快速排序 和 二分法

电子科技大学实验报告课程名称：数据结构与算法学生姓名：学号：点名序号：指导教师：实验地点：基础实验大楼实验时间： 5月20日2014-2015-2学期信息与软件工程学院实验报告（二）学生姓名学号：指导教师：实验地点：基础实验大楼实验时间：5月20日一、实验室名称：软件实验室二、实验项目名称：数据结构与算法—排序与查找三、实验学时：4四、实验原理：快速排序的基本思想是：通过一躺排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一不部分的所有数据都要小，然后再按次方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

假设要排序的数组是A[1]……A[N]，首先任意选取一个数据（通常选用第一个数据）作为关键数据，然后将所有比它的数都放到它前面，所有比它大的数都放到它后面，这个过程称为一躺快速排序。

一躺快速排序的算法是：1）设置两个变量I、J，排序开始的时候I：=1，J：=N2）以第一个数组元素作为关键数据，赋值给X，即X：=A[1]；3）从J开始向前搜索，即（J：=J-1），找到第一个小于X的值，两者交换；4）从I开始向后搜索，即（I：=I+1），找到第一个大于X的值，两者交换；5）重复第3、4步，直到I=J。

二分法查找（折半查找）的基本思想：（1）确定该区间的中点位置：mid=（low+high）/2min代表区间中间的结点的位置，low代表区间最左结点位置，high代表区间最右结点位置（2）将待查a值与结点mid的关键字（下面用R[mid].key）比较，若相等，则查找成功，否则确定新的查找区间：A)如果R[mid].key>a，则由表的有序性可知，R[mid].key右侧的值都大于a，所以等于a的关键字如果存在，必然在R[mid].key左边的表中,这时high=mid-1;B)如果R[mid].key<a,则等于a的关键字如果存在，必然在R[mid].key右边的表中。

（共八种排序方法：直接插入排序，折半插入排序，冒泡排序，简单选择排序，希尔排序，快速排序，堆排序，归并排序）一.简单排序1.直接插入排序：a)思想：每次从后面无序表中取出第一个元素，通过循环比较把它插入到前面有序表的合适位置，使前面有序表仍然有序。

b)稳定性：稳定c)时空效率：时间复杂度：O(n^2) 空间复杂度：O(1)d)代码：/******************************************function: InsertSort 直接插入排序paramaters: list[] 形参数组length 数组长度（并非最大下标）******************************************/void InsertSort(int list[],int length){int temp,i,j;for(i=1;i<length;i++){if(list[i]<list[i-1]){temp=list[i];//保存小值list[i]=list[i-1];//大值向后移一位for(j=i-1;j>=1&&temp<list[j-1];j--){list[j]=list[j-1];}list[j]=temp;}}}2.折半插入排序：a) 思想：在插入第i个元素时，对前面的0～i-1元素进行折半，先跟他们中间的那个元素比，如果小，则对前半再进行折半，否则对后半进行折半，直到low>hight，找到插入位置low，然后把low到i-1的所有元素均后移一位，再把第i个元素放在目标位置low上。

b) 稳定性：稳定c) 时空效率：时间复杂度：O(n^2) 空间复杂度：O(1)d) 代码：/******************************************function: BInsertSort 折半插入排序又叫二分法插入排序paramaters: list[] 形参数组length 数组长度（并非最大下标）******************************************/void BInsertSort(int p[],int length){int i,j,low,high,m,temp;for(i=1;i<length;i++){temp=p[i];low=0;high=i-1;while(low<=high){m=(low+high)/2;if(p[i]<p[m])//插入点是high+1,而非m,因为有的循环m变化了，而m与high没有发生关系，//循环就结束了，他们的关系还保留在上一层，因此插入点应该用high来保存{high=m-1;}else low=m+1;}// 其实用low更方便点，不用再对low做任何改变/*for(j=i-1;j>=high+1;j--){p[j+1]=p[j];}p[high+1]=temp;*/for(j=i-1;j>=low;j--){p[j+1]=p[j];}p[low]=temp;}}3.冒泡排序：a) 思想：依次比较相邻的两个数，将小数放在前面，大数放在后面。

