2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题含答案

2021-2022学年河北省唐山市滦南县高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列导数运算正确的是（ ） A ．()22343x x '+=+ B ．cos sin 22ππ⎭=-'⎛⎫ ⎪⎝C ．'=D ．()e e x x --'=【答案】C【分析】直接由导数的运算法则及复合函数的导数依次判断即可. 【详解】对于A ，()2234x x '+=，A 错误；对于B ，因cos 2π是常数，则cos 02π'⎛⎫ ⎪⎝=⎭，B 错误；对于C ，'=C 正确；对于D ，()()e ee xxx x ---''--==，D 错误．故选：C2．书架的第1层放有2本不同的数学书，第2层放有3本不同的计算机书，第3层放有4本不同的语文书，从书架上任取1本书，有（ ）种不同取法？从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有（ ）种不同取法？ A ．20，9 B ．9，20 C ．24，9 D ．9，24【答案】D【分析】由分类加法计数原理和分步乘法计数原理分别可得.【详解】解：根据题意可得从书架上任取1本书，有4＋3＋2＝9种不同的取法； 从书架的第1，2，3层各取1本书，有2×3×4＝24种不同的取法； 故选：D3．函数()()22f x x C C =+∈R 在区间[]1,2-上的平均变化率为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．2【答案】A【分析】直接求解平均变化率即可. 【详解】()()()()()2142121213f f C C --+-+==--．故选：A ．4．在1)2n x 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数为（ ） A ．454B ．358-C ．358D ．7【答案】C【分析】根据二项式定理，展开项系数中，当n 为奇数时最中间的那一项最大. 【详解】依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以n =8，二项式展开项的通项公式为：84221881122rrr rrr r r T C x x C x -++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，46,42rr +== ， ∴6x 的系数为44813528C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：C.5．若函数f （x ）＝6ln x －x 2＋x ，则f （x ）的单调递减区间为（ ） A ．()3,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．()0,2D ．()30,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】求导，解不等式()'f x 0<可得.【详解】f （x ）定义域为()0,∞+，又()262621x x f x x x x-++=-='+，令()f x '0<，∵x ＞0，∴2260x x -++<， 由2260x x -->解得32x <-或2x >，则2x >，即()f x 的单调减区间为()2,+∞． 故选：B ．6．某省进行高考综合改革，要求学生从高二开始对课程进行选修，即从化学、生物、政治、地理四门课程中选择两科进行选修，则甲、乙两人所选课程中至少有一科相同的选法的种数是（ ） A ．36 B ．30C ．24D ．12【答案】B【分析】先计算两人所选课程都不同的选法，再算两人各选两科总的选法，然后可得.【详解】甲、乙两人所选课程都不同有22426C C =种，甲、乙两人各选两科共有224436C C =，所以甲、乙两人所选课程中至少有一科相同的选法的种数为36630-=种. 故选：B ．7．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (2)=2, ()1f x '>，则f (x )＞x 的解集是（ ） A ．(0,2)B ．(2,0)(0,2)-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,)+∞【答案】D【分析】构造()()g x f x x =-，结合已知有()g x 在R 上递增且(2)0=g ，原不等式等价于()g x >(2)g ，利用单调性求解集.【详解】令()()g x f x x =-，由题设知：()()10g x f x ''=->，即()g x 在R 上递增， 又(2)(2)20g f =-=，所以f (x )＞x 等价于()g x >(2)g ，即2x >. 故选：D8．已知函数()ln f x x =，()2g x x =，()()f m g n =，则mn 的最小值是（ ） A ．12e-B ．12eC ．2e-D ．2e【答案】A【分析】根据题意可得ln 2m n =，则1ln 2mn m m =，令1()ln ,02h m mn m m m ==>，利用导数求出函数()h m 的最小值即可得出答案.【详解】解：由函数()ln f x x =，()2g x x =，()()f m g n =，得ln 2m n =， 则1ln 2mn m m =， 令11()ln ,0,()(1ln )22h m mn m m m h m m ===+'>， 当1e m >时，()0h m '>，当10em <<时，()0h m '<， 所以函数()h m 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，所以min ()h m =11e 2e h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即mn 的最小值是12e -.故选：A. 二、多选题9．已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．－1是函数()f x 的极小值点B ．－4是函数()f x 的极小值点C ．函数()f x 在区间(,4)-∞-上单调递减D ．函数()f x 在区间(4,1)--上先增后减 【答案】BC【分析】根据导函数图象确定()f x 的单调性，由此确定正确选项.【详解】由()'f x 图象可知，()f x 在(),4-∞-上递减，在()4,-+∞上递增，所以1-不是极值点，A 选项错误；4-是极小值点，B 选项正确；C 选项正确；D 选项错误. 故选：BC10．已知曲线()1f x x=，则过点()1,3-，且与曲线()y f x =相切的直线方程可能为（ ）A ．2y x =-+B ．96y x =--C ．85y x =--D ．74y x =--【答案】AB【分析】设出切点坐标001,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出函数()f x 的导数，利用点斜式写出方程，再代入计算作答.【详解】设过点()1,3-的直线与曲线()y f x =相切的切点为001(,)x x ，由()1f x x=求导得()21f x x '=-， 于是得切线方程为020011()y x x x x -=--，即20012y x x x =-+，则200123x x =+，解得01x =或013x =-，因此得切线方程为2y x =-+或96y x =--， 所以所求切线的方程是2y x =-+或96y x =--. 故选：AB11．已知45015(2)(21)x x a a x a x +-=+++，则下列结论正确的是（ ）A ．015a a a ++⋯+＝32B ．0a ＝2C ．135a a a ++＝－39D ．1a ＝－15【答案】BCD【分析】分别令1x =、0x =和1x =-，可判断A 错误，B 、C 正确，结合二项展开式的通项，可判定D 正确. 【详解】令1x =，则()()401512213a a a +++=+-=，故A 错误，令0x =，则()40212a =⨯-=，故B 正确，令1x =-，则()()4012345122184a a a a a a -+-+-=-+--=， 两式相减可得：135381392a a a -++==-，故C 正确， 展开式中含x 的项为()()()()0434344C 212C 2115x x x x ⨯-⋅-+⨯⋅-=-，故115a =-，所以D 正确. 故选：BCD ．12．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件有（ ） A ．1,2a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭B ．1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭D ．11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】根据题意得出2241ax ax fxx，令2241g xax ax ，然后根据()f x 在()1,3上不单调得出函数()g x 与x 轴在()1,3上有交点，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】()2124124ax ax f x ax a x x--'=--=，若()f x 在()1,3上不单调， 令2241g xax ax ，则函数2241g xax ax 与x 轴在()1,3上有交点，当0a =时，显然不成立；当0a ≠时，则()()21680130a a g g ⎧∆=+≥⎪⎨⋅<⎪⎩，解得16a >或12a <-，结合选项易知()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，1,2a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，故选：AC. 三、填空题 13．若()2622020*N ++=∈n n C C n ，则n =______.【答案】4【分析】根据题意和组合数的运算性质直接计算即可. 【详解】由题意知， 因为2622020n n C C ++=*()n N ∈，所以262n n +=+或2620(2)n n +=-+， 解得4n =-(舍去)或4n =. 故答案为：414．将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答） 【答案】36【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有211421226C C C A =种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有336A =种方法，则共有6636⨯=种分配方案. 故答案为：36 15．已知函数()1ln 2f x x x m =-+的最小值为1，则m =_____． 【答案】ln 2【分析】利用导数求出函数()y f x =的最小值，结合题中条件可求出实数m 的值. 【详解】函数()1ln 2f x x x m =-+的定义域为()0,∞+，且()11222x f x x x -'=-=， 令()0f x '=，得2x =.当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在2x =取得极小值，亦即最小值，即()()min 21ln 21f x f m ==-+=，因此，ln 2m =. 故答案为ln 2.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，要熟悉函数的最值与导数的关系，考查计算能力，属于中等题. 四、双空题16．若na x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的系数和为1，二项式系数和为128，则a ＝__________，展开式中x 2的系数为__________． 【答案】 －1 －448【分析】赋值令1x =，和2128n =联立求解可得a ；化简通项，根据x 的指数等于2可解.【详解】解：由题意得11na ⎛⎫= ⎪⎝⎭且2128n =所以n ＝7，a ＝－1，所以71x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项为(()73772177121kk kk kk kk T C C x x ---+⎛⎫ ⎪⎝⎭-==-令7322k-=，得k ＝1． ∴x 2的系数为()116721448C -=-．故答案为：－1，－448． 五、解答题17．用0，1，2，3，4，5这6个数字． (1)能组成多少个无重复数的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)? 【答案】(1)156 (2)132【分析】（1）根据个位是0,2,4进行分类讨论，由此求得“无重复数的四位偶数”的个数. （2）结合插空法求得“奇数数字互不相邻的六位数”的个数. 【详解】(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有35A 个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个(14A 种)，十位和百位从余下的数字中选，有24A 种，于是有1244A A ⋅个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有1244A A ⋅个．由分类加法计数原理得，共有3125442A A A +⋅＝156(个)．(2)先排0，2，4，再让1，3，5插空，总的排法共3334A A ⋅＝144(种)，其中0在排头，将1，3，5插在后3个空的排法共3232A A ⋅＝12(种)，此时构不成六位数，故总的六位数的个数为3334A A ⋅－3232A A ⋅＝144－12＝132(种).18．已知()322126f x x mx x =--+的一个极值点为2.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]22-,上的最值. 【答案】（1）在区间()1,2-上单调递减，在区间(),1-∞-，()2,+∞上单调递增；（2）最小值为14-，最大值为13.【分析】（1）根据极值点先求出m 的值,再求出()f x ',令()0f x '<或()0f x '>,得到函数的单调区间；（2）求出函数在[2,2]-上的单调性，根据极值和端点值的比较可得到最值.【详解】（1）因为()322126x mx f x x =--+，所以()26212x x f x m =--'，因为()32126f x x mx x =--+的一个极值点为2，所以()262221202f m =⨯-⨯-='，解得3m =，此时()3223126x x f x x =--+，()()()26612612f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=，得1x =-或2x =，令()0f x '<，得12x -<<；令()0f x '>，得1x <-或2x >，故函数()f x 在区间()1,2-上单调递减，在区间(),1-∞-，()2,+∞上单调递增. （2）由（1）知，()f x 在[]2,1--上为增函数，在(]1,2-上为减函数， 所以1x =-是函数()f x 的极大值点，又()22f -=，()113f -=，()214f =-，所以函数()f x 在区间[]22-,上的最小值为14-，最大值为13.19．已知()1xf x e ax =--.（1）当2a =时，讨论()f x 的单调区间；（2）若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞，单调递减区间为(),ln 2-∞；（2）0a ≤【分析】（1）计算()'f x ，根据()'0f x >与()'0f x <，可得结果.（2）利用等价转化的思想，'0f ≥在R 上恒成立，然后根据()'f x 的单调性，简单计算，可得结果.【详解】（1）当2a =时，()21xf x e x =--则()'2xf x e =-，令()'20xf x e =->，得ln 2x >令()'20xf x e =-<，得ln 2x <所以()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞ 单调递减区间为(),ln 2-∞（2）由题可知：()f x 在定义域R 内单调递增等价于()'0xf x e a =-≥由()'xf x e a =-在R 上单调递增，又0x e >则000a a -≥⇒≤【点睛】本题考查导数的简单应用，掌握导数与原函数之间的关系，属基础题. 20．已知()23012313nn n x a a x a x a x a x -=+++++（n 为正整数）.(1)若2011513a a a =-，求n 的值； (2)若2022n =，0242022+A a a a a =+++，1352021B a a a a =++++，求A B +和22A B -的值（结果用指数幂的形式表示）. 【答案】(1)10n =(2)20222A B +=，2260662A B -=，【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，然后由2011513a a a =-列方程可求出n 的值，（2）分别令1x =，1x =-求出202201220222A B a a a a +=+++⋅⋅⋅+=，2022012202120224A B a a a a a -=-+-⋅⋅⋅-+=，进而可求出22A B -的值，【详解】(1)二项式(13)n x -展开式的通项公式为1(3)(3)r r r r rr n n T C x C x +=-=-，则001122012(3),(3),(3)n n n a C a C a C =-=-=-，因为2011513a a a =-，所以221(3)1513(3)n n C C -=--，化简得2329100n n --=，(10)(31)0n n -+=，得10n =或13n =-（舍去），(2)当2022n =时，()22022202220223012313x a a x a x a x a x -=+++++，令1x =，得202220220122022(2)2a a a a +++⋅⋅⋅+=-=， 令1x =-，得2022012202120224a a a a a -+-⋅⋅⋅-+=，因为0242022+A a a a a =+++，1352021B a a a a =++++，所以202201220222A B a a a a +=+++⋅⋅⋅+=，2022012202120224A B a a a a a -=-+-⋅⋅⋅-+=，所以22202220226066()()242A B A B A B -=+-=⋅=，21．已知函数()ln f x ax x x =+的图象在e x =（e 为自然对数的底数）处取得极值. (1)求实数a 的值；(2)若不等式()()1f x k x >+恒成立，求k 的取值范围. 【答案】(1)2a =- (2)1k <-【分析】（1）由已知得出()e 0f '=，可求得实数a 的值； （2）由参变量分离法可得出ln 21x x xk x -<+对任意的0x >，利用导数求出函数()ln 21x x xg x x -=+在其定义域上的最小值，可得出实数k 的取值范围.【详解】(1)解：因为()ln f x ax x x =+，则()()1ln f x a x '=++，由已知可得()e 20f a '=+=，解得2a =-.此时，()ln 1f x x '=-，当0e x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 当e x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，故函数()f x 在e x =处取得极小值，合乎题意.因此，2a =-.(2)解：由（1）可得()ln 2f x x x x =-，该函数的定义域为()0,∞+，由()()1f x k x >+可得ln 21x x x k x -<+，令()ln 21x x x g x x -=+，其中0x >， 则()()()()()()22ln 11ln 2ln 111x x x x x x x g x x x -+--+-'==++.， 设()()ln 10h x x x x =+->，则()110h x x +'=>，所以，()h x 在()0,∞+上是增函数， 又因为()10h =，当01x <<时，()0h x <，即()0g x '<，此时函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0h x >，即()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，所以，()()min 11g x g ==-，故1k <-.22．已知函数()()2ln R f x ax x a =-∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)讨论函数()f x 的零点个数.【答案】(1)当0a ≤时，函数 ()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. (2)当2ea >时，函数()f x 没有零点； 当2ea =或0a ≤时，函数()f x 有1个零点； 当20ea <<时，函数()f x 有2个零点. 【分析】（1）对函数()2ln f x ax x =-，求导得出()22ax f x a x x -'=-=， 对a 进行分类讨论，根据导数和单调性的关系，即可求得函数()f x 的单调性. （2）由题意可知，函数()2ln f x ax x =-的零点个数转化为函数y a =与 ()2ln x g x x=图像交点的个数，分别作出两个函数的图像即可求解.【详解】(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞，()22ax f x a x x -'=-=. 当0a ≤时，0f x恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时，令0fx ，得20x a<<，令0f x ，得2x a >， 所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. (2)令2ln 0ax x -=，得()2ln 0x a x x =>. 令()2ln x g x x =，则()()221ln x g x x -'=， 令0g x ，得0e x <<；令0g x ，得e x >，所以函数()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减. 所以()()max 2e eg x g ==； 当0e x <<时，()2,e g x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭， 当e x >时，()0g x >，所以()20,e g x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以函数()g x 的图象如图所示，由图可得，当2e a >时，直线y a =与函数()g x 的图象没有交点，函数()f x 没有零点； 当2ea =或0a ≤时，直线y a =与函数()g x 的图象有1个交点，函数()f x 有1个零点； 当20e a <<时，直线y a =与函数()g x 的图象有2个交点，函数()f x 有2个零点.。

山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1. 在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）A. 散点图和残差图B. 残差图和列联表C. 散点图和等高堆积条形图D. 等高堆积条形图和列联表【答案】D【解析】【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断【详解】散点图是研究两个变量间的关系，列联表是研究两个分类变量的，残差图是体现预报变量与实际值间的差距，等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，故选：D2. 若，则（ ）A. 2B. 4C. 2或4D. 以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】根据组合数的性质求解．【详解】因为，所以或，即或．故选：C．3. 从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（ ）A. 10B. 20C. 25D. 32【答案】B【解析】【分析】用分步计数原理计算．【详解】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，第一步选一件礼物给甲，有5种不同方法，第二步选一件礼物给乙，有4种不同方法，总方法为．故选：B．4. 下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）A. 用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误B. 用独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误C. 独立性检验的方法适用普查数据D. 对于不同的小概率值，用独立性检验推断的结论相同【答案】B【解析】【分析】根据独立性检验的思想判断．【详解】A．独立性检验取决于样本，来确定是否有把握认为“两个分类变量有关系，样本不同，所得结果会有差异，不会犯错误的说法太绝对，A错；B．用独立性检验推断的每个结论都会犯随机性错误，B正确C．根据普查数据，我们可以通过相关的比率给出准确回答，不需要用独立性检验，依据小概率值推断两个分类变量的关联性，所以独立性检验的方法不适用普查数据，C错；D．对于不同的小概率值，结论可能不相同，有时有把握，有时无把握，把握率不同，D错误．故选：B．5. 以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可；【详解】解：根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以，，，，又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小，所以；故选：A6. 现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（ ）A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】A【解析】【分析】五张人民币可以组成的不同币值的种数分一张，两张，三张，四张，五张共五种情况，将五种情况的种数加和即可.【详解】根据题意，五张人民币可以组成的不同币值的种数为：,故选：A.7. 以下说法错误的是（ ）A. 用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强B. 经验回归方程一定经过点C. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好D. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好【答案】D【解析】【分析】根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度，当越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；对于B选项，经验回归方程一定经过样本中心点，故B正确；对于C选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；对于D选项，相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故错误.故选：D8. 已知随机变量X的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据期望与方差的性质计算可得；【详解】解：因为随机变量X的期望，方差，又，所以，；故选：C9. 除以8的余数为（ ）A. B. 1 C. 6 D. 7【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理求解，即，展开后观察各项值可得．【详解】，展开式中除最后一项外其他项都是8的整数倍，又，所以所求余数为7．故选：D．10. 某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩，规定成绩大于或等于85分为A等级，已知该年级有考生500名，则这次考试成绩为A等级的考生数约为（ ）（附：，，）A. 11B. 79C. 91D. 159【答案】B【解析】【分析】由正态分布求得等级学生的概率，从而可得样本容量．【详解】由题意，，人数为．故选：B．11. 有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设X表示这3支竹签的最小编号，则（ ）A. 4.5B. 2.5C. 1.5D. 0.45【答案】D【解析】【分析】由题意可能取得数值为：1，2，3，求出所对应的概率，再根据期望与方差公式计算可得；【详解】解：由题意可能取得数值为：1，2，3，所以，，所以．所以故选：D．12. 某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（ ）A. 18B. 48C. 50D. 54【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用分类加法计数原理求解即可.【详解】根据题意，当体育课排在第四节时，有种排法；当体育课不排在第四节，且数学课排在第一节或第二节时，有种；当体育课不排在第四节，且数学课不排在第一节或第二节时，有种；所以不同的排法共有：种，故选：C.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13. 已知随机变量，则______．【答案】3【解析】【分析】若X~B(n，p)，则E(X)＝np．【详解】∵，∴E(X)＝10×0.3＝3．故答案为：3．14. 已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加______．【答案】0.81 cm【解析】【分析】根据线性回归方程的意义作答．【详解】由回归方程知，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加0.81 cm．故答案为：0.81 cm．15. 长期吸烟可能引发肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式计算．【详解】事件为患肺癌，，事件为吸烟时间不超过20年，，则，，所以，，．故答案为：．16. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______．【答案】【解析】【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得；【详解】解：设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，所以，即，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，当时；故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （1）求的展开式的常数项；（2）求的展开式中的x的系数．【答案】（1）60；（2）－15.【解析】【分析】（1）求二项式的通项，令通项x的次数为零即可求解；（2）的展开式中的x的系数为.【详解】（1）的展开式的通项公式为，令，解得，则的展开式的常数项为；（2）的展开式的通项公式为则的展开式中的的系数为18.已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．（1）在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率；（2）求从乙袋取出白球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成有5个白球，5个黑球，由此易求概率；（2）把从乙袋取出白球这个事件分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球；从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，由概率公式可得．【小问1详解】在从甲袋取出白球的条件下, 乙袋中变成有5个白球，5个黑球，从乙袋取出白球的概率为；【小问2详解】从乙袋取出白球可分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球，和从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，所求概率为．19. 为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如下数据：抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的患者45名，其中25名治愈，20名未治愈．（1）根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的列联表；疗法疗效合计未治愈服用新药服用安慰剂合计（2）依据的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论．附：；0.100.010.0012.706 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）可以认为新药对治疗该种疾病有效【解析】【分析】（1）依题意完成列联表；（2）根据（1）中的列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可；【小问1详解】解：由题意可得新药和该种疾病的样本数据的列联表如下：疗法疗效合计未治愈服用新药451055服用安慰剂252045合计7030100【小问2详解】解：零假设：假设新药对治疗该种疾病无效，根据列联表中的数据，可得，根据小概率值的独立性检验，推断出不成立，即认为新药对该种疾病治疗，此推断犯错误的概率不超过，服用新药中治愈和未治愈的频率分别为和，服用安慰剂治愈和未治愈的频率分别为和，根据频率稳定于概率的原理，可认为服用新药治愈该疾病的概率大；说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．20. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有4个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）选择方案一【解析】【分析】（1）有放回地摸球，求出每次摸到红球概率为，然后由独立重复试验的概率公式计算概率；（2）由概率公式求得方案二的概率，比较可得．【小问1详解】有放回地摸球，每次摸到红球的概率都是，摸5次球，至少有4次是红球，含有恰好4次红球与5次都是红球，概率为；【小问2详解】无放回地一次摸出5个球，则得奖概率为,显然，所以选择方案一中奖概率大．21. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有3个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）方案二【解析】【分析】（1）由题意可知，一次摸出红球的概率为：，则连续摸5次中奖的情况包括3次红球，4次红球和5次红球，把三种情况的概率加和即可；（2）求出方案二中奖的概率和方案一比较即可作出选择.【小问1详解】根据题意，每一次摸出红球的概率为：，所以连续摸5次中奖的概率为：；【小问2详解】若无放回地一次摸出5个球，则中奖的概率为：,因为，所以小明应该选择方案二.说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．22. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x1234500.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345.518.9的近似值 3.2 5.810参考公式：，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算残差平方和比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345 y0.51 1.53 5.5.10.9 2.3 3.5 4.7－0按（2）可得：x12345.53 5.5y0.5110.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．23. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x12345.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用决定系数比较（1）和（2）中回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345的近似值 3.2 5.810.518.9参考公式：，，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345y0.51 1.53 5.5－0.1 1.1 2.3 3.5 4.7按（2）可得：x12345y0.51 1.53 5.50.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．。

2021-2022学年江苏省盐城中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量(1,0,1)a =-，(,0,22)b k k =-，若a 与b 互相垂直，则k 的值为（ ） A ．－1 B ．2 C ．23D ．1【答案】B【分析】根据a 与b 互相垂直，可得0a b ⋅=，再根据数量积的坐标运算即可得解. 【详解】解：因为a 与b 互相垂直， 所以0a b ⋅=，即()220k k --=，解得2k =. 故选：B.2．函数()12ln f x x x x=+-的单调递减区间是（ ） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()0,1【答案】D【分析】()f x 的定义域为()0,∞+，利用导函数求解即可. 【详解】由题，()f x 的定义域为()0,∞+，且()22211212x x f x x x x --'=--=， 令()0f x '=，则1x =或12x =-（舍去），所以当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 的单调减区间为()0,1， 故选：D3．为支援上海抗击新冠疫情，盐城市某医院欲从5名医生和3名护士中抽选3人(医生和护士均至少有一人)分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援(每个地区一人)，由于A 地区医生充足，故A 地区不再分配医生，则分配方案共有（ ） A ．120种 B ．200种 C ．216种 D ．224种【答案】A【分析】先分一名护士去A 地区，然后再分选择一名医生与一名护士和选择2名医生两种情况讨论，从而可得出答案.【详解】解：由题可知，A 地区需分得1名护士，有13C 种方法，此时分两种情况，再选择一名医生和一名护士，有112522C C A 20=方法，再选择2名医生，有2252C A 20=种方法，故一共有()111222352252C C A C A 120C +=种方法.故选：A.4．已知()3sin f x x x =-，()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先由函数的奇偶性排除B ，D ，再利用导函数判断函数单调性，即可得到答案. 【详解】由题，定义域为(),-∞+∞，则()()()()33sin sin f x x x x x f x -=---=-+=-， 所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除B ，D ；因为()23cos f x x x '=-，画出23y x =与cos y x =，如图所示，交于两点，所以当()1,x x ∈-∞，()2,x +∞时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<， 所以当()1,x x ∈-∞，()2,x +∞时，()f x 单调递增；当()12,x x x ∈时，()f x 单调递减， 故排除C ， 故选：A5．一袋中装有除颜色外完全相同的6个白球和4个黑球，如果不放回地依次摸取3个小球，则在前2次摸到白球的条件下，第3次还摸到白球的概率为（ ）A ．35B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】设A =“前2次摸到白球”，B =“第3次摸到白球”，分别得到()n A 和()n AB ，根据条件概率公式求解即可.【详解】在这3次摸球过程中，设A =“前2次摸到白球”，B =“第3次摸到白球”， 则()111658C C C 240n A =⨯⨯=，()111654C C C 120n AB ==，所以()()()12n AB P B A n A ==， 故选：C6．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高ζ(单位：cm)近似服从正态分布N (80，102)．已知X ~N (μ，σ2)时，有P (|x －μ|≤σ)≈0.6827，P (|X －μ|≤2σ)≈0.9545，P (|X －μ|≤3σ)≈0.9973．下列说法错误的是（ ） A ．该地水稻的平均株高约为80cmB ．该地水稻株高的方差约为100C ．该地株高低于110cm 的水稻约占99.87%D ．该地株高超过90cm 的水稻约占34.14% 【答案】D【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解． 【详解】解：根据正态分布的定义，故均值为80cm μ=，方差为210100=，故AB 正确； 该地株高低于110cm 的水稻所占概率()0.997330.50.9986599.87%2P X μσ<+=+=≈，即该地株高低于110cm 的水稻约占99.87%，故C 正确； 该地株高超过90cm 的水稻所占概率()10.68270.1586515.87%2P X μσ->+==≈，即该地株高超过90cm 的水稻约占15.87%，故D 错误. 故选：D.7．在常压下，六氟化硫是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构，如图所示．若此正八面体的内切球的半径为2，则它的棱长为（ ）A ．23B ．3C ．26D ．22【答案】C【分析】设棱长为a ，利用等体积法求解即可.【详解】设棱长为a ，则22221213228323V a a a ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， 解得26a = 故选：C8．若120e x x <<<，e 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）A ．1221e e x x x x >B ．2112ln ln x x x x <C ．2121e e ln ln x xx x ->-D ．2121e e ln ln x xx x -<-【答案】B【分析】利用导函数来判断函数单调性：利用函数()e xxf x =在()0,e 上的单调性可判断A 选项的正误；利用函数()ln xh x x=在()0,e 上的单调性可判断B 选项的正误；利用函数()e ln xg x x =-在()0,e 上的单调性可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，构造函数()e xx f x =，则()1e x xf x -'=，当01x <<时，()0f x '>；当1e x <<时，()0f x '<， 所以，函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,e 上单调递减，因为函数()f x 在()0,e 上不单调，无法比较()1f x 、()2f x 的大小，故A 错；对于B 选项，构造函数()ln x h x x=，则()21ln xh x x -'=，当0e x <<时，()0h x '>，所以()h x 在()0,e 上单调递增， 因为120e x x <<<，所以()()12h x h x <，即1212ln ln x x x x <，则2112ln ln x x x x <，故B 对； 对于CD 选项，构造函数()e ln x g x x =-，其中0e x <<，()1e xg x x'=-， 因为函数e x y =、1y x=-在()0,e 上均为增函数，故函数()g x '在()0,e 上为增函数，因为1202g ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()1e 10g '=->，所以，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当00x x <<时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减， 当0e x x <<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，所以，函数()g x 在()0,e 上不单调，无法比较()1g x 、()2g x 的大小，C 错，D 错. 故选：B 二、多选题9．下列说法正确的有（ ）A ．设随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝50，D (X )＝20，则25p =B ．设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若()1P p ξ>=，则()1112P p ξ-≤≤=-C ．若样本数据1210,,,x x x 的方差为3，则数据121021,21,,21x x x ---的方差为12D ．若从这10件产品(7件正品，3件次品)中任取2件，则恰好取到1件次品的概率730【答案】BC【分析】选项A. 由二项分布的期望和方差公式可求出p ，从而判断；选项B. 由正态分布曲线的对称性可判断；选项C. 由方差的性质可判断；选项D. 由古典概率可求解判断.【详解】选项A. 由随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，则()()()50,120E x np D x np p ===-=解得35p =，故选项A 不正确. 选项B. 由随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，则()()11P P p ξξ>=<-= 所以()()1112112P P p ξξ-≤≤=->=-，故选项B 正确.选项C. 样本数据1210,,,x x x 的方差为3则数据121021,21,,21x x x ---的方差为22312⨯=，故选项C 正确.选项D. 恰好取到1件次品的概率为1173210C C 217C 4515P === ，故选项D 不正确. 故选： BC10．下列结论中正确的有（ ） A ．610C ＋510C ＝511CB ．(2x －3)9＝a 0＋a 1(x －1)＋…＋a 9(x －1)9，则a 1＋a 2＋…＋a 9＝2C ．320－1不能被100整除D ．110C ＋310C ＋510C ＋710C ＋910C ＝29【答案】ABD【分析】根据组合数的性质即可判断A ；分别令2x =和1x =，即可判断B ；根据()10201031911011-=-=--，结合二项式定理即可判断C ；根据二项式定理的性质即可判断D.【详解】解：对于A ，由组合数的性质可得610C ＋510C ＝651111C C =，故A 正确； 对于B ，令2x =，则20911a a a a ++++=，令1x =，则01a =-， 所以1292a a a +++=，故B 正确；对于C ，()10201031911011-=-=--()()()91001019910101010101010110111C C C C =⋅+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅--()()()890101982210101010101101101C C C =⋅+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-，显然每一项都是100的整数倍， 所以320－1能被100整除，故C 错误；对于D ，110C ＋310C ＋510C ＋710C ＋910C 表示指数为10的二项式中偶数项的二项式系数之和，则110C ＋310C ＋510C ＋710C ＋910C ＝29，故D 正确. 故选：ABD.11．如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△CDE 是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若BC ⊥DE ，则平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC ⊥DE ，则直线EA 与平面ABCD 6C ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心，则BM ＝EN D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，则四棱锥E －ABCD 323【答案】ABD【分析】对于A ，利用线面垂直和面面垂直的判定定理即可判断；对于B ，取CD 的中点H ，连接,AH EH ，利用面面垂直的性质可得EH ⊥平面ABCD ，则EAH ∠即为直线EA 与平面ABCD 所成角的平面角，从而可判断；对于C ，分别求出,BM EN ，即可判断；对于D ，根据棱锥的体积公式计算即可判断.【详解】解：对于A ，因为BC ⊥DE ，,BC CD CD DE D ⊥⋂=， 所以直线BC ⊥平面CDE ， 又因BC ⊂平面ABCD ，所以平面CDE ⊥平面ABCD ，故A 正确； 对于B ，取CD 的中点H ，连接,AH EH ， 因为△CDE 是正三角形，所以EH CD ⊥，又平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面ABCD CD =，EH ⊂平面CDE ， 所以EH ⊥平面ABCD ，所以EAH ∠即为直线EA 与平面ABCD 所成角的平面角， 再Rt AEH 中，23,5,2EH AH AE ===，则236sin 42EH EAH AE ∠== 即直线EA 与平面ABCD 6B 正确； 对于C ，若平面CDE ⊥平面ABCD ，则224EN EA AN =+=，因为平面CDE 平面ABCD CD =，BC CD ⊥，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面CDE ，又CM ⊂平面CDE ，所以BC CM ⊥， 则2227BM BC CM =+=， 所以EN BM ≠，故C 错误； 对于D ，若平面CDE ⊥平面ABCD ， 由B 得，EH ⊥平面ABCD ，则132333E ABCD ABCD V S EH -=⋅=，故D 正确.故选：ABD.12．定义在()0,∞+上的函数()f x ，满足()e xf x =，则下列说法正确的有（ ）A ．()1f x x >+对任意()0,x ∈+∞恒成立B ．()0,1x ∈时，()ln f x y x=的图象位于x 轴下方 C ．()ln f x y x =有且只有两个极值点 D ．若()2245f x k x x x>-++恒成立，则2e 14k <+【答案】AB【分析】A ：()()1g x f x x =--，利用导函数判断单调性，即可判断选项A ；B ：由()0,1x ∈时e x ，ln x 的正负即可判断；C ：利用导函数判断即可；D ：整理不等式为22e 45x k x x x<+--，设()22e 45x h x x x x =+--，转化问题为求()h x 的最小值，即可判断.【详解】A ：因为()1f x x >+，即()10f x x -->，设()()1e 1xg x f x x x =--=--，则()e 1x g x '=-，所以在()0,x ∈+∞，()0g x '>，所以()0e 010g x >--=，故正确；B ：由题()e ln ln xf x y x x==，当()0,1x ∈时，e 0x >，ln 0x <，所以0y <，故正确； C ：设()e ln xF x x =，则()()()22e e ln e 1ln ln ln x xx x x F x x x x x ⋅-⎛⎫'==- ⎪⎝⎭， 令()0F x '=，则1ln x x=，如图所示，ln y x =与1y x=只有一个交点，设交点横坐标为0x ，因为当1x =时，1ln101=<，所以01x >，则()0,1x ∈，()01,x 时，()0F x '<；()0,x ∈+∞时，()0F x '>，故()ln f x y x=有且只有一个极值点，故错误； D ：()2245f x k x x x >-++恒成立，则22e 45x k x x x<+--恒成立，设()22e 45x h x x x x =+--，则()()243e e 2e 2422x x x x x h x x x x x ⎛⎫⋅-⋅'=+-=+- ⎪⎝⎭，令()0h x '=，则2x =，因为3e20xx+>，所以当()0,2x ∈时，()0h x '<；()2,x ∞∈+，()0h x '>， 所以()()22mine e 2485944h x h ==+--=-，所以2e 94k <-，故错误.故选：AB 三、填空题13．若拋掷4枚质地、大小完全一样的硬币，则正面向上的硬币枚数为1或者4的概率为________． 【答案】5160.3125 【分析】根据二项分布的概率公式即可求解【详解】设X 表示4枚硬币中正面朝上的硬币数量，则1~4,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()13141111C 1224P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()444114216P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，则11541616+=， 故答案为：51614．某市一水电站的年发电量y (单位：亿千瓦时)与该市的年降雨量x (单位：毫米)有如下统计数据：若由表中数据求得线性回归方程为y ＝0.004x ＋a ，由气象部门预估2022年的降雨量约为2000毫米，请你预测2022年发电量约为__________亿千瓦时． 【答案】9.5【分析】根据样本中心点求得ˆa，进而求得预测值. 【详解】解：1500140019001600210017005x ++++==，7.47.09.27.910.08.35y ++++==，所以ˆˆ8.30.0041700, 1.5a a =∴=⨯+， 所以0.00 1.ˆ45yx =+， 当2000x =，0.0042000 1.59.5ˆy=⨯+=亿千瓦时. 故答案为：9.515．数学中有一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称为“回文数”，如22，585，3443等．由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成5位“回文数”的个数为_________． 【答案】294【分析】依据回文数对称的特征，可知万位和个位数字相同，千位和十位数字相同，且万位数字不为0，进而求解. 【详解】依据回文数对称的特征，万位和个位数字相同，千位和十位数字相同，万位数字，从1，2，3，4，5，6中取一个，有6种选择； 千位数字，从0，1，2，3，4，5，6中取一个，有7中选择；百位数字，从0，1，2，3，4，5，6中取一个，有7中选择， 则有677294⨯⨯=， 故答案为：29416．当a ＞0时，若不等式2ln 1x ax bx ≤+-恒成立，则ba 的最小值是__________．【答案】1e-【分析】先将不等式转化为ln 1x ax b x +≤+，进而转化为ln 1()x f x x+=的图像恒在()g x ax b =+图像的下方，求出两个函数的零点，比较两个函数的零点得到1eb a ≥-， 且当()g x ax b =+恰为()f x 在1ex =处的切线时取得最小值，即可求解. 【详解】由题意知：0x >，由2ln 1x ax bx ≤+-可得ln 1x ax b x+≤+，即不等式ln 1x ax b x +≤+恒成立，令ln 1(),()x f x g x ax b x+==+， 易得()g x 为斜率大于0的一条直线，()0b g a-=；221(ln 1)ln ()x x x x f x x x ⋅-+-'==，当()0,1x ∈时，()0,()f x f x '>单增，当()1,x ∈+∞时，()0,()f x f x '<单减，又10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，要使不等式ln 1x ax b x +≤+恒成立，必有()g x 的零点与()f x 的零点重合 或者在()f x 的零点左侧，如图所示：故有1e b a -≤，解得1eb a ≥-，当且仅当()g x ax b =+恰为()f x 在1e x =处的切线时取等，此时ln 1()x f x x+=的图像恒在()g x ax b =+图像的下方， 即满足ln 1x ax b x +≤+恒成立，即2ln 1x ax bx ≤+-恒成立.又21()e ef '=，故()f x 在1e x =处的切线方程为221e ()e e e y x x =-=-，即2e ,e a b ==-时，ba 取得最小值1e -.故答案为：1e-.四、解答题17．（1）把6本不同的书分给3位学生，每人2本，共有多少种不同的分法? （2）学校组建了“数学建模社”和“数学文化社”，高二(8)班某小组共有9人参加，其中3人只参加“数学建模社”，4人只参加“数学文化社”，还有2人两个社团都参加了.现从中选出5人参加数学展示活动，其中2人展示“数学建模”，3人展示“数学文化”，共有多少种不同的选法? 【答案】（1）90；（2）124. 【分析】（1）先分组，后分配；（2）将被选取的多面手（参加两个社团的人）分类讨论.【详解】(1) 先将6本书平均分成3组，共22264233C C C 15A ⋅⋅=，再分配给三个学生3315A 90⋅=所以共有90种不同的分法；(2) ①无多面手（参加两个社团的人）参与展示数学建模：203326C C C 60⋅⋅=；②1个多面手参与展示数学建模：113325C C C 60⋅⋅=；③2个多面手参与展示数学建模：023324C C C 4⋅⋅=.所以共有60+60+4=124种选法.18．已知()*3nn x ⎫⎪⎭∈N 的展开式中前三项的二项式系数之和为22．(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)135 (2)921458x -【分析】（1）根据前三项二项式系数和求得n ，利用通项公式求解展开式中的常数项即可.（2）不妨设第k 项系数最大，利用最大项的系数不小于相邻两项的系数列式求出k 的取值范围，由k 为整数确定出k 的值，进而求出最大项.【详解】(1)由题意，3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式前三项的二项式系数和为22.前三项二项式系数和为：()0121C C C 1222n n n n n n -++=++=， 解得：6n =或7n =-(舍去)，即n 的值为6， 由通项公式3362166C (3)3C kkk kk k k T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令3302k-=,可得：2k =， 所以展开式中的常数项为 6223221613C 35T x -+==(2)设第k 项系数最大，则11661166C 3C 3C 3C 3k k k k k k k k --++⎧≥⎨≥⎩ 解之得172144k ≤≤ 因为Z k ∈，所以5k =，所以展开式中系数最大的项为 5515932251614583T C xx --+==19．如图，在三棱台ABC －111A B C 中，11124,BC B C BB ==＝B 1C 1＝C 1C=2，AB ⊥BC ，平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ．(1)证明：AB ⊥平面BB 1C 1C ；(2)若AB ＝2，则求二面角B －C 1C －A 的大小． 【答案】(1)见解析 (2)6π【分析】（1）在等腰梯形11BB C C 中，作1B D BC ⊥，利用勾股定理得到11B C B B ⊥，再利用面面垂直的性质定理得到1B C AB ⊥，即可得证.（2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面1ACC 与平面11BB C C 的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】(1)在等腰梯形11BB C C 中，作1B D BC ⊥，1111122BB B C C C BC ====，则1BD =，在1Rt BDB 中，111cos 2BD B BC BB ∠==，1Rt CDB 中，3DC =，解得123B C =， 22211B B B C BC ∴+=，即11B C B B ⊥由平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面11BB C C 1B B =，11B C B B ⊥1B C ∴⊥平面11AA B B 1B C AB ⊥∴AB BC ⊥，11,,BC B C C BC B C ⋂=⊂平面11BB C C AB ∴⊥平面11BB C C .(2)如图，在平面11BB C C 内，过点B 作BE BC ⊥，以B 为原点，以,,BA BC BE 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则11(2,0,0),(0,4,0),3),(0,13)A C C B1(2,4,0),(0,13)AC CC ∴=-=-设平面1ACC 的法向量为(,,)n x y z =，则100n AC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2400x y y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，则(23,n =平面11BB C C 的一个法向量为(1,0,0)m =则23cos ,12n m n m n m⋅==+⋅，所以结合图可知，二面角B －C 1C －A 的大小为6π.20．高校Q 为吸引更多优秀的大学本科生加入该校的研究生院进一步深造，在全国硕士研究生统考前，单独组织夏令营考试．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A ＋ABC 四个等级．若两科笔试成绩均为A ＋，则直接被该校提前录取；若一科笔试成绩为A ＋，另一科笔试成绩不低于B ，则要参加第二轮面试，面试通过也将被该校提前录取，否则均不能被该校提前录取．现甲、乙两人报名参加，两人互不影响．甲在每科笔试中取得A ＋ABC 的概率分别为23，16，112，112；乙在每科笔试中取得A ＋ABC 的概率分别为13，14，16，14，甲、乙在面试中通过的概率分别为34，35． (1)求甲需要参加第二轮面试的概率P 1； (2)求甲、乙都被高校Q 提前录取的概率P 2． 【答案】(1)13(2)125648【分析】（1）甲需要参加第二轮面试即笔试的成绩为一科笔试成绩为A ＋，另一科笔试成绩不低于B ，进而求解即可.（2）被高校Q 提前录取的情况有两种，分别求得甲、乙被高校Q 提前录取的概率，进而得到答案.【详解】(1)由题，甲需要参加第二轮面试，需满足笔试的成绩为一科笔试成绩为A ＋，另一科笔试成绩不低于B （且不为A ＋，即为A 或B ）1112221211C C 363123P =⨯⨯+⨯⨯= (2)甲被提前录取的概率为：221325333436⨯+⨯=，乙被提前录取的概率为：112211111135C C 333436518⎛⎫⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以甲、乙都被高校Q 提前录取的概率为22551253618648P =⨯= 21．火龙果的甜度一般在11－20度之间，现对某火龙果种植基地在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜度作对比，从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了200个火龙果，根据水果甜度(单位：度)进行分组，若按[11，12)，[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18)，[18，19)，[19，20]分组，旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如下所示．若规定甜度不低于15度为“超甜果”，其他为“非超甜果”．甜度[)11,12[)12,13[)13,14[)14,15[)15,16[)16,17[)17,18[)18,19)19,20⎡⎣频数10 16 24 20 32 28 36 24 10 新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表(1)设两施肥方法下的火龙果的甜度相互独立，记A表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度，新施肥方法下的火龙果的甜度低于15度”，以样本估计总体，求事件A的概率．(2)根据上述样本数据，列出2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关?(3)以样本估计总体，若从旧施肥方法下的200个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分，采用分层抽样的方法抽取5个，再从这5个火龙果中随机抽取3个，设“非超甜果”的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n＝a＋b＋c＋d．P(K2≥k0) 0.025 0.01 0.005 k0 5.024 6.635 7.879【答案】(1)0.14(2)列联表见解析，有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关． (3)分布列见解析，9()5E ξ=【分析】（1）首先根据频率分布表，计算新方法下的火龙果的甜度低于15度的频率、旧方法下的火龙果的甜度不低于15度的频率，再利用独立事件概率求()P A ； （2）由题意可得22⨯列联表，求计算2K ，再根据临界值，即可判断；（3）由题意可得随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，再利用超几何概率分布，求分布列和数学期望.【详解】(1)记M 表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”，N 表示事件：“新施肥方法下的火龙果的甜度低于15度”， 则有()()()()P A P MN P M P N ==．由频率分布直方图可知旧施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度的频率为(0.10.120.080.052)10.4+++⨯⨯=．由频数分布表可知新施肥方法下的火龙果的甜度低于15度的频率为101624200.35200+++=．故事件A 的概率为0.40.350.14⨯=． (2)依题意可得到列联表22400(1201307080)190210200200K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯500012.5317.879399=≈>， 故有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关．(3)旧施肥方法下的200个火龙果中，“非超甜果”为120个，“超甜果”为80个，按分层抽样的方法随机抽取5个，则抽取的“非超甜果”为3个，“超甜果”为2个，所以随机变量X 的所有可能取值为1，2，3.123235C C 3(1)C 10P ξ===，2313253(2)5C C P C ξ===，3335(3)110C P C ξ===，随机变量X 的分布列为数学期望3319()123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=． 22．已知0t ≥，函数()()22t f x x t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中()0,x ∈+∞．(1)函数()g x 满足()()g x f x '=，当0=t 时，()g x 的单调区间；(2)是否存在实数t 的值，使得对任意的()0,x ∈+∞，都有()0fx ≥恒成立，若存在，则求出t 的值；若不存在，则请说明理由；(3)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()014f x ≤-．【答案】(1)单调减区间：()0,1，单调增区间： ()1,+∞(2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析【分析】（1）当0=t 时，()2f x x =()()g x f x '=，则可根据()f x 的正负进而得到()g x 的单调区间；（2）转化问题为()202t x t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭的解集为()0,∞+，进而求解即可；（3）整理()()()ln f x x t x t =--，可判断其导函数为单调增函数，由（2）可得10e f ⎛⎫'≤ ⎪⎝⎭，()e 0t f '>，则()f x '在()0,∞+上有唯一零点0x ，即()f x 有唯一极值点0x ，再根据()00f x '=整理可得()()()2000020ln 1x x x f x x -=-+，通过分析法证明即可.【详解】(1)由题，当0=t 时，()2f x x = 因为()()g x f x '=，令()0g x '=，则1x =，所以当()0,1x ∈时，()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2)不存在，理由如下：对任意的()0,x ∈+∞，都有()0f x ≥恒成立，即()202t x t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭的解集为()0,∞+，则002x t t -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩或002x t t-≤⎧⎪⎨≤⎪⎩的解集为()0,∞+，所以2t =，即e t t =， 设()tg t e t =-，则()1t g t e '=-，当0t ≥时，()0g t '≥，所以()()01g t g ≥=，所以方程e t t =无解，故不存在实数t ，使得对任意的()0,x ∈+∞，都有()0f x ≥恒成立. (3)证明：0t ≥，()()()()2ln 2t f x x t x t x t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则()()()11ln ln 1tf x x t x t x t x x'=⨯-+-⋅=-+-，所以()f x '在()0,∞+上是增函数，由（2）可得，()1e 10e f t ⎛⎫'=-+≤ ⎪⎝⎭，()e 10e tt t f '=->，所以()f x '在1,e e t ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上有唯一零点0x ，即在()0,∞+上有唯一零点0x ，当00x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以()f x 有唯一极小值点0x ，且01,e e t x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()000ln 10t f x x t x '=-+-=，则00ln 1t x t x -=-，即()000ln 11x x t x +=+，01ex ≥，所以()()()()200000200ln 11x x x t f x x t x x -⎛⎫=--=- ⎪+⎝⎭， 要证()014f x ≤-，即证01e x ≥时，()()200020ln 141x x x x --≤-+，即证001ln 2x x ⎫-≥，因为)0000ln 21x x x x -=-≥-，只需证)01212x ⎫-≥，即证01x -≥，即证014x ≥，显然成立， 综上，()f x 有唯一极值点0x ，且()014f x ≤-【点睛】（1）对无法参变分离的恒成立问题，可进行分类讨论；（2）函数的极值点问题，即导函数的零点问题，可结合导函数的单调性，特殊点的导函数值，及零点存在性定理进行证明.。

