二元函数的极值与最值问题

- 1 - 二元函数的最值及其经济应用

通常情况下，我们提到函数，会联想到单变量函数。但实际上，有许多函数都是涉及多个变量的，其中最常用的是二元函数，也称作双变量函数。二元函数可以表示一类简单的物理和经济场景，例如货币汇率、债券价格、税率和其他经济因素。在经济学中，二元函数同样也发挥着重要作用，它可以用于描述投资、消费、生产等经济行为，以解释政府政策的影响以及投资者的决策等，所以，了解二元函数的最值及其经济应用，对于理解现代经济有着重要的意义。

首先，什么是二元函数的最值？二元函数的最值是指在一定约束条件下使函数值取得最大或最小值的点。如果该函数的极值处是最大值，则称之为极大值，反之，则称之为极小值，也称为极值点。求解二元函数的极值是一个复杂的过程，一般需要借助形如求导、极限等数学方法，以及建立数学模型来完成。

其次，二元函数的最值在哪些经济应用中有重要作用？一方面，二元函数的极值可以用于优化投资组合、改善生产结构、决定价格和营销政策等。比如，当投资者决定投资组合结构时，他可以使用二元函数来优化该组合，也就是求投资组合的极值，从而获得最大收益。大多数企业也是如此，他们会采用二元函数模型来优化生产结构，以达到约束条件下的最大产出。同样，当一个企业决定营销政策的时候，也会使用二元函数模型来优化营销策略，使其得到最大收益。

另一方面，二元函数的极值还可以用于研究经济问题。有些经济问题，如弹性、失衡、效用最大化等，可以用二元函数来描述，并分 - 2 - 析其后果。比如，当政府决定提高税率时，可以借助二元函数模型来估算政策对经济活动和投资者行为的影响，从而给出相关的政策建议。

最后，二元函数的极值在实际应用中也有重要意义。比如，当一家企业决定把一款新产品投放市场的时候，它可以利用二元函数模型来确定该产品的最佳价格，从而使得该产品达到预期效果。同样，在金融市场，投资者可以利用二元函数模型来估算投资组合的极值，从而获得最佳投资组合，以达到最大收益。

【高考地位】

导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大.

【方法点评】

类型一利用导数研究函数的极值

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步 计算函数()fx的定义域并求出函数()fx的导函数'()fx；

第二步求方程'()0fx的根；

第三步 判断'()fx在方程的根的左、右两侧值的符号；

第四步 利用结论写出极值.

例1 已知函数xxxfln1)(，求函数fx的极值.

【答案】极小值为1，无极大值.

【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0fx，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()fx的增减性，进而求出函数()fx的极大值和极小值．

【变式演练1】已知函数322()fxxaxbxa在1x处有极值10，则(2)f等于（ ）

A．11或18 B．11 C．18 D．17或18

【答案】C

【解读】

试卷分析：baxxxf23)(2,1010232ababa114012232baaaab或33ba．当33ba时,,0)1(3)(2xxf在1x处不存在极值．当114ba时，)1)(113(1183)(2xxxxxf，0)(),1,311(xfx；0)(),,1(xfx,符合题意．所以114ba．181622168)2(f．故选C．

考点：函数的单调性与极值．

【变式演练2】设函数21ln2fxxaxbx，若1x是fx的极大值点，则a的取值范围为（ ）

第3.6节二元函数的极值与条件极值

微积分教学设计 教学札记

教学对象：财经类，管理类等专业

教学内容：极值、极值点、极值存在的条件、条件极值

教学目的：理解极值、极值点的概念，学会判断极值的存在性，会求条件极值

教学方法：利用多媒体进行启发式教学

教学重点：极值存在的条件、条件极值

教学难点：条件极值

教学过程

在第3.4节中我们讨论过一元函数的极值问题，现在作为二元函数微分法的应用，我们来考虑二元函数的极值。如果二元函数z=f（x，y）在),(00yx的某个邻域内有定义，且对该邻域内的任意点（x，y）都有

)),(),((),(),(0000yxfyxfyxfyxf或

则称函数f（x，y）在),(00yx点处取得极大值（或极小值），称),(00yx为函数f（x，y）的极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

对于二元函数的极值，有明显的几何表示。例如，二元函数221),(yxyxf在（0，0）处取得极大值1，见图3.6.1。

定理3.6.1（极值存在的必要条件）如果函数z=f（x，y）在),(00yx点存在偏导数，且在),(00yx处取得极值，则必有

0,0),(),(0000yxyxyzxz

应当注意的是二元函数的极值点，可能是两个一阶偏导数等于零的教学心得 -1-0.500.51y00.250.50.751z-1-0.500.5x点（称为驻点），也可能是一阶偏导数不存在的点。例如，二元函数221yxz在（0，0）点处取得极值，而0,0)0,0()0,0(yzxz，其极大值点（0，0）就是驻点。而二元函数显然在（0，0）点有极小值0，但在（0，0）点处，函数的两个一阶偏导数都不存在。此外，由定理3.12可知，如果偏导数存在，那么，二元函数的极值点一定是驻点，22yxz，但反之驻点却未必一定是极值点。例如，函数22xyz，在原点处有0,0yzxz，但对原点附近的任何x都有2)0,(xxf，即函数取负值，而对原点附近任何的y，

二元函数极值问题

2

3

4

5 0x时，1,zx 0x时，1zx.

因此在0x时偏导数不存在.

由此可见，函数的极值点必为fx及fy同时为零或至少有一个偏导数不存在的点.

3.2极值的充分条件

设函数),(yxfz在点的某个邻域内连续且有二阶连续偏导数,又0),(00'yxfx且0),(00'yxfy,记二阶连续偏导数为

Ayxfxx),(00',Byxfxy),(00',Cyxfyy),(00',ACB2,则函数),(yxfz在),(00yx点处是否取得极值的条件如下:

(1) 当0且0A时,函数),(yxfz在点),(00yx处取得极大值;

(2) 当0且0A时,函数),(yxfz在点),(00yx处取得极小值;

(3) 当0时,函数),(yxfz在点),(00yx处不取得极值;

(4) 当0时,函数),(yxfz在点),(00yx处可能取得极值,也可能不取得极值.

4. 求二元函数的极值的步骤

要求函数的极值，首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点，然后讨论该点周围函数的变化情形，以进一步判断是否有极值，为此我们讨论f，若(,)fxy的一切二阶导数连续，则由泰勒公式并注意到在极值点必须0xyff，就有

222000000200001(,)(,)((,)22(,)(,))xxyyffxxyyfxyfxxyyxfxxyyxyfxxyyy.

由于(,)fxy的一切二阶偏导数在00(,)xy连续，记200(,)xAfxy，00(,)xyBfxy，200(,)yCfxy，那就有

6 200(,),0(0,0)xfxxyyAxy

00(,),0(0,0)xyfxxyyBxy