有理数的加减法基础知识讲解

有理数的加减法（基础）要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：交换加数的位置时，不要忘记符号．要点二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a 加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.类型一、有理数的加法运算．计算：(1)(+20)+(+12)；(2)1223⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)(3)(+2)+(-11)；(4)(-3.4)+(+4.3)；(5)(-2.9)+(+2.9)；(6)(6)(-5)+0．（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；(2)12121123236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；(6)(-5)+0＝-5．【变式1】计算：113343⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】111113333433412⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【变式2】计算：（1）(+10)+(-11)；（2）⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12-1+-23【答案】（1）(+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；（2）类型二、有理数的减法运算．计算：(1)(-32)-(+5)；(2)(+2)-(-25)．此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．法一：绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212341-1+-=-1+=-1+=-22323666法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27【变式】若（）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（）A．﹣1B．1C．5D．﹣5B．根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3.类型三、有理数的加减混合运算．计算：3.8+4﹣（+6）+（﹣8）根据有理数的加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法，求解即可解：原式=（3.8﹣6.8）+（4﹣8）=﹣3﹣4=﹣7，【变式】用简便方法计算：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7)(2)2)324(83)65()851(43-++-+-+(1)原式=[(-3.8)+(-4.2)]+[(-2.4)+(-0.7)+(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2(2)原式=（2-1-4）+（34-58-56+38-23）=-3+[68-58+38+(-56-46)]=-3-1=-4类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用.邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km 到达A 村，继续向南骑行3km 到达B 村，然后向北骑行9km 到C 村，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm 表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C 三个村庄的位置；（2）C 村离A 村有多远？（3）邮递员一共骑了多少千米？（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.本题考查了有理数的加减混合运算的知识，如果在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．表示1km，按此画出数轴即可；（2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；（3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和．解：（1）依题意得，数轴为：；（2）依题意得：C点与A 点的距离为：2+4=6（千米）；（3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）．【变式1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束后各组的得分如下表：(1)第一名超过第二名多少分?(2)第一名超过第五名多少分?由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．(1)350-150＝200(分)(2)350-(-400)＝350+400＝750(分)答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．【变式2】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．【巩固练习】一、选择题1．某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）A．﹣10℃B．﹣6℃C．10℃D．6℃2.若等式0□1=﹣1成立，则□内的运算符号为（）A．+B．﹣C．×D．÷3．两个有理数相加，和小于其中一个加数而大于另一个加数，需满足（）A．两个数都是正数B．两个数都是C．一个是正数，另一个是负数D．至少有一个数是零4．下列说法中正确的是A．正数加负数，和为0B．两个正数相加和为正；两个负数相加和为负C．两个有理数相加，等于它们的绝对值相加D．两个数的和为负数，则这两个数一定是负数第1组第2组第3组第4组第5组100150350-400-100本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可．5．下列说法正确的是()A．零减去一个数，仍得这个数B．负数减去负数，结果是负数C．正数减去负数，结果是正数D．被减数一定大于差6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差()A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg7.-3+5的相反数是()．A．2B．-2C．-8D．8二、填空题8.有理数,,a b c在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”（1）｜a｜______｜b｜；（2）a＋b＋c______0：（3）a－b＋c______0；（4）a＋c______b；（5）c－b______a．8.计算：|﹣2|+2=________．9.某月股票M开盘价20元，上午10点跌1.6元，下午收盘时又涨了0.4元，则股票这天的收盘价是_______．10.列出一个满足下列条件的算式：(1)所有的加数都是负数，和为-5，________；(2)一个加数是0，和是-5________；(3)至少有一个加数是正整数，和是-5，________．11.数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是.12.计算（﹣3）+（﹣9）的结果为．三、解答题14.计算题（1）232(1)(1)(1.75)343-----+-（2）132.1253(5)(3.2)58-+---+（3）21772953323+---（4）231321234243--++-+（5）2312()()3255---+--+-15.已知：|a|=2,|b|=3，求a+b的值．16.某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果以每套儿童服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2．（单位：元）（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？（2）盈利（或亏损）了多少钱？