2021-2022学年山东省滨州市邹平市第一中学高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．命题：“，”的否定为（ ）(),0x ∀∈-∞π4x x≥A ．，B ．，[)00,x ∃∈+∞00π4x x <[)00,x ∃∈+∞00π4x x ≤C ．，D ．，()0,0x ∃∈-∞00π4x x <()0,0x ∃∈-∞00π4x x ≤【答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的否定方法即可作出判断.【详解】含有一个量词的命题的否定，即先否定量词，后否定结论；命题：“，”的否定为“，”，(),0x ∀∈-∞π4x x ≥()0,0x ∃∈-∞00π4x x <故选：C.2．袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）A ．至少取到1个白球B ．取到白球的个数C ．至多取到1个白球D ．取到的球的个数【答案】B【分析】由离散型随机变量的定义即可得出结论.【详解】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B 选项，其中A 、C 选项是事件，D 选项取到球的个数是个，ACD 错误；2故选：B.3．已知集合，，则中元素的个数是{}2,3,4M ={}28120N x Z x x =∈-+<M N ⋃（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】首先求出集合中的元素，再利用集合并集进行运算{}28120N x Z x x =∈-+<即可求得元素个数.【详解】对于集合，{}28120N x Z x x =∈-+<，解得：28120x x -+<26x <<又，， x Z ∈ 3,4,5x ∴={}3,4,5N ∴=，共个元素，{}2,3,4,5M N = 4故选：C.4．在的展开式中，含的项的系数为（ ）()()()()45671111x x x x -+-+-+-4x A ．56B ．52C ．﹣56D ．﹣52【答案】A【分析】根据二项展开式通项，分别求出各个因式的含的项的系数，再进行运算即4x 可.【详解】二项式展开式的通项为：()1nx -()1C 1rr rr n T x +=-含的项的系数为：∴4x 44444567C C C C 15153556+++=+++=故选：A.5．一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）A ．X 表示取出的最小号码B ．若有放回的取球时，X 表示取出的最大号码C ． X 表示取出的红球个数D ．若有放回的取球时，X 表示取出的黄球个数【答案】C【分析】利用超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此判断四个选项，即可得到答案.【详解】对于A ，B ，D 不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A ，B ，D 错误；对于C ，将红球个数视作正品数，黄球个数视作次品数，则可以用超几何分布的数学模型计算概率.故选：C.6．某班级在一次数学知识竞赛答题活动中，一名选手从2道数学文化题和3道作图题中不放回的依次抽取2道题，在第一次抽到作图题的前提下第二次抽到作图题的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．31012625925【答案】B【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】记“第一次抽到作图题”为事件，记“第二次抽到作图题”为事件，A B ，()113425A A 123A 205P A ===()2325A 63A 2010P AB ===所以.()()()3110325P AB P B A P A ===故选：B.7．已如两个离散型随机变量，，满足，的分布列如下：ξη31ηξ=+ξξ012Pab16当时，（ ）A ．B ．C ．D ．5()23E ξ=()D η=1253209【答案】D【分析】运用分布列的性质以及期望公式求出与的值，再根据方差公式求方差，进a b 而求出.()D η【详解】由题意，，116a b ++= ()1201263E a b ξ=⨯+⨯+⨯=11,23a b ∴==则()22221212150123233369D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由31ηξ=+()()253959D D ηξ=⨯∴==故选：D.8．用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是（ ）（用数字填写答案）A ．24B ．48C ．72D ．120【答案】D【分析】根据图形的位置关系，由分类加法原理计算即可得答案.【详解】对图形进行编号如图所示：第一类：若区域⑥与区域④相同，涂区域⑤有方法，涂区域①有种方法，43涂区域④有种方法，涂区域③有种方法，涂区域②有种方法，221则不同的涂色方案的种数为：种；4322148⨯⨯⨯⨯=第二类：若区域⑥与区域④不相同，涂区域⑤有方法，4涂区域①有种方法，涂区域④有种方法，涂区域⑥有种方法，321再分类，若涂区域③和⑥一样，涂区域②有种方法；2若涂区域③和⑥不一样，涂区域②、③有种方法，1则不同的涂色方案的种数为：种；()43212172⨯⨯⨯⨯+=根据分类加法计数原理，共有种；4872120+=故选：D.二、多选题9．在二项式的展开式中，系数为有理数的项有( )5(2x A ．第一项B ．第三项C ．第四项D ．第五项【答案】ABD【分析】求出二项式的展开式通项，判断系数为有理数时r 的取值即可5(2x 1r T +判断有理项．【详解】二项式的展开式的通项为，5(2x 515C ((2)r r r r T x -+=⋅⋅则当r =0，2，4时，系数为有理数，故系数为有理数的项有第一项、第三项、第五项．故选：ABD ．10．若正实数，满足，则（ ）a b 4a b +=A ．B111a b +≤≤C ．D ．228a b+≥22log log 2a b +≥【答案】BC【分析】对于A ：根据题意得，再利用基本不1111244a b a b b a a b ab a b ++⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等式求解即可；对于B：根据题意得，再求解即可；22a b +=+≥对于C ：根据题意得D ：由22a b+≥=，再根据题意得，代入求解即可.a b +≥4ab ≤222log log log a b ab +=【详解】对于A ：，11111221444a b a b b a a b a b a b ⎛++⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当时等号成立，故A 不正确；2ab ==对于B ：，22a b +=+≥4≤，当且仅当时等号成立，故B 正确；≤2a b ==对于C ：，当且仅当时等号成立，故C228a b +≥===2a b ==正确；对于D ：因为，即，即，当且仅当4a b +=a b +≥4≤4ab ≤时等号成立，2a b ==，当且仅当时等号成立，故D 不正确.2222log log log log 42a b ab +=≤=2a b ==故选：BC.11．下列说法正确的是（ ）A ．个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，不同的放法有35种35A B ．个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子放球数量不限，不同的放法有种3553C ．个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，不同的放法有35种35C D ．个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有种53132C 【答案】ACD【分析】根据排列与分步计数原理可判断AB 选项；利用组合计数原理可判断C 选项；利用隔板法可判断D 选项.【详解】对于A 选项，个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个35球，即5个不同盒子中有三个盒子各放一个球，不同的放法有种，A 对；35A 对于B 选项，个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子放球数量不限，即每个球35有5种不同放法，不同的放法有种，B 错；35对于C 选项，个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，即只需35确定5个盒子中哪三个盒子有球，有不同的放法有种，C 对；35C 对于D 选项，个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，有两种放法，一53是有个盒子放三个其余各放一个，二是有个盒子放一个其余各放两个，共有种，D 对.111333C +C 2C 故选：ACD.12．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗打子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去．直到滚到底版的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则（ ）A ．小球从起点到第③个格子一共跳6次B ．小球从起点到第③个格子一共跳7次C ．小球落在第③个格子的概率为21128D ．小球落在第③个格子的概率为37128【答案】BC【分析】落在第③个格子的情况是下落过程中的次碰撞中，次向左，次向右，由752此能求出其落在第③个格子的概率.【详解】从入口放进一个白球，则落在第③个格子的情况是下落过程中的次碰撞中，次向左，次向右752而向左或向右的概率均为，12则向右的次数服从二项分布，小球落在第③个格子的概率∴P =25271121C 22128⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：BC.三、填空题13．设，“”成立的一个充分不必要条件是______．（写出一个即可）R x ∈1122x -<【答案】112x <<【分析】求出绝对值不等式解，再利用充分条件的定义求解作答.【详解】，，1122x -<01x ∴<<所以一个充分不必要条件的范围只需要比求出的范围小，可以是：.112x <<故答案为：112x <<14．一天有6节课，安排6门学科，其中数学课必须在第二或三节，则一天的课程表有______种排法.【答案】240【分析】利用特殊元素优先排的原则进行讨论，再利用分类加法计数原理求解即可.【详解】当数学课在第二节时，一天的课程表有种排法；55A 当数学课在第三节时，一天的课程表有种排法；55A 所以，一共有种排法.552A 240=故答案为：.24015．已知某批零件的长度误差X 服从正态分布，其密度函数()2,Nμσ的曲线如图所示，从中随机取一件，其长度误差落在内()()222,x x e μσμσϕ-=()6,3--的概率为______．（附：若随机变量服从正态分布，则，ξ()2,N μσ()0.6826P μσξμσ-<≤+=，）()220.9544P μσξμσ-<≤+=()330.9974P μσξμσ-<≤+=【答案】0.1359【分析】根据正态分布图特点，可以得到和的值，进而利用“”原则求解即可.μσ3σ【详解】由正态分布图特点，观察得：，，0μ=3σ=()()66220.9544P P ∴-<≤=-<≤+=ξμσξμσ()()330.6826P P -<≤=-<≤+=ξμσξμσ()0.95440.6826630.13592P -∴-<<-==ξ故答案为：.0.135916．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，1A 和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，2A 3A 以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是______．①事件，相互独立；②；③；④；⑤1A 2A ()315P A =()922P B =()2911P B A =．()159P A B =【答案】③⑤【分析】首先判断出，和是两两互斥事件，再判断与是1A 2A 3A ()12P A A ()()12P A P A ⋅否相等，可确定①；求出可判断②；利用全概率判断③；再利用条件概率判断()3P A ④⑤.【详解】依题意，，和是两两互斥事件，1A 2A 3A ，，()1515232P A ==++()2215235P A ==++()33352310P A ==++又，①②错误；()()()12120P A A P A P A =≠⋅ ∴又，，()()()11115525331112P BA P B A P A ⨯++=== ()()()22214454431115P BA P B A P A ⨯++===()()()3333441043431110P BA P B A P A ⨯++===()()()()()()()112233P B P B A P A P B A P A P B A P A =⋅+⋅+⋅，③正确，④错误；5141439112115111022=⨯+⨯+⨯=，⑤正确；()()()111552119922P A B P A B P B ⨯===故答案为：③⑤.四、解答题17．已知集合．{}123A x m x m =-≤≤+(1)当时，求，；2m =A B ()R A B⋂ (2)若，求实数的取值范围．A B A = m 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答.①函数．②不等式的解集为．y =B 811x <-B 注：如果选多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)，{}|79A B x x x 或=≤> (){}R |19A B x x x ⋂=或 (2)()(),110,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据题意分别求出集合和的解集，求解计算即可；（2）根据题意得A B ，再分和两种情况讨论求解即可.A B ⊆A =∅A ≠∅【详解】(1)选条件①：根据题意，当时，，，2m ={}17A x x =≤≤{}R|17A x x x =或 因为函数的定义城为集合，题即，解得或，y =B 21090x x -+>1x <9x >所以，{}|19B x x x =<>或所以，；{}|79A B x x x 或=≤> (){}R |19A B x x x ⋂=或选条件②：根据题意，当时，，，2m ={}17A x x =≤≤{}R |17A x x x =或 因为不等式的解集为，所以，即，解得或811x <-B 901x x -<-()()190x x --<1x <，所以，9x >{}|19B x x x =<>或所以，{}|79A B x x x 或=≤> (){}R |19A B x x x ⋂=或 (2)根据题意，不论选条件①和②，，若，则，分{}|19B x x x =<>或A B A = A B ⊆两种情况讨论：当时，有，解可得；A =∅123m m ->+4m <-当时，若有，则或，A ≠∅AB ⊆123231m m m -≤+⎧⎨+<⎩12319m m m -≤+⎧⎨->⎩解得或，41m -≤<-10m >综上可得，的取值范围是．m ()(),110,-∞-⋃+∞18．甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取．在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过35测试的概率是．45(1)甲单独答题三轮，求甲恰有两轮通过测试的概率；(2)在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率．【答案】(1)54125(2)710【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可；（2）利用条件概率以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可．【详解】(1)解：设“甲恰有两轮通过测试”为事件，则；A ()2233354C 155125P A ⋅⎛⎫⎛⎫⎪=⋅-=⎪⎝⎭⎝⎭(2)解：设“选中甲”为事件，“选中乙”为事件，“通过测试”为事件，B C D 根据题意得，，，，()()12P B P C ==()35|P D B =()45|P D C =则，()()()()()|1314725|2510P D P B P D B P C P D C =+=⨯⨯=⋅⋅+所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率．71019．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份20142015201620172018销量（万台）810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主624女性车主2总计30（1）求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与是否线性y x r y x相关；（2）请将上述列联表补充完整，并判断是否有的把握认为购车车主是否购置22⨯90%新能源乘用车与性别有关；参考公式：，，其中r =22()()()()()n ad bc k a b c da cb d -=++++，若，则可判断与线性相关.n a b c d =+++25≈0.9r >y x 附表：20()P K k ≥0．100.050.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【答案】（1），与线性相关（2）填表见解析，有90%的把握认为购车车0.94r ≈y x 主是否购置新能源乘用车与性别有关【解析】（1）计算出，，，，再代入相关x y 51()()iii x x y y =--∑521()ii x x =-∑521()ii y y =-∑系数公式计算可得；（2）依题意，完善表格计算出与参数数据比较可得.2K 【详解】解：（1）依题意，，2014201520162017201820165x ++++==810132524165y ++++==故51()((2)(8)(1)(6)192847iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，，521(411410ii x x =-=+++=∑521()643698164254ii y y =-=++++=∑则0.940.9r ===≈>故与线性相关.y x （2）依题意，完善表格如下：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主18624女性车主246总计2010302230(18426)15 3.75 2.70620102464K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.【点睛】本题考查利用相关系数判断两个变量的相关程度，以及独立性检验，考查计算能力，属于基础题.20．（1）若展开式中的系数是30，求m 的值；()1021⎛⎫++ ⎪⎝⎭x m x x 6x （2）求展开式中的有理项．61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）2m =-33660164,240,,x x x【分析】（1）求出的展开式的通项，再令和，结合题意可101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1024r -=1026r -=得出答案；（2）求出的展开式的通项，再令的指数为整数，从而可得出答案.61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 【详解】解：（1）的展开式的通项为，101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，[]0,10,Zr r ∈∈令，则，1024r -=3r =令，则，1026r -=2r =故展开式中的系数是，()1021⎛⎫++ ⎪⎝⎭x m x x 6x 321010C C 30m +=即，1204530m +=所以；2m =-（2）的展开式的通项为，61x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(()636621661C 12C kkkk kk kk T x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，[]0,6,Zk k ∈∈当时，为整数，0,2,4,6k =632k-所以展开式中的有理项为.61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭33660164,240,,x x x 21．某超市“五一”劳动节举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于400元，均可抽奖一次，她奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折，若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．(1)若甲、乙两顾客均消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．(2)若顾客丙消费恰好满800元，试比较说明该顾客选择哪种方案更划算．【答案】(1)；825(2)丙选择方案一更划算.【分析】（1）先求出每人享受折优惠的概率，再由独立事件的概率公式即可求解；6（2）若丙选择方案一，设其所需付的钱为，求出相应的概率，分布列以及数学期望X ，若丙选择方案二，设其所需付的钱为，求出数学期望，比较和()E X Z ()E Z ()E X 的大小即可做出选择.()E Z 【详解】(1)由题意，设顾客享受到6折优惠为事件A ，则()2326C 1C 5P A ==∴甲、乙两人其中有一人享受6折优惠的概率为．()()12118C 1215525P P A P A ⎛⎫=⋅⋅-=⨯⨯-=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(2)若丙选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为480，640，800．则，，．()2326C 1480C 5P X ===()113326C C 3640C 5P X ===()2326C 1800C 5P X ===故X 的分布列为X 480640800P153515∴（元）．()131480640800640555E X =⨯+⨯+⨯=若丙选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，则．800100Z Y =-由已知，可得，故，12,2Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()1212E Y =⨯=∴（元）．()()()800100800100800100700E Z E Y E Y =-=-=-=由上知：，()()E X E Z <故丙选择方案一更划算．22．垃圾分类，是指按一定标准将垃级分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称，分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，为争物尽其用.垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理.为了监测垃圾处理过程中对环境造成的影响，某大型垃圾处理厂为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年工厂的环境监测费用预算定为80万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外两套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个()01p p <<时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.(1)当时，求某个时间段需要检查污染处理系统的概率；13p =(2)若每套环境监测系统运行成本为20元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要6万元.现以此方案实施，问该工厂的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由.【答案】(1)；4181(2)不会超过预算，理由见解析.【分析】（1）利用互斥事件的概率加法计算公式和次独立重复试验的概率计算公式n 进行求解即可；（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的所有可能取值为60，100，利用次独立重复试验的概率计算公式和离散型随机变量的数学期望公式求n 出数学期望表达式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值即可.【详解】(1)设某个时间段在开启3套系统时就被确定需要检查污染源处理系统的事件为A ，则，()()2322332333331217C 1C C C 33327P A p p p ⎛⎫⎛⎫=-+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设某个时间段需要开启另外2套环境监测系统才能确定需要检查污染源处理系统的事件为B ，则．()()()12222113312120C 111C 1133381P B p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=---=--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为．72041278181+=(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的所有可能取值为60，100．且，．()()213100C 1P X p p ==-()()213601C 1P X p p ==--．()()()()2221133601C 1100C 1601201E X p p p p p p ⎡⎤=--+-=+-⎣⎦令，，()()21g p p p =-()0,1p ∈则，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--当时，，单调递增，10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g p '>()g p 当时，，单调递减，1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g p '<()g p 所以的最大值为．()g p 14327g ⎛⎫=⎪⎝⎭所以实施此方案的最高费用为（万元）．446900060120107627-⎛⎫++⨯⨯= ⎪⎝⎭因为，所以不会超过预算．7680<【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件的概率加法公式、次独立重复试验的概率n 计算公式、离散型随机变量的数学期望公式和利用导数判断函数的单调性求最值；通过构造函数，利用导数求最值是求解本题的关键.。

