20182019高中数学第一章空间几何体章末检测新人教A版必修2

高一数学必修二第一单元：空间几何体单元过关试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( )． A ．棱柱的侧面可以是三角形 B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C ．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D ．棱柱的各条棱都相等2．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )． A ．一个圆台、两个圆锥 B ．两个圆台、一个圆柱 C ．两个圆台、一个圆锥 D ．一个圆柱、两个圆锥3．若圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积( )．A ．缩小到原来的一半B ．扩大到原来的2倍C ．不变D ．缩小到原来的164．(2012·皖南八校联考)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )．5．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC 是一个( )．A．等边三角形B．直角三角形C．三边中有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形6．在长方体ABCD-A1B1C1D1截去一角B1-A1BC1，则它的体积是长方体体积的( )．A.14B.16C.112D.1187．若顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )．A．16π B．20π C．24π D．32π8．若圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )．A．7 B．6 C．5 D．39．(2011·高考卷)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )．A．8 B．6 2 C．10 D．8 210．(2012·某某一检)如右图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝，V3＝，其余部分为V2，若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为( )．A．410 B．8 3 C．413 D．16二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)11．底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面积为________cm2.12．某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是________．13．若一个长方体的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为4 cm2，6 cm2,24 cm2，则该长方体的体积等于________．14．如图所示，扇形所含的中心角为90°，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得的旋转体体积V1和V2之比为________．15．已知三棱柱ABC－A1B1C1，底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的体积为32π3，则该三棱柱的体积为________．三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(12分)圆柱的高是8 cm，表面积是130 π cm2，求它的底面圆半径和体积．17．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．18．(12分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．(1)求该几何体的全面积．(2)求该几何体的外接球的体积．19．(12分)已知正三棱锥S-ABC，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15 cm，底面边长为12 cm，内接正三棱柱的侧面积为120 cm2.(1)求三棱柱的高；(2)求棱柱上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比．20．(13分)如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM ＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求：(1)绳子的最短长度的平方f(x)；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f(x)的最大值．21．(14分)已知四棱锥P－ABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，如图分别是四棱锥P－ABCD的侧视图和俯视图．(1)求证：AD⊥PC；(2)求四棱锥P－ABCD的侧面PAB的面积．（备选题）22．）如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，请说明理由．解析：一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( )． A ．棱柱的侧面可以是三角形 B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C ．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D ．棱柱的各条棱都相等解析 本题考查多面体的结构特征，属容易题，应选B. 答案 B2．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )． A ．一个圆台、两个圆锥 B ．两个圆台、一个圆柱 C ．两个圆台、一个圆锥 D ．一个圆柱、两个圆锥解析 认清旋转轴的位置，旋转一周所得的几何体，两头是圆锥，中间是圆柱．故选D. 答案 D3．若圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积( )．A ．缩小到原来的一半B ．扩大到原来的2倍C ．不变D ．缩小到原来的16解析 设原圆锥的高为h ，底面半径为r ，体积为V ，则V ＝π3r 2·h；变化后圆锥的体积V′＝π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2×2h＝16πr 2·h＝12V.答案 A4．(2012·皖南八校联考)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )．解析 由三视图间的关系，易知其侧视图是一个底边为3，高为2的直角三角形，故选B. 答案 B5．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC 是一个( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析 依据斜二测画法的原则可得， BC ＝B′C′＝2，OA ＝2×32＝3， ∴AB ＝AC ＝2，故△ABC 是等边三角形． 答案 A6．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一角B 1-A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的( )．A.14B.16C.112D.118 解析 ＝13·＝13×12×B 1C 1＝16 答案 B7．若顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )．A．16π B．20π C．24π D．32π解析设正四棱柱的底边长为a，球半径为R，则a2·4＝16，∴a＝2.又(2R)2＝22＋22＋42，∴R2＝6.∴S球面＝4πR2＝4π×6＝24π.答案 C8．若圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )．A．7 B．6 C．5 D．3解析设较小底面半径为r，另一底面半径为R，则2πR＝3×2πr，∴R＝3r.由侧面积公式得π(r＋3r)l＝84π，即π(r＋3r)·3＝84π.∴r＝7.答案 A9．(2011·高考卷)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )．A．8 B．6 2 C．10 D．8 2解析将三视图还原成几何体的直观图如图所示．它的四个面的面积分别为8,6,10,62，故最大的面积应为10.答案 C10．(2012·某某一检)如右图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝，V3＝，其余部分为V2，若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为( )．A．410 B．8 3 C．413 D．16解析 三部分都是棱柱，三棱柱AA 1EDD 1F ，三棱柱B 1BE 1C 1CF 1和四棱柱A 1EBE 1D 1FCF 1，显然它们等高，设为h ， 由V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1 得S 1h ∶S 2h ∶S 3h ＝1∶4∶1. ∴S 1∶S 2∶S 3＝1∶4∶1设AE ＝a ，则BE ＝6－a ，∴(6－a)×3＝4×12×a×3，∴a ＝2.∴A 1E ＝22＋32＝13.答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 11．底面直径和高都是4 cm 的圆柱的侧面积为________cm 2. 解析 圆柱的底面半径为r ＝12×4＝2，∴S 侧＝2π×2×4＝16π答案 16π12．某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是________．解析 原三角形是两直角边长分别为2与22的直角三角形． ∴S ＝12×2×22＝2 2.答案 2 213．若一个长方体的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为4 cm 2，6 cm 2,24 cm 2，则该长方体的体积等于________．解析 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则有ab ＝24，ac ＝4，bc ＝6， 所以(abc)2＝24×6×4，所以abc ＝24(cm 3)，即长方体的体积为24 cm 3. 答案 24 cm 314．如图所示，扇形所含的中心角为90°，弦AB 将扇形分成两个部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，所得的旋转体体积V 1和V 2之比为________．解析 Rt △AOB 绕OA 旋转一周形成圆锥，其体积V 1＝π3R 3， 扇形绕OA 旋转一周形成半球面， 其围成的半球的体积V ＝2π3R 3，∴V 2＝V －V 1＝2π3R 3－π3R 3＝π3R 3.∴V 1∶V 2＝1∶1. 答案 1∶115.解析： 根据球的体积计算公式，该球的半径是2.设三棱柱的高为2a ，根据题意，得a 2＋1＝4，得a ＝3，故这个三棱柱的高是23，其体积是34×(3)2×23＝92.三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(12分)圆柱的高是8 cm ，表面积是130 π cm 2，求它的底面圆半径和体积． 解 设圆柱的底面圆半径为r cm ， ∴S 圆柱表＝2π·r·8＋2πr 2＝130π. ∴r ＝5(cm)，即圆柱的底面圆半径为5 cm. 则圆柱的体积V ＝πr 2h ＝π×52×8＝200π(cm 3)．17．(12分)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解 以AD 为旋转轴，DC 、CB 、BA 为母线旋转一周形成的图形是一个圆台上方挖去一个圆锥后形成的几何体．S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22＝(70＋42)π； V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(r 21＋r 1r 2＋r 22)h －13πr 21h 1＝1483π.18．