初中数学 第1页
勾股定理
一、探索勾股定理
【知识点1】勾股定理
定理内容：在RT△中，
勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角
典型题型
1、对勾股定理的理解
（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（ ）
A、c²- a²=b² B、c²- b²=a²
C、a²- c²=b² D、 a²+b²= c²
（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）
A、BC²- AB²=AC² B、BC²- AC²=AB²
C、AB²+AC²= BC² D、AC²+BC²= AB²
2、应用勾股定理求边长
（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm,
求AC的长.
（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足√α2−6α+9+|b−4|=0，则该直角三角形的斜边长为 ．
3、利用勾股定理求面积
（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。
（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为 。
（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x= ,y= 。
（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（ ）
A、6 B、8 C、10 D、12
（9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是SS12、、SSSSSS341234、，则=_____________。
勾股定理
一、知识归纳
1．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc
2．勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
3．勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
二、题型
题型一：直接考查勾股定理
例１. 在ABC中，90C
⑴已知6AC，8BC．求AB的长
⑵已知17AB，15AC，求BC的长
解：
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.⑴在ABC中，90ACB，5ABcm，3BCcm，CDAB于D，CD＝
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为
⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为
BAC21EDCBAABCDE例３.如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长
例4.如图RtABC，90C3,4ACBC,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
题型三：实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m
三、勾股定理的逆定理知识归纳
1. 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
2. 常用的平方数
112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．
八年级北师大版上册第一章勾股定理培优专题
一、勾股定理的应用（最短路径）
1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中𝐴𝐵=18，𝐵𝐶=12，𝐵𝐹=10，点𝑀在棱𝐴𝐵上，且𝐴𝑀=6，点𝑁是𝐹𝐺的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点𝑀爬行到点𝑁，它需要爬行的最短路程的平方为（ ）
A．400 B．424 C．136 D．324
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【详解】
解：如图1，
∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm， ∵BM=18-6=12，BN=10+6=16，
∵𝑀𝑁2=122+162=400
如图2，
∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，
∵PM=18-6+6=18，NP=10，
∵𝑀𝑁2=182+102=424．
∵因为400<424，所以蚂蚁沿长方体表面从点𝑀爬行到点𝑁的最短距离的平方为400.故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．
2．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．
【答案】15.
【分析】
过C作CQ∵EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】 沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ∵EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E，A′P=AP，
∵AP+PC=A′P+PC=A′C，
1
人必须相信自己，这是成功的秘诀。
1 类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有
，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解析：作于D，则因，
∴（的两个锐角互余）
∴（在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在中，
.
根据勾股定理，在中，
2
人必须相信自己，这是成功的秘诀。
2 . ∴ .
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.