二分法计算
二分法，又称折半查找，是一种在有序数组中查找特定元素的常用算法。

它的基本思想是将数组从中间分成两部分，判断目标元素位于左半边还是右半边，然后继续在相应的子数组中进行查找，直到找到目标元素或子数组为空为止。

这种算法的时间复杂度为O(log(n))，效率较高。

实现二分法查找的步骤如下：
1. 首先，确定有序数组的起始索引left和结束索引right，分别为0和数组长度减1。

2. 计算中间元素的索引mid，可以使用公式mid = (left + right) / 2。

3. 比较中间元素与目标元素的大小关系：
- 如果中间元素等于目标元素，那么目标元素已经找到，返回该索引。

- 如果中间元素大于目标元素，说明目标元素位于左半边，将结束索引right更新为mid-1。

- 如果中间元素小于目标元素，说明目标元素位于右半边，将起始索引left更新为mid+1。

4. 重复步骤2和步骤3，直到找到目标元素或子数组为空。

需要注意的是，二分法只适用于有序数组。

如果数组无序，需要先对数组进行排序操作，再进行二分查找。

总之，二分法是一种高效的查找算法，可以在有序数组中快速定位目标元素，降低查找的时间复杂度。

各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度（阿⾥）⼆分查找法的时间复杂度：O(logn) redis,kafka,B+树的底层都采⽤了⼆分查找法参考：⼆分查找法 redis的索引底层的跳表原理实现参考：⼆分查找法参考：⼆分查找法：1.⼆分查找⼆分查找也称为折半查找，它是⼀种效率较⾼的查找⽅法。

⼆分查找的使⽤前提是线性表已经按照⼤⼩排好了序。

这种⽅法充分利⽤了元素间的次序关系，采⽤分治策略。

基本原理是：⾸先在有序的线性表中找到中值，将要查找的⽬标与中值进⾏⽐较，如果⽬标⼩于中值，则在前半部分找，如果⽬标⼩于中值，则在后半部分找；假设在前半部分找，则再与前半部分的中值相⽐较，如果⼩于中值，则在中值的前半部分找，如果⼤于中值，则在后半部分找。

以此类推，直到找到⽬标为⽌。

假设我们要在 2，6，11，13，16，17，22，30中查找22，上图所⽰，则查找步骤为：⾸先找到中值：中值为13（下标：int middle = (0+7)/2），将22与13进⾏⽐较，发现22⽐13⼤，则在13的后半部分找；在后半部分 16，17，22，30中查找22，⾸先找到中值，中值为17（下标：int middle=(0+3)/2），将22与17进⾏⽐较，发现22⽐17⼤，则继续在17的后半部分查找；在17的后半部分 22，30查找22，⾸先找到中值，中值为22（下标：int middle=(0+1)/2），将22与22进⾏⽐较，查找到结果。

⼆分查找⼤⼤降低了⽐较次数，⼆分查找的时间复杂度为：O(logn)，即。

⽰例代码：public class BinarySearch {public static void main(String[] args) {int arr[] = {2, 6, 11, 13, 16, 17, 22, 30};System.out.println("⾮递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22));System.out.println("递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22, 0, 7));}//⾮递归static int binarySearch(int[] arr, int res) {int low = 0;int high = arr.length-1;while(low <= high) {int middle = (low + high)/2;if(res == arr[middle]) {return middle;}else if(res <arr[middle]) {high = middle - 1;}else {low = middle + 1;}}return -1;}//递归static int binarySearch(int[] arr,int res,int low,int high){if(res < arr[low] || res > arr[high] || low > high){return -1;}int middle = (low+high)/2;if(res < arr[middle]){return binarySearch(arr, res, low, middle-1);}else if(res > arr[middle]){return binarySearch(arr, res, middle+1, high);}else {return middle;}}}其中冒泡排序加个标志，所以最好情况下是o(n)直接选择排序：排序过程：1 、⾸先在所有数据中经过 n-1次⽐较选出最⼩的数，把它与第 1个数据交换，2、然后在其余的数据内选出排序码最⼩的数，与第 2个数据交换...... 依次类推，直到所有数据排完为⽌。

快速排序算法实验报告快速排序一、问题描述在操作系统中，我们总是希望以最短的时间处理完所有的任务。

但事情总是要一件件地做，任务也要操作系统一件件地处理。

当操作系统处理一件任务时，其他待处理的任务就需要等待。

虽然所有任务的处理时间不能降低，但我们可以安排它们的处理顺序，将耗时少的任务先处理，耗时多的任务后处理，这样就可以使所有任务等待的时间和最小。

只需要将n 件任务按用时去从小到大排序，就可以得到任务依次的处理顺序。

当有 n 件任务同时来临时，每件任务需要用时ni，求让所有任务等待的时间和最小的任务处理顺序。

二、需求分析1. 输入事件件数n，分别随机产生做完n件事所需要的时间；2. 对n件事所需的时间使用快速排序法，进行排序输出。

排序时，要求轴值随机产生。

3. 输入输出格式：输入：第一行是一个整数n，代表任务的件数。

接下来一行，有n个正整数，代表每件任务所用的时间。

输出：输出有n行，每行一个正整数，从第一行到最后一行依次代表着操作系统要处理的任务所用的时间。

按此顺序进行，则使得所有任务等待时间最小。

4. 测试数据：输入 95 3 4 26 1 57 3 输出1 2 3 3 4 5 5 6 7三、概要设计抽象数据类型因为此题不需要存储复杂的信息，故只需一个整型数组就可以了。

