导数专题 虚设零点

谈虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用------以2019年几道模拟题为例在高考的导数压轴题中，经常会遇到导函数具有零点但求解又相对比较复杂甚至是无法求解的问题，这个时候，从正面去强求函数的零点值是很困难的，我们不妨只须设出函数的零点，然后利用其满足的关系式，谋求一种整体的替换和过渡，往往会给我们带来意向不到的效果，最后再结合题目的其他条件，就可以很快解决这类问题。

对于最近的几道地市模拟题的导数压轴题，我们发现它们用的好像都是同一个方法--虚设零点消元法，只分析第一道，其他同理，顺便再看看之前曾经出现过的两道经典题•一、【2019合肥一模理科21】二、【2019顺德三模理科21】三、【2019佛山3月统考(北京燕博园)理科21】四、【2019广州一模理科21】五、【2019广东模拟理科21】六、【2018广州二模理科21】七、【2013全国二卷理科21】【2019合肥一模理科21】21.(本小题满分12分)已知函数f(x) e x ln(x 1) ( e为自然对数的底数).(I )求函数f (x)的单调区间；(n )若g(x) f (x) ax，a R，试求函数g(x)极小值的最大值.解析：(I)易知x 1，且f (x) e x-------------------- .x 1 【求一阶导数发现是超越函数，无法确定导数的零点】1 1令h(x) e x，则h (x) e x2 0，x 1 (x 1)2【进一步求二阶导数，发现二阶导数恒大于0,说明一阶导数递增】1•••函数h(x) e x—在x (1,)上单调递增，且h(0) f (0) 0.x 1【找到一阶导数的一个零点，而且是唯一的由负变正的零点，从而确定单调区间】可知，当x ( 1,0)时，h(x) f (x) 0，f (x) e x ln(x 1)单调递减；当x (0,)时，h(x) f (x) 0，f (x) e x ln(x 1)单调递增.•函数f (x)的单调递减区间是(1,0)，单调递增区间是(0,).(n ) I g(x) f (x) ax e x ln(x 1) ax ，••• g (x) f (x) a . 由(I )知，g (x)在x (1,)上单调递增， 当x 1时，g (x)；当x时，g (x)，则g (x)0有唯一解x o .【对于导函数g (x) f (X )a ，我们无法求解其零点，但由于导函数在定义域两 端可以取到正无穷和负无穷，所以导函数在定义域内有唯一的零点，这时可以 设这个唯一的零点为x o 】可知，当 x ( 1, x ,)时，g (x)0， g(x) e x ln(x 1) ax 单调递减；当 x (x o ，)时，g (x) 0，g(x) e x ln(x 1) ax 单调递增， 二函数g(x)在x X o 处取得极小值g(x o ) e xoIn(x o 1) ax 。

所以函数H(x)存在两个零点的必要条件为 H(1)＝1－a>0，即0<a<1.
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因为当 0<a<1 时，H(1)>0，H1e＝－e2＋e－a<0，当 x→0 时，H(x)→ －∞，当 x→＋∞，H(x)→－a，且函数 H(x)的图象不间断，
所以函数H(x)在区间(0,1)与(1，＋∞)内各存在一个零点． 综上，实数a的取值范围是(0,1)．
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所以 f(x)在区间(1，＋∞)上有唯一零点 x1，即 f(x1)＝0. 因为 0<x11<1，fx11＝－lnx1＋xx11＋－11＝－f(x1)＝0， 所以 f(x)在区间(0,1)上有唯一零点x11. 综上，f(x)有且仅有两个零点． (2) 因为x10＝e－ln x0， 所以点 B－lnx0，x10在曲线 y＝ex 上．
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所以 φ(x)max＝φ(1)＝－1<0， 所以 φ(x)<0，即 lnx<x， 所以 ln x< x，即 lnx<2 x，
所以 g(x)＝lnxx－t<2x x－t＝ 2x－t， 所以 gt42< 2 4－t＝0.
t2 又t42>4e2>e，且 g(x)的图象不间断，
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所以 g(x)在区间(e，＋∞)内存在唯一零点. 综上，当且仅当 0<t<1e，即 0<lnaa<1e时，g(x)存在两个零点． 结合 y＝lnxx的性质，得 a>1，且 a≠e， 所以实数 a 的取值范围是(1，e)∪(e，＋∞)．
【答案】 (1，＋∞)
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题组二 曲线公共点问题 2 已知函数 f(x)＝lnxx－ax，a∈R.若曲线 y＝xf(x)与直线 y＝－x 有两个 公共点，求实数 a 的取值范围．