2021—2022学年度下学期期中考试高二试题数 学考试时间：120分钟 第 I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求) 1．已知数列{}n a 的前n 项和公式为222n S n n =+，则数列{}n a ( )A ．是公差为4的等差数列B ．是公比为2的等比数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列2．用数学归纳法证明22312222()n n n N +++++++<∈ 时，第一步需要验证的不等式是( )A ．412<B ．4122+<C ．241222++< D ．23412222+++<3．函数ln(cos )y x =-的导数是( )A ．1cos x-B ．1cos xC ．tan x -D ．tan x4.以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，其变换后得到线性回归方程21z x =+，则c =() A ．2 B C ．e D ．2e 5．做一个容积为8π立方米的圆柱形无盖(有底)水箱，为使用材料最省，它的底面半径r 为( ) A ．1米B 米C ．2米D ．6.已知数列{}n a 满足2()(2)2ln(()n n n n a n n n ⎧⎪+⎪=⎨+⎪⎪⎩为正奇数为正偶数，则数列{}n a 的前10项和为 ( )A ．8ln 69+B ．10ln 611+C ．10ln 211-D ．8ln 29-7.已知数列{}n a 满足：21(1)()nn n a a n n N ++-=-⋅∈, 12a = ，若存在n N +∈使得不等式22n n a λ⋅≥ 成立，则实数λ的取值范围是() A ．138λ≥-B ．1λ≥-C ．4332λ≥-D ．0λ≥8.若不等式2245(4)ln 0x x a x x x++-+-<对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.1a > B.1a ≥ C.0a > D.0a ≥二、多选题(本题共4小题，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分)9.下列选项错误．．的有( ) A.两个变量线性相关性越强，则相关系数||r 就越接近1. B.若1,,,,4x y z 成等比数列，则实数2y =±.C.线性回归方程对应的直线 y bxa =+ 至少经过其样本数据点中的一个点. D.函数321()13f x x x x =-++没有极值点. 10. 已知函数2()(1)xf x e x x =--，则下列选项正确的有( ) A.函数()f x 极小值为e -，极大值为25e. B.函数()f x 存在3个不同的零点.C.当[2,2]x ∈-时，函数()f x 的最大值为2e .D.当25e k e-<<时，方程()f x k =恰有3个不等实根. 11.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，141()n n S a n N ++=+∈，则下列选项正确的有( ) A.312a =. B.数列1{2}n n a a +-是等比数列. C.数列{}n a 的通项公式为2593()22n a n n n N +=-+∈. D.数列1{}n n a n+⋅的前10项和为1024. 12. 已知函数()ln(1),()(1)xf x x xg x e x a =+=-+，则下列选项正确的有( ) A.函数()f x 在原点(0,0)处的切线方程为0y =.B.存在实数(1,)x ∈-+∞，使得不等式()()g x f x ≥成立，则实数a 的取值范围是1a ≤-.C.当(0,)x ∈+∞时，不等式21ln(1)102x x x +--<恒成立. D.设12,x x R ∈且12x x ≠，若12()()g x g x =，则120x x +>.第 II 卷（非选择题，共90分）三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.设偶函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，且()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为3y x =，则(2)f '-=__________.14.小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为025.，则小李每年所要还款的钱数是 __________元. 15.已知定义在R上的函数3202373()(38982022f x x =-+，则1232022(()(()1949194919491949f f f f ++++= __________. 16. 已知函数2()|1|x x f x ee x +-=+++，则不等式(3)(21)f x f x +≥+的解集．．为__________. 四、解答题 (本题共6小题，共70分) 17.(本题10分)已知函数21()2ln ()2f x x ax x a R =--∈. (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若函数()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.18．(本题12分) 2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约200家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该200家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对200家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有100家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占1120，统计后得到如下22⨯列联表：销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计 线上销售时间不少于8小时 75 100 线上销售时间不足8小时 合计200(1)完成上面的22⨯列联表；(2)根据22⨯列联表，判断能否有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++ 2()P k χ≥ 0.10.05 0.01 0.005 k2.7063.8416.6357.87919．(本题12分)已知数列{}n a 满足：1(1)()n n a n a n N ++=+∈且11a =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列{}n b 满足：()1nn na b n N n +=∈+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 20．(本题12分) 在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度x (单位：℃)与反应结果y 之间的关系如下表所示：(1)求化学反应结果y 与温度x 之间的相关系数r (精确到0.01)； (2)求y 关于x 的线性回归方程；(3)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关，并预测当温度达到10℃时反应结果大约为多少.附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其回归直线 y bxa =+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1221,()ni i i nii x y nx ybay bx xn x ==-==--∑∑．相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑.2.646≈.21．(本题12分) 已知数列{}n a 满足115a =，且()*1131n n n n a a a a n ++--=∈N . (1)求2a ，3a ，并猜想{}n a 的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)的猜想结果；(3)设数列{}n b 满足(23)3()nn n b n a n N +=+⋅⋅∈，求数列{}n b ()n N +∈的前n 项和n S . 22. (本题12分)已知函数21()(1)ln ()2f x x a x a x a R =-++∈. (1)试比较ln(2022)e 与2022的大小关系，并给出证明；(2)设函数()ln 1()g x ax a x a R =-+∈，若函数()f x 的图像恒在函数()g x 的图像上方，求实数a 的取值范围；(3)函数()f x 在[1,]x e ∈上的最小值记为()m a ，求函数()m a 的值域.x2 4 6 8 y304050702021—2022学年度下学期期中考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题(每题5分，共40分)1—5 ADDCC 6—8 BAD二、多选题(每题5分，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分)9.BC ； 10.AC ； 11.AB ； 12.AC.三、填空题 (每题5分，共20分) 13、3-；14、6250；15、73；16、[2,2]-.四、解答题(共70分) 17.(本题10分)解(1)函数()f x 定义域为(0,)+∞，当1a =时，21()2ln 2f x x x x =-- 求导得2()1f x x x '=--，整理得：(2)(1)()x x f x x-+'=. -------------------2分由()0f x '>得2x >； 由()0f x '<得02x << 从而，函数()f x 减区间为：(0,2]，增区间为：[2,)+∞ -------------------4分 极小值为：(2)2ln 2f =-， -------------------5分 无极大值.-------------------6分(注：单调区间如果写成全开区间，不扣分)(2)由已知[1,)x ∈+∞时，()0f x '≥恒成立，即20x a x--≥恒成立， 即2a x x ≤-恒成立，则min 2()a x x≤-.-------------------8分 令函数2()(1)g x x x x =-≥，由22()10g x x'=+>知()g x 在[1,)+∞单调递增，-------------------9分从而min ()(1)1a g x g ≤==-.经检验知，当1a =-时，函数()f x 不是常函数，所以a 的取值范围是1a ≤-.-------------------10分 (注：第(2)问结果为1a <-的，扣1分；未检验1a =-不扣分)18．(本题12分)解(1)由题意分析可得：签约企业共200家，线上销售时间不少于8小时的企业有100家，那么线上销售时间不足8小时的企业有100家，每天的销售额不足30万元的企业占1120，共有111005520⨯=家.完成22⨯列联表如下：销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计 线上销售时间不少于8小时 75 25 100 线上销售时间不足8小时 45 55 100 合计12080200-------------------6分(2)由题意，得()222007555254512080100100χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯， -------------------7 分计算得218.75χ= (结果写成假分数754、近似为19、近似为18.8，以上情况只扣1分； 其它情况按错误处理，本档3分不给) -------------------10 分 由于18.757.879> -------------------11 分故有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关. -------------------12 分 (注：如果卡方结果错误，最后的2分不给； 如果临界值选错，最后的2分不给) 19．(本题12分)解(1)由已知1(1)()n n a n a n N ++=+∈以及11a =可知0n a ≠， 从而有11()1n n a n N a n ++=∈+， 根据累乘法得：32412311111(2)234n n a a a a a a a a n n-⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯≥ -------------------3分整理得：11(2)234!n a n n n ==≥⨯⨯⨯⨯ -------------------5分由于该式对于1n =也成立，于是数列{}n a 的通项公式为：1()!n a n N n +=∈ -------------------6分 (注：通项公式结果写成：1()123n a n N n+=∈⨯⨯⨯⨯ 的形式，不扣分)(2) ()1n n na b n N n +=∈+，1()!n a n N n +=∈∴(1)!n nb n =+-------------------7分即11!(1)!n b n n =-+-------------------9分 所以：123111111112!2!3!3!4!!(1)!11(1)!n nS b b b b n n n =++++=-+-+-++-+=-+ -------------------12分20．(本题12分) 解(1)由题意可得246854x +++==，3040507047.54y +++==，-------------------1分 144=601603005604547.5=130i ii x yxy =-+++-⨯⨯∑-------------------2分422222212246845=204()=ii xx =+++-⨯-∑-------------------3分4222222214()=30+40+50+70447.5875ii yy =--⨯=∑-------------------4分所以相关系数35r ===.-------------------5分2.646≈可得：0.98r ≈-------------------6分 (2)根据(1)数据得412222242214601603005604547.51306.5246845204i i i i i x y x yb x x==-+++-⨯⨯====+++-⨯-∑∑ ， -------------------8分 47.5 6.5515a y bx =-=-⨯= ， -------------------9分因此，回归直线方程为 6.515y x =+； -------------------10分(3) ∵ˆ 6.50b=>，∴x 与y 之间是正相关， -------------------11分 当10x =时，ˆ 6.5101580y=⨯+=，∴当温度达到10℃时反应结果大约为80. -------------------12分21．(本题12分) (1)237a =，359a = ，猜得：2123n n a n -=+ -------------------3 分 (2)证明：(i)1n =时，猜想成立， (ii)假设(1)n k k =≥时猜想成立，即2123k k a k -=+，-------------------4 分 则1n k =+时，由112121232331k k a a k k k k ++---+-=+， -------------------5 分 解得1212(1)1252(1)3k k k a k k +++-==+++，即1n k =+时猜想成立， -------------------6 分 综上，*n N ∈时，猜想成立，即2123n n a n -=+．-------------------7分 (3)由已知得(21)3nn b n =-⋅，-------------------8分 则23133353(21)3nn S n =⨯+⨯+⨯++-⨯ 记为①式23413133353(21)3n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯ 记为②式①式与②式相减得：2341232(3333)(21)3n n n S n +-=+++++-- -------------------9分整理得126(22)3n n S n +-=-+- -------------------11分所以1(1)33n n S n +=-+ -------------------12分(注：由于第(3)问依赖于第(2)问，如果第(2)问没有证明、证明错误、证明不完整，第(3)问结果即使正确，也要扣1分) 22. (本题12分) (1) ln(2022)2022e <.证明：令函数()ln 1(0)h x x x x =--> 求导得1()xh x x-'=， 由()0h x '>得(0,1)x ∈，即函数()h x 在(0,1]上单调递增； 由()0h x '<得(1,)x ∈+∞，即函数()h x 在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时等号成立，-------------------1 分 从而ln 202220221<-，即1ln 20222022+<，即ln(2022)2022e <. -------------------2 分 (注：如果结果正确，但未证明，给1分； 如果结果写成“ln(2022)2022e ≤”按错误处理) (2) 由已知(0,)x ∀∈+∞，()f x >()g x 恒成立， 即：21(1)ln ln 12x a x a x ax a x -++>-+恒成立， 整理得：2122ln 102x ax x a x --+->. 法1：令函数21()22ln 1(0)2F x x ax x a x x =--+->， 求导得：22(21)2(1)(2)()21a x a x a x x a F x x a x x x-++--'=--+== -------------------3 分①0a >时，由于3(1)202F a =--<，即()F x 无法恒大于0. 所以0a >不合题意. -------------------4 分 ②0a ≤时，易知()F x 在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增， 为使函数()0F x >恒成立，只需min ()(1)0F x F =>，由此解得：34a <-； 综上：34a <--------------------6分法2：212(ln )12a x x x x -<--， 由(1)证明过程得知ln 1x x x ≤-<，即ln 0x x ->，所以21122ln x x a x x --<-恒成立， -------------------3 分 令函数2112()(0)ln x x x x x xϕ--=>-， 则22221111(1)(ln )(1)(1)(1)(ln )(1)()22()(ln )(ln )x x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------'==-- 整理得22111(1)(ln 1)(1)(ln 1)22()(ln )(ln )x x x x x x x x x x x x x x ϕ---++--++'==--， -------------------4分 令函数1()ln 1(0)2x u x x x x=-++>， 则22211122()22x x u x x x x--'=--=， 由()0u x '<得(0,1x ∈，即函数()u x在区间(0,1上单调递减； 由()0u x '>得(1)x ∈+∞，即函数()u x在区间[1)++∞上单调递增， 所以函数()u x最小值为1(1ln(112u +=-++整理得(11ln(1u +=+-+，由已证不等式ln 1x x x ≤-<知：(10u >，即函数()u x 恒大于0. -------------------5 分 此时由()0x ϕ'<得(0,1)x ∈，即函数()x ϕ在区间(0,1]上单调递减； 由()0x ϕ'>得(1,)x ∈+∞，即函数()x ϕ在区间[1,)+∞上单调递增， 所以函数()x ϕ最小值为3(1)2ϕ=-，故322a <-，34a <-. -------------------6 分 (3) 由21()(1)ln ()2f x x a x a x a R =-++∈求导得2(1)(1)()()x a x a x x a f x x x-++--'==. ① 当1a ≤时，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值为1(1)2f a =--； -------------------7 分 ② 当1a e <<时，由()0f x '>得(0,1)(,)x a ∈⋃+∞，即函数()f x 在区间(0,1]和[,)a +∞上分别单调递增； 由()0f x '<得(1,)x a ∈，即函数()f x 在区间[1,]a 单调递减，所以函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值为21()ln 2f a a a a a =--+； -------------------8 分 ③ 当a e ≥时，函数()f x 在区间[1,]e 上单调递减， 所以函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值为2()(1)2e f e e a e =-+-. -------------------9 分 即：221(1)21()ln (1)2(1)()2a a m a a a a a a e e e a e a e ⎧--≤⎪⎪⎪=--+<<⎨⎪⎪-+-≥⎪⎩.易知当1a ≤时3()[,)2m a ∈-+∞； a e ≥时2()(,]2e m a ∈-∞-； -------------------10 分 当1a e <<时，21()ln 2m a a a a a =--+， 则()ln m a a a '=-，由(1)证明过程得知ln 1x x x ≤-<，即()0m a '<，所以函数()m a 在(1,)a e ∈上单调递减，此时23()(,22e m a ∈--，-------------------11 分 综上2233()(,(,[,)2222e e m a R ∈-∞-⋃--⋃-+∞=， 函数()m a 的值域为R . -------------------12 分第１１页，共１１页。

2021-2022学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学试题（A ）一、单选题1．已知函数2()f x ax b =+，若0()()lim 4x f a x f a x∆→+∆-=∆，则=a （ ）A ．2B ．2C ．2-D ．2±【答案】D【分析】分别利用导数定义和求导公式可得2()24f a a '==，即可得解. 【详解】根据导数定义可得0()()li (m )4x f a x f a f a x∆→'+-=∆=∆，又根据求导公式可得()2f x ax '=， 所以2()24f a a '==， 所以2a =±. 故选：D2．如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（ ）A ．3B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据已知条件及分步乘法计数原理，再结合分类加法计数原理即可求解. 【详解】由图可知，从甲村直接到到丙村的走法有2种， 从甲村到乙村再到丙村的走法有326⨯=种， 所以从甲村到丙村的走法共有628+=种. 故选: D.3．若R a ∈，“1a >”是“函数()()e x f x x a =-⋅在(1,)+∞上有极值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据已知条件及函数有极值，再利用充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意可知，()(1)e x f x x a '=-+⋅令()0f x '=，即(1)e 0x x a -+⋅=，解得1x a =-， 当1x a >-时，()0f x '>； 当1x a <-时，()0f x '<；所以函数()f x 在1x a =-处取得极小值， 因为函数()()e x f x x a =-⋅在(1,)+∞上有极值， 所以11a ->，解得2a >.所以“1a >”是“函数()()e x f x x a =-⋅在(1,)+∞上有极值”的必要不充分条件. 故选：B.4．函数()y f x =导函数()'f x 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的单调递增区间为(1,0)-B ．(3,)+∞为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在5x =处取得极小值D ．函数()y f x =在1x =处切线的斜率小于零 【答案】C【分析】利用导函数研究出()y f x =的单调区间，极值，即可判断. 【详解】由函数()y f x =导函数()'f x 的图象可知： x (,1)-∞--1 (1,3)-3 (3,5)5 (5,)+∞()'f x- 0 + 0 - 0 + ()f x单减极小值单增极大值单减极小值单增函数()y f x =的单调递增区间为(1,3)-，(5,)+∞.故A 错误，B 错误，C 正确.因为()y f x =在(1,3)-上单调递增，在1x =处导函数的值大于0，即切线的斜率大于零.所以D 错误. 故选： C5．已知函数321()223=-++f x x x x ，若存在满足003≤≤x 的实数0x ，使得曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线与直线100--=x my 平行，则实数m 的取值范围是（ ） A ．11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[2,6]C ．(,2]-∞D ．11,,62⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【分析】求导，根据某点处的切线斜率与导函数在该点处的函数值之间的关系，可得2000()42f x x x '=-++，根据两直线平行，斜率相等即可解m 的取值范围.【详解】由321()223=-++f x x x x 得2()42f x x x '=-++，则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率为2000()42f x x x '=-++，且()0f x '在002x ≤≤上单调递增，在02<3x ≤上单调递减，()()()0=2,2=6,3=5f f f '''，故()[]02,6f x '∈ 由题意得[]12,6m ∈，所以11,62m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故选:A6．定义：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()1()()f b f a f x b a -'=-，()2()()f b f a f x b a-'=-，则称函数()y f x =是在区间[,]a b 上的一个双中值函数．已知函数328()5=-f x x x 是区间[0,]m 上的双中值函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．48,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．88,155⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．80,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由3228()(0)8505m m f m f m m m m --==--，2()1635f x x x '=-， 即221605583x x m m --+=在[0,]m 有两解，解不等式8()015g(0)0g()0815g m m ⎧<⎪⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎪⎩即可得解.【详解】求导可得2()1635f x x x '=-，由3228()(0)8505m m f m f m mm m --==--， 所以22381556m x x m --=有两解，即221605583x x m m --+=在[0,]m 有两解， 令221685()35g x x x m m -+=-所以8()015g(0)0g()0815g m m ⎧<⎪⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎪⎩解得：4855m <<. 故选：B7．祖冲之是我国古代的数学家，他是世界上第一个将“圆周率π”精算到小数点后第七位，即3.1415926和3.1415927之间，它提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献．某教师为了帮助同学们了解π，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3的位置不变，那么可以得到大于3.15的不同数的个数为（ ） A ．328 B ．360 C ．2160 D ．2260【答案】C【分析】整体上用间接法求解，先算出1，4，1，5，9，2，6的这7位数字的随机排列的种数，注意里面有两个1，多了22A 倍，要除去，再减去不大于3.15的种数，不大于3.15的数只有小数点前两位为11，12或14，其他全排列.【详解】由于数字1，4，1，5，9，2，6中有两个相同的数字1，则进行随机排列可以得到的不同个数有7722A A ，而只有小数点前两位为11，12或14时，排列后得到的数字不大于3.15，故不大于3.15的不同个数有553A 种，所以得到的数字大于3.15的不同个数有：75752232160A A A -=种； 故选：C.8．设函数()2ln(1)1,()=+-'f x x f x 是()f x 导函数，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 有三个零点 B．ln 41< C ．()f x 的最大值是2ln32- D ．(0,2),()0∀∈>'x f x【答案】D【分析】首先求出函数的定义域，进而利用导数研究函数的图象与性质，结合选项逐项分析即可求出结果.【详解】因为()2ln(1)141f x x x =+-++，10140x x +>⎧⎨+≥⎩，即14x ≥-，所以定义域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 则2()114f x x x'=-++ ()()21421114x x x x+-+=++()()114114x x xx=+++++，令()0f x '=，则0x =或2x =，当1,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭和()2,+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,2x ∈时，()0f x '>，故D 正确； 当()0,2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；且(0)0f =，()(6)2ln7512ln742ln72f =-+=-=-，因为2e 7>，所以2ln 7ln e <，即ln72<，故(6)0f <， 则()f x 的图象如图：由图象可知：()f x 有2个零点，故A 错误；因为(1)2ln 2510f =>，所以2ln 251>，即ln 451，故B 错误； 13()2ln 144f -=+，(2)2ln32f =-且()13()22ln 12ln 3244f f --=+-+ln163=-+因为316e <，所以ln1630-+>，即()1()24f f ->，所以()2f 不是最大值，故C 错误；故选：D.【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 二、多选题9．下列求导过程正确的是（ ）A ．222'⎛⎫=- ⎪⎝⎭x x B ．'=C ．ln 1ln ln x a x a '⎛⎫=⎪⎝⎭ D ．33cos 33sin 322x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ【答案】ABC【分析】AC 选项结合导数的乘法运算法则即可判断；B 选项根据基本初等函数的求导公式即可判断；D 选项结合复合函数的求导法则即可判断.【详解】A 选项：因为()12212x x x x --'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭，所以222'⎛⎫=- ⎪⎝⎭x x ，故A 正确；B 选项：因为11221()2x x -''===B 正确；C 选项：因为()1ln x x '=，所以ln 1ln ln x a x a'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 正确； D 选项：因为()333cos 3sin 333sin 3222x x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππ，故D 错误；故选：ABC.10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e (1)x f x x -=⋅-，则（ ） A ．当0x <时，()e (1)x f x x =⋅+ B ．函数()f x 有2个零点C ．()0f x >的解集为(1,0)(1,)-⋃+∞D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 【答案】ACD【分析】根据奇函数关于原点对称，结合函数的单调性，通过图象，即可求解.【详解】②当0x <时，则->0x ，()()e 1xf x x -=⋅--,因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()()()e 1=e 1x xf x f x x x ⎡⎤=--=-⋅--⋅+⎣⎦，故A 对.②0x >时，令()()e 1=0xf x x -=⋅-,解得1x =，由()f x 是定义在R 上的奇函数，所以-1x =时()=0f x ，又(0)=0f ；故函数()f x 有3个零点，故B 不对.③0x >时，令()()e 1>0xf x x -=⋅-,解得1x >；0x <时，令()e (1)>0x f x x =⋅+，解得-1<0x <，故()0f x >的解集为(1,0)(1,)-⋃+∞，所以C 对.④当0x <时，()e (1)x f x x =⋅+，()e (2)x f x x '=⋅+，当-2<0x <时，0()>f x '，此时单调递增，当2x <-时，0()<f x '，此时单调递减，且当-x →∞时，()0f x →，-0x →时，()1f x →所以())2e ,1f x -⎡∈-⎣由()f x 是定义在R 上的奇函数，故当0x >时，()(21,e f x -⎤∈-⎦，因此对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，故D 对. 故选:ACD11．为提升学生劳动意识和社会实践能力，新华中学高二年级利用周末进行社区义务劳动．该校决定从高二年级共6个班中抽取20人组成社区服务队参加活动，其中6班有2个“劳动之星”，“劳动之星”必须参加且不占名额，每个班都必须有人参加，则（ ） A ．若6班不再抽取学生，则共有419C 种分配方法B ．若6班有除“劳动之星”外的学生参加，则共有519C 种分配方法 C ．若每个班至少有3人参加，则共有90种分配方法D ．若根据需要6班有4人参加，其余至少三人参加，则共有75种分配方案 【答案】AB【分析】AB 利用插空法求解判断；CD 利用分类计数原理求解判断.【详解】A.若6班不再抽取学生，则20个名额分配到5个班，且每个班至少1个，由插空法，将其分成5组，共有419C 种分配方法，故正确；B.若6班有除“劳动之星”外的学生参加，则20个名额分配到6个班，且每个班至少1个，由插空法，将其分成6组，则共有519C 种分配方法，故正确；C.若每个班至少有3人参加，相当于16个名额被占用，还有4个名额需要分配到6个班，分5类，第一类4个名额分到一个班，有6种，第二类一个班3个，一个班1个有26A 30= 种，第三类2个班都是2个名额则有2615C = 种,第四类2个班各1个名额，另一个班2个名额，则有1265C C 60= 种, 第五类4个班都是1个名额则有46C 15= 种,共有126种分配方法，故错误；D. 若根据需要6班有4人参加，其余至少三人参加，相当于17个名额被占用，还有3个名额需要分配到5个班，第一类3个名额分到一个班，有5种，第二类一个班2个，一个班1个有25A 20= 种，第三类3个班都是1个名额则有35C 10= 种,则共有35种分配方案，故错误； 故选：AB12．对于函数()ln f x x x =，下列判断正确的是（ ） A ．()1f x x ≤- B ．()()224f f '>'C ．当120x x >>时，()()()2212122m x x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则1mD ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】利用导数求出函数()()1g x f x x =-+的最小值，可判断A 选项；计算出()2f '、()4f '的值，可判断B 选项；分析可知函数()()22h x f x mx =-在()0,∞+上为减函数，可知ln 1+≥x m x对任意的0x >恒成立，利用导数法可判断C 选项的正误；分析可知直线2y a =与函数()ln 1x p x x+=在()0,∞+上的图象有两个交点（非切点），数形结合求出实数a 的取值范围，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，令()()1ln 1g x f x x x x x =-+=-+，其中0x >，()ln g x x '=，当01x <<时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增， 所以，()()10g x g ≥=，即()1f x x ≥-，A 错；对于B 选项，()ln 1f x x '=+，则()()222ln 22ln 42ln 414f f ''=+=+>+=，B 对；对于C 选项，由已知可得()()22112222f x mx f x mx -<-，构造函数()()2222ln h x f x mx x x mx =-=-，则()()12h x h x <，所以，函数()h x 在()0,∞+上为减函数，则()22ln 20h x x mx '=+-≤对任意的0x >恒成立，即ln 1+≥x m x对任意的0x >恒成立，令()ln 1x p x x +=，其中0x >，则()2ln x p x x'=-，令()0p x '=，可得1x =，列表如下：x()0,11()1,+∞()p x '+-()p x增 极大值 减所以，函数()p x 在1x =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 11p x p ==，则m 1≥，C 错；对于D 选项，()()22ln F x f x ax x ax x ==--，则()ln 12F x x ax '=+-，令()0F x '=，可得ln 12x a x+=， 则直线2y a =与函数()ln 1x p x x+=在()0,∞+上的图象有两个交点（非切点），如下图所示：当021a <<时，即当102a <<时，直线2y a =与函数()ln 1x p x x+=在()0,∞+上的图象有两个交点（非切点），D 对. 故选：BD. 三、填空题13．已知车轮旋转的角度θ（单位：rad ）与时间t （单位：s ）之间的关系为225()8t t πθ=，则车轮转动开始后第3.2s 时的瞬时角速度为_________rad/s ． 【答案】20π【分析】求导，然后将3.2代入导函数计算即可求出结果. 【详解】因为225()8t t πθ=，则25()4t t '=πθ，则25(3,2) 3.2204'=⨯=πθπ， 故答案为：20π.14．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2()sin '=+f x xf x π，则()f π'=________． 【答案】1【分析】求导以后令x π=，即可求出结果.【详解】因为()2()sin '=+f x xf x π，则()2()cos f x f x '+'=π， 令x π=，则()2()cos f f '=+'πππ，即()1f '=π， 故答案为：1.15．已知函数()e (1)ln(1)(1)x f x ax ax a x =---++，（e 为自然常数），若()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为_________． 【答案】(e,e 1]+【分析】由()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有意义，求得e a >，根据题意转化为()0f x '≥在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即e ln(1)10xa ax --+≥在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，设()e ln(1)1x g x a ax =--+，利用导数求得函数的单调性与最小值()1e ln(1)1g a a =--+，转化为e ln(1)10a a --+≥成立，设()e ln(1)1h a a a =--+，利用导数得到()h a 在(e,)+∞上单调递减，根据()e 10h +=，得到1a e ≤+，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有意义，则10ax ->在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，可得e a >，又由函数()e (1)ln(1)(1)x f x ax ax a x =---++，可得()e ln(1)1x f x a ax '=--+，因为函数()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即()0f x '≥在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即e ln(1)10x a ax --+≥在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，设()e ln(1)1xg x a ax =--+，可得()2e 1xa g x ax '=--，根据初等函数的性质，可得()g x '在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()()21e 01a g x g a '≤=-<-，所以()e ln(1)1xg x a ax =--+在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 且最小值为()1e ln(1)1g a a =--+，只需()10g ≥成立，即e ln(1)10a a --+≥成立，设()e ln(1)1h a a a =--+，其中e a >， 可得()01ah a a '=-<-，所以()e ln(1)1h a a a =--+在(e,)+∞上单调递减， 又由()e 10h +=，所以1a e ≤+， 综上可得，实数a 的取值范围是(e,e 1]+. 故答案为：(e,e 1]+. 四、双空题16．甲、乙、丙三位教师指导五名学生a 、b 、c 、d 、e 参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生．若每位教师至多指导两名学生，则共有________种分配方案；若教师甲只指导一名学生，则共有_______种分配方案． 【答案】 90 70【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分成3组，人数分别为(2，2，1)，②将分好的三组，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：①从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，②剩下4名学生分成2组，安排其余两位教师辅导，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分成3组，人数分别为(2，2，1)，有225322C C15A =种分组方法，②将分好的三组全排列，安排给三位教师，有33A 6=种情况，则有15690⨯=种分配方案； （2）根据题意，分2步进行分析：①从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，有5种情况，②剩下4名学生分成2组，安排其余两位教师辅导，有2232424222(C 4C C )A 1A +⨯=种情况， 则有51470⨯=种分配方案． 故答案为：90；70 五、解答题17．已知2x =是函数32()81=--+f x x ax x 的一个极值点． (1)求实数a 的值；(2)求函数()f x 在区间[4,3]-上的最大值和最小值． 【答案】(1)1a =(2)max min 203(),()4727f x f x ==- 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意(2)0f '=，即可得到方程，解得即可，再检验即可；（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的极值，再计算出区间端点值，即可得到函数在闭区间上的最值；【详解】(1)解：因为32()81=--+f x x ax x ，所以2()328f x x ax =--' 因为2x =是()f x 的一个极值点． 所以(2)0f '=，所以(2)12480='=--f a ，∴1a =，经检验，1a =符合题意． (2)解：由（1）可知32()81=--+f x x x x ，∴()(2)(34)=-'+f x x x令()0f x '>，解得43x <-或2x >，令()0f x '<，解得423x -<<，因为[4,3]x ∈-，所以()f x 在44,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，423,⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，(2,3)上单调递增，所以()f x 在43x =-处取得极大值，在2x =处取得极小值，又因为(4)47f -=-，4203327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(2)11f =-，(3)5f =-，所以max 203()27f x =，min ()47f x =-．18．已知函数()2ln f x x x =-． (1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)设()()(2),0g x f x a x a =+->，若(0,]x e ∈时，()g x 的最小值是2，求实数a 的值（e 是自然对数的底数）．【答案】(1)单调增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.当12x =时，()f x 取得极小值且为1()1ln 22f =+，无极大值．(2)实数a 的值是e .【分析】（1）求出()f x 的定义域，令导函数大于0，小于0，即可得函数()f x 的单调区间，再由极值的定义即可求得极值.（2）求出()g x 的导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用()g x 的最小值是2，即可求出a 的值.【详解】(1)()f x 定义域是121(0,),()2'-+∞=-=x f x x x，当()0f x '>时，12x >，当()0f x '<时，102x <<， 所以()f x 的单调增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.当12x =时，()f x 取得极小值且为1()1ln 22f =+，无极大值．(2)因为()()(2)ln =+-=-g x f x a x ax x ，所以11()ax g x a x x'-=-=， 当1e a≥，即10e a <≤时，()0g x '≤，所以()g x 在(0,e]上递减，所以()min ()1e 2e g x g a ==-=，解得3ea =（舍去），当10e a <<，即1e >a 时，当10x a<<时，()0g x '<，当1e x a <<时，()0g x '>，所以()min 11ln 2g x g a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得e a =．满足条件，综上，实数a 的值是e ．19．（1）计算：3477747842+-A A A A ．（2）已知56711710m m m C C C -=，求1236678++++++m m m m C C C C 的值． 【答案】（1）34；（2）126.【分析】（1）根据排列数的计算公式即可得解； （2）根据组合数的计算公式即可得解.【详解】（1）347774784247652765476543218765+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯A A A A 76543123765(43218)164⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯-．（2）由56711710m m m C C C -=可得!(5)!!(6)!7(7)!5!6!107!--⨯⨯--=⨯m m m m m m 即!(5)!(6)(5)!7(7)(6)(5)!5!65!10765!-⨯-⨯-⨯⨯----=⨯⨯⨯⨯m m m m m m m m m ， 可得(6)(7)(6)16106----=⨯m m m ，整理可得：223420m m -+=， 解得2m =或21m =，因为05m ≤≤，可得2m =，所以23453454556678778889126+++=++=+==C C C C C C C C C C ．20．已知函数()cos sin f x x x x =-． (1)当(0,2]x π∈时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若01b ≤≤，证明：当(0,]x π∈时，()cos sin ≤-f bx bx bx b x ．【答案】(1)函数()f x 在(0,]π上单调递减，函数()f x 在(,2]ππ上单调递增 (2)证明见解析【分析】（1）对函数()f x 求导后，；易得0x -<；又()0,x π∈时，sin 0x >，(),2x ∈ππ时，sin 0x <；结合判断()f x '在(]0,2π的符号情况，得到单调性；（2）欲证()cos sin ≤-f bx bx bx b x 即证sin sin 0-≥bx b x ；先讨论当0b =，1b =，显然式子成立；再讨论01b <<，则0bx x π<<≤，所以sin sin 0->bx b x 等价于sin sin 0bx b x bx bx ->，即证明sin sin bx xbx x >，构造函数sin (),(0,]=∈x g x x xπ，利用导数讨论()g x 的单调性，得出sin sin x bxx bx<即可. 【详解】(1)()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-，当(0,]x π∈时，()0f x '≤，所以函数()f x 在(0,]π上单调递减； 当(,2]x ππ∈时，()0f x '≥，所以函数()f x 在(,2]ππ上单调递增． (2)()cos sin =-f bx bx bx bx ，所以不等式化为cos sin cos sin -≤-bx bx bx bx bx b x ， 即证sin sin 0-≥bx b x ，当0b =，1b =时上述不等式显然成立． 当01b <<时，令sin (),(0,]=∈x g x x x π，则2cos sin ()x x xg x x -'=， 由（1）知函数()cos sin f x x x x =-在(0,]π上单调递减，而(0)0f =， 所以()cos sin (0)0=-<=f x x x x f ，所以()0g x '<，所以函数()g x 在(0,]π上单调递减， 又0bx x π<<≤，所以sin sin x bx x bx<，所以sin sin bx b x >，即sin sin 0->bx b x ． 综上，当(0,]x π∈时，()cos sin ≤-f bx bx bx b x ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不不等式，等价转化的数学思想、同构的数学思想等知识，属于中等题，常用方法有如下几种：方法一:等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略；方法二:比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明；方法三:利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立，本题欲证sin sin 0-≥bx b x 的关键在于对不等式作等价转换；因为0bx >，同时除以bx ，转换为：sin sinx bxx bx<不等式的证明. 21．自动着陆系统是引导航空器着陆的自动控制系统，是自动化飞行的重要标志，对飞行器的安全性起着重要的作用．在研制自动着陆系统时，技术人员需要分析研究飞行器的降落曲线．如图一飞行器水平飞行的着陆点为原点O ，已知航空器开始降落时的飞行高度为4.5km ，水平飞行速度为360km/h ，且在整个降落过程中水平速度保持不变．出于安全考虑，飞行器垂直加速度的绝对值不得超过110g （此处210m/s g ≈是重力加速度）．若飞行器在与着陆点的水平距离是0x 时开始下降，飞行器的降落曲线是某三次多项式函数的一部分，飞行器整个降落过程始终在同一个平面内飞行，且飞行器开始降落和落地时降落曲线均与水平方向的直线相切．(1)求飞行器降落曲线的函数关系式；(2)求开始下降点0x 30 5.4761≈）． 【答案】(1)[]3203200900013500(),0,=-+∈f x x x x x x x (2)开始下降点0x 所能允许的最小值为16428m【分析】(1)根据题意列方程，求出函数()f x 的解析式；(2)根据相应的物理知识以及题目所给的限定条件即可求出0x 的最小值. 【详解】(1)由于飞行器的若陆点为原点O ，故可设飞行器的降落曲线为32()f x ax bx cx =++，根据题意得()()()004500000f x f f x ⎧=⎪=⎨⎪='⎩' 所以3200020045000320ax bx cx c ax bx c ⎧++=⎪=⎨⎪++=⎩， 解得30209000013500a x c b x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，飞行器降落曲线的函数关系式为[]3203200900013500(),0,=-+∈f x x x x x x x ； (2)设飞行器经过降落时间t 后与若陆点的水平距离为00=-x x v t （0v 为水平速度， 且0360km /h 100m /s ==v ）， 则()()320000032000900013500,0,⎡⎤=--+-∈⎢⎥⎣⎦x y x v t x v t t x x v ， 所以垂直下降速度()22000327000()==-'v v t y v t x t x ， 所以垂直下路加速度()()2220000000320002700027000()2,0,'⎡⎤⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣'⎦v v x v t v t x t v t x t x x v ， 所以飞行器的垂直加速度绝对值的最大值为2002max0027000()⎛⎫== ⎪⎝''⎭x v v t v v x ， 所以()22002027000100m /s,10m /s 10≤=≈v gv g x，解得016428m ≥≈x ， 所以飞行器开始下降点0x 所能允许的最小值为16428m ； 综上，[]3203200900013500(),0,=-+∈f x x x x x x x ，0x 所能允许的最小值为16428m . 22．已知函数()()2e 2e x xf x k k x =+--．(1)若函数()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线与y 轴垂直，求实数k 的值和()f x 的极值； (2)当0k >时，若函数()f x 有两个零点，求实数k 取值得范围． 【答案】(1)1k =，()0f x =极小，无极大值； (2)(0,1)【分析】（1）首先利用切线与y 垂直得出斜率为0，利用导数的几何意义得出方程式，求出k ，再根据导函数的正负得出原函数的增减以及极值情况.（2）根据函数的单调性求出最小值，再判断最小值与0的大小关系，可确定函数与x 轴的交点情况，即是函数的零点，找出有两个零点的k 的取值范围.【详解】(1)函数()f x 的定义域为R ，()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x k k k =+--=-+'，由题意知(0)0f '=，得10k -=，所以1k =．所以()()()e 12e 1x xf x =-+'，当0x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当0x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当0x =时，函数()f x 取得极小值，()0f x =极小，无极大值．(2)由（1）知()()()e 12e 1x xf x k =-+'，由题设知0k >，当ln x k >-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当ln x k <-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当ln x k =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln -=-+f k k k． ①当1k =时，由于(ln )0-=f k ，故()f x 只有一个零点； ②当1k >时，由于11ln 0-+>k k，即(ln )0->f k ，故()f x 没有零点； ③当01k <<时，11ln 0-+<k k，即(ln )0-<f k ， 又()()4222e 2e 22e 20f k k ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )-∞-k 有一个零点．设正整数0n 满足03ln 1⎛⎫>- ⎪⎝⎭n k ，则()()00000000e e 2e 20n n n nf n k k n n n =+-->->->，由于3ln 1ln ⎛⎫->- ⎪⎝⎭k k ，所以()f x 在(ln ,)-+∞k 有一个零点．综上，k 的取值范围为(0,1)．。