算法的基本思想对一个给定的进行快速排序，首先需要选择一个轴值，假设输入的数组中有k个小于轴值的数，于是这些数被放在数组最左边的k个位置上，而大于周知的结点被放在数组右边的n-k个位置上。

k也是轴值的下标。

这样k把数组分成了两个子数组。

分别对两个子数组，进行类似的操作，便能得到正确的排序结果。

程序的流程输入事件件数n-->随机产生做完没个事件所需时间-->对n个时间进行排序-->输出结果快速排序方法：初始状态 72 6 57 88 85 42 l r第一趟循环 72 6 57 88 85 42 l r 第一次交换 6 72 57 88 85 42 l r 第二趟循环 6 72 57 88 85 42 r l 第二次交换 72 6 57 88 85 42 r l反转交换 6 72 57 88 85 42 r l这就是依靠轴值，将数组分成两部分的实例。

第10章 排序排序排序一、选择题 1．某内排序方法的稳定性是指．某内排序方法的稳定性是指( )( )( )。

【南京理工大学【南京理工大学 1997 1997 1997 一、一、一、101010（（2分）】 A ．该排序算法不允许有相同的关键字记录该排序算法不允许有相同的关键字记录 B B B．．该排序算法允许有相同的关键字记录记录C ．平均时间为0（n log n n log n）的排序方法）的排序方法）的排序方法D D D．以上都不对．以上都不对．以上都不对2．下面给出的四种排序法中下面给出的四种排序法中( )( )( )排序法是不稳定性排序法。

排序法是不稳定性排序法。

【北京航空航天大学北京航空航天大学 1999 1999 1999 一、一、10 10 （（2分）】 A. A. 插入插入插入 B. B. B. 冒泡冒泡冒泡 C. C. C. 二路归并二路归并二路归并 D. D. D. 堆积堆积堆积 3．下列排序算法中，其中（．下列排序算法中，其中（ ）是稳定的。

）是稳定的。

）是稳定的。

【福州大学【福州大学 1998 1998 1998 一、一、一、3 (23 (2分)】A. A. 堆排序，冒泡排序堆排序，冒泡排序堆排序，冒泡排序B. B. B. 快速排序，堆排序快速排序，堆排序快速排序，堆排序C. C. 直接选择排序，归并排序直接选择排序，归并排序直接选择排序，归并排序D. D. D. 归并排序，冒泡排序归并排序，冒泡排序归并排序，冒泡排序4．稳定的排序方法是（．稳定的排序方法是（ ）） 【北方交通大学【北方交通大学【北方交通大学 2000 2000 2000 二、二、二、33（2分）】 A ．直接插入排序和快速排序．直接插入排序和快速排序 B B B．折半插入排序和起泡排序．折半插入排序和起泡排序．折半插入排序和起泡排序C ．简单选择排序和四路归并排序．简单选择排序和四路归并排序D D D．树形选择排序和．树形选择排序和shell 排序排序5．下列排序方法中，哪一个是稳定的排序方法？（．下列排序方法中，哪一个是稳定的排序方法？（ ） 【北方交通大学【北方交通大学【北方交通大学 2001 2001 2001 一、一、一、88（2分）】A ．直接选择排序．直接选择排序B B B．二分法插入排序．二分法插入排序．二分法插入排序C C C．希尔排序．希尔排序．希尔排序D D D．快速排序．快速排序．快速排序6．若要求尽可能快地对序列进行稳定的排序，则应选（．若要求尽可能快地对序列进行稳定的排序，则应选（A A ．快速排序．快速排序 B B B．归并排序．归并排序．归并排序 C C C．冒．冒泡排序）。

⼆分法查找和快速排序⼆分法是分治算法的⼀种特殊形式，利⽤分治策略求解时，所需时间取决于分解后⼦问题的个数、⼦问题的规模⼤⼩等因素，⽽⼆分法，由于其划分的简单和均匀的特点，是查找数据时经常采⽤的⼀种有效的⽅法。

