2019-2020学年辽宁省实验中学高一(下)期中数学试卷(有解析)

2019-2020学年辽宁省实验中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. tan(−675°)的值为( )

A. 1 B. −√22

C.

√22

D.

−1

2.

已知锐角𝛼,𝛽满足sin𝛼=2√55,sin𝛽=3√1010，则𝛼+𝛽=( )

A. 𝜋4 B. 3𝜋4 C. 𝜋4或3𝜋4 D. 5𝜋4

3. 在𝛥𝐴𝐵𝐶中，关于x的方程(1+𝑥2)sin𝐴+2𝑥sin𝐵+(1−𝑥2)sin𝐶=0有两个不等的实数根，则角A为( )

A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不存在

4. 已知向量𝑎⃗ =(𝑥,−1)，𝑏⃗ =(1,√3)，若𝑎⃗ ⊥𝑏⃗ ，则|𝑎⃗ |=( )

A. √2 B. √3 C. 2 D. 4

5. 将函数𝑦=cos(2𝑥−𝜋4)的图象向右平移𝜋8个单位，得到函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象，则𝑓(𝑥)的表达式可以是( )

A. 𝑓(𝑥)=−𝑠𝑖𝑛2𝑥 B. 𝑓(𝑥)=cos(2𝑥−𝜋8)

C. 𝑓(𝑥)=cos(2𝑥−3𝜋8) D. 𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛2𝑥

6. 已知𝑎⃗ ，𝑏⃗ 是单位向量，𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =√32，则|𝑎⃗ +𝑡𝑏⃗ |(𝑡∈𝑅)的最小值为( )

A. 14 B. 12 C. √32 D. 1

7. 给出下列四个命题，其中正确的命题是( )

①若cos(𝐴−𝐵)cos(𝐵−𝐶)cos(𝐶−𝐴)=1，则△𝐴𝐵𝐶是等边三角形；

②若𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑐𝑜𝑠𝐵，则△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；

③若𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶<0，则△𝐴𝐵𝐶是钝角三角形；

④若𝑠𝑖𝑛2𝐴=𝑠𝑖𝑛2𝐵，则△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形．

A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④

8. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0)的图象如图所示，则𝑓(5𝜋6)=( ) A. −√22

B.

√22

C.

√32

D.

−√32

9.

在△𝐴𝐵𝐶中，三个内角A、B、C成等差数列，且𝑐𝑜𝑠𝐴=23，则𝑠𝑖𝑛𝐶=( )

A. −2√3+√56 B. 2√3+√56 C. 2√3−√56 D. −2√3−√56

10. 已知函数𝑓(𝑥)=sin2𝑥+2√3𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−cos2𝑥，𝑥∈𝑅，则( )

A. 𝑓(𝑥)的最大值为1 B. 𝑓(𝑥)在区间(0,𝜋)上只有1个零点

C. 𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋2 D. 𝑥=𝜋3为𝑓(𝑥)图象的一条对称轴

11. 半径为10，中心角为𝜋5的扇形的面积为( )

A. 2𝜋 B. 6𝜋 C. 8𝜋 D. 10𝜋

12. 已知函数𝑓(𝑥)=sin 𝑥+√3cos 𝑥在𝑥=𝜃时取得最大值，则cos(2𝜃+𝜋4)=( )

A. −√2+√64 B. −12 C. √2−√64 D. √32

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 如图，正方形ABCD的边长为2，点P是线段BC上的动点，则(𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______ ．

14. 若函数𝑓(𝑥)=sin 𝜔𝑥(𝜔>0)在[0,4]上与x轴有9个交点，则𝜔的取值范围是________．

15. 函数𝑦=cos𝑥+2cos𝑥+1的值域为____．

16. 若sin(𝜋6−𝛼)=14，则cos(2𝛼−𝜋3)的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. (1)已知𝑡𝑎𝑛𝛼=2，求值：𝑦=4𝑠𝑖𝑛𝛼−2𝑐𝑜𝑠𝛼5𝑐𝑜𝑠𝛼+3𝑠𝑖𝑛𝛼；

(2)化简𝑓(𝛼)=sin(𝛼−𝜋2)cos(3𝜋2+𝛼)tan(𝜋−𝛼)tan(−𝜋−𝛼)sin(−𝜋−𝛼)．

18. 已知𝑠𝑖𝑛𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛽，𝑡𝑎𝑛𝛼=3𝑡𝑎𝑛𝛽，求cos2𝛼的值．

19. 已知向量𝑎⃗ =(sin𝜔𝑥,1)，𝑏⃗ =(√3,−cos𝜔𝑥)，𝜔>0，设函数𝑓(𝑥)=𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ ，且𝑓(𝑥)的最小正周期是𝜋．

(Ⅰ)求𝜔的值；

(Ⅱ)求𝑓(𝑥)在[0,𝜋]上的单调递增区间．

20. 在△𝐴𝐵𝐶中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且𝑏sin𝐴=√3𝑎cos𝐵．

(Ⅰ)求角B； (Ⅱ)若𝑏=2√3，求ac的最大值．

21. 在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知𝑎2−𝑏2=𝑏𝑐，2𝑠𝑖𝑛𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐶=0，求角A的大小．

22. 某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角，点Q在OA上，点𝑀,𝑁在OB上，点P在弧AB上，设∠𝑃𝑂𝐵=𝜃．

(1)若矩形MNPQ是正方形，求tan 𝜃的值； (2)为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和𝑃𝑇(宽度不计)，使𝑃𝑆⊥𝑂𝐴，𝑃𝑇⊥𝑂𝐵，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望𝑃𝑆+𝑃𝑇最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由．