2021-2022学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3712a a +=，89a =，则12S =（ ） A ．60 B ．90 C ．120 D ．180【答案】B【分析】结合等差数列的性质求得5815a a +=，再根据等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为3712a a +=，由等差数列的性质得35762a a a +==，则5815a a +=， 所以()()1121258126902a a S a a ⨯+==⨯+=．故选：B.2．等比数列{an }中，若a 5＝9，则log 3a 4+log 3a 6＝（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9【答案】C【分析】利用等比中项得到4681a a ＝，直接求得.【详解】等比数列{an }中，若a 5＝9，所以54681a a a 2＝＝， 所以()23436353log log log log 814a a a +==＝. 故选：C3．下列导数计算正确的是（ ） A ．2ln 1ln x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2311x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()ln e e '+=+x x x xD ．()cos cos sin x x x x x '=-【答案】D【分析】利用求导公式计算. 【详解】对于A ：()222ln 1111ln 1ln ln ln ln '''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=⋅=⋅+⋅=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x x x x x x x x xx x 故A 错误； 对于B ：()2323122--'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭x x x x 故B 错误﹔ 对于C ：()()()1ln ln e e e '''+=+=+xxxx x x故C 错误； 对于D ：()()cos cos cos cos sin x x x x x x x x x '''=+=-故D 正确. 故选：D4．已知函数()2e x f x ax =-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,2]-∞C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求导，根据导数在给定区间上恒大于等于0即可求解.【详解】'()2e x f x a =- ，因为函数()2e x f x ax =-在[0,)+∞上单调递增， 所以'()2e 0x f x a =- 在[0,)+∞上恒成立，解得2a ； 故选：B.5．若数列{}n a 满足：11a =，且13,21,n n n a n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数为偶数.则7a =（ ）A ．19B ．22C ．43D ．46【答案】C【分析】直接由递推关系式求解即可.【详解】由11a =得2134a a =+=，32217a a =-=，43310a a =+=， 542119a a =-=，56322a a =+=，672143a a =-=.故选：C.6．设2tan 92,,a b c e ππ===，则a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c【答案】B【分析】根据正切函数，指数函数，幂函数的单调性比较a b c ，，的大小，由此确定它们的大小关系.【详解】解：∵92︒是第二象限角，∴tan920a =︒<， 又∵34π<<，函数2yx 在()0+∞，上单调递增，函数x y e =在R 上单调递增，所以2234e e ππ<<<，所以c b a >>， 故选：B.7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）A ．66B ．91C ．107D ．120【答案】D【分析】根据数列的规律得到第n 个叠放图形中共有n 层，构成等差数列求解. 【详解】因为图1有1个小正方体，图2有1+5=6个小正方体，图3有1+5+9=15个小正方体，归纳可得：第n 个叠放图形中共有n 层，构成以1为首项，以4为公比的等差数列， 所以第n 个叠放的图形中小正方体木块的总数是()21422n n n S n n n -=+=-，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是28288120S =⨯-=， 故选：D8．已知函数f (x )＝x 3+ax 2+bx +c ，下列结论中错误的是（ ） A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 【答案】C【分析】由已知结合函数的值域，对称性，极值即可求解． 【详解】由三次函数值域为R 知f (x )=0有解，故A 正确；∵23a f x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭f （x ）32222()()333a a a x a x b x c ⎛⎫=--+--+--++ ⎪⎝⎭x 3+ax 2+bx +c 342273ab a =-+2c ，3232()()3333273a a a a ab f a b c a c ⎛⎫⎛⎫-=-+-+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵23a f x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭f （x ）23a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴点P 33a a f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为对称中心，故B 正确； 若f (x )有极小值点，则f ′(x )=0有两个不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)，f ′(x )=3x 2+2ax +b =3(x －x 1)(x －x 2)，则f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，+∞)上单调递增，即x 0=x 2，故C 错误；若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)=0正确，故D 正确. 故选：C. 二、多选题9．已知等差数列{an }的公差为d ，前n 项和为Sn ，且91011S S S =<，则（ ） A ．d ＜0 B ．a 10＝0 C ．S 18＜0 D ．S 8＜S 9【答案】BC【分析】由91011S S S =<，得100,0d a >= ，判断出A,B 选项，再结合90a <，11818118910918()9()9()92a a S a a a a a +==+=+=判断C 选项，再根据等式性质判断D 选项 【详解】910S S = ，101090a S S ∴=-= ，所以B 正确 又1011S S < ,111110100a S S a d ∴=-=+> ,0d ∴> ,所以A 错误 1090,0,0a d a =>∴<11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<，故C 正确 9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选：BC10．下列不等式正确的是（ ） A ．当x ∈R 时，1x e x ≥+ B ．当0x >时，ln 1≤-x x C ．当x ∈R 时，x e ex ≥ D ．当x ∈R 时，sin x x ≥【答案】ABC【解析】构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.【详解】对于A ：设()1x f x e x =--，则()1x f x e =-'，令()0f x '=，解得0x =， 当(,0)x ∈-∞时函数单调递减，当(0,)x ∈+∞时，函数单调递增，所以函数在0x =时，函数取得最小值()(0)0min f x f ==，故当x ∈R 时，1x e x +，故A 正确；对于B ：设()ln 1f x x x =-+，所以1(1)()1'--=-=x f x x x， 令()0f x '=，解得1x =，当(0,1)x ∈时，函数单调递增，当(1,)x ∈+∞时，函数单调递减， 所以在1x =时，max ()f x f =（1）0=，故当0x >时，1lnx x -恒成立，故B 正确； 对于C ：设()x f x e ex =-，所以()x f x e e '=-，令()0f x '=，解得1x =，当(,1)x ∈-∞时，函数单调递减，当(1,)x ∈+∞时，函数单调递增，所以当1x =时，min ()f x f =（1）0=，所以当x ∈R 时，x e ex ，故C 正确；对于D ：设函数()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-，所以()f x 是定义在R 上单调递增的奇函数，所以0x >时，sin x x 成立，0x <时，()0f x <，故D 错误． 故选：ABC11．已知数列{}n a 中的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，都有1n n a S +≤，则称{}n a 为“和谐数列”，下列结论，正确的有（ ） A ．常数数列为“和谐数列” B ．12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“和谐数列”C ．{}21n +为“和谐数列”D ．若公差为d 的等差数列{}n a 满足：{}n a n +为“和谐数列”，则1a d +的最小值为-2 【答案】BD【分析】根据给定“和谐数列”的定义，对各选项中的数列逐一分析计算即可判断作答. 【详解】对于A ，数列{}n a 中，令n a c =(c 为常数)，n S nc =，当c <0时，322a c c S =>=，此时的常数数列不为“和谐数列”，A 不正确； 对于B ，数列{}n a 中，令12n n a =，则112n n S ，111113110222n n n n n S a +++-=--=->，即1n n a S +≤成立，B 正确；对于C ，数列{}n a 中，令21n a n =+，3(21)(2)2n n n S n n ++=⋅=+，2153a S =>=，{}21n +不是“和谐数列”，C 不正确；对于D ，令n n b a n =+，则11(1)()1n n n n b b a n a n d ++-=++-+=+，数列{}n b 是首项为11a +，公差为1d +的等差数列，其前n 项和为n T ，则1(1)(1)(1)n b a n d =++-+，因{}n b 是“和谐数列”，于是有n *∈N ，1n n b T +≤，即有21b T ≤，1121a d a ++≤+，从而得1d ≤-，又111(1)1(1)(1)(1)2n n n n b a n d T n a d +-=+++≤=+++，即211(1)(213)(22)0d n a d n a ++---+≥对n *∈N 恒成立，若1d =-，则有1(1)(1)0a n +-≥对n *∈N 恒成立，必有110a +≥，即11a ≥-，12a d +≥-，因此，1min ()2a d +=-，若1d <-，则211(1)(213)(22)d n a d n a ++---+对应的是开口向下的抛物线211(1)(213)(22)y d x a d x a =++---+在x 取正整数时的函数值，由二次函数性质知，当正整数n 足够大时，211(1)(213)(22)d n a d n a ++---+的值是负数，211(1)(213)(22)0d n a d n a ++---+≥不成立，从而只有1d =-，且11a ≥-，1a d +的最小值为-2，D 正确. 故选：BD12．定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立.下列结论正确的是（ ）A ．()()22315f f ->B ．若()12f =，1x >，则()21122f x x x >++C ．()()3217f f -<D ．若()12f =，01x <<，则()21122f x x x >++【答案】CD【解析】构造函数()()21f x xg x x -=+，然后求导，可得到函数()g x 的单调性，然后根据单调性判断所给选项的正误.【详解】构造函数()()21f x xg x x -=+，则()()()()()()()()()2222211211f x x x f x x x f x f x x x g x x x '⎡⎤⎡⎤-+--'+---⎣⎦⎣⎦'==++ 因为()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立，所以()()()()()221201x f x f x x x g x x '+---'=<+在()0,x ∈+∞上恒成立，即()g x 在()0,∞+上递减，所以()()21g g <，即()()241132f f --<，整理得：()()22315f f -<，故A 错； 所以()()31g g <，即()()391142f f --<，整理得：()()3217f f -<，故C 正确； 对于B 选项，若()12f =，1x >，则()()1g x g <在()1,+∞恒成立，所以()()2111122f x x f x --<=+整理得：()21122f x x x <++，所以B 错；对于D 选项，当01x <<时，()()1g x g >，则可得()21122f x x x >++，故D 正确.故选：CD.【点睛】本题考查利用构造函数，利用函数的单调性判断不等式是否成立的问题，难度一般. 三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =-+，则数列{}n a 的第6项是________．【答案】9【分析】依据数列的前n 项和与通项的关系即可求得第6项的值.【详解】22665(6261)(5251)25169a S S =-=-⨯+--⨯+=-=．故答案为：914．若数列{}n a 的通项公式为n a n =-__________．【答案】12-【详解】t =，则27y t t =-，对称轴72t =，由复合函数的单调性性质可知，n a 在490,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，49,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，又n 为整数，则当12n =时，12n a =-13n =时，13n a =-因为1213-<-12-点睛：数列是特殊的函数，本题将数列通项式看做函数，观察函数的性质，得到数列的相关性质．本题中利用复合函数的单调性性质，得到数列n a 在490,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，49,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，再根据n 为整数，计算1213,a a ，比较大小即可． 15．已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线e x b y -=相切，则14a b+的最小值是________．【答案】9【分析】根据题意设直线y x a =+与曲线e x b y -=的切点为()00,x y ，进而根据导数的几何意义得00,1,1x b y a b ==+=，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：根据题意，设直线y x a =+与曲线e x b y -=的切点为()00,x y ， 因为()'e e x b x b y --'==，直线y x a =+的斜率为1k =，所以0e 1x b k -==，00y x a =+，00e x by -=所以00,1,1x b y a b ==+=， 因为0,0a b >>所以()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当223b a ==时等号成立.所以14a b+的最小值是9.故答案为：916．设函数222e 1e (),()e +==x x x xf xg x ，对任意12,(0,)x x ∈+∞，不等式12()()1>+f x g x k k 恒成立，则正数k 的取值范围是_____． 【答案】1k > 【分析】将不等式12()()1>+f x g x k k恒成立转化为min max ()()1f x g x k k >+，接下来求(),()f x g x的最小值与最大值，列出关于k 的不等式，解k 即可 【详解】对任意12,(0,)x x ∈+∞，不等式12()()1>+f x g x k k恒成立 min max()()1f x g x k k ⇒>+由2e (1)()0e xx g x -'== ，得1x = ，(0,1)x ∴∈ 时，()0g x '> ，()g x 在(0,1) 上递增(1,)x ∈+∞ 时，()0g x '< ，()g x 在(1,)+∞ 上递减 max ()(1)eg x g k k k== 由222e 1()0x f x x -'== ，得1e x = 1(0,)e x ∴∈ 时，()0f x '<，()f x 在1(0,)e上递减1(,)ex ∈+∞ 时，()0f x '>，()f x 在1(,)e +∞ 上递增min1()()2e e 111f f x k k k ==+++ 由min max ()()1f x g x k k >+即2e e1k k>+ ，又因为k 为正实数 解得1k > 故答案为：1k > 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，111a =-，29a =-，且 11222n n n S S S n +-+-=≥（）(1)求数列{an }的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，数列{bn }的前n 项和为Tn ，求使得Tn ＞0的n 的最大值． 【答案】(1)an ＝2n ﹣13 (2)5【分析】（1）消去Sn 得到an +1﹣an ＝2，即可判断出{an }是公差为2的等差数列，求出通项公式；（2）利用裂项相消法求出111211211n T n ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，列不等式即可求解.【详解】(1)由题意知（Sn +1﹣Sn ）﹣（Sn ﹣Sn ﹣1）＝2， 解得an +1﹣an ＝2（n ≥2）， 又a 2﹣a 1＝2，所以{an }是公差为2的等差数列， 则an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2n ﹣13； (2)由题知1111()(213)(211)2213211n b n n n n ==-----，则121111111211997213211111211211111211211n nT b b b n n n n =+++⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭⎛⎫=- ⎪--⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭由0n T >得11201121111(211)n n n +=<--， 解得1102n <<， 所以n 的最大值为5．18．设数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)212n n a -=(2)21(31)229n n n S +-⨯+=【分析】（1）由递推公式结合累加法可得答案；． （2）利用错位相减求和可得答案．【详解】(1)因为数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()23252132222n n ---=⋅++++()()112124132242,241n n n n ----=⨯+=⨯=≥-；经验证，12a =满足上式， 所以212n n a -=；(2)212n n n n b na -=⨯=，所以352112222322n n n S b b b n -=+++=+⨯+⨯++⨯，()5212142422122-+=⨯+⨯++-⨯+⨯n n n S n n ，所以()35212121241322222241-++--=++++-⨯=-⨯-n n n n n S n n ，可得21(31)229n n n S +-⨯+=．19．已知函数e ()(ln )=--+xf x a x x a x（a 为实数）．(1)当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为（0，1），递增区间为(1,)+∞ (2)(e,)+∞【分析】（1）求导2(1)(e )()--'=x x ax f x x ，易知1a =-时，e 0-=+>x x ax e x ，然后由()0f x '<和()0f x '>求解；（2）由（1）知，0a 时，不符合题意， 0a >时，根据函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，得到()0f x '=在（0，1）内存在唯一变号零点，转化为ex a x=在（0，1）内存在唯一根求解.【详解】(1)解：函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，22e (1)1(1)(e )()1---⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭x x x x ax f x a x x x ．当1a =-时，e 0-=+>x x ax e x ，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 的单调递减区间为（0，1），递增区间为(1,)+∞． (2)由（1）知，当0a 时，()f x 在（0，1）内单调递减， 所以()f x 在（0，1）内不存在极值点；当0a >时，要使函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，则2(1)(e )()0--'==x x ax f x x 在（0，1）内存在唯一变号零点，即方程e 0x ax -=在（0，1）内存在唯一根， 所以e xa x=在（0，1）内存在唯一根，即y a =与()e xg x x =的图象在（0，1）内存在唯一交点，因为2(1)e ()0-'=<xx g x x ， 所以()g x 在（0，1）内单调递减．又(1)e g =， 当0x →时，()g x ∞→+，所以e a >，即a 的取值范围为(e,)+∞．20．在数列{}n a 中，a 1＝1，an ＝2an ﹣1+n ﹣2（n ≥2）．(1)证明：数列{}n a n +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{an }的前n 项和Sn ．【答案】(1)证明见解析，2nn a n =-(2)21*42()2+++=-∈n n n n S n N【分析】（1）根据定义法证明{}n a n +是等比数列，然后求出数列{}n a n +的通项公式即可得到{}n a 的通项公式（2）根据{}n a 数列通项的特点先分组，再采用公式法求和即可【详解】(1)明：因为111(22)(1)1---++-+=+-+-n n n n a n a n n a n a n ＝1122221--+-=+-n n a n a n ， 数列 {an +n } 是首项为 a 1+1＝2，公比为2的等比数列， 那么1222n n n a n -+=⋅=，即 2n n a n =-．(2)由（1）知2nn a n =-，123(2222)(123)=+++-++++n n S n＝2(12)(1)122⨯-⨯+--n n n ＝21*42()2+++-∈n n n n N21．已知点()0-2A ，，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 23O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点()0-2A ，的动直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点.当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程.【答案】(1) 2214x y +=.（2）72y - 或72y =-. 【详解】试题分析：（1）由条件知a=2b ， c 3=又3c a =可得a,b ，故得到E 的方程； （2）设出直线l 的方程和点P 的坐标，联立直线l 与椭圆方程，当判别式大于0时，根据韦达定理得根与系数的关系得到PQ 的长．根据点到直线距离公式代入OPQ ∆面积中，得到其关于k 的表达式，根据换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时k 的值，即求得l 的方程.试题解析：(1) 设F(c,0)，由条件知a=2b ，得c 3又3c a =所以a=2，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=.（2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：y=kx-2，设()()1122,,,P x y Q x y将y=kx-2代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，即234k >时，1,2x =,从而12PQ x =-=, 又点O 到直线PQ 的距离d =∆OPQ 的面积12OPQS d PQ ∆==，t ，则t>0，244144OPQ t S t t t∆==≤++，当且仅当2t =，k =等号成立，且满足0∆>， 所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：2y =- 或2y =-. 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．22．已知函数()ln 2()f x x x a =+∈R ． (1)当2a =-时，求函数()f x 的单调区间； (2)若函数()f x 有两个不同零点1x ，212()x x x <， ①求实数a 的取值范围； ②求证：22124a x x ⋅>．【答案】(1)单调递增区间是1(0,)4，单调递减区间是1(,)4+∞(2)①2a >；②证明见解析【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）①函数()f x 有两个不同零点1212,()x x x x <，等价于方程a =有两个不同的实根1212,()x x x x <．设t =ln 2a t t t=-有两个不同的实根()1212,t t t t <． 设ln ()(0)tg t t t t=->，由导数确定()g t 的单调性、极值、函数值的变化趋势后可得；②由①1t =，2t 22124a x x ⋅>，只需证2122a t t ⋅>．由①知，1201t t <<<，故有2222ln 2t a t t t =-<，即22a t >．下面证明：121t t ⋅>即可．引入函数()()2221()h t g t g t =-，由导数证明()221()0g t g t ->，利用单调性即可得结论．【详解】(1)对函数()f x求导，得1'()22a f x x =+=当2a =-时，'()f x ==因为函数()f x 的定义域(0,)+∞， 由'()0f x >，得104x <<， 由'()0f x <，得14x >， 所以函数()f x 的单调递增区间是1(0,)4，单调递减区间是1(,)4+∞．(2)由()0f x =，得ln 20x x +=， ①函数()f x 有两个不同零点1212,()x x x x <，等价于方程a =1212,()x x x x <．设t =ln 2a t t t=-有两个不同的实根()1212,t t t t <． 设ln ()(0)tg t t t t=->， 2221ln ln 1'()1t t t g t t t -+-=-=，再设2()ln 1u t t t =+-，1'()20u t t t =+>所以函数()u t 在(0,)t ∈+∞上单调递增， 注意到2(1)1ln110u =+-=，所以当01t <<时，()0u t <，当1t >时，()0u t >． 所以()g t 在（0，1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 当0t +→时，()g t →+∞， 当t →+∞时，()g t →+∞， 当1t =时，()1g t =， 只需12a>， 即所求2a >．②注意到1t =2t 22124a x x ⋅>，只需证2122a t t ⋅>． 由①知，1201t t <<<，故有2222ln 2t at t t =-<，即22a t >． 下面证明：121t t ⋅>．设()()222222222222221lnln 1111()()()()ln 1t t h t g t g t t t t t t t t t t =-=---=--+， 有()22222222222211111'1(1)ln ()(1)ln 0h t t t t t t t t t =+---+⋅=--<， 所以函数()2h t 在(1,)+∞上单调递增， 所以()2(1)0h t h >=，所以()221()0g t g t ->，故有()()2121()g g t g t t <=．又2101t <<，101t <<，且()g t 在(0,1)t ∈上单调递减，所以121t t >，即得121t t ⋅>．因此2122at t ⋅>，结论得证． 【点睛】本题考查用导数求函数的单调性，研究函数的零点问题，解题关键是对两个变量的处理，换元t =121t t >，双变量的处理，先分离，121t t >，利用函数()g x 的单调性，表面上复杂化，证明121()()g t g t >，实质上利用两个变量的关系，此时可以进行消元：12()()g t g t =，因此只要证221()()g t g t >，为此引入新函数，利用导数加以证明．本题考查了学生的逻辑思维能力，运算求解能力，转化与化归能力，属于困难题．。

2021-2022学年山东省泰安肥城市高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知函数()y f x =在0x x =处的导数()01f x '=-，则()()000lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．1-B ．1C ．12D ．2-【答案】A【分析】根据题意，由导数的定义可得0lim x ∆→000()()()f x x f x f x x+∆-'=∆，即可得答案． 【详解】根据题意，函数()y f x =在0x x =处的导数为0()1f x '=-，而0000()()lim ()1x f x x f x f x x∆→+∆-'==-∆，故选：A2．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，假设每种菜足量，则不同的选法共有（ ） A ．53种B ．35种C ．35A 种D ．35C 种【答案】B【分析】根据分步乘法计数原理进行计算，即每人有5种选法，分三步完成，可求得答案.【详解】窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种， 即每人都有5种选法，分3步完成，故不同的选法有35555⨯⨯= 种， 故选：B3．记()02012101101x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则12310a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1024B ．1023C ．1-D ．0【答案】B【分析】利用赋值法求二次项系数和，令0x =求出0a ，再令1x =即可求解. 【详解】由题意可知，令0x =，得()100101a =+=， 令1x =，得()1010100121024112a a a a +++⋅⋅⋅++===， 所以1231001024102411023a a a a a +++⋅⋅⋅+=-=-=. 故选：B.4．已知函数()sin f x x mx =-在(),-∞+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[)1,+∞C ．(],1-∞-D ．()1,1-【答案】C【分析】求得导数()cos f x x m '=-，根据题意转化为不等式cos x x ≤在R 上恒成立，结合余弦函数的值域，即可求解.【详解】由题意，函数()sin f x x mx =-，可得()cos f x x m '=-， 因为函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，可得()0f x '≥在R 上恒成立， 即不等式cos 0x m -≥在R 上恒成立，即不等式cos m x ≤在R 上恒成立， 因为1cos 1x -≤≤，所以1m ≤-， 所以实数m 的取值范围是(],1-∞-. 故选：C.5．将5名临床医学检验专家（3男2女）分配到2家医院进行核酸检测指导，要求每家医院分配男、女专家各1名，剩下1名专家负责统筹安排，则不同的分配方案有（ ） A ．6种 B ．9种 C ．12种 D ．16种【答案】C【分析】根据题意，先从3名男专家取2名，再分别安排男专家和女专家，即可求解. 【详解】由题意，每家医院分配男、女专家各1名，剩下1名专家负责统筹安排，则不同的分配方案有22223222C C A A 312212=⨯⨯⨯=种.故选：C.6．()712x +的展开式的第4项的系数为（ ） A ．335x B ．35 C ．3280x D ．280【答案】D【分析】根据二项式的展开式的通项公式，即可求解.【详解】由题意二项式()712x +的展开式的第4项为33347C (2)280T x x ==，所以展开式中4项的系数为280. 故选：D.7．某小区的道路网如图所示，则由A 到C 的最短路径中，经过B 的走法有（ ）A ．6种B ．8种C ．9种D ．10种【答案】C【分析】由题意，从点A 到点B ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，从点B 到点C ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，从点A 到点B ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有13C 3=种走法；从点B 到点C ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有13C 3=种走法，由分步计数原理，可得共有339⨯=种不同的走法. 故选：C.8．过曲线()3:C f x x ax b =-+外一点1,0A 作C 的切线恰有两条，则（ ）A ．a b =B ．1a b -=C ．1b a =+D ．2a b =【答案】A【分析】设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极值为0，求出a ，b 的关系.【详解】()23f x x a '=-，过点1,0A 作曲线C 的切线， 设切点()()00,x f x ，则切线方程为：()()2031y x a x =--， 将()()00,x f x 代入得：()()()230000031f x x a x x ax b =--=-+即3200230x x a b -+-=（） 由条件切线恰有两条，方程（）恰有两根．令()3223u x x x a b =-+-，()()26661u x x x x x '=-=-，显然有两个极值点0x =与1x =，于是()00u =或()10u = 当()00u =时，a b =；当()10u =时，1a b -=，此时()()()32111f x x ax a x x x a =-+-=-++-经过()1,0与条件不符，所以a b =， 故选：A. 二、多选题9．下列求导运算正确的是（ ）A ．2111x x x'⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()22ln 2x x '=⋅C ．222e e x xx x x '⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．()22cos 2cos sin x x x x x x '⋅=⋅+⋅【答案】BC【分析】根据导数的运算公式及运算法则进行计算即可. 【详解】A 选项，2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 选项错误； B 选项，()22ln 2x x '=⋅，故B 选项正确；C 选项，22222?·2()x x x x xx x e x e x x e e e '⎛⎫--== ⎪⎝⎭，故C 选项正确； D 选项，()222cos 2cos (sin )2cos sin x x x x x x x x x x '⋅=⋅+⋅-=⋅-⋅，故D 选项错误； 故选：BC.10．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行. 甲、乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（ ）A ．若每个比赛区至少安排一名志愿者，则有240种不同的方案B ．安排5名志愿者排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法C ．若短道速滑必须安排两名志愿者，其余各安排一名志愿者，则有60种不同的方案D ．已知5名志愿者身高各不相同，若安排5名志愿者拍照，前排两名，后排三名，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法 【答案】ACD【分析】根据分组分配法即可判断AC ，根据捆绑法可以判断B ，根据特殊位置优先安排可判断D ．【详解】解：对于A ：若每个比赛区至少安排1人，则有2454C A 240=种不同的方案，故A 正确；对于B ：把甲乙捆绑在一起，看作一个复合元素，再和另外的三人全排，则有2424A A 48=种，故B 错误；对于C ：短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有2353C A 60=种不同的方案，故C 正确；对于D ：先排前排，由25A 20=种，后排3人中身高最高的站中间，则两边的有22A 2=种，则有20240⨯=种，故D 正确． 故选：ACD11．若()()()()22*012121212nn n x x x a a x a x a x n ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+∈N ，06a =，则下列结论中正确的是（ ） A ．12n = B ．142a = C ．064ni i a ==∑D ．()116nii i ia =-=∑【答案】BD【分析】对于A ，根据已知条件及赋值法令0x =即可求解； 对于B ，利用二项式展开式的通项公式求指定项系数即可； 对于C ，利用赋值法求二项式系数令1x =即可求解；对于D ，根据已知等式两边同时求导数再利用赋值法令1x =-即可求解.【详解】对于A ，由题意可知，令0x =时 ()()()201201201206na +⨯++⨯+⋅⋅⋅++⨯==，解得6n =，故A 不正确；对于B ，由()12n x +展开式的通项公式为()1C 122C rr n r r r rr n n T x x -+=⋅⋅=⋅⋅，由6n =，得()()()26121212x x x ++++⋅⋅⋅++展开式中含x 的项的系数和为111111111123461522C 2C 2C 2C 2C 2468101242a =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++=，故B 正确； 对于C ，令1x =，得660122603309231i i a a a a a ==+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+==++∑，故C 不正确；对于D ，对()()()22012121212nn n x x x a a x a x a x ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+，两边同时求导，得()()()6255122121231261226x x x a a x a x ⎡⎤+++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+⎣⎦， 令1x =-，得12345623456a a a a a a -+-+-()()()()()2345212123124125126126⎡⎤=+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-⎣⎦. 所以()1234561234566a a a a a a -+-+-+=()()612345611234566iii ia a aa a a a =-=-+-+-+=∑，故D 正确.故选：BD.12．已知函数()ln x f x x=，e是自然对数的底数，则（ ） A ．()f x 的最大值为1eB ．π2π2ln 33ln π3ln 2>>C ．若1221ln ln =x x x x ，则212e x x +=D ．对任意两个正实数12,x x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则212e x x > 【答案】ABD【分析】对于A ，求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得最大值；对于B ，根据函数()ln xf x x=的单调性，即可判断；对于C ，构造函数()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈，判断其单调性，结合1221ln ln =x x x x 即()()12f x f x =即可判断；对于D ，将()()12f x f x =展开整理得12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-，然后采用分析法的思想，推出1121222(1)ln1x x x x x x ->+，构造函数2(1)(1)ln u t t t t --=+，求其最小值即可判断. 【详解】由题意得()ln x f x x =，则21ln ()xf x x -'=， 当0e x << 时，()0f x '>，()f x 递增 ，当e x > 时，()0f x '<，()f x 递减， 故max 1()(e)ef x f ==，故A 正确；由于3π<，由于当e x > 时，()f x 递减，故(3)(π)f f > ， 即ln 3ln π,2πln3>23ln π3π>⨯ ，即π22ln33ln π>， 因为ln 2ln 4(2)(4)(π)24f f f ===< ， 故ln 2ln π,3πln2<32ln π2π<⨯，即2π3ln π3ln 2>， 故π2π2ln 33ln π3ln 2>>，故B 正确； 因为1221ln ln =x x x x ，即121122ln ln ,()()x x f x f x x x ==， 设()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈ ，由于当0e x << 时，()f x 递增 ，当e x > 时， ()f x 递减，故()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈单调减函数，故()(0)0g t g <=，即(e+)<(e )f t f t -，由于12()()f x f x =，不妨设20e x <<， 则122e x x <- ， 即212e x x +<，故C 错误；对任意两个正实数12,x x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，不妨设210x x << ， 即1212ln ln x x x x =，设1212ln ln x x m x x ==，则1122ln ,ln x mx x mx ==， 则12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-，1212ln ln x x m x x -=-，而212121212121222()ln ln e ln ln 2x x x x x x x x x x x m x -+>⇔+>⇔>-+>⇔112112112222l 2(1n )2()ln 1ln x x x xx x x x x x x x --->⇔>++⇔ ， 设211,x x t => 令2(1)(1)ln u t t t t --=+ ，则2222(1)2(1)(1)0(1)(11)()t t t t t u t t t '+----=>++=， 即2((1)ln ,(11))t u t t t t -->+=为单调增函数，故()(1)0u t u >=， 即1121222(1)ln1x x x x x x ->+成立，故212e x x >，故D 正确， 故选：ABD 三、填空题13．若()1nx +的展开式中，2x 的系数为15，则n =___________. 【答案】6【分析】先求得()1nx +的展开式的通项公式，再根据2x 的系数为15求解. 【详解】因为()1nx +的展开式的通项公式为1rn r r n T x C -+=，且2x 的系数为15，所以2215n nn C C -==，即()1152n n -=， 解得5n =-(舍)或6n =. 故答案为：614．若()()3log 0f x x x =>，则()1f '=________. 【答案】1ln 3【分析】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，即可求解.【详解】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，所以()11ln 3f '=. 故答案为：1ln 3. 15．在如图所示的杨辉三角中，按图中箭头所示的前n 个数字之和为________.【答案】32n C +【分析】根据组合数的运算性质，即可容易求得. 【详解】由表格可知，所求数列的前n 项和为：2222322223413341n n C C C C C C C C ++++++=++++322323441512n n n C C C C C C ++++++=++=.故答案为：32n C +.【点睛】本题考查组合数的运算性质，属中档题. 四、双空题16．若函数()()()()()()32112f x x x x x x x =---++，则()1f '=________；曲线()()24ln 31ln 3y f x x x x =+++-在点()1,8ln 2处的切线方程为________.【答案】 12 338ln 20x y +--=【分析】根据题意求得()f x '，得出()1f '的值，再结合导数的几何意义，求得切线的方程，得到答案. 【详解】由题意，函数()()()()()()()()()()32112(1)[3212]f x x x x x x x x x x x x x =---++=---++，可得()()()()()()()()()()1[(3)212]1[3212]f x x x x x x x x x x x x x '''=---+++---++()()()()()()()()[(3)212]1[3212]x x x x x x x x x x x '=--+++---++ 所以()12(1)12312f '=-⨯-⨯⨯⨯=； 又由()()24ln 31ln 3y f x x x x =+++-，可得1|4ln 48ln 21030x y ==+=+-，且()()()()()2222ln 3ln 34331ln 3x x x x y x xx f x f x +-+-'=+⨯++--'' ()()()()2221ln 324331ln 3x x x f x f x x x x x ⎛⎫'- ⎪⎝+-+⎭=+⨯++-， 所以()()12103034|333110132x y -+-⨯'=++-⨯=-+-，即切线的斜率为3k =-， 所以曲线在点()1,8ln 2处的切线方程为8ln 23(1)y x -=--，即338ln 20x y +--=. 故答案为：12；338ln 20x y +--=. 五、解答题17．盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6. 现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字.(1)一共能组成多少个不同的三位数？(2)一共能组成多少个不同的大于500的三位数？ 【答案】(1)120 (2)40【分析】（1）由抽取的三位数各不相同，可由排列数公式求得组成不同三位数的个数． （2）大于500的三位数，则百位应该从5或6中选一个，其他的从剩下的五个里面选2个进行排列，再根据分步计算原理即可得到结果．【详解】(1)解：（1）因为抽取的三位数各不同，所以组成三位数的总数为36A 654120=⨯⨯=.(2)解：百位为5或6，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，则有1225C A 40⨯=个大于500的三位数.18．已知函数()2ln x f x x x-=-． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]1,e 上的最值．【答案】(1)单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞ (2)()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1【分析】（1）对函数()f x 求导，通过导函数的正负判断()f x 的增加区间； （2）根据（1）中的单调性可得()f x 的极值，与区间端点值比较可得最值. 【详解】(1)由题意知：()()220x f x x x -'=>． 令()0f x '=，解得2x =．2x =把()f x 定义域划分成两个区间，()f x '在各区间上的正负，以及()f x 的单调性如下表所示.所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞． (2)结合（1）的结论，列表如下：所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1．19．在二项式12nx ⎛+ ⎝的展开式中.(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于46，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若n 为满足812n <<的整数，且展开式中有常数项，试求n 的值和常数项.【答案】(1)展开式中二项式系数最大的项为3563T x -=，362252x T -=(2)9n =，常数项为7672T =【分析】（1）根据已知条件可得出关于n 的等式，结合N n *∈可求得n 的值，利用二项式系数的单调性可结合二项式定理可求得展开式中二项式系数最大的项；（2）设第1r +项为常数项，则r 为整数，写出二项展开式通项，令x 的指数为零，可得出32rn =，根据812n <<可求得整数r 的值，进而可求得n 的值，再利用二项式定理可求得展开式中的常数项.【详解】(1)解：由已知()212101C C C C C C 1462n n n n n n n n n n n n ---++=++=++=，整理得2900n n +-=，即()()9100n n -+=，N n *∈，解得9n =. 则展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，即(5443591C 632T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，(43552691C 2522T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭.(2)解：设第1r +项为常数项，则r 为整数，(322211C C 22n rr n rr r r nr nnT xx ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，则有3202r n -=，即32rn =，所以81322r <<，可得1683r <<，解得6r =或7r =. 当6r =时，9n =；当7r =时，212n =（不合题意舍去），所以9n =. 常数项为6379C 2672T =⋅=.20．已知函数()()()2f x x x c c =-∈R . (1)若()f x 在2x =处有极大值，求c 的值；(2)若()f x 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭存在单调递减区间，求c 的取值范围．【答案】(1)6c = (2)2(,)3+∞【分析】（1）求导因式分解后可得当3c x =时，()f x 有极大值，故此时23c=，所以6c =.（2）即()0f x '≤在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，所以23c >.【详解】(1)因为()()23222f x x x c x cx c x =-=-+，所以()()()22343f x x cx c x c x c '=-+=--.当0fx，即3cx =，或x c =时，函数()f x 可能有极值.由题意，当2x =时，函数()f x 有极大值，所以0c >.当x 变化时，f x ，()f x 的变化情况如下表所示：x,3c ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 3c,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭c(),c +∞f x+-+()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当3c x =时，()f x 有极大值，此时23c=，所以6c =.(2)由（1）可知：()()()3f x x c x c '=--，当0fx时，3cx =，或x c =.由题意，()f x 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭存在单调递减区间，所以()0f x '≤在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，由（1）知，()f x 在[,]3c c 上单调递减，所以23c >，解得23c >，或2c ≥，即23c >.综上所述，c 的取值范围是2(,)3+∞.21．如图，实线部分的公园是由圆P 和圆Q 围成，圆P 和圆Q 的半径都是2千米，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地ABCD ．若要建的活动场地ABCD 为等腰梯形，且AD 必须切圆Q 于P ，APB θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.(1)记活动场地ABCD 的面积为()S θ，求()S θ的表达式；(2)当θ为何值时，活动场地ABCD 的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1)()π()4sin sin cos 02S θθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭(2)3πθ=时，场地ABCD 面积取得最大值为3S π⎛⎫= ⎪⎝⎭（平方千米） 【分析】（1）通过对等腰梯形进行分割，结合三角形面积公式即可得结果； （2）通过导数判断函数的单调性，进而可得最值.【详解】(1)由题意：()()1122sin 222sin π222S θθθ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-()π4sin sin cos 02θθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭.(2)令()sin sin cos f θθθθ=+，则()()2cos cos cos sin sin 2cos cos 1f θθθθθθθθ'=++-=+-． 令()0f θ'=，得1cos 23πθθ==，.又03πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f θ'>；,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'<，所以()sin sin cos f θθθθ=+在3πθ=处取到极大值也是最大值，故3πθ=时，场地ABCD 面积取得最大值为3S π⎛⎫= ⎪⎝⎭（平方千米）． 22．已知函数()22ln e x xf x a x=-+． (1)当1ea =时，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)0x y -= (2)20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据函数零点的存在性定理及利用导数法求函数的单调性及函数的最值，再结合分类讨论即可求解. 【详解】(1)因为()()221ln e x x f x a x-'=-， 所以当1ea =时，()11f '=.又因为()11f =，所以()f x 在1x =处的切线方程11y x -=-， 所以()f x 在1x =处的切线方程为0x y -=.(2)因为()()2ln e xx x ax f x x+-=，其中0x >，设()()2ln e xg x x x ax =+-，则()()()12e x x ax g x x+-'=，当0a ≤时，()0g x '>，则()g x 在()0,+∞单调递增，()g x 在()0,+∞上至多有一个零点，即()f x 在()0,+∞上至多有一个零点，不合题意，舍去．当0a >时，设()2e x h x ax =-，()()1e xh x a x '=-+，所以()0h x '<， ()h x 在()0,+∞上单调递减. 又()020h =>，2222e 0a h a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以020,a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃，使得()00h x =，即00e 2xax =，当()00,x x ∈时，()0h x >，此时0g x ，所以()g x 在()00,x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，此时()0g x '<，所以()g x 在()0,x +∞单调递减. 所以()g x 在()0,+∞有极大值()0g x ，即()()()()00000000max 2ln e 2ln 22ln 1x g x x x ax x x x x =+-=+-=+-⎡⎤⎣⎦若00ln 10x x +-≤，则()0g x ≤，所以()0≤f x ，()f x 在()0,+∞上至多有一个零点，不合题意.… 若00ln 10x x +->，设()ln p x x x =+，()110p x x'=+>， 所以()p x 在()0,+∞单调递增. 又()11p =，所以01x >.因为()()e 1e 0x x x x '=+>，所以e x y x =在()0,+∞单调递增， 所以002e e x x a=>，即20e a <<，此时()00g x >，()00f x >因为111e e11122(1)e 2e 0e e e e g a a -⎛⎫=-+-=-+-< ⎪⎝⎭， ()g x 在()00,x 单调递增，()00g x >，所以101,e x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =.又因为e 11ln x x x x ≥+>-≥，e 1x x x ≥+>，所以444444442ln 4e 2ln e e 0aa a g a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 因为()g x 在()0,x +∞单调递减，()00g x >，且因为020,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以04x a >，所以204,x x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20g x =.所以204,x x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =．综上所述，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为20,e ⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】解决此类题型的关键第一问直接利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问利用零点的存在性定理及导数法求函数的单调性和最值但要注意对参数进行分类讨论.。