快速排序的实质也是⼆分法，下⾯就写⼀个快速排序＋⼆分法查找的栗⼦ ：1 #include<stdio.h>234 //快速排序5 void QuickSort(int * a,int left,int right)6 {7 if(left>right)8 {9 return;10 }11 int stand=a[left];12 int i=left;13 int j=right;14 //得到基准数位置15 while(i!=j)16 {17 while(i<j&&a[j]>=stand)18 {19 --j;20 }21 while(i<j&&a[i]<=stand)22 {23 ++i;24 }25 if(i<j)26 {27 int temp=a[i];28 a[i]=a[j];29 a[j]=temp;30 }31 }32 //将基准数放⼊找出的位置33 a[left]=a[i];34 a[i]=stand;35 //递归36 QuickSort(a,left,i-1);37 QuickSort(a,i+1,right);38 return;39 }404142 //递归实现⼆分法查找43 int BinarySearch(int * a,int key,int low,int high)44 {45 if(low>high||key<a[low]||key>a[high]) //越界处理46 {47 return -1;48 }49 int middle=(low+high)/2;50 if(key==a[middle])51 {52 return middle;53 }54 if(middle==low||middle==high)55 {56 if(key==a[low])57 {58 return low;59 }60 if(key==a[high])61 {62 return high;63 }64 else65 {66 return -1;67 }68 }69 if(key<a[middle])70 {71 return BinarySearch(a,key,low,middle);72 }73 if(key>a[middle])74 {75 return BinarySearch(a,key,middle,high);76 }77 }7879 //循环实现⼆分法查找80 int BinarySearchByCircle(int * a,int key,int high)81 {82 int low=0;83 int middle;84 while(high>=low)85 {86 middle=(high+low)/2;87 if(key==a[middle])88 {89 return middle;90 }91 if(key<a[middle])92 {93 high=middle-1;94 }95 if(key>a[middle])96 {97 low=middle+1;98 }99 }100 return -1;101 }102103 int main()104 {105 int a[]={5,23,5,7,1};106 printf("----------------快速排序--------------\n");107 QuickSort(a,0,4);108 for(int i=0;i<5;i++)109 {110 printf("%d\n",a[i]);111 }112 printf("\n---------------⾮递归⼆分法查找元素5的位置-----------------\n"); 113 printf("%d\n",BinarySearchByCircle(a,5,4));114 printf("\n---------------递归⼆分法查找元素5的位置------------------\n"); 115 printf("%d\n",BinarySearch(a,5,0,4));116 return 0;117 }运⾏结果为：。

数据结构与算法■■算法1.算法的复杂度主要包括时间复杂度和空间复杂度，算法的时间复杂度与空间复杂度没有直接尖系。

2.算法的时间复杂度是指执行算法所需要的汁算工作量。

3.循环队列是队列的顺序存储结构4.循环队列中的元素个数随队头指针与队尾指针变化而动态变化。

5.线性表链式存储结构的存储空间可以是连续的，也可以是不连续的。

6・有且只有一个根结点的数据结构可能是线性结构，也可能是非线性结构。

7.在线性单链表中，可以从任何一个结点开始直接遍历到所有结点。

8.循环队列是队列的顺序存储结构。

9.在排序方法中，最坏情况下时间复杂度最小的是堆排序。

10.为了对有序进行对分查找，则要求有序表只能顺序存储。

X・带链的栈与队列是线性结构。

12.算法的时间复杂度的度量方法是，执行算法所需要的基本运算次数：时间复杂度与所运用的计算工具无矢。

13.在最坏情况下，希尔排序的时间复杂度比直接排序的时间复杂度要小。

14.算法的空间复杂度的度疑方法是，执行算法所需要的存储空间：与算法所处理的数据存储空间有尖。

15.有的非线性结构也可以采用顺序存储结构。

16.算法的时间复杂度与算法所处理数据的存储结构有直接矢系：算法的空间复杂度与算法所处理数据的存储结构有直接矢系。

17.具有两个根结点的数据结构一定是非线性结构。

18.带链队列的存储空间可以不连续，但队头指针可以大于也可以小于队尾指针。

19•在链表中，如果有两个结点的同一指针域的值相等，泽该链表一泄是非线性结构。

20•在带链栈中，队头指针和队尾指针都是在动态变化中；栈顶指针是在动态变化的，栈底指针是不变的。

21•链表结点中具有两个指针域的数据结构可以是线性结构的，也可以是非线性的。

22.程序可以作为算法的一种描述方法。

23.没有根结点或没有叶子结点的数据结构一泄是非线性结构。

24.算法强调动态的执行过程，不同于静态的il •算公式：算法必须能衽有限个步骤之后终止：算法的优劣取决于算法复杂度，与程序的环境无尖：算法设计必须考虑算法的复杂度。

