2021年中考难点突破----二次函数专题研究(3)

2021年中考知识点复习专题03 线段最值问题横坐标相同【例1】如图，已知二次函数的图象经过点(3,3)A 、(4,0)B 和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为(,0)D m ，并与直线OA 交于点C ． （1）求出二次函数的解析式；（2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值； （3）当点P 在直线OA 的上方时，求APO ∆的最大面积．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：(4)y ax x =-， 把A 点坐标(3,3)代入得：1a =-，函数的解析式为24y x x =-+，答：二次函数的解析式是24y x x =-+；（2）当03m <<，设直线OA 的表达式为y kx =，将点A 的坐标代入上式得：33k =， 解得1k =，故直线OA 的表达式为y x =，故2(,4)P m m m -+，(,)C m m ，2243PC PD CD m m m m m ∴=-=-+-=-+，239()24m =--+，10-<，开口向下，PC ∴有最大值，当3(,0)2D 时，94max PC =，答：当点P 在直线OA 的上方时，线段PC 的最大值是94； （3）A 点坐标(3,3)，OA ∴水平距离为3，AOP S ∆的最大值1192732248PCO PCA max A S S PC x ∆∆=+=⨯⨯=⨯⨯=． 【变式训练1】如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，过点A 的直线l 交抛物线于点(2,)C m ． （1）求抛物线的解析式．（2）点P 是线段AC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，求线段PE 最大时点P 的坐标．【解答】解：（1）将(1,0)A -，(3,0)B 代入2y x bx c =++，得到10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得23b c =-⎧⎨=-⎩，223y x x ∴=--．（2）将C 点的横坐标2x =代入223y x x =--，得3y =-，(2,3)C ∴-；∴直线AC 的函数解析式是1y x =--．设P 点的横坐标为(12)x x -，则P 、E 的坐标分别为：(,1)P x x --，2(,23)E x x x --；P 点在E 点的上方，22(1)(23)2PE x x x x x =-----=-++，219()24x =--+，10-<，∴当12x =时，PE 的最大值94=，此时1(2P ，3)2-．【变式训练2】把抛物线21:23C y x x =++先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线2C ．（1）求抛物线2C 的函数关系式；（2）点1(4,)A y 和点2(,)B m y 在抛物线2C 上，若21y y <，结合图象求m 的取值范围； （3）若抛物线2C 的顶点为C ，点P 是线段AC 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线2C 于点Q ．当线段PQ 最长时，求点P 的坐标． 【解答】解：（1）2223(1)2y x x x =++=++，∴抛物线1C 的顶点为(1,2)-，∴把抛物线1C 先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线2C 的顶点为(2,1)-，∴抛物线2C 的函数关系式为：2(2)1y x =--或243y x x =-+；（2）点A 坐标为(4,3)，它关于直线2x =对称的点为(0,3)， 由图象知当21y y <时，04m <<；（3）点A 的坐标为(4,3)，点C 的坐标为(2,1)-， 设直线AC 的解析式为y kx b =+，则4321k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得25k b =⎧⎨=-⎩，所以直线AC 的解析式为25y x =-．设点P 的坐标为(,25)t t -，则点Q 的坐标为2(,43)t t t -+，268PQ t t ∴=-+-． ∴当632(1)t =-=⨯-时，PQ 最长．当3t =时，251t -=，∴点P 的坐标为(3,1)．【变式训练3】抛物线2:G y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于(0,1)C -，且4AB OC =．（1）直接写出抛物线G 的解析式： ；（2）如图1，点(1,)D m -在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标； （3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若2CMN S ∆=，求点M 的坐标．【解答】解：（1）点(0,1)C -，且4AB OC =．1OC ∴=，4AB =，抛物线的对称轴为y 轴，∴点(2,0)A -，点(2,0)B ，∴401a c c +=⎧⎨=-⎩，∴141a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线解析式为：2114y x =-． 故答案为：2114y x =-．（2）(1,)D m -在2114y x =-上， 3(1,)4D ∴--，∴直线OD 的解析式为34y x =，设21(,1)4P a a -，则211(33Q a -，211)4a -，22111313()()333212PQ a a a ∴=--=--+，103-<， ∴当32a =时，PQ 的值最大，此时3(2P ，7)16-．（3）设点21(,1)4M m m -，则(4N m +，21(4)1)4m +-，点(0,1)C -，∴设直线MC 解析式为1y kx =-，即：21114m mk -=-，14k m ∴=， ∴直线MC 解析式为114y mx =-，如图，过点N 作//NE y 轴交CM 于E ，∴点(4E m +，(4)1)m m +-，若点N 在y 轴左侧，4EN m =--， MNC MNE CNE S S S ∆∆∆=+，12(4)()2m m ∴=⨯--⨯-，1222m ∴=--，2222m =-+（舍去），综上所述点(222M --，222)+．纵坐标相同【例1】已知抛物线2y x bx c =++与x 轴的交点为(1,0)A -和点B ，与y 轴的交点为(0,3)C -，直线:1L y x =-与抛物线的交点为点A 和点D ．（1）求抛物线和直线L 的解析式；（2）如图，M 为抛物线上一动点（不与A 、D 重合），当点M 在直线L 下方时，过点M 作//MN x 轴交直线L 于点N ，求MN 的最大值．【解答】解：（1）点(1,0)A -和点(0,3)C -在抛物线2y x bx c =++上， ∴103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩，即抛物线223y x x =--， 直线:1L y x =-过点(1,0)A -，01∴=--，解得1=-，即直线L 的解析式为1y x =--；（2）设点M 的坐标为2(,23)m m m --，//MN x 轴交直线L 于点N ，∴点N 的纵坐标为223m m --，点N 在直线1y x =--上， 2231m m x ∴--=--，解得222x m m =-++，∴点N 的坐标为2(22m m -++，223)m m --，2219(22)()24MN m m m m ∴=-++-=--+，∴当12m =时，MN 取得最大值，此时94MN =，即MN 的最大值是94．求斜边最值【例1】如图，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点(1,0)A 和点(3,0)B ，交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的坐标为(4,3)（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，//PE x 轴，//PF y 轴，求线段EF 的最大值；【解答】解：（1）设二次函数的解析式为()()y a x b x c =--，2y ax bx =++与x 轴r 的两个交点A 、B 的坐标分别为(1,0)和(3,0)， ∴二次函数解析式：(1)(3)y a x x =--．又点(4,3)D 在二次函数上， (43)(41)3a ∴-⨯-=，∴解得：1a =．∴二次函数的解析式：(1)(3)y x x =--，即243y x x =-+．（2）如图1所示．因点P 在二次函数图象上，设2(,43)P p p p -+．243y x x =-+与y 轴相交于点C ， ∴点C 的坐标为(0,3)．又点B 的坐标为(3,0)B ，OB OC ∴=COB ∴∆为等腰直角三角形．又//PF y 轴，//PE x 轴，PEF ∴∆为等腰直角三角形．2EF PF ∴=．设一次函数的BC l 的表达式为y kx n =+， 又(3,0)B 和(0,3)C 在直线BC 上， 303k n n +=⎧⎨=⎩， 解得：13k n =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为，3y x =-+．3F y p ∴=-+．223(43)3FP p p p p p =-+--+=-+．2232EF p p ∴=-+．∴线段EF 的最大值为，9242max EF ==-． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是(1,0)-，且3OB OC OA ==，动点P 在过A 、B 、C 三点的抛物线上 （1）求抛物线的解析式（2）如图1，抛物线上是否存在点P ，使得BCP ∆是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由（3）如图2，过动点P 作PE y ⊥轴于点E ，交直线BC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线，垂足为F ，连结EF ，当点P 在什么位置时，线段EF 最短，求出EF 长的最小值．【解答】解：（1）由(1,0)A -可知1OA =，3OB OC OA ==， 3OB OC ∴==，(0,3)C ∴-，(3,0)B ．设抛物线的解析式（交点式）为(1)(3)y a x x =+-， 则33a -=-， 解得：1a =，则抛物线的解析式是2(1)(3)23y x x x x =+-=--，（2）存在．①当以C 为直角顶点时，过点C 作1CP BC ⊥，交抛物线于点1P ， 过点1P 作y 轴的垂线，垂足是M ，如图1 190BCP ∠=︒， 190MCP BCO ∴∠+∠=︒．90BCO OBC ∠+∠=︒，1MCP OBC ∴∠=∠．OA OC =，145MCP OBC ∴∠=∠=︒，11MCP MPC ∴∠=∠， 1MC MP ∴=，设2(,23)P m m m --，则2323m m m --=--， 解得：10m =（舍去），21m =．1m ∴=，此时2234m m --=-， 1P ∴的坐标是(1,4)-．②当点B 为直角顶点时，过B 作2BP BC ⊥交抛物线于点2P ，过点2P 作y 轴的垂线，垂足是N ，BP 交y 轴于点F ，如图1 2//P N x ∴轴，由45CBO ∠=︒得245OBP ∠=︒， 245FP N ∴∠=︒，BO OF =． 2P N NF ∴=，设22(,23)P n n n -+-，则2323n n n +=+-解得：12n =，23n =-（舍去），2n ∴=，此时2235n n +-=， 2P ∴的坐标是(2,5)-．综上所述：P 的坐标是(1,4)-或(2,5)-；（3）当EF 最短时，点P 的坐标是(13)2-或(13)2-．解题过程如下：连接OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD EF =． 根据垂线段最短可得：当OD BC ⊥时，OD （即)EF 最短． 由（1）可知，在直角BOC ∆中，3OC OB ==． 根据等腰三角形的性质可得：D 是BC 的中点．12EF OD BC ∴==又//DF OC ，BFD BOC ∴∆∆∽，∴12DF BD OC BC ==，1322DF OC ∴==，∴点D 的纵坐标是32-，∴点P 的纵坐标也是32-，解23232x x --=-得，111102x =-，211102x =+， ∴点P 的坐标为1(1102-，3)2-或1(1102+，3)2-．此时EF 长为最小值322=．点到直线的距离【例1】已知二次函数2y ax bx c =++经过与y 轴的交点(0,5)C ，与x 轴相交于点(1,0)A -、(5,0)B两点．（1）求此二次函数的解析式．（2）如图一，若点M是抛物线上一点，且在直线BC上方，当10BCMS∆=时，求点M的坐标．（3）如图二，点P是抛物线上的任意一点，且在直线BC上方，PQ BC⊥交BC一点Q，求线段PQ的最大值．【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得25505a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得145abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故抛物线的表达式为245y x x=-++；（2）过点M作//MH y轴交BC于点H，由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为5y x =-+， 设点M 的坐标为2(,45)x x x -++，则点(,5)H x x -+， 则2245(5)5MH x x x x x =-++--+=-+，则211(5)51022BCM MHB MHC S S S MH OB x x ∆∆∆=+=⨯⨯=⨯-+⨯=，解得1x =或4，故点M 的坐标为(1,8)或(4,5)；（3）过点P 作//PH y 轴交BC 于点H ，5OB OC ==，故直线BC 与x 轴负半轴的夹角为45︒，则45PHC ∠=︒，由（2）知，25PH MH x x ==-+， 故2225)PQ x x =-+， 20<．故PQ 有最大值，当52x =时，PQ 252 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数212y x bx c =++的图象经过B ，C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ． （1）求二次函数的解析式及点A 的坐标．（2）点M 是线段BC 上的一动点，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上．设点D 的横坐标为m ．过点D 作DM BC ⊥于点M ，求线段DM 的长关于m 的函数解析式，并求线段DM 的最大值．【解答】解：（1）直线122y x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ， 则点B ，C 的坐标分别为(4,0)，(0,2)-．将点B ，C 的坐标代入二次函数的解析式并解得3,22b c =-=-．故二次函数的解析式为213222y x x =-- 当0y =时，解得1x =-或4∴点A 的坐标为(1,0)-；（2）如图，过点D 作y 轴的平行线交BC 于点H，设点213(,2)22D m m m --，点1(,2)2H m m -设MDH OBC a ∠=∠=，则1tan tan 2OBC a ∠==， ∴25cos a ． ∴22225113251545cos (22)2)2)2222MD DH MDH m m m m m m =⨯∠--++=-+=-． 50<， DM ∴45．【变式训练2】如图，已知：抛物线(1)(3)y a x x=+-交x轴于A、C两点，交y轴于B．且2OB CO=．（1）求点A、B、C的坐标及二次函数解析式；（2）在直线AB上方的抛物线上有动点E，作EG x⊥轴交x轴于点G，交AB于点M，作EF AB⊥于点F．若点M的横坐标为m，求线段EF的最大值．【解答】解：（1）对于抛物线(1)(3)y a x x=+-，令0y=，得到(1)(3)0a x x+-=，解得1x=-或3，(1,0)C∴-，(3,0)A，1OC∴=，22OB OC==，(0,2)B∴，把(0,2)B代入(1)(3)y a x x=+-中得：23a=-，23a=-∴二次函数解析式为2224(1)(3)2333xy x x x=-+-=-++；（2）设直线AB的解析式为：y kx b=+，把(3,0)A，(0,2)B代入得：302k bb+=⎧⎨=⎩，解得：232kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为：223y x=-+，由题意可设2(,2)3M m m-+，224(,2)33E m m m-++，则2224222(2)23333EM m m m m m=-++--+=-+；在Rt AOB∆中，根据勾股定理，得22222313AB OB OA++，90EMF FEM AMG BAO∠+∠=∠+∠=︒，AMG EMF∠=∠，FEM BAO∴∠=∠，cos cosEF OAFEM BAOEM AB∠=∠==，∴221323EFm m=-+，2223(2)21339133()213m mEF m-+∴==--+，∴当32m=时，EF有最大值是913；【变式训练3】如图，二次函数22y ax bx=++的图象与x轴相交于点(1,0)A-、(4,0)B，与y轴相交于点C．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ BC⊥，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；【解答】解：（1）抛物线解析式为(1)(4)y a x x=+-，即234y ax ax a=--，则42a-=，解得12a=-，所以抛物线解析式为213222y x x=-++；（2）①作PN x⊥轴于N，交BC于M，如图，222425BC=+=当0x=时，2132222y x x=-++=，则(0,2)C，设直线BC的解析式为y mx n=+，把(0,2)C ，(4,0)B 得240n m n =⎧⎨+=⎩，解得122m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为122y x =-+，设213(,2)22P t t t -++，则1(,2)2M t t -+，2213112(2)22222PM t t t t t ∴=-++--+=-+，NBM NPQ ∠=∠， PQM BOC ∴∆∆∽，∴PQ PMOB BC =，即25PQ =， 22545545(2)PQ t t t ∴=-+=--+， ∴当2t =时，线段PQ 的最大值为45；【例2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数24y x =+与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，二次函数234(0)y mx mx m m =--<与x 轴交于A 、B 两点．（1）A 点坐标 ，B 点坐标 ；（2）在x 轴上方的抛物线上是否存在P 点，使得以点A 、B 、P 为顶点的三角形与DEO ∆相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由；（3）点Q 为（2）中抛物线上的动点，当Q 到直线DE 距离最小时，求Q 点坐标及最小值．【解答】解：（1）令2340y mx mx m =--=，解得1x =-或4，故点A 、B 的坐标分别为(1,0)-、(4,0)， 故答案为(1,0)-、(4,0)；（2）存在，理由：对于一次函数24y x =+，令240y x =+=，则2x =-，令0x =，则4y =，故点D 、E 的坐标分别为(2,0)-、(0,4)，在Rt ODE ∆中，tan 2EDO ∠=，则sin 5EDO ∠=，当以点A 、B 、P 为顶点的三角形与DEO ∆相似时，只能是APB ∠为直角，如图1，设点P 的为(,)a b ，:2OE OD =，故以点A 、B 、P 为顶点的三角形与DEO ∆相似时，两个三角形的相似比为2或12， 过点P 作x 轴的平行线，交过点A 与y 轴的平行线于点M ，交过点B 与y 轴的平行线于点N ，90MPA BPN ∠+∠=︒，90BPN PBN ∠+∠=︒， MPA PBN ∴∠=∠， 90PMA BNP ∠=∠=︒， PMA BNP ∴∆∆∽，且相似比为2或12， 即122PM AM BN PN ==或，即41212b a a b -==+或， 解得32a b =⎧⎨=⎩，则点(3,2)P ，将点P 的坐标代入234y mx mx m =--得：2994m m m =--，解得12m =-；（3）由（1）知，抛物线的表达式为213222y x x =-++，如图2，过点Q 作x 轴的平行线交DE 于点N ，则HNQ EDO ∠=∠，则sin sin 5HNQ EDO ∠=∠=，设点Q 的坐标为213(,2)22t t t -++，点213(,2)22N x t t -++，21324222y x t t =+=-++，则213144x t t =-+-，过点Q 作QH DE ⊥于点H ，则HQ 为Q 到直线DE 距离，22132511sin [(1)](1)44445HQ NQ HNQ t t t t t =∠=--+-=++，251()04⨯>，故HQ 有最小值， 当12t =-时，HQ 有最小值为35，此时点1(2Q -，9)8．【变式训练1】如图1，抛物线2y ax c =+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，P 为x 轴下方抛物线上一点，若24OC OA ==． （1）求抛物线解析式；（2）如图2，若ABP ACO ∠=∠，求点P 的坐标；（3）如图3，点P 的横坐标为1，过点P 作PE PF ⊥，分别交抛物线于点E ，F ．求点A 到直线EF 距离的最大值．【解答】解：（1）4CO =，故4c =-，则抛物线的表达式为24y ax =-，24OC OA ==，故点(2,0)A -，则044a =-，解得1a =，故抛物线的表达式为24y x =-；（2）过点A 作x 轴的垂线交BP 的延长线于点Q ，在BAQ ∆和COA ∆中， 490AB OC QAB BOC ABP ACO ==⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪∠=∠⎩， ()BAQ COA AAS ∴∆≅∆， 2AQ OA ∴==， (2,2)Q ∴--，由点B 、Q 的坐标得，直线BQ 解析式为112y x =-， 联立21124y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 解得12x =（舍去），232x =-，3(2P ∴-，7)4-；（3）设1(E x ，214)x -，2(F x ，224)x -，(1,3)P -，由点P 、E 的坐标得，11(1)4PE y x x x =+--， 同理可得22(1)4PF y x x x =+--， 又PE PF ⊥，12(1)(1)1x x ∴++=-， 121211x x x x ∴+++=-， 12122()x x x x =--+，同理可得EF的解析式为：1212()4EFy x x x x x=+--，121212()42()()(1)2EFy x x x x x x x x∴=+-+++=++-，∴直线EF恒过定点(1,2)--，设该点为R，连接点AR，则AR为点A到直线EF距离的最大值，22(21)25AR∴=-++=．线段比值【例1】如图，抛物线212y x bx c=-++与x轴交于点(1,0)A-和点(4,0)B，与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）当BCQ∆的面积等于2时，求m的值；（3）在点P运动过程中，PQAP是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线经过(1,0)A-，(4,0)B，可得：12101642b cb c⎧=--+⎪⎪⎨⎪=-⨯++⎪⎩，解得：322bc⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：213222y x x=-++，令0x=，则2y=，∴点C的坐标为(0,2)；（2）连接OQ，点Q 的横坐标为m ， 213(,2)22Q m m m ∴-++，OCQ OBQ OBC S S S S ∆∆∆∴=+-21113124(2)2422222m m m =⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯ 24m m =-+，令2S =，解得：22m =+或22-，（3）如图，过点Q 作QH BC ⊥于H ，连接AC ，15AC ==，224220BC =+5AB =，满足222AC BC AB +=，90ACB ∴∠=︒，又90QHP ∠=︒，APC QPH ∠=∠，APC QPH ∴∆∆∽，∴5PQ QH AP AC ==， 152BCQ S BC QH QH ∆==，5S QH ∴=，∴22114(4)(2)55555PQ S m m m AP ==-+=--+， ∴当2m =时，PQ AP 存在最大值45．【变式训练1】已知抛物线26y ax bx =+-与x 轴交于(2,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连结BC ．（1）填空：a = 1 ，b = ；（2）如图1，若D 为抛物线上BC 下方一动点（不与C ，B 重合），连OD 交BC 于E ，求DE OE的最大值；（3）如图2，点P 在抛物线上，且12BCO PBA ∠=∠，请直接写出P 点的坐标．【解答】解：（1）抛物线26y ax bx =+-与x 轴交于(2,0)A -，(3,0)B 两点，∴42609360a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得，11a b =⎧⎨=-⎩，故答案为：1，1-；（2）如图1，过D 点作DH x ⊥轴，垂足为H ，交BC 于点F ，在26y x x =--中，当0x =时，6y =-，(0,6)C ∴-，设直线BC 解析式为：y kx b =+， 把(3,0)，(0,6)-代入得： 306k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，26k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为26y x =-，设2(,6)D x x x --，(,26)F x x -，6OC ∴=，2226(6)3DF x x x x x =----=-+，又DH x ⊥轴， //DH y ∴轴，DEF OEC ∴∆∆∽，∴DE DFOE OC=， 设DEOE的比值为W ， 则22231133(3)()66628DF x x W x x x OC -+===--=--+，∴当32x =时，W 有最大值，最大值为38，∴DE OE 的最大值为38； （3）如图2，作BC 的垂直平分线交y 轴于点F ，连接BF ，则有FC FB =，FCB FBC ∴∠=∠， 2BFO BCO ∴∠=∠，再在y 轴正半轴上取一点E ，使EBO BFO ∠=∠，2EBO BCO ∴∠=∠，又12BCO PBA ∠=∠，∴直线BE 与抛物线交于点P ， (2,0)A -，(3,0)B ，(0,6)C -，2OA ∴=，3OB =，6OC =，设CF BF x ==，6OF x =-，222(6)3x x ∴-+=154x =， 94OF ∴=， 又90BOF BOE ∠=∠=︒，BOF EOB ∴∆∆∽，∴OB OEOF OB=， ∴3934OE =， 4OE ∴=，①设直线BE 解析式为y kx b =+，把(3,0)，(0,4)代入得， 304k b b +=⎧⎨=⎩，解得434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BE 的解析式为443y x =-+，∴24436y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩， 解得，1103x =-，23x =（舍去）， ∴点P 的坐标为10(3-，76)9； ②若E 点在y 轴负半轴上，则坐标为(0,4)-，直线BE 解析式为443y x =-，则可得方程组24436y xy x x⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得：323x=-，43x=（舍去），∴点P的坐标为2(3-，44)9-，综上所述点P的坐标为10(3-，76)9或2(3-，44)9-．【变式训练2】如图，抛物线234y ax ax a=--的图象经过点(0,2)C，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线1(0)y kx k=+>与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）EFDF是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把(0,2)C代入234y ax ax a=--得：42a-=．解得12a=-．则该抛物线解析式为213222y x x=-++．由于21312(1)(4)222y x x x x=-++=-+-．故(1,0)A -，(4,0)B ；（2）存在，理由如下：由题意知，点E 位于y 轴右侧，作//EG y 轴，交BC 于点G ，//CD EG ∴，∴EF EGDF CD=． 直线1(0)y kx k =+>与y 轴交于点D ，则(0,1)D ．211CD ∴=-=．∴EFEG DF=． 设BC 所在直线的解析式为(0)y mx n m =+≠． 将(4,0)B ，(0,2)C 代入，得402m n n +=⎧⎨=⎩．解得122m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．∴直线BC 的解析式是122y x =-+．设213(,2)22E t t t -++，则1(,2)2G t t -+，其中04t <<．221311(2)(2)(2)22222EG t t t t ∴=-++--+=--+．∴21(2)22EF t DF =--+． 102-<， ∴当2t =时，EFDF存在最大值，最大值为2，此时点E 的坐标是(2,3)．【变式训练3】如图1，在平面直角坐标系中，直线4y x =+与抛物线21(2y x bx c b =-++，c 是常数）交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上．设抛物线与x 轴的另一个交点为点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点（不与点A 、B 重合）， ①如图2，若点P 在直线AB 上方，连接OP 交AB 于点D ，求PD OD的最大值；【解答】解：（1）直线4y x =+与坐标轴交于A 、B 两点， 当0x =时，4y =，4x =-时，0y =，(4,0)A ∴-，(0,4)B ，把A ，B 两点的坐标代入抛物线解析式得484b c c -+=⎧⎨=⎩，解得14b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为2142y x x =--+；（2）①如图1，作//PF BO 交AB 于点F ，PFD OBD ∴∆∆∽，则PD PF OD OB=， 4OB =为定值， ∴当PF 取最大值时，PD OD 有最大值，设21(,4)2P x x x --+，其中40x -<<，则(,4)F x x +， 22114(4)222p F PF y y x x x x x ∴=-=--+-+=--， 102-<且对称轴是直线2x =-， ∴当2x =-时，PF 有最大值，此时2PF =， ∴12PDPFOD OB ==；。