2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列选项中，与36C 相等的是（ ） A ．35C B ．35AC ．25AD ．4!【答案】C【分析】先求出36C 的值，然后逐个求解判断即可【详解】36C 20=，对于A ，3512C 00=≠，所以A 错误，对于B ， 35A 5436020=⨯⨯=≠，所以B 错误，对于C ，25A 5420=⨯=，所以C 正确，对于D ， 4!43212420=⨯⨯⨯=≠，所以D 错误， 故选：C2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7 B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,1【答案】B【分析】利用空间向量的坐标表示，即得. 【详解】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =， ∴()()1,2,31,2,4x y z =----， 解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -. 故选：B.3．掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四面点数分别为1,2,3,4），掷出点数的数学期望为（ ） A ．2 B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】B【分析】由题意得到掷出点数的可能取值及各个取值的概率，由期望公式求解即可. 【详解】掷一枚质地均匀的正四面体骰子，掷出点数的可能取值为1,2,3,4，且掷出每种点数的概率均为14，则掷出点数的数学期望为()11234 2.54+++⨯=，故选：B4．5(2)x y -的展开式中，含32x y 的系数为（ ） A ．80 B ．80- C ．40 D ．40-【答案】A【分析】在二项展开式的通项公式中,令y 的幂指数等于2,求出r 的值，即可求得展开式中含32x y 的系数．【详解】依题意可知,555155(2)()2(1)rrr r r r r r r T C x y C x y ---+=⋅⋅-=⋅⋅⋅-,故含32x y 系数为352280C ⋅=.故选:A .【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,难度较易.5．在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c ++ 【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可． 【详解】解：点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点， ∴23OM OA =，111()222ON OB OC OB OC =+=+，∴122113122223a b c MN ON OM OB OC OA =-=+-+=-+． 故选：B ．6．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ） A ．36 B ．72 C ．600 D ．480【答案】D【解析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个.故选：D .【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7．直三棱柱111ABC A B C -中，11111π,,,2BCA AC BC CC A M MB A N NC ∠=====，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A ．3010B ．22C ．110 D ．25【答案】A【分析】根据几何体特点建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式即可得出异面直线所成角.【详解】如图所示，以C 为原点，以1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设12AC BC CC ===，可得()2,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,2M ， ()1,0,2N .()1,0,2AN ∴=- ，()1,1,2BM =-130cos ,56AN BM AN BM AN BM⋅-∴===⋅ 故BM 与AN 30故选：A.8．甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有,A B 两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（ ） A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】C【分析】对该问题进行分类，分成以下情况①3人到A 队伍检测，②2人到A 队伍检测，③1人到A 队伍检测，④0人到A 队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.【详解】先进行分类：①3人到A 队伍检测，考虑三人在A 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案；②2人到A 队伍检测，同样要考虑两人在A 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；③1人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；④0人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案； 所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种. 故选：C 二、多选题9．下列结论正确的是（ ） A ．乘积()()1212n n a a a b b b ++++++展开后共有2n 项B ．一个含有5个元素的集合有32个子集C ．正十二边形对角线共有54条D ．4名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是43 【答案】BC【分析】对于A ，利用多项式的乘法分析判断，对于B ，利用求子集个数的公式计算，对于C ，利用多边形对角线条数的公式计算，对于D ，由每名工人有3种休息方法进行判断【详解】对于A ，乘积()()1212n n a a a b b b ++++++展开后共有2n 项，所以A 错误，对于B ，一个含有5个元素的集合有5232=个子集，所以B 正确， 对于C ，正十二边形对角线共有12(123)542⨯-=条，所以C 正确， 对于D ，由题意可得每名工人有3种休息方法，所以4名工人共有43种休息方法，所以D 错误， 故选：BC10．下列命题是真命题的有（ ）A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l ⊥αD ．平面α经过三点(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0),(1,,)A B C n u t --=是平面α的法向量，则1u t += 【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，则,,BA BM BN 共面，可得A ，B ，M ，N 共面，A 正确；对于B ，2110a b ⋅=--=，故a b ⊥，可得l 与m 垂直，B 正确； 对于C ，0110a n ⋅=-+=，故a n ⊥，可得l 在α内或//l α，C 错误； 对于D ，(1,1,1)AB =-，易知n AB ⊥，故10u t -++=，故1u t +=，D 正确. 故选：ABD.11．下列命题中，正确的是（ ）A ．若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 独立 B ．已知随机变量X 的方差为()V x ，则()23V X -=()4V XC ．已知随机变量X 服从二项分布16,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则E （X ）=2D ．已知随机变量X 服从正态分布()21,B σ，若()30.8P X <=，则()110.3P X -<<=【答案】BCD【分析】对A ：由互斥事件与独立事件的定义即可判断；对B ：由方差的性质即可判断；对C ：由二项分布的期望公式即可判断；对D ：利用正态分布的对称性即可判断. 【详解】解：对A ：由互斥事件与独立事件的定义，设事件A 、B 都是概率不为0的事件，若事件A 与事件B 是互斥事件，则()0P AB =，而若事件A 与事件B 是相互独立事件，则()()()0P AB P A P B =≠，故选项A 错误；对B ：由方差的性质可知，随机变量X 的方差为()V X ，则()23V X -=()()224V X V X =，故选项B 正确；对C ：由随机变量X 服从二项分布16,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1623E X =⨯=，故选项C 正确；对D ：由随机变量X 服从正态分布()21,B σ，()30.8P X <=，则()()()()1113310.80.50.3P X P X P X P X -<<=<<=<-<=-=，故选项D 正确. 故选：BCD.12．如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，将△ABD 沿对角线BD 翻折到△PBD 位置，连接PC ，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．任取三棱锥P -BCD 中的三条棱，它们共面的概率为0.2B ．存在某个位置，使得PC 与BD 所成角为60°C ．PC 与平面BCD 所成角为45°时，三棱锥P -BCD 的体积最大 D ．当二面角P -BD -C 大小为90°时，点D 到面PBC 的距离最大 【答案】AC【分析】对于A ：利用古典概型的概率公式直接求概率，即可判断； 对于B ：连结AC 交BD 于E .证明出BD ⊥面PCE ，得到BD ⊥PC .即可判断； 对于C ：证明出ECP ∠=45°时三棱锥P -BCD 的高为EP 最大，从而三棱锥P -BCD 的体积最大；对于D ：求出二面角P -BD -C 大小为90°时，点D 到面PBC 的距离12155d =. 求出特殊位置当2PC =时，点D 到面PBC 的距离所以2263d =.判断出12d d <.即可否定结论.【详解】对于A ：任取三棱锥P -BCD 中的三条棱，有3665420321C ⨯⨯==⨯⨯种，其中共面一共有4种，故概率为40.220=.故A 正确； 对于B ：连结AC 交BD 于E .因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥,即CE BD ⊥,PE BD ⊥. 又CE PE E ⋂=,所以BD ⊥面PCE ，所以BD ⊥PC . 故B 错误；对于C ：因为BD ⊥面PCE ，所以点P 在底面的射影落在直线AC 上，即ECP ∠为PC 与平面BCD 所成角，即ECP ∠=45°.因为CE PE =，所以45ECP EPC ∠=∠=︒，所以90CEP ∠=︒，即EP EC ⊥. 又EP BD ⊥，BD EC E ⋂=,所以EP ⊥面BCD .此时三棱锥P -BCD 的高为EP 最大.所以1133P BCD BCDBCDSh SEP V -=≤.所以PC 与平面BCD 所成角为45°时，三棱锥P -BCD 的体积最大. 故C 正确； 对于D ：因为BD ⊥面PCE ，所以CEP ∠即为二面角P -BD -C 的平面角，即90CEP ∠=︒. 此时设点D 到面PBC 的距离为1d .因为90CEP ∠=︒，2sin 603CE PE ==︒=，所以22336PC CE PE =+=+=. 所以222116615422222PBCSPC CB PC ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由等体积法可得：P BCD D PBC V V --=，即1111152333232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得：12155d =. 当2PC =时，三棱锥P -BCD 的各边长均为2，为一个正四面体.此时记点D 到面PBC 的距离为2d ，则2d 为正四面体的高. 如图示：过C 作CF PB ⊥于F ,则3sin 6023CF BC =︒==过D 作DG ⊥面PBC 于G ,则G 为△PBC 的中心，所以2233CG CF ==.所以2d DG ==因为(122201515d d -==<，所以12d d <.故D 错误. 故选：AC.【点睛】（1）立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量； （2）①立体几何中的几何关系的证明，用判定定理；②立体几何中的计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算． 三、填空题13．6x⎛+ ⎝的展开式中常数项是___________（用数字作答）.【答案】240【分析】根据二项式定理，可知6x⎛ ⎝的展开式通项为163622r rr r T x C +-=，令3602r -=，求出4r =，带入通项公式，即可求出结果.【详解】因为6x⎛+ ⎝的展开式通项为36621662rr r r r r r x xT C C -+-==， 令3602r -=，则4r =，所以6x ⎛ ⎝的展开式中常数项是446622240r r C C ==. 故答案为：240.14．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3，112AM MC =，点N 为B 1B 的中点，则||MN =___________.【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，即可求解.【详解】如图所示，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()()113,0,0,0,3,3,3,3,0,3,3,3A C B B ，因为112AM MC =，点N 为1B B 的中点， 所以()111,1,13AM AC ==-， 所以(2,1,1)M ，3(3,3,)2N ，11,2,2MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭故2221211222MN ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭21. 15．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约80%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过40分钟，这些人的近视率约为90%，现从玩手机不超过40分钟的学生中任意周查一名学生，则他近视的概率为___________. 【答案】31400.775 【分析】利用条件求出每天玩手机不超过40分钟的学生的人数及其中近视的人数，再进行概率估计．【详解】解：设该校共有a 名同学，则约有80%0.8a a ⨯=名学生近视，20%0.2a a ⨯=名学生每天玩手机超过40分钟且玩手机超过40分钟的学生中有0.290%0.18a a ⨯=名学生近视．所以有0.8a 名学生每天玩手机不超过40分钟且其中有0.80.180.62a a a -=名学生近视． 所以从每天玩手机不超过40分钟的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为0.62310.840a a =． 故答案为：3140． 16．某部件由三个电子元件按如图方式连接而成，该部件要正常工作，需满足：①元件D 正常工作；②元件C 正常工作或部件A ，B 同时正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (100，225)，且各个元件相互独立，那么该部件的使用寿命超过100小时的概率为___________．【答案】516【分析】由三个电子元件的使用寿命均服从正太分布N (100，225)可知每个元件使用寿命超过100小时的概率均为12，根据独立事件概率计算方法即可计算该部件的使用寿命超过100小时的概率.【详解】因为三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (100，225)，且各个元件相互独立，故每一个元件能用100小时以上的概率均为12，设A 元件能用100小时以上为事件A ，B 元件能用100小时以上为事件B ，C 元件能用100小时以上为事件C ，D 元件能用100小时以上为事件D ， 则该部件的使用寿命超过100小时的概率为：()()()()()()()()()()()P D P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A B P C P A P B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111155522222816⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：516． 四、解答题17．已知n 为偶数，2012(1)n n n x a a x a x a x -=++++.(1)当10n =时，求8a 的值； (2)证明：10242n n a a a a -++++=.【答案】(1)845a = (2)证明见解析【分析】（1）直接利用二项式展开式的通项公式求解即可，（2）利用赋值法，分别令1x =-和1x =，然后将得到的式子相加可得答案【详解】(1)当10n =时，8222291010()45T C x C x x =-=⋅=，故845a =(2)当1x =-时，012(11)nn a a a a +=-+-+即0122n n a a a a -+-+=①当1x =时，012(11)n n a a a a -=++++ 即0120n a a a a ++++=②.由①②相加得：()02422n n a a a a ++++=即有10242n n a a a a -++++=. 18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =3，2BM MC =，且PB ⊥AM ．(1)求AD 的长；(2)求二面角P -AM -D 的正弦值.【答案】(1)33 213 【分析】(1)以{},,DA DC DP 为一组基底，建立空间直角坐标系，设3BC a =，求出各点坐标，根据0PB AM ⋅=求出a 的值，从而确定AD 的长度；(2)求出平面P AM 和平面DAM 的法向量，利用向量方法即可求二面角的余弦值和正弦值．【详解】(1)∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，∴不妨以{},,DA DC DP 为一组基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设3BC a =，则()()()()3,3,0,0,0,3,2,3,0,3,0,0,B a P M a A a则()()3,3,3,,3,0PB a AM a =-=-， PB AM ⊥，则2390PB AM a ⋅=-+=，解得3a = 故333AD a ==(2)()()3,3,0,33,0,3AM AP =-=-，设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =， 则11113303330m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取13x =，可得()3,1,3m =， ∵PD ⊥平面AMD ，∴可设平面AMD 的法向量为()0,0,1n =，3313cos ,,13131m n m n m n ⋅===⋅⨯ 因此，二面角P AM D --的正弦值为231321311313⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭．19．高二某班级举办知识竞赛，从A ，B 两种题库中抽取3道题目（从A 题库中抽取2道，从B 题库中抽取1道）回答.小明同学对抽取的A 题库中的每道题目回答正确的概率均为12，对抽取的B 题库中的题目回答正确的概率为23.设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为X .(1)求X =2时的概率；(2)求X 的分布列及数学期望E （X ）.【答案】(1)512(2)分布列见解析，53【分析】（1）由题意分析：X =2表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，直接求概率；（2）X 的可能取值为0,1,2,3.分别求概率，计算数学期望.【详解】(1)X =2不表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，所以()11211152222322312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.所以()1111022312P X ==⨯⨯=；()1111121122232233P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=；()112132236P X ==⨯⨯=. X 的分布列为：X 01 2 3 P 112 13 51216所以数学期望为：()1151501231231263E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 20．如图，底面为正方形的平行六面体1111ABCD A B C D -的各个棱的长度均为12,60CDD ∠=，平面11DCC D ⊥平面,,ABCD M N 分别是11,BC A D 的中点.(1)证明：AN ∥平面1C DM ；(2)求点C 到面1C DM 的距离.【答案】(1)证明见解析2 【分析】（1）利用向量的线性运算判断出1//AN MC ，利用线面平行的判定定理证明//AN 平面1C DM ；（2）以{},,DA DC DP 为一组正交基底，建立空间直角坐标系D xyz -，用向量法求点C 到面1C DM 的距离. 【详解】(1)由题1111112AN AA A N CC BC CC MC MC =+=+=+= 则1//AN MC 又AN ⊄平面1C DM ，所以//AN 平面1C DM .(2)在平面11CDD C 内，过点D 作DP DC ⊥，由平面11DCC D ⊥平面ABCD 可知：DP ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形.现以{},,DA DC DP 为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则 ()()()10,0,0,1,2,0,0,3,3D M C设(),,m x y z =为平面1C DM 的法向量，则100m DM m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以20,330.x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 不妨取1y =-,则()2,1,3m =-.又()0,2,0C ，所以()0,2,0DC =则0202m DC ⋅=-+=-则点C 到面1C DM 的距离为：22.28m DCh m ⋅===21．某工厂对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测.当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.(1)若此批零件检测未通过，求恰好检测4次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为100元，合格零件的售价为180元/件.现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以20元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为30元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8. ①记X 为生产一件零件获得的利润，求X 的分布列和数学期望.②小明说，对于不合格零件，直接按照废品处理更划算，从利润的角度出发，你同意小明的看法吗？试说明理由.【答案】(1)0.0243(2)①分布列见解析，73.8（元）；②不同意小明的看法，因为修复不合格雪件获得利润的数学期望更大【分析】（1）根据题意，由第四次检验不合格，前三次有一次检验不合格求解； （2）①易得X 可取80，50，110-，求得相应的概率，列出分布列，再求期望；②由两个期望比较下结论.【详解】(1)解：若此批零件检测末通过，恰好检测4次，则第四次检验不合格，前三次有一次检验不合格，故恰好检测4次的概率1230.1(10.1)0.10.0243P C =⨯⨯-⨯=.(2)①由题意可得，合格产品利润为80元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为110-元，则X 可取80，50，110-，故()800.9P X ==，()500.10.80.08,P X ==⨯=()1100.10.20.02,P X =-=⨯= 故X 的分布列为：故()800.9500.081100.0273.8E X =⨯+⨯-⨯=（元）.②对于不合格零件，直接按照废品处理，则每个零件获得利润的数学期望为： 800.9800.164⨯-⨯=（元）又6473.8<故不同意小明的看法，因为修复不合格零件获得利润的数学期望更大22．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：,,i j k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n xi yj zk =++，则n 与有序实数组（x ，y ，z ）相对应，称向量n 的斜60°坐标为[x ，y ，z ]，记作[,,]n x y z =.(1)若[]1,2,3a =，[1,1,2]b =-，求a b +的斜60°坐标；(2)在平行六面体11ABCD ABC D -中，AB =AD =2，AA 1=3，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，如图，以{}1,,AB AD AA 为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若1BE EB =，求向量1ED 的斜60坐标；②若[]2,,0AM t =，且1AM AC ⊥，求AM .【答案】(1)[0,3,5](2)①32,2,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；②2 【分析】（1）根据所给定义可得23a i j k =++，2b i j k =-++，再根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）设,,i j k 分别为与1,,AB AD AA 同方向的单位向量，则12,2,3AB i AD j AA k ===，①根据空间向量线性运算法则得到1112ED AB AD AA =-++，即可得解； ②依题意1223AC i j k =++、2AM i tj =+且10AM AC ⋅=根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求出t ，再根据2(22)AM i j =-及向量数量积的运算律计算可得；【详解】(1)解：由[]1,2,3a =，[]1,1,2b =-，知23a i j k =++，2b i j k =-++， 所以(23)(2)a b i j k i j k +=+++-++35j k =+，所以[0,3,5]a b +=；(2)解：设,,i j k 分别为与1,,AB AD AA 同方向的单位向量，则12,2,3AB i AD j AA k ===， ①11ED AD AE =-()1112AD AA AB AA ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ 112AB AD AA =-++ 3222i j k =-++ 32,2,2⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ ②由题11223AC AB AD AA i j k =++=++， 因为[]2,,0AM t =，所以2AM i tj =+， 由1AM AC ⊥知()()122320AM AC i j k i tj ⋅=++⋅+= ()224242630i tj t i j k i tk j ⇒+++⋅+⋅+⋅=()1342423022t t t ⇒+++⋅++= 2t ⇒=-则()22222AM i j i j =-=-22448i j i j +-⋅2=⋅。

2021-2022年高二下学期期中考试数学试题含答案一、填空题（每题4分，共48分）1、抛物线的准线方程为___________.2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是，则椭圆的标准方程为___________.3、经过点且与直线平行的直线的方程为___________.4、过点且与圆相切的直线的方程是___________.5、如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么双曲线的标准方程为___________.6、已知点是椭圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为___________.7、已知椭圆的两个焦点为、，点在此椭圆上，且，则的面积为___________.8、椭圆上点到两焦点距离之积为，则最大时点的坐标为___________.9、已知双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为18，是的中点，为坐标原点，则=___________.10、设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若点，的重心与抛物线的焦点重合，则边所在直线的方程为___________.11、已知过点的直线与抛物线交于不同的两点、，则的值为___________.12、下列四个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角；②直线与以、两点为端点的线段相交，则或；③如果实数满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.其中正确命题的序号是___________.二、选择题（每题4分，共16分）13、点在直线上，则到原点距离的最小值是（ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）.14、若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数为（ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）不确定.15、直线的倾斜角的取值范围是（ ）（A ）； （B ）；（C ）； （D ）.16、直线与圆2222410x y mx my m +--+-=的位置关系是（） （A ）相交但不过圆心； （B ）相交且肯定过圆心；（C ）相交或相切； （D ）相交或相切或.三、简答题（8+10+12+12+14，共56分）19、从射出一条光线，经过轴反射后过点，求反射点的坐标.18、已知抛物线截直线所得弦长为.（1）求的值；（2）在轴上求一点，使的面积为39.19、已知双曲线.（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程；（2）直线分别交双曲线的两条渐近线于两点.当时，求实数的值.20、已知，，若过点、以为法向量的直线与过点、以为法向量的直线相交于动点. （1）求直线和的方程；（2）求直线和的斜率之积值，并证明动点的轨迹是一个椭圆；（3）在（2）的条件下，设椭圆的两个焦点为.若是上两个不同的动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由.21、点分别是椭圆长轴的左右端点，是其右焦点.点在椭圆上，位于轴上方，且. （1）求点坐标；（2）点是椭圆长轴上的点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点距离的最小值.上外附属大境中学xx第二学期期中考试高二年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：120分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________一、填空题（每题4分，共48分）1、抛物线的准线方程为____.2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是，则椭圆的标准方程为____.3、经过点且与直线平行的直线的方程为____.4、过点且与圆相切的直线的方程是__或__.5、如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么双曲线的标准方程为____.6、已知点是椭圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为____.7、已知椭圆的两个焦点为、，点在此椭圆上，且，则的面积为__8__.8、椭圆上点到两焦点距离之积为，则最大时点的坐标为____.9、已知双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为18，是的中点，为坐标原点，则=__4__.10、设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若点，的重心与抛物线的焦点重合，则边所在直线的方程为____.11、已知过点的直线与抛物线交于不同的两点、，则的值为____.12、下列四个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角；②直线与以、两点为端点的线段相交，则或；③如果实数满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.其中正确命题的序号是__②③__.二、选择题（每题4分，共16分）13、点在直线上，则到原点距离的最小值是（ B ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）.14、若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数为（ C ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）不确定.15、直线的倾斜角的取值范围是（ A ）（A ）； （B ）；（C ）； （D ）.16、直线与圆2222410x y mx my m +--+-=的位置关系是（ A ）（A ）相交但不过圆心； （B ）相交且肯定过圆心；（C ）相交或相切； （D ）相交或相切或.三、简答题（8+10+12+12+14，共56分）19、从射出一条光线，经过轴反射后过点，求反射点的坐标.关于轴的对称点为，则直线方程为，则反射点即为直线与轴交点，.18、已知抛物线截直线所得弦长为.（1）求的值；（2）在轴上求一点，使的面积为39.（1）2242202y x y y b y x b⎧=⇒-+=⎨=+⎩，AB ===，解得.（2）由得，设，则由点到直线距离公式可得：，解得或，即或.19、已知双曲线.（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程；（2）直线分别交双曲线的两条渐近线于两点.当时，求实数的值.（1）（2）的两条渐近线分别为，则交点分别为和，从而由题意224333m m OA OB m ⋅=-+=⇒=20、已知，，若过点、以为法向量的直线与过点、以为法向量的直线相交于动点.（1）求直线和的方程；（2）求直线和的斜率之积值，并证明动点的轨迹是一个椭圆；（3）在（2）的条件下，设椭圆的两个焦点为.若是上两个不同的动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由.（1）；（2），椭圆方程为（3），设.由得，即，则当且仅当时，取到最小值为，此时(2,EM FN +=+=，与是平行的.21、点分别是椭圆长轴的左右端点，是其右焦点.点在椭圆上，位于轴上方，且. （1）求点坐标；（2）点是椭圆长轴上的点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点距离的最小值.（1）；（2），椭圆上的点到点距离的最小值为，此时椭圆上点的横坐标为40338 9D92 鶒Yt?24795 60DB 惛24880 6130 愰N30153 75C9 痉36851 8FF3 迳39976 9C28 鰨26304 66C0 曀27921 6D11 洑。

仙游一中2022-2023年度下学期期中考高二年数学试题一，单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1．i 为虚数单位,若i 3)i 3(-=+z ,则=||z ()A ．1B ．2C ．3D ．22.某制药厂为了检验某种疫苗预防地作用,把1000名使用疫苗地人与另外1000名未使用疫苗地人一年中地记录作比较,提出假设0H ：“这种疫苗不能起到预防地作用”,利用22⨯列联表计算得2 3.918K ≈,经查对临界值表知()2 3.8410.05P K ≥≈.则下面结论中,正确地结论是（）A ．若某人未使用该疫苗,则他在一年中有95%地可能性生病B ．这种疫苗预防地有效率为95%C ．在犯错误地概率不超过5%地前提下认为“这种疫苗能起到预防地作用”D ．有95%地把握认为这种疫苗不能起到预防生病地作用3.已知随机变量X 地分布列表如下表,且随机变量23Y X =+,则Y 地期望是（）X-11P1213m A ．73B ．53C ．13D ．164.63x x ⎛- ⎝地展开式中常数项为（）A ．135-B ．135C ．15-D ．155.函数地图象如图所示,则不等式+3ʹ<0地解集为 A ．−∞,−3∪−1,1B ．−∞,−3C ．−∞,−1∪1,+∞D ．1,+∞6.在8张奖券中有一，二，三等奖各1张,其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同地获奖情况有（）种．A ．24B ．36C ．60D ．1087.若函数f (x )＝e x ﹣ax 2（a ∈R ）在（0,+∞）有两个不同地零点,则实数a 地取值范围是（）A ．（22,+∞）B ．（2,+∞）C ．（4,+∞）D ．（24,+∞）8.设F 为双曲线）＞,＞00(1:2222b a by a x C =-地右焦点,过点F 且斜率为-1地直线l 与双曲线C 地两款渐近线分别交于B A ,两点,若AF AB 3-=,则双曲线C 地离心率=e ()A.310 B.25C.5D.334二，多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出地选项中,有多项符合题目要求．全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分．9．某班级学生开展课外数学探究活动,将一杯冷水从冰箱中取出后静置,在25C o 地室温下测量水温(y 单位)C随时长x （单位：min ）地变化关系,在测量了15个数据后,依据这些实验数据()(),1,2,,15i i x y i =得到如下地散点图：现需要选择合适地回归方程进行回归思路,则依据散点图,合适地回归方程类型有（）A ．2125e c xy c -=-B ．1225y c x c =+C ．12125y c x c=-+D ．()1225y c x c =-+10．有关函数x xx f ln 1)(+=,下面表达正确地是（）A ．f （1）是f （x ）地极大值B ．函数y ＝f (x )﹣x 有且只有1个零点C ．f （x ）在（﹣∞,1）上单调递减D ．设g （x ）＝xf （x ）,则o 1)＜o p 11．已知数列{}n a 地前n 项和为2n 33S n n =-,则下面表达正确地是（）A ．342n a n=-B ．16S 为n S 地最小值C ．1216272a a a +++= D ．1230450a a a +++= 12．甲盒中有3个红球和2个白球,乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件E 表示“从甲盒中取出地是红球”,用事件F 表示“从甲盒中取出地是白球”。

2021-2022学年天津市第四中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．函数()3222f x x cx c x =-+在2x =处取极小值，则c =（ ）A ．6或2B ．6或2-C ．6D ．2【答案】D【分析】先求导数，根据()20f '=求得c ，再代入验证是否满足题意.【详解】()()222342128=02f x x cx c f c c c ''=-+∴=-+∴=或6c =当6c =时，()2324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，当2x <时()0f x '>，当26x <<时()0f x '<，函数()f x 在2x =处取极大值，不符题意，舍去；当2c =时，()2384(2)(32)f x x x x x '=-+=--，当2x >时()0f x '>，当223x <<时()0f x '<，函数()f x 在2x =处取极小值， 故选：D【点睛】本题考查函数极值，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，()2,X B p ，若()519P X ≥=，则()D Y =（ ）A ．3B ．13C ．4D ．43【答案】C【分析】由~(2,)X B p ，5(1)9P X =，求出p 值，利用二项分布的方差公式求出()D X ，再利用方差的线性性质，即可得到答案．【详解】由于随机变量X 满足： ~(2,)X B p ，5(1)9P X =， ∴022(0)1(1)C (1)94P x P X p ==-=-=， 解得：13p =，即1~(2,)3X B124()(1)2339D X np p ∴=-=⨯⨯=，又随机变量X ，Y 满足：31Y X =-， ∴2(4)=3)(D X D Y =，故选：C.3．若2501552(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则3a =（ ）A ．8B ．8-C ．10D ．10-【答案】C【分析】根据已知条件需要对二项展开式进行转化，然后利用二项展开式通项再求3a 即可.【详解】令1t x =-，则1x t =+，原式转化为：()25012551t a a t a t a t +=++++则二项展开式通项为：15C r r r T t +=∴则33345C 10T t t ==310a ∴=故选：C.4．某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（ ） A ．0.2 B ．0.25 C ．0.4 D ．0.8【答案】B【分析】根据正态分布的对称性得到对称轴为4ξ=，得到摄像头在4年内能正常工作的概率为12，再计算概率得到答案.【详解】()20.8P ξ≥=，()60.2P ξ≥=，所以()()260.2P P ξξ=>=<. 所以正态分布曲线的对称轴为4ξ=，即()412P ξ≤=， 即一个摄像头在4年内能正常工作的概率为12.所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为111224⨯=.故选：B.5．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ） A ．0.6 B ．0.85C ．0.868D ．0.88【答案】C【分析】记事件B 表示从仓库中随机提出的一台是合格品，i A 表示提出的一台是第i 车间生产的，1i =，2，分别求出()1P A ，()2P A ，()1P B A ，()2P B A ，再由全概率公式即可求解.【详解】设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件B ， 事件i A 表示提出的一台是第i 车间生产的，1i =，2， 由题意可得()120.45P A ==，()230.65P A ==，()10.85P B A =，()20.88P B A =，由全概率公式得()()()()()11220.40.850.60.880.868P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=．所以该产品合格的概率为0.868， 故选：C.6．设n ∈+N ,则12233555......5n nn n n n C C C C ++++除以7的余数为A ．0或5B ．1或3C ．4或6D ．0或2【答案】A【分析】用二项式定理化简整理得到7(1)1,n M M z +--∈，分n 为奇数或偶数，得到余数. 【详解】12233555......5n n n n n n C C C C ++++=0122330555......5n n nn n n n n C C C C C C +++++-(15)1n =+-(71)1n =--7(1)1,n M M z =+--∈，当n 为奇数时，余数为5，当n 为偶数时，余数为0,故选：A.7．给图中A ，B ，C ，D ，E 五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种【答案】D【分析】先对A ，B ，C 三个区域染色，再讨论B ，E 是否同色．【详解】当B ，E 同色时，共有432248⨯⨯⨯=种不同的染色方案， 当B ，E 不同色时，共有4321124⨯⨯⨯⨯=种不同的染色方案， 所以共有72种不同的染色方案． 故选：D ．8．若函数()1ln f x x a x =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，则常数a 的取值范围（ ） A ．11ln 222a <<+ B ．11ln 22a <<+ C ．12ln 2a <<-D ．11ea <<【答案】B【分析】将问题转化为函数()1ln g x x x=+与函数()h x a =的图像有2个交点，利用导数研究()g x 的极值或最值即可得到答案.【详解】令1ln 0x a x+-=，则1ln x a x +=，因为函数()1ln f x x a x =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，则函数()1ln g x x x=+与函数()h x a =的图像有2个交点，又()22111x g x x x x -'=-=， 1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()1ln g x x x =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，()()1111,2ln 2,ln 2222g g g ⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭，且()122g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭函数()1ln g x x x =+与函数()h x a =的图像有2个交点，所以11ln 22a <<+.故选：B.9．已知随机变量X 的分布列为：设21Y X =+，则Y 的数学期望()E Y 的值是（ ）A ．16-B ．13C ．23D ．23-【答案】C【分析】根据分布列的性质可求出a ，再根据期望公式即可求出随机变量X 的数学期望，最后根据()()21E Y E X =+，即可求出随机变量Y 的数学期望.【详解】根据分布列的性质，得11126a ++=，解得13a =，所以随机变量X 的数学期望为()11111012636E X =-⨯+⨯+⨯=-．又21Y X =+，所以随机变量Y 的数学期望为()()12212163E Y E X ⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭．故选：C. 二、填空题10．1921C C n nn n --+=______.【答案】21【分析】由题意可得1921n nn n -≤⎧⎨≤-⎩，且n *∈N ，从而可求出n ，进而可求得答案【详解】∵1921n nn n -≤⎧⎨≤-⎩，∴9.510.5n ≤≤.∵n *∈N ，∴10n =.∴19910112110111011C C C C C C 21n n n n --+=+=+=.故答案为：2111．若函数33,,()2,x x x a f x x x a ⎧-+≥=⎨<⎩有最大值，则实数a 的取值范围是___________.【答案】[]2,1-【分析】在同一个坐标系内作出3()3f x x x =-+和()2f x x =的图像，求出交点的坐标，计算出332x x -+=，得到2x =-或1x =，由函数()f x 有最大值，列不等式组求出实数a 的取值范围.【详解】对于33y x x =-+，求导得：233y x '=-+. 令0y '=，解得：1x =-或1x =.列表得：在同一个坐标系内作出3()3f x x x =-+和()2f x x =的图像如图所示：令332x x x -+=，解得：1x =±或0x =，即()1,2--A ,()()0,0,1,2O B . 由图像可知33y x x =-+的极大值为2，令332x x -+=，解得：2x =-或1x =.因为函数33,,()2,x x x a f x x x a ⎧-+≥=⎨<⎩有最大值，且所以函数()f x 的最大值必在[),a +∞上取的.只需满足21a a ≥-⎧⎨≤⎩，故实数a 的取值范围是[]2,1-. 故答案为：[]2,1- 12．已知()202122021012202112x a a x a x a x -=++++，则0122021a a a a ++++=______.【答案】20213【分析】由展开式的通项可知132021,,,a a a 均为负值，所以赋值令1x =-即可求出答案.【详解】易得()202112x -的展开式的通项为()()12021C 20,1,2,,2021rrr T x r +=-=，结合()202122021012202112x a a x a x a x -=++++⋅，知132021,,,a a a 均为负值，∴012202101232021a a a a a a a a a ++++=-+-+-.令1x =-，代入原式可得2021012320213a a a a a =-+-+-.故202101220213a a a a ++++=，故答案为：20213.13．函数()ln f x x x =-的最小值___________ 【答案】1【分析】本题首先可根据导函数的相关性质求出函数()ln f x x x =-的单调性，然后根据函数()f x 的单调性即可得出函数()f x 的最小值． 【详解】因为()ln f x x x =-，所以1110x f x x x x， 当()0f x '>，10x x->，解得1x >，函数()f x 是增函数； 当()0f x '<，10x x-<，解得01x <<，函数()f x 是减函数； 故当1x =时，函数()f x 取最小值，()11ln11f =-=．【点睛】本题考查如何求函数的最值，主要考查根据导函数求函数单调性以及最值，考查计算能力，是简单题．14．一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野兔的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野兔的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为__________. 【答案】10113【分析】记事件A =“猎人第一次击中野兔”，B =“猎人第二次击中野兔”，C =“猎人第三次击 中野兔”，D“野兔被击中”，注意B 的发生是A 不发生的情况才可能发生，由概率公式计算出概率，求出(),()P D P B 后，再由条件概率公式计算．【详解】记事件A =“猎人第一次击中野兔”，B =“猎人第二次击中野兔”，C =“猎人第三次击中野兔”，D“野兔被击中”，则()()()()()0.80.2P D P A B C P A P B P C =++=++=+⨯0.40.20.60.20.904+⨯⨯=， ()0.20.40.08P B =⨯=，()()()()0.0810()0.904113P BD P B P B D P D P D ====∣，故答案为：10113． 15．2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）． 【答案】180【分析】分为两类：第一类是一组3人，另一组5人，第二类是两组均为4人，然后根据人数分组，再进行排列即可. 【详解】分配的方案有两类，第一类：一组3人，另一组5人，有()3282C 1A 110-⋅=种；第二类：两组均为4人，有44284252C C A 70A ⋅=种，所以共有11070180N =+=种不同的分配方案． 故填：180【点睛】本题考查了分类计数原理和分步计数原理以及排列组合数的计算，属于中档题目，解题中需要注意分组的条件要充分考虑到，防止重复和遗漏. 三、解答题16．某兴趣小组有9名学生，若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是1528. (1)该小组中男女学生各多少人？(2)9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？ 【答案】(1)男生6人，女生3人 (2)60479【分析】（1）设9名学生中有女生n 人，由选取的3人中恰好有一个女生的概率是1528可构造方程求得n 的值，由此可得男女生人数； （2）利用排列数知识，采用缩倍法可计算得到结果. 【详解】(1)设9名学生中有女生n 人，则男生有9n -人， ∴从9名学生中选取3人，恰好有一个女生的概率()()1293998C C 152C8428nn n n n p ---===，解得：3n =，∴该小组中有男生936-=人，女生3人.(2)9名学生站队共有99A 种站队方法；3名女生站队共有33A 种站队方法；∴重新站队的方法有9933A 160479A -=种.17．高二某班级举办知识竞赛，从A ，B 两种题库中抽取3道题目（从A 题库中抽取2道，从B 题库中抽取1道）回答.小明同学对抽取的A 题库中的每道题目回答正确的概率均为12，对抽取的B 题库中的题目回答正确的概率为23.设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为X . (1)求X =2时的概率；(2)求X 的分布列及数学期望E （X ）. 【答案】(1)512(2)分布列见解析，53【分析】（1）由题意分析：X =2表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，直接求概率；（2）X 的可能取值为0,1,2,3.分别求概率，计算数学期望.【详解】(1)X =2不表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，所以()11211152222322312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.所以()1111022312P X ==⨯⨯=；()1111121122232233P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=；()112132236P X ==⨯⨯=.X 的分布列为：所以数学期望为：()1151501231231263E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 18．已知函数321()13f x x x ax =+++.(1)当3a =-时，求函数()f x 的单调区间与极值；(2)若函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()f x 的单调递增区间为(),3-∞-和()1,+∞ ,减区间为()3,1；()f x 的极大值为10 ,极小值为23-； (2)[)1,+∞【分析】（1）根据已知条件及导数的正负与函数单调性的关系，再利用函数的极值的定义，结合导数法求函数单调性极值的步骤即可求解；（2）根据已知条件将所求问题转化()0f x '≥在[2,]a -上恒成立，利将恒成立问题转为为最值问题，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】(1)当3a =-时,321()313f x x x x =+-+则()()2()2331f x x x x x '=+-=+-令()0f x '>,即()()310x x +->，解得1x >或3x <-； 令()0f x '<,即()()310x x +-<，解得31x -<<；所以函数()f x 的单调递增区间为(),3-∞-和()1,+∞ ,减区间为()3,1-.当1x =时，()f x 取的极小值为3212(1)1131133f =⨯+-⨯+=-，当3x =-时，()f x 取的极大值为()()()321(3)33331103f -=⨯-+--⨯-+=.所以()f x 的极大值为10 ,极小值为23-.(2)由321()13f x x x ax =+++，得2()2f x x x a '=++，因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增，所以()0f x '≥在[2,]a -上恒成立，即min ()0f x '≥，[2,]x a ∈-即可 ()22()211f x x x a x a '=++=++-，对称轴为1x =，开口向上，当1a >-时，()()2min ()(1)1211f x f a a ''=-=-+-+=- ， 即10a -≥，解得1a ≥，所以1a ≥.当21a -<≤-时，由22min ()()23f x f a a a a a a ''==++=+即230a a +≥，解得0a ≥或3a ≤-，所以a ∈∅. 综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞.。