使用二分法的前提条件
二分法是一种高效的算法，用于在有序数组或有序列表中查找特定元素。

它的核心思想是将范围逐步缩小一半，直到找到目标元素或确定目标
元素不存在。

但是，使用二分法需要满足一些前提条件，以确保算法的正确性和有
效性。

下面是使用二分法的前提条件：
1.有序数据：二分法只适用于已排序的数组或列表。

这意味着元素必
须按照其中一种约定的顺序排列，例如升序或降序。

如果数据无序，则需
要先对数据进行排序。

2.单调性：二分法要求数据具有单调性，即在有序数据中，在任何一
个位置，左边的元素都小于右边的元素，或者右边的元素都大于左边的元素。

3.可比性：使用二分法的数据必须具有可比性，即能够比较两个元素
的大小关系。

这意味着在二分法的流程中，需要使用比较运算符（如小于、大于、等于）来比较元素。

4.随机访问：二分法依赖于快速的随机访问能力，即可以根据索引直
接访问数组或列表中的元素。

如果数据结构没有提供随机访问的能力，如
链表，则无法使用二分法。

5.数据量大：相对于线性算法，二分法的优势在于数据量较大时的效率。

如果数据量太小，效果可能不如线性算法。

因此，使用二分法的前提
条件是有足够大的数据量。

总结起来，在使用二分法之前，需要满足数据有序、具有单调性、具有可比性、具备随机访问能力以及具有足够大的数据量这些前提条件。

只有在满足这些条件的情况下，才能使用二分法来提高效率。

二分法定义二分法是一种有效的搜索算法，在电脑科学和数学中也经常用到。

它被称为二分搜索或二分查找，是一种水平分割查找，它可以在给定的排序数组中快速搜索指定的值。

二分搜索将搜索范围分割为两个部分，并依次搜索每个部分，以缩小搜索范围。

从理论上讲，二分搜索需要对搜索范围进行分割，并比较中间元素和目标值的大小。

搜索的过程将继续一直到在数组中找到或找不到目标值为止。

通常，如果找不到目标值，就会返回它在排序数组中的最接近值。

二分搜索的历史可以追溯到1920年，当时由大卫布莱恩阿尔法波斯特瓦斯特斯基（David B. R. Alford Bostwick Wasserstein）提出。

它是基于折半思想，也被称为折半搜索。

它最初用于检索和排序的任务，归结到1950年的波斯特研究。

二分搜索在许多场景中都有用，包括查找一个字符串在另一个字符串中出现的位置，求解方程，搜索排序数组，在有序表中查找对象等等。

它也可以用来解决在数学上非常重要的问题，比如线性规划。

二分搜索的基本原理是，先将要查询的数据中间值与查询目标值进行比较，如果两者相等，则查询完成；如果中间值小于查询目标值，则查询右半部分的数据；如果中间值大于查询目标值，则查询左半部分的数据。

重复上述操作，直至查询完成。

二分搜索有一些重要的优点。

它可以非常快速地查找指定的元素，只需要比较几次，就可以找到指定的元素。

相比于顺序查找，它可以大大减少查找的时间，从而提高查找的效率。

二分搜索也不需要把要查找的元素移动到数组的开头，因为它不需要顺序查找。

此外，二分搜索的缺点也不容忽视。

首先，这种搜索只适用于有序的搜索范围，而不能应用于无序的搜索范围。

其次，如果搜索数组中的元素较多，时间复杂度会增加，从而使整个搜索过程变得缓慢。

在现代电脑科学中，二分搜索经常被用于查找有序数组中的元素，因其简单的操作过程和较快的搜索速度而受到广泛的认可。

它的实现非常简单，只要在搜索范围内迭代搜索，就可以找到指定的元素。

实验内容对乱序整数序列，先用快速排序按非减序排列，再进行二分查找，查找某个元素是否存在，若存在返回匹配的第一个下标位置（从0开始），不存在返回-1。

示例输入（第一行表示要查找的数，第二行以后表示数组元素，为编程方便，可限定为20个数，也可不限，自动分配空间）：9556877895412351110245678212442455687945576230示例输出（只输出数值即可，不许其他文字）：-1提示：分治法快速排序第一步：分解以aq为基准元素将ap:r划分成3段ap:q-1、aq和aq+1:r，使得ap:q-1中任何元素小于aq ，aq+1:r中任何元素大于aq ；下标q在划分过程中确定。

第二步：递归求解递归调用快速排序算法对ap:q-1和aq+1:r进行排序；第三步：合并对ap:q-1和aq+1:r的排序是就地进行的，ap:q-1和aq+1:r排好序后不需要执行任何计算，ap:r就已排好序。