2021年中考数学第三轮压轴题：二次函数的综合专题复习1、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．2、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．3、如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．5、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B 的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P 运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．7、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y 轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P 运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．9、如图，已知二次函数y=ax2−5√3x+c(a>0)的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1<x2，(1)若抛物线的对称轴为x=√3求的a值；(2)若a=15，求c的取值范围；(3)若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60∘，抛物线的对称轴l，连接AF，满与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．10、如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．11、如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12、如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x 轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．13、如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q 的坐标．14、已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO =S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．【解答】解：（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，解得：b=4，c=2，则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，把x=1代入抛物线解析式得：y=7，∴B（﹣5，7），C（1，7），设直线AB解析式为y=kx+2，把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，可得△AQH∽△ABM，∴=，∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，∵BM=5，∴QH=2或QH=3，当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此时P （﹣13，0），综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．2、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=﹣，∴直线BC的解析式为y=﹣x+1．设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1）∴PD=（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，=OB•DP=×3×（﹣x2+x）=﹣x2+x．∴S△PBC又∵S=1，△PBC∴﹣x2+x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC=OA=1∴∠BAC=45°．∵∠BQC=∠BAC=45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，解得：x=（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．3、如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，∴OC2=OA•OB=3，则OC=；（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，∴OC=BC，∴点C的横坐标为，又OC=，点C在x轴下方，∴C（，﹣），设直线BM的解析式为y=kx+b，把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，解得：b=﹣，k=，∴y=x﹣，又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，解得：a=，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；（3）点P存在，设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，则Q（x，x﹣），∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为当x=﹣=时，S△BCP（，﹣）．4、如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得，解这个方程组，得直线BC的解析是为y=﹣x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E（t，﹣t+3），PE=﹣t+3﹣（t﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴S△BCP =S△BPE+SCPE=（﹣t2+3t）×3=﹣（t﹣）2+．∵﹣＜0，∴当t=时，S△BCP最大=（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3）MN=m2﹣3m，BM=|m﹣3|，当MN=BM时，①m2﹣3m=（m﹣3），解得m=，②m2﹣3m=﹣（m﹣3），解得m=﹣当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2﹣4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，﹣（m2﹣4m+3）=﹣m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．5、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设y=a（x﹣1）2+4（a≠0），把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3，∵S△OBC =S△QBC，∴PQ∥BC，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，联立得：，解得：或，即Q（2，3）；②设G（1，2），∴PG=GH=2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，联立得：，解得：或，∴Q2（，），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF 与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b，联立得：，消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b，∵△MNF为等腰直角三角形，∴MN2=2NF2=42﹣8b，∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），整理得：b2+10b﹣75=0，解得：b=﹣15或b=5，∵正方形边长为MN=，∴MN=9或．6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B 的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P 运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，得A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；（2）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），把C点坐标代入函数解析式，得a（0+3）（0﹣1）=3，解得a=﹣1，抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图．设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ=﹣t2﹣2t+3，AQ=3+t，QB=1﹣t，∵PQ∥EF，∴△AEF∽△AQP，∴=，∴EF===×（﹣t2﹣2t+3）=2（1﹣t）；又∵PQ∥EG，∴△BEG∽△BQP，∴=，∴EG===2（t+3），∴EF+EG=2（1﹣t）+2（t+3）=8．7、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x=0时，y=x2﹣x﹣4=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）；当y=0时，有x2﹣x﹣4=0，解得：x1=﹣2，x2=3，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0）．（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣4．过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，如图1所示，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3﹣t，﹣t），∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，∴S△PBQ=PB•QE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+．∵﹣＜0，∴当t=时，△PBQ的面积取最大值，最大值为．（3）当△PBQ面积最大时，t=，此时点P的坐标为（，0），点Q的坐标为（，﹣1）．假设存在，设点M的坐标为（m，m2﹣m﹣4），则点F的坐标为（m，m﹣4），∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，∴S△BMC=MF•OB=﹣m2+3m．∵△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2．∵0＜m＜3，∴在BC下方的抛物线上存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，点M 的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣）．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y 轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P 运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OA=1，OB=4∴A（1，0），B（﹣4，0）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1）∵点C（0，﹣）在抛物线上∴﹣解得a=∴抛物线的解析式为y=（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似．理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=则tan∠ACO=∵tan∠OAD=∴∠OAD=∠ACO∵直线l的解析式为y=∴D（0，﹣）∵点C（0，﹣）∴CD=由AC2=OC2+OA2，得AC=在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似只需或则有或解得t1=，t2=∵t1＜2.5，t2＜2.5∴存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N在△APF中，PF=AP•sin∠PAF=在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=在△ADC中，由S△ADC=∴CN=∴S△AQP +S△AQC==﹣∴当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大9、如图，已知二次函数y=ax2−5√3x+c(a>0)的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1<x2，(1)若抛物线的对称轴为x=√3求的a值；(2)若a=15，求c的取值范围；(3)若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60∘，抛物线的对称轴l 与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．【答案】解：(1)抛物线的对称轴是：x=−b2a =−−5√32a=√3，解得：a=52；(2)由题意得二次函数解析式为：y=15x2−5√3x+c，∵二次函数与x轴有两个交点，∴△>0，∴△=b2−4ac=(−5√3)2−4×15c，∴c<54；(3)∵∠BOD=90∘，∠DBO=60∘，∴tan60∘=ODOB =cOB=√3，∴OB=√33c，∴B(√33c,0)，把B(√33c,0)代入y =ax 2−5√3x +c 中得：ac 23−5√3⋅√3c 3+c =0，ac 23−5c +c =0，∵c ≠0， ∴ac =12， ∴c =12a，把c =12a代入y =ax 2−5√3x +c 中得： y =a(x 2−5√3x a+12a 2)=a(x −4√3a)(x −√3a)， ∴x 1=4√3a，x 2=√3a， ∴A(√3a ,0)，B(4√3a ,0)，D(0,12a)， ∴AB =4√3a−√3a=3√3a ，AE =3√32a， ∵F 的纵坐标为3+12a ， ∴F(5√32a ,6a+12a)， 过点A 作AG ⊥DB 于G ， ∴BG =12AB =AE =3√32a，AG =92a ，DG =DB −BG =8√3a−3√32a=13√32a， ∵∠ADB =∠AFE ，∠AGD =∠FEA =90∘， ∴△ADG ∽△AFE ， ∴AE AG =FEDG ， ∴3√32a 92a=6a+12a 13√32a，∴a =2，c =6， ∴y =2x 2−5√3x +6．10、如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==3，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．11、如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，∴C（0，3）．把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，∴B（3，0），A（﹣1，0）将C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得b=2，c=3．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3）．∵O′与O关于BC对称，∴PO=PO′．∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．∴OP+AP的最小值=O′A==5．（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）．又∵C（0，3，B（3，0），∴CD=，BC=3，DB=2．∴CD2+CB2=BD2，∴∠DCB=90°．∵A（﹣1，0），C（0，3），∴OA=1，CO=3．∴==．又∵∠AOC=DCB=90°，∴△AOC∽△DCB．∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽△DCB．∴=，即=，解得：AQ=10．∴Q（9，0）．综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．12、如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x 轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．【解答】解：（1）由已知点B坐标为（5，5）把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得解得∴抛物线的解析式为：y=（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=，则点C坐标为（，）∴OC=，OB=5当△OBA∽△OCP时，∴∴OP=当△OBA∽△OPC时，∴∴OP=5∴点P坐标为（5，0）或（，0）（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c ∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°∴△MEN为等腰直角三角形．当把△MEN沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形∴点′E坐标为（a﹣b，b）∵EE′平行于x轴∴E、E′关于抛物线对称轴对称∵∴b=2a﹣3则点N坐标可化为（a，2a﹣3）把点N坐标带入y=得：2a﹣3=解得a1=1，a2=6∵a=6时，b=2a﹣3=﹣9＜0∴a=6舍去则点N坐标为（1，﹣1）把N坐标带入y=x+c则c=﹣2∴直线l′的解析式为：y=x﹣2（4）由（3）K点坐标为（0，﹣2）则△MOK为等腰直角三角形∴△M′OK′为等腰直角三角形，M′K′⊥直线l′∴当M′K′=M′F时，△M'FK′为等腰直角三角形∴F坐标为（1，0）或（﹣1，﹣2）13、如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q 的坐标．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴F（1，4），∵C（0，3），D（2，3），∴CD=2，且CD∥x轴，∵A（﹣1，0），∴S四边形ACFD =S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；②∵点P在线段AB上，∴∠DAQ不可能为直角，∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，∵A（﹣1，0），D（2，3），∴直线AD解析式为y=x+1，∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，把D（2，3）代入可求得b′=5，∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，∴Q（1，4）；ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，把A、Q坐标代入可得，解得k1=﹣（t﹣3），设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t，∵AQ⊥DQ，∴k1k2=﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t=，当t=时，﹣t2+2t+3=，当t=时，﹣t2+2t+3=，∴Q点坐标为（，）或（，）；综上可知Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．14、已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO =S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO =S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x 1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x 1=0（舍），x2=，∴D（，）；②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m 1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，∵OE=＜2，∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为（，）或（，﹣）．。