2021-2022学年江苏省南通市重点中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-且a c ⊥，//b c ，则a b +=（ ）A ．B ．C ．4D ．3【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =， 因为//b c ，则136y=-，解得2y =-，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，413a b +=+. 故选：D.2．3245A C -=（ ）A ．9B ．12C ．14D ．4【答案】C【分析】利用排列数公式可组合数公式可求得结果.【详解】324554A C 432142⨯-=⨯⨯-=. 故选：C.3．对图中的A ，B ，C 三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（ ）A ．22种B ．18种C ．12种D ．6种【答案】C【分析】根据染色的规则排列组合即可. 【详解】先给A 选色，有13C 种方法； 再给B 选色，有12C 种方法；再给C 选色，有12C 种方法；共有111322C C C 12= 种方法；故选：C.4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++a 202020C 2⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019【答案】B【分析】利用二项式定理可得()10101a =-，再利用二项式定理展开即可得解.【详解】因为0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++a 202020C 2⋅()()201010129101=+==-0101928910101010C 10C 10C 10C 1011(mod10)=⋅-⋅+⋅--⋅+≡,四个选项中，只有2021b =时，除以10余数是1． 故选：B ．5．已知空间中三点()1,0,0A ，()2,1,1B -，()012C -，，，则点C 到直线AB 的距离为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=- 则点C 到直线AB 的距离为22AC AB d AC AB ⎛⎫⋅⎪=-== ⎪⎝⎭故选：A6．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且，M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．111222a b c -++B ．111222a b c ++C ．122121a b c +-D ．111222a b c -+【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：11111()22222MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++，故选：A7．已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过2次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ） A ．115B ．215C ．415D ．1415【答案】A【分析】把6个产品编号，用列举法写出两次测试的所有可能，计数后由概率公式计算可得．【详解】2个次品编号为1，2，4个合格品编号为a b c d ,,,，不考虑前后顺序时两次测试的可能情形是：12,1,1,1,1,2,2,2,2,,,,,,a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd 共15种，考虑前后顺序时两次测试的可能情形有30种，其中12，21这两种情形表示经过2次测试恰好将2个次品全部找出， 因此概率为213015P ==． 故选：A ．8．若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件B 不发生条件下事件A 发生的既率D ．事件A ､B 同时发生的概率 【答案】A【分析】根据题意结合条件概率的公式，推出阴影部分的面积，可得其含义，即得答案. 【详解】由题意可知：阴影部分面积为：(|)()(|)(1())()(|)()P A B P B P A B P B P AB P A B P B ⋅+⋅-=+⋅ ()()()P AB P AB P A =+= ,故选：A 二、多选题9．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：m n mn n C C -=B ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：11r r r n n n C C C -+=+C ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：0122nn nn n n C C C C ++++=D ．由“11111=，211121=，3111331=”猜想51115101051= 【答案】ABC【分析】根据杨辉三角的性质结合二项式定理即可判断.【详解】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A 、B 、C 正确； 5505142332415555555111011010101010161051C C C C C C ，故D 错误.故选：ABC.【点睛】本题考查杨辉三角的性质和二项式定理，属于基础题.10．已知空间向量(2,1,1)a =--，(3,4,5)b =，则下列结论正确的是（ ） A ．(2)//a b a +B ．5||3||a b =C ．(56)a a b ⊥+D ．a 与b 【答案】BC【分析】根据空间向量平行的坐标表示，模的坐标运算，垂直的坐标表示，数量积的定义计算后判断．【详解】解：因为2(1,2,7)a b +=-，(2,1,1)a =--，而121211≠≠--，故A 不正确； 因为||6a =，||52b =，所以5||3||a b =，故B 正确：因为2(56)565(411)6(645)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+++⨯--+=，故C 正确；又5a b ⋅=-，cos ,6a b <>==，故D 不正确．故选：BC.11．下列说法中，正确的选项是（ ）． A ．所有元素完全相同的两个排列为相同排列．B ．()()()A 121mn n n n n m =---+．C ．若组合式C C x mn n =，则x m =成立．D ．222232341C C C C C n n +++++=．【答案】BD【分析】根据排列的而定义判断A;根据排列数公式判断B;根据组合数的性质判断C ，D.【详解】对于A ，因为排列是有顺序的，因此元素相同顺序可能不同，这样的排列是不同的排列，故A 错误；对于B ，根据排列数的公式()()()A 121mn n n n n m =---+，正确；对于C ，组合式C C x mn n =，则x m =或x m n += ，故C 错误；对于D ，22223222322323234334441C C C C C C C C C C C C C C n n n n n n +++++=++++=+++==+=，故D 正确， 故选：BD12．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ） A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06 B ．任取一个零件是次品的概率为0.053C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为1553D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为2053【答案】BCD【分析】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件，则1(|)6%P A B =，23(|)(|)5%P A B P A B ==，1()30%P B =，2()30%P B =，3()40%P B =，再依次求选项中的概率即可．【详解】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件， 则1(|)6%P A B =，23(|)(|)5%P A B P A B ==，1()30%P B =，2()30%P B =，3()40%P B =，对于选项A ，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为1()6%30%0.018P AB =⨯=，故错误；对于选项B ，任取一个零件是次品的概率为123()()()()6%30%5%30%5%40%0.053P A P AB P AB P AB =++=⨯+⨯+⨯=，故正确；对于选项C ，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为2222()(|)()5%30%(|)()150.0535)3(P AB P A B P B P B A P A P A ⨯====，故正确； 对于选项D ，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为3333()(|)()5%40%(|)()200.0535)3(P AB P A B P B P B A P A P A ⨯====，故正确； 故选：BCD ． 三、填空题13．若()()()()17217012171111x a a x a x a x -=+++++++，则012317a a a a a +++++=_________．【答案】-1【分析】运用赋值法，令x =0即可求解. 【详解】令x =0，则 ()1711x -=- ， ()()()21701217012171111a a x a x a x a a a a +++++++=++++=- ，故答案为：-1.14．若直线l 的方向向量为()2,0,1v =，平面α的一个法向量为()2,2,0n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为_________．【答案】105【分析】利用空间向量的夹角公式，即可求出直线l 与平面α所成角的正弦值． 【详解】直线l 的方向向量为(2,0,1)v =，平面α的一个法向量为(2,2,0)n =-， ∴直线l 与平面α所成的角的正弦值为410cos ,54144v n -==+⋅+, 故答案为：105． 15．将某商场某区域的行走路线图抽象为一个223⨯⨯的长方体框架（如图），小红欲从A 处行走至B 处，则小红行走路程最近的路线共有_________．（结果用数字作答）【答案】210【分析】由题意分析得路线应该是3次向上,2次向右,2次向前，从而得到答案. 【详解】由题意,最近的路线应该是3次向上,2次向右,2次向前,一共走7次,所以路线共有3274C C 210=,故答案为：210 四、双空题16．将5个不同小球装入编号为1，2，3，4的4个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将5个相同小球放入这4个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法．（结果用数字作答） 【答案】 240 56【分析】5个不同的球按个数1，1，1，2分成四组，放入4个不同盒子可得第一空答案；第二空由于5个球相同，不同放法只是球的个数不同，因此可先借4个球，相当于9个球，用隔板法分成四组后放入盒子，用组合数定义可得．【详解】5个不同小球分成4组，每组个数分别为1，1，1，2，不同的分组情况有2510C =种方法，再将4组球放入4个不同盒子，共2454240C A ⋅=种方法.5个相同小球放入4个盒子，若允许有空盒子，可先借4个小球，共9个小球，再用隔板法分成4组放入盒子，共3856C =种方法．故答案为：240；56． 五、解答题17．如图所示，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF CE ∥，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==，平面ABCD ⊥平面BCEF .(1)求证：AF ∥平面CDE ；(2)平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得()0,2,4AF =-，求出平面CDE 的一个法向量CB ，计算0AF CB ⋅=，即可证明结论；（2）求得平面ADE 的一个法向量，再求得平面BCEF 一个法向量，根据向量的夹角公式求得答案. 【详解】(1)证明：∵四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形， ∴BC CE ⊥，BC CD ⊥，又∵平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD 平面BCEF BC =， ∴DC ⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意可得以下点的坐标：()2,0,4A ，()2,0,0B ，()0,0,0C ，()0,0,4D ，()0,4,0E ，()2,2,0F ，则()0,2,4AF =-，()2,0,0CB =．∵BC CD ⊥，BC CE ⊥，CD CE C =，CD 、CE ⊂平面CDE ， ∴BC ⊥平面CDE ，∴CB 为平面CDE 的一个法向量．又()0220400AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，且AF ⊂/平面CDE ， ∴AF ∥平面CDE ．(2)设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =， 则()2,0,0AD =-，()0,4,4DE =-，20440AD n x DE n y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩， 令1y =，可取得()0,1,1n =， ∵DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为()0,0,4CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α， 则42cos 42CD n CD nα⋅==⨯⋅ 因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为π4． 18．（1）解方程：2399x x C C x N -=∈（）；（2）解不等式：1996x x A A x N ->∈（）【答案】（1）3x =或4;x =（2）{}2,3．【分析】（1）根据组合数的性质，得到关于x 的方程，解得x 的值；（2）根据排列数的公式，得到关于x 的分式不等式，解出x 的范围，再结合x ∈N ，得到答案【详解】解：()1因为2399x x C C -=,所以23x x =-或239x x +-=, 解得3x =或4;x =()19926x x A A ->,解原不等式即()()9!69!9!91!x x ⨯>--+，整理得106x ->，即4x <119x x -≥⎧⎨≤⎩，所以92x ≤≤ 所以得到24x ≤<， 而x ∈N 故2x =或3．∴原不等式的解集为{}2,3．【点睛】本题考查解组合数方程和排列数不等式，属于中档题.19．已知在()12nx +的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．(1)求n 的值；(2)求含2x 的项的系数；(3)求()()6121n x x +⨯+展开式中含2x 的项的系数. 【答案】(1)6n = (2)60 (3)147【分析】（1）利用二项式系数的比值求出n ；（2）在第一问求出的n 的基础上，写出展开式的通项公式，求出含2x 的项的系数；（3）利用通项公式分别写出()612x +与()61x +的符合题意得项，相乘再相加即可.【详解】(1)∵211C :C =5:22n n n -=， ∴6n =．(2)设()12nx +的展开式的通项为1r T +，则16C 2r r r r T x +=⋅⋅，令2r =． ∴含2x 的项的系数为226C 260⋅=； (3)由（1）知：()()()()666121121n x x x x +⨯+=+⨯+展开式中含2x 项的系数为：220111002666666C 2C 1C 2C 1C 2C 1147⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 所以展开式中含2x 项的系数为14720．今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴上海新冠肺炎防治一线．(1)求所选3人中恰有1名女医生的概率；(2)设“男医生甲被选中”为事件A ，“女医生乙被选中”为事件B ，求()P B 和()P B A ． 【答案】(1)35 (2)()12P B =，()25P B A = 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式即可求出．【详解】(1)设所选3人中恰有1名女医生为事件M ，()214236C C 3C 5P M ==， 故所选3人中恰有1名女医生的概率为35. (2)()()2536C 1C 2P B P A ===，()1436C 1C 5P AB ==，()()()125|152P AB P B A P A ===． 21．如图，正三角形ABE 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，2AB =，60ABC ∠=︒，M 是AB 的中点．(1)求证：EM AD ⊥；(2)求点B 到平面EAC 的距离；(3)已知点P 在线段EC 上，且直线AP 与平面ABE 所成的角为45°，求出EP EC 的值． 【答案】(1)证明见解析(2)2155 (3)23EP EC = 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直,进而可得线线垂直.（2）根据空间向量求点面距离.（3）在空间直角坐标系中，利用空间向量求解线面角，进而可知点的位置，进而可求解.【详解】(1)∵EA EB =，M 是AB 的中点，∴EM AB ⊥，∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE 平面ABCD AB =，EM ⊂平面ABE ， ∴EM ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴EM AD ⊥.(2)由（1）知EM ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴EM CM ⊥，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，所以ABC 是正三角形， ∴MC AB ⊥．∴,,ME MC MB 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系M -xyz ．则()0,0,0M ，()1,0,0A -，()1,0,0B ，()3,0C ，(3E ，()1,3,0AC =，(3AE =，()2,0,0BA =-，设(),,m x y z =是平面ACE 的一个法向量， 则3030m AC x m AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩， 令1z =，得()3,1,1m =-，设点B 到平面EAC 的距离为d ，则232155m BAd m ⋅===∴点B 到平面EAC(3)因为y 轴垂直平面ABE ,所以设平面ABE 的法向量为()0,1,0n =(AE =，(EC =，设()0,,EP EC λ==，()01λ≤≤，则()1,AP AE EP =+=，∵直线AP 与平面ABE 所成的角为45°， sin 45cos ,AE nAP n AP n ⋅︒=<>=⋅== 由01λ≤≤，解得23λ=， ∴23EP EC =． 22．请先阅读：在等式()2cos22cos 1x x x =-∈R 的两边求导，得：()()2cos 22cos 1x x ''=-，由求导法则，得()()sin 224cos sin x x x -⋅=⋅-，化简得等式：sin 22cos sin x x x =⋅．利用上述的想法，结合等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++（x ∈R ，正整数2n ≥）． (1)求1231010101010C 2C 3C 10C ++++的值．(2)求证：()212223221C 2C 3C C 12n n n n n n n n n -++++=+． 【答案】(1)5120(2)证明见解析【分析】（1）在等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++两边对x 求导，然后令1x =，10n =，可求得所求代数式的值；（2）由（1）可得出()1122331C 2C 3C C n n n n n n n nx x x x x n x -+=++⋅++⋅，在此等式两边对x求导，然后令1x =可证得结论成立.【详解】(1)解：在等式()01221C C C C n n n n n n n x x x x +=++++（x ∈R ，正整数2n ≥），两边对x 求导得：()1123211C 2C 3C C n n n n n n n n x x x n x --+=++⋅++⋅①，令1x =，10n =，可得()91291010101010C 2C 9C 10C 10115120++++=⨯+=.(2)证明：①式两边同时乘以x 得()1122331C 2C 3C C n n n n n n n nx x x x x n x -+=++⋅++⋅②，②式两边对x 求导得：()()()1212223221111C 2C 3C C n n n n n n n n n x n n x x x x n x ---++-+=++⋅++⋅，令1x =，得()()21222321221C 2C 3C C 21212n n n n n n n n n n n n n n ---++⋅++=⋅+⋅-=⋅+.。

2021-2022学年天津市南开中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列求导运算正确的是（ ） A ．(cos )sin 33'=-ππB ．1(ln )(ln )x x x x x'=+e eC ．1(ln 2)2x x'= D ．(3)3x x '=【答案】B【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的四则运算和复合函数 求导数的法则即可求解. 【详解】对于A ，11cos ,cos 03232''⎛⎫⎛⎫=∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ，故A 不正确；对于B ，()()1(ln )l l n l n n x x x x x x x x x ⎛⎫'''==+ ⎪⎭+⎝e e e e ，故B 正确；对于C ，()11(ln 2)22x x x x''==，故C 不正确； 对于D ，(3)3ln 3x x '=，故D 不正确. 故选：B.2．函数()f x 的图象如图所示，则不等式(2)()0x f x '+<的解集（ ）A ．(,2)(1,1)-∞--B ．()(,2)1,2-∞-⋃C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．()2,1(1,)--⋃+∞【答案】A【分析】先通过原函数的单调性判断导函数的正负，在判断(2)()x f x '+的正负即可 【详解】由函数()f x 的单调性可得，在()(),1,1,∞∞--+上()0f x '>，在()1,1-上()0f x '<又因为2x +在()2-∞，-为负，在()2-+∞，为正 故(2)()0x f x '+<的区间为(,2)(1,1)-∞-- 故选：A3．()25y x x y x ⎛⎫ ⎪⎭+⎝-的展开式中42x y 的系数为（ ）A ．3B ．5C ．9D ．10【答案】C【分析】根据二项式定理分析出42x y 在第几项即可. 【详解】()()()22555y y x x y x x y x y x x ⎛⎫ +⎪⎝⎭-=+-+ ，在()5x x y +中出现42x y 的项是23242510xC x y x y = ，在()25y x y x-+ 中出现42x y 的项是205425y C x x y x -=- ，所以其系数为10-1=9； 故选：C.4．用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是（ ） A ．50 B ．52 C ．54 D ．56【答案】B【解析】特殊元素优先考虑，即优先考虑个位数是0的情况，再考虑不是0的情况，最后将所有结果加起来即可.【详解】能被2整除的三位数是偶数，当个位数是0时，有25A 种情形；当个位数是2或4时，其中最高位不能是0，则有111244C C C ⋅⋅种情形，因此，能被2整除的三位数的个数是2111524452A C C C +⋅⋅=种.故选：B【点睛】本题考查排列组合中的排数问题，属于基础题.5．安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（ ） A ．13 B ．18 C ．22 D ．28【答案】D【解析】根据题意，分两类，第一类，乙安排在周二，第二类，乙不安排在周二，根据分类计数原理可得.【详解】第一类，乙安排在周二，则有33212A =种，第二类，乙不安排在周二，则从甲乙丙以外的2人中选1人，安排在周二，把甲乙安排在周三周四或周四周五，其余人任意排，故有1122222216A C A A =种，根据分类计数原理可得，共有121628+=种， 故选：D【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，属于基础题.6．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是112,,323，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ） A ．19B ．16C ．13D ．718【答案】D【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M 分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A ，B ，C ，则112(),(),()323P A P B P C ===，汽车在三处遇两次绿灯的事件M ，则M ABC ABC ABC =++，且ABC ，ABC ，ABC 互斥，而事件A ，B ，C 相互独立， 则112112112()()()()(1)(1)(1)323323323P M P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯718=，所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为718. 故选：D7．将5名支援某地区抗疫的医生分配到A 、B 、C 三所医院，要求每所医院至少安排1人，则其中甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为（ ） A ．12B ．625C ．716 D ．49【答案】B【分析】由已知，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，有“311++”和“221++”两种人数分配方法，分别计算两种分配方法的数目以及满足甲、乙两医生恰分配到相同医院的分配数目，然后加在一起，利用古典概型的公式即可完成求解. 【详解】由已知，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，则人数的分配方法有“311++”和“221++”两种，分别是：①，若采用“311++”时，共有31152122C C C 10A =种分堆方法，再分配到三所医院，共有3113521322C C C A 60A =种分配方法，其中甲、乙两医生恰分配到相同医院，需要将甲、乙两医生放到3人组，并从其他3位医生中再选一位凑够3人，剩下的全排，共有1333C A 18=种分配方法；②，若采用“221++”时，共有22153122C C C 15A =种分堆方法，再分配到三所医院，共有2213531322C C C A 90A =种分配方法，其中甲、乙两医生恰分配到相同医院，需要将甲、乙两医生放到2人组，分配剩下的3人，为2131C C 3=种，然后再全排，共有213313C C A 18=种分配方法；所以，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，则人数的分配方法共有 6090150+=种分配方法，甲、乙两医生恰分配到相同医院的分配方法有181836+=种，所以甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为36615025P ==. 故选：B.8．有甲、乙两个袋子，甲袋子中有3个白球，2个黑球；乙袋子中有4个白球，4个黑球．现从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为（ ） A ．25B ．1325C ．12D ．35【答案】B【分析】根据独立事件与古典概型计算分从甲袋子取出2个白球放入乙袋子、从甲袋子取出2个黑球放入乙袋子和从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子三种情况讨论，从而可得出答案．【详解】解：若从甲袋子取出2个白球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为213621510950C C C C ⋅=；若从甲袋子取出2个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为212421510125C C C C ⋅=；若从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为11132521510310C C C C C ⋅⋅=． ∴从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为9131350251025++=． 故选：B.9．已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．[]1,1- C ．[]1,3 D ．[]1,3-【答案】D【分析】求导，由单调性得到23690x mx m -+≥在()1,+∞上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出m 的取值范围.【详解】()2369f x x mx m '=-+，因为()f x 在()1,+∞上为单调递增函数， 所以23690x mx m -+≥在()1,+∞上恒成立，令()2369g x x mx m =-+，要满足()61610m x f -⎧=-≤⎪⎨⎪≥⎩①，或()6160m x f m -⎧=->⎪⎨⎪≥⎩②， 由①得：[]1,1m ∈-，由②得：(]1,3m ∈， 综上：实数m 的取值范围是[]1,3-. 故选：D10．若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．()2,-+∞ C ．()2,+∞ D ．()2,2-【答案】A【分析】求出()f x '，分0a ≥，2a <-，20a -<<，2a =-分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.【详解】()()()()()22224224222x a x a x x a a f x x a x x x+---+'=+--==，()0x > 若0a ≥时，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<； 则()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当2a <-时，由()0f x '>可得02x <<或x a >-；由()0f x '<可得2x a <<- 所以在()0,2上单调递增；在()2,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极大值，满足条件.当20a -<<时，由()0f x '>可得0x a <<-或2x >；由()0f x '<可得2a x -<< 所以在()0,a -上单调递增；在(),2a -上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极小值，不满足条件.当2a =-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增. 此时()f x 无极值. 综上所述：2a <-满足条件 故选：A 二、填空题11．在82x⎛⎝的展开式中，1x 的系数是___________. 【答案】112【分析】由二项式定理求解【详解】由二项式定理知82x⎛ ⎝的展开式的通项为()()38882188221rr rr rr r r T C x C x---+⎛==- ⎝ 令3812r -=-得6r =故7112T x=故答案为：11212．已知函数()ln f x x ax =+的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,1)，则=a ________． 【答案】0【分析】根据导数的几何意义可求出函数()f x 在点(1,(1))f 的切线方程，把点(2,1)代入切线方程即可求出a 的值.【详解】因为()ln f x x ax =+，所以1()f x a x'=+，设函数()f x 在点(1,(1))f 处切线的斜率为k ，则(1)1k f a '==+，又因为(1)f a =，所以函数()f x 在点(1,(1))f 的切线方程为(1)(1)y a a x -=+-， 因为切线过点(2,1)，所以1(1)(21)a a -=+-，解得0a =. 故答案为：0.13．抛郑红、蓝两颗质地均匀的骰子， 记事件A 为“蓝色骰子的点数为4或6”， 事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”， 则在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率为___________． 【答案】120.5【分析】分别求出事件A ,事件B 和事件AB 同时发生的概率，由条件概率的公式计算即可.【详解】解：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6636⨯=，事件A 的基本事件数为6212⨯=，∴121()363==P A ， 由于366345548,4664558,56658,668+=+=+=+>+=+=+>+=+>+>， 所以事件B 的基本事件数为432110+++=， ∴105()3618==P B ， 事件AB 同时发生的概率为，61()366P AB ==， 由条件概率公式，得()()()12P AB P B A P A ==， 故答案为：1214．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从箱子中随机有放回摸出一个球，共摸2次，记“X ”表示摸到红球个数，则()E X =__________.【答案】43【分析】由题可得22,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，即得. 【详解】由题可知从箱子中随机有放回摸出一个球为红球的概率为4263=， 所以22,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故()24233E X =⨯=.故答案为：43.15．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为_______（用数字作答）． 【答案】420【分析】从后排7人中任取2人，插入前排（按2人相邻和不相邻分类计数）【详解】可从后排7人中任取2人，插入前排，调整方法数为22217424()420C A A C +=．故答案为：420． 三、解答题16．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】(1)67；(2)分布列见解析，175. 【分析】（1）运用古典概型运算公式，结合和事件的概率公式进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【详解】(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则()1322252547C C C C 6C 7P A +==． 所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67；(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4．()3347C 11C 35P X ===，()3447C 42C 35P X ===，()3547C 23C 7P X ===，()3647C 44C 7P X ===． 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()14241712343535775E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．17．已知函数3211()2()32f x x ax x a =--∈R 在2x =处取得极值.(1)求()f x 在[2,1]-上的最小值；(2)若函数()()()g x f x b b =+∈R 有且只有一个零点，求b 的取值范围.【答案】(1)136-(2)710,,63⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得(2)0f '=，即可求出参数a 的值，即可求出函数解析式，从而求出函数的单调区间，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的最小值；（2）依题意32112()32b x x x b -=--∈R 有唯一解，即函数y b =-与()y f x =只有1个交点，由（1）可得函数()f x 的单调性与极值，结合函数图象即可求出参数的取值范围；【详解】(1)解：因为3211()2()32f x x ax x a =--∈R ，所以2()2f x x ax '=--，()f x 在2x =处取得极值，(2)0f '∴=，即22220a --=解得1a =，3211()232f x x x x ∴=--，所以2()2(1)(2)f x x x x x ==+'---，所以当1x <-或2x >时()0f x '>，当12x -<<时()0f x '<，()f x ∴在[2,1)--上单调递增，在(]1,1-上单调递减，又32321121113(2)(2)(2)2(2),(1)1121323326f f -=⨯--⨯--⨯-=-=⨯-⨯-⨯=-，()f x ∴在[2,1]-上的最小值为136-. (2)解：由（1）知，3211()232f x x x x =--，若函数()()()g x f x b b =+∈R 有且只有一个零点，则方程()()b f x b -=∈R 有唯一解，即32112()32b x x x b -=--∈R 有唯一解，由（1）知，()f x 在(,1),(2,)-∞-+∞上单调递增，在(1,2)-上单调递减， 又710(1),(2)63f f -==-，函数图象如下所示：103b ∴-<-或76b ->，得103b >或76b <-， 即b 的取值范围为710,,63⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．已知函数 ()()()211ln 12x f x a x a x a =--+->，．(1)讨论函数 ()f x 的单调区间；(2)若 ()()1f m f = 且 1m >， 证明： ()()11ln 1x m a x x ∀∈->-，，．【答案】(1)当12a <<时，()f x 的单调增区间为(0,1)a -和(1,)+∞，单调减区间为(1,1)a -， 当2a =时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间，当2a >时，()f x 的单调增区间为(0,1)和(1,)a -+∞，单调减区间为(1,1)a -. (2)证明见解析【分析】（1）求导[](1)(1)1()x x a a f x x a x x----=-+='，令()0f x '=，解得1x =或1x a =-，含参分类讨论即可得到()f x 的单调性.（2）由ln 1≤-x x ，转化为证：1(1,),1ln -∀∈->x x m a x ，令1()ln x g x x-=，利用导数法得到1()()ln -<=m g x g m m，转化为证11ln m a m -->，由()(1)f m f =，转化为证1ln 21m m m ->+，令2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+，用导数证明． 【详解】(1)解：()f x 的定义域为(0,)+∞，[](1)(1)1()x x a a f x x a xx----=-+='，因为1a >，所以10a ->，令()0f x '=，解得1x =或1x a =-，当11a -=时，即2a =，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞为增函数，当11a ->时，即2a >，若(0,1)x ∈和(1,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，若(1,1)x a ∈-时，第 11 页 共 11 页 ()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(1,)a -+∞为增函数，在(1,1)a -为减函数， 当011a <-<时，即12a <<，若(0,1)x a ∈-和(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，若(1,1)x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)a -和(1,)+∞为增函数，在(1,1)a -为减函数，综上所述：当12a <<时，()f x 的单调增区间为(0,1)a -和(1,)+∞，单调减区间为(1,1)a -，当2a =时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间，当2a >时，()f x 的单调增区间为(0,1)和(1,)a -+∞，单调减区间为(1,1)a -.(2)令()ln 1h x x x =-+，定义域为(0,)+∞，则1()x h x x-'=，若(0,1)x ∈，()0h x '>，若(1,)x ∈+∞，()0h x '<，故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0h x h ≤=，即ln 1≤-x x ，欲证：(1,),(1)ln 1∀∈->-x m a x x ，即证：1(1,),1ln -∀∈->x x m a x， 令1()ln x g x x -=，1x m <<．则21ln 1()(ln )x x g x x +='-， 因为ln 1≤-x x ，故1ln 10x x-+≥， 所以()0g x '>，()g x 在(1,)m 上单调递增， 所以1()()ln -<=m g x g m m， 故欲证1(1,),1ln -∀∈->x x m a x ，只需证11ln m a m -->， 因为()(1)f m f =，所以21(1)(1)ln 22--+-=m a m a m ， 即2(1)(1)(1ln )2m a m m -=---， 因为ln 1m m <-，故1ln 0m m -->，故等价于证明：1ln 21m m m ->+， 令2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+， 则22(1)()0,()(1)-=>'+x H x H x x x 在(1,)+∞上单调递增， 故()(1)0H x H >=，即2(1)ln 1x x x ->+，从而结论得证． 【点睛】本题第二问关键是利用ln 1,()(1)≤-=x x f m f ，转化为证明1ln 21m m m ->+而得证．。

