二次函数经典例题与解答
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二次函数经典解答题1.抛物线L:y=+bx+c经过点A(0,﹣1),与它的对称轴直线x=2交于点B.(1)求出抛物线L的解析式;(2)如图1,过定点的直线y=kx﹣2k﹣5(k>0)与抛物线L交于点M、N.若△BMN 的面积等于3,求k的值;(3)如图2,将抛物线L向下平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L1,抛物线L1与y轴交于点C,过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D.点F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点,P为线段OC上一点.若△PCD与△POF相似,并且符合条件的点P恰有2个,求m的值及相应点P的坐标.【分析】(1)根据对称轴为直线x=2且抛物线过点A(0,﹣1)求解可得;(2)根据直线y=kx﹣k+4=k(x﹣1)+4知直线所过定点G坐标为(1,4),从而得出BG=2,由S△BNG﹣S△BMG=BG•(x2﹣2)﹣BG•(x1﹣2)=BG•(x2﹣x1)=×2×(x2﹣x1)=3得出x2﹣x1=3,联立直线和抛物线解析式求得x的值,根据x2﹣x1=3列出关于k的方程,解之可得;(3)设设抛物线L1的解析式为,m>0.所以C(0,﹣1﹣m)、D(4,﹣1﹣m)、F(2,0),分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况,由对应边成比例得出关于t与m的方程,利用符合条件的点P恰有2个,结合方程的解的情况求解可得.【解答】解:(1)∵抛物线过点A(0,﹣1)、对称轴为x=2,∴,解得.∴抛物线L的解析式为.(2)如图1,设点M、N的横坐标分别为x1、x2,延长直线NM交对称轴于点G,∵直线NM:y=kx﹣2k﹣5(k>0)∴y=kx﹣2k﹣5=k(x﹣2)﹣5.即直线MN所过定点G(2,﹣5).∵.∴B(2,﹣3).∴BG=2.∵S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=BG•(x2﹣2)﹣BG•(x1﹣2)=BG•(x2﹣x1)=×2×(x2﹣x1)=3.∴x2﹣x1=3.联立方程组,得:x2﹣(2k+4)x+4k+8=0解得,∴x2﹣x1=2=3解得∵k>0∴.(3)设抛物线L1的解析式为,m>0.∴C(0,﹣1﹣m)、D(4,﹣1﹣m)、F(2,0),首先,如图2,∠OPF=∠CPD总是存在的,且.∴.因此∠OPF与∠CPD互余只能存在一种情况,即线段OC上只存在一个点P,使得∠DPF =90°.方法一:以DF为直径的圆与y轴相切,如图3设DF中点为点H,则H(3,),故DF=6.得到:(4﹣2)2+(1+m)2=62,解得.∵m>0,∴.方法二:已知OC=1+m,设OP=n,那么CP=1+m﹣n.由,得,整理得n2﹣(m+1)n+8=0.△=(m+1)2﹣4×8=0,解得.∵m>0,∴.所以当时,恰有2个点P符合△PCD与△POF相似,此时OC=.①当∠OPF=∠CPD时,=,所以P(0,);②当∠OPF与∠CPD互余时,,解得,所以P(0,).【点评】本题主要考查二次函数综合题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、利用割补法求三角形的面积建立关于k的方程及相似三角形的判定与性质等知识点,解题时,注意“分类讨论”和“数形结合”数学思想的应用,难度较大.。
二次函数经典例题及答案1. 已知抛物线的顶点为P (-4,-252),与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中B 点坐标为(1,0)。
(1)求这条抛物线的函数关系式;(2)若抛物线的对称轴交x 轴于点D ,则在线段AC 上是否存在这样的点Q ,使得△ADQ 为等腰三角形?若存在,请求出符合条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.y=12 x 2+4x - 92;存在点Q 1(-1,-4),Q 2(25-9,-5),Q 3(-132,-54).试题分析:(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a (x+4)2-252,然后把点B 的坐标代入解析式求出a 的值,即可得解;(2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标,再根据抛物线解析式求出点A 、C 的坐标,从而得到OA 、OC 、AD 的长度,根据勾股定理列式求出AC 的长度,然后根据锐角三角形函数求出∠OAC 的正弦值与余弦值,再分①AD=Q 1D 时,过Q 1作Q 1E 1⊥x 轴于点E 1,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ 1,再利用∠OAC 的正弦求出Q 1E 1的长度,根据∠OAC 的余弦求出AE 1的长度,然后求出OE 1,从而得到点Q 1的坐标;②AD=AQ 2时,过Q 2作Q 2E 2⊥x 轴于点E 2,利用∠OAC 的正弦求出Q 2E 2的长度,根据∠OAC 的余弦求出AE 2的长度,然后求出OE 2,从而得到点Q 2的坐标;③AQ 3=DQ 3时,过Q 3作Q 3E 3⊥x 轴于点E 3,根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 3的长度,然后求出OE 3,再由相似三角形对应边成比例列式求出Q 3E 3的长度,从而得到点Q 3的坐标.