备考2021年中考一轮复习数学函数压轴专题：二次函数动点综合（三）1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点A （1，0），B （﹣7，0），顶点D 坐标为（﹣3，），点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ．过顶点D 作DD 1⊥x 轴于点D 1．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形．（3）点P 是抛物线上一动点，当P 在B 点左侧时，过点P 作PM ⊥x 轴，点M 为垂足，请问是否存在P 点使得△PAM 与△DD 1A 相似，如果存在，请写出点P 的横坐标．2．如图，二次函数y ＝﹣x 2+bx +8的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（2，0），点D （0，2）在y 轴上，连接AD ．（1）b ＝ ；（2）若点P 是抛物线在第二象限上的点，过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为F ，PF 与AD 交于点E ．是否存在这样的点P ，使得PE ＝7EF ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 在抛物线上，且点P 的横坐标大于﹣4，过点P 作PH ⊥AD ，垂足为H ，直线PH与x轴交于点K，且S△HKA ＝S△PHA，求点P的坐标．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）x轴上是否存在点P，使PC+PB最小？若存在，请求出点P的坐标及PC+PB的最小值；若不存在，请说明理由；（3）连接BC，设E为线段BC中点．若M是抛物线上一动点，将点M绕点E旋转180°得到点N，当以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点是A （1，3），将OA 绕点O 顺时针旋转90°后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与△OAB 的边分别交于M ，N 两点，将△AMN 以直线MN 为对称轴翻折，得到△A ′MN ，设点P 的纵坐标为m ．①当△A ′MN 在△OAB 内部时，求m 的取值范围；②是否存在点P ，使S △A ′MN ＝S △OA ′B ，若存在，求出满足条件m 的值；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点为A （2，），抛物线与y 轴交于点B （0，），点C 在其对称轴上且位于点A 下方，将线段AC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，点A 落在抛物线上的点P 处．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段AC 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点A 移到原点O 的位置，这时点P 落在点D 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O ，C ，D ，M 为顶点的四边形的面积为8，求点M 的坐标．6．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．9．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），直线y＝经过点A，与x轴交于D点．（1）求该二次函数的表达式；（2）点E为线段AC上方抛物线上一动点，若△ADE的面积为10，求点E的坐标；（3）点P为抛物线上一动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转到AP'，并使∠P′AP＝∠DAO，是否存在点P使点P′恰好落到坐标轴上？如果存在，请直接写出此时点P 的横坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1．解（1）设函数解析式为y＝a（x﹣1）（x+7），把D（﹣3，）带入可得a＝，所以；（2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1，∴∠COF＝∠DD1F＝90°，又∵∠D1FD＝∠OFC，∴△DD1F∽△COF，∴，∵D（﹣3，﹣2），∴D1D＝2，OD1＝3，∵AC＝CF，CO⊥AF，∴OF＝OA＝1（三线合一），AF＝2，∴D1F＝D1O﹣OF＝3﹣1＝2，∴，解得OC＝，在Rt△AOC中，AC＝∴AC＝CF＝FA＝2，∴△ACF是等边三角形，∴∠AFC＝∠ACF＝60°，∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，即∠ACF＝∠ECF＝60°，∴∠ECF＝∠AFC＝60°，∴EC∥BF，由距离公式得EC＝DC＝＝6，BF＝6，∴EC＝BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（3）存在．∵点P是抛物线上一动点，∴设P点（x， x2+x﹣），当点P在B点的左侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴或，∴或，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2＝；∴P点横坐标为﹣11或．2．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+8的图象与x轴交于点B（2，0），∴﹣4+2b+8＝0，解得：b＝﹣2，故答案为：﹣2．（2）∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+8的图象与x轴交于点A、B，∴y＝0时，x＝2或﹣4，∴A（﹣4，0），设直线AD的解析式为y＝kx+m，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝，设P（t，﹣t2﹣2t+8），则E，∴PE＝，EF＝，∵PE＝7EF，∴，解得：t1＝﹣2，t2＝﹣4（舍去），∴P（﹣2，8）．故存在这样的点P，使得PE＝7EF，点P的坐标为（﹣2，8）；（3）如图，延长AD交抛物线于T，过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点E，①若点P在直线AT上方，∵OA＝4，OD＝2，∠AOD＝90°，∴AD＝＝2，∵AH⊥PH，∴∠FAD+∠AEF＝90°，∠EPH+∠PEH＝90°，∠AEF＝∠PEH，∴∠FAD＝∠EPH，∴cos∠FAD＝＝＝cos∠EPH＝，∴PH＝，∴cos，∴PK＝PF，∵，∴，∴PK＝PH，∴，∴，设P （t ，﹣t 2﹣2t +8），则5（﹣t 2﹣2t +8）＝6（）， 解得t ＝﹣1或t ＝﹣4（舍去），∴P （﹣1，9）．②若P 在直线AT 的下方，且在x 轴上方，此时S △HKA ＞S △PHA ，不合题意，舍去． ③若P 在x 轴下方，可得2PE ＝5PF ，∴2（）＝5（t 2+2t ﹣8），解得：t ＝或t ＝﹣4（舍去），∴P （，﹣）．综合以上可得，满足条件的点P 的坐标为（﹣1，9）或（，﹣）． 3．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0）， ∴设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝ax 2﹣2ax ﹣3a ，∴﹣3a ＝3，∴a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，在x 轴下方作∠ABD ＝30°，交y 轴负半轴于D ，则BD ＝2OD ，∵B （3，0），∴OB ＝3，根据勾股定理得，BD 2﹣OD 2＝32，∴4OD 2﹣OD 2＝9，∴OD ＝，BD ＝2，∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，∴C （0，3），∴OC ＝3，∴CD ＝3+，过点P 作PB '⊥BD 于B '，在Rt△PB'B中，PB'＝PB，∴PC+PB＝PC+PB'，当点C，P，B在同一条直线上时，PC+PB最小，最小值为CB'，∵S＝CD•OB＝BD•CB'，△BCD∴CB'＝＝＝，即PC+PB的最小值，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠DBC＝45°+30°＝75°，∴∠BCP＝90°﹣75°＝15°，∴∠OCP＝30°，∵OC＝3，∴OP＝，∴P（，0）；（3）如备用图，设M（m，﹣m2+2m+3），以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，∴∠BMC＝90°，∵点A在x轴负半轴，且∠BOC＝90°，∴点M在x轴上方的抛物线，过点M作ME⊥x轴于E，作MF⊥y轴于F，∴∠MEO＝∠MFO＝90°＝∠EOF，∴四边形OEMF是矩形，∴∠EMF＝90°，∴∠BME＝∠CMF，∵∠BEM＝∠CFM＝90°，∴△BEM∽△CFM，∴，∴．∴m＝，∴M（，）或（，），∵点N是点M关于点E（，）的对称点，∴N（，）或（，）．4．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，∵OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，∴B（3，﹣1），把B（3，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2+3可得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3，即y＝﹣x2+2x+2，（2）①如图1中，连接OA′，A′B．∵B（3，﹣1），∴直线OB的解析式为y＝﹣x，∵A（1，3），∴C（1，﹣），∵P（1，m），AP＝PA′，∴A′（1，2m﹣3），由题意3＞2m﹣3＞﹣，∴3＞m＞．②当点P在x轴上方时，∵直线OA的解析式为y＝3x，直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，∵P（1，m），∴M（，m），N（，m），∴MN＝﹣＝，∵S△A′MN ＝S△OA′B，∴•（m﹣2m+3）•＝××|2m﹣3+|×3，整理得m2﹣6m+9＝|6m﹣8|解得m＝6+（舍去）或6﹣，当点P在x轴下方时，同法可得•（3﹣m）•（+3m）＝××[﹣﹣（2m﹣3）]×3，整理得：3m2﹣12m﹣1＝0，解得m＝或（舍去），∴满足条件的m的值为6﹣或．5．解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+，∵抛物线与y轴交于点B（0，），∴＝a（0﹣2）2+，∴a＝﹣∴物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+，（2）∵顶点A（2，），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴设AC＝t，则点C（2，﹣t），∵将线段AC绕点C按顺时针方向旋转90°，点A落在抛物线上的点P处．∴∠ACP＝90°，AC＝PC＝t，∴点P（2+t，﹣t），∵点P在抛物线上，∴﹣t＝﹣（2+t﹣2）2+，∴t1＝0（不合题意舍去），t2＝2，∴线段AC的长为2；（3）∵AC＝2，P点坐标为（4，），C点坐标为（2，），∵抛物线平移，使其顶点A（2，）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点D，∴D点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，•（m++2）•2＝8，解得m＝，此时M点坐标为（0，）；当m＜0时，•（﹣m++2）•2＝8，解得m＝﹣，此时M点坐标为（0，﹣）；综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．6．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；（2）①设点P（a，a2+a﹣6），∵点P位于y轴的左侧，∴a＜0，PE＝﹣a，∵PD＝2PE，∴|a2+a﹣6|＝﹣2a，∴a2+a﹣6＝﹣2a或a2+a﹣6＝2a，解得：a1＝，a2＝（舍去）或a3＝﹣2，a4＝3（舍去）∴PE＝2或；②存在点P，使得∠ACP＝∠OCB，理由如下，∵抛物线y＝x2+x﹣6与x轴交于点C，∴点C（0，﹣6），∴OC＝6，∵点B（2，0），点A（﹣3，0），∴OB＝2，OA＝3，∴BC＝＝＝2，AC＝＝＝3，如图，过点A作AH⊥CP于H，∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO，∴△ACH∽△BCO，∴，∴＝，∴AH＝，HC＝，设点H（m，n），∴（）2＝（m+3）2+n2，（）2＝m2+（n+6）2，∴或，∴点H（﹣，﹣）或（﹣，），当H（﹣，﹣）时，∵点C（0，﹣6），∴直线HC的解析式为：y＝﹣x﹣6，∴x2+x﹣6＝﹣x﹣6，解得：x1＝﹣2，x2＝0（舍去），∴点P的坐标（﹣2，﹣4）；当H（﹣，）时，∵点C（0，﹣6），∴直线HC的解析式为：y＝﹣7x﹣6，∴x2+x﹣6＝﹣7x﹣6，解得：x1＝﹣8，x2＝0（舍去），∴点P的坐标（﹣8，50）；综上所述：点P坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）．7．解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，解得b＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，∴P（m，﹣m2+m+），∵M，Q重合，∴﹣m+＝﹣m2+m+，解得m＝0或4．（3）y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2），由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣解得m＝1﹣或1+（不合题意舍弃），∴m＝1﹣．（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，∴m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．8．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y ＝﹣2；（2）①设直线l 的解析式为y ＝kx ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由，可得， ∴x 1+x 2＝2k ，x 1•x 2＝﹣4，∴， ∴， ∴， ∴当k ＝0时2取最小值为4． ∴△CMN 面积的最小值为4． ②假设抛物线上存在点P （m ，﹣2），使得点P 与点Q 关于直线l 对称， ∴OP ＝OQ ，即， 解得，，，m 3＝1，m 4＝﹣1， ∵m 3＝1，m 4＝﹣1不合题意，舍去， 当时，点P （），线段PQ 的中点为（）， ∴，∴， ∴直线l 的表达式为：y ＝（1﹣）x ， 当时，点P （﹣，﹣），线段PQ 的中点为（，﹣1）， ∴，∴，∴直线l的解析式为y＝（1+）x．综上，点P（，﹣），直线l的解析式为y＝（1﹣）x或点P（﹣，﹣），直线l的解析式为y＝（1+）x．9．解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得∴二次函数的解析式为y＝﹣2x+3．∵y＝﹣1，∴E（4，﹣1）．（2）如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD．设D（4，m），∵C（0，3），由勾股定理可得：42+（m﹣3）2＝62+32．解得m＝3±．∴满足条件的点D的坐标为（4，3+）或．（3）如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P（n，﹣2n+3），则Q（），设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则nk+3．解得k＝，于是CQ：y＝（）x+3，当x＝4时，y＝4（）+3＝n﹣5﹣，∴M（4，n﹣5﹣），ME＝n﹣4﹣．∵S△CQE ＝S△CEM+S△QEM＝．∴n2﹣4n﹣60＝0，解得n＝10或n＝﹣6，当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．10．解：（1）把点B、C的坐标代入抛物线的解析式得，，解得，，∴二次函数的解析式为：；（2）设E（m，）（0＜m＜8），过E作EQ⊥x轴于点Q，则EQ＝，∵D（3，0），∴DQ＝m﹣3，∴S△ADE ＝S梯形AOQE﹣S△AOD﹣S△DEQ＝＝，解得，m＝8（舍），或m＝，∴E点的坐标为（，）；（3）①当P点在第一象限内，P′点在y轴上时，如图2，过P作PE⊥x轴于点E，过A作AM⊥PE于M，设P（m， +4），则AM＝m，PM＝，∵PE∥AO，∴∠APM＝∠P′AP，∵∠PAP′＝∠DAO，∴∠APM＝∠DAO，∵∠AMP＝∠AOD＝90°，∴△APM∽△DAO，∴，即，解得，m＝0（舍），或m＝，∴此时P点的横坐标为；②当P点在y轴左边，P′在x轴上时，如图3，过P作PM⊥y轴于M，过P′作P′M′⊥AD于M′，则∠AMP＝∠AM′P′，设P（m， +4），则AM＝，PM＝﹣m，∵∠PAP′＝∠DAO，∴∠PAM＝∠P′AM′，∵AP＝AP′，∴△APM≌△AP′M′（AAS），∴PM＝P′M′＝﹣m，AM＝AM′═，∵∠DM′P′＝∠DOA＝90°，∠P′DM′＝∠ADO，∴△DP′M′∽△DAO，∴，即，∴，∵DM′+AM′＝AD＝5，∴，解得，m＝，或m＝（舍），∴此时P点的横坐标为；③当P点在第四象限内，P′点在x轴上时，如图4，过P作PM⊥y轴于M，过P′作P′M′⊥AD于点M′，则∠AMP＝∠AM′P′，设P（m， +4），则AM＝，PM＝m，∵∠PAP′＝∠DAO，∴∠PAM＝∠P′AM′，∵AP＝AP′，∴△APM≌△AP′M′（AAS），∴PM＝P′M′＝m，AM＝AM′═，∵∠DM′P′＝∠DOA＝90°，∠P′DM′＝∠ADO，∴△DP′M′∽△DAO，∴，即，∴，∵AM′﹣DM′＝AD＝5，∴，解得，m＝（舍），或m＝．∴此时P点的横坐标为．综上，存在，其中P点的横坐标为或或．。

