2024年上海市春季高考数学试题及答案
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第1页（共12页）2024年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．
2logx的定义域．2．直线10xy的倾斜角大小为．3
．已知i
1iz
，则z．
4．6(1)x展开式中4x的系数为．
5．三角形ABC中，2,,
34BCAB
，则AB．
6．已知1ab，2249ab的最小值为．
7．数列{}
na，
nanc，
70S，c的取值范围为．
8．三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线
的离心率为．
9．已知2(),0
(),()
(),0fxx
fxxgx
fxx
，求()2gxx的x的取值范围．
10．已知四棱柱
1111ABCDABCD底面ABCD为平行四边形，
13AA，4BD且
115ABBCADDC
，求异面直线1AA与BD的夹角．
11．正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，F到BC，CD距离为0.4，有
个圆形通道经过E，F，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长．（精确到0.01)
12．
12a，
24a，
38a，
416a，任意
1b，
2b，
3b，
4bR，
满足{|14}{|14}ijijaaijbbij，求有序数列
1{b，
2b，
3b，
4}b有对．
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13．a，b，cR，bc，下列不等式恒成立的是()
A．22abacB．22abacC．22abacD．22abac第2页（共12页）14．空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确的是（）
A．若，m，n，则mnB．若，m，mn，则n
C．若//，//m，//n，则//mnD．若//，//m，//mn，则//n
15．有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品
都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，
事件C：所选盒中有笔袋，则（）
A．事件A与事件B互斥B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件BC互斥D．事件A与事件BC相互独立
16．现定义如下：当(,1)xnn时()nN，若(1)()fxfx，则称()fx为延展函数．现
有，当(0,1)x时，()xgxe与10()hxx均为延展函数，则以下结论（）
（1）存在(ykxbk，bR；k，0)b与()ygx有无穷个交点
（2）存在(ykxbk，bR；k，0)b与()yhx有无穷个交点
A．（1）（2）都成立B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立D．（1）不成立（2）成立
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）
17．已知()sin()
3fxx，0．
（1）设1，求解：()yfx，[0x，]的值域；
（2）()aaR，()fx的最小正周期为，若在[x，]a上恰有3个零点，求a的取
值范围．
18．如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，ABAC．
（1）证明：PABC；
（2）若圆锥侧面积为3,BC为底面直径，2BC，求二面角BPAC的大小．第3页（共12页）19．水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；
二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，
并预估果园中单果的质量．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆22:1
62xy
上一点，1F、
2F分别为椭圆
的左、右焦点．
（1）若点A的横坐标为2，求1||AF的长；
（2）设的上、下顶点分别为1M、
2M，记△
12AFF的面积为
1S，△
12AMM的面积为
2S，
若12SS，求||OA的取值范围．
（3）若点A在x轴上方，设直线2AF与交于点B，与y轴交于点K，
1KF延长线与交
于点C，是否存在x轴上方的点C，使得111222()()FAFBFCFAFBFCR
成立？
若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
21．记M（a）{|()ttfxf（a），}xa，L（a）{|()ttfxf（a），}xa．
（1）若2()1fxx，求M（1）和L（1）；
（2）若32()3fxxx，求证：对于任意aR，都有M（a）[4，)，且存在a，使
得4M（a）．
（3）已知定义在R上()fx有最小值，求证“()fx是偶函数“的充要条件是“对于任意正
实数c，均有()McL（c）”．第4页（共12页）参考答案及逐题解析：
一、填空题：
1、解：
2logx的定义域为(0,)．
2、解：由直线10xy变形得：1yx
所以该直线的斜率1k，
设直线的倾斜角为，即tan1，
[0，180)，
45．
3、解：由题意可得(1)1ziii，所以1zi．
4、解：根据二项式展开42
6(1)15C．
5、解：三角形ABC中，5,
12ABCC，
26sinsin()sincoscossin
4646464C，由正弦定理sinsinBCAB
AC，2BC，3A
，
故262sin3264
sin33
2BCCAB
A．
6、解：由1ab，224922312abab，当且仅当23ab，
即66,
23ab或66,
23ab时取最小值12，
所以2249ab的最小值为12．
7、解：等差数列由
nanc，知数列{}
na为等差数列17747()70
2aaSa，
即7(4)0c，
解得4c．
故c的取值范围为(,4)．
8、解：由双曲线的定义，26c，22a，
解得3c，1a，第5页（共12
页）3ce
a．
9、解：根据题意知2
2,0()
,0xxgx
xx
，
所以当0x时，2()220gxxxx，解得[0x，1]；
同理当0x时，2()220gxxxx，解得(,0)x；
综上所述：(x，1]．
10、解：如图，
因为1111,ABABAAADADAA
，
又115ABBCADDC
，
11()()5ABAAADADAADC
，
化简得15AABD
，
134cos5AABD
，5cos
12．
异面直线1AA与BD的夹角为5arccos
12．
11、解：以A为原点，线段AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，
易知(0.2,0.2)E，(0.8,0.8)F．
不妨设EF中点为(0.5,0.5)M直线EF中垂线所在直线方程为0.5(0.5)yx，
化简得1yx．
所以可设圆心为(,1)aa，半径为a，且经过E，F点，
即222(0.2)(10.2)aaa，
化简得220.680aa，求得21.284210.321
210a．
结合题意可得，4210.434
10a．
故有圆的周长22.7252.73Ca．
12、解：由题意得{|6
ijaa，10，12，18，20，24}，
满足11{|14}{|14}
jjaaijbbij
，第6页（共12页）不妨设1234bbbb，
由单调性有126bb，
1310bb，
2420bb，
3424bb，
分两种情况讨论：
①2312bb，
1418bb，
解得12b，
24b，
38b，
416b，
②2318bb，
1412bb，
解得11b，
27b，
311b，
413b，
所以有2种，
综上共有4
4248A对．
二、选择题：
13、解：对于A，若||||bc，则22bc，选项不成立，故A错误；
对于B，22aa，bc，
由不等式的可加性可知，22abac，故B正确．
对于C、D，若0a，则选项不成立，故C、D错误．
故选：B．
14、解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若，m，则//m或m，又n，所以mn，故A正确；
对于B，若，m，则//m或m，由mn，则n与斜交、垂直、平行均
有可能，故B错误；
对于C，若//，//m，则//m或m，由//n，则m与n相交、平行、异面均
有可能，故C错误；
对于D，若//，//m，则//m或m，又//mn，则//n或n，故D错误．
故选：A．
15、解：选项A，事件A和事件B可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，
又有记事本，事件A与事件B不互斥，A错误；
选项B，P（A）1
2，P（B）1
2，1()
4PAB，P（A）P（B）()PAB，B正确；