【答案与解析】一、选择题1.【答案】C【解析】解：2﹣（﹣8）=2+8=10℃．故选C．2．【答案】B3.【答案】C【解析】举例验证．4．【答案】B【解析】举反例：如5+(-2)＝＋3≠0，故A 错；如：(-2)+(-3)≠|-2|+|-3|，故C错；如(+2)+(－8)＝-6，故D错误．5．【答案】C【解析】举反例逐一排除．6．【答案】B【解析】因为最低重量为24.7kg，最大重量为25.3kg，故质量最多相差25.3-24.7＝0.6kg．7．【答案】B二、填空题8.【答案】＜，＜，＞，＞，＞【解析】由图可知：b a c>>，且0,0b a c<<>，再根据有理数的加法法则可得答案.9.【答案】4.10．【答案】18.8元【解析】跌1.6元记为-1.6元，涨0.4元记为+0.4元，故有收盘价为20+(-1.6)+0.4-18.8．11．【答案】(1)(-2)+(-3)＝-5(2)(-5)+0＝-5(3)2+(-7)＝-5【解析】答案不唯一．12.【答案】－1【解析】(2☆3)☆2＝(2☆3)-2+1＝2-3+1-2+1＝-113.【答案】-12．【解析】同号两数相加的法则是取相同的符号，并把绝对值相加.原式=﹣（3+9）=﹣12.三、解答题13.【解析】（1）原式22(1)(1.75 1.75)133=-++-+=；（2）原式131[3(3.2)][(5) 2.125]3584=+-++---=（3）原式217297719)533326=+---=-（4）原式223311()()12334422=-++-++-=-（5）原式23122312231283[()][()]32553255325530 =------=--------=----=-（6）原式=12342001200220032004-+-++-+-+15.【解析】由题意知：a=±2,b=±3，所以要分四种情况代入求值.∵|a|=2,∴a=±2,∵|b|=3,∴b=±3.当a=+2,b=+3时,a+b=(+2)+(+3)=+5;当a=+2,b=-3时,a+b=(+2)+(-3)=-1;当a=-2,b=+3时,a+b=(-2)+(+3)=+1;当a=-2,b=-3时,a+b=(-2)+(-3)=-5.16.【解析】解：根据题意得（1）2﹣3+2+1﹣2﹣1+0﹣2=﹣3，(12)(34)(20032004)110021002 =-++-+++-+=⨯=55×8+（﹣3）=437元，∵437＞400，∴卖完后是盈利；（2）437﹣400=37元，故盈利37元．有理数的加减法（提高）要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：交换加数的位置时，不要忘记符号．要点二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想；3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并且会解决简单的实际问题.一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.类型一、有理数的加法运算．阅读下题的计算方法．计算．解：原式===0+（﹣）=﹣上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．解：原式=[（﹣2011）+（﹣）]+[（﹣2010）+（﹣）]+[4022+]+[（﹣1）+（﹣）]=[（﹣2011）+（﹣2010）+4022+（﹣1）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]=0+（﹣）=﹣．【变式1】计算：(1)-721+1061；(2)(-21)+(-7.3)；(3)141+(-231)；(4)751+(-3.8)+(-7.2)【答案】（1）原式=11112(107)(97)(1)262623+-=-+-=；（2）原式=(0.57.3)7.8-+=-；（3）（3）原式=111(21)13412--=-；（4）原式=7.27.2 3.80 3.8 3.8--=-=-【变式2】计算：11511236⎛⎫-++- ⎪⎝⎭1151151151111(11)1236236236⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-=--++-=-++-++-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【变式3】计算：11(6)(3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法一：11(6)(3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(6)(3)(0.3)(8)(6)(3.3)(6)(16)644⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++++++++++-+-+-+-⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦→同号的数一起先加(23.55)(31.55)8=++-=-．本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．解法二：11(6)(3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(6)6[(3.3)(3)(0.3)][(6)(6)][(16)(8)]44⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++-+-+++++-+++-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加000(8)8=+++-=-．类型二、有理数的减法运算．(1)2-(-3)；(2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)；(3)41373⎛⎫+- ⎪⎝⎭．此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．(1)2-(-3)＝2+3＝5(2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5（3）原式=411416(3)(3)2733721+-=--=-类型三、有理数的加减混合运算.计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；（2）11-12+13-15+16-18+17；（3）1113.76395684.7621362--+--+（4）51133.464 3.872 1.54 3.376344+---+++（5）1355354624618-++-；（6）132.2532 1.87584+-+（1）观察各个加数，可以发现-3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；4.18、-2.93与-1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便．解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23＝0+0-1.23＝-1.23（2）把正数和负数分别分为一组．解：11-12+13-15+16-18+17＝(11+13+16+17)+(-12-15-18)＝57+(-45)＝12（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．解：1113.7639568 4.7621362--+--+111(3.76 4.76)(521)(3968)362=-+--++-+1(6)2922=-+-+=（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；-3.87与3.37的和为-0.5，把它们分为一组；546与13-易于通分，把它们分为一组；124-与34同分母，把它们分为一组．算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.解：51133.464 3.872 1.54 3.376344+---+++5113(3.46 1.54)(3.873.37)(4)(2)6344=++-++-+-+115(0.5)4(1) 4.537.522=+-++-=+=（5）先把整数分离后再分组．解：1355354624618-++-1355354624618=--++++--1355(3546)()24618=-++-+-++-1827301036-++-=+2936=注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如113322-=--．