试题解析:(1)∵抛物线顶点坐标为(-4,-252),∴设抛物线解析式为y=a (x+4)2-252∵抛物线过点B (1,0),∴a (1+4)2-252=0,解得a=,所以,抛物线解析式为y=(x+4)2-252, 即y=x 2+4x-;(2)存在点Q 1(-1,-4),Q 2(2-9,-),Q 3(-,-).理由如下:∵抛物线顶点坐标为(-4,-252),∴点D 的坐标为(-4,0),令x=0,则y=-,令y=0,则x 2+4x-=0,整理得,x 2+8x-9=0, 解得x 1=1,x 2=-9,∴点A (-9,0),C (0,-),∴OA=9,OC=,AD=-4-(-9)=-4+9=5,在Rt △AOC 中,根据勾股定理,AC=∴sin ∠OAC=cos ∠OAC=,①AD=Q 1D 时,过Q 1作Q 1E 1⊥x 轴于点E 1,根据等腰三角形三线合一的性质,AQ1=2•ADcos∠OAC=2×5×,Q1E1=AQ1•sin∠OAC=×=4,AE1=AQ1•cos∠OAC=×=8,所以,OE1=OA-AE1=9-8=1,所以,点Q1的坐标为(-1,-4);②AD=AQ2时,过Q2作Q2E2⊥x轴于点E2,Q2E2=AQ2•sin∠OAC=5×=,AE2=AQ2•cos∠OAC=5×=2,所以,OE2=OA-AE2=9-2,所以,点Q2的坐标为(2-9,-);③AQ3=DQ3时,过Q3作Q3E3⊥x轴于点E3,则AE3=AD=×5=,所以,OE3=9-=,∵Q3E3⊥x轴,OC⊥OA,∴△AQ3E3∽△ACO,∴,即,解得Q3E3=,所以,点Q3的坐标为(-,-),综上所述,在线段AC上存在点Q1(-1,-4),Q2(2-9,-),Q3(-,-),使得△ADQ为等腰三角形.2.如图,直线y=﹣x+3与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点,点A是抛物线与x轴的另一个交点.(1)求B、C两点坐标;(2)求此抛物线的函数解析式;(3)在抛物线上是否存在点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P点坐标,若不存在,请说明理由.1)B(3,0)C(0,3)(2)此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.(3)存在这样的P点,其坐标为P(0,3),(2,3)(1+,﹣3)或(1﹣,﹣3).试题分析:(1)已知了过B、C两点的直线的解析式,当x=0时可求出C点的坐标,当y=0是可求出B点的坐标.(2)由于抛物线的解析式中只有两个待定系数,因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式.(3)根据(2)的抛物线的解析式可得出A点的坐标,由此可求出AB的长,由于S△PAB=S△CAB,而AB边为定值.由此可求出P点的纵坐标,然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P 点的坐标.试题解析:(1)∵直线y=﹣x+3经过B、C∴当x=0时y=3当y=0时x=3∴B(3,0)C(0,3)(2)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C∴.∴b=2,c=3.∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.(3)当y=0时,﹣x2+2x+3=0;x1=﹣1,x2=3.∴A(﹣1,0)设P(x,y)∵S△PAB=S△CAB∴×4×|y|=×4×3∴y=3或y=﹣3①当y=3时,3=﹣x2+2x+3∴x1=0,x2=2P(0,3)或(2,3)②当y=﹣3时,﹣3=﹣x2+2x+3∴x1=1+,x2=1﹣∴P(1+,﹣3)或(1﹣,﹣3).因此存在这样的P点,其坐标为P(0,3),(2,3)(1+,﹣3)或(1﹣,﹣3).3.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A(3,0)、B(6,0),与y轴的交点是C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设P(x,y)(0<x<6)是抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q.①当x取何值时,线段PQ的长度取得最大值,其最大值是多少?②是否存在这样的点P,使△OAQ为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(1)所求抛物线的函数表达式是y=x2﹣x+2.(2)当x=3时,线段PQ的长度取得最大值.最大值是1.(3)P(3,0)或P(,)或P(,).试题分析:(1)已知了A,B的坐标,可用待定系数法求出函数的解析式.(2)①QP其实就是一次函数与二次函数的差,二次函数的解析式在(1)中已经求出,而一次函数可根据B,C的坐标,用待定系数法求出.那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式,得出的新的函数就是关于PQ,x的函数关系式,那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值.(3)分三种情况进行讨论:当∠QOA=90°时,Q与C重合,显然不合题意.因此这种情况不成立;当∠OAQ=90°时,P与A重合,因此P的坐标就是A的坐标;当∠OQA=90°时,如果设QP与x轴的交点为D,那么根据射影定理可得出DQ2=OD•DA.由此可得出关于x的方程即可求出x的值,然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标.