数列求和常用方法(含答案)
- 格式：docx
- 大小：51.71 KB
- 文档页数：11
数列专题 数列求和常用方法
一、公式法
例1在数列{an}中，2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＝10，a5＝－5．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn的最大值．
解： (1)因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，所以an＋1－an＝an－an－1(n≥2)，
所以数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，则 a2＝a1＋d＝10，a5＝a1＋4d＝－5，解得 a1＝15，d＝－5，
所以an＝a1＋(n－1)d＝15－5(n－1)＝－5n＋20．
(2)由(1)可知Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋a1－d2n＝－52n2＋352n，因为对称轴n＝72，
所以当n＝3或4时，Sn取得最大值为S3＝S4＝30．
跟踪练习
1、已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a1＝1，a2＋a4＝10，
所以2a1＋4d＝10，
解得d＝2.
所以an＝2n－1.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2b4＝a5，
所以b1q·b1q3＝9.
又b1＝1，所以q2＝3. 所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.
则b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝3n－12.
二、分组转化法
例2、已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝20，a3是a2，a5的等比中项，数列{bn}满足对任意的n∈N*，Sn＋bn＝2n2．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝{𝑏𝑛−𝑛2，𝑛为偶数2𝑎𝑛，𝑛为奇数，求数列{cn}的前2n项的和T2n．
解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意得， 5a1＋10d＝20，a1＋2d2＝a1＋da1＋4d，化简得 a1＋2d＝4，a1d＝0，
因为d≠0，所以a1＝0，d＝2，所以an＝2n－2(n∈N*)，Sn＝n2－n，n∈N*，
因为Sn＋bn＝2n2，所以bn＝n2＋n(n∈N*)．
(2)由(1)知，cn＝{𝑏𝑛−𝑛2，𝑛为偶数2𝑎𝑛，𝑛为奇数＝ n，n为偶数，4n－1，n为奇数，
所以T2n＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c2n－1＋c2n
＝(2＋4＋…＋2n)＋(40＋42＋…＋42n－2)
＝n2＋2n2＋1－16n1－16＝n(n＋1)＋115(16n－1)．
跟踪练习
1、已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，且a3＝5，S7＝49.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2na＋an，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn≥1 000，求n的取值范围．
解 (1)由等差数列性质知，S7＝7a4＝49，则a4＝7，
故公差d＝a4－a3＝7－5＝2，
故an＝a3＋(n－3)d＝2n－1. (2)由(1)知bn＝22n－1＋2n－1，
Tn＝21＋1＋23＋3＋…＋22n－1＋2n－1
＝21＋23＋…＋22n－1＋(1＋3＋…＋2n－1)
＝21－22n＋11－4＋n1＋2n－12
＝22n＋13＋n2－23.
易知Tn单调递增，
且T5＝707<1 000，T6＝2 766>1 000，
故Tn≥1 000，解得n≥6，n∈N*.
三、并项求和法
例3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝9，S5＝25.
(1)求数列{an}的通项公式及Sn；
(2)设bn＝(－1)nSn，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设数列{an}的公差为d，由S5＝5a3＝25得a3＝a1＋2d＝5，
又a5＝9＝a1＋4d，所以d＝2，a1＝1，
所以an＝2n－1，Sn＝n1＋2n－12＝n2.
(2)结合(1)知bn＝(－1)nn2，当n为偶数时，
Tn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋(b5＋b6)＋…＋(bn－1＋bn)
＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2]
＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n－(n－1)][n＋(n－1)]
＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.
当n为奇数时，n－1为偶数，
Tn＝Tn－1＋(－1)n·n2＝n－1n2－n2＝－nn＋12.
综上可知，Tn＝－1nnn＋12.
四、裂项相消法
例4、已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝1log3an·log3an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：(1)当n＝1时，2a1＝3a1－3，解得a1＝3；
当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝3an－3－3an－1＋3＝3an－3an－1，得an＝3an－1，
因为an≠0，所以anan－1＝3，因为a1＝3，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n．
(2)因为log3an＝log33n＝n，所以bn＝1log3an·log3an＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，
所以数列{bn}的前n项和Tn＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1．
跟踪练习
1、已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－1，数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b6＝a5．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn＝1bnbn＋1，记数列{cn}的前n项和为Tn，证明：3Tn＜1．
解： (1)由Sn＝2an－1，可得n＝1时，a1＝2a1－1，解得a1＝1；
n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，又Sn＝2an－1，两式相减可得an＝Sn－Sn－1＝2an－1－2an－1＋1，即有an＝2an－1，
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1．
设等差数列{bn}的公差为d，且b1＝a1＝1，b6＝a5＝16，可得d＝b6－b16－1＝3，所以bn＝1＋3(n－1)＝3n－2．
(2)证明：cn＝1bnbn＋1＝13n－23n＋1＝1313n－2－13n＋1，
所以Tn＝131－14＋14－17＋17－110＋…＋13n－2－13n＋1＝131－13n＋1<13，则3Tn＜1．
2、设{an}是各项都为正数的单调递增数列，已知a1＝4，且an满足关系式：an＋1＋an＝4＋2an＋1an，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝1an－1，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)因为an＋1＋an＝4＋2an＋1an，n∈N*，所以an＋1＋an－2an＋1an＝4，
即(an＋1－an)2＝4，又{an}是各项为正数的单调递增数列，
所以an＋1－an＝2，又a1＝2，
所以{an}是首项为2，公差为2的等差数列，
所以an＝2＋2(n－1)＝2n，所以an＝4n2.
(2)bn＝1an－1＝14n2－1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝121－13＋1213－15＋…＋1212n－1－12n＋1
＝121－12n＋1＝n2n＋1.
3、已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝an＋2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝log2an，Tn＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn＋1，求Tn.
解 (1)由已知得an＋1－an＝2n，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋2＋22＋…＋2n－1＝2＋21－2n－11－2＝2n.
又a1＝2，也满足上式，故an＝2n.
(2)由(1)可知，bn＝log2an＝n，
1bnbn＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1， Tn＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn＋1
＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1
＝1－1n＋1＝nn＋1，故Tn＝nn＋1.
五、错位相减法
例5、在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an－2anan＋1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝3nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
解：(1)∵a1＝1，an＋1＝an－2anan＋1，∴an≠0，
∴1an＝1an＋1－2⇒1an＋1－1an＝2，又∵1a1＝1，∴1an是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴1an＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴an＝12n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知：bn＝(2n－1)×3n，
∴Sn＝1×3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n－1)×3n，
3Sn＝1×32＋3×33＋5×34＋7×35＋…＋(2n－1)×3n＋1，
两式相减得－2Sn＝3＋2×32＋2×33＋2×34＋…＋2×3n－(2n－1)×3n＋1
＝3＋2(32＋33＋34＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1
＝3＋2×321－3n－11－3－(2n－1)×3n＋1
＝3＋3n＋1－9－(2n－1)×3n＋1＝2(1－n)×3n＋1－6
∴Sn＝(n－1)×3n＋1＋3．
跟踪练习
1、已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋n－1．
(1)证明：数列{an＋n}是等比数列并求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设bn＝(2n－1)·(an＋n)，求数列{bn}的前n项和Tn．
解： (1)因为an＋1＝2an＋n－1，所以an＋1＋(n＋1)＝2an＋2n，即an＋1＋n＋1an＋n＝2，