第14讲导数中的隐零点问题（虚设零点设而不求）（高阶拓展、竞赛适用）（3类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数求解函数基本问题2掌握函数零点存在性定理及其应用3能设而不求进行隐零点的相关替换求值或范围【命题预测】零点问题是高考的热点问题，隐零点的代换与估计问题是函数零点中常见的问题之一, 其源于含指对函数的方程无精确解, 这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围，高考中曾多次考查隐零点代换与估计, 所以本节我们做一个专门的分析与讨论，方便学生高考综合复习在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”．1. 解题步骤第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程 ()00f x ¢=, 并结合()f x 的单调性得到零点的范围;第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 ()f x ¢的正负, 进而得到 ()f x 的最值表达式;第 3 步: 将零点方程 ()00fx ¢= 适当变形, 整体代入()f x 最值式子进行化简:（1）要么消除 ()f x 最值式中的指对项（2）要么消除其中的参数项;从而得到 ()f x 最值式的估计.2. 隐零点的同构实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析()()()()2ln ln ln 1ln 1ln ln ln 0x x x x x xe x x f x x e f x x xe x x x xf x xe f x x e x x⎧⎧⎪⎪=+⇒=+⎨⎨⎪⎪----⎩⎩=⇒-=-⇒+=所以在解决形如 1ln 0x e x x x=Û+=, 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.3. 解题感悟1.隐零点指对于超越方程或者是一些带参数的方程，无法直接求得确切的零点，但是零点确实存在的问题。

（一）函数与导数函数与导数是高考数学中极为重要的一部分，函数的特点和方法贯穿了高中数学的全过程，主要是考函数的性质，如何利用导数作为工具来解答。

考查的内容有：（1）导数的几何意义；（2）利用导数求函数的单调区间、极值、最值、证明不等式等。

解这部分题目时用到的方法主要是：（1）特殊函数法例如在给定函数的一些性质来研究它的其他性质时，由于没有给出具体的函数解析式，所以我们在解题时往往无从下手，因此可以选用特殊代替来解题。

（2）换元法在解题时，我们一般是将抽象的、陌生的、复杂的问题转化为简单的、具体的问题，例如求函数的最值等问题。

（3）待定系数法我们知道待定系数法是求函数解析式的一种方法，若已知函数的类型，可以设出相对应的函数解析式，然后根据题目给定的条件求出未知的系数即可。

（4）构造函数法导数是解决函数问题的一个有力工具，但是有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理，因而需要通过构造新的函数来解决；特别的当给定关于导数的不等关系时，常常要构造新的函数。

（二）三角函数与解三角形通过近几年的高考试题来看，三角函数与解三角形考的分值大约是18分，主要考查同角三角函数的基本关系和诱导公式，三角函数的图像和性质，三角恒等变换和正余弦定理。

考查的内容有：（1）利用降幂公式和辅助角变换讲复杂的三角函数解析式化为标准形式，然后研究其性质。

（2）利用角变换法，化弦法，降幂发来进行三角函数的求值、化简、证明。

解这部分题目时常用到的方法有：（1）特殊值代入法在做选择题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊位置、特殊图形等对选项进行验证，从而排除不符合题目要求的选项，间接地得到正确答案。

（2）排除法对于解三角形的一些选择题时，直接利用三角恒等变换正弦余弦定理比较复杂，可以结合题目和选项的特点进行有效排除，得到答案。

排除时可结合特值法、数形结合法等。

（三）数列数列是高中代数的重要内容，主要考察学生的思维能力，解决问题能力和推理能力。