试题解析:(1)∵抛物线过A(3,0),B(6,0),∴,解得:,∴所求抛物线的函数表达式是y=x2﹣x+2.(2)①∵当x=0时,y=2,∴点C的坐标为(0,2).设直线BC的函数表达式是y=kx+b.则有,解得:.∴直线BC的函数表达式是y=﹣x+2.∵0<x<6,点P、Q的横坐标相同,∴PQ=y Q﹣y P=(﹣x+2)﹣(x2﹣x+2)=﹣x2+x=﹣(x﹣3)2+1∴当x=3时,线段PQ的长度取得最大值.最大值是1.②解:当∠OAQ=90°时,点P与点A重合,∴P(3,0)当∠QOA=90°时,点P与点C重合,∴x=0(不合题意)当∠OQA=90°时,设PQ与x轴交于点D.∵∠ODQ+∠ADQ=90°,∠QAD+∠AQD=90°,∴∠OQD=∠QAD.又∵∠ODQ=∠QDA=90°,∴△ODQ∽△QDA.∴,即DQ2=OD•DA.∴(﹣x+2)2=x(3﹣x),10x2﹣39x+36=0,∴x1=,x2=,∴y1=×()2﹣+2=;y2=×()2﹣+2=;∴P(,)或P(,).∴所求的点P的坐标是P(3,0)或P(,)或P(,).4.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线()经过A(-1,0)、B(3,0)两点,抛物线与y轴交点为C,其顶点为D,连接BD,点P是线段BD上一个动点(不与B,D重合),过点P作y轴的垂线,垂足为E,连接BE.(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;(2)如果P点的坐标为(,),△PBE的面积为,求与的函数关系式,写出自变量的取值范围.(1),D(1,4);(2)().试题分析:(1)本题需先根据抛物线经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点,分别求出a、b的值,再代入抛物线即可求出它的解析式.(2)本题首先设出BD解析式,再把B、D两点坐标代入求出k、b的值,得出BD解析式,再根据面积公式即可求出最大值.试题解析:(1)∵抛物线()经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点∴把(﹣1,0)B(3,0)代入抛物线得:,,∴抛物线解析式为:,∵=,∴顶点D的坐标为(1,4);(2)设直线BD解析式为:(),把B、D两点坐标代入,得:,解得5.如图,抛物线与x轴相交于B,C两点,与y轴相交于点A,点P(,)(a是任意实数)在抛物线上,直线经过A,B两点.(1)求直线AB的解析式;(2)平行于y轴的直线交直线AB于点D,交抛物线于点E.①直线(0≤t≤4)与直线AB相交F,与抛物线相交于点G.若FG∶DE=3∶4,求t的值;②将抛物线向上平移m(m>0)个单位,当EO平分∠AED时,求m的值.1);(2)①1或3;②.试题分析:(1)根据点P的坐标,可得出抛物线解析式,然后求出A、B、C的坐标,利用待定系数法求出直线AB的解析式;(2)①根据点E(2,5),D(2,1),G(,),F(,),表示出DE、FG,再由FG:DE=3:4,可得出t的值;②设点A(0,2+m),则点E(2,5+m),作AH⊥DE,垂足为H,在Rt△AEH中利用勾股定理求出AE,根据EO平分∠AED及平行线的性质可推出∠AEO=∠AOE,AO=AE,继而可得出m的值.试题解析:(1)∵P(,)(a是实数)在抛物线上,∴抛物线的解析式为=﹣,当时,即,解得,,当x=0时,y=2.∴A(0,2),B(4,0),C(,0),将点A、B的坐标代入,得:∴,解得:,故直线AB的解析式为;(2)①∵点E(2,5),D(2,1),G(,),F(,),∴DE=4,FG==,∵FG:DE=3:4,∴,解得,.②设点A(0,2+m),则点E(2,5+m),作AH⊥DE,垂足为H,∴=,即AE=,∵EO平分∠AED,∴∠AEO=∠DEO,∵AO∥ED,∴∠DEO=∠AOE,∴∠AEO=∠AOE,∴AO=AE,即,解得m=.6.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(–1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标;(2)当P,Q运动t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状并求说明理由.(3)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由(1)y=x2﹣x﹣4.C(0,﹣4);(2)四边形APDQ为菱形;(3)存在满足条件的点E,点E的坐标为(﹣,0)或(﹣,0)或(﹣1,0)或(7,0).试题分析:(1)将A,B点坐标代入函数y=x2+bx+c中,求得b、c,进而可求解析式及C 坐标.(2)注意到P,Q运动速度相同,则△APQ运动时都为等腰三角形,又由A、D对称,则AP=DP,AQ=DQ,易得四边形四边都相等,即菱形.(3)等腰三角形有三种情况,AE=EQ,AQ=EQ,AE=AQ.借助垂直平分线,画圆易得E大致位置,设边长为x,表示其他边后利用勾股定理易得E坐标.试题解析:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),∴,解得,∴y=x2﹣x﹣4.∴C(0,﹣4).(2)四边形APDQ为菱形.理由如下:如图,D点关于PQ与A点对称,过点Q作,FQ⊥AP于F,∵AP=AQ=t,AP=DP,AQ=DQ,∴AP=AQ=QD=DP,∴四边形AQDP为菱形(3)存在.如图1,过点Q作QD⊥OA于D,此时QD∥OC,∵A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣4),O(0,0)∴AB=4,OA=3,OC=4,∴AC==5,∵当点P运动到B点时,点Q停止运动,AB=4,∴AQ=4.