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N （4e+3，3e+3）， 解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（3）32． 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =x =∴点A 0），B （0），∴抛物线的对称轴为x（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO ∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 0）．当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P ，﹣4）．综上所述，点P 04）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：m ∴直线AC 的解析式为3y =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =1k-．将3y =+与y =kx +1联立解得：x，∴点M ．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG =4233k +-=2323k k --，∴11AM AN +=323231k k k k -+-- =33232k k --=3(31)2(31)k k -- =32． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．3．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m . (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能. 【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，当t=时，y 最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．4．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）52或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.5．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长；（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92，∴C（2，92），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，92﹣t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（2+t，92﹣t），把P（2+t，92﹣t）代入y=﹣12x2+2x+52得﹣12（2+t）2+2（2+t）+52=92﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4，92），D点坐标为（2，52），∵抛物线平移，使其顶点C（2，92）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E，∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M点坐标为（0，72）；当m＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M点坐标为（0，﹣72）；综上所述，M点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（14m2-m+1）+y02=2（14m2-m+1）+1，整理得：（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m为任意值，∴00220001110222220230yx yx y y⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴021xy⎧⎨⎩＝＝，∴定点F的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．7．如图，已知抛物线2y ax bx c=++的顶点为()4,3A，与y轴相交于点()0,5B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【答案】（1）21452=-+-y x x；（2）()2,1-M，25y x=-；（3）点P、Q的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1．【解析】【分析】（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式，即可求解；（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可. 【详解】解：（1）函数表达式为：()243y a x ==+， 将点B 坐标代入上式并解得：12a =-， 故抛物线的表达式为：21452=-+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ， 设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =， 故直线AB 的表达式为：25y x =-； （3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，同样点21,452P m m m ⎛⎫-+-⎪⎝⎭向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ， 即：24m -=，214542m m s -+--=， 解得：6m =，3s =-，故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-； ②当AM 是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：424m +=+，2131452m m s -=-+-+， 解得：2m =，1s =，故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.8．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．【解析】试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．9．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=278；（3）当△BMN是等腰三角形时，m22，1，2．【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．详解：（1）将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝， 解得14a b ⎧⎨-⎩＝＝，这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3； （2）当x=0时，y=3，即点C （0，3），设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得30k b b +⎧⎨⎩＝＝， 解这个方程组，得13k b -⎧⎨⎩＝＝ 直线BC 的解析是为y=-x+3， 过点P 作PE ∥y 轴，交直线BC 于点E （t ，-t+3）， PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t ， ∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t ）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278. （3）M （m ，-m+3），N （m ，m 2-4m+3） MN=m 2-3m ，2|m-3|，当MN=BM 时，①m 22（m-3），解得2， ②m 22m-3），解得2 当BN=MN 时，∠NBM=∠BMN=45°， m 2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍） 当BM=BN 时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m 2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍）， 当△BMN 是等腰三角形时，m 的值为2，-2，1，2．点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．10．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8），把△ABC 沿直线BC 翻折，点A 的对应点为D ，抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C ，顶点M 在直线BC 上．（1）证明四边形ABCD 是菱形，并求点D 的坐标； （2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析（2）22y x 4x 85=-+ （3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC ，根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标．（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，根据待定系数法可求M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式． （3）分点P 在CD 的上面下方和点P 在CD 的上方两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标： 设P 22x,x 4x 85⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,当点P 在CD 的上面下方，根据菱形的性质，知点P 是AD 与抛物线22y x 4x 85=-+的交点，由A,D 的坐标可由待定系数法求出AD 的函数表达式:1y x 32=+,二者联立可得P 1（529,48）； 当点P 在CD 的上面上方，易知点P 是∠D 的外角平分线与抛物线22y x 4x 85=-+的交点，此时，∠D 的外角平分线与直线AD 垂直，由相似可知∠D 的外角平分线PD 的斜率等于－2，可设其为y 2x m =-+，将D （10，8）代入可得PD 的函数表达式:y 2x 28=-+,与抛物线22y x 4x 85=-+联立可得P 2（﹣5，38）． 【详解】（1）证明：∵A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8）， ∴AB=6+4=10，AC 10==．∴AB=AC ．由翻折可得，AB=BD ，AC=CD ．∴AB=BD=CD=AC ．∴四边形ABCD 是菱形． ∴CD ∥AB ．∵C （0，8），∴点D 的坐标是（10，8）．（2）∵y=ax 2﹣10ax+c ，∴对称轴为直线10ax 52a-=-=． 设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，∴4k b 0b 8+=⎧⎨=⎩，解得k 2b 8=-⎧⎨=⎩．∴直线BC 的解析式为y=﹣2x+8．∵点M 在直线y=﹣2x+8上，∴n=﹣2×5+8=﹣2． ∴M （5，，－2）.又∵抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C 和M ，∴25a 50a c 2c 8-+=-⎧⎨=⎩，解得2a 5c 8⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴抛物线的函数表达式为22y x 4x 85=-+． （3）存在．点P 的坐标为P 1（529,48），P 2（﹣5，38）。

中考数学热点问题《二次函数压轴题的突破与提升》六大必考模型专题练习题型一：求图形面积类问题1. 如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD 的最大面积是 .2. 如图,抛物线y=-x 2+2x+3与y 轴交于点C,点D(0,1),点P 是抛物线上的动点.若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形,此时△PCD 的面积为________.3.如图,已知二次函数2y x bx c =++的图象与y 轴交于点A, 与x 轴正半轴交于B,C 两点,且BC ＝2,ABC S ∆ ＝3,则b 的值为( )A.-5B.4或-4C. 4D.-4 4.如图,抛物线经过A (-2,0),B ,C (0,2)三点. (1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC 下方的抛物线上有一点D ,使得△DCA 的面积最大,求点D 的坐标.题型二：参数求值类问题1. 若函数y=(m-1)x |m|+1是二次函数,则m 的值为____.2. 抛物线y=x 2-2x+m 2+2(m 是常数)的顶点在 ( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知二次函数y=-x 2+2x+m.(1)如果二次函数的图象与x 轴有两个交点,求m 的取值范围.4. 当a ≤x ≤a+1时,函数y=x 2-2x+1的最小值为1求a 的值.5. 已知二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围.题型三：利用图像分析类问题1. 下列图象中，当ab ＞0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( )2. 如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于(-2,0)和(4,0)两点,当函数值y>0时,自变量x 的取值范围是 ( )A.x<-2B.-2<x<4C.x>0D.x>43.已知二次函数的图象如图所示，对称轴是，则下列结论中正确的是（ ）．Ａ．0>ac Ｂ．0>b Ｃ．04ac -2<bＤ．4. 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的大致图象如图所示,顶点坐标为(-2,-9a),下列结论:①4a+2b+c>0;②5a -b+c=0;③若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x 1和x 2,且x 1<x 2,则-5<x 1<x 2<1;④若方程|ax 2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为-4.其中正确的结论有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个5. 如图所示是二次函数c bx ax y ++=2图象的一部分，图象过A 点（3,0），二次函数图象对称轴为1=x ，给出四个结论：①ac b 42>；②0<bc ；③02=+b a ；④0=++c b a ，其中正确结论是（ ）A.②④B.①③C.②③D.①④ 题型四：动点求最值类问题2y ax bx c =++1x=20a b +=1. 若二次函数y=x2-4x+c的图象经过点(0,3),则函数y的最小值是.2. 如图是函数y=x2-2x-3(0≤x≤4)的图象,直线l∥x轴且过点(0,m),将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折,在直线l下方的图象保持不变,得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m的取值范围是 .3. 如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为________.4. 如图,抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2.(1)求抛物线的表达式.(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.5. 若二次函数y=ax2+b的最大值为4,且该函数的图象经过点A(1,3).(1)a=________,b=________,顶点D的坐标为________;(2)求这个抛物线关于x轴对称后所得的新函数表达式;(3)是否在抛物线上存在点B,使得S△DOB =2S△AOD?若存在,请求出B的坐标;若不存在,请说明理由.6. 已知m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根,且|m|<|n|,抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n),如图所示.(1)求这个抛物线的解析式.(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D 的坐标,并判断△BCD的形状.(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合),过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,点Q在直线BC上,距离点P为√2个单位长度,设点P的横坐标为t,△PMQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式.题型五：实际应用类问题1. 图2是图1中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线y=-1(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,有AC⊥x轴.若OA=10m, 400则桥面离水面的高度AC为( )A.16940mB.174mC.16740mD.154m2. 某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品,售后经过统计得到此商品单价在第x 天(x 为正整数)销售的相关信息,如表所示:(1)请计算第几天该商品单价为25元/件?(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数表达式. (3)这30天中第几天获得的利润最大?最大利润是多少?3. 某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x 棵橙子树.(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x 之间的关系. (2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?4. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m．（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m（横断面如图②）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由．题型六：综合应用类问题1. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的表达式.(2)如图1,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标.(3)如图2,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.2. 如图,抛物线y=-23x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(-1,0),与y轴交于点C(0,2),直线CD:y=-x+2与x轴交于点D.动点M在抛物线上运动,过点M作MP⊥x轴,垂足为点P,交直线CD于点N.(1)求抛物线的表达式.(2)当点P在线段OD上时,△CDM的面积是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点,点F是x轴上一动点,点M在运动过程中,若以C,E,F,M为顶点的四边形是平行四边形时,请写出点F的坐标.3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx＋3与抛物线交于点A(9，－6)，与y轴交于点B，抛物线的顶点C的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)D是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD的面积为812，求点D的坐标；(3)在y轴上是否存在一点P，使∠APC＝45°？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图1,抛物线y=-3[(x-2)2+n]与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+3,0)(点A在5点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC. (1)求m,n的值.(2)如图2,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN,BN.求△NBC 面积的最大值.(3)如图3,点M,P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM,PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.。

热点专题二次函数综合题型二次函数的综合探究题一直是中考的必考题。

通常考查与动点、存在性、相似有关的二次函数综合题，解答与动点有关的函数探究问题，通常需要把问题拆开，分清动点在不同位置运动，或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象这类问题往往与函数知识、特殊三角形、特殊四边形的性质，以及分类讨论思想、方程思想、数形结合思想相联系。

解题时要特别注意把握题目中的“动中有变(图形的变化)、变中有静(特殊三角形或四边形的性质及其数学思想)”的内在规律并注意挖掘隐含条件，综合运用数学知识解决问题。

此类问题的考查形式通常为解答题，解答此类问题时要注意分析问题存在的多种情况。

二次函数综合题型有以下三种常见题型:题型一：二次函数与线段最值问题；题型二：二次函数与图形面积问题；题型三：二次函数与特殊三角形的存在性问题；题型四：二次函数与特殊四边形的存在性问题。

