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高中数学解不等式方法+练习题

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不等式 要求层次 重难点

一元二次不等式 C 解一元二次不等式

（一） 知识容

1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．

一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a为例）：

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解．

判别式

24bac 0 0 0

二次函数

2yaxbxc

(0)a的图象

一元二次方程

20axbxc

(0)a的根 有两相异实根

12,xx

242bbaca

12()xx 有两相等实根

122bxxa 没有实根

一元二次不等式的解集 20axbxc

(0)a 1xxx

或2xx Rxx，且

2bxa 实数集R

20axbxc

(0)a 12xxxx   例题精讲 高考要求

板块一：解一元二次不等式

解不等式

（二）主要方法

1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20axbxc或20 (0)axbxca的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；

2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理；

3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．

（三）典例分析：

1.二次不等式与分式不等式求解

【例1】 不等式112xx的解集是 ．

【变式】 不等式2230xx≤的解集为（ ）

A．{|31}xxx或≥≤ B．{|13}xx≤≤ C．{|31}xx≤≤ D．{|31}xxx或≤≥

【变式】 不等式252(1)xx≥的解集是（ ）

A．132， B．132， C．11132，， D．11132，，

2.含绝对值的不等式问题

【例2】 已知nN，则不等式220.011nn的解集为（ ）

A．|199nnnN≥， B．|200nnnN≥，

C．|201nnnN≥， D．|202nnnN≥，

【例3】 不等式111xx的解集为（ ）

A．|01|1xxxx B．|01xx

C．|10xx D．|0xx

【变式】 关于x的不等式2121xxaa≤的解集为空集，则实数a的取值围是 _．

【例4】 若不等式121xax≥对一切非零实数x均成立，则实数a的最大值是_________．

【例5】 若不等式34xb的解集中的整数有且仅有123，，，则b的取值围为 ．

3.含参数不等式问题

【例6】 若关于x的不等式22840xxa在14x有解，则实数a的取值围是（ ）

A．4a B．4a C．12a D．12a

【变式】 ⑴已知0a，则不等式22230xaxa的解集为 .

⑵若不等式897x和不等式220axbx的解集相同，则ab______．

【例7】 若不等式220axx的解集为R，则a的围是（ ）

A．0a B．18a C．18a D．0a

【例8】 若关于x的不等式0axb的解集是(1)，，则关于x的不等式02axbx的解集为（ ）

A．12，， B．(12)， C．(12)， D．12，，

【例9】 01ba，若关于x的不等式22()()xbax的解集中的整数恰有3个，则（ ）

A．10a B．01a C．13a D．36a

【例10】 ⑴要使满足关于x的不等式2290xxa(解集非空)的每一个x至少满足不等式2430xx和2680xx中的一个，则实数a的取值围是 ；

⑵已知不等式20axbxc的解集是|xx，其中1，则不等式

220aaxbxccxbxa的解集是 ．

4.解不等式与分类讨论

【例11】 设mR，解关于x的不等式22230mxmx．

【变式】 解关于x的不等式3110()mxxmR．

【点评】 解含参数的不等式,进行讨论时要注意对所含字母的分类要做到不重不漏.

【例12】 求不等式22(1)40axax的解集．

【例13】 解关于x的不等式(1)1(1)2axax

【变式】 解关于x的不等式223()0xaaxa．

【例14】 解不等式21410mxx≤.

【点评】 对于二次项系数也含有参数的一元二次不等式，首先应判定二次项系数是否为零，分别加以讨论，然后在二次项系数不为零的条件下，求出判别式0的零点，分类进行讨论.

5.与二次方程或可化为二次方程的解的问题结合，

【例15】 关于x的方程2210axx至少有一个正的实根，则a的取值围是（ ）

A．a≥0 B．10a≤≤ C．0a或10a D．1a≥

【例16】 已知关于x的方程2(3)4210mxmxm的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值围是（ ）

A．30m B．03m C．3m或0m D．0m或3m

【例17】 有如下几个命题：

①如果1x，2x是方程20axbxc的两个实根且12xx，那么不等式20axbxc的解集为12{|}xxxx；

②当240bac时，二次不等式20axbxc的解集为；

③0xaxb≤与不等式()()0xaxb≤的解集相同；

④2231xxx与223(1)xxx的解集相同．

其中正确命题的个数是（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【例18】 若关于x的方程9(4)340xxa有解，数a的取值围.

