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勾股定理专题课

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勾股定理专题

题型一：勾股定理的计算问题

1、在Rt△ABC中，∠C=90度

①若a=6，b=8， 则c=___; ②若a=40,c=41，则b=____;

③若a:b=1:2,c= 2 则S△ABC=____; ④若∠A=30°,a=2,则c=____,b=___,a:b:c=_______;

2、请完成以下未完成的勾股数：（1）8、15、_______；（2）10、26、_____．

3、长度分别为 3 , 4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能搭成(首尾连接)直角三角形的个数为________。

4、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．

6、下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？

(1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15

(3)a:b: c=3:4:5 (4)a=2m b=21m c= 21m

7、△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是________。

8、△ABC周长是24，M是AB的中点，MC=MA=5，则△ABC的面积是_________。

9、在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_______．

10、三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,则BC=________。

题型二：面积问题

1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，求Rt△ABC的面积。（整体思想）

l321S4S3S2S12、 一个零件的形状如图,量得一个零件的尺寸如下:AB=3cm ,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm ，且∠DAB=90°,求这个零件的面积。

3、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

题型三：折叠问题（方程思想）

指导思想：翻折前后的图形是全等形，易于找到线段之间的数量关系，利用勾股定理建立方程，进而求出图形中的某些线段的长。

1.已知：如图1所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，若CE＝3㎝，AB＝8㎝

求：图中阴影的面积。

②已知：如图2所示，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，当 D落在 D'处时，

求：重叠部分△AFC的面积 。

A

B C D

A B C

D

图2FD'CDABF图1ABCDE③已知：如图3，矩形纸条ABCD，AD＝4㎝，AB＝10㎝，将矩形沿EF折叠，使B与D重合。

求：DE的长。

④已知：如图4，矩形纸片ABCD中，AB＝3㎝,BC＝5㎝,现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，

求:重叠部分△AEF的面积.

⑤已知：如图5所示，矩形ABCD的长、宽分别为5和3，将顶点C折过来，使它落在AB上的'C点,DE为折痕。求：阴影部分的面积。

⑥已知:矩形将纸片ABCD，AB＝8，AD＝5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F。

求：△CEF的周长。

图3C'FBADCE图6FADDEAADCCECBBB图5C'EDBCA图4C'EBCDAFA B

题型四：最短路径问题（空间问题转化为平面问题）

1、如果盒子换成长为4cm，宽为2cm，高为1cm的长方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B点的最短路程又是多少呢？

2、如图,一圆柱高9cm,底面半径2cm,点A,B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A,B在同一母线上，一只蚂蚁从A顺着圆柱侧面绕n圈爬行到B，求最短路径？

3、如图，正方体的所有而是由33个边长为1cm的小正方形组成．蚂蚁从底而A出沿着表而爬到右侧点B处，至少要爬行__________cm

.

4、如图圆柱形容器高1.2m，底面周长1m，在容器内壁离底部0.3m的B处有一只蚊子，此时一壁虎正好在容器外壁且离上沿0.3m与蚊子相对的A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离是多少？

5、正方形ABCD边长4，点P在DC边上且DP=1，点Q是 AC上一动点，求DQ+PQ的最小值=___________。

题型五：旋转变换（注意辅助线的描述）

1、等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M,N,使∠MCN=45°求222AMNBMN

2、如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.。

题型六：拱桥问题与台风问题（注意作图）

1、如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？

BACP2、气象台预报，一台风中心在位于某沿海城市A的南偏东30度的方向且距A市300千米的海上B处，正以20千米每小时的速度沿正北方向移动。在离台风中心250千米的范围内将受台风影响，（1）A城市是否会遭受台风影响？（2）若受影响，受影响的时间为多长？

3、台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/小时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°的方向上，距离点P320千米处。（1）水明本次台风是否会影响到B市？为什么？（2）求这次台风影响B市的时间。

勾股定理与证明

已知：如图，在△ABC中，AB﹥AC，AD是BC边上的高。求证：AB2－AC2＝BC（BD－DC）

DABC

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勾股定理

勾股定理

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预习课程˙勾股定理

1. 勾股定理的内容：

如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么222abc．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

CABcba

2. 勾股定理的证明：

（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

22222142.ABCDSabcababc正方形 DCBA

（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

22222142.Scabababc正方形EFGH GFEH

（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

2()()112222ABCDababSabc梯形

222.abc

cbacbaEDCBA

3. 勾股定理的逆定理：

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即222,,ABCACBCABABC在中如果那么是直角三角形。 勾股定理

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预习课程˙勾股定理

4. 勾股数：

满足222abc的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

一、应用勾股定理求直角三角形的第三边

【例1】 （2013黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）

A5 B C D5或

【练一练】（2012广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）

A. 365 B. 1225 C. 94 D. 334

勾股定理 2

勾股定理 2

1 《勾股定理》练习题一

1．等边三角形的高是h，则它的面积是( )

A． h2 B． h2 C． h2 D． h2

2. 直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为( )

A． 12cm2 B． 10cm 2 C． 8cm2 D． 6cm2

3.下列命题是真命题的个数有( )

①直角三角形的最大边长为 ，短边长为1，则另一条边长为

②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为

③在直角三角形中，若两条直角边长为n2−1和2n，则斜边长为n2+1

④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4.直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为m，则这个三角形的周长是( )

A． + 2m B． +m C．2( +m) D．2 +m

5.如图，已知边长为5的等边ΔABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是( )

A．10 −15 B．10−5 C．5 −5 D．20−10

6.如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值可以有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7.小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )米

A．0.7 B． 0.8 C．0.9 D．1.0

8.一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为( )

A．6 B． 8 C．10 D．12

勾股定理A

勾股定理A

1 CABcbaDCBAGFEHcbacbaEDCBA

内容 基本要求 略高要求 较高要求

勾股定理及逆定理 已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形 会运用勾股定理解决有关的实际问题。

1． 勾股定理的内容：

如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么222abc．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、

弦——斜边。

2．勾股定理的证明：

（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

22222142.ABCDSabcababc正方形

（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

22222142.Scabababc正方形EFGH

（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

2()()112222ABCDababSabc梯形

222.abc 知识点睛 中考要求 勾股定理 2 cbaCBA

3．勾股定理的逆定理：

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即

222,,ABCACBCABABC在中如果那么是直角三角形。

4．勾股数：

满足222abc的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

【例1】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为

【巩固】直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）

A．121 B．120 C．90 D．不能确定

勾股定理及勾股定理的逆定理

勾股定理及勾股定理的逆定理

勾股定理及勾股定理的逆定理

 勾股定理：重点是准确掌握勾股定理，难点是能熟练地运用勾股定理.

 知识点精析与应用

 1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即

a²+b²=c².

 (1)注意：由于直角三角形斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直

角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和.不能写成a²+c²=b²,除非b为斜边才能这样写.

 (2)定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系.其作用有:①已知

两边求第三边；②证明三角形中的某些线段的平方关系；③作长为根号n的

线段.

 2.勾股定理的证明

 勾股定理的证明方法很多，课本里是用面积法证明的，这种证明方法同学

们一定要掌握好.

 [解题方法指导]