考向3二次函数与特殊三角形的存在性问题例：（2019•梅江区期末）如图1，已知抛物线23(0)y ax bx a =++¹与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD D 为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）将点(1,0)A ，(3,0)B -代入23y ax bx =++，得，309330a b a b ì++=ïïíï-+=ïî，解得，12a b ì=-ïïíï=-ïî，\抛物线表达式为223y x x =--+；（2）如图1，过点E 作EF x ^轴于点F ，设(E a ，223)(30)a a a --+-<<，223EF a a \=--+，3BF a =+，OF a =-，\()1122BOCE S BF EF OC EF OF =×++×四边形2211(3)(23)233)()22a a a a a a =+--++--++-g 2399222a a =--+23363(228a =-++，\当32a =-时，BOCE S 四边形最大，且最大值为638；当32a =-时，2915233344a a --+=-++=，此时，点E 坐标为315(,)24-；（3）如图2，连接AC ，①当CA CD =时，此时CO 为底边的垂直平分线，满足条件的点1D ，与点A 关于y 轴对称，点1D 坐标为(1,0)-；②当AD AC =时，在Rt ACO D 中，1OA =Q ，3OC =，由勾股定理得，2210AC OC OA =+，以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，交x 轴于两点2D ，3D ，即为满足条件的点，此时它们的坐标分别为2(101,0)D -，3(101,0)D ；③当DA DC =时，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点4D ，即为满足条件的点，设垂直AC 的垂直平分线交y 轴于点P ，过AC 中点Q ，90AOC BOC PQC PQA Ð=Ð=Ð=Ð=°Q ，4D PO CPQ Ð=Ð，4ACO OD P \Ð=Ð，\△4D AQ CAO D ∽，\4D A AQ CA AO =4102110，45D A \=，444OD D A OA \=-=，\点4D 的坐标为(4,0)-；综上所述，存在符合条件的点D ，其坐标为1(1,0)D -或2(101,0)D -或3101,0)D 或4(4,0)D -．练习：1.（2019•阳江市二模）如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）设点(,0)M m 为线段OA 上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ．①求PN 的最大值；②若以B ，P ，N 为顶点的三角形与APM D 相似，请直接写出点M 的坐标．【解析】（1）直线23y x c =-+交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，02c \=-+，解得2c =，(0,2)B \，Q 抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ，将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式并解得：2410233y x x =-++；（2）①(,0)M m ，则2(,3P m ，2410(,2)33N m m m -++，224102424(03)3333PN m m m m m \=-++-=-+ ；当32m =时，线段PN 有最大值为3；②由（1）可知直线解析式为223y x =-+，(,0)M m Q 为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ，2(,2)3P m m \-+，2410(,2)33N m m m -++，223PM m \=-+，3AM m =-，22410242(2)43333PN m m m =-++--+=-+，BPN D Q 和APM D 相似，且BPN APM Ð=Ð，90BNP AMP \Ð=Ð=°或90NBP AMP Ð=Ð=°，当90BNP Ð=°时，则有BN MN ^，N \点的纵坐标为2，24102233m m \-++=，解得0m =（舍去）或52m =，5(2M \，0)；当90NBP Ð=°时，过点N 作NC y ^轴于点C ，则90NBC BNC Ð+Ð=°，NC m =，22410410223333BC m m m =-++-=-+，90NBP Ð=°Q ，90NBC ABO \Ð+Ð=°，ABO BNC \Ð=Ð，Rt NCB Rt BOA \D D ∽，NC CBOB OA=，\241023323m m m-++=，解得0m =（舍去）或118m =，11(8M \，0)；综上可知当以B ，P ，N 为顶点的三角形与APM D 相似时，点M 的坐标为5(2，0)或11(8，0)．2.（2019•龙岗区期末）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为(3,0)B ．(0,3)C ，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ^轴于点D ．若OD m =，PCD D 的面积为S ，①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标；（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD D 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）将点(3,0)B ，(0,3)C 代入2y x bx c =-++，得09333b c ì=-++ïïíï=ïî，解得，23b c ì=ïïíï=ïî，\二次函数的解析式为223y x x =-++；（2）①2223(1)4y x x x =-++=--+Q ，\顶点(1,4)M ，设直线BM 的解析式为y kx b =+，将点(3,0)B ，(1,4)M 代入，得304k b k b ì+=ïïíï+=ïî，解得26k b ì=-ïïíï=ïî，\直线BM 的解析式为26y x =-+，PD x ^Q 轴且OD m =，(,26)P m m \-+，211(26)322PCD S S PD OD m m m m D \===-+=-+g ，即23S m m =-+，Q 点P 在线段BM 上，且(3,0)B ，(1,4)M ，13m \ ；②2393()224S m m m =-+=--+Q ，10->Q ，\当32m =时，S 取最大值94，3(2P \，3)；（3）存在，理由如下：如图21-，当90CPD Ð=°时，90COD ODP CPD Ð=Ð=Ð=°Q ，\四边形CODP 为矩形，3PD CO \==，将3y =代入直线26y x =-+，得，32x =，3(2P \，3)；如图22-，当90PCD Ð=°时，3OC =Q ，OD m =，22229CD OC OD m \=+=+，//PD OC Q ，PDC OCD \Ð=Ð，cos cos PDC OCD \Ð=Ð，\DC OCPD DC=，2DC PD OC \=g ，293(26)m m \+=-+，解得，1332m =--（舍去），2332m =-+，(332P \-+，1262)-，当90PDC Ð=°时，PD x ^Q 轴，\不存在，综上所述，点P 的坐标为3(2，3)或(332-+，1262)-．3.（2019•香洲区校级模拟）如图，抛物线的顶点(P m ，1)(0)m >，与y 轴的交点2(0,1)C m +．（1）求抛物线的解析式（用含m 的式子表示）（2）点(,)N x y 在该抛物线上，NH ^直线34y =于点H ，点5(,)4M m 且60NMH Ð=°．①求证：MNH D 是等边三角形；②当点O 、P 、N 在同一直线上时，求m 的值．【解析】设抛物线解析式是2()1(0)y a x m a =-+¹，将2(0,1)C m +代入，得22(0)11a m m -+=+解得1a =．故该抛物线解析式是：2()1y x m =-+；（2）①根据题意知，34NH y =-．34NM y =-．则NM NH =．又因为60NMH Ð=°，所以MNH D 是等边三角形；②由①知，MNH D 是等边三角形．则13(24M N y y =-，即513(424N y =-．故74N y =．由于点7(,4N x 在抛物线2()1y x m =-+上，27()14x m \-+=①所以点N 的坐标是(x ，2()1)x m -+．设直线OP 的解析式是(0)y kx k =¹．把(P m ，1)(0)m >代入，得1mk =．解得1k m=．故该直线方程是x y m=．把(N x ，2()1)x m -+代入，得2()1xx m m -+=②．①②联立方程组，解得m =．4.（2019•汕头市二模）如图，二次函数21y x bx c =++与22()y x cx b b c =++<的图象相交于点A ，分别与y 轴相交于点C ，B ，连接AB 、AC ．（1）过点(1,0)作直线l ，判断点A 与直线l 的位置关系，并说明理由．（2）当A 、C 两点是二次函数21y x bx c =++图象上的对称点时，求b 的值．（3）当ABC D 是等边三角形时，求点B 的坐标．【解析】（1）联立1y 、2y 并解得：1x =，故点(1,1)A b c ++，故直线l 过点A ；（2）由题意得：点B 、C 的坐标分别为(0,)b 、(0,)c ，A Q 、C 两点是二次函数21y x bx c =++图象上的对称点，故点A 、C 的纵坐标相同，即：1b c c ++=，解得：1b =-；（3）如下图所示，过等边三角形的点A 作AH BC ^，则点(0,2b cH +，点(1,1)A b c ++，则1AH =，则3tan 1tan 303HB AH HAB =�窗=，则323b c HB b +=-=，而12b cb c +=++，解得：33b +=-，故点33(0,)B +-．考向4二次函数与特殊四边形的存在性问题例：（2019•越秀区校级一模）如图1，抛物线21:2C y ax bx =+-与直线11:22l y x =--交于x 轴上的一点A ，和另一点(3,)B n （1）求抛物线1C 的解析式；（2）点P 是抛物线1C 上的一个动点（点P 在A ，B 两点之间，但不包括A ，B 两点）PM AB ^于点M ，//PN y 轴交AB 于点N ，求MN 的最大值；（3）如图2，将抛物线1C 绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线2C ，已知抛物线2C 的顶点E 在第一象限的抛物线1C 上，且抛持线2C 与抛物线1C 交于点D ，过点D 作//DF x 轴交抛物线2C 于点F ，过点E 作//EG x 轴交抛物线1C 于点G ，是否存在这样的抛物线2C ，使得四边形DFEG 为菱形？若存在，请求E 点的横坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）直线11:22l y x =--交x 轴于点A 11022x \--=，解得：1x =-(1,0)A \-Q 点(3,)B n 在直线l 上113222n \=--=-(3,2)B \-Q 抛物线21:2C y ax bx =+-经过点A 、B \209322a b a b ì--=ïïíï+-=-ïî解得：1232a b ìïï=ïïïíïï=-ïïïî\抛物线1C 的解析式为213222y x x =--（2）如图1，延长PN 交x 轴于点H90AHN \Ð=°设(P m ，2132)(13)22m m m ---<<//PN y Q 轴N H P x x x m \===11(,)22N m m \--，1AH m =+，1111()2222NH m m \=---=+，22111313(2)222222PN m m m m =-----=-++Rt AHN D Q 中，1tan 2NH NAH AH Ð==sin NHNAH AN\Ð==PM AB ^Q 于点M 90AHN PMN \Ð=Ð=°ANH PNM Ð=ÐQ NAH NPM \Ð=ÐRt PMN \D 中，sin 5MN NPM PN Ð==2213)1)5522105MN PN m m m \==-++=--+MN \的最大值为（3）存在满足条件的抛物线2C ，使得四边形DFEG 为菱形，如图2，连接DE ，过点E 作EQ DF ^于点Q221313252()22228y x x x =--=--Q \抛物线1C 顶点为3(2，25)8-设(E e ，2132)(4)22e e e -->\抛物线2C 顶点式为22113()2222y x e e e =--+--当22211313()2222222x e e e x x --+--=--解得：1x e =，232x =\两抛物线另一交点3(2D ，258-为抛物线1C 顶点//EG x Q 轴，//DF x 轴322()232EG DF DQ e e \===-=-，2213251392228228EQ e e =--+=-+\四边形DFEG 是平行四边形若DFEG Y 为菱形，则DG DF=Q 由抛物线对称性可得：DG DE EF ==，DE EF DF \==，DEF \D 是等边三角形\tan EQEDQ DQ=Ð=，\213932282e e e -+=-解得：132e =（舍去），232e =E \点的横坐标为32时，四边形DFEG 为菱形．练习：1.（2019•禅城区模拟二）如图1，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，连接BC ，PB ，PC ，设PBC D 的面积为S ．求S 关于t 的函数表达式，并求出当t 为何值时，PBC D 的面积S 有最大值；（3）如图2，设抛物线的对称轴为直线l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）将(1,0)A -、(3,0)B 代入2y x bx c =-++，，得，10930b c b c ì--+=ïïíï-++=ïî，解得，23b c ì=ïïíï=ïî，\抛物线的表达式为223y x x =-++；（2）如图1，过点P 作//PF y 轴，交BC 于点F ，设直线BC 的解析式为(0)y mx n m =+¹，将(3,0)B 、(0,3)C 代入y mx n =+，得，303m n n ì+=ïïíï=ïî，解得，13m n ì=-ïïíï=ïî，\直线BC 的解析式为3y x =-+，Q 点P 的坐标为2(,23)t t t -++，\点F 的坐标为(,3)t t -+，2223(3)3PF t t t t t \=-++--+=-+，221393327(222228S PF OB t t t \==-+=--+g ，302-<Q ，\当32t =时，S 取最大值，最大值为278；（3）如图2，连接PC ，交抛物线对称轴l 于点E ，Q 抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，\抛物线的对称轴为直线1x =，1D C x x -=Q ，1P M x x \-=，2P x \=，(2,3)P \，在223y x x =-++中，当0x =时，3y =，(0,3)C \，3C D y y \-=，3M P y y \-=，6M y \=，\点M 的坐标为(1,6)；当2P x ¹时，不存在，理由如下，若四边形CDPM 是平行四边形，则CE PE =，Q 点C 的横坐标为0，点E 的横坐标为1，\点P 的横坐标1202t =´-=，又2P x ¹Q ，\不存在，综上所述，点M 的坐标为(1,6)．2.（2018•三水区二模）如图，对称轴为1x =的抛物线经过(1,0)A -，(2,3)B -两点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的动点，连接PO 交直线AB 于点Q ，当Q 是OP 中点时，求点P 的坐标；（3）C 在直线AB 上，D 在抛物线上，E 在坐标平面内，以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为正方形，直接写出点E 的坐标．【解析】（1）对称轴为1x =的抛物线经过(1,0)A -，则抛物线与x 轴的另外一个交点坐标为：(3,0)，则抛物线的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点B 的坐标代入上式并解得：1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =--；（2）设点2(,23)P m m m --，将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB 的表达式为：1y x =--，当Q 是OP 中点时，则点1(2Q m ，2232m m --，将点Q 的坐标代入直线AB 的表达式并解得：m =，故点P 或；（3）①当BC 为正方形的对角线时，如图1所示，直线AB 的表达式为：1y x =--，则点(0,1)C -，点(0,3)D -，2BD CD ==，故点1(2,1)E -；②当BC 是正方形的一条边时，（Ⅰ）当点D 在BC 下方时，如图2所示，抛物线顶点P 的坐标为：(1,4)-，点(2,3)B -，故PD BC ^，有图示两种情况，左图，点C 、E 的横坐标相同，在函数对称轴上，故点2(1,4)E -；此时，点D 、E 的位置可以互换，故点3(0,3)E -；右图，点B 、E 的横坐标相同，同理点4(2,5)E -；（Ⅱ）当点D 在CB 上方时，此时，点B 、D 坐标相同，这是不可能的，故不存在；综上，点E 的坐标为：(2,1)-或(1,4)-或(0,3)-或(2,5)-．3.（2017•天河区校级模拟）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A ，B ，C 三点的拋物线对应的函数关系式是251201223y x x =--+．【解析】Q 沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，A \点的坐标为：(4,2)-，B 点的坐标为：(2,6)-，C 点的坐标为：(2,4)，将A ，B ，C 代入2y ax bx c =++，1642426424a b c a b c a b c ì-+=ïïïï-+=íïïï++=ïî，解得：51212203a b c ìïï=-ïïïïïï=-íïïïïï=ïïïî，\二次函数解析式为：251201223y x x =--+．故答案为：251201223y x x =--+．4.（2019•南海区二模）如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于点(1,0)A 和点B ，交y 轴于点(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找出点P ，使PC PO =，求点P 的坐标；（3）将直线AC 沿x 轴的正方向平移，平移后的直线交y 轴于点M ，交抛物线于点N ．当四边形ACMN 为等腰梯形时，求点M 、N 的坐标．【解析】（1）把点(1,0)A 、(0,3)C 代入二次函数表达式得：013b c c ì=++ïïíï=ïî，解得：43b c ì=-ïïíï=ïî，则抛物线的表达式为：243y x x =-+；（2）如下图，过P 作PH OC ^，垂足为H ，PO PC =Q ，PH OC ^，则：32CH OH ==，23432x x \-+=，解得：22x =±，故点(2P +或(2-；（3）如下图，连接NA 并延长交OC 于GQ 四边形ACMN 为等腰梯形，且//AC MN ，ANM CMN \Ð=Ð，ANM GAC Ð=Ð，GCA CMN Ð=Ð，GAC GCA \Ð=Ð，GA GC\=设GA x =，则GC x =，3OG x =-在Rt OGA D 中，222OA OG AG +=2221(3)x x \+-=，解得53x =，433OG x \=-=，4(0,)3G \直线AG 的解析式为4433y x =-+令2444333x x x -+=-+，解得11x =（舍去），253x =5(3N \，8)9-，225810(1)()399CM AN \==-+-，1037399OM OC CM \=+=+=，37(0,9M \，\存在37(0,9M 、5(3N ，8)9-使四边形ACMN 为等腰梯形．。