【例19】 已知aR，若关于x的方程2104xxaa有实根，则a的取值围是 ．

6.恒成立问题

【例20】 若不等式2(2)2(2)40axax对xR恒成立，则a的取值围是______．

【变式】 2()1fxaxax在R上恒满足()0fx，则a的取值围是（ ）

A．0a≤ B．4a C．40a D．40a≤ 【变式】 若对于xR，不等式2230mxmx恒成立，数m的取值围．

【点评】 对于有关二次不等式20axbxc（或0）的问题，可设函数2()fxaxbxc，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点，由判别式进行解决．

【例21】 ⑴不等式210xax≥对一切102x，成立，则a的最小值为（ ）

A．0 B．2 C．52 D．3

⑵不等式2|3||1|3xxaa≤对任意实数x恒成立，则实数a的取值围为（ ）

A．14，， B．25，，

C．[12]， D．12，，

【变式】 对任意[11]a，，函数2()(4)42fxxaxa的值恒大于零，则x的取值围为_________．

【例22】 若不等式lg21lg()axax在[1,2]x时恒成立，试求a的取值围．

【点评】 将参数a从不等式lg21lg()axax中分离出来是解决问题的关键．

【例23】 若1x，，21390xxaa恒成立，数a的取值围.

【例24】 设222fxxax，当1x，时，都有fxa≥恒成立，求a的取值围.

【例25】 设对所有实数x，不等式2222224112log2loglog014aaaxxaaa恒成立，求a的取值围.

【例26】 已知不等式22412axxxa≥对任意实数恒成立，数a的取值围．

【例27】 已知关于x的不等式20xxt对xR恒成立，则t的取值围是 ．

【例28】 如果|1||9|xxa对任意实数x恒成立，则a的取值围是（ ）

A．{|8}aa B．{|8}aa C．{|8}aa≥ D．{|8}aa≤

【例29】 在R上定义运算：)1(yxyx．若不等式1)()(axax对任意实数x成立，则（ ）

A．11a B．20a C．2321a D．2123a

【例30】 设不等式2220xaxa≤的解集为M，如果[1,4]M，数a的取值围．

【点评】 若将本题改为：[1,4]M，求a的取值围，则本题等价于：

当[1,4]x时，2220xaxa≤恒成立，求a的取值围．

可以通过讨论对应二次函数的对称轴，或者在不等式中将a解出，通过求出对应的代数式的取值围解决此问题．

仅用第二种方法略解如下：

2222(12)20xaxaxax≤，故2(21)2xax≥，

∵[1,4]x，∴2110x≥，从而要满足题意，只需2221xax≥，对[1,4]x恒成立即可．

故要求2221xx在[1,4]x时的最大值，令21[1,7]tx，

则2221(1)22291194()21424txtttxttt，

由对勾函数的单调性知：上式在1t或7t时取到最大值．

比较知：当1t时，上式有最大值3，

故当3a≥时，有2220xaxa≤对[1,4]x恒成立．

即a的取值围为[3,)．

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(完整)高中数学一元二次不等式练习题

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一元二次不等式及其解法

1．形如)0)(0(02acbxax其中或的不等式称为关于x的一元二次不等式．

2．一元二次不等式20(0)axbxca与相应的函数2(0)yaxbxca、相应的方程20(0)axbxca之间的关系：

判别式acb42 0 0 0

二次函数cbxaxy2

（0a）的图象

002acbxax

的解集)0(02acbxax

的解集)0(02acbxax

3、解一元二次不等式步骤：

1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）

2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）

3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向）

不等式的解法---穿根法

一．方法:先因式分解,再使用穿根法.

注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.

使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.

②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).

③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.

例1:解不等式

(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 x2-4x+1

3x2-7x+2 ≤1

解:

(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0

根据穿根法如图

不等式解集为{x∣x>2或x<-4且x≠5}.