(12分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm 与2 cm ，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm 的正方形． (1)求该几何体的全面积． (2)求该几何体的外接球的体积．解 (1)由题意可知，该几何体是长方体， 底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是：2×4×4＋4×4×2＝64 (cm 2)， 即几何体的全面积是64 cm 2.(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d ，球的半径是r ， d ＝16＋16＋4＝36＝6，所以球的半径为r ＝3. 因此球的体积V ＝43πr 3＝43×27π＝36π(cm 3)，所以外接球的体积是36π cm 3.19．(12分)已知正三棱锥S-ABC ，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15 cm ，底面边长为12 cm ，内接正三棱柱的侧面积为120 cm 2. (1)求三棱柱的高；(2)求棱柱上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比． 解 (1)设正三棱柱高为h ，底面边长为x ，如图，则15－h 15＝x12，∴x ＝45(15－h)．①又S 三棱柱侧＝3x·h＝120， ∴xh ＝40.②解①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，h ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，h ＝5.故正三棱柱的高为10 cm 或5 cm. (2)由棱锥的性质，得＝⎝⎛⎭⎪⎫15－10152＝19或＝⎝⎛⎭⎪⎫15－5152＝49.20．(12分)如图所示，已知在圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A ，求：(1)绳子的最短长度的平方f(x)； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大值．解 将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图，则该展开图为扇形，且弧AA′的长度L 就是⊙O 的周长，∴L ＝2πr＝2π.∴∠ASA′＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°，(1)由题意知，绳长的最小值为展开图中的AM ，其值为 AM ＝x 2＋16(0≤x≤4)， ∴f(x)＝AM 2＝x 2＋16(0≤x≤4)．(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ， 则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离． 在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA·SM＝12AM· SR，∴SR ＝SA·SM AM ＝4xx 2＋16(0≤x≤4)．(3)∵f(x)＝x 2＋16(0≤x≤4)是增函数， ∴f(x)的最大值为f(4)＝32.21．(13分)已知四棱锥P －ABCD 的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，如图分别是四棱锥P －ABCD 的侧视图和俯视图．(1)求证：AD ⊥PC ；(2)求四棱锥P －ABCD 的侧面PAB 的面积．解析： (1)证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的射影是线段CD 的中点E ，如图，连接PE ，则PE ⊥平面ABCD .∵AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥PE .∵AD ⊥CD ，CD ∩PE ＝E ，CD ⊂平面PCD ，PE ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥平面PCD . ∵PC ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥PC .(2)依题意，在等腰三角形PCD 中，PC ＝PD ＝3，DE ＝EC ＝2，在Rt △PED 中，PE ＝ PD 2－DE 2＝ 5. 过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，连接PF ， ∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB ⊥PE .∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF ∩PE ＝E ， ∴AB ⊥平面PEF . ∵PF ⊂平面PEF ， ∴AB ⊥PF .依题意得EF ＝AD ＝2.在Rt △PEF 中，PF ＝ PE 2＋EF 2＝3， ∴△PAB 的面积S ＝12·AB ·PF ＝6.∴四棱锥P －ABCD 的侧面PAB 的面积为6.22．（14分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC ⊥AD ；(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD 的大小；若不存在，请说明理由．解析： (1)证明：取BC 的中点E ，连结AE ，DE ， ∵△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形，∴AE ⊥BC ，DE ⊥BC . ∵AE ∩DE ＝E ，∴BC ⊥平面AED ，AD ⊂平面AED ，∴BC ⊥AD .(2)由已知得，△AED 为等腰三角形，且AE ＝ED ＝23， 设AD ＝x ，F 为棱AD 的中点， 则EF ＝ 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，S △AED ＝12x ·12－x 24＝1448x 2－x 4， V ＝13S △AED ·(BE ＋CE )＝1348x 2－x 4(0＜x ＜43)， 当x 2＝24，即x ＝26时，V max ＝8，∴该四面体存在最大值，最大值为8，此时棱长AD ＝2 6.。