专题19 二次函数与实际问题：销售问题一、单选题1．某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x （单位：元）之间的函数关系式是（ ）A ．30010y x =-B ．()3006040y x =--C ．()()300106040y x x =+--D ．()()300106040y x x =--+【答案】D【分析】由每件涨价x 元，可得出销售每件的利润为（60﹣40+x ）元，每星期的销售量为（300﹣10x ），再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．【详解】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x 元，∵销售每件的利润为（60﹣40+x ）元，每星期的销售量为（300﹣10x ），∵每星期售出商品的利润y ＝（300﹣10x ）（60﹣40+x ）．故选：D ．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 与x 之间的函数关系式．二、解答题2．在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y （袋）与销售单价x （元）之间的函数关系式 ；每天所得销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式 ．（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定位多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）210500,1070010000y x w x x =-+=-+-； （2）30元或40元； （3）销售单价定位37元时，此时利润最大，最大利润是2210元．【分析】（1）根据“若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋，当销售单价为x 元时，销售量为()2501025x --⎡⎤⎣⎦袋”，即可得出y 关于x 的函数关系式，然后再根据销售利润w （元）等于销售数量乘以每袋利润可得销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）代入w=2000，建立一元二次方程，解方程求出x 的值，由此即可得出结论；（3）根据题意先求解销售单价x 的范围，利用配方法将w 关于x 的函数关系式变形为：()210352250w x =--+，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：（1）根据题意得，()250102510500y x x =--=-+； 则()()220105001070010000w x x x x =--+=-+-，故答案为：210500,1070010000.y x w x x =-+=-+-（2）∵w=2000，∵210700100002000x x -+-=，27012000,x x ∴-+=()()30400,x x ∴--=解得：1230,40,x x ==答：销售单价应定为30元或40元，小明每天获得该类型口罩的销售利润2000元；（3）根据题意得，105001002017x x -+≥⎧⎨-≥⎩， ∵x 的取值范围为：3740x ≤≤，∵函数()22107001000010352250x x x w -+-=--+=， ∴ 对称轴为x=35，10a =-＜0,∴ 当3740x ≤≤，y 随x 的增大而减小，∵当x=37时，w 最大值=2210．答：销售单价定位每袋37元时，此时利润最大，最大利润是2210元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一元二次方程的解法，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握利用二次函数的性质求最值是解题的关键．3．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润为最大？【答案】（1）标价为200元，进价为155元；（2）10元【分析】（1）设工艺品每件的标价为x元，则根据题意可知进价为（x-45）元，按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等，列一元一次方程求解即可；（2）设每件应降价x元出售，每天获得的利润为y元，根据题意可得y和x的函数关系，利用函数的性质求解即可．【详解】解：（1）设工艺品每件的标价为x元，则进价为x－45 ，8[0.85x－（x－45）]＝12[x－35－（x－45）] ，整理得360－1.2x＝120，即1.2x＝240，解得x＝200，则每件进价为：200－45＝155（元）,∵改商品的每件标价为200元，进价为155元．（2）设利润为y，工艺品降价x元，则y＝（45－x）（100＋4x）＝－4x2＋80x＋4500＝－4（x－10）2＋4900，∵a＝－4＜0，函数有最大值，∵当降价10元，每天获得的利润最大，最大利润4900元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，吃透题意，确定变量，建立函数模型是解题的关键．4．某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y 万元．（销售利润=销售价﹣进货价）（1）求y 与x 的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围；（2）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？（3）要使该汽车城平均每周的销售利润不低于48万元，那么销售价应定在哪个范围？【答案】（1）()404y x x =-+≤≤；（2）每辆汽车的定价为27.5万元时，利润最大，最大利润为50万元；（3）27万元至28万元【分析】（1）根据利润等于（29﹣进货价﹣降价）可得出y 关于x 的函数关系式，化简即可；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S 万元，根据平均每周的销售利润等于每辆汽车的销售利润乘以销售量，可得出S 关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（3）当S=48时，可得关于x 的一元二次方程，求得方程的解，再根据二次函数的性质可得出符合题意的x 值，再由实际售价等于（29﹣x ）万元，可得出销售价的范围．【详解】（1）由题意得：2925y x =--，∵4y x =-+（04x ≤≤）；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S 万元，则()()0.5484S x x =÷⨯+-+282432x x =-++()28 1.550x =--+，∵ 1.5x =时，S 最大为50．∵29 1.527.5-=（万元），∵每辆汽车的定价为27.5万元时，利润最大，最大利润为50万元；（3）当S=48时，28243248x x -++=，解得：1212x x ==，，∵()28 1.550S x =--+，二次项系数为﹣8＜0，∵S 为开口向下的二次函数，∵对称轴为直线 1.5x =，∵当1 1.5x ≤≤时，S 随x 的增大而增大；当1.52x <≤时，S 随x 的增大而减小，∵当12x ≤≤时，48S ≥．∵实际售价等于（29x -）万元，∵272928x ≤-≤时，48S ≥．∵销售价格在27万元至28万元之间时（含27万、28万元）该汽车城平均每周的利润不低于48万元．【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元，平均每天可以多售出20箱．（1）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？（2）每箱降价多少元超市每天获利最大？最大利润是多少？【答案】（1）2元或5元；（2）每箱降价3.5元时获利最大，最大利润是1445元【分析】（1）设每箱应降价x 元，列方程解答；（2）设每天获利W 元，由题意得到(12)(10020)W x x =-+，化为顶点式即可得到答案．【详解】解：（1）要使每天销售饮料获利1400元，设每箱应降价x 元，依据题意列方程得，(12)(10020)1400x x -+=，整理得27100x x -+=，解得12x =，25x =；答：要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价2元或5元．（2）设每天获利W 元，则(12)(10020)W x x =-+，2201401200x x =-++，220( 3.5)1445x =--+，∴每箱降价3.5元时获利最大，最大利润是1445元．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． 6．我市某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（6x ≥，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【答案】（1）210210800=-+-y x x ；（2）每件文具售价为9元，最大利润为280元．【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，（2）由题意可知，利润不超过80%即：利润率＝（售价－进价）÷进价∵80%，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，问题可解．【详解】解：由题意（1）26(5)1005102108000.5x y x x x -⎛⎫=--⨯=-+- ⎪⎝⎭故y 与x 的函数关系式为：210210800=-+-y x x（2）∵每件文具利润不超过80% ∵50.85x -≤，得9x ≤ 结合题意得文具的销售单价x 的取值范围为69x ≤≤，由（1）得()22102108001010.5302.5y x x x =-+-=--+∵对称轴为10.5x =∵69x ≤≤在对称轴的左侧，且y 随着x 的增大而增大∵当9x =时，取得最大值，此时()210910.5302.5280y =-⨯-+=即每件文具售价为9元时，利润最大；最大利润为280元．【点睛】考查二次函数的应用．把实际问题转化为函数问题是关键，要注意自变量取值范围．7．某商店购进了一种小商品，每件进价为2元．经市场预测，销售定价为3元时，可售出200件；现为了减少库存，商店决定采取适当降价措施．经调查发现，销售定价每降低0.1元时，销售量将增多40件．（1）商店若希望获利224元，则应该降价多少元？（2）商店若要获得最大利润，应降价多少元？最大利润是多少？【答案】（1）降价0.3元；（2）降价0.25元，最大利润是225元【分析】（1）设每件小商品降价x 元，则可售出（200＋400x ）件，根据总利润＝每件的利润×销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（2）根据题意可以得到利润与降价之间的函数关系式，从而可以解答本题．【详解】（1）设每件小商品应该降价x 元，则可售出200+400.1x =（200+400x ）件， 依题意，得：（3﹣2﹣x ）（200+400x ）＝224，整理，得：2x 2﹣x +0.12＝0，解得：x 1＝0.3，x 2＝0.2，∵为了减少库存，∵x ＝0.3，答：商店若希望获利224元，则应该降价0.3元；（2）设每件应降价y 元，利润为w 元，w ＝（3﹣2﹣y ）（200+400y ）＝﹣400y 2+200y +200＝﹣400（y ﹣0.25）2+225，∵当y ＝0.25时，w 取得最大值，此时w ＝225，即商店若要获得最大利润，应降价0.25元，最大利润是225元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）确定w 与y 的函数关系式，配方可得最值．8．某超市购进一种商品，进货单价为每件10元在销售过程中超市按相关规定．销售单价不低于1元且不高于19元如果该商品的销售单价x （单位：元/件）与日销售量y （单位：件）满足一次函数关系240y x =-+，设该商品的日销售利润为w 元，那么当该商品的销售单价x （元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？【答案】当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元【分析】根据利润等于每件的利润乘以销售量，可列出w 关于x 的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【详解】解：根据题意得：w=（-2x+40）（x -10）=-2x 2+60x -400=-2（x -15）2+50，∵当x=15时，w 取得最大值，最大值为50．∵1＜15＜19，∵x=15符合题意．∵当该商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．某水果店批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售将减少20千克．（1）现要保证每天盈利5520元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）要使每天获利不少于6000元，求涨价x 的范围．【答案】（1）每千克水果应涨价2元；（2）510x ≤≤【分析】（1）设每千克应涨价x 元，由题意列出方程，解方程即可求解；（2）根据题意表示出每天的利润，然后利用每天的获利等于6000元，解出两个x 的值，然后根据二次函数的性质即可得出答案．【详解】（1）设每千克应涨价x 元，由题意列方程得：（10+x ）（500﹣20x ）＝5520，解得：x ＝2或x ＝13，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价2元；答：每千克水果应涨价2元．（2）根据题意得，每天的获利为()()21050020203005000w x x x x =+-=-++ 令6000w =，即22030050006000x x -++=，解得125,10x x ==，20a =-<，∵要使每天获利不少于6000元，涨价x 的范围为510x ≤≤，答：每千克水果涨价x 的范围是510x ≤≤．【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，根据题意列出方程及二次函数是解题的关键．10．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）在前50天销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元给顾客，且要求售价不低于80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5850元，求出a的值．【答案】（1）y()()22x180x20001x50120x1200050x90⎧-++≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎩＜；（2）该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）a的值为55﹣【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，分段列出函数关系式可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）在确定函数表达式的基础上，确定函数的对称轴，进而求解．【详解】（1）当1≤x＜50时，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）＝﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y＝（200﹣2x）（90﹣30）＝﹣120x+12000，综上所述：y()()22x180x20001x50120x1200050x90⎧-++≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎩＜；（2）当1≤x＜50时，y＝﹣2x2+180x+2000，y＝﹣2（x﹣45）2+6050．∵a＝﹣2＜0，∵二次函数开口下，二次函数对称轴为x＝45，当x＝45时，y最大＝6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x＝50时，y最大＝6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）根据题意得，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝﹣2x2+（180+4a）x+2000﹣400a，x+40≥80，则x≥40，即40≤x＜50，函数的对称轴x＝45+a，在40≤x＜50内（a＜5时），当x＝45+a时，函数取得最大值，即y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝（200﹣90﹣2a）（45+a+10﹣2a）＝2（55﹣a）（55﹣a）＝5850，即（55﹣a）＝=解得：a＝55﹣；故a的值为55﹣【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值，解答时求出函数的解析式是关键．11．一网店经营一种玩具，购进时的单价是30元．根据市场调查表明：当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该玩具的销售单价为x 元（40x >），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：（2）若该网店要获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元？（3）若该网店要完成不少于550件的销售任务，求网店销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】（1）101000x -+，210130030000x x -+-；（2）销售单价x 应定为50元或80元；（3）最大利润为8250元．【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解即可；（2）由（1）可得210x 1300x 3000010000-+-=，然后求解即可；（3）由题意易得101000550x -+≥，然后可得4045x <≤，最后由二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：销售量()6001040101000y x x =--=-+；销售玩具获得利润()()23010100010130030000w x x x x =--+=-+-； 故答案为101000x -+，210130030000x x -+-；（2）由（1）及题意得：210x 1300x 3000010000-+-=，213040000x x -+=，解得：1250,80x x ==，∵40x >，∵1250,80x x ==；答：销售单价x 应定为50元或80元．（3）由题意得：101000550x -+≥，解得：45x ≤，∵40x >，∵4045x <≤，∵()2210130030000106512250w x x x =-+-=--+，∵100a =-<，对称轴为直线65x =，∵当4045x <≤时，w 随x 的增大而增大，∵当x=45时，w 有最大值，即为()2104565122508250w =-⨯-+=；答：销售该玩具所获最大利润为8250元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，会根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质是解题的关键．12．进入冬季，我市空气质量下降，多次出现雾霾天气．商场根据市民健康需要，代理销售一种防尘口罩，进货价为20元/包，经市场销售发现：销售单价为30元/包时，每周可售出200包，每涨价1元，就少售出5包．若供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务．（1）试确定周销售量y（包）与售价x（元/包）之间的函数关系式；（2）试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/包）之间的函数关系式，并直接写出售价x的范围；（3）当售价x（元/包）定为多少元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣5x+350；（2）w=﹣5x2+450x﹣7000（30≤x≤40）；（3）当售价x定为40元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大，最大利润是3000元．【分析】（1）由题意直接写出y与x之间的函数关系式即可；（2）先由题意直接写出w与x之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元/包且商场每周完成不少于150包的销售任务列出方程组确定x的取值范围即可；（3）根据第（2）问中的函数解析式和x的取值范围运用二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）由题意可得：y=200﹣（x﹣30）×5=﹣5x+350即周销售量y（包）与售价x（元/包）之间的函数关系式是：y=﹣5x+350；（2）由题意可得：w=（x﹣20）×（﹣5x+350）=﹣5x2+450x﹣7000且305350150x x ≥⎧⎨-+≥⎩ 解得：30≤x ≤40 即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元）与售价x （元/包）之间的函数关系式是：w =﹣5x 2+450x ﹣7000（30≤x ≤40）；（3）∵w =﹣5x 2+450x ﹣7000的二次项系数﹣5＜0，∵抛物线对称轴为x =﹣4502(5)⨯-=45， ∵30≤x ≤40，∵当x ＜45时，w 随x 的增大而增大，∵当x =40时，w 取得最大值，w =﹣5×402+450×40﹣7000=3000，即当售价x （元/包）定为40元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元）最大，最大利润是3000元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，明确题意、列出相应的函数解析式并确定自变量的取值范围是解答本题的关键．13．绿水青山，就是金山银山，为了保护环境，凉山州某公司生产了A 、B 两种型号的垃圾处理设备．已知生产4件甲设备和3件乙设备，共需成本62万元；生产3件甲设备和2件乙设备，共需成本44万元． （1）求生产每件甲、乙设备的成本分别是多少万元?（2）设甲设备的销售单价为x （单位：万元/件），该公司在销售过程中发现：甲设备的月销售量y （单位：件）与销售单价x 之间存在一次函数关系，x 、y 之间的部分数值对应关系如表：()1119x ≤≤请求出当1119x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，设甲设备的月销售利润为w 万元，当甲设备的销售单价x （万元/件）定为多少时，月销售利润最大?最大利润是多少?【答案】（1）生产每件甲、乙设备的成本分别是8万元，10万元；（2）当1119x ≤≤时，函数关系式为240y x =-+；（3）当甲设备的销售单价定为14（万元/件）时，月销售利润最大是72万元．【分析】（1）设甲、乙的成本分别为a ，b 万元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）设一次函数解析式，再代入（11，18），（19，2）利用待定系数法求解即可；（3）利用（2）的结论，列出w 与x 之间的关系式，利用函数的性质求解即可．【详解】（1）设生产每件甲、乙设备的成本分别是a 万元、b 万元，由题意可得：43623244a b a b +=⎧⎨+=⎩解得：810a b =⎧⎨=⎩答：生产每件甲、乙设备的成本分别是8万元，10万元．（2）设()0y kx b k =+≠， 把()11,18，()19,2代入得1811219k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：240k b =-⎧⎨=⎩ ∵当1119x ≤≤时，函数关系式为240y x =-+．（3）由题意得：()()8240w x x =--+256320x x =-+-()221472x =--+∵当14x =时，利润最大为72万元答：当甲设备的销售单价定为14（万元/件）时，月销售利润最大是72万元．【点睛】本题考查二元一次方程组，一次函数，二次函数的实际应用，能够准确根据题意列出方程或表达式是解题关键．14．新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销售量1y （盒）与售价x （元）之间的关系为14008y x =-；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒． （1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时甲乙两种口罩的销售利润总和为多少？ （3）当甲口罩的销售量不低于乙口罩的销售量的1415，若使两种口罩的总利润最高，求此时的定价为多少？ 【答案】（1）20元、30元；（2）45元，2125元；（3）36元．【分析】（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x 元、y 元，由题意列方程组，求解即可．（2）设乙口罩的销售利润为w 元，由题意可列出关于x 的二次函数，将其改写成顶点式，即可知道乙口罩的售价及此时乙口罩的最大利润，继而求出甲口罩利润，即可求解．（3）根据题意可列出不等式，解得x 的取值范围，在得出两种口罩的利润总和关于x 的二次函数，根据二次函数的性质可得其对称轴，即得到答案．【详解】（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x 元、y 元，由题意得：4626054220x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：2030x y =⎧⎨=⎩， ∵甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元、30元．（2）设乙口罩的销售利润为w 元，由题意得：()()30100540w x x =---⎡⎤⎣⎦254509000x x =-+-()25451125x =--+，∵当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，为1125元，当售价为45元时，1400840084540y x =-=-⨯=（盒）；∵甲口罩的销售利润为：()4520401000-⨯=（元）， ∵此时两种口罩的销售利润总和为：112510002125+=（元），∵当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为2125元． （3）由题意得：()14400810054015x x -≥--⎡⎤⎣⎦， 解得：36x ≤，∵两种口罩的利润总和()()()240082054509000w x x x x =--+-+-213101017000x x =-+-，∵对称轴为：5053613x =>， ∵当36x =时，两种口罩的利润总和最高，∵若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为36元．【点睛】本题考查一次函数、二元一次方程组、二次函数及一元一次不等式在实际问题中的应用．根据题干理清它们的数量关系是解题的关键，综合性较强．15．某厂生产一种玩具，成本价是8元∕件，经过调查发现，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）存在一次函数关系10600 y x =-+．（1）销售单价定为多少时，该厂每天获得的利润最大？最大利润是多少？（2）若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，那么销售单价如何定位才能获得最大利润？【答案】（1）34，6760元；（2）当销售单价定为30元时，才能获得最大利润．【分析】（1）根据题意，可以写出利润与销售单价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大，最大利润为多少；（2）根据（1）中利润与单价之间的函数关系式和物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，可以得到当单价为30时，才能获得最大利润．【详解】解：（1）设该厂每天获得的利润为w 元，2810600106804800W x x x x210x346760=时，W有最大值6760元当x34因此，当销售单价定为34元时，该厂每天获得的利润最大，最大利润是6760元．（2）由（1）可知2W x10346760x=，∵函数图像开口向下，对称轴为34∵最高销售单价不得超过30元，∵当x＝30时，w取得最大值，此时2W，10303467606600因此，当销售单价定为30元时，才能获得最大利润是6600元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y (千克)与售价x (元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：(1)求y与x的函数关系式；(2)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w (元)最大?此时的最大利润为多少元?【答案】（1）y＝﹣x+150（0＜x≤90）；（2）85，4225．【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．（2）根据题意列出w 与x 的函数关系式，然后配方()221703000854225w x x x =-+-=--+即可求出【详解】（1）设y 与x 的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0），根据题意得 501006090k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 1b 150=-⎧⎨=⎩． 故y 与x 的函数关系式为y ＝﹣x +150（0＜x ≤90）；（2）根据题意得()()()20+15020w y x x x =-=--()221703000854225w x x x =-+-=--+当=85x 时批发商获得的利润w (元)最大，最大利润4225w =【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，利用待定系数法求出一次函数的解析式与列出二次函数解析式，会配方变为顶点式．17．某超市销售一种牛奶，进价为每箱36元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售100箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x 元（x 为正整数），每月的销量为y 箱．（1）写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）10010y x =+，1≤x ≤24，且x 为整数；（2）超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元．【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；（2）由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值．【详解】解：（1）根据题意，得：y＝100+10x，由60﹣x≥36得x≤24，∵1≤x≤24，且x为整数；（2）设所获利润为W，则W＝（60﹣x﹣36）（10x+100）＝﹣10x2+140x+2400＝﹣10（x﹣7）2+2890，∵此二次函数的二次项系数小于0，∵函数开口向下，有最大值，∵当x＝7时，W取得最大值，最大值为2890，此时售价为60-7=53（元），答：超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元．【点睛】本题主要考查二次函数应用，由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．18．某企业设计了一款工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？。