∵QD∥OC,∴,∴,∴QD=,AD=.①作AQ的垂直平分线,交AO于E,此时AE=EQ,即△AEQ为等腰三角形,设AE=x,则EQ=x,DE=AD﹣AE=﹣x,∴在Rt△EDQ中,(﹣x)2+()2=x2,解得 x=,∴OA﹣AE=3﹣=﹣,∴E(﹣,0).②以Q为圆心,AQ长半径画圆,交x轴于E,此时QE=QA=4,∵ED=AD=,∴AE=,∴OA﹣AE=3﹣=﹣,∴E(﹣,0).③当AE=AQ=4时,1.当E在A点左边时,∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1,∴E(﹣1,0).2.当E在A点右边时,∵OA+AE=3+4=7,∴E(7,0).综上所述,存在满足条件的点E,点E的坐标为(﹣,0)或(﹣,0)或(﹣1,0)或(7,0).7.如图,已知抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),另一个交点为B,与y轴的交点为C(0,-3),其顶点为D,对称轴为直线.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时,求点M 的坐标;(3)将△OBC沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形△EFG,将△EFG与△BCD重叠部分的面积记为S,用含m的代数式表示S.(1);(2)M的坐标为,,;(3).试题分析:(1)抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),对称轴为直线,得到抛物线与x轴的另一个交点为B(3,0),把A、B、C的坐标代入抛物线,即可得到抛物线的解析式;(2)①当AC=AM时C、M关于x轴对称,得到M;②当AC=CM时,AC=,以C为圆心,AC为半径作圆与y轴有两个交点,为M或M;(3)分别求出直线BC、BD的解析式,分两段计算重叠的面积:①,②.试题解析:(1)由题意可知,抛物线与x轴的另一个交点为B(3,0),则,,解得,故抛物线的解析式为:;(2)①当AC=AM时C、M关于x轴对称,得到M;②当AC=CM时,AC=,以C为圆心,AC为半径作圆与y轴有两个交点,为M或M;所以,点M的坐标为,,;(3)记平移后的三角形为△EFG.设直线BC的解析式为y=kx+b,则:,解得:,则直线BC的解析式为,△OBC沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到△EFG,易得直线FG的解析式为.设直线BD的解析式为y=k′x+b′,则:,解得,则直线BD的解析式为,连结CG,直线CG交BD于H,则H(,-3).在△OBC沿x轴向右平移的过程中,①当时,如图1所示.设EG交BC于点P,GF交BD于点Q,则CG=BF=m,BE=PE=3﹣m,联立,解得,即点Q(3﹣m,-2m),==②当时,如图2所示.设EG交BC于点P,交BD于点N,则OE=m,BE=PE=3﹣m,又因为直线BD的解析式为,所以当x=m时,得y=2m﹣6,所以点N(m,2m-6).===,综上所述,.8.如图①,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(2,0)和点B(-6,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的对称轴与轴交于点M ,在对称轴上存在点P,使△CMP为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点P的坐标.(3)设点Q是抛物线对称轴上的一个动点,当点Q满足最大时,求出Q点的坐标.(4)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.(1)y=-x2-2x+6;(2)P(-2,)或P(-2,2)或P(-2,-2)或P(-2,12);(3)当Q在(-2,12)的位置时,|QB-QC|最大;(4)最大值为;E坐标为(-3,).试题分析:(1)将点A(2,0)和点B(-6,0)分别代入y=ax2+bx+6,得到关于a、b的二元一次方程组,解方程组求出a、b的值,进而得到抛物线的解析式;(2)根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴为x=-2,再求出M点的坐标,由于C是抛物线与y轴的交点,因此C的坐标为(0,6),根据M、C的坐标求出CM的距离.然后分三种情况进行讨论:①CP=PM;②CM=MP;③CM=CP;(3)由抛物线的对称性可知QB=QA,故当Q、C、A三点共线时,|QB-QC|最大,连结AC并延长,交对称轴于点Q,利用待定系数法求出直线AC的解析式,再将x=-2代入,求出y的值,进而得到Q点的坐标;(4)由于四边形BOCE不是规则的四边形,因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算,过E作EF⊥x轴于F,四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积.直角梯形FOCE中,FO为E的横坐标的绝对值,EF为E的纵坐标,已知C的纵坐标,就知道了OC的长.在三角形BFE中,BF=BO-OF,因此可用E的横坐标表示出BF的长.如果根据抛物线设出E的坐标,然后代入上面的线段中,即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值.即可求出此时E的坐标.试题解析:(1)由题知:,解得:,故所求抛物线解析式为:y=-x2-2x+6;(2)∵抛物线解析式为:y=-x2-2x+6,∴对称轴为x=,设P点坐标为(-2,t),∵当x=0时,y=6,∴C(0,6),M(-2,0),∴CM2=(-2-0)2+(0-6)2=40.