【精品】离散数学6

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1 / 10 第六章几个典型的代数系统

本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．

6.1 半群

6。1。1半群的概念

定义6.1.1设

a,b，c∈S,(a•b）•c=a•（b•c）

则称为半群;

定义6。1。2设.

定义6。1.3若半群是可交换半群.

［例6.1.1]

(1)都是含么半群；〈I,－〉不是半群；

(2）设A为任一集合,则<(A），，〉,<(A)，,A>都是可交换的含么半群；

(2)设∑是个字母表，是∑上的连接运算,则空串就是∑中关于连接运算的单位元且该运算满足结合律,故<∑，，>是一个独异点。

6．1．2子半群

定义6。1。4半群的了代数叫子半群，即设〈S,•>是半群，T为S的非空子集。若T关于资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

2 / 10 运算•封闭，则称

定义6。1。5设〈S，•，e〉是独异点，T为S的非空子集。若T关于运算•封闭，且eT,则称〈T,•>是

［例6.1。2］ 〈Z,+>和都是

定义6。1。6设V1=〈S1，〉,V2=〈S2,>是两个半群，V1与V2的积代数V1V2=

其中S=S1S2，,,,,2211yxyx对于

•21212211,,,yyxxyxyx资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

2 / 10 也是半群，叫,V1与V2的积半群。

6．1．3半群的同态

定义6.1。6设和是半群，函数f：S1S2。若a,b∈S1，有f（ab)=f(a)•h（b），则称f是〈S1，>到〈S2，•〉的半群同态。若f是双射，则称f为半群同构。

［例6。1。2］ •000)00(,,,00abaSVRbabaS

证明:是V上的自同态，但不是独异点的自同态。

定义6.1。7设

6.2 群

6.2。1群的定义

定义6.2。1设〈G,•〉是半群点。若G含有幺元且G中每一个元素都是可逆的，则称是群.

注：〈G，•>是群：（1)•满足结合律；（2)存在么元；（3)G上每个元素有逆元;

定义6。2.2若群中的二元运算•是可交换的，则称，，〈R，+>是群；

<2〉〈N，＋〉，不是群.

〈3〉是群。

<4>Klein四元群G={e，a，b,c｝.

• e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

3 / 10 ①②e是单位元；②是可交换的;③a，b,c任意两个的运算结果等于第三个。

说明：（1）交换群(Abel群),有限群，无限群

（2）设

①a0=e；②an+1=ana,n∈N；③a-n=（a—1）n，nN+。

6。2.2群的性质和元素的阶

定理6。2.1设〈G,•〉为群,则

(1)a∈G，（a－1)－1=a；

(2)a，b∈G,(ab）－1=b—1a—1；

(3）a，b∈G，方程ax＝b,ya＝b在G中都有惟一解;

（4)G中消去律成立。即

若ab=ac，则b=c；

若ba=ca，则b=c。

（5)对m，n∈N，am•an=am+n,(am）n=amn。

定义6。2。3设〈G，•〉是群，a∈G，则使an=e成立的最小正整数n称为a的阶（周期），记为｜a|,且称a的阶是有限的，否则称a的阶是无穷的.

单位元是群中阶为1的惟一元素.

[例6.2。2］ (1)在群〈Z，＋〉中，任一非零整数的阶是无限的；(2)在群

定理6.2。2设〈G，•〉是有限群,｜G|＝n,则a∈G，|a｜n。

6。2.3子群

定义6.2。4设〈G,•>是群，H是G的非空子集。若〈H,•〉也是群，则称〈H,•>是〈G，•〉的子群，记作HG。若H是G的非空真子集，则称〈H,•>是

［例6。2.3］ 。

定理6.2.3(子群判别法1）设H是群〈G，•〉的非空子集，则HG当且仅当

（1)a，b∈H，a•b∈H；

(2)a∈H，a－1∈H。资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

4 / 10 定理6。2.4（子群判别法2）设H是群〈G,•>的非空子集，则HG当且仅当

a，b∈H，a•b－1∈H.