第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用一个平面去截一个几何体,可以使截面是长方形,也可以使截面是圆,则这个几何体可以是()A.棱柱B.棱台C.圆柱D.球答案:C2.如图,是一个物体的三视图,则此物体的直观图是()解析:由三视图知几何体为圆锥与圆柱的组合体如图.故选D.答案:D3.如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,A'O'=6,B'O'=2,则△OAB的面积是()A.6B.3C.6D.12解析:△OAB是直角三角形,其两条直角边分别是4和6,则其面积是12.答案:D4.(2016某某某某一中高二月考)圆锥的高扩大到原来的2倍,底面半径缩短到原来的,则圆锥的体积()A.缩小到原来的一半B.扩大到原来的2倍C.不变D.缩小到原来的解析:设原圆锥的高为h,半径为r,体积为V,则V=πr2h;变化后圆锥的体积为V'=·2h=πr2h=V.答案:A5.一个几何体的三视图如图,其中正视图是边长为2的正三角形,俯视图是正方形,则该几何体的侧视图的面积是()A.2B.C.4D.2解析:由题意可知侧视图与正视图形状完全一样,是正三角形,面积S=×22=.答案:B6.(2016某某某某高二期中)已知圆台的上、下底面半径分别为1和2,高为1,则该圆台的全面积为()A.3πB.(5+3)πC.πD.π解析:由题意被截去圆锥的高为1,母线长为,圆台的母线长为,∴圆台的全面积为π(12+22+1×+2×)=(5+3)π.故选B.答案:B7.(2015某某高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4解析:由三视图知,该几何体为半圆柱,故其表面积为S侧+S上底+S下底=(π+2)×2+π=3π+4.答案:D8.(2015某某高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.+2πB.C.D.解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其中左边是半个圆锥,底面半径为1,高为1,所以其体积V1=π·12·1·;右边是一个圆柱,底面半径为1,高为2,所以其体积V2=π·12·2=2π,故该几何体的体积为V=V1+V2=+2π=.答案:B9.(2016某某某某高二期中)如图是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边BD长为2;侧视图为一直角三角形;俯视图为一直角梯形,且AB=BC=1,则此几何体的体积是()A.B.C.D.1解析:由三视图可知该几何体为四棱锥与三棱锥的组合体,其直观图如图.根据正视图是一等腰直角三角形,且斜边BD长为2,∴棱锥的高为1.又底面直角梯形的底边长分别为1,2,高为1,∴底面面积为×1=,∴几何体的体积V=×1=.故选A.答案:A10.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB=AC=,BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,则多面体BB1C1CEF的体积为()A.30B.18C.15D.12解析:-V E-ABC=S△ABC×6-S△ABC·A1F-S△ABC·AE=S△ABC·=5S△ABC.∵AC=AB=,BC=6,∴S△ABC=×6×=6.∴=5×6=30.答案:A11.导学号96640024(2016某某某某高二期中)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为()A.πB.πC.πD.16π解析:如图,设PE为正四棱锥P-ABCD的高,则正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上,延长PE交球面于一点F,连接AE,AF.由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF,又底面边长为4,∴AE=2,PE=6,∴侧棱长PA==2.设球的半径为R,则PF=2R.由三角形相似得PA2=PF·PE,即44=2R×6,解得R=,∴S=4πR2=4π,故选B.答案:B12.(2015某某高考)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为()A. B.C. D.解析:由三视图可知该几何体是一个圆锥,其底面半径r=1,母线长l=3,所以其高h==2.故该圆锥的体积V=r2h=×12×2.由题意可知,加工后的正方体是该圆锥的一个内接正方体,如图所示.正方体ABCD-EFGH的底面在圆锥的底面内,下底面中心与圆锥底面的圆心重合,上底面中心在圆锥的高线上,设正方体的棱长为x.在轴截面SMN中,由O1G∥ON可得,,即,解得x=.所以正方体的体积为V1=.所以该工件的利用率为.故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.圆柱的高是8 cm,表面积是130π cm2,则它的底面圆的半径等于cm.解析:设圆柱的底面圆的半径为r cm,则S圆柱表=2π·r·8+2πr2=130π.解得r=5,即圆柱的底面圆半径为5 cm.答案:514.(2016某某德阳高二期中)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=.解析:因为D,E分别是AB,AC的中点,所以S△ADE∶S△ABC=1∶4.又F是AA1的中点,所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍,即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍,所以V1∶V2==1∶24.答案:1∶2415.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,则棱锥O-ABCD的体积为. 解析:依题意,棱锥O-ABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径,如图,连接AC,取AC中点O',连接OO'.易知AC==4,则AO'=2.在Rt△OAO'中,OA=4,从而OO'==2.所以V O-ABCD=×2×6×2=8.答案:816.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是A'A,C'C的中点,则下列判断正确的是.