（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．解：132.2532 1.87584+-+(2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++0.55 4.5=-+=【变式】5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]．解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19．类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．解：（1）15÷3=5，∴最中间的数是5，其它空格填写如图1；（2）如图2所示．计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键．【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．【巩固练习】一、选择题1.某地一天的最高气温是12℃，最低气温是2℃，则该地这天的温差是（）A﹣10℃B．10℃C．14℃D．﹣14℃2.比﹣1小2015的数是（）A．﹣2014B．2016C．﹣2016D．20143.如果三个数的和为零，那么这三个数一定是()．A．两个正数，一个负数B．两个负数，一个正数C．三个都是零D．其中两个数之和等于第三个数的相反数4.若0,0a b ><,a b <,则a 与b 的和是()A.B.C. D.．5.下列判断正确的是（）A．两数之差一定小于被减数．B．若两数的差为正数，则两数都为正数．C．零减去一个数仍得这个数．D．一个数减去一个负数，差一定大于被减数．6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差()A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg 二、填空题7.有理数,,a b c 在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：（1）｜a ｜______｜b ｜；（2）（2）a ＋b ＋c ______0：（3）a －b ＋c ______0；（4）a ＋c ______b ；（5）c －b ______a ．8.小明存折中原有450元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有______元．9.若a ，b 为整数，且|a-2|+|a -b|＝1，则a+b＝________．10．某地的冬天，半夜的温度是-5︒C，早晨的温度是-1︒C，中午的温度是4︒C.则(1)早晨的温度比半夜的温度高________度；(2)早晨的温度比中午的温度低________度.11．北京与纽约的时差为-13（负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚）.如果现在是北京时间15：00，那么纽约时间是______________12.数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是.三、解答题13.计算题（1）3401(1)(5)|4|77⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-----+--+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）2121 02133434⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++---+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）44444 999999999999999 55555 ++++（4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100的值．（5）11111 8244880120 ++++；（6）2312()() 3255 ---+--+-14.数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x，不大于3的正整数的个数为y，绝对值等于3的整数的个数为z，求：x+y+z的值．15.股民李星星在上周星期五以每股11.2元买了一批股票，下表为本周星期一到星期五该股票的涨跌情况求：（1）本周星期三收盘时，每股的钱数．（2）李星星本周内哪一天把股票抛出比较合算，为什么？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B．2.【答案】C【解析】解：根据题意得：﹣1﹣2015=﹣2016，故选C.3.【答案】D【解析】若0a b c++=，则a b c+=-或b c a+=-或a c c+=-，所以D正确.4．【答案】D【解析】(a b+)的符号与绝对值较大的b一致为负的，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，即有()b a--.5.【答案】D【解析】A错误，反例：2-（-3）=5，而5＞2；B不对，反例：2-（-3）=5，而-3为负数；C错误，0-2=-2，0-（-2）=2，所以零减去一个数得这个数的相反数.6．【答案】B【解析】因为最低重量为24.7kg，最大重量为25.3kg，故质量最多相差25.3-24.7＝0.6kg．星期一二三四五每股涨跌/元+0.4+0.45﹣0.2+0.25﹣0.4二、填空题7.【答案】＜，＜，＞，＞，＞【解析】由图可知：b a c >>，且0,0b a c <<>，再根据有理数的加法法则可得答案.8.【答案】340【解析】450﹣260+150=290+150=340（元）．9．【答案】2,6,3或5【解析】当|a-2|＝1，|a -b|＝0时，得：a+b＝6或2；当|a-2|＝0，|a -b|＝1时，得：a+b＝3或5；10．【答案】(1)4(2)5【解析】(1)-1-（-5）=4(2)-1-（+4）=-511．【答案】2：00【解析】15：00+(-13)=2：00．12.【答案】-1【解析】(2☆3)☆2＝(2☆3)-2+1＝2-3+1-2+1＝-1三、解答题13.【解析】（1）原式341[15]45(5)1077=--+-++=--=（2）原式212102133434⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21212133434=-++-2211213213183344⎛⎫⎛⎫=-++-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）原式=1111101001000100005555⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11000005⎡⎤⎛⎫++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11111(10100100010000100000)55555⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111110(1)111109=+-=．（4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100＝[1+(-2)+(-3)+4]+[5+(-6)+(-7)+8]+…+[97+(-98)+(-99)+100]＝0+0++…+0＝0．（5）111111111182448801202446688101012++++=++++⨯⨯⨯⨯⨯111111*********()()22446688101012221224=-+-+-+-+-=-=（6）原式23122312231283[()][()]32553255325530=------=--------=----=-14.【解析】解：根据数轴，到原点的距离小于3的整数为0，±1，±2，即x=5，不大于3的正整数为1，2，3，即y=3，绝对值等于3的整数为3，﹣3，即z=2，所以x+y+z=10．15.【解析】解：（1）根据题意得：11.2+0.4+0.45+（﹣0.2）=11.85（元），则本周星期三收盘时，该只股票每股为11.85元；（2）根据题意得：11.2+0.4+0.45+（﹣0.2）+0.25=12.1（元），则本周该只股票最高价12.1元出现在周四，李星星本周四把股票抛出比较好．。