2021中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象及其性质一、选择题1. 已知二次函数y ＝x 2－x ＋14m －1的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤5B ．m ≥2C ．m ＜5D ．m ＞22. 如图，抛物线的函数解析式是()A ．y ＝x 2－x ＋2B ．y ＝x 2＋x ＋2C ．y ＝－x 2－x ＋2D ．y ＝－x 2＋x ＋23. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( ) A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度 C ．向左平移8个单位长度D ．向右平移8个单位长度4. (2019•成都)如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =5. 若二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴是x ＝3，则关于x 的方程x 2＋mx ＝7的解为( )A. x 1＝0，x 2＝6B. x 1＝1，x 2＝7C. x 1＝1，x 2＝－7D. x 1＝－1，x 2＝76. (2019•咸宁)已知点()()()()1,,1,,2,0A m B m C m n n -->在同一个函数的图象上，这个函数可能是 A ．y x ＝ B ．2y x=-C ．2y x ＝D ．2y x ＝﹣7. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x –m)2–m+1(m 为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m ，则y1<y2；④当–1<x<2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是 A ．① B ．② C ．③ D ．④8.关于二次函数)0(542≠--=a ax ax y 的三个结论：①对任意实数m ，都有m x +=21与m x -=22对应的函数值相等；②若3≤x ≤4，对应的y 的整数值有4个，则134-≤<-a 或341<≤a ；③若抛物线与x 轴交于不同两点A,B ，且AB≤6，则45-<a 或1≥a .其中正确的结论是（ ）A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题9. 如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，则方程ax 2=bx+c 的解是 .10. 某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝12x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为________________．11. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．12. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x …－1 0 1 2 3 4 …y …10 5 2 1 2 5 …则该二次函数的解析式为____________________．13. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________．14. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表:x…-1 0 1 2 3 …y… 3 0 -1 0 m…(1)观察上表可求得m的值为;(2)这个二次函数的解析式为;(3)若点A(n+2，y1)，B(n，y2)在该抛物线上，且y1>y2，则n的取值范围为.15. 已知函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x >0），－x （x ≤0）的图象如图所示，若直线y ＝x ＋m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．16. 已知实数x ，y 满足x2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为________．三、解答题17. 若关于x 的函数y ＝(m 2－1)x 2－(2m ＋2)x ＋2的图象与x 轴只有一个公共点，求m 的值．18. 如图，足球场上守门员徐杨在O 处抛出一高球，球从离地面1 m 处的点A 飞出，其飞行的最大高度是4 m ，最高处距离飞出点的水平距离是6 m ，且飞行的路线是抛物线的一部分．以点O 为坐标原点，竖直向上的方向为y 轴的正方向，球飞行的水平方向为x 轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．(参考数据：4 3≈7)(1)求足球的飞行高度y (m)与飞行的水平距离x (m)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)(2)在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？(精确到1 m) (3)若对方一名1.7 m 的队员在距落地点C 3 m 的点H 处跃起0.3 m 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？19. 如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．20. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．21. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝34x＋m与x轴、y轴分别交于点A、点B(0，－1)，抛物线y＝12x2＋bx＋c经过点B，交直线AB于点C(4，n)．(1)分别求m、n的值；(2)求抛物线的解析式；(3)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0＜t＜4)，DE∥y轴交直线AB于点E，点F在直线AB上，且四边形DFEG为矩形(如图)，若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式和p的最大值．22. (2019·四川资阳)如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值； (3)设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2021中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象及其性质-答案一、选择题1. 【答案】A[解析] ∵抛物线y ＝x 2－x ＋14m －1与x 轴有交点，∴b 2－4ac≥0，即(－1)2－4×1×(14m －1)≥0，解得m≤5.2. 【答案】D[解析] 先设出函数解析式，然后把(0，2)，(－1，0)，(2，0)分别代入函数解析式，列出方程组，求出各系数即可．3. 【答案】B [解析] y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2－16，顶点坐标是(－1，－16)．y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，故选B.4. 【答案】D【解析】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0，A 选项错误； 函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac ->0，B 选项错误； 观察图象可知x=-1时y=a-b+c>0，所以a-b+c>0，C 选项错误； 根据图象与x 轴交点可知，对称轴是(1，0)，(5，0)两点的中垂线，1532x +==， 即x=3为函数对称轴，D 选项正确， 故选D ．5. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴为x ＝－m2＝3，解得m ＝－6，则关于x 的方程为x 2－6x ＝7，解得，x 1＝－1，x 2＝7.6. 【答案】D【解析】()()1,,1,A m B m -， ∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于2y x y x==-，的图象关于原点对称，因此选项A ，B 错误；∵0n >，∴m n m -<，由()()1,,2,B m C m n -可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， 对于二次函数只有0a <时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∴D 选项正确，故选D ．7. 【答案】C【解析】把(m ，–m+1)代入y=–x+1，–m+1=–m+1，左=右，故①正确；当–(x –m)2–m+1=0时，x1=m x2=m 若顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形， 则1–m+(1–m)2+1–m+(1–m)2=4(1–m)，即m2–m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确； 当x1<x2，且x1、x2在对称轴右侧时，∵–1<0，∴在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，即y1>y2，故③错误； ∵–1<0，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴m≥2，故④正确， 故选C ．8. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣5的对称轴为直线x ＝422aa-=，∴x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 关于直线x ＝2对称，∴对任意实数m ，都有x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 对应的函数值相等，所以①正确；因为二次函数在3≤x ≤4上y 随x 的增大而增大，或增大而减小，而且x =3时y =-3a -5，x =4时y =-5,所以y 要有4个整式值，则-9＜-3a -5≤-8,或-2≤-3a -5＜-1，所以134-≤<-a 或341<≤a ，故②正确；因为A B≤6，则21212212124)()x -(x |x -x |x x x x -+===2(5)2044166aa--⨯=+≤，则45-<a 或1≥a .所以③正确.故选D.二、填空题9. 【答案】x 1=-2，x 2=1 [解析]∵抛物线y=ax 2与直线y=bx +c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，∴的解为即方程ax 2=bx +c的解是x 1=-2，x 2=1.10. 【答案】y ＝12(x ＋2)2＋1 [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x －h)2＋k.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y ＝12(x ＋2)2＋1.11. 【答案】y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x 【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－12，－14) 或(1，0)，(－12，－14) .设所求函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，图象经过原点，则c ＝0，当图象经过(－1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝b＝1，即所求解析式为y ＝x 2＋x ; 当图象经过(1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝－13，b ＝13，即所求解析式为y ＝－13x 2＋13x .综上所述，所求函数的解析式为y＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x .12. 【答案】y ＝x2－4x ＋5 [解析] 从表格中的数据可以看出，当x ＝1和x ＝3时，函数值y ＝2，可见，抛物线的顶点坐标为(2，1)，故可设二次函数的解析式为y ＝a(x －2)2＋1，再由二次函数图象过点(1，2)，得2＝a(1－2)2＋1，解得a ＝1，故二次函数的解析式为y ＝(x －2)2＋1，即y ＝x2－4x ＋5.13. 【答案】．x ＜－1或x ＞314. 【答案】解:(1)3[解析]观察表格，根据抛物线的对称性可得x=3和x=-1时的函数值相等，∴m 的值为3，故答案为:3.(2)y=(x -1)2-1 [解析]由表格可得，二次函数y=ax 2+bx +c 图象的顶点坐标是(1，-1)，∴y=a (x -1)2-1.又当x=0时，y=0，∴a=1，∴这个二次函数的解析式为y=(x -1)2-1.(3)n>0 [解析]∵点A (n +2，y 1)，B (n ，y 2)在该抛物线上，且y 1>y 2，∴结合二次函数的图象和性质可知n>0.15. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫23，00<m<14 [解析] 联立y ＝x ＋m 与y ＝－x 2＋2x ，得x ＋m ＝－x2＋2x ，整理得x 2－x ＋m ＝0，当有两个交点时，b 2－4ac ＝(－1)2－4m>0，解得m<14.当直线y ＝x ＋m 经过原点时，与函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x>0）x （x≤0）的图象有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0， ∴m 的取值范围为0<m<14.故答案为0<m<14.16. 【答案】4 [解析] x ＋y ＝－x2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴当x ＝－1时，x ＋y 有最大值，最大值是4.三、解答题17. 【答案】解：①当m 2－1＝0且2m ＋2≠0，即m ＝1时，该函数是一次函数，其图象与x 轴只有一个公共点；②当m 2－1≠0，即m ≠±1时，该函数是二次函数，则 Δ＝[－(2m ＋2)]2－8(m 2－1)＝0， 解得m 1＝3，m 2＝－1(舍去)． 综上所述，m 的值是1或3.18. 【答案】解：(1)由题意，设y ＝a(x －6)2＋4. ∵A(0，1)在抛物线上， ∴1＝a(0－6)2＋4， 解得a ＝－112， ∴y ＝－112(x －6)2＋4.(2)令y ＝0，则0＝－112(x －6)2＋4，解得x 1＝4 3＋6≈13，x 2＝－4 3＋6＜0(舍去)，∴在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离约是13 m. (3)当x ＝13－3＝10时，y ＝83＞1.7＋0.3＝2， ∴这名队员不能拦到球．19. 【答案】解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3)代入y ＝ax2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝x2－4x ＋3.(2)因为y ＝x2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2.(3)阴影部分的面积为2.20. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．∴⎩⎨⎧4a ＋2b ＝436a ＋6b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝3.(4分) (2)如解图①，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为点E ，点F ，则S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋(2x －4)＋(－x 2＋6x)＝－x 2＋8x.∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)．(10分)∵S ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.(12分)解图①【一题多解】解法一：由(1)知y ＝－12x 2＋3x ，如解图②，连接AB ，则S ＝S △AOB ＋S △ABC ，其中S △AOB ＝12×6×4＝12，设直线AB 解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，将点A(2，4)，B(6，0)代入，易得，y 1＝－x ＋6，过C 作直线l ⊥x 轴交AB 于点D ，∴C(x ，－12x 2＋3x)，D(x ，－x ＋6)，∴S △ABC ＝S △ADC ＋S △BDC ＝12·CD·(x －2)＋12·CD·(6－x)＝12·CD·4＝2CD ，其中CD ＝－12x 2＋3x －(－x ＋6)＝－12x 2＋4x －6，∴S △ABC ＝2CD ＝－x 2＋8x －12，∴S ＝S △ABC ＋S △AOB ＝－x 2＋8x －12＋12＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)， 即S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.解图②解法二：∵点C 在抛物线y ＝－12x 2＋3x 上，∴点C(x ，－12x 2＋3x)，如解图③，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为点E ，则点D 的坐标为(2，0)，点E 的坐标为(x ，0)，∴S ＝S △OAD ＋S 梯形ADEC ＋S △CEB ＝12×2×4＋12(4－12x 2＋3x)(x －2)＋12(6－x)(－12x 2＋3x)＝－x 2＋8x ，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.解图③21. 【答案】(1)∵直线y ＝34x ＋m 与y 轴交于点B (0，－1)，∴m ＝－1，∴直线解析式为y ＝34x －1，∵直线经过点C (4，n )，∴n ＝34×4－1＝2；(2)∵抛物线经过点C 和点B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(3)∵点D 的横坐标为t (0＜t ＜4)，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，∴D (t ，12t 2－54t －1)，E (t ，34t －1)， ∴DE ＝34t －1－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∵DE ∥y 轴，∴∠DEF ＝∠ABO ，且∠EFD ＝∠AOB ＝90°，∴△DFE ∽△AOB ，∴DF OA ＝EF OB ＝DE AB ，在y ＝34x －1中，令y ＝0可得x ＝43，∴A (43，0)，∴OA ＝43，在Rt △AOB 中，OB ＝1，∴AB ＝53，∴DF 43＝EF 1＝DE 53，∴DF ＝45DE ，EF ＝35DE ，∴p ＝2(DF ＋EF )＝2×(45＋35)DE ＝145DE ＝145(－12t 2＋2t )＝－75t 2＋285t ＝－75(t －2)2＋285(0＜t ＜4)， ∵－75＜0，∴当t ＝2时，p 有最大值285.22. 【答案】(1)将点B 的坐标为(4,)m 代入72y x =-+，71422m =-+=-， ∴B 的坐标为1(4,)2-，将(3,2)A ，1(4,)2B -代入212y x bx c =-++， 2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩，解得1b =，72c =， ∴抛物线的解析式21722y x x =-++； (2)设217(,)22D m m m ++，则7(,)2E m m -+， 22217711()()2(2)222222DE m m m m m π=-++--+=-+=--+， ∴当2m =时，DE 有最大值为2，此时7(2,)2D ， 作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ．PD PA PD PA A D ''+=+=，此时PD PA +最小，∵(3,2)A ，∴(1,2)A '-，2273(12)(2)522A D '=--+-= 即PD PA +352(3)作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式21722y x x =-++，∴(1,4)M ， ∵(3,2)A ，∴2AH MH ==，(1,2)H∵45AQM ︒∠=，90AHM ︒∠=，∴12AQM AHM ∠=∠， 可知AQM ∆外接圆的圆心为H ，∴2QH HA HM ===，设(0,)Q t ，则22(01)(2)2t -+-=，23t =23∴符合题意的点Q 的坐标：1(0,23)Q 、2(0,23)Q ．【名师点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．。