①当CP=PM时,(-2)2+(t-6)2=t2,解得t=,∴P点坐标为:P1(-2,);②当CM=PM时,40=t2,解得t=±2,∴P点坐标为:P2(-2,2)或P3(-2,-2);③当CM=CP时,由勾股定理得:40=(-2)2+(t-6)2,解得t=12,∴P点坐标为:P4(-2,12).综上所述,存在符合条件的点P,其坐标为P(-2,)或P(-2,2)或P(-2,-2)或P(-2,12);(3)∵点A(2,0)和点B(-6,0)关于抛物线的对称轴x=-2对称,∴QB=QA,∴|QB-QC|=|QA-QC|,要使|QB-QC|最大,则连结AC并延长,与直线x=-2相交于点Q,即点Q为直线AC与直线x=-2的交点,设直线AC的解析式为y=kx+m,∵A(2,0),C(0,6),∴,解得,∴y=-3x+6,当x=-2时,y=-3×(-2)+6=12,故当Q在(-2,12)的位置时,|QB-QC|最大;(4)过点E作EF⊥x轴于点F,设E(n,-n2-2n+6)(-6<n<0),则EF=-n2-2n+6,BF=n+6,OF=-n,S四边形BOCE=BF•EF+(OC+EF)•OF=(n+6)•(-n2-2n+6)+(6-n2-2n+6)•(-n)=-n2-9n+18=-(n+3)2+,所以当n=-3时,S四边形BOCE最大,且最大值为此时,点E坐标为(-3,).9.如图,在平面直角坐标系中,一抛物线的对称轴为直线,与y轴负半轴交于C 点,与x轴交于A、B两点,其中B点的坐标为(3,0),且OB=OC.(1)求此抛物线的解析式;(2)若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点(其中点M在点N的右侧),在x轴上是否存在点Q,使△MNQ为等腰直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(1);(2)P点的坐标为,的最大值为;(3)Q(-,0)或(,0)或(,0)或(,0)或(1,0).试题分析:(1)设抛物线的解析式为,根据已知得到C(0,﹣3),A(﹣1,0),代入得到方程组,求出方程组的解即可;(2)过点P作y轴的平行线与AG交于点F,求出点G的坐标(2,﹣3),设直线AG为,代入得到,求出方程组的解得出直线AG为,设P(x,),则F(x,﹣x﹣1),PF,根据三角形的面积公式求出△APG的面积,化成顶点式即可;(3)存在.根据MN∥x轴,且M、N在抛物线上,得到M、N关于直线x=1对称,设点M 为(m,)且m>1,得到MN=2(m﹣1),当∠QMN=90°,且MN=MQ时,由△MNQ为等腰直角三角形,得到,求出m的值,得出点M和点Q的坐标;当∠QNM=90°,且MN=NQ时,同理可求点Q的坐标,当∠NQM=90°,且MQ=NQ 时,过Q作QE⊥MN于点E,则QE=MN,根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称性,得到点Q的坐标.试题解析:(1)设抛物线的解析式为,由已知得:C(0,﹣3),A(﹣1,0),∴,解得,∴抛物线的解析式为;(2)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,由,令x=2,则y=-3,∴点G为(2,-3),设直线AG为,∴,解得:,即直线AG为,设P(x,),则F(x,-x-1),PF.∵,∴当时,△APG的面积最大,此时P点的坐标为,(3)存在.∵MN∥x轴,且M、N在抛物线上,∴M、N关于直线x=1对称,设点M为(,)且,∴,当∠QMN=90°,且MN=MQ时,△MNQ为等腰直角三角形,∴MQ⊥MN即MQ⊥x轴,∴,即或,解得,(舍)或,(舍),∴点M为(,)或(,),∴点Q为(,0)或(,0),当∠QNM=90°,且MN=NQ时,△MNQ为等腰直角三角形,同理可求点Q为(-,0)或(,0),当∠NQM=90°,且MQ=NQ时,△MNQ为等腰直角三角形,过Q作QE⊥MN于点E,则QE=MN,,∵方程有解,∴由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点Q为(1,0),综上所述,满足存在满足条件的点Q,分别为(-,0)或(,0)或(,0)或(,0)或(1,0).10.在梯形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AC,∠ABC = 450,AD = 2,BC = 6,以BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点A在y轴上.(1)求过A、D、C三点的抛物线的解析式;(2)求△ADC的外接圆的圆心M的坐标,并求⊙M的半径;(3)E为抛物线对称轴上一点,F为y轴上一点,求当ED+EC+FD+FC最小时,EF的长;(4)设Q为射线CB上任意一点,点P为对称轴左侧抛物线上任意一点,问是否存在这样的点P、Q,使得以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似?若存在,直接写出点P、Q的坐标,若不存在,则说明理由.(1)由题意知C(3,0)、A(0,3).如图1,过D作x轴垂线,由矩形性质得D(2,3).由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为(﹣1,0).设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3).将(0,3)代入得a=﹣1,所以.(2)由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点.