函数变为倒数函数。

幂函数的性质如下：1. 定义域和值域：幂函数的定义域为所有使得指数函数值存在的实数。

当a>0且b>0时，幂函数的值域为(0,+∞)；当a<0且b为奇数时，幂函数的值域为(-∞,0)；当a<0且b为偶数时，幂函数的值域为[0,+∞)。

2. 对称性：a⋅(-x)^b = (-a)⋅x^b，即幂函数关于y轴对称。

3. 单调性：幂函数在定义域上单调递增或递减，取决于系数a和指数b的正负情况。

4. 奇偶性：当b为整数时，幂函数的奇偶性与系数a的奇偶性一致；当b为分数时，幂函数的奇偶性与a的正负性一致。

5. 渐近线：当b>0时，幂函数的图像有一条水平渐近线y=0；当b<0时，幂函数的图像有两条渐进线，分别是x轴和y轴。

6. 函数的图像：幂函数的图像形状随着系数a和指数b的取值而变化，可以是上凸、下凸、对称或非对称的。

以上是幂函数的定义及性质的介绍。

幂函数作为一类常见的函数形式，具有广泛的应用领域，在数学、物理、经济等学科中都有重要的作用。

通过对幂函数的研究和理解，我们可以更好地理解函数的变化规律和函数图像的特点，为解决实际问题提供数学工具和思路。

幂函数知识点一、幂函数的定义形如$y ＝ x^｛＼alpha}＄（＄＼alpha$为常数）的函数，称为幂函数。

其中$x$是自变量，＄＼alpha$是常数。

需要注意的是，幂函数的底数是自变量$x$，指数是常数$＼alpha$，这是幂函数的重要特征。

例如，＄y ＝ x^2$，＄y ＝ x^｛1/2}＄，＄y＝ x^｛－1}＄等都是幂函数。

二、幂函数的图像和性质1、当$＼alpha ＞ 0$时（1）＄＼alpha$为偶数时，幂函数的图像关于$y$轴对称。

例如，＄y ＝ x^2$的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点。

（2）＄＼alpha$为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。

比如，＄y ＝ x^3$的图像是经过原点的单调递增曲线。

2、当$＼alpha ＜ 0$时（1）幂函数的图像在第一、二象限，在第一象限内，函数值随$x$的增大而减小。

例如，＄y ＝ x^｛－1}＄的图像是双曲线，位于第一、三象限。

（2）当$x ＞ 1$时，幂函数的图像在$y ＝ x$的下方；当$0 ＜ x ＜1$时，幂函数的图像在$y ＝ x$的上方。

3、当$＼alpha ＝ 0$时＄y ＝ 1$（＄x ＼neq 0$），图像是一条平行于$x$轴的直线，去掉点$（0, 1)＄。

三、幂函数的单调性1、当$＼alpha ＞ 0$时（1）若$＼alpha ＞ 1$，幂函数在$0, ＋＼infty)＄上单调递增。

（2）若$0 ＜＼alpha ＜1$，幂函数在$0, ＋＼infty)＄上单调递增，但增长速度较慢。

2、当$＼alpha ＜ 0$时幂函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。

四、幂函数的奇偶性1、若$＼alpha$为整数（1）当$＼alpha$为偶数时，幂函数为偶函数。

（2）当$＼alpha$为奇数时，幂函数为奇函数。

2、若$＼alpha$为分数将其化为最简分数形式$＼frac{p}｛q}＄（＄p$，＄q$互质）（1）若$q$为偶数，幂函数是非奇非偶函数。

幂函数的计算方法一、幂函数的基本概念。

1.1 幂函数长啥样呢？它的形式很简单，就是y = x^α（α是常数）。

这个α可不得了，它能决定幂函数的很多特性呢。

就像不同的性格能决定一个人的行事风格一样。

比如说，当α = 2的时候，函数y = x²，这就是一个很常见的幂函数啦。

1.2 幂函数的定义域也很有讲究。

这个定义域啊，得根据α的值来确定。

有时候是全体实数，有时候就得把某些数排除在外。

这就好比一个俱乐部的准入规则，不同的情况有不同的要求。

二、幂函数的计算要点。

2.1 幂的乘方。

这就像是给幂函数做“升级”。

比如说(x^m)^n，那结果就是x^(m n)。

这就好比是搭积木，一层一层往上加，规则很明确，按照这个来计算准没错。

这在幂函数的计算里可是相当重要的一个环节，就像盖房子打地基一样关键。

2.2 同底数幂相乘。

这个规则就是底数不变，指数相加。

像x^m x^n = x^(m + n)。

这多简单啊，就像把相同颜色的珠子串在一起，数量就相加了呗。

这也是幂函数计算里经常用到的规则，要是这个都不会，那计算幂函数就像没头的苍蝇——乱撞啦。

2.3 同底数幂相除。

这个规则是底数不变，指数相减。

例如x^m÷x^n = x^(m n)（x≠0）。