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《二次函数为什么是中考代数部分最难点》——2015北京中考五大模块深度剖析之二次函数根据2015年北京教育考试院下发的《北京市高级中等学校招生考试说明——数学》得知,北京中考对二次函数的考试要求达到最高级别C级要求（Tips：C级要求通常以压轴题形式出现)，同学们应当引起重视.北京中考每年主要有两道题目考查二次函数的知识（并且其中一道为压轴题目），涉及分值11分左右,约占全卷总分值的10%，这一比例相当于普通章节的三倍,比重之大，可见一斑.那么，北京中考对于二次函数的考查,难度系数到底有多大？考点又有哪些?需要掌握哪些解题方法和技巧？接下来，我们就二次函数在北京中考中的考察情况，为参加中考的同学做出以下3点分享:1、难度分析及考点分析；2、方法技巧提炼、针对最难点给出13个原创的题目进行针对性解决;3、限时巩固练习。

一、【二次函数为什么是中考代数部分的最难点？】1、二次函数主要以压轴题形式考查，难度高,得分率低北京中考二次函数主要以综合题的形式考查，通常出现在整张试卷的倒数第三题。

通过对近4年北京中考二次函数考查情况的分析,我们发现,二次函数综合题得分率低，难度系数小，约为0.4~0。

5（Tips：难度系数越小，难度越大.中考数学整体难度系数约0。

72。

），属于中考数学的压轴题之一。

结合2011—2014年的中考23题（Tips:二次函数综合压轴题），概括地说，二次函数综合压轴题是以函数为主线,结合一元二次方程的有关知识，运用几何图形的性质的综合性试题。

江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类一．二次函数的应用（共1小题）1．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K 到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为 ；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．二．二次函数综合题（共2小题）2．（2023•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF 的面积为S，探究S与t的关系．初步感知（1）如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，①当t ＝1时，S ＝ ；②S 关于t 的函数解析式为 ．（2）当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长．延伸探究（3）若存在3个时刻t 1，t 2，t 3（t 1＜t 2＜t 3）对应的正方形DPEF 的面积均相等．①t 1+t 2＝ ；②当t 3＝4t 1时，求正方形DPEF 的面积．3．（2021•江西）二次函数y ＝x 2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当m ＝1时，如图1，抛物线L ：y ＝x 2﹣2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ′，O ′，C ′，A ′，D ′，如表：…B （﹣1，3）O （0，0）C （1，﹣1）A （ ， ）D （3，3）……B '（5，﹣3）O ′（4，0）C '（3，1）A ′（2，0）D '（1，﹣3）…①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 ；②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 （填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值．三．四边形综合题（共2小题）4．（2022•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 ；类比探究（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．5．（2021•江西）课本再现（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是 ；类比迁移（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 ；方法运用（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．四．圆的综合题（共1小题）6．（2021•江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．五．相似形综合题（共1小题）7．（2023•江西）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理证明（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．知识应用（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．六．解直角三角形的应用（共1小题）8．（2023•江西）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）（1）连接CD，求证：DC⊥BC；（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类参考答案与试题解析一．二次函数的应用（共1小题）1．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K 到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为　66　；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为　b＞　；（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．【答案】（1）66；（2）①基准点K的高度h为21m；②b＞；（3）他的落地点能超过K点，理由见解答过程．【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；（2）①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案为：b＞；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．二．二次函数综合题（共2小题）2．（2023•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF 的面积为S，探究S与t的关系．初步感知（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t＝1时，S＝　3　；②S关于t的函数解析式为　S＝t2+2　．（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．延伸探究（3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2＝　4　；②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积．【答案】（1）①3；②S＝t2+2；（2）S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8），AB＝6；（3）①4；②正方形DPEF的面积为．【解答】解：（1）①当t＝1时，CP＝1，又∵∠C＝90°，CD＝，∴S＝DP2＝CP2+CD2＝12+（）2＝3．故答案为：3；②当点P由点C运动到点B时，CP＝t，∵∠C＝90°，CD＝，∴S＝DP2＝CP2+CD2＝t2+（）2＝t2+2．故答案为：S＝t2+2；（2）由图2可得：当点P运动到点B处时，PD2＝BD2＝6，当点P运动到点A处时，PD2＝AD2＝18，抛物线的顶点坐标为（4，2），∴BC＝＝＝2，AD＝＝3，∴M（2，6），设S＝a（t﹣4）2+2，将M（2，6）代入，得4a+2＝6，解得：a＝1，∴S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18，∴AC＝AD+CD＝3+＝4，在Rt△ABC中，AB＝＝＝6，CB+AC＝2+6＝8，∴抛物线的解析式为S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8）；（3）①如图，则∠AHD＝90°＝∠C，∵∠DAH＝∠BAC，∴△ADH∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，∴DH＝，AH＝4，∴BH＝2，DH＝CD，∵存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等，∴DP1＝DP2＝DP3，∴CP1＝t1，P2H＝4﹣t2，在Rt△CDP1和Rt△HDP2中，，∴Rt△CDP1≌Rt△HDP2（HL），∴CP1＝HP2，∴t1＝4﹣t2，∴t1+t2＝4．故答案为：4；②∵DP 3＝DP 1，DH ＝DC ，∠DHP 3＝∠C ＝90°，∴Rt △DHP 3≌Rt △DCP 1（HL ），∴P 3H ＝CP 1，∵P 3H ＝t 3﹣4，∴t 3﹣4＝t 1，∵t 3＝4t 1，∴t 1＝，∴S ＝（）2+2＝．3．（2021•江西）二次函数y ＝x 2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当m ＝1时，如图1，抛物线L ：y ＝x 2﹣2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ′，O ′，C ′，A ′，D ′，如表：…B （﹣1，3）O （0，0）C （1，﹣1）A （ 2　，　0　）D （3，3）……B '（5，﹣3）O ′（4，0）C '（3，1）A ′（2，0）D '（1，﹣3）…①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L 的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为　﹣3≤x≤﹣1　；②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是　y＝ax2　（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m 的值．【答案】（1）①（2，0）；②所画图象见解答；（2）①﹣3≤x≤﹣1；②y＝ax2；③m＝±1．【解答】解：（1）①∵B（﹣1，3）、B'（5，﹣3）关于点A中心对称，∴点A为BB′的中点，设点A（m，n），∴m＝＝2，n＝＝0，故答案为：（2，0）；②所画图象如图1所示，（2）①当m＝﹣1时，抛物线L：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，当x≤﹣1时，L的函数值随着x的增大而减小，抛物线L′：y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣（x+3）2+1，对称轴为直线x＝﹣3，开口向下，当x≥﹣3时，L′的函数值随着x的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，故答案为：﹣3≤x≤﹣1；②∵抛物线y＝x2﹣2mx的“孔像抛物线”是y＝﹣x2+6mx﹣8m2，∴设符合条件的抛物线M解析式为y＝a′x2+b′x+c′，令a′x2+b′x+c′＝﹣x2+6mx﹣8m2，整理得（a′+1）x2+（b′﹣6m）x+（c′+8m2）＝0，∵抛物线M与抛物线L′有唯一交点，∴分下面两种情形：i）当a′＝﹣1时，无论b′为何值，都会存在对应的m使得b′﹣6m＝0，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；ii）当a′≠﹣1时，Δ＝（b′﹣6m）2﹣4（a′+1）（c′+8m2）＝0，即b′2﹣12b′m+36m2﹣4（a′+1）•8m2﹣4c′（a′+1）＝0，整理得[36﹣32（a′+1）]m2﹣12b′m+b′2﹣4c′（a′+1）＝0，∵当m取不同值时，两抛物线都有唯一交点，∴当m取任意实数，上述等式都成立，即：上述等式成立与m取值无关，∴，解得a′＝，b′＝0，c′＝0，则y＝x2，故答案为：y＝ax2；③抛物线L：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，顶点坐标为M（m，﹣m2），其“孔像抛物线”L'为：y＝﹣（x﹣3m）2+m2，顶点坐标为N（3m，m2），抛物线L与其“孔像抛物线”L'有一个公共点A（2m，0），∴二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点时，有三种情况：i）直线y＝m经过M（m，﹣m2），∴m＝﹣m2，解得：m＝﹣1或m＝0（舍去），ii）直线y＝m经过N（3m，m2），∴m＝m2，解得：m＝1或m＝0（舍去），iii）直线y＝m经过A（2m，0），∴m＝0，但当m＝0时，y＝x2与y＝﹣x2只有一个交点，不符合题意，舍去，综上所述，m＝±1．三．四边形综合题（共2小题）4．（2022•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为　1　；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为　1　；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为　S1＝S　；类比探究（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．【答案】（1）1，1，S1＝S；（2）①证明见解析部分；②﹣1；（3）S2的最小值为tan，S2的最大值为1﹣tan（45°﹣α）．【解答】解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝正方形ABCD的面积＝1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝正方形ABCD的面积＝1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1＝S．理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON ⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM＝ON，∵∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM＝ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON＝∠EOF＝90°，∴∠MOJ＝∠NOK，∵∠OMJ＝∠ONK＝90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ＝S△ONK，∴S四边形OKBJ＝S正方形OMBN＝S正方形ABCD，∴S1＝S．故答案为：1，1，S1＝S．（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT＝CT，∵BM＝CN，∴MT＝TN，∵OT⊥MN，∴OM＝ON，∵∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM＝CN，∠OCM＝∠OCN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM＝∠CON＝30°，∴∠OMJ＝∠COM+∠OCM＝75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM＝90°﹣75°＝15°，∵BJ＝JC＝OJ＝1，∴JM＝OJ•tan15°＝2﹣，∴CM＝CJ﹣MJ＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴S四边形OMCN＝2××CM×OJ＝﹣1．（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．在Rt△MOQ中，MQ＝OQ•tan＝tan，∴MN＝2MQ＝2tan，∴S2＝S△OMN＝×MN×OQ＝tan．如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大．同法可证△COM≌△CON，∴∠COM＝α，∵∠COQ＝45°，∴∠MOQ＝45°﹣α，QM＝OQ•tan（45°﹣α）＝tan（45°﹣α），∴MC＝CQ﹣MQ＝1﹣tan（45°﹣α），∴S2＝2S△CMO＝2××CM×OQ＝1﹣tan（45°﹣α）．5．（2021•江西）课本再现（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是　∠DCE′　；类比迁移（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是　AD2+DE2＝AE2　；方法运用（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．【答案】（1）∠DCE′．（2）AD2+DE2＝AE2．（3）①证明见解析部分．②．【解答】（1）解：如图1中，由图形的拼剪可知，∠A＝∠DCE′，故答案为：∠DCE′．（2）解：如图2中，∵∠ADC+∠ABC＝90°，∠CDE＝∠ABC，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，∴AD2+DE2＝AE2．故答案为：AD2+DE2＝AE2．（3）①证明：如图3中，连接OC，作△ADC的外接圆⊙O．∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点∴点O是△ADC的外心，∴∠AOC＝2∠ADC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，∠OAC＝∠ABC，∴2∠ADC+2∠ABC＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝90°．②解：如图4中，在射线DC的下方作∠CDT＝∠ABC，过点C作CT⊥DT于T．∵∠CTD＝∠CAB＝90°，∠CDT＝∠ABC，∴△CTD∽△CAB，∴∠DCT＝∠ACB，＝，∴＝，∠DCB＝∠TCA∴△DCB∽△TCA，∴＝，∵＝2，∴AC：BA：BC＝CT：DT：CD＝1：2：，∴BD＝AT，∵∠ADT＝∠ADC+∠CDT＝∠ADC+∠ABC＝90°，DT＝n，AD＝m，∴AT＝＝＝，∴BD＝．四．圆的综合题（共1小题）6．（2021•江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解答；（2）①是菱形，理由见解答；②+π．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠D，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；（2）①四边形ABCO是菱形，理由：∵∠CAD＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∵CE⊥AB，∴OC∥AB，∴∠DAB＝∠COD＝60°，由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，∴BC∥OA，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴▱ABCO是菱形；②由①知，四边形ABCO是菱形，∴OA＝OC＝AB＝2，∴AD＝2OA＝4，由①知，∠COD＝60°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝2，AC＝2，∴AD，AC与围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD ＝S△ACD+S扇形COD＝××2×2+＝+π．五．相似形综合题（共1小题）7．（2023•江西）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理证明（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．知识应用（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．【答案】（1）证明见解答过程；（2）①证明见解答过程；②．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，又∵BD⊥AC，垂足为O，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形．（2）①证明：∵▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，∴AO＝CO＝AC＝4，DO＝BD＝3，又∵AD＝5，∴在三角形AOD中，AD2＝AO2+DO2，∴∠AOD＝90°，即BD⊥AC，∴▱ABCD是菱形；②解：如图，设CD的中点为G，连接OG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝AD＝，由①知：四边形ABCD是菱形，∴∠ACD＝∠ACB，又∵∠E＝∠ACD，∴∠E＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠E+∠COE，∴∠E＝∠COE，∴CE＝CO＝4，∵OG是△ACD的中位线，∴OG∥AD∥BE，∴△OGF∽△ECF，∴，又∵OG＝，CE＝4，∴．六．解直角三角形的应用（共1小题）8．（2023•江西）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）（1）连接CD，求证：DC⊥BC；（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）【答案】（1）证明过程见解答；（2）雕塑的高约为4.2m．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD＝180°，∴2∠ACB+2∠ACD＝180°，∴∠ACB+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°，∴DC⊥BC；（2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，在Rt△DCB中，∠B＝55°，BC＝1.8m，∴BD＝≈＝（m），∵DE＝2m，∴BE＝BD+DE＝（m），在Rt△BEF中，EF＝BE•sin55°≈×0.82≈4.2（m），∴雕塑的高约为4.2m．。