(填序号)①四边形BFD'E在底面ABCD内的投影是正方形;②四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影是菱形;③四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影与在面ABB'A'内的投影是全等的平行四边形.解析:①四边形BFD'E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B,C,D,A,故投影是正方形;②设正方体的边长为2,由AE=1,取D'D的中点G,则四边形BFD'E在平面A'D'DA内的投影是四边形AGD'E,因为AE∥D'G,且AE=D'G,所以四边形AGD'E是平行四边形,但AE=1,D'E=,故四边形AGD'E不是菱形;对于③,由②知是两个边长分别相等的平行四边形,从而③正确.答案:①③三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是矩形(如图),正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.解:由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为h1的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为6,高为h2的等腰三角形,如图.(1)几何体的体积V=S矩形h=×6×8×4=64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高h1==5.左、右侧面的底边上的高h2==4.故几何体的侧面积S=2·=40+24.18.(本小题满分12分)(2016某某某某一中高二月考)如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解:由题意,知所成几何体的表面积等于圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和.又S半球面=×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),所以所成几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=×23=(cm3).所以所成几何体的体积为V圆台-V半球=52π-(cm3).19.(本小题满分12分)如图所示的是一个边长为5+的正方形,剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图,求该圆锥的体积.解:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,则依题意有·2πl=2πr,∴l=4r.∵AC=OC+OA=r+r+l=(+5)r,且AC=×(+5),∴(+5)r=(+5)×,∴r=.∴l=4,∴h=.∴V圆锥=πr2h=π()2×.故该圆锥的体积为.20.导学号96640025(本小题满分12分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为正三角形,且侧棱垂直于底面.AB=2,AA1=2,从顶点B 沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记为M.求:(1)三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图的对角线长;(2)从B经过M到C1的最短路线长及此时的值.解:沿侧棱BB1将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开,得到一个矩形BB1B1'B'(如图).(1)矩形BB1B'1B'的长为BB'=6,宽为BB1=2.所以三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图的对角线长为=2.(2)由侧面展开图可知:当B,M,C1三点共线时,从B经过M到达C1的路线最短.所以最短路线长为BC1==2.显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M,所以A1M=AM,即=1.所以从B经过M到C1的最短路线长为2,此时的值为1.21.(本小题满分12分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形,边长分别是4 cm与2 cm,如图,俯视图是一个边长为4 cm的正方形.(1)求该几何体的全面积;(2)求该几何体的外接球的体积.解:(1)由题意可知,该几何体是长方体,底面是正方形,边长是4 cm,高是2 cm,因此该几何体的全面积是2×4×4+4×4×2=64(cm2),即该几何体的全面积是64 cm2.(2)由长方体与球的性质可得,长方体的体对角线是球的直径,设长方体的体对角线为d cm,球的半径为r cm,则d==6(cm),所以球的半径为r=3(cm).球的体积V=πr3=×27π=36π(cm3),因此,外接球的体积是36π cm3.22.(本小题满分12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m,高为4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;(3)哪个方案更经济些?解:(1)若按方案一,仓库的底面直径变成16 m,则仓库的体积为V1=S·h=×π××4=(m3).若按方案二,仓库的高变成8 m,则仓库的体积为V2=S·h=×π××8=96π(m3).(2)若按方案一,仓库的底面直径变成16 m,半径为8 m.圆锥的母线长为l1==4(m),则仓库的表面积为S1=π×8×4=32π(m2).若按方案二,仓库的高变成8 m.圆锥的母线长为l2==10(m),则仓库的表面积为S2=π×6×10=60π(m2).(3)∵V1<V2,S2<S1,∴方案二比方案一更加经济.。

人教A版高中数学必修2 第1章空间几何体知识点空间几何体：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。

如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。