由等腰直角三角形性质得OM平分∠AOC,即yOM=x,∴M(1,1).连MC得MC=,即半径为.(3)如图2,由对称性可知:当ED+EC+FD+FC最小时,E为对称轴与AC交点,F为BD与y轴交点,∵∠B=45°,∠AOB=90°,∴AO=BO=3,故B点坐标为:(﹣3,0),再利用D(2,3),代入y=ax+b,得:,解得:,故BD直线解析式为:,当x=0,y=,根据对称轴为直线x=1,则y=2,故F(0,)、E(1,2),EF===.(4)可得△ADC中,AD=2,AC=,DC=.假设存在,显然∠QCP<90°,则∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD.如图3,当∠QCP=45°时,OR=OC=3,则R点坐标为(0,﹣3),将C,R代入y=ax+b得出:,解得:,这时直线CP的解析式为y=x﹣3,同理可得另一解析式为:y=﹣x+3.当直线CP的解析式为y=x﹣3时,则,解得:,可求得P(﹣2,﹣5),故PC==.设CQ=x,则,解得:x=或x=15.∴Q (,0)或(﹣12,0).当y=﹣x+3即P与A重合时,CQ=y,则=,即=,或=,解得CQ=2或9,故Q (1,0)或(﹣6,0).如图4,当∠QCP=∠ACD时,设CP交y轴于H,连接ED,则ED⊥AC,∴DE=,EC=,易证:△CDE∽△CHQ,所以=,∴HO=.可求HC的解析式为.联解,得P,PC=.设CQ=x,知,∴x=或x=,∴Q或.同理当H在y轴正半轴上时,HC的解析式为.∴P’,∴PC=∴,∴CQ=或,所以Q或.综上所述,P1(﹣2,﹣5)、Q1(,0)或(﹣12,0);P2(0,3)、Q2(1,0)或(﹣6,0);P3、Q3或;P4、Q4或.试题分析:(1)过D作x轴垂线,由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为(﹣1,0).再根据交点式即可求出过A、D、C三点的抛物线的解析式;(2)由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点.由等腰直角三角形性质可得M点的坐标,连MC得MC=,即为半径;(3)由对称性可知:当ED+EC+FD+FC最小时,E为对称轴与AC交点,F为BD与y轴交点,再根据待定系数法求出BD直。
第 1 页 共 3 页 二次函数经典解答题 1.如图,已知抛物线y=ax2+x+c的图象经过点A(0,﹣2),B(﹣4,0)两点,并与x轴正半轴交于点C, (1)求抛物线的解析式, (2)如图1,E(0,4),直线BD:y=﹣x﹣2经过点B,与y轴负半轴交于点D,点Q从点E开始向y轴负半轴运动,当点Q运动到某一个位置时满足∠OBQ+∠OBD=30°,求此时点Q坐标; (3)如图2,点P为x轴上线段BC上的一个动点,连接AP,K为AP上的一点(不与A,P重合),过点K作MN⊥AP,分别交AB、AC于点M、N,点G为MN中点,四边形PMAN的面积为8,求AG的最大值.
【分析】(1)将点A、B的坐标代入函数表达式,即可求解; (2)设:OQ=x,则QH=(x+2)sinα=(x+2),HB=QHtan60°=(x+2),
同理BH=(x+2),而BH+HD=BD,即可求解; (3)△ABC为直角三角形,点G为MN中点,则AG=MN,S四边形PMAN=×AP×MN=8,则AG=MN=,求AP最小值即可.
【解答】解:(1)将点A、B的坐标代入函数表达式得:, 解得:, 故抛物线的表达式为:y=x2+x﹣4; 第 2 页 共 3 页
(2)①当点Q在x轴上方时, 如图1,过点Q作QH⊥AB交于点H,
直线BD:y=﹣x﹣2与y轴负半轴交于点D,则点D(0,﹣2), tan∠HDO==2=tanα,则sinα=,cosα=, ∠QBD=∠OBQ+∠OBD=30°,BD=, 设:OQ=x, 则QH=(x+2)sinα=(x+2),HB=QHtan60°=(x+2),
同理BH=(x+2),而BH+HD=BD, 解得:x=, 故点Q(0,); ②当点Q在x轴下方时, 同理可得:点Q(0,﹣); 综上,点Q(0,)或(0,﹣);
(3)在△ABC中,BC2=AB2+AC2, ∴△ABC为直角三角形, 点G为MN中点,则AG=MN,
中考二次函数经典例题及解析中考二次函数经典例题及解析一、引言二次函数是中学数学中的重要内容,也是中考数学考试中常见的题型。
通过解析经典的二次函数例题,我们可以更好地理解和掌握二次函数的特点和解题方法。
本文将结合多个经典的中考二次函数例题,深入分析题目,探讨解题思路和方法,帮助读者全面理解二次函数的应用。
二、例题一题目:已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(1,1),(2,4),(3,9)。
求a,b,c的值。
解析:根据已知条件,代入三个点的坐标,得到三个方程:a+b+c=14a+2b+c=49a+3b+c=9通过解方程组,可以求解出a,b,c的值,进而得到二次函数的表达式。
三、例题二题目:已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像的对称轴为x=2,顶点在直线y=1-x上。
求a,b,c的值。
解析:根据已知条件,对称轴为x=2,顶点在直线y=1-x上,可以列出方程:-b/(2a)=21-4a+2b+c=0通过求解方程组,可以得到a,b,c的值,进而得到二次函数的表达式。
四、例题三题目:已知二次函数经过点(1,-3),且在x轴上的交点为x=4。
求函数的解析式。
解析:根据已知条件,可以列出方程:a+b+c=-316a+4b+c=0通过解方程组,可以求解出a,b,c的值,进而得到二次函数的解析式。
五、总结通过以上例题的解析,我们可以看到在解二次函数相关题目时,首先需要根据题目的条件列方程,并运用相关的解方程技巧得到二次函数的系数a,b,c的值,从而得到二次函数的解析式。
