7.7二元函数的极值和最值

二元函数极值与最值的区别与联系

二元函数的极值是指函数在二元平面上取得的最大值或最小值，而最值则是指函数在整个定义域上取得的最大值或最小值。

区别：

1. 极值针对的是一个特定的点，而最值是函数在整个定义域上的取值范围。

2. 极值可能存在多个，而最值只有一个或不存在。

3. 极值点必须满足导数为零或不存在导数的条件，而最值只需要比较函数值。

联系：

1. 最值是极值的一种特殊情况，即函数在整个定义域上取得极值。

2. 寻找极值的过程常常涉及到找出最值的情况，比如通过比较函数在边界点和极值点的值来确定最值。

3. 极值的存在与函数的最值有一定的关联，特别是当极值点在定义域的边界上时，它可能是函数的最大值或最小值。

综上所述，二元函数的极值是局部的最值，而最值是全局的最值，它们有一定的联系和区别。

第十一讲 二元函数的极值

要求：理解多元函数极值的概念,会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值;

问题提出：在实际问题中,往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题,与一元函数相类似,多元函数的最大值,最小值与极大值,极小值有密切的关系,因此以二元函数为例,来讨论多元函数的极值问题．

一．二元函数的极值

定义 设函数),(yxfz在点),(00yx的某个邻域内有定义,对于该邻域内的所有),(),(00yxyx,如果总有),(),(00yxfyxf,则称函数),(yxfz在点),(00yx处有极大值；如果总有),(),(00yxfyxf,则称函数),(yxfz在点),(00yx有极小值．

函数的极大值,极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点．

例1．函数xyz在点)0,0(处不取得极值,因为在点)0,0(处的函数值为零,而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点．

例2．函数2243yxz在点)0,0(处有极小值．

因为对任何),(yx有0)0,0(),(fyxf．

从几何上看,点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243yxz的顶点,曲面在点)0,0,0(处有切平面0z,从而得到函数取得极值的必要条件．

定理1必要条件

设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数,且在点),(00yx处有极值,则它在该点的偏导数必然为零,即0),(00yxfx,0),(00yxfy．

几何解释

若函数),(yxfz在点),(00yx取得极值0z,那么函数所表示的曲面在点),,(000zyx处的切平面方程为 是平行于xoy坐标面的平面0zz．

类似地有三元及三元以上函数的极值概念,对三元函数也有取得极值的必要条件为

0),,(000zyxfx,0),,(000zyxfy,0),,(000zyxfz

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精品文档 第六节 多元函数的极值及其求法

在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.

内容分布图示

★ 引例 ★ 二元函数极值的概念 例1-3

★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件

★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5

★ 求最值的一般步骤 ★ 例6 ★ 例7

★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11

★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例12

★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 例 16

*数学建模举例

★ 最小二乘法 ★ 线性规划问题

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题6-6 ★ 返回

内容提要：

一、二元函数极值的概念

定义1 设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00yx的任意一点),(yx, 如果

),,(),(00yxfyxf

则称函数在),(00yx有极大值；如果

),,(),(00yxfyxf

则称函数在),(00yx有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.

定理1 (必要条件) 设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数, 且在点),(00yx处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即

.0),(,0),(0000yxfyxfyx (6.1)

与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.

定理2 (充分条件) 设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有直到二阶的连续偏导精品文档

精品文档 数，又,0),(00yxfx.0),(00yxfy令

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二元函数极值的讨论

作者：王志坤

来源：《新教育时代·教师版》2016年第46期

摘 要：极值在数学与生活中都占有举足轻重的地位，无论是个人消费者，小型企业还是大型公司，若想在经济管理中更胜一筹，以同样的成本而获得更高的利润，都需要用到极值，利用极值的各种巧妙的计算方法来达到我们的目的，本文着重对二元函数极值进行论述.

关键词：二元函数 极值

一、二元函数极值的定义

定义1.1：若函数在点的某个邻域内成立不等式则称在点取得极大值，点称为函数的极大点.类似的，若在点的某个邻域内有，则称在点取得极小值，点称为函数的极小点.极大值与极小值统称为极值，极大点与极小点统称为极值点.

二、二元函数极值存在条件

定理1.2（必要条件） 若函数存在偏导数且在点有极值，则，这个条件并非充分的，例如函数在点处有。由解析几何知道，此函数的几何图形是一马鞍面，它在点显然没有极值.函数的极值点一定为或与至少有一个不存在的点.

三、解二元函数极值一般步骤

参考文献

[1]顾生风.函数的极值应用[J].河西学院，2000，10（2）：20-35.

[2]范文新.多元函数的极值判别法[J].桂林理工大学学报，1987，13（2）：1-2.

[3]李正飞.极值的判定方法[J].武汉大学学报，2006，15（4）：1-3. 龙源期刊网