1、中心投影与平行投影2、三视图正视图——从正面看到的图侧视图——从左面看到的图俯视图——从上面看到的图画物体的三视图时，要符合如下原则:位置：正视图 侧视图俯视图大小：长对正，高平齐，宽相等.直观图-----斜二测画法重点：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，步骤如下：⑴ 在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O' ，且使∠x'O'y' ＝45º（或135º），它们确定的平面表示水平面.⑵ 已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段；⑶ 已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．例1.将长与宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱，则该圆的底面半径为( )A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

例2.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从点A沿表面拉到点C1，求绳子的最短长.例3用一个平行于底面的平面截圆锥，截得的圆台上下底面的半径之比是1∶4，截去圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长.例4.圆台的侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面的半径与两底面面积之和.例5.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.例6.用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24 cm，下底半径为16 cm，母线长为48 cm，则矩形铁皮的长边长最少是多少？例7.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了会溢出杯子吗？空间几何体同步练习1.如图，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其俯视图是（）2.对几何体的三视图，下面说法正确的是（）A.正视图反映物体的长和宽B.俯视图反映物体的长和高C.侧视图反映物体的高和宽D.正视图反映物体的高和宽3.下列命题，其中正确命题的个数是（）①以直角三角形的一边为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆锥②以直角梯形的一腰为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆台③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆④一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台A.0B.1C.2D.34.给出下列命题，其中正确命题的个数是（）①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体③如果一个几何体的三视图是矩形，则这个几何体是长方体④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台A.0B.1C.2D.35.斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是（）A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形6.以一个等边三角形底边所在的直线为对称轴旋转一周所得的几何体是（）A.一个圆柱B.一个圆锥C.两个圆锥D.一个圆台7.下图是水平放置的三角形的直观图，AB∥y轴，则△ABC是…（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形8.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的可能图形为（）A.①③B.②④C.①②③D.②③④9.“两底面直径之差等于母线长”的圆台（）A.是不存在的B.其母线与高线必成60°角C.其母线与高线必成30°角D.其母线与高线所成的角不是定值10.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是（）11.如下图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下列中的（）12.已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为（）A.错误！未找到引用源。

5.若一个几何体的三视图都是一样的图形,则这个几何体一定是球.( × ) 6.正方形利用斜二测画法画出的直观图是菱形.( × )
7.圆台的侧面积公式是π (r+R)l,其中r和R分别是圆台的上、下底面半径,l
是其母线长.( √ )
主题串讲
一、空间几何体的结构特征
方法提炼·总结升华
【典例1】 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1) 由六个面围成 , 其中一个面是正五边形 , 其余各面是有公共顶点的三 角形;
解析:正四棱锥P-ABCD外接球的球心在它的高PO1上,记为O,OP=OA=R,
PO1=4,OO1=4-R, 或OO1=R-4(此时O在PO1的延长线上).
在Rt△AO1O中,R2=8+(R-4)2得R=3,
所以球的表面积S=36π. 答案:36π
规律方法 (1)与球有关的组合体,一种是内切,一种是外接,解题时要认
1 (6+8)× 17 =7 17 . 2
从而此正四棱台的侧面积是 28 17 .
【典例6】 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的表面积为 m3.
错解:由三视图可以得到原几何体是一个圆柱与圆锥的组合体,其表面积是
2 2 S=2π×1×4+π×1 +π×2×2 2 +π×2
=8π+π+4 2 π+4π =(13π+4 2 π)(m3).
1 13 26 于是仓库的容积 V=V 柱+V 锥=a2·4h+ a2·h= a2h= (36h-h3), 3 3 3
0<h<6,从而 V′=
26 2 2 (36-3h )=26(12-h ). 3