在解题过程中,我们还可以借助对称轴和顶点等概念来辅助求解,这些解题方法和技巧都是我们在中考数学中必须掌握的知识点。
个人观点和理解:二次函数作为中学数学中的重要内容,其在中考数学中的考查也是至关重要的。
掌握二次函数的特点和解题方法,不仅有助于解题,还可以帮助我们更深入地理解函数的性质和应用。
通过解析经典的二次函数例题,我们可以更好地掌握二次函数的知识,并在中考数学中取得更好的成绩。
. 二次函数
一、中考导航图 顶点
1. 二次函数的意义 ;2. 二次函数的图象 ;3. 对称轴 二次函数的性质 开口方向
增减性
顶点式: y=a(x-h) 2 +k(a ≠ 0) 4. 二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式: y=ax2 +bx+c(a ≠ 0) 两根式: y=a(x-x )(x-x 2)(a ≠ 0) 1 5. 二次函数与一元二次方程的关系。
6. 抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 a、 b、 c 之间的关系。三、中考知识梳理 1. 二次函数的图象
在 画 二 次函 数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 的 图 象 时通常 先 通过 配 方 配 成 y=a(x+ b ) 2+
2a
4ac-b 2 的形式 , 先确定顶点 (- b , 4ac-b 2 ), 然后对称找点列表并画图 , 或直接代用顶点
4a 2a 4a
公式来求得顶点坐标 . 2. 理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由 a 的符号来确定 , 当 a>0 时 , 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小 ;
在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大 ; 简记左减右增 , 这时当 x=- b 时 ,y 最小值 = 4ac-b
2
;
2a 4a
反之当 ab 时 y 最大值 = 4ac-b 2
. 2a 4a
3. 待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法 一般地 , 在所给的三个条件是任意三点 ( 或任意三对 x,y? 的值 )? 可设解析式为
y=ax 2+bx+c, 然后组成三元一次方程组来求解 ; 在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大
值时 , 可设解析式为 y=a(x-h) 2+k; 在所给条件中已知抛物线与 x? 轴两交点坐标或已知抛 物线与 x 轴一交点坐标和对称轴 , 则可设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2) 来求解 . 4. 二次函数与一元二次方程的关系 抛物线 y=ax 2+bx+c 当 y=0 时抛物线便转化为一元二次方程 ax2+bx+c=0, 即抛物线与 x 轴有两个交点时 , 方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等实根 ; 当抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴有一个 . . . . 交点 , 方程 ax2+bx+c=0 有两个相等实根 ; 当抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴无交点 ,? 方程 ax2+bx+c=0 无实根 . 2 5. 抛物线 y=ax +bx+c 中 a、b、 c 符号的确定
a 的符号由抛物线开口方向决定 , 当 a>0 时 , 抛物线开口向上 ; 当 a<0 时 ,? 抛物线开口
向下 ;c 的符号由抛物线与 y 轴交点的纵坐标决定 . 当 c>0 时, 抛物线交 y 轴于正半轴 ; 当 c<0 时 , 抛物线交 y 轴于负半轴 ;b 的符号由对称轴来决定 . 当对称轴在 y? 轴左侧时 ,b 的符号与 a 的符号相同 ; 当对称轴在 y 轴右侧时 ,b 的符号与 a 的符号相反 ;? 简记左同右异 .
6. 会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题 ,? 应用数形结合思想来解
决有关的综合性问题 . 四、中考题型例析 1. 二次函数解析式的确定 例 1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1) 图象经过 A(-1,3) 、B(1,3) 、C(2,6); (2) 图象经过 A(-1,0) 、B(3,0), 函数有最小值 -8; (3) 图象顶点坐标是 (-1,9), 与 x 轴两交点间的距离是 6. 分析 : 此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式 . 可根据已知条件中的不同
条件分别设出函数解析式 , 列出方程或方程组来求解 .
(1) 解 : 设解析式为 y=ax 2+bx+c, 把 A(-1,3) 、 B(1,3) 、 C(2,6) 各点代入上式得
3 a b c, a 1,
3 a b c, 解得 b 0,
6 4a 2b c. c 2.
∴解析式为 y=x 2+2.
(2) 解法 1: 由 A(-1,0) 、 B(3,0) 得抛物线对称轴为 x=1, 所以顶点为 (1,-8).? 设解析式为 y=a(x-h) 2+k, 即 y=a(x-1) 2-8.