源代码：//快速排序 + 二分查找#include <stdio.h>int Partition(int a[],int p,int r) //对20个数进行划分，划分后进行快速排序{int i=p,j=r+1;int x=a[p];while(1){while(a[++i]<x && i<r);while(a[--j]>x);if(i>=j) break;int temp; //交换两个数的值temp=a[j];a[j]=a;a=temp;}a[p]=a[j];a[j]=x;return j;}void QuickSort(int a[],int p,int r) //进行快速排序{if(p<r){int q=Partition(a,p,r);QuickSort(a,p,q-1);QuickSort(a,q+1,r);}int HalfSearch(int a[],int n,int goal) //定义二分查找函数{int high=n-1,low=0,middle;while (high>=low){middle=(high+low)/2;if(goal<a[middle]) high=middle-1;else if(goal>a[middle]) low=middle+1;else{return middle;}}return -1;}int main(){int i,goal,a[20];scanf("%d",&goal); //输入你要查找的数for (i=0;i<20;i++)scanf("%d",&a); //输入20个数QuickSort(a,0,19); //调用快速排序函数，多20个数进行排序int search=HalfSearch(a,20,goal); //调用二分查找函数printf("%d\n",search); //输出你要查找的数的情况return 0;}运行过程截图：源代码下载：BinarySearch.cpp(1.28 KB, 下载次数: 0)【C语言】分治法合并排序【原创技术】：去学习文章出处: /forum.php?mod=viewthread&tid=1489。

二分法和芝诺悖论介绍二分法和芝诺悖论是数学领域中两个有趣且引人深思的概念。

二分法是一种在有序集合中以二分的方式查找特定元素的方法，而芝诺悖论则涉及到无穷概念和无穷集合的存在性质。

本文将深入探讨这两个概念的背景、应用和重要性。

一、二分法1.1 背景二分法是一种非常常见的算法，用于在有序集合中查找特定元素的位置。

它基于一个简单而重要的原理：如果一个集合中的元素按照特定顺序排列，并且具有顺序性质，那么可以通过将集合划分为两个部分并检查目标元素可能存在的部分，来快速找到目标元素。

1.2 步骤以下是二分法的基本步骤： 1. 确定目标元素所在的有序集合。

2. 确定集合的起始位置和结束位置。

3. 确定集合的中间位置。

4. 比较目标元素与中间位置的值。

5. 根据比较结果调整起始位置或结束位置。

6. 重复步骤3-5，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。

1.3 应用二分法广泛应用于许多领域，包括搜索算法、排序算法和计算机图形学等。

在搜索算法中，二分法可以用于快速查找某个元素是否存在，从而提高搜索效率。

在排序算法中，二分法可以用于快速查找元素的插入位置，快速排序算法就是基于二分法的一种常见排序算法。

1.4 重要性二分法的重要性不容忽视。

它提供了一种高效的搜索方法，尤其在大数据集合中，能够快速定位目标元素，并且其时间复杂度是O(log n)，相比于线性搜索的O(n)，具有明显的优势。

因此，熟练掌握二分法对于提高算法效率和解决实际问题非常重要。

二、芝诺悖论2.1 背景芝诺悖论源于古希腊哲学家芝诺的一系列思考实验，涉及到无穷的概念和无穷集合的性质。

具体来说，芝诺悖论旨在揭示无穷集合的一些令人困惑的性质，从而挑战传统的数学观念和直觉。

2.2 悖论芝诺悖论最著名的例子之一就是阿基里斯和乌龟赛跑的故事。

在这个故事中，假设阿基里斯和乌龟进行一场竞赛，阿基里斯稍微比乌龟快一点。

然而，芝诺指出，如果阿基里斯要追上乌龟，他必须先到达乌龟目前所处的位置，而在达到那个位置之前，他还必须先到达这个位置的前一位置，依次类推。

计算机的基本算法计算机的基本算法是指在计算机科学中用于解决问题或执行任务的一系列定义良好的指令或规则。

它是计算机科学的基础，对于计算机的功能和性能起着重要的支撑作用。

本文将会介绍几种常见的基本算法，包括搜索算法、排序算法和图算法。

一、搜索算法搜索算法是用于寻找特定目标的过程，通过有限的步骤逐个检查元素，直到找到所需的目标或确定目标不存在。

以下是两种常见的搜索算法：1.1 顺序搜索顺序搜索，也称为线性搜索，是一种直观且简单的搜索算法。

它从列表的起始位置开始，逐个对比每个元素，直到找到目标元素或全部元素都被检查完毕。

顺序搜索的时间复杂度为O(n)，其中n为列表的长度。

1.2 二分搜索二分搜索是一种用于有序列表的高效搜索算法。

它将目标元素与列表的中间元素进行比较，如果相等，则返回该元素的索引；如果目标元素大于中间元素，则在列表的后半部分进行二分搜索；反之，在列表的前半部分进行二分搜索。

