人教新课标版数学高一-A版必修一单元质量评估(二)
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单元质量评估(二)
(第二章)
(90分钟 120分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)
1.下列式子中正确的是 ( )
A.= B.=a
C.=
D.a0=a
【解析】选C.因为==,故A错误.因为=|a|,故B错误.而a0=1(a≠0),故D错误.C显然正确.
2.(2017·烟台高一检测)化简的结果为 ( )
A.
B. C.
D.a
【解析】选C.原式====.
3.(2017·开封高一检测)已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm= (
)
A. B.60 C. D.
【解析】选B.因为logxyzm=12,所以logm(xyz)=,
即logmx+logmy+logmz=,
所以++logmz=, 高中数学-打印版
精心校对 即logmz=,故logzm=60.
4.计算:(log29)·(log34)= ( )
A. B. C.2 D.4
【解题指南】先利用换底公式将各个对数化为同底的对数,再根据对数的运算性质求值.
【解析】选D.log29×log34=×
=×=4.
5.函数y=(1-x+log3x的定义域为 ( )
A.(-∞,1] B.(0,1]
C.(0,1) D.[0,1]
【解析】选B.由题意得,1-x≥0且x>0,
解得0
6.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(x)= ( )
A.log2x B.lox C.
D.x2
【解析】选B.因为函数y=f(x)的图象经过点(,a),
所以函数y=ax(a>0,且a≠1)过点(a,),
所以=aa,即a=,
故f(x)=lox.
7.(2017·大连高一检测)已知a=212,b=,c=2log52,则a,b,c的大小关系
为 ( ) 高中数学-打印版
精心校对 A.c
C.b
【解析】选A.因为a=212,b==,且y=2x在(-∞,+∞)上是增函数,
所以a>b>20=1.
又c=2log52=log54<1,
因此a>b>c.
8.设f(x)=则f(f(2))的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.因为f(2)=log3(22-1)=log33=1,
所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.
【延伸探究】本题条件不变,若f(a)=2,则a=__________.
【解析】f(a)=2⇒或⇒a=1或a=.
答案:1或
9.若函数y=(m2+2m-2)xm为幂函数且在第一象限为增函数,则m的值为
(
)
A.1 B.-3 C.-1 D.3
【解析】选A.因为函数y=(m2+2m-2)xm为幂函数且在第一象限为增函数,
所以所以m=1.
10.设f(x)是定义在实数集R上的函数,满足条件:y=f(x+1)是偶函数,高中数学-打印版
精心校对 且当x≥1时,f(x)=5x,则f,f,f的大小关系是 (
)
A.f
B.f
C.f
D.f
【解析】选D.因为y=f(x+1)是偶函数,所以y=f(x+1)的对称轴为x=0,所以y=f(x)的对称轴为x=1.
又x≥1时,f(x)=5x,所以f(x)=5x在[1,+∞)上是增函数,所以f(x)在(-∞,1]上是减函数.
因为f=f,且>>,
所以f
即f
11.函数y=log2|x|的大致图象是 (
)
【解题指南】将原函数化为分段函数的形式,结合该函数的性质,即可找出正确答案.
【解析】选D.因为y=log2|x|
=故选D.
12.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是 ( ) 高中数学-打印版
精心校对 A.(3,13)
B.
C. D.
【解题指南】结合解析式,画出函数图象,利用数形结合思想即可求出abc的取值范围.
【解析】选B.由图可见
因为|log3b|=|log3a|,log3b=-log3a,log3b+log3a=0,ab=1,
所以abc=c∈.
【拓展】巧用图象解题
函数的图象与性质是一一对应的,在解函数问题时,经常用到函数的图象,这体现了一种思想方法——数形结合,“数”是函数的特征,它精确、量化、具有说服力;而“形”是函数的图象,它形象、直观,能降低思维难度,简化解题过程.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.(2017·成都高一检测)如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=lox,y=,y=的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为________. 高中数学-打印版
精心校对
【解析】由题图可知,点A(xA,2)在函数y=lox的图象上,
所以2=loxA,xA==.