这也好理解，就像从一堆东西里拿走一部分，剩下的数量就是相减的结果嘛。

在幂函数的计算中，这个规则也不能忽视，不然就会算出错误的结果，那可就是竹篮打水——一场空了。

三、幂函数计算的实际例子。

3.2 再复杂一点的例子。

计算(x²)^3 x^4÷x^5。

根据幂的乘方规则，(x²)^3 = x^(2 3)= x^6。

然后，同底数幂相乘，x^6 x^4 = x^(6 + 4)= x^10。

同底数幂相除，x^10÷x^5 = x^(10 5)= x^5。

这整个过程就像走迷宫一样，每一步都得按照规则来，要是走错了，就找不到出口（正确结果）了。

幂函数归纳总结幂函数是高中数学中常见的一种函数形式，其表达式为y = ax^n，其中a和n为常数，x为自变量。

幂函数在数学和实际应用中具有重要的作用，通过对幂函数进行归纳总结，可以更好地理解和应用幂函数。

1. 幂函数的定义和性质幂函数是由一个常数底数a的幂次方函数。

其中，底数a决定了幂函数的基本形态，幂指数n则决定了幂函数曲线的变化。

幂函数的性质包括：- 当a>0时，幂函数在整个定义域上单调递增或递减；- 当a<0时，幂函数在定义域上单调递增或递减，但在奇次幂的情况下函数的值为负；- 当n为偶数时，幂函数图像关于y轴对称；- 当n为奇数时，幂函数图像关于原点对称。

2. 幂函数图像的特点幂函数的图像特点与其底数a和幂指数n密切相关。

下面分别对这两个因素进行总结：2.1 底数a的影响- 当|a|>1时，幂函数的图像趋向于无穷大。

当a>1时，幂函数为增长函数；当a<1时，幂函数为衰减函数。

- 当|a|<1时，幂函数的图像趋向于零。

当a>0时，幂函数为衰减函数；当a<0时，幂函数为增长函数。

2.2 幂指数n的影响- 当n>1时，幂函数的图像在零点的右侧逐渐上升或下降。

- 当n=1时，幂函数为一次函数。

- 当0<n<1时，幂函数在整个定义域上单调递减。

- 当n=0时，幂函数为常函数，图像为一条水平直线。

3. 幂函数的应用幂函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，在以下领域中尤为重要：3.1 物理学中的应用- 物体自由落体的运动规律中，与时间相关的位移和速度函数可以表示为幂函数的形式；- 电路中的电阻与电流关系、电压与电流关系等多与幂函数相关。

3.2 经济学中的应用- 许多经济学模型中，需求曲线、供给曲线等都可以用幂函数来描述；- 成本函数、收益函数等经济学指标常常涉及幂函数。

3.3 生物学中的应用- 生物种群的增长模型经常使用幂函数来描述；- 营养物质浓度、酶催化反应速率等生物过程也可以通过幂函数来表示。

幂函数的定义与性质幂函数是一类基本的数学函数，它的定义形式是f(x) = ax^k，其中a和k是常数，且a不等于零。

幂函数在数学中有着广泛的应用，无论是在代数、几何还是在物理等领域，都有重要的作用。

本文将重点介绍幂函数的定义与性质。

一、幂函数的定义幂函数是一种基本的数学函数，它的定义形式如下：f(x) = ax^k其中，a是一个不等于零的常数，k是一个实数。

a被称为幂函数的系数，k被称为幂指数。

幂指数k可以是正数、负数、零或分数。

具体的取值范围决定了幂函数的性质。

二、幂函数的性质1. 幂函数的定义域和值域幂函数的定义域是实数集R，即所有实数x都可以作为幂函数的自变量。

根据幂函数定义，当幂指数k是正数或分数时，幂函数的值域是正实数集(0,+∞)；当幂指数k是负数时，幂函数的值域是(0,+∞)的倒数集(0,1)；当幂指数k是零时，幂函数的值域是{a}，即幂指数为零时函数的值固定为系数a。

2. 幂函数的图像特征幂函数的图像特征与幂指数k的正负有关。

当幂指数k大于1时，幂函数呈现出单调递增的特性，图像在原点右侧上升；当幂指数k介于0和1之间时，幂函数呈现出单调递减的特性，图像在原点右侧下降；当幂指数k小于0时，幂函数图像会关于x轴对称，且在增大的过程中逐渐趋近于0。

3. 幂函数的性质与幂指数k的关系幂函数的性质与幂指数k的取值有关。

当幂指数k大于1时，幂函数是增长的加速函数；当幂指数k小于1但不等于零时，幂函数是增长的减速函数；当幂指数k小于0时，幂函数是单调递减函数；当幂指数k等于0时，幂函数是常数函数。

4. 幂函数与其他函数的关系幂函数是一类重要的基本函数，它与指数函数、对数函数和三角函数等有着紧密的关系。

通过对幂函数和其他函数的组合运算，可以得到更为复杂的函数表达式。

这种关系在数学建模、物理学和工程学等领域的问题求解中得到广泛应用。

结语：幂函数作为一类基本的数学函数，具有丰富的性质和广泛的应用。

它的定义形式简明扼要，通过对幂指数k的取值范围进行分析，我们可以得到不同性质的幂函数。