(2) 变形为 (2x-1)(x-1)

(3x-1)(x-2) ≥0

根据穿根法如图

不等式解集为

{xx< 1

3 或 1

2 ≤x≤1或x>2}. 2 -4 -5

2 2 1 1 3 1 一、解下列一元二次不等式：

1、0652xx 2、0652xx 3、01272xx

高中数学解三元二次不等式的方法及相关题目解析

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在高中数学中，解三元二次不等式是一个比较常见的题型。解这类不等式需要掌握一定的解题方法和技巧。本文将介绍解三元二次不等式的几种常见方法，并通过具体的题目进行解析，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、平方根法解三元二次不等式

平方根法是解三元二次不等式的常用方法之一。具体步骤如下：

1. 将不等式化简为一个关于某个变量的二次不等式；

2. 对二次不等式应用平方根法，解出关于该变量的一元二次不等式；

3. 根据一元二次不等式的解集，确定原不等式的解集。

下面通过一个例题来说明平方根法的具体应用。

例题：解不等式组x^2+y^2+z^2-2xy-2yz+2xz≥0。

解：首先，我们将不等式组化简为关于变量x的二次不等式：

(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2≥0。

接下来，我们对该二次不等式应用平方根法，得到：

x-y≥0，y-z≥0，x-z≥0。

根据这三个一元二次不等式的解集，我们得到原不等式的解集为：

x≥y，y≥z，x≥z。

二、配方法解三元二次不等式 配方法是解三元二次不等式的另一种常用方法。具体步骤如下：

1. 将不等式化简为一个关于某个变量的二次不等式；

2. 对二次不等式应用配方法，将其转化为一个完全平方式；

3. 根据完全平方式的性质，确定原不等式的解集。

下面通过一个例题来说明配方法的具体应用。

例题：解不等式组x^2+y^2+z^2+2xy-2yz+2xz≥0。

解：首先，我们将不等式组化简为关于变量x的二次不等式：

(x+y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2≥0。

接下来，我们对该二次不等式应用配方法，得到：

(x+y+z)^2-4yz≥0。

根据完全平方式的性质，我们得到原不等式的解集为：

x+y+z≥0，yz≥0。

三、代换法解三元二次不等式

代换法是解三元二次不等式的另一种常用方法。具体步骤如下：

1. 选择一个合适的代换变量，将不等式化简为关于该变量的一元二次不等式；

高中不等式证明练习题及参考答案

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不等式证明是可以作文练习题经常出现的，这类的练习题是的呢?下面就是店铺给大家整理的不等式证明练习题内容，希望大家喜欢。

不等式证明练习题解答

(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展开，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式， 得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a + 2/b +

4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

楼上的，用基本不等式要考虑等号时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z

则原不等式等价于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有绝对值的不等式练习。1.实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7, -1-7x-7, x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.

函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ，值域是 ，函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y=arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y=arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

高中数学不等式经典题型专题训练试题(含答案)

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高中数学不等式经典题型专题训练试题

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

说明：

１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间120分钟。

２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷

第Ⅰ卷（选择题）

评卷人 得 分

一．单选题（共10小题，每题2分，共20分）

1．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（ ）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b

2．已知实数x，y满足条件，则目标函数z=2x-y（ ）

A．有最小值0，有最大值6 B．有最小值-2，有最大值3

C．有最小值3，有最大值6 D．有最小值-2，有最大值6

3．若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（ ）

A．-1 B． C． D．

4．不等式x2-|x|-2＜0的解集是（ ）

A．{x|-2＜x＜2} B．{x|x＜-2或x＞2}

C．{x|-1＜x＜1} D．{x|x＜-1或x＞1}

5．若不等式f（x）=ax2-x-c＞0的解集为（-2，1），则函数y=f（x）的图象为（ ）

A． B． C． D．

6．设a=0.20.3，b=0.20.2，c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（ ）

A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a

7．设0＜b＜a＜1，则下列不等式中成立的是（ ）

A．a2＜ab＜1 B． C．ab＜b2＜1 D．2b＜2a＜2

8．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ）

A．sin（α+β）＞sinα+sinβ B．sin（α+β）＞cosα+cosβ

C．cos（α+β）＜sinα+sinβ D．cos（α+β）＜cosα+cosβ