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知数列满足，，则（ ）{}n a 113a =()1211n n a n a ++=-∈+N 2022a =A ．2B ．C ．D ．3-12-13【答案】C【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列是周期数列，{}n a 进而求得结果.【详解】由已知得，，，113a =22111213a =-=-+3213112a =-=--，， 421213a =-=-5211123a =-=+可以判断出数列是以4为周期的数列，故，{}n a 202250542212a a a ⨯+===-故选：C.2．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为13（ ）A ．10B ．15C ．20D ．15【答案】A【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式求解．n 【详解】设最小的一份为个，公差为，，，1a d 0d >()34541213a a a a a a ++==+由题意，解得．111545100232a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩1105a d =⎧⎨=⎩故选：A ．3．等比数列的前项和，则=（ ）{}n a n 12n n S a b -=⋅+ab A ．-2B ．C ．2D ．32-32【答案】A【分析】赋值法求出，，，利用等比中项得到方程，求出.1a a b =+2a a =32a a =2ab =-【详解】，当时，，当时，，12n n S a b -=⋅+1n =1a a b =+2n =122a a a b +=+故，当时，，从而，由于是等比数列，2a a =3n =1234a a a a b ++=+32a a ={}n a 故，解得：.()22a a a b =+2ab =-故选：A 4．为不超过x 的最大整数，设为函数，的值域中所有元素的个数.若[]x n a ()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦[)0,x n ∈数列的前n 项和为，则（ ）12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n S 2022S =A ．B ．C ．D ．10121013122021404010111012【答案】D【分析】先根据题意求出，进而用裂项相消法求和.22,2n n n a n N *-+=∈【详解】当时，，，，故，即，1n =[)0,1x ∈[]0x =[]0x x =[]0x x ⎡⎤=⎣⎦11a =当时，，，，故，即，2n =[)0,2x ∈[]{}0,1x =[]{}[)01,2x x ∈⋃[]{}0,1x x ⎡⎤=⎣⎦22a =当时，，，，故，即，3n =[)0,3x ∈[]{}0,1,2x =[]{}[)[)01,24,6x x ∈⋃⋃[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤=⎣⎦24a =以此类推，当，时，，2n ≥[)0,x n ∈[]{}0,1,2,,x n = ，故可以取的个数为[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ []x x ⎡⎤⎣⎦，2211212n n n -+++++-=即，当n=1时也满足上式，故，22,22n n n a n -+=≥22,2n n n a n N *-+=∈所以，()()2122222321212n a n n n n n n n ===-+++++++，所以.2222233422211222n n n S n n n -=-=+=-+-+++++ 20222022101120241012S ==故选：D【点睛】取整函数经常考察，往往和数列，函数零点，值域等知识相结合考察大家，要能理解取整函数并能正确得到相关计算，才能保证题目能够解集，本题中得到是解题的关键.[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ 5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示13610 14916 为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（）A ．B ．C ．D ．16171822【答案】D【分析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，1145+=14712++=故第四个五边形数为.1471022+++=故选：D.6．已知函数，其导函数记为，则()()221sin 1x xf x x ++=+()f x '（ ）()()()()2022202220222022f f f f ''++---=A ．-3B ．3C ．-2D ．2【答案】D【分析】利用求导法则求出，即可知道，再利用，即可求解.()f x '()()f x f x ''=-()()2f x f x +-=【详解】由已知得，()()()()22221sin 1sin 11x x x x f x x x -+----==++则，()()()()22221sin 1sin 211x x x x f x f x x x ++--+-=+=++()()()()()222221cos 121sin 1x x x x x x f x x ⎡⎤+++-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦'=+，()()()2222cos 12sin 1x x x xx++-=+则，()()()()2222cos 12sin 1x x x xf x x++-'-=+即，()()f x f x ''=-则()()()()2022202220222022f f f f ''++---，()()()()2022202220222022f f f f ''=+-+--2=故选：.D 7．若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a 的取值范围是()2ln f x x ax =+20x y +=（ ）A ．B ．C ．D ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】利用导数的几何意义列方程，根据方程有解求a 的取值范围【详解】由题意得，函数的定义域为，且，∵函数的图()f x ()0,∞+()12f x ax x '=+()2ln f x x ax =+象上存在与直线x ＋2y ＝0垂直的切线，即有正数解，即在上有解，122ax x +=2112a x x =-+()0,∞+∵x >0，∴，∴．2211111112222xx x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭12a ≤故选：A ．8．已知R 上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x ()f x 'A ．的最大值为B ．的极大值为()f x ()f b ()f x ()f a C ．有两个零点D ．有两个极值点()f x ()f x 【答案】D【分析】根据导函数的图象确定值的正负，判断函数的单调性，再逐项判断作答.()f x '()f x '()f x 【详解】由函数的图象知，当或时，，当时，，()f x 'x a <x c >()0f x '<a x c <<()0f x ¢>即函数在，上单调递减，在上单调递增，()f x (,)a -∞(,)c +∞(,)a c因，即有，A 不正确；(,)b a c ∈()()f b f c <函数在处取得极小值，在处取得极大值，B 不正确，D 正确；()f x x a =x c =由于函数的极小值、极大值的符号不确定，则函数的图象与x 轴的交点个数()f x ()f a ()f c ()f x 就不确定，C 不正确.故选：D9．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，()f x ¢()0,+∞()f x ()()0xf x f x '->122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，的大小关系为（ ）133b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e e c f⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．a c b >>a b c>>b c a>>b a c>>【答案】A【分析】构造，由已知及导数研究其单调性，进而比较、、()()f x g x x =12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小即可.1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】令，则．()()f xg x x =()()()2xf x f x g x x '-'=因为对于恒成立，()()0xf x f x '->()0,+∞所以，即在上单调递增，()0g x ¢>()()f xg x x =()0,+∞又，，，且，12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1112e 3>>所以，即．1112e 3g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a c b >>故选：A 10．若函数在上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）()5ln f x x a x x =--[)1,+∞A ．B ．C ．D ．-⎡⎣(,-∞(],6-∞(]0,6【答案】B【分析】转化问题为在上恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式()0f x '≥[)1,+∞5a x x ≤+[)1,+∞求解即可.【详解】因为函数在上是增函数，()f x [)1,+∞所以在上恒成立，即，即恒成立，()0f x '≥[)1,+∞()2510a f x x x '=+-≥5a x x ≤+又5x x +≥=x =所以，a ≤故选：B11．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的()1sin r a θ=-“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数()f x =()g x =-标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为( )0x >()g x ()g x 'A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题干已知图像判断x >0时g (x )图像的形状，根据g (x )图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像．【详解】根据f (x )和g (x )的解析式可知f (x )和g (x )均为偶函数，图像关于y 轴对称，当x >0时，()f x =设y，∴此时f (x )对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，()2211x y -+=∴x >0时，g (x )对应题干中的图像在第四象限的部分，∵该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x 轴上方，故排除选项BC ；且()g x '()g x '该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A 图像满()g x ()g x '足．故选：A ．12．函数，的减区间为（ ）()21cos sin 4f x x x x x=-+()0x ，π∈A ．B ．C ．D ．06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，566ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，56ππ⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】B【分析】根据求导运算可得：，，分析可知，的符号与()1sin 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'()0x ，π∈0x >()f x '的符号一致，求解可得的减区间．1sin 2x -1sin 02x -<()f x 【详解】∵，()11cos sin cos sin 22f x x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎝'⎪⎭()0x ，π∈令得：，()0f x '<1sin 02x -<()0x ，π∈∴即的减区间为．566x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 566ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：B ．二、填空题13．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时惊艳开场，将中国人的物候文明、经典诗词、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷最长，夏至日晷最短，周而复始．已知冬至的日晷长为13.5尺，清明的日晷长为6.5尺，则夏至的日晷长为______尺．【答案】1.5##32【分析】将24个节气的日晷长的各数据可看作等差数列，通过通项公式相关计算得到公差，{}n a 从而求出夏至的日晷长.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以24个节气的日晷长的各数据可构成等差数列，记冬至的日晷长为，清明的日晷长为，所以公差{}n a 113.5a =8 6.5a =，所以夏至的日晷长为．81 6.513.518181a a d --===---1311213.512 1.5a a d =+=-=故答案为：1.514．在数列中，，，，若数列是递减数列，}{na 11a=-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-}{21n a -数列是递增数列，则______．}{2na 2022a=【答案】20222133-【分析】根据所给条件可归纳出当时，，利用迭代法即可求解.2n >1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数【详解】因为，，，11a =-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-所以，即，12122a a -=-=-23a =-，且是递减数列，数列是递增数列232||24a a -== }{21n a -}{2n a 或（舍去），37a ∴=-31a =，，34343||2a a a a ∴-=-=45445||2a a a a -=-=故可得当 时，2n >，1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数202120202019120222022202120212020211()()()22221a a a a a a a a ∴=-+-++-+=-+--- 20212019201732020201820162(2222)(2222)3=++++-++++- 321010*********(21)2(21)32121⨯⨯--=----202042433⨯-=-20222133-=故答案为：20222133-15．数列前四项满足､､成等差数列，､､成等比数列，若则{}n a 1a 2a 3a 1a 2a 4a 1234a a a a ++=___________.143a a a +=【答案】2【分析】由题意设数列前四项为，，，，则由列方程可求出{}n a 1a 1a q 112a q a -21a q 1234a a a a ++=的值，从而可求出的值q 143a a a +【详解】设四个数为，，，，1a 1a q 112a q a -21a q 由，1234a a a a ++=即，可得，2111112a a q a q a a q ++-=3q =则.214111311110225a a a a q a a a q a a ++===-故答案为：216．已知函数，对于任意不同的，，有，则()21ln 2f x x ax x =-+1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-实数a 的取值范围为______．【答案】(],1-∞-【分析】设，结合不等式可得，构造函数，则12x x <()()112233f x x f x x -<-()()3F x f x x =-，即单调递增，转化问题为恒成立，进而分离参数，结合基本不等式()()12F x F x <()F x ()0F x '≥即可求解.【详解】对于任意，，有，1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-不妨设，则，即，12x x <()()()12123f x f x x x -<-()()112233f x x f x x -<-设，则，()()3F x f x x=-()()12F x F x <又，所以单调递增，则恒成立，12x x <()F x ()0F x '≥因为，()()()2133ln 2F x f x x x a x x =-=-++所以，令，()()()23113x a x F x x a x x -++'=-++=()()231g x x a x =-++要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立，()0F x '≥()0,∞+()()2310g x x a x =-++≥13a x x +≤+又，所以，即，12x x +≥=32a +≤1a ≤-故答案为：(],1-∞-三、解答题17．已知数列的前n 项和为，且．{}n a n S 213n n S a +=(1)证明数列为等比数列，且求其通项公式；{}n a (2)若数列满足，求数列的前n 项和．{}n b n n a b n ={}n b nT【答案】(1)证明见解析，13n n a -=(2)1932443n n nT -+=-⋅【分析】（1）利用可得答案；()12-=-≥n n n a S S n （2）利用错位相减求和可得答案．【详解】（1）当n ＝1时，，解得，11121213S a a +=+=11a =当时，由①，得②，2n ≥213n n S a +=11213n n S a --+=①－②得，，∴，13n n a a -=13n n a a -=∴数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，{}n a ∴数列的通项公式为．{}n a 13n n a -=（2）由（1）知，∴，13n na -=13n n n n nb a -==∴，，01211233333n n n T -=++++ 123111231333333n n n n n T --=+++++ ∴，01231112111113113333333313n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++++-=⋅-- ∴．13313932122323443n n n n n n T -⎡⎤+⎛⎫=⋅--⋅=-⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦18．等差数列中，其前项和为，若，，成等比数列，且.{}n a n n S 1S 2S 4S 663(2)S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和.1112(2),1n n n b b a n b a --=≥-=且1{}n b n n T 【答案】(1)42n a n =-(2)21n nT n =+【分析】（1）根据题意求出首项和公差，再根据等差数列通项即可得解；（2）利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可得出答案.{}n b 【详解】（1）解：设的公差为，{}n a d 由题意得：2214663(2)S S S S a ⎧=⋅⎨=+⎩化简整理得：211111(2)(46)6153(52)a d a a d a d a d ⎧+=⋅+⎨+=++⎩解得：，124a d =⎧⎨=⎩；42n a n ∴=-（2）解：由（1）知，42n a n =-，184n n b b n -∴-=-1122321()()()()n n n n n n b b b b b b b b -----∴-+-+-+- (84)(812)12n n =-+-++ [(84)12](1)2n n -+-=，()2442n n =-≥，，11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b ------+-+-++-=- 111b a -=，213,41n b b n ∴==-，1111(22121n b n n ∴=--+1111111()213352121n T n n ∴=-+-++--+ .11(122121n n n =-=++19．已知数列，首项，前项和足.{}n a 11a =n n S ()2*n n S n n N a =∈（1）求出，并猜想的表达式；1234,,,S S S S n S （2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1），，，；（2）证明见解析11S =243S =332S =485S =21n n S n =+【分析】（1）有递推公式，以及，即可容易求得，并作出猜想；1a 1234,,,S S S S （2）根据数学归纳法的证明步骤，进行证明即可.【详解】（1）根据题意，由，，得：2n n S n a =()*n N ∈11a =，111S a ==由，得：，()()2222122441S a S S S ==-=-243S =由，得：，()23332343993S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭33624S ==由，得：，()2444343416162S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭485S =猜想的表达式为：；n S 21n n S n =+综上所述，答案为：，，，；；111S a ==243S =332S =485S =21n n S n =+（2）证明：1.当时，，∵，∴猜想正确；1n =21111⨯=+11S =2.假设当时，猜想正确，即；()*1,n k k k N =≥∈21k kS k =+那当时，由已知得：1n k =+()22111(1)(1)k k k k S k a k S S +++=+=+-将归纳假设代入上式，得：2112(1)1k k k S k S k ++⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭()2122(1)k kk S k k ++=+∴，12(1)2(1)2(1)1k k k S k k +++==+++这就是说，当时，猜想正确；1n k =+综上所述1，2知：对一切，都有成立.N*n ∈21k kS k =+【点睛】本题考查递推公式的使用，涉及利用数学归纳法进行证明，属综合基础题.20．已知函数，．()313f x x ax a =-+a ∈R (1)讨论的单调性；()f x (2)当a ＝1时，求在上的最值．()f x []22-,【答案】(1)答案见解析(2)最大值为，最小值为5313【分析】（1）首先求函数的导数，，再分和两种情况讨论函数的单调性；()2f x x a '=-0a ≤0a >（2），根据函数的单调性，求函数的最值.()3113f x x x =-+【详解】（1）由题意得，，()2f x x a '=-当时，恒成立，此时在上是增函数，0a ≤()0f x '≥()f x (),-∞+∞当时，令，解得0a >()0f x '=x =令，可得()0f x ¢>x <x令，可得()0f x '<x<<所以在和上是增函数，在上是减函数．()f x (,-∞)+∞⎡⎣（2）由题意得，，()3113f x x x =-+由（1）知，在和上是增函数，在上是减函数．()f x [)2,1--(]1,2[]1,1-又，，()()()311222133f -=⨯---+=()()()315111133f -=⨯---+=，，()311111133f =⨯-+=()315222133f =⨯-+=故在上的最大值为，最小值为．()f x []22-,531321．当时，函数（）有极值，2x =3()4=-+f x ax bx ,a R b R ∈∈203-(1)求函数的解析式；3()4=-+f x ax bx (2)若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．x ()f x k =k 【答案】(1)32()843f x x x =-+(2)2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题目条件得到方程组，求出的值，检验是否符合要求；（2）在第一问的基础,a b 上，构造，求导，求出其极值，列出不等式，求出实数的取值范围.32()843h x x x k =-+-k 【详解】（1），2()3f x ax b '=-由题意得：，解得：，()()21202028243f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩238a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩32()843f x x x ∴=-+经验证，函数在处有极值，故解析式为：．32()843f x x x =-+2x =203-32()843f x x x =-+（2）令，由得：()()h x f x k =-(1)32()843h x x x k =-+-2()282(2)(2)h x x x x '=-=-+令得，，()0h x '=122,2x x ==-∴当时，，当时，，当时，，<2x -()0h x '>22x -<<()0h x '<2x >()0h x '>因此，当时， 有极大值，2x =-()h x 443k -当时，有极小值，2x =()h x 203k --关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，x ()f x k =()h x 所以44032003k k ⎧->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩．204433k ∴-<<故实数的取值范围是k 2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知函数．21()sin cos ,[,]2f x x x x ax x ππ=++∈-(1)求曲线在点，处的切线方程；()y f x =(0(0))f (2)当时，求的单调区间；0a =()f x (3)当时，在区间有一个零点，求的取值范围．0a >()f x [,]2ππa 【答案】(1)1y =(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．(,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π(3)(0,22]π【分析】（1）求出函数在处的导数值，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；0x =(0)1f =（2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间；（3）转化为，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出.22sin 2cos x x xa x +=-【详解】（1），所以，()sin cos sin cos f x x x x x ax x x ax '=+-+=+()00k f ='=切又，(0)1f =所以在，处的切线方程：，即．()f x (0(0))f 10y -=1y =（2）当时，，0a =()sin cos f x x x x =+，()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=所以在，上，，单调递增，(,)2ππ--(0,2π()0f x '>()f x在，，，上，，单调递减，(2π-0)(2π)π()0f x '<()f x 所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．()f x (,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π（3）当时，令，得，0a >()0f x =21sin cos 02x x x ax ++=所以，22sin 2cos x x x a x +=-令，，，22sin 2cos ()x x x g x x +=-[2x π∈]π222(2sin 2cos 2sin )()(2sin 2cos )(2)()()x x x x x x x x x g x x +---+-'=-322222222cos 4sin 4cos 2cos (2)4sin ()()x x x x x x x x x x x x x -++-++==--当，时，，，即，[2x π∈]πcos 0x <220x -+<()0g x '>所以在，上单调递增，()g x [2π]π又，，24()24g ππππ==--2222()g πππ-==-若在区间有一个零点，则，()f x [,]2ππ242a ππ- 故的取值范围，．a (022π。

2021-2022学年河南省新乡市高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．在下面的图示中，是流程图的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据流程图的定义即可判断.【详解】A 是流程图，B 是知识结构图，C 是图表，D 是韦恩图. 故选：A.2．复数()7i 17i z =-的共轭复数为（ ）A ．7＋iB ．－7－iC ．7－iD ．－7＋i【答案】D【分析】先计算复数()7i 17i z =-，然后由共轭复数定义即可得到答案.【详解】∵()()()73i 17i =i 17i i 17i 7i z =--=--=--，∴7i z =-+． 故选：D3．在极坐标系中，曲线()()2sin 2cos 0ρθρθ--=表示（ ） A ．两条直线 B ．两个圆，且这两个圆有公共点 C ．两条射线 D ．两个圆，且这两个圆无公共点【答案】B【分析】根据原式得2sin ρθ=或2cos ρθ=确定为两个圆，联立两圆直角坐标方程可确定有公共点.【详解】由()()2sin 2cos 0ρθρθ--=，得2sin ρθ=或2cos ρθ=，所以曲线()()2sin 2cos 0ρθρθ--=表示两个圆， 将2sin ρθ=等式两边同乘ρ，得到22sin ρρθ=， 由222x y ρ=+，sin y ρθ=， 得直角坐标方程为222x y y +=， 由222x y ρ=+，cos x ρθ=可将2cos ρθ=化直角坐标方程为222x y x +=，联立222222x y y x y x ⎧+=⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩， 故这两个圆有公共点. 故选：B4．矩形的长和宽分别为a ，b 正确的对应结论为（ ）A ．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，其体积为abcB ．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，cC ．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，其表面积为()2ab bc ac ++D ．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c 【答案】B【分析】由矩形的对角线类比到长方体的体对角线即可得到结论．【详解】矩形的对角线类比到长方体中对应的几何量为体对角线长．故正确的对应结论为长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c 故选：B5．在用反证法证明命题“若三个正数a ，b ，c 满足27abc =，则a ，b ，c 三个数中至多有两个数小于3”时，应该反设为（ ） A ．假设a ，b ，c 三个数都小于3 B ．假设a ，b ，c 三个数都大于3C ．假设a ，b ，c 三个数中至少有两个数小于3D ．假设a ，b ，c 三个数中至多有两个数不小于3 【答案】A【分析】反证法证明题目时，往往先假设所给命题的结论不成立，或结论的反面成立，再推导出矛盾.【详解】至多有两个意味着不超过两个，则应该假设a ，b ，c 三个数都小于3. 故选：A.6．将一组数据()(),1,2,,8x y x =⋅⋅⋅绘制成如图所示的散点图，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y 和x 的回归方程类型的是（ ）A ．y a x =+B ．2y a bx =+C ．sin y a b x =+D ．b y a x=+【答案】A【分析】根据散点图的趋势结合相应函数的增长变化的特征选定正确的选项. 【详解】对于B ，当0b >时，为开口向上的二次函数，不符合，当0b <，为开口向下的二次函数，20y bx '=<，则2y a bx =+在(0,)+∞为减函数，不符合，对于C ，散点图不呈现正弦函数关系，故不符合，对于D ，当0b >时，在(0,)+∞为减函数，不符合，当0b <，在(0,)+∞为增函数，但by a x=+会趋近于一个常数值，故不符合散点的变化趋势，故D 错误， 对于A ，2y x'=，y a b x =+0b >，当x 增大时，y '在减小，即函数各点切线斜率减小，即增长速度变慢，且散点图的变化趋势符合y a x =+故A 正确， 故选：A.7．下列命题的证明最适合用分析法的是（ ） A ．若4a >，8b >，证明：ln ln 5ln 2a b +> B 72510>C 257 D ．证明：22sin 2cos sin 2ααα+-≥【答案】B【分析】分析法即执果索因，B 选项等价于两边平方比较大小，属于分析法的应用. 【详解】选项A 和D 的证明最适合用综合法，选项C 的证明最适合用反证法，选项B 的证明最适合用分析法. 故选：B.8．若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ） A ．2z 不可能为纯虚数B ．2z 在复平面内对应的点可能位于第二象限C ．2z 在复平面内对应的点一定位于第三象限D ．2z 在复平面内对应的点可能位于第四象限 【答案】D【分析】利用第二象限z 的辐角范围确定2z 的辐角范围，即可判断各选项的正误. 【详解】由z 为第二象限，其对应辐角范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2z 对应辐角为(),2ππ，故2z 在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y 轴的负半轴. 所以A 、B 、C 错误，D 正确. 故选：D9．观察数组：()0,2,2，()2,3,5，()4,5,9，()6,7,13，()8,11,19，….根据规律可得第7个数组为（ ） A ．()10,13,23 B ．()10,12,22C ．()12,15,27D ．()12,17,29【答案】D【分析】根据数组的第一个数成等差数列，第二个数为质数，第三个数是前两个数之和求解.【详解】数组的第一个数成等差数列，且首项为0，公差为2； 数组的第二个数为质数，且按从小到大的顺序排列； 数组的第三个数是前两个数之和.因此第6个数组为()10,13,23，第7个数组为()12,17,29. 故选：D10．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为325455x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点()2,5M -，直线l 与圆()22:217C x y ++=交于A ，B 两点，则MA MB ⋅的值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】C【分析】将直线l 的参数方程与()22217x y ++=联立，然后利用直线参数的几何意义求解.【详解】解：将直线l 的参数方程325455x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()22217x y ++=，得2880t t ++=，设|MA|，|MB|对应的参数分别为1t ，2t ，则128t t =， 所以128MA MB t t ⋅==. 故选：C11．观察下列各式：2864=，38512=，484096=，…．根据规律可得99998的个位数是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】A【分析】观察题目中各式可得8n 的个位数的周期T ＝4，由周期即可推得99998的个位数. 【详解】经观察易知8，28，38，48，58，68，78，88的个位数分别为8，4，2，6，8，4，2，6．故8n （n 为正整数）的个位数的周期T ＝4．因为9999249943=⨯+，所以99998的个位数与38的个位数相等，所以99998的个位数是2． 故选：A12．若复数()21122i z a a =-+-为纯虚数，其中a ∈R ，复数2z 满足2111z z -+=，则2z 的最小值为（ ） A ．0 B1C ．4D1【答案】B【分析】根据纯虚数确定a ，再利用复数模的几何意义，把2z 转化为求点到点距离的问题，即可得解.【详解】因为()21122i z a a =-+-为纯虚数，所以1a =-，14i z =-.设()2i ,z x y x y =+∈R ，因为2111z z -+=， 所以()()22141x y +++=，所以点(),P x y 的轨迹为以()1,4C --为圆心，1为半径的圆， 则P 到坐标原点O 距离的最小值为1171OC -=-， 所以222z x y =+的最小值为171-. 故选：B 二、填空题13．函数()22f x x x --=+的值域为___________. 【答案】22,22-⎡⎤⎣⎦【分析】将函数写成分段函数，画出函数图象，结合图象得到函数的值域； 【详解】解：因为()22,2222,2222,2x f x x x x x x ⎧-≥⎪⎪=--+=--<<⎨⎪≤-⎪⎩，函数图象如下所示：所以()2222f x -≤22,22-⎡⎤⎣⎦； 故答案为：22,22-⎡⎣14．咽拭子检测是一种医学检测方法，用医用棉签从人体的咽部蘸取少量分泌物进行检测，可以了解患者病情､口腔黏膜和咽部感染情况.某地区医院的医务人员统计了该院近五天的棉签使用情况，具体数据如表所示：根据以上数据发现y 与t 呈线性相关，其回归方程为ˆˆ10.2=+yt a ，则估计第8天使用的棉签袋数为___________. 【答案】86【分析】根据所给数据求出 4.4=a ，确定回归方程，代入8t =即可估算出第八天使用棉签袋数. 【详解】因为1234535t ++++==，1524364456355y ++++==，所以3510.23 4.4=-⨯=a ，所以10.2 4.4y t =+. 当8t =时，10.28 4.486y =⨯+=. 故答案为：8615．一个二元码是由0和1组成的数字串12n x x x ⋅⋅⋅．（n *∈N ），其中k x （k ＝1，2，…，n ）称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1或由1变为0）．已知某个二元码126x x x ⋅⋅⋅的码元满足如下校验方程组：2461341450,1,0.x x x x x x x x x ⊕⊕=⎧⎪⊕⊕=⎨⎪⊕⊕=⎩ 其中⊕的运算法则：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．若这个二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了100101，则利用上述校验方程组可判定，这个二元码为______． 【答案】101101【分析】利用题目给的校验方程组直接检验即可.【详解】假设这个二元码为100101．经计算2460x x x ⊕⊕=成立，1450x x x ⊕⊕=也成立．但1341x x x ⊕⊕=不成立．因此，1x ，3x ，4x 有一个错误，由2460x x x ⊕⊕=与1450x x x ⊕⊕=，知1x ，2x ，4x ，5x ，6x 没有错误，则3x 错误．故这个二元码为101101．故答案为：10110116．如图，若程序框图的运行结果20212022S =，则t 的取值范围为___________.【答案】(]2021,2022【分析】根据程序的功能和数列的裂项相消法求解. 【详解】解：根据程序，运行过程如下： 1111122232233S =+=+-=⨯，3k =，不符合题意，所以3t ≥不成立； 111111132233422344S =++=+--=⨯⨯，4k =，不符合题意，所以4t ≥不成立； (11111111120201223202020212232020202120212021)S =++⋅⋅⋅+=+-+⋅⋅⋅+-=-=⨯⨯，2021k =，不符合题意，所以2021t >不成立，即2021t >； 11111111120211223202120222232021202220222022S =++⋅⋅⋅+=+-+⋅⋅⋅+-=-=⨯⨯，2022k =，符合题意，所以2022t ≥成立.故t 的取值范围为(]2021,2022. 故答案为：(]2021,2022 三、解答题17．已知()1i 62i z +=-． (1)求z 的虚部； (2)求1zz+． 【答案】(1)-4【分析】（1）利用复数商的运算得到复数z ，即可得到虚部. （2）计算出1zz+，利用模的公式计算即可. 【详解】(1)因为()1i 62i z +=-，所以()()62i 1i 62i 48i24i 1i 22z ----====-+， 所以z 的虚部为－4．(2)因为24i z =-，所以24i z =+．所以()212i 24i 12i 34i 24i 12i 555z z +++====-+--，故1z z +=．18．新高考的选课走班模式在全国陆续展开，为进一步了解学生在选择高考科目时的情况，某学校对高一年级部分学生的选课情况进行统计，其中是否选择地理和化学的学生数量统计情况如表所示：(1)求出列联表中a ，b ，c 的值并估计该校高一年级学生同时选择地理和化学的频率； (2)能否有90%的把握（即在犯错误的概率不超过0.1的前提下）认为学生是否选择地理和化学有关联？参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++，【答案】(1)413(2)没有90%的把握认为学生是否选择地理和化学有关联【分析】（1）根表中所给数据求出a ，b ，c ，同时选择地理和化学的频率为65a，求解即可.（2）将已知数据代入2K 公式，求得近似值与2.706比较，即可判断是否有把握.【详解】(1)由列联表可知32,1833,1830,a b c b +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得20,12,15.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩估计该校高一年级学生同时选择地理和化学的频率为46513a =. (2)因为()226520181215 1.899 2.70632333035K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以没有90%的把握认为学生是否选择地理和化学有关联.19．已知直线l 的参数方程为3322x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2223sin 40ρρθ+-=． (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)若点P 为直线l 上的动点，点Q 是曲线C 上的动点，求PQ 的最小值． 【答案】(1)23120x y --=，2214x y +=【分析】（1）直接消去参数t ，可得l 的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求得曲线C 的普通方程；（2）求出曲线C 的参数方程，设()2cos ,sin Q θθ，然后利用点到直线的距离公式表示出点Q 到直线23120x y --=的距离，化简变形后可求出其最小值【详解】(1)由3322x t y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得l 的直角坐标方程为23120x y --=．由曲线C 的极坐标方程2223sin 40ρρθ+-=及222,sin ,x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩可得222340x y y ++-=，整理得2214x y +=，所以曲线C 的普通方程是2214x y +=．(2)直线l 的普通方程为23120x y --=，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，02θπ≤<）．设()2cos ,sin Q θθ，则点Q 到直线23120x y --=的距离d =3tan 4ϕ=）．当()cos 1θϕ+=时，min d =所以min PQ =20．已知实数x ，y 满足250x y +-=． (1)求关于x 的不等式2x y +>的解集； (2)若12x >，3y >，求14213x y +--的最小值． 【答案】(1)()1,7 (2)9【分析】（1）去绝对值，得到不等式组，即可解出不打算的解集； （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】(1)原不等式可化为252x x -<+，即252,252x x x x -<+⎧⎨->--⎩，解得17x <<，故所求不等式的解集为()1,7． (2)由25x y +=，得2131x y -+-=． 因为()()4211414321259213213213x y x y x y x y x y -⎛⎫-+=+-+-=++≥ ⎪------⎝⎭， 当且仅当23x =，113y =时，等号成立． 所以14213x y +--的最小值为9． 21．为研究男体育特长生的身高与体重之间的关系，从某校的男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：(1)根据最小二乘法的思想与公式求得身高与体重的线性回归方程为0.875.9y x =-.利用已经求得的线性回归方程，完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）. e(2)通过残差分析，对于残差绝对值最大的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58kg.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.参考公式：()()221211nii i n ii yy R yy==-=--∑∑，()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-，i i e y bx a =--.参考数据：8178880i i i x y ==∑，821226112i i x ==∑，168=x ，58.5=y ，()821226i i y y=-=∑.【答案】(1)填表答案见解析，2R 约为0.91 (2)0.67555.9y x =-【分析】（1）根据0.875.9y x =-，结合残差的定义完成残差表，再根据所提供数据，求相关指数；（2）利用最小二乘法求解；【详解】(1)解：对编号为6的数据：6660.817375.9 3.5e =-⨯+=； 对编号为7的数据：7570.816675.90.1e =-⨯+=； 对编号为8的数据：8570.816975.9 2.3e =-⨯+=-. 完成的残差表如下所示：e()()()()()22222222210.10.30.9 1.50.5 2.30.5 3.52ˆ 1.2ni i i y y=-=+++-+-+-+-+=∑，()()2212121.2110.91226ni ii n ii y y R y y ==-=-=-≈-∑∑， 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R 约为0.91. (2)由（1）可知，第六组数据的体重应为58，此时8178880817377496i i i x y ==-⨯=∑，又821226112i i x ==∑，168=x ，57.5=y ，8182221877496816857.50.67522611281688i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，57.50.67516855.9a =-⨯=-，所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为0.67555.9y x =-.22．已知函数()()2e e x g xf x =+.(1)证明：22ln 1x x -≥.(2)若函数()32ln 3f x x x x =--，证明：()0g x >.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）令()22ln h x x x =-，利用导数法求解；（2）易得()()222ln 3e e x g x x x x ⎡⎤=--+⎣⎦，再（1）转化为()()23e e x g x x ≥-+，然后令()()23e e ϕ=-+x x x ，用导数法证明()0x ϕ>即可.【详解】(1)解：令()22ln h x x x =-，则()()22122x h x x x x-'=-=，0x >， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，所以()()()min 11h x h x h >==， 故22ln 1x x -≥.(2)若()32ln 3f x x x x =--， 则()()222ln 3e e x g x x x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由（1）可得()()23e e x g x x ≥-+.令()()23e e ϕ=-+x x x ，则()()2e x x x ϕ'=-，当02x <<时，()0x ϕ'<，当2x >时，()0x ϕ'>， 所以()()()min 20x x ϕϕϕ≥==， 则()0g x ≥，又12≠， 所以()0g x ≥中的等号不成立， 故()0g x >.23．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的直角坐标方程为()2239x y +-=．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为()()22221cos 1sin ραρα-=-．(1)求曲线1C 的参数方程和2C 的直角坐标方程；(2)射线()π03θρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于M N ，两点，求线段MN 的长． 【答案】(1)3cos {33sin x y θθ==+（θ为参数），221x y +=.(2)1【分析】（1）根据已知条件直接利用转换关系，把极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的互化即可，（2）根据已知条件及ρ的几何意义，联立方程组得出M N ，的极坐标，进而可以求解线段MN 的长.【详解】(1)因为1C 的直角坐标方程为()2239x y +-=，所以曲线1C 的参数方程为3cos {33sin x y θθ==+（θ为参数）．由()()22221cos 1sin ραρα-=-，得21ρ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为221x y +=．(2)由1C ：()2239x y +-=及222,sin x y y ρρθ=+=， 得6sin ρθ=，所以曲线1C 的极坐标方程为6sin ρθ=， 设12ππ,,33M N ρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则因为射线()π03θρ=≥与曲线1C 交于 M 点， 所以6sin {π3ρθθ==，解得1ρ=π3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又因为射线()π03θρ=≥与曲线2C 交于 N 点， 21{π3ρθ==,解得21ρ=，即π1,3N ⎛⎫⎪⎝⎭121MN ρρ∴=-=所以线段MN的长为1．24．已知函数()423f x x a x =---+，a ∈R ． (1)当2a =时，求不等式()7f x ≥-的解集； (2)若()2f x ≤，求a 的取值范围． 【答案】(1)[]5,6- (2)51,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）分类讨论法求解不等式即可得出结果；（2）由绝对值的三角不等式得到2323x a x a -++≥+，进而可得232a +≥，解不等式即可求出结果.【详解】(1)当2a =时，()443f x x x =---+，()7f x ≥-等价于()()34437x x x <-⎧⎨+-++≥-⎩或()()344437x x x -≤≤⎧⎨+--+≥-⎩或()()44437x x x >⎧⎨---+≥-⎩， 即53x -≤<-或34x -≤≤或46x <≤， 故不等式()7f x ≥-的解集为{}56x x -≤≤．(2)不等式()2f x ≤可转化为232x a x -++≥，因为2323x a x a -++≥+，所以()2f x ≤等价于232a +≥， 可得12a ≥-或52a ≤-，即a 的取值范围是51,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．。