【答案与解析】

1.答案：A

解析：解：tan(−675°)=−𝑡𝑎𝑛675°=−tan(720°−45°)=𝑡𝑎𝑛45°=1．

故选：A．

直接利用诱导公式化简求解即可．

本题考查诱导公式的应用，三角函数求值，考查计算能力．

2.答案：B

解析：

本题考查两角和与差的三角函数及同角关系式，属于基础题．

先求𝑐𝑜𝑠𝛼，𝑐𝑜𝑠𝛽，然后求cos(𝛼+𝛽)的值，根据𝛼，𝛽为锐角，求出𝛼+𝛽的值．

解析：

解：𝛼，𝛽为锐角且满足sin𝛼=2√55,sin𝛽=3√1010，

所以𝑐𝑜𝑠𝛼=√55，𝑐𝑜𝑠𝛽=√1010，

cos(𝛼+𝛽)=𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽=−√22，

又0<𝛼+𝛽<𝜋，

所以𝛼+𝛽的值等于3𝜋4．

故选B．

3.答案：A

解析：∵(1+𝑥2)sin𝐴+2𝑥sin𝐵+(1−𝑥2)sin𝐶=0，∴(sin𝐴−sin𝐶)𝑥2+2𝑥sin𝐵+(sin𝐴+sin𝐶)=0，∵sin𝐴−sin𝐶≠0，∴𝛥=4sin2𝐵−4(sin𝐴−sin𝐶)(sin𝐴+sin𝐶)>0，sin2𝐵−sin2𝐴+sin2𝐶>0，sin2𝐵+sin2𝐶>sin2𝐴，即𝑏2+𝑐2>𝑎2，∵cos𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐>0，∴𝐴∈(0,𝜋2)，故选A．

4.答案：C

解析：解：根据题意，向量𝑎⃗ =(𝑥,−1)，𝑏⃗ =(1,√3)，

若𝑎⃗ ⊥𝑏⃗ ，则有𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =𝑥−√3=0，

解可得𝑥=√3，

则𝑎⃗ =(√3,−1)，故|𝑎⃗ |=√3+1=2；

故选：C．

根据题意，由𝑎⃗ ⊥𝑏⃗ ，则有𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =𝑥−√3=0，解可得x的值，即可得向量𝑎⃗ 的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．

本题考查向量的坐标运算，关键是掌握向量垂直与向量的数量积之间的关系．

5.答案：D

解析：解：函数𝑦=cos(2𝑥−𝜋4)的图象向右平移𝜋8个单位，

得到函数：

𝑓(𝑥)=cos[2(𝑥−𝜋8)−𝜋4]，

=cos(2𝑥−𝜋2)

=𝑠𝑖𝑛2𝑥

故选：D．

直接利用平移变换和诱导公式求出结果．

本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换问题，符合“上加下减”的性质，诱导公式的应用，属于基础题型．

6.答案：B

解析：

本题考查单位向量的概念，以及数量积的运算，二次函数最值的求法，属于基础题．

根据𝑎⃗ ,𝑏⃗ 为单位向量及𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =√32即可求出|𝑎⃗ +𝑡𝑏⃗ |2=𝑡2+√3𝑡+1，然后可求出二次函数𝑡2+√3𝑡+1的最小值，从而得出|𝑎⃗ +𝑡𝑏⃗ |的最小值． 解：𝑎⃗ ,𝑏⃗ 是单位向量，𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =√32；

∴|𝑎⃗ +𝑡𝑏⃗ |2=𝑎⃗ 2+2𝑡𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ +𝑡2𝑏⃗ 2

=1+√3𝑡+𝑡2；

∵𝑡2+√3𝑡+1的最小值为4−34=14；

∴|𝑎⃗ +𝑡𝑏⃗ |的最小值为12．

故选：B．

7.答案：C

解析：解：对于①，∵𝐴−𝐵∈(−𝜋,𝜋)，𝐵−𝐶∈(−𝜋,𝜋)，𝐶−𝐴∈(−𝜋,𝜋)，

∴−1

∵cos(𝐴−𝐵)cos(𝐵−𝐶)cos(𝐶−𝐴)=1，∴cos(𝐴−𝐵)=cos(𝐵−𝐶)=cos(𝐶−𝐴)=1，

∴𝐴−𝐵=𝐵−𝐶=𝐶−𝐴=0，∴𝐴=𝐵=𝐶，∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，故①正确．

对于②，若𝐴=120°，𝐵=30°，显然𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑐𝑜𝑠𝐵，但△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，故②错误．

对于③，若𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶<0，则cosA，cosB，cosC中必有一个小于0，即必有一个角为钝角，故③正确．

对于④，若𝑠𝑖𝑛2𝐴=𝑠𝑖𝑛2𝐵，则2𝐴=2𝐵，或2𝐴+2𝐵=𝜋，∴𝐴=𝐵或𝐴+𝐵=𝜋2．

∴△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形或是直角三角形，故④错误．

故选：C．

根据三角函数的性质和角的范围进行判断．

本题考查了三角函数的性质，解三角形，属于中档题．

8.答案：B

解析：解：由图象可知：𝑇=2×2𝜋3=2𝜋𝜔，解得𝜔=32．

且𝑓(2𝜋3)=sin(32×2𝜋3+𝜑)=1，取𝜑=−𝜋2．

∴𝑓(𝑥)=sin(3𝜋2𝑥−𝜋2)，

∴𝑓(5𝜋6)=sin(3𝜋2×5𝜋6−𝜋2)=sin3𝜋4=√22．

故选：B．