定理6。2。6（子群判别法3）设H是群〈G，•>的非空有限子集。若H关于•封闭，则HG。

［例6.2。4］ 设〈G,•>是可交换群，H={a∈G｜k∈I，使ak=e}，则HG。

6.2.4循环群

定义6.2。6设〈G，•〉是群，a∈G，记（a）={ai｜i∈Z｝.（a）称为由a生成的子群;设〈G，•>是群。若a∈G,使得（a)=G，则称G是循环群,又并称G是由a生成的，a称为G的生成元。

[例6。2。5］

（1)1是m阶循环群〈Nm，＋m〉的生成元;

（2）

说明：每个循环群是可交换群。

定理6。2.8设G＝(a），

(1)若｜a|无限，则G≌〈I，＋>;

(2)若｜a|为n，则G≌〈Nn，＋n>。

推论6.2。1设G＝（a）,

（1）若G为无限群，则|a|无限,且G=｛…,a—1,a-1,e,a,a2,…｝;

(2）若|G|＝n∈N，则|a｜＝n，且G=｛e，a,a2，…,an－1｝。

推论6.2。2设G为n阶循环群，a∈G，则G=（a)当且仅当|a|=n。

6.2。5置换群

定义6.2.7有限集合S到其自身的双射称为S上的置换，｜S｜称为置换的阶。

定义6.2.8一个有n个元素的集合上的所有置换在函数的合成运算下构成的群称为n次对称群，记为Sn。Sn的子群称为n阶置换群。

注：｜Sn｜＝n！.

设S＝｛1，2,…，n}，则Sn可记为

)(...)2()1(...21nn置换的轮换表示法：资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

5 / 10 ［例6.2。8］ 令S＝｛1,2，3｝，求S3。

6。2。6群同态

定义6。1.9设是群，函数f：S1S2。若a，b∈S1,有f(ab）=f(a）•f(b)，则称f是〈S1，>到〈S2，•〉的群同态.若f是双射，则称f为群同构。

定义6。1.7设〈S1,〉和〈S2，•〉是群，函数f：S1S2时同态映射，f(S1）=｛f（x)|x∈S1｝叫f的同态像,Ker(f）=｛x｜x∈S1且f(x）=e｝叫同态映射f的核。

推论6.2.3 任一个有限群都与某个置换群同构。

6.3环和域

这一节我们要讨论含有两个二元运算的代数结构，环和域。

6.3。1环

下文中符号＋，·表示一般二元运算，分别称为加、乘运算（未必是数加和数乘），并对它们沿用数加、数乘的术语及运算约定，例如,a，b的积表示为ab，n个a的和a+…+a表示为na,n个a的积表示为an等．

定义6.3.1称代数结构

（1）〈R，+〉是阿贝尔群（或加群）．

（2）

（5）乘运算对加运算可分配，即对任意元素a，b,cR，

a(b＋c）＝ab+ac，（b＋c)a=ba+ca

[例6.3.1］

（1）（I为整数集，+,·为数加与数乘运算)为一环．

（2)〈Nk,⊕,〉为环,因为我们已知〈Nk，⊕〉为加群，〈Nk,>为半群，此外，

a(b⊕c）=a（（b+c)modk)

=（a（b+c）（modk））（modk）

=（a（b+c））（modk）

=（ab+ac）（modk)

=ab（modk)⊕ac（modk）

=（ab）⊕(ac)

（3）所有整数分量的nn方阵集合Mn与矩阵加运算（+）及矩阵乘运算（◦）构成一环，即，为环．

（4）所有实系数多项式（以x为变元)的集合R［x]与多项式加，乘运算构成环，即资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

6 / 10 〈R[x]，+，·>为环．

（5）〈{0｝，+,·>(其中0为加法么元、乘法零元）为一环，称为零环。（其它环至少有两个元素．)

（6）<{0，e｝，+，·〉(其中0为加法么元、乘法零元,e为乘法么元）为一环．

6。3.2环有下列基本性质．

定理6。3.1设〈R,+，·〉为环，0为加法么元，那么对任意a，b，cR

（1)0a=a0=0（加法么元必为乘法零元）

（2）（—a）b=a（-b）=—ab（-a表示a的加法逆元，下同）

(3)(-a)（-b）=ab

（4）若用a–b表示a+（-b),则

（a—b）c＝ac–bc,c（a-b）＝ca-cb

定义6。3.2

（1)环

(2)环〈R,+,·〉中，·当·运算有么元时，称R为含么环

（3)设为环，若有非零元素a,b满足ab=0，则称a,b为R的零因子，并称R为含零因子环，否则称R为无零因子环．

［例6。3。2］在环中,0是零元,［2],[3］为零因子，因为[2]［3］＝0．在环〈M2，+,◦>中有零因子

1111和1111

因为

1111◦1111=0000

它是矩阵加的么元．

(4）环〈R，+,·>中,当·运算满足交换律、有单位元、无零因子,则称R为整环

（5)环

6.3.2域

定义6。3.4若

［例6.3。3］

（1)〈Q，＋，·〉为域,但不是域，因为在整数集中整数没有乘法逆元．

（2）为域，1和4的逆元是4和1,2和3互为逆元。

（3）但