2000年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

试卷第1页，共2页2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨全国高中数

学联合竞赛一试及加试试题（A卷）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题

1．设复数910iz

（i为虚数单位），若正整数n

满足2023n

z

，则n

的最大值为 .

2．若正实数a

，b

满足lg

2b

a，lglg

5ab

ab，则lg()ab

ab的值为 .

3．将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为x

，y

，z

，则事件

“

7

77CCCxyz



”发生的概率为 .

4．若平面上非零向量

，

，

满足



，2



，3



，则

的最小值

为 .

5．方程sincos2xx

的最小的20个正实数解之和为 .

6．设a

，b

，c

为正数，ab

.若a

，b

为一元二次方程2

0axbxc的两个根，且a

，

b

，c

是一个三角形的三边长，则abc

的取值范围是 .

7．平面直角坐标系xOy

中，已知圆与x

轴、y

轴均相切，圆心在椭圆

22

22:10xy

ab

ab内，且与

有唯一的公共点

8,9

.则

的焦距为 .

8．八张标有

A，

B，C

，D，E，F，G

，

H的正方形卡片构成下图.现逐一取走这些

卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按

D，

A，

B，E，C

，F，G

，

H的次序取走卡片，但不可按D，

B，

A，E，C

，

F，G

，

H的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为 .

二、解答题

9．平面直角坐标系xOy

中，抛物线2

:4yx，F为

的焦点，

A，

B为

上的两个不

重合的动点，使得线段AB的一个三等分点

P位于线段

OF上（含端点），记Q

为线段AB

的另一个三等分点.求点Q

的轨迹方程.

10．已知三棱柱

111:ABCABC

的9条棱长均相等.记底面ABC

所在平面为

.若的另试卷第2页，共2页

2017年全国高中数学联赛A卷一试

一、填空题

1.设)(xf是定义在R上的函数，对任意实数x有1)4()3(xfxf.又当70x

时，)9(log)(

2xxf

，则)100(f的值为__________.

2.若实数yx,满足1cos22

yx，则yxcos的取值范围是__________.

3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C

的方程为1

109:22

yx

，F为C的上焦点，A为C

的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为

__________.

4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是

5.正三棱锥ABCP

中，1AB

，2AP

，过AB

的平面将其体积平分，则棱PC

与

平面所成角的余弦值为__________.

6.在平面直角坐标系xOy中，点集1,0,1,),(yxyxK

.在K

中随机取出三个点，则

这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.

7.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若

3A，ABC的面积为

3

，则ANAM

的最小值为__________.

8.设两个严格递增的正整数数列

nnba,

满足：2017

1010ba

，对任意正整数n

，有

nnnaaa

12，

nnbb2

1，则

11ba

的所有可能值为__________.

二、解答题

9.设mk,为实数，不等式12

mkxx

对所有bax,

成立.证明：22ab

.

10.设

321,,xxx

是非负实数，满足1

321xxx

，求)

53)(53(32

1321xx

xxxx的

最小值和最大值.

11.设复数

21,zz

满足0)Re(

1z

，0)Re(

2z

，且2)Re()Re(2

22

1zz

（其中)Re(z表

示复数z的实部）.

（1）求)Re(

21zz

的最小值；

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专业整理分享 2017年全国高中数学联赛A卷一试

一、填空题

1.设)(xf是定义在R上的函数，对任意实数x有1)4()3(xfxf.又当70x时，)9(log)(2xxf，则)100(f的值为__________.

2.若实数yx,满足1cos22yx，则yxcos的取值范围是__________.

3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为1109:22yx，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为__________.

4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是

5.正三棱锥ABCP中，1AB，2AP，过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面所成角的余弦值为__________.

6.在平面直角坐标系xOy中，点集1,0,1,),(yxyxK.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.

7.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若3A，ABC的面积为3，则ANAM的最小值为__________.

8.设两个严格递增的正整数数列nnba,满足：20171010ba，对任意正整数n，有nnnaaa12，nnbb21，则11ba的所有可能值为__________.

二、解答题

9.设mk,为实数，不等式12mkxx对所有bax,成立.证明：22ab.

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2000年全国高中数学联赛试题

第一试

（10月15日上午8:009:40）

一、 选择题

本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1． 设全集是实数，若A={x|2x≤0}，B={x|2210x=x10},则BA是 （ ）

(A) {2} (B) {1} (C) {x|x≤2} (D) 

2． 设sin＞0,cos＜0,且sin3＞cos3,则3的取值范围是 （ ）

(A) (2k+6,2k+3), kZ (B) (32k+6,32k+3),kZ

(C)(2k+65,2k+),kZ (D)(2k+4,2k+3)(2k+65,2k+),kZ

3． 已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是 （ ）

(A) 33 (B) 233 (C) 33 (D) 63

4． 给定正数p,q,a,b,c，其中pq，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0 （ ）

(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根