同济大学版高数习题答案

习题一

1. 解:

{1}{2}{1}000{1}{2}{2}000\{2}\{1}{12}{0}00ABxxxxxxAABxxxxxxBBAxxxxxxIIUIU

2. 解: {1,2,3}{2,4,6}{1,3,5}ABCXUUUU

{1,2,3}{2,4,6}{1,3,5}ABCIIII CXA=X\A={1,2,3,4,5,6}\{1,2,3}={4,5,6}

CXB=X\B={1,2,3,4,5,6}\{2,4,6}={1,3,5}=C

CXA∪CXB={4,5,6}∪{1,3,5}={1,3,4,5,6}

CXA∩CXB={4,5,6}∩{1,3,5}={5}.

3.解: (1)不正确. 例如: A={1},B={1,2,3},C={2,3}有A∪B=A∪C={1,2,3},但B≠C.

(2)不正确. 例如: A={1,2},B={1},C={1,3}有A∩B=A∩C={1},但B≠C.

4.解: (1) 12,xxAQ且12xx,有3312xx,即A中不同的元素的有不同的像,∴f是单射.

又yB,有3yA,使3|yy,即B中每个元素都有原像, ∴f是满射.

综上所述, f是一一映射.

(2)[1,1]yQ,有arcsinyA,使arcsin|,yy即B中每个元素都有原像,∴f为满射.但,当12,xxA,且12xx,如12ππ,2π,66xxkk为整数时,有12sinsinxx,即A中不同的元素12,xx有相同的像,∴f不是单射.

综上所述, f为满射,但不是单射.

(3)12,xxAQ, 且12xx,有12eexx,即A中不同的元素有不同的像,∴f是单射.

又0,,e0xBxAQ,即B中的元素0没有原像,∴f不是满射.

综上所述, f是单射.,但不是满射.

5. 解: (1)相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由2xx知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.

(2)相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.

(3)不相等.

因为函数()fx的定义域是{,1}xxxR,而函数()gx的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.

6. 解: (1)要使函数有意义,必须 400xx 即 40xx

所以函数的定义域是(,0)(0,4]U.

(2)要使函数有意义,必须

30lg(1)010xxx 即 301xxx

所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).

(3)要使函数有意义,必须

210x 即 1x

所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)UU.

(4)要使函数有意义,必须

12sin1x 即 11sin22x

即ππ2π2π66kxk或5π7π2π2π66kxk,(k为整数).

也即ππππ66kxk (k为整数).

所以函数的定义域是ππ[π,π]66kk, k为整数.

7.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x时,1x可以是不为零的任意实数,此时,1sinx可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].

8. 解: 10(0)110f,1()1(),1()1xxfxxx1111().111xxfxxx

9.解: 1,1101,01(1).(1)1,012,13xxfxxxxx

10.解: ()ln(())22,gxxxfgx

(())()ln()2ln2(ln2)2,xxxgfxfxfxx

()2(())22,(())()ln()lnln(ln).xfxffxggxgxgxxxxx

11. 证:由321yx解得312yx,

故函数3()21fxx的反函数是31()2xyxR,这与31()2xgx是同一个函数,所以3()21fxx和31()2xgx互为反函数.

12. 解: (1)由11xyx解得11yxy,

所以函数11xyx的反函数为1(1)1xyxx.

(2)由ln(2)1yx得1e2yx,

所以,函数ln(2)1yx的反函数为1e2()xyx R.

(3)由253xy解得31(log5)2xy

所以,函数253xy的反函数为31(log5)(0)2yxx .

(4)由31cosyx得3cos1xy,又[0,π]x,故3arccos1xy.

又由1cos1x得301cos2x,

即02y,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos,[0,π]yxx的反函数为3arccos1(02)yxx .

13. 解: (1)()1()1()11()fxxxxxfxQ

()11fxxx是偶函数.

(2)222222()eesin()eesin(eesin)()xxxxxxfxxxxfxQ

函数22eesinxxyx是奇函数.

14. 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x时,有201xx,当0x时,有21122xxxx,

故(,),x有12y.即函数21xyx有上界.

又因为函数21xyx为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xyx有界.

又由1212121222221212()(1)11(1)(1)xxxxxxyyxxxx知,当12xx且121xx时,12yy,而

当12xx且121xx时,12yy.

故函数21xyx在定义域内不单调.

(2)函数的定义域为(0,+∞),

10,0MxQ且12;e0MxMx,使2lnxM. 取012max{,}xxx,则有0012lnln2xxxxMM,

所以函数lnyxx在定义域内是无界的.

又当120xx时,有12120,lnln0xxxx

故1211221212(ln)(ln)()(lnln)0yyxxxxxxxx.

即当120xx时,恒有12yy,所以函数lnyxx在(0,)内单调递增.

15. 解: (1)124(1)yx是由124,1yuux复合而成.

(2)2sin(12)yx是由2,sin,12yuuvvx复合而成.

(3)512(110)xy是由152,1,10,wyuuvvwx复合而成.

(4)11arcsin2yx是由1,1,arcsin,2yuuvvwwx复合而成.

16.证: (1)设()()()Fxfxfx,则(,)x,

有()()()()FxfxfxFx

故()()fxfx为偶函数.

(2)设()()(),Gxfxfx则(,)x,

有()()()[()()]()GxfxfxfxfxGx

故()()fxfx为奇函数.

17.解: 设年销售批数为x, 则准备费为103x;

又每批有产品610x件,库存数为6102x件,库存费为6100.052x元.

设总费用为,则63100.05102yxx.

18. 解: 当x能被20整除,即[]2020xx时,邮资0.802025xxy;

当x不能被20整除时,即[]2020xx时,由题意知邮资0.80120xy.

综上所述有,02000;2520200.80,02000.1202020xxxxyxxxx且且

其中20x,120x分别表示不超过20x,120x的最大整数.

19. 证: (1)由eesinh2xxyx得2e2e10xxy

解方程2e2e10xxy得2e1xyy,

因为e0x,所以2e1xyy,2ln(1)xyy 所以sinhyx的反函数是2arcsinhln(1)().yxxxx

(2)由eetanheexxxxyx得21e1xyy,得1112ln,ln121yyxxyy;

又由101yy得11y,

所以函数tanhyx的反函数为

11arctanhln (11).21xyxxx

20. 解: 011()(2cot)(cot)22ShADBChhBCBChBCh

从而 0cotSBChh.

000()22cotsinsin2cos2cos40sinsin40LABBCCDABCDShhBChhSShhhh

oo

由00,cot0ShBChh得定义域为0(0,tan40)So.

21. 解: 1(1),1nnxn当n时,1nx.

1(2)cosπ2nnxn,

当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于0,趋向于.

21(3)(1)21nnnxn,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.

22. 解: (1)lim0nnax,0,要使11π0sin2nnxnn,只须1n.取1N,则当nN时,必有0nx.

当0.001时,110000.001N或大于1000的整数.

(2)lim0nnax,0,要使2210222nxnnnnnn

只要1n即21n即可.

取21N,则当nN时,有0nx.