点B(xB,2)在函数y=的图象上,
所以2=,xB=4.
点C(4,yC)在函数y=的图象上,
所以yC==.
又xD=xA=,yD=yC=,
所以点D的坐标为.
答案:
14.(2015·安徽高考)计算:lg+2lg2-=________.
【解析】原式=lg5-lg2+2lg2-2=lg5+lg2-2
=-1.
答案:-1
15.(2017·德州高一检测)函数y=ax+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.
【解析】令x+2=0得x=-2,此时y=0,故函数y=ax+2-1的图象恒过定点(-2,0). 高中数学-打印版
精心校对 答案:(-2,0)
16.已知实数a,b满足等式==m,则下列五个关系式:
①0
其中可能成立的关系式为________(用编号作答).
【解析】当m=1时,a=b=0;
当m>1时,a
当0
综上知①②⑤可能成立.
答案:①②⑤
三、解答题(本大题共4个小题,共40分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算:
(1)-(-0.96)0-+1.5-2+[(-)-4.
(2)÷10+. 高中数学-打印版
精心校对 【解析】(1)原式=-1-++[()-4=-1-++()3=+2=.
(2)原式=-(lg4+lg25)÷10+14=-2÷10-1+14
=-20+14=-6.
18.(10分)已知幂函数f(x)=(m∈N*).
(1)确定函数的定义域,并说明定义域上的单调性.
(2)若函数经过点(2,),确定m的值,并求f(2-a)>f(a-1)时a的取值范围.
【解题指南】(1)判断幂指数的奇偶性,再确定定义域以及单调性.
(2)求出幂指数的值,利用函数的单调性转化为不等式求解.
【解析】(1)因为m∈N*,所以m2+m=m(m+1)为偶数,令m2+m=2k,k∈N*,则f(x)=,
所以定义域为[0,+∞),且在[0,+∞)上单调递增.
(2)因为=,所以m2+m=2得m=1或m=-2(舍去).所以f(x)=,
解2-a>a-1≥0得1≤a<,
所以a的取值范围为.
19.(10分)已知f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(4,2),
(1)求a的值. 高中数学-打印版
精心校对 (2)若g(x)=f(1-x)+f(1+x),求g(x)的解析式及定义域.
(3)在(2)的条件下,求g(x)的单调减区间.
【解析】(1)由已知f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(4,2),则2=loga4,即a2=4,
又a>0且a≠1,所以a=2.
(2)g(x)=f(1-x)+f(1+x)
=log2(1-x)+log2(1+x).
由得-1
(3)g(x)=log2(1-x)+log2(1+x)=log2(1-x2),
其单调减区间为[0,1).
【补偿训练】(2017·大庆高一检测)已知函数
f(x)=loga(x-1),g(x)=loga(3-x)(a>0且a≠1).
(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的定义域.
(2)利用对数函数的单调性,讨论不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围.
【解析】(1)由得1
所以函数h(x)的定义域为(1,3).
(2)不等式f(x)≥g(x),
即为loga(x-1)≥loga(3-x).(*)
①当0
解得1
精心校对 ②当a>1时,不等式(*)等价于
解得2≤x<3.
综上,当0
当a>1时,原不等式解集为[2,3).
20.(10分)(2017·长春高一检测)已知函数f(x)=,x∈[-1,1],函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a).
(1)求h(a).
(2)是否存在实数m>n>3,当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)因为x∈[-1,1],所以∈.
设t=,t∈,
则g(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2.
当a
当≤a≤3时,h(a)=g(a)=3-a2;
当a>3时,h(a)=g(3)=12-6a.
所以h(a)=
(2)假设满足题意的m,n存在,因为m>n>3,
所以h(a)=12-6a在(3,+∞)上是减函数.
因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],
所以