通过将搜索范围缩小一半，二分搜索的时间复杂度为O(log n)，其中n为列表的长度。

二、排序算法排序算法是一种将列表或数组中的元素按照特定顺序重新排列的算法。

以下是两种常见的排序算法：2.1 冒泡排序冒泡排序是一种简单但效率较低的排序算法。

它从列表的起始位置开始，依次比较相邻的两个元素，如果它们的顺序不正确，则交换它们的位置。

通过多次遍历列表并重复比较交换操作，最终将最大（或最小）的元素移动到列表的末尾。

冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)。

2.2 快速排序快速排序是一种高效的排序算法，利用分治的思想将列表一分为二，并递归地对子列表进行排序。

它选择一个基准元素，将其他元素分为小于基准元素和大于基准元素的两部分，然后对这两部分分别进行快速排序，最终将它们合并成一个有序的列表。

快速排序的平均时间复杂度为O(nlog n)，最坏情况下为O(n^2)。

三、图算法图算法是解决图相关问题的一类算法，其中图是由节点和边组成的数据结构。

以下是两种常见的图算法：3.1 深度优先搜索深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。

排序1.快速排序、希尔排序、选择排序、堆排序不稳定（快些选一堆）2.冒泡排序、插入排序、归并排序、基数排序稳定3.一趟冒泡排序，是将“大的”字母沉底（如果前面的大于后面的就交换，知道碰到比它大的，之后用那个比它大的继续比--最大的放在最后）4.选择排序时间复杂度最差5.选择排序（最大最小），堆排序（最大最小），冒泡排序（最大最小），快速排序（一个数左边都是小于等于它，右边都大于等于它）一趟都能确定一个元素的位置，直接插入排序不行，插入排序在每趟排序后能确定前面的若干元素是有序的，2路归并排序，第一趟排序结束都可以得到若干个有序子序列6.拓扑排序运算只能用于有向无环图7.归并排序中,归并的趟数是(O(logn))8.堆排序平均执行的时间复杂度和需要附加的存储空间复杂度分别是（O(Nlog2N)和O(1)）9.只有100MB的内存，需要对1GB的数据进行排序，最合适的算法归并排序10.对于基本有序的序列，按照冒泡排序方式最快11.两分法插入排序所需比较次数与待排序记录的初始排列状态无关12.快速排序：基准元素和末尾比，小于末尾不动，否则交换，接着和第一个比同理，一趟后找到位置，第二趟是左边和右边同时用同样的方法进行比较，又有两个确定位置。

13.数据表A中每个元素距其最终位置不远，为节省时间排序，应采用插入排序14.外排中使用置换选择排序的目的,是为了增加初始归并段的长度15.对n个数字进行排序，期中两两不同的数字的个数为k，n远远大于k，而n的取值区间长度超过了内存的大小，时间复杂度最小可以是O（n）16.按当前词所在的顺序排序表示要稳定17.只有快速排序，基数排序，二路归并排序，需要空间（会计归）logn，18.归并排序和堆排序最坏为O（nlogn），基数排序为O（d（r+n）），其它为O（n^2）19.插入排序为从第二个开始依次和它前面比它大的交换，希尔排序是步长依次减少的插入排序，基数是0-9个桶，依次把个位相同的放入桶，倒出，再把十位相同的倒入，倒出，以此类推最后就有序了。

二分法计算原理二分法是一种基于仅使用一小部分适用条件来不断缩小目标的搜索范围的算法，是一种高效的搜索算法。

该算法主要应用于计算机科学领域中的数据处理、编程以及算法设计等方面。

下面将围绕“二分法计算原理”进行详细论述。

一、什么是二分法二分法也叫折半查找，它是一种在有序数组中查找目标值的算法。

其主要的思路是将目标值与数组的中间值进行比较，判断目标值在数组的前半部分还是后半部分，并根据比较结果确定下一步查找的范围，即不断缩小搜索的范围，直到找到目标值或无法缩小搜索范围时停止搜索。

二、二分法的应用二分法主要应用于以下方面：1. 在有序数组中进行快速查找；2. 确定某个函数的零点；3. 在某个区间内查找极值点；4. 进行二分图的遍历搜索。

三、二分法的实现二分法的实现主要分为以下几个步骤：1. 确定初始搜索范围: 首先确定需要查找的数组以及目标值，然后对数组进行排序，并确定初始搜索范围，即对整个数组进行查找。