把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2) 2-8, ∴ a=2. 即解析式为 y=2(x-1) 2-8, 即 y=2x 2-4x-6.
解法 2: 设解析式为 y=a(x+1)(x-3), 确定顶点为 (1,-8) 同上 ,
把 x=1,y=-8? 代入上式得 -8=a(1+1)(1-3). 解得 a=2, 2 ∴解析式为 y=2x -4x-6.
解法 3: ∵图象过 A(-1,0),B(3,0) 两点 , 可设解析式为 :y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a.
∵函数有最小值 -8.
∴ 4a( 3a) ( 2a)2 =-8.
4a
又∵ a≠ 0, ∴ a=2. ∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.
(3) 解 : 由顶点坐标 (-1,9) 可知抛物线对称轴方程是 x=-1, . . . . 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6, 即 AB=6. 由抛物线的对称性可得 A、 B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0),
设出两根式 y=a(x-x ) · (x-x 2), 1 将 A(-4,0),B(2,0) 代入上式求得函数解析式为
y=-x 2-2x+8.
点评 : 一般地 , 已知三个条件是抛物线上任意三点 (或任意 3 对 x,y 的值 ) 可设表达式为 y=ax 2+bx+c, 组成三元一次方程组来求解 ;? 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最
值 , 可选用 y=a(x-h) 2+k 来求解 ; 若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标 , 则一般设解析
式为 y=a(x-x 1)(x-x 2). 2. 二次函数的图象 例 2 (2003 ·孝感 )y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 的图象如图所示 , 则点 M(a,bc) 在 ( ? ). A. 第一象限 B. 第二象限 y C. 第三象限 D. 第四象限 分析 : 由图可知 :
抛物线开口向上 a>0.
O x
抛物线与 y轴负半轴相交 c 0
对称轴 x b 在 y轴右侧 b 0
bc>0.
2a ∴点 M(a,bc) 在第一象限 . 答案 :A. 点评 : 本题主要考查由抛物线图象会确定 a、 b、 c 的符号 . 例 3 (2003 ·岳阳 ) 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0), 它们在同一坐 标系中的大致图象是 ( ).
分析 : 一次函数 y=ax+c, 当 a>0 时, 图象过一、三象限 ; 当 a<0 时 , 图象过二、 ? 四象限 ;c>0 时 , 直线交 y 轴于正半轴 ; 当 c<0 时 , 直线交 y 轴于负半轴 ;? 对于二次函数 y=?ax 2+bx+c(a ≠ 0) 来讲 :
. . . . 开口上下决定 a的正负 左同右异 ( 即对称轴在 y轴左侧 ,b 的符号 与a的符号相同 ;) 来判别 b的符号 抛物线与 y轴的正半轴或负半轴相交确定 c的正负 解 : 可用排除法 , 设当 a>0 时 , 二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上 , 而一次函数 y=?ax+c 应过一、三象限 , 故排除 C; 当 a<0 时 , 用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点 ; 也在抛物线中决定抛物线与 y 轴交点 , 本题中 c 相同则两函数图象在 y 轴上有相同的交点 , 故排除 B. 答案 :D. 3. 二次函数的性质
例 4 (2002 ·杭州 ) 对于反比例函数 y=- 2 与二次函数 y=-x 2+3,? 请说出他们的两个
x 相同点 : ① _________,? ② _________;? 再说出它们的两个不同点 :?? ① ________,??
② _________. 分析 : 本小题是个开放性题目 , 可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③
最值④自变量取值范围⑤交点等 . 解 : 相同点 : ①图象都是曲线 , ②都经过 (-1,2) 或都经过 (2,-1); 不同点 : ①图象形状不同 , ②自变量取值范围不同 , ③一个有最大值 , 一个没有最大值 .
点评 : 本题主要考查二次函数和反比例函数的性质 , 有关函数开放性题目是近几年命题的热点 . 4. 二次函数的应用 例 5 (2003 ·厦门 ) 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,
(1) 求证 : 此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点 . (2) 设 x1、 x2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标 , 且满足 x12+x22=-2k 2+2k+1.
①求抛物线的解析式 . ②设点 P(m1,n 1) 、Q(m2,n 2) 是抛物线上两个不同的点 ,? 且关于此抛物线的对称轴对称 .
求 m+m的值 . 分析 : (1) 欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点 , 可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根 , 故令 y=0, 证△ >0 即可 . (2) ①根据二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根. 由根与系数的 关系 , 求出 k 的值 , 可确定抛物线解析式 ;? ②由 P、 Q关于此抛物线的对称轴对称得 n1=n2, 2 2 2 2
由 n1=m1 +m1,n 2=m2 +m2 得 m1 +m1=m2 +m2, 即 (m1-m2)(m 1+m2+1)=0 可求得 m1+m2=-1.
解 : (1) 证明 : △ =(2k+1) 2-4(-k 2+k)
=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1. ∵ 8k2+1>0, 即△ >0, ∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点 .
. . .