2021-2022学年山东省临沂市多区县高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0~255．在电脑上绘画可以分别从这三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ） A ．3256 B ．3255 C ．2563 D ．2553【答案】A【分析】根据题意，得到每种颜色有256种色号，由分步计数原理计算，即可求解. 【详解】根据题意，红、黄、绿三种基本颜色有0~255种色号，即每种颜色有256种色号，从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色， 由分步计数原理，可以配成3256256256256⨯⨯=种颜色. 故选：A.2．已知离散型随机变量X 的方差为1，则(31)D X -=（ ） A ．2 B ．3 C ．8 D ．9【答案】D【分析】根据方差的性质，得到()2(31)3D X D X -=⨯，即可求解.【详解】由题意，离散型随机变量X 的方差为1，即()1D X =，则()2(31)3919D X D X -=⨯=⨯=.故选：D.3．函数()()1e xf x x =-的单调递减区间为（ ）A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞【答案】A【分析】对()f x 求导，令()0f x '< 解x 的取值范围即为()f x 的单调递减区间 【详解】()()1e x f x x =-，()e (1)e e x x x f x x x '∴=+-=令()0f x '< ，即e 0x x < ，解得0x < ()f x ∴ 的单调递减区间为(,0)-∞故选：AA ．3-是函数()y f x =的极大值点B ．()y f x =在区间()3,1-上单调递增C ．1-是函数()y f x =的最小值点D ．()y f x =在0x =处切线的斜率小于零 【答案】B【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负．【详解】根据导函数图象可知：当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，在()3,1x ∈-时，()0f x '> ∴函数()y f x =在(),3-∞-上单调递减，在()3,1-上单调递增，3-是函数()y f x =的极小值点，故A 错误，B 正确；∴在()3,1-上单调递增，1∴-不是函数()y f x =的最小值点，故C 不正确； ∴函数()y f x =在0x =处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D 不正确. 故选：B5．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2125，则该队员每次罚球的命中率p 为（ ） A ．45B ．35C ．25D ．15【答案】C【分析】两次罚球中至多命中一次包括二次罚球均为命中，二次罚球命中一次两个事件，分别求对应的概率，列出关于p 的方程解出答案即可 【详解】由题意可知每次发球的命中率为p 又两次罚球中至多命中一次的概率为2125即221(1)2(1)25p p p -+-=，解得25p =6．甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习，每位毕业生只能选择一个工厂实习，设“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A ，“甲独自去一个工厂实习”为事件B ，则(|)P A B =（ ） A ．23B ．13C ．34D ．58【答案】A【分析】求出甲独自去一个工厂实习有1243C ⨯，3为大学毕业生去的工厂各不相同有34A ，根据条件概率公式，即可求解.【详解】“甲独自去一个工厂实习”为事件B ，事件B 包含的基本事件有124336C ⨯=，“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A ，事件A 包含的基本事件有3424A =，242(|)363P A B ==. 故选:A.【点睛】本题考查条件概率，确定基本事件个数是解题关键，属于基础题.7．1223310101010101010180808080(1)8080k k kC C C C -+-++-++除以78的余数是（ ）A ．1-B ．1C ．87-D ．87【答案】B【分析】根据二项式定理将已知合并得原式等于1079，再结合()101079178=+展开整理即可得答案.【详解】因为()()101223310101010101010108180C 80C 80C 10C 90C 18079kk k -+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=-=所以()1010012210101010101079178C C 8C 8C 7787=+=+++⋅⋅⋅+，除了第一项之外，其余每一项都含有78的倍数，所以原式除以78的余数为1. 故选:B ．8．函数()f x 的定义域是R ，()02f =，对任意x ∈R ，()f x +()f x '<1，则不等式()1x x e f x e >+的解集为（ ）A ．{|0}x x >B ．{|0}x x <C ．{|1x x <-或1}x >D ．{|1x x <-或01}x <<【分析】构造函数()()·xx g x e f x e =-，结合条件，求得函数()g x 的导数在定义域上恒小于零，即为减函数，从而将不等式转换为()()0g x g >，根据单调性求得不等式的解集.【详解】构造函数()()·xx g x e f x e =-，因为()()()··x x x g x e f x e f x e =+-''()()0[]x x x x e f x f x e e e +--'<==，所以()()·x x g x e f x e =-为R 上的减函数．又因为()()00001g e f e ⋅=-=，所以原不等式转化为()1x xe f x e ->，即()()0g x g >，解得0x <.故选：B【点睛】本题主要考查构造函数法解不等式，考查运用函数的导数来求得函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法. 二、多选题9．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A ,“向上的点数是1,2”为事件B ,“向上的点数是1,2,3”为事件C ,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D ,则下列关于事件A ，B ，C ，D 判断正确的有（ ）A ．A 与B 是互斥事件但不是对立事件 B ．A 与C 是互斥事件也是对立事件 C ．A 与D 是互斥事件D ．C 与D 不是对立事件也不是互斥事件 【答案】ABD【解析】根据互斥事件的定义以及对立事件的定义逐个判定即可.【详解】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A ,“向上的点数是1,2”为事件B ,“向上的点数是1,2,3”为事件C ,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D ,在A 中,A 与B 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A 正确； 在B 中, A 与C 是互斥事件也是对立事件,故B 正确； 在C 中,A 与D 能同时发生,不是互斥事件,故C 错误；在D 中,C 与D 能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D 正确.10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列说法正确的是（ ） A ．从中任取3球，恰有一个白球的概率是13B ．从中任取3球，恰有两个白球的概率是15C ．从中任取3球，取得白球个数X 的数学期望是1D ．从中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率为25【答案】BC【分析】利用古典概型概率公式求解恰有一个白球和恰有两个白球的概率，判断A 、B 正误；利用离散型随机变量的分布列求得取得白球个数X 的数学期望，判断C 正误,利用条件概率，求出结果判断D 正误.【详解】A 选项中，所求概率122436263,205C C P C ⨯===故A 错误， B 选项中，所求概率21243614,2051C C P C ⨯===故B 正确， C 选项中，从中任取3球，取得白球个数X 的可能取值为0,1,2,由A 、B 可知()1224362631,205C C P X C ⨯====()212436142,5120C C P X C ⨯====则(),105P X ==所求()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=,故C 正确，D 选项中，所求概率141113225432,1053C C C P C C ⨯===故D 错误， 故选：BC.11．已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布()225.40,N σ，且()25.450.1P ξ≥=，现从该批零件中随机取3件，用X 表示这3件产品的质量指标值ξ不位于．．．区间()25.35,25.45的产品件数，则（ ） A ．(25.3525.45)0.8P ξ<<= B ．() 2.4E X = C ．()0.48D X = D ．()10.512P X ≥=【答案】AC【分析】根据正态分布的对称求得概率判断A ，同时得出(3,0.2)B ξ，由二项分布的【详解】由正态分布的性质得(25.3525.45)12(24.45)120.10.8P P ξξ<<=-≥=-⨯=， 由上知1件产品的质量指标值ξ不位于．．．区间()25.35,25.45的概率为0.2P =，所以(3,0.2)B ξ，所以()30.20.6E X =⨯=，()30.20.80.48D X =⨯⨯=，3(1)1(0)10.80.488P X P X ≥=-==-=．故选：AC ．12．（多选）已知函数2()ln f x x x=+，则以下结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的单调减区间是(0,2) B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =则124x x +> 【答案】ABD【分析】先求导数,再解不等式()0f x '<,即可判断A;先构造函数2()ln g x x x x=+-，再利用导数研究其单调性，最后结合零点存在定理判断B;先分离，再利用导数研究函数22ln ()x h x x x=+最值，即可判断C; 先构造函数()(2)(2)(0,2)g t f t f t t =+--∈，，再利用导数研究其单调性，最后利用单调性证不等式，即可判断D. 【详解】A 选项，因为2()ln f x x x =+，所以22212()x f x x x x'-=-+=， 由()0f x '>得，2x >；由()0f x '<得，02x <<，因此函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增；故A 正确； B 选项，令2()ln g x x x x=+-， 则222221721224()10x x x g x x x x x '⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭=-+-=-=-<显然恒成立； 所以函数2()ln g x x x x =+-在(0,)+∞上单调递减；又(1)2ln1110g =+-=>，(2)1ln 22ln 210g =+-=-<， 所以函数2()ln g x x x x=+-有且仅有一个零点；故B 正确； C 选项，若()f x kx >，可得22ln x k x x<+， 令22ln ()x h x x x =+，则42341ln ln 4()x x x x x h x x x x '----=+=， 令()ln 4u x x x x =--，则()1ln 1ln u x x x '=--=-，由()0u x '>得01x <<；由()0u x '<得1x >；所以函数()u x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； 因此()(1)30u x u ≤=-<；所以3ln 4()0x x x h x x '--=<恒成立，即函数22ln ()xh x x x=+在(0,)+∞上单调递减，所以函数22ln ()xh x x x=+无最小值； 因此，不存在正实数k ，使得()f x kx >成立；故C 错； D 选项，令(0,2)t ∈，则2(0,2)t -∈，则22t +>； 令22242()(2)(2)ln(2)ln(2)ln 2242t tg t f t f t t t t t t t+=+--=++---=++---， 则()()2222222416248()02(2)44t t t g t t t t t '---=+⋅=-<+---， 所以()g t 在(0,2)上单调递减，则()(0)0g t g <=，即(2)(2)f t f t +<-，令122x t =+>，由()()12(2)f x f x f t =<-，得22x t >-，则12224x x t t +>-++=， 当14≥x 时，124x x +>显然成立，所以对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =则124x x +>.故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查利用导数研究函数单调区间、利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式能成立问题，考查综合分析论证与求解能力，属较难题. 三、双空题13．若函数()f x kx lnx =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是__；若函数()f x 在区间(1,)+∞内不单调，则k 的取值范围是__． 【答案】 [)1,+∞ ()0,1【分析】求出导函数()f x '，由导函数在(1,)+∞内大于等于0恒成立求解k 的取值范围；由函数()f x kx lnx =-在区间(1,)+∞不是单调函数，得函数在区间上有极值，即导函数在区间(1,)+∞内有解，由此求得k 的取值范围．【详解】解：①由()f x kx lnx =-，得1()(0)f x k x x'=->， 由函数()f x kx lnx =-在区间(1,)+∞单调递增， 得1()0f x k x'=-在(1,)+∞上恒成立，即1k x在(1,)+∞上恒成立，k ∴的取值范围是[)1,+∞；②函数()f x kx lnx =-在区间(1,)+∞内不单调，()0f x ∴'=在区间(1,)+∞有解．并且解的两侧，导函数的符号相反，由10k x -=，解得11x k=>，(0,1)k ∴∈．而()f x 在区间1(1,)k上单调递减，在1(k，)+∞上单调递增．k ∴的取值范围是(0,1)．故答案为： [)1,+∞；()0,1．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，属于中档题． 四、填空题14．10871087A 89A 8A --=_________．【答案】0【分析】根据排列数的计算公式，化简得到108710899108710899A 89A 8A A 90A A 10A 10--=--=，即可求解.【详解】根据排列数的计算公式，可得1087108810810871088108A 89A 8A A 89A A A 90A --=--=-9999A 1100A 0-==.故答案为：0.15．()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为_________.【答案】42【分析】先将原式分解为2个代数式之和，运用二项式定理分别计算3x 项的系数，再求和即可.【详解】()()()77733111111x x x x x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，先计算第一个式子3x 项的系数为37C =35 ，再计算第二个式子的3x 项的系数为6177C C 7== ，所以原式3x 项的系数为35+7=42； 故答案为：42.16．为参加学校美术作品评选，高二一班从学生上交的2幅油画和4幅国画中选3幅上交参赛，按要求至少上交1幅油画，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）【分析】根据组合的定义进行求解即可.【详解】要求至少上交1幅油画，不同的选法共有3364C C 16-=，故答案为：16 五、解答题17．已知二项式1nx ⎫⎪⎭的展开式中第二项和第三项的二项式系数之和为21．(1)求n ；(2)求展开式中的常数项． 【答案】(1)6n = (2)315T =【分析】（1）根据二项式1nx ⎫⎪⎭的展开式中第二项和第三项的二项式系数之和为21，由1221n n C C +=求解；（2）利用二项展开式的通项公式求解.【详解】(1)解：由题意得1221n n C C +=，即(1)212n n n -+=， 化简得2420n n +-=解得6n =或n =-7（负值舍去）．(2)由通项公式得6161rx rr T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭6326(1)rr r C x -=-， 因为06,r r ≤≤∈N ， 令6302r-=，得2r =， 所以常数项为2236(1)15T C =-=．18．已知函数32(),1f x x bx x a x =+-+=是()f x 的一个极值点． (1)求b 的值；(2)当[2,2]x ∈-时，求函数()f x 的最大值． 【答案】(1)1b =- (2)2a +【分析】（1）对()f x 求导，1x =是()f x 的一个极值点，所以()01f '= ，解方程即可【详解】(1)2()321f x x bx '=+-，∵1x =是()f x 的一个极值点，∴(1)3210f b =+-=' 解得1b =-．经检验，满足题意．(2)由（1）知：32()f x x x x a =--+，则2()321f x x x '=--． 令()0f x '=，解得1x =或1x =-∵()123f f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最大值为2a +19．“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”，乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”．(1)若从甲箱中任取2个“青团”，求这2个“青团”馅不同的概率；(2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个“青团”，求取出的这个“青团”是肉松馅的概率． 【答案】(1)47；(2)2049. 【分析】（1）应用古典概率的求法求2个“青团”馅不同的概率即可.（2）利用全概率公式求乙箱中任取1个‘青团’，取出的这个‘青团’是肉松馅的概率.【详解】(1)从甲箱中任取2个“青团”的事件数为27C 21=，这2个“青团”馅不同的事件数为1134C C 12=，所以这2个“青团”馅不同的概率为124217P ==． (2)设事件A 为“从乙箱中任取1个‘青团’，取出的这个‘青团’是肉松馅”，事件2B 为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是肉松馅”，事件3B 为“从甲箱中取出的2个‘青团’为1个蛋黄馅1个肉松馅”， 则123,,B B B 彼此互斥．()41232C 62C 217P B ===，()23223C 31C 217P B ===，()1143327C C 124C 217P B ===， ()()()123243,,777P A B P A B P A B ===，所以()()()()()()()112233P A P B P A B P B P A B P B P A B =++2214432077777749=⨯+⨯+⨯=， 所以取出的这个“青团”是蛋黄馅的概率为2049． 20．已知函数()ln af x x x=+，a R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当0a >时，证明：()21a f x a-≥. 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求得函数()y f x =的定义域与导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （2）由（1）可得()()min ln 1f x f a a ==+，利用分析法可知，要证不等式()21a f x a-≥成立，即证1ln 10a a +-≥，构造函数()()1ln 10g a a a a=+->，利用导数得出()min 0g a =，由此可证得结论成立.【详解】（1）函数()ln a f x x x =+的定义域为()0,∞+，且()221a x a f x x x x'-=-=.①当0a ≤时，对任意的0x >，()0f x '>，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增； ②当0a >时，令()0f x '<，可得0x a <<；令()0f x '>，可得x a >. 此时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； 当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞； （2）由（1）可知，当0a >时，()()min ln 1f x f a a ==+，要证()21a f x a -≥，只需证21ln 1a a a-+≥，即证1ln 10a a +-≥.构造函数()1ln 1g a a a=+-，其中0a >，则()22111a g a a a a -'=-=.当01a <<时，()0g a '<，此时函数()y g a =单调递减； 当1a >时，()0g a '>，此时函数()y g a =单调递增. 所以，()()min 10g a g ==，所以1ln 10a a+-≥恒成立， 因此，()21a f x a-≥. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查分类讨论思想的应用以及推理论证能力，属于中等题.(1)该厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B 级消毒液的总瓶数； (2)已知每瓶消毒液的等级与售价X （单位：元/瓶）的关系如下表所示： 等级ABC售价X 30 25 10假定该厂一年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为2千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：该厂能否在一年之内收回投资？试说明理由． 附：若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，3309().973P X μσμσ-<≤+=．【答案】(1)84000瓶 (2)能，理由见解析【分析】（1）求出甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数，从而得到Z 近似地服从正态分布()226.5,11.95N ，利用给出的3σ原则求出特殊区间的概率，进而估算出甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B 级消毒液有84000瓶；（2）求出Y 的可能取值及对应的概率，写出分布列，求出期望值, 与2千万元比较得出结论.【详解】(1)根据频率分布直方图的性质，可得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为：1(50.01150.02250.03350.025450.015)1026.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， 由题意，甲厂生产的消毒液的质量指标值Z 近似地服从正态分布()226.5,11.95N ，所以(14.5562.35)(3)P Z P Z μσμσ<≤=-<≤+10.99730.6827[(33)()]0.840022P Z P Z μσμσμσμσ+=-<≤++-<≤+==， 又由0.840010000084000⨯=，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B 级消毒液有84000瓶． (2)设每瓶消毒液的利润为Y 元，则Y 的可能取值为10，5，10-，可得1(10)(62.35)(3)[1(33)]2P Y P Z P Z P Z μσμσμσ==≥=≥+=--<≤+1(10.9973)0.001352=-=， (5)(14.5562.35)0.8400P Y P Z ==<≤=，所以(10)10.001350.84000.15865P Y =-=--=， 故Y 的分布列为：所以每瓶消毒液的平均利润为：()100.0013550.8400(10)0.15865E Y =⨯+⨯+-⨯ 2.6270=（元），故生产一年消毒液所获利润为2.62701 2.6270⨯=（千万元）， 而2.6270（千万元）2>（千万元）， 所以该厂能在一年之内收回投资． 22．设函数()e sin 2=++x f x a x b ．(1)当1,[0,)2a x =∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围；(2)若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，且()ln()2f x x m >+-，求整数m 的最大值． 【答案】(1)[1,)-+∞; (2)2【分析】（1）求出当1,[0,)2a x =∈+∞时()0f x ≥，只需要min ()0f x ≥；（2）先根据切线的条件求出参数,a b ，在类似（1）中用恒成立的方式来处理. 【详解】(1)由()sin 2x f x e a x b =++，当12a =时，得()cos2x f x e x '=+． 当[0,)x ∈+∞时，1,cos2[1,1]x e x ≥∈-，所以()cos20x f x e x =+>'，即()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)1f x f b ==+，由()0f x ≥恒成立， 得10b +≥，所以1b ≥-，即b 的范围是[1,)-+∞．(2)由()sin 2x f x e a x b =++得()2cos2x f x e a x =+'，且(0)1f b =+． 由题意得0(0)21f e a +'==，所以0a =， 又(0,1)b +在切线10x y --=上．所以0110b ---=，所以2b =-，即()2x f x e =-． 因为()ln()2f x x m >+-，所以有ln()x e x m >+．令0x t e =>，则ln()x e x m >+等价于ln()t x m >+，即t x m e +<，从而ln t t m e x e t <-=-．设()ln t g t e t =-，则1()tg t e t=-'．易知()g t '在(0,)+∞上单调递增，且120,(1)102g g e ⎛⎫=<=-> ⎪⎝⎭''．所以，由函数零点存在性定理知，存在唯一的01,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g t '=，即01t e t =，则00ln t t =-．当()00,t t ∈时，()0()0,()g t g t g t =''<在()00,t 上单调递减； 当()0,t t ∈+∞时，()0()0,()g t g t g t =''>在()0,t +∞上单调递增．从而()0min?00001()ln t g t g t e t t t ==-=+． 而001t t +在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，所以00152,2t t ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭． 因此()g t 的最小值()052,2g t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．从而整数m 的最大值是2．。

2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则000()()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆（ ）A ．()012f x -' B ．()02f x '- C ．()0f x ' D ．()02f x '【答案】A【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果. 【详解】因为()f x 在0x x =处可导,所以，由导数的定义可得：()0000000()()()()11lim lim 222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-⎡-∆-⎤⎛⎫⎛⎫'=-⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥∆-∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：A2．已知()1nx -的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第3项为（ ） A ．8- B ．8x - C ．228x - D ．228x【答案】D【分析】利用二项式定理求得()1nx -的展开通项公式，从而得到关于n 的方程，解之即可求得展开式中的第3项.【详解】因为()1n x -的展开通项为()()1C 11C k kk n k k kk n n T x x -+=-=-，所以()1nx -的展开式的第1k +项的二项式系数为C kn ，因为()1nx -的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，所以26C C n n =，由性质22C C n n n-=得26n -=，故8n =， 所以()1n x -展开式中的第3项为()2222381C 28T x x =-=. 故选：D.3．已知函数()cos sin f x x x x =-，则π6⎛⎫' ⎪⎝⎭f 的值为（ ）A ．π2B ．π12-C ．1-D ．π-【答案】B【分析】先对()f x 求导，再利用特殊角的三角函数值即可得解.【详解】因为()cos sin f x x x x =-，所以()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-， 所以ππππsin 66612f ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.4．因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（ ）种． A ．34 B ．816 C ．216 D ．210【答案】B【分析】先采用间接法求解巡视商户的3人中至少一名男教师的安排方法种数，然后再求解另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法种数，综合即可得出结果． 【详解】从7人中任选3人，不同的选法有37C 种，而不选男教师的选法有33C 种，则巡视商户的3人中至少一名男教师安排方法有3373C C 34-=种，另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法有44A 24=种．则这7名教师不同的安排方法有3424816⨯=种． 故选：B ．5．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.5，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中一次，则甲命中目标的概率为（ ） A ．0.6 B ．0.625 C ．0.5 D ．0.3【答案】B【分析】先由题意求得目标至少被命中1次的概率，目标至少被命中1次且甲命中目标的概率，再由条件概率公式即可求得结果．【详解】记事件A 为“甲命中目标”，事件B 为“目标至少被命中1次”， 则()1(10.5)(10.6)0.8P B =--⨯-=，()0.5(10.6)0.50.60.5P AB =⨯-+⨯=，()0.5()0.625()0.8P AB P A B P B ===． 故选：B.6．已知2()ln 1f x x x mx =++-在区间(1,2)上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥-B ．4m >-C ．3m >-D ．3m ≥-【答案】D【分析】求出导函数，推出12m x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在区间(1,2)上恒成立，构造函数，求解函数的最值，从而求出实数m 的取值范围．【详解】2()ln 1f x x x mx =++-在区间(1,2)上为单调递增函数则1()20f x x m x '=++≥在区间(1,2)上恒成立 即12m x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在区间(1,2)上恒成立设1()2h x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(1,2)x ∈2221()2012x h x x x '=-+=-=<函数()h x 在(1,2)上是减函数，则()(1)3h x h <=- 所以3m ≥-． 故选：D ．7．在()()()()2391111x x x x ++++++++的展开式中，3x 的系数为（ ）A ．120B ．84C ．210D ．126【答案】C【分析】先通过求出各项二项式中3x 的系数，再利用组合数的性质即可得解. 【详解】因为()1nx +的展开通项为1C 1C k n kk k kk n n T x x -+==，所以()1x +的展开式中没有3x 这一项，()21x +的展开式中没有3x 这一项， ()31x +的展开式中3x 的系数为33C ， ()41x +的展开式中3x 的系数为34C ，……()91x +的展开式中3x 的系数为39C ，所以所求3x 的系数为333434910C C C C 210+++==.故选：C.8．定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数(),()f x f x '是()f x 的导函数，且()tan ()f x x f x '<-⋅成立，2,,346a fbc fπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a，b，c的大小关系为（）A．b a c>>B．c b a>>C．c a b>>D．a b c>>【答案】B【分析】由条件可得cos()sin()0x f x x f x'⋅+⋅<，考虑构造函数()()cosf xg xx=，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数()g x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】因为0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos0x>，所以()tan()f x x f x'<-⋅可化为sin()()0cosxf x f xx'+⋅<，即cos()sin()0x f x x f x'⋅+⋅<，设()()cosf xg xx=，则()()()()2cos sincos cosf x f x x f x xg xx x''+⎛⎫'==⎪⎝⎭，所以当0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x'<，所以函数()g x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递减，因为πππ643<<，所以3ππ4π6g g g⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以πππ643πππcos cos cos643f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>πππ2643f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c b a>>，故选：B.二、多选题9．随机变量ξ的分布列为：其中0ab≠，下列说法正确的是（）A．1a b+=B．3()2bEξ= C．()Dξ随b的增大而减小D．()Dξ有最大值【答案】ABD【分析】利用分布列的性质及期望与方差的公式，列出表达式，逐项判定，即可得出答案． 【详解】根据分布列的性质得122b ba ++=，即1ab +=，故A 正确；根据期望公式得3()012222b b bE a ξ=⨯+⨯+⨯=，故B 正确；根据方差公式得222333()(0)(1)(2)22222b b b b bD a ξ=-⨯+-⨯+-⨯222333(0)(1)(1)(2)22222b b b b b b =-⨯-+-⨯+-⨯22959525()424936b b b =-+=--+，因为01b <<，当509b <≤时，()D ξ随b 的增大而增大；当519b <<时，()D ξ随b 的增大而减小，故C 错误；当59b =时，()D ξ取得最大值2536，故D 正确，故选：ABD ．10．已知102(0)ax a⎛> ⎝展开式的各项系数和为1024，则下列说法正确的是（ ）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在含6x 的项D ．展开式中含15x 项的系数为45【答案】BD【分析】由1x =结合展开式的各项系数和得出1a =，再由二项展开式的通项及二项式定理的性质逐一判断即可．【详解】∵展开式的各项系数之和为1024，∴令1x =，得10(1)1024a +=，∵a ＞0，∴a ＝1则二项式为102x⎛ ⎝，其展开式的通项为：()520102211010C C rr rr r r T xx--+== 展开式中奇数项的二项式系数和为12×1024＝512，故A 错误； 由展开式的通项可知，项的系数与其二项式系数相同，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，故B 正确；令52062r -=，可得285r =不是自然数，则展开式中不存在含6x 的项，故C 错误；令520152r -=，解得2r =，所以展开式中含15x 项的系数为210C 45=，故D 正确，故选：BD ．11．某学校共有5个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（ ）A ．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为24125B ．四人去了同一餐厅就餐的概率为11296C ．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为96625D ．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为45【答案】ACD【分析】对于ABC ，利用排列组合的意义及古典概型概率的求法，求出对应事件的概率，从而得以判断；对于D ，根据题意得到第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的求法求得X 的期望，由此判断即可.【详解】依题意得，四位同学随机选择一家餐厅就餐有45选择方法，对于A ，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为454A 54322455555125⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故A 正确；对于B ，四人去了同一餐厅就餐的概率为154A 5155555125==⨯⨯⨯，故B 错误；对于C ，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为2244C 46449655555625⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故C 正确； 对于D ，每个同学选择去第一餐厅的概率为15，所以去第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布14,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以14()455E X =⨯=，故D 正确.故选：ACD.12．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点12,x x ，且12x x <，则下列选项正确的有（ ）A ．10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()y f x =在(0,e)上单调递减C ．126x x +>D ．若221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212a x x a --<【答案】AD【分析】根据参变分离构造函数()ln xg x x=，根据()g x 的性质，即可判断A ；求导得()f x '，结合10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可判断B ；构造函数()()()()2e ,e,2e F x f x f x x =--∈，利用导数求解12x x +的范围，即可判断C ，根据()21,f f a ⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小关系结合()f x 的单调性即可判断D ．【详解】对于A ，由()0f x =等价于ln xa x=，令()()2ln 1ln ,x x g x g x x x -'==， 令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >， 所以()g x 在()0,e 单调递增；在()e,+∞单调递减， 当e x =时，()g x 取极大值()1e =eg ，当()1,0x g x <<；当1x >时，()0g x >，()10g =， 则121e,e,x x <<>10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确．对于B ，()11ax f x a x x-'=-=， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1e a <，所以()f x 在(0,e)单调递增，故B 错误；对于C ，由A 可知120e x x <<<，当22e x ≥时，122e x x +>， 当()2e,2e x ∈时，令()()()()()()e ln ln 2e 2e 2e ,e,2F x f x x x ax f x a x x =--=-+-∈--， 11112e()222e 2e (2e )F x a a a a x x x x x x =-+-=+-=----'， ()()22e,2e ,2e 2e e x x x x x ∈∴-=-+<，()()2e 22202e eF x a a x x =->--'∴>，()F x ∴在()e,2e 上单调递增，()()e 0F x F ∴>=，()()2e f x f x ∴>-，则()()222e f x f x >-，又()()21f x f x =，()()122e f x f x ∴>-，又()f x 在()0,e 上单调递增，12e 2e 0x x >>->，122e x x ∴>-，122e x x ∴+>，综上122e x x +>，故C 错误；对于D ，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12110,,,x x a a ⎛⎫⎛⎫∴∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()110f a f x =-<=，11x ∴>，()2222ln 2lne 20f f x a a ⎛⎫=-<-== ⎪⎝⎭，22x a ∴<，21221a x x a a-∴-<-=，故D 正确， 故选：AD ．三、填空题13．全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科，4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择1个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是_______________． 【答案】625【分析】利用分步乘法有理求不同的报名方法种数即可.【详解】由已知第一位同学的报名方法有5种，第二名同学的报名方法有5种，第三名同学的报名方法有5种，第四名同学的报名方法有5种，由分步乘法计数原理可得4名同学的不同的报名方法种数是5555⨯⨯⨯种，即625种， 故答案为：625.14．同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，则4次试验中至少有2次成功的概率是______________． 【答案】67256【分析】由题意可知4次试验中成功次数X ～14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此即可得出答案．【详解】同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功， ∴这次试验成功的概率为111224⨯=，∴在4次试验中成功次数X ～14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4次试验中至少有2次成功的概率是2234234444131315412167C +C C 44444256256256256⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故答案为：67256． 15．若77017(21)x a a x a x +=++⋯+，则7+11(1)i i i ia =-=∑______________．【答案】14【分析】由二项式定理可求0127,,,,a a a a ⋅⋅⋅，利用组合数性质化简+1(1)i i ia -，结合二项式定理求值.【详解】因为()()()()0127071625707777772(1C 12C 122))C 21C 12(1x x x x x x +==+++⋅⋅+⋅+，化简可得0122277777777C 2C 22(1C C 2)x x x x =++++⋅⋅⋅+，又77017(21)x a a x a x +=++⋯+，所以72C ,0,1,2,3,4,5,6,7,i ii a i ==当1,2,3,4,5,6,7i =时， ()()()1767!6!C 77C !7!1!61!i i i i i i i i -=⋅=⋅=---+，所以()1+1+1+111766(1)(1)2C (1)7C 214C 2i i i i i i i i i i i a i ---⋅⋅⋅-⋅=-⋅⋅=-⋅=⋅-， 所以()()77711+11166111(1)14C214C 2i i i i i i i i i ia ----===-=-=-∑∑∑，所以()()()()()7126+10615246066661(1)14C 12C 12C 12C 12i i i ia =-=-+-+-+⋅⋅⋅+-∑，所以()76+11(1)141214i i i ia =⎡⎤-=+-=⎣⎦∑，故答案为：14.16．若函数()g x 在区间D 上有定义，且,,,(),(),()a b c D g a g b g c ∀∈均可作为一个三角形的三边长，则称()g x 在区间D 上为“M 函数”．已知函数()1ln x f x x k x -=-+在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为“M 函数”，则实数k 的取值范围为_________________． 【答案】()2e 4,-+∞【分析】先由题意得到()()min max 2f x f x >且()min 0f x >，再利用导数求得()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，从而求得k 的取值范围.【详解】根据题意可知()g x 在区间D 上为“M 函数”，则有()()min max 2g x g x >且()min 0g x >， 因为()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为“M 函数”，所以()()min max 2f x f x >且()min 0f x >，因为()11ln 1ln e 1e x f x x k x k x x x -⎛⎫=-+=--+≤≤ ⎪⎝⎭，所以()22111x f x x x x -'=-=， 令()0f x '<，得1e x <≤；令0fx，得11ex ≤<；所以()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在(]1,e 上单调递减，则()()max 1f x f k ==，又111e ln 2e e e f k k ⎛⎫=--+=+- ⎪⎝⎭，()11e 1ln e e e f k k =--+=-，则()111e 2e 2e 0e e 2f f ⎛⎫-=-+<-+< ⎪⎝⎭，即()1e e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()min 12e e f x f k ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，所以()22e 2e 0k k k ⎧+->⎨+->⎩，解得2e 4k >-，所以实数k 的取值范围为()2e 4,-+∞. 故答案为：()2e 4,-+∞.四、解答题17．为支援武汉抗击疫情，某医院准备从6名医生和3名护士中选出5人组成一个医疗小组远赴武汉，请解答下列问题：（用数字作答）(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？(2)医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须医生和护士都有，共有多少种不同的建组方案？【答案】(1)75种；(2)65种【分析】(1)根据题设可知可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，再根据组合问题的求解方法求解即可；(2)先求出除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案的种数，再减去只有医生、护士的情况种数，即可的到答案.【详解】(1) 如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人， 可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，所以共3223636375C C C C +=种不同的建组方案.答：共有75种不同的建组方案．(2)由已知，除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案共488765701234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种，其中只有医生的情况数有455C =，不可能存在只有护士的情况．故共有70565-=种不同的建组方案. 答：共有65种不同的建组方案.【点睛】本题主要考查组合的实际应用，属于基础题.解组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏，在事件的正面较多的情况下，可以考虑用排除法求解. 18．已知2mx⎛ ⎝的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12． (1)求m 的值；(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．【答案】(1)7； (2)114﹒【分析】(1)求二项式展开式的通项，根据第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12列出关于m 的方程，解方程即可求得m ；(2)根据通项求出有理项的项数，根据插空法即可求概率.【详解】（1）展开式的通项为()152222122rr m m r rr r r m m T C x x C x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，∴展开式中第4项的系数为332mC ⋅，倒数第4项的系数为332m m m C --⋅， 33332122m m m m C C --⋅∴=⋅，即611,722m m -=∴=． （2）展开式共有8项，由(1)可得当522r m -为整数，即0,2,4,6r =时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为484485 1 14A A A =． 19．已知函数()2()e 61x f x x x =-+．(1)求函数()f x 的单调区间与极值；(2)求函数()f x 在区间[0,6]上的最值．【答案】(1)单调递增区间是(,1),(5,)-∞-+∞，单调递减区间是(1,5)-，极大值是18e -，极小值是54e -(2)最大值为6e ，最小值为54e -．【分析】（1）对()f x 求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；（2）根据极值和端点值即可确定最值.【详解】（1）()2()e 45e (5)(1)x x f x x x x x =--'=-+．令()0f x '>，得1x <-或5x >；令()0f x '<，得15x -<<，所以()f x 的单调递增区间是(,1),(5,)-∞-+∞，单调递减区间是(1,5)-．所以()f x 的极大值是1(1)8e f --=，()f x 的极小值是5(5)4e f =-．（2）因为6(0)1,(6)e f f ==，由（1）知，在区间[0,6]上，()f x 有极小值5(5)4e f =-，所以函数()f x 在区间[0,6]上的最大值为6e ，最小值为54e -．20．将10株某种果树的幼苗分种在5个坑内，每坑种2株，每株幼苗成活的概率为0.5若一个坑内至少有1株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种1个坑需20元，用X 表示补种费用．(1)求一个坑不需要补种的概率；(2)求5个坑中恰有2个坑需要补种的概率；(3)求X 的数学期望．【答案】(1)34(2)135512(3)25元【分析】（1）利用间接法及独立事件概率的乘法公式即可得解；（2）利用重复独立实验的概率公式即可得解；（3）根据题意得需要补种的坑数Y 服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的公式求得()E Y ，再由数学期望的性质求得()E X ，由此得解.【详解】（1）依题意，一个坑不需要补种就是2株幼苗中至少有1株成活， 所以其概率2212131C 24P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （2）由（1）得每坑要补种的概率1114P -=， 所以5个坑中恰有2个坑需要补种的概率2322513135C 44512P ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （3）设5个坑中需要补种的坑数为Y ，则Y 服从二项分布，即15,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， 所以15()544E Y =⨯= 而20X Y =，故()20()25E X E Y ==（元），所以X 的数学期望为25元.21．为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X ，求随机变量X 的数学期望．【答案】(1)后两轮应该选择容易题进行答题，理由见解析(2)172【分析】（1）先分析得甲后两轮还有三种方案，利用独立事件的概率的乘法公式将每种方案进决赛的概率求出，比较之即可得解；（2）根据题意得到X 的可能取值，结合独立事件的概率的乘法公式将X 的每一个取值的概率求出，从而得到X 的的分布列，从而求得X 的数学期望．【详解】（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为4分，要进入决赛，还需要得6分， 所以甲后两轮的选择有三种方案： 方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为10.70.70.49P =⨯=；方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为20.30.30.09P =⨯=；方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为：30.70.30.21P =⨯=； 因为132P P P >>，所以甲后两轮应该选择容易题进行答题.（2）依题意，X 的可能取值为3、7、8、11、12、16，则11771177(3),(7)2221040221020P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯=， 11331177(8),(11)221040221040P X P X ==⨯⨯===⨯⨯=， 11331133(12)2,(16)221020221040P X P X ==⨯⨯⨯===⨯⨯=， 所以X 的分布列为：所以77373317()3781112164020404020402E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 22．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交5a +元(58)a ≤≤的税收，预计当每件产品的售价定为x 元(1317)x ≤≤时，一年的销售量为2(18)x -万件，(1)求该商店一年的利润L (万元)与每件纪念品的售价x 的函数关系式；(2)求出L 的最大值()Q a ．【答案】(1)2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(2)()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域； （2）对L 求导，令0L '=得3823a x +=或18x =，讨论3823a +与区间[13,17]的位置情况判断L '的符号，进而确定L 的单调性，即可求得最大值．【详解】（1）由题意，预计当每件产品的售价为x 元(1317)x ≤≤，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交(5)a +元(58)a ≤≤，所以商店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为：2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈． （2）∵2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈，∴(3823)(18)L a x x =+--'，令0L '=，解得：3823a x +=或18x =，而58a ≤≤，则38216183a +≤≤， ①当38216173a +≤<，即5 6.5a ≤<时， 当38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0L '>，L 单调递增，当382,173a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0L '<，L 单调递减， ∴当3823a x +=时，L 取最大值34(8)27a -； ②当38217183a +≤≤，即6.58a ≤≤时， 当()13,17x ∈时，0L '>，L 单调递增，∴当17x =时，L 取最大值7a -，综上，()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩ 23．已知函数()e 3x f x ax =+-在0x =处的切线为=2y -．(1)求实数a 的值及函数()f x 的极值；(2)用[]t 表示不超过实数t 的最大整数，如：[0.8]0,[ 1.4]2=-=-，若0x >时，()e 2x t x t -<+恒成立，求[]t 的最大值．【答案】(1)1a =-；极小值为2-，无极大值(2)2【分析】（1）利用导数的几何意义得到()00f '=，从而求得1a =-，进而利用导数与函数的极值的关系求得()f x 的极值；（2）将问题转化为e 2e 1x x x t +<-恒成立问题，结合（1）中结论得到()g x '在(0,)+∞上有唯一零点，且012x <<，从而求得()0min 1g x x +=，由此求得[]t 的最大值．【详解】（1）根据题意，易得函数()f x 的定义域为R ，因为()e x f x a '=+，由已知得()00f k '==，即0e 0a +=，则1a =-，所以()e 3x x f x =--，()e 1x f x '=-，令0f x ，得0x >；令()0f x '<，得0x <；所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 的极小值为()02f =-，无极大值．（2）因为当0x >时，e 10x ->，故不等式()e 2xt x t -<+等价于e 2e 1x x x t +<-，令e 2()e 1x x x g x +=-，则()()2e e 3()e 1x x x x g x --=-'，()min t g x <， 由（1）得()e 3x x f x =--在(0,)+∞上单调递增，又因为2(1)e 130,(2)e 230f f =--<=-->，所以()f x 在(0,)+∞有唯一零点0x ，且012x <<， 所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点，且012x <<，又当()00,x x ∈时，()0f x <，则()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x >，则()0g x '>， 所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()g x 的最小值为()()0min g x g x =，由()00g x '=得00e 3x x =+，所以()()00000000321e 22e 1x x x g x x x x x +=+=+=-++， 因为012x <<，所以()023g x <<，因为()min t g x <，所以[]t 的最大值为2．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。