2. 确定中间值: 在确定好初始搜索范围后，通过计算左右界的中间值即可得到中间值。

3. 比较目标值与中间值: 将目标值与中间值进行比较，如果目标值小于中间值，则在左侧区间继续查找，否则在右侧区间继续查找。

4. 更新搜索范围: 根据不同的比较结果更新搜索范围，缩小查找的范围。

5. 终止条件: 在搜索范围缩小到一定程度，但仍未找到目标值时，终止搜索。

四、二分法的优点相对于其他查找算法来说，二分法具有以下几个优点：1. 时间复杂度较低：二分法的时间复杂度为O(logn)，相对于线性查找算法等时间复杂度较高的算法来说，二分法所需的时间更短，效率更高。

2. 可靠性和通用性：二分法在已排序数组中的查找可靠而通用，不受数据规模的限制。

3. 易于实现和理解：二分法的实现过程简单易懂，容易理解。

五、总结二分法是一种基于仅使用一小部分适用条件来不断缩小目标的搜索范围的算法。

其优点是时间复杂度低、可靠性和通用性强，易于实现和理解。

三种查找算法:顺序查找，二分法查找（折半查找），分块查找，散列表（以后谈）一、顺序查找的基本思想：从表的一端开始，顺序扫描表，依次将扫描到的结点关键字和给定值（假定为a）相比较，若当前结点关键字与a相等，则查找成功；若扫描结束后，仍未找到关键字等于a的结点，则查找失败。

说白了就是，从头到尾，一个一个地比，找着相同的就成功，找不到就失败。

很明显的缺点就是查找效率低。

适用于线性表的顺序存储结构和链式存储结构。

计算平均查找长度。

例如上表，查找1，需要1次，查找2需要2次，依次往下推，可知查找16需要16次，可以看出，我们只要将这些查找次数求和（我们初中学的，上底加下底乘以高除以2），然后除以结点数，即为平均查找长度。

设n=节点数平均查找长度=（n+1）/2二、二分法查找（折半查找）的基本思想：前提：（1）确定该区间的中点位置：mid=（low+high）/2min代表区间中间的结点的位置，low代表区间最左结点位置，high代表区间最右结点位置（2）将待查a值与结点mid的关键字（下面用R[mid].key）比较，若相等，则查找成功，否则确定新的查找区间：如果R[mid].key>a，则由表的有序性可知，R[mid].key右侧的值都大于a，所以等于a的关键字如果存在，必然在R[mid].key左边的表中。

这时high=mid-1如果R[mid].key<a,则等于a的关键字如果存在，必然在R[mid].key右边的表中。

这时low=mid如果R[mid].key=a，则查找成功。

（3）下一次查找针对新的查找区间，重复步骤（1）和（2）（4）在查找过程中，low逐步增加，high逐步减少，如果high<low，则查找失败。

平均查找长度=Log2(n+1)-1注：虽然二分法查找的效率高，但是要将表按关键字排序。

而排序本身是一种很费时的运算，所以二分法比较适用于顺序存储结构。

为保持表的有序性，在顺序结构中插入和删除都必须移动大量的结点。

常见排序算法及对应的时间复杂度和空间复杂度转载请注明出处：（浏览效果更好）排序算法经过了很长时间的演变，产⽣了很多种不同的⽅法。

对于初学者来说，对它们进⾏整理便于理解记忆显得很重要。

每种算法都有它特定的使⽤场合，很难通⽤。

因此，我们很有必要对所有常见的排序算法进⾏归纳。

排序⼤的分类可以分为两种：内排序和外排序。

在排序过程中，全部记录存放在内存，则称为内排序，如果排序过程中需要使⽤外存，则称为外排序。

下⾯讲的排序都是属于内排序。

内排序有可以分为以下⼏类： (1)、插⼊排序：直接插⼊排序、⼆分法插⼊排序、希尔排序。

(2)、选择排序：直接选择排序、堆排序。

(3)、交换排序：冒泡排序、快速排序。

(4)、归并排序 (5)、基数排序表格版排序⽅法时间复杂度（平均）时间复杂度（最坏)时间复杂度（最好)空间复杂度稳定性复杂性直接插⼊排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)稳定简单希尔排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)不稳定较复杂直接选择排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(1)O(1)不稳定简单堆排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(1)O(1)不稳定较复杂冒泡排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)稳定简单快速排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(n2)O(n2)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)不稳定较复杂归并排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(n)O(n)稳定较复杂基数排序O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(n+r)O(n+r)稳定较复杂图⽚版①插⼊排序•思想：每步将⼀个待排序的记录，按其顺序码⼤⼩插⼊到前⾯已经排序的字序列的合适位置，直到全部插⼊排序完为⽌。