黑龙江省双鸭山市第一中学2015-2016学年高二上学期期中试题 数学(理)

高二上学期数学期中试题

（120分钟 150分）

第Ⅰ卷（选择题：共60分）

一、选择题

1．与向量m＝(0,2，－4)共线的向量是 ( )

A．(2,0，－4) B．(3,6，－12) C．(1,1，－2) 1.(01)2D，，

2.方程11122kykx表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）.

A. 11k B. 11kk或 C. 0k D. 0k

3. 已知直线l的倾斜角为，且901350，则直线l的斜率的取值范围是( )

，0.A ,.B ，1.C ，01,.D

4.如果椭圆193622yx的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）

（A）02yx（B）042yx（C）01232yx（D）082yx

5．圆221:26260Cxyxy与圆222:4240Cxyxy的位置关系是（）

A、内切 B、外切 C、相交 D、相离

6.设P为双曲线x24－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是( )

A．x2－4y2＝1 B．4y2－x2＝1 C．x2－y24＝1 D.x22－y2＝1

7．若直线2xy被圆22()4xay所截得的弦长为22,则实数a的值为( )

A.-1或3 B.1或3 C.-2或6 D.0或4

8．正方体ABCD-1111ABCD中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为( )

A．23 B．33 C． 63 D．23

9.设21,FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点,P为直线32ax上一点,21FPF是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为 （ ）

A．12 B．23 C． D．

10.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若11BA=a 11DA=b，AA1=c，则下列向量中与MB1相等的向量是

( )

A.－21a+21b+c B.21a+21b+c 4．┆┆┆┆┆○┆┆┆┆○┆┆┆┆┆┆┆┆装┆┆┆┆┆┆┆┆┆订┆┆┆┆┆┆┆┆┆┆线┆┆┆┆┆┆┆○┆┆┆┆○┆┆┆┆ C.21a－21b+c D.－21a－21b+c

11．方程4－x2＝k(x－2)＋3有两个不等实根，则k的取值范围为( )

53.(]124A， 3.[,)4B 5.(]12C， 53.()124D，

12.如图所示，圆224xy与x轴的两个交点分别为A，B，以A，B为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在x轴上方的交点分别为C，D，当梯形ABCD周长最大时，双曲线的方程为 （ ）

A.22142323xy

B.22142323xy

C.221313xy

D.221313xy

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题

13.点(2,5)P关于直线0xy的对称点的坐标为

14． 已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为16，则b＝________

15. 直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．

16．P为双曲线11522yx右支上一点，M, N分别是圆4)4(22yx和圆1)4(22yx上的动点，则||||PNPM的最大值为_______.

三、解答题

17．已知直线l经过点P(－2,5)且斜率为－34，

(1)求直线l的方程；

(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．

18．（1）已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8 ，求该椭圆的标准方程；

（2）求与双曲线13422xy有共同的渐近线，且经过点),(23M的双曲线的方程.

19．已知圆C的圆心在直线y=x+1上，半径为，且圆C经过点P（5，4）

（1）求圆C的标准方程；

（2）求过点A（1，0）且与圆C相切的切线方程．

20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．

（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=3MC，

求三棱锥P﹣QBM的体积．

21.（本小题12分）

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，

DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.

(1)求证：AC⊥平面BDE；

(2)求二面角F-BE-D的余弦值．

22. 已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．

（1）求椭圆方程；

（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

参考答案

一．选择题 (本大题共10小题, 每小题4分, 共40分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

答案 D

B D D A A D C D A A

A

二．填空题（本大题有4小题, 每小题5分, 共20分）

13．（-5，-2） 14. 4

15. 1,5+【）（5，） 16. 5

三、解答题（本大题共4题，共44分）

17．[解析] (1)直线l的方程为：y－5＝－34(x＋2)整理得

3x＋4y－14＝0.---------------------------------4 (2)设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0，

d＝|3×－2＋4×5＋n|32＋42＝3， 解得n＝1或－29.

∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.-----------------------------10

18.(1) 2212516xy或2212516yx ------6分

(2) 22168xy----6分

19．解：（1）设圆C：222xayb，点C在直线1yx上，则有1ba

圆C经过点5,4P即：22542ab，

解得：4,5ab，圆C：22452xy．---------------------6

（2）设直线l斜率为k，则直线l方程为1ykx，即0kxyk．

由题意知，圆心4,5到已知直线l的距离等于半径2，

即：24521kkk ，解得1k或237k．

所求切线方程是1yx，或232377yx．------------------------12

20、解答：解：（1）∵PA=PD，

∴PQ⊥AD， 又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，

∴AD⊥平面PQB 又AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD；————————————————— 4分

（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，

∴PQ⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PQ⊥BC，

又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，∴BC⊥平面PQB，

又PM=3MC， ∴VP﹣QBM=VM﹣PQB=——————————12分

21．解：(1)证明：因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC. 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

又BD，DE相交且都在平面BDE内，从而AC⊥平面BDE. ----------4

(2)因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．

因为DE⊥平面ABCD，所以BE与平面ABCD所成角就是∠DBE.已知BE与平面ABCD所成角为60°，所以∠DBE＝60°，所以DEDB＝3. -------------------6

由AD＝3可知DE＝36，AF＝6.

由A(3，0，0)，F(3，0，6)，E(0，0，36)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，

得＝(0，－3，6)，＝(3，0，－26)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，

则即－3y＋6z＝0，3x－26z＝0，令z＝6，则n＝ (4，2，6)．

因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，＝(3，－3，0)，----------10

所以cos〈n，〉＝＝632×26＝1313.

因为二面角为锐角，所以二面角FBED的余弦值为1313.------------------12

22答： 解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1

所以椭圆C的方程是…（4分）

（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：

由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．…（6分）

设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=…（•） …（7分）

∵直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2， ∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），…（9分）

将（•）代入得：m2=，…（11分）

经检验满足△＞0．…（12分）