第3讲有理数的加减法有理数的加法知识点1、有理数的加法1.有理数加法法则（1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）异号两数相加：绝对值值相等时和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

（3）一个数同0 相加，仍得这个数。

2.加法运算律2.加法交换律加法结合律a +b =b +a(a +b) +c =a + (b +c)1．计算：（1）|﹣7|+|﹣9|（2）（﹣7）+（﹣3）（3）（+4.85）+（﹣3.25）（4）（﹣7）+（+10）+（﹣1）+（﹣2）（5）（﹣2.6）+（﹣3.4）+（+2.3）+1.5+（﹣2.3）（6）．【解答】解：（1）原式＝7+9＝；（2）原式＝﹣7﹣3＝﹣＝＝﹣；（3）原式＝4.85﹣3.25＝1.6；（4）原式＝﹣7+10﹣1﹣2＝0；（5）原式＝﹣2.6﹣3.4+2.3+1.5﹣2.3＝﹣4.5；（6）原式＝，＝﹣3.36+[7.36+]＝﹣3.36+7.36+＝1+4＝5．2．计算：（1）1+（﹣2）+3+（﹣4）+5+…+2001+（﹣2002）+2003+（﹣2004）（2）1+（﹣2）+（﹣3）+4+5+（﹣6）+（﹣7）+8+…+2001+（﹣2002）+（﹣2003）+2004．【解答】解：（1）1+（﹣2）+3+（﹣4）+5+…+2001+（﹣2002）+2003+（﹣2004），＝（﹣1）×1002，＝﹣1002；（2）1+（﹣2）+（﹣3）+4+5+（﹣6）+（﹣7）+8+…+2001+（﹣2002）+（﹣2003）+2004，＝（1﹣2﹣3+4）+（5﹣6﹣7+8）+（9﹣10﹣11+12）+…+（2001﹣2002﹣2003+2004），＝0×501，＝0．有理数的减法知识点2 有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。

3．计算（1）（﹣3﹣5）﹣（6﹣10）（2）（﹣32）﹣[（﹣27）﹣（﹣72）]﹣87．【解答】解：（1）（﹣3﹣5）﹣（6﹣10）＝﹣8+4＝﹣4；（2）（﹣32）﹣[（﹣27）﹣（﹣72）]﹣87＝﹣32﹣45﹣87＝﹣77﹣87＝﹣164．4．计算下列各式．（1）（﹣32）﹣（﹣12）﹣5﹣（﹣15）；（2）（﹣3）﹣（﹣2）﹣（﹣7）﹣（+2.75）；（3）（﹣1）﹣（+1）﹣（﹣2）﹣2．【解答】解：（1）（﹣32）﹣（﹣12）﹣5﹣（﹣15）＝﹣32+12﹣5+15＝﹣20+10＝﹣10．（2）（﹣3）﹣（﹣2）﹣（﹣7）﹣（+2.75）＝﹣3+7+2﹣2.75＝4．（3）（﹣1）﹣（+1）﹣（﹣2）﹣2＝﹣1﹣1+2﹣2＝﹣3﹣1+2＝﹣4+2＝﹣2．有理数的混合运算知识点3有理数加减混合运算一般统一成加法运算，从左到右的顺序，利用加法交换律和结合律简化运算。

初一数学讲义（三）有理数的混合运算姓名成绩知识要点：1、有理数加减混合运算中，减法可以根据减法法则转化成加法，统一成只含有加法运算的和式．例如：（-5）+（-3）-（-7）-（+2）可转化为：（-5）+（-3）+（+7）+（-2）2、在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，如上式可写成：-5-3+7-23、省略加号的和式的读法有两种如-5-3+7-2，其意义表示-5，-3，+7，-2的和，只不过加号省略未写，因此，它可读作“-5，-3，+7，-2的和”；第二种读法是按习惯读作：“负5减3加7减2”。

第一种读法有利于用加法运算律简化运算．4、在运用加法交换律和结合律时，要注意连同前面的符号一起移动，如计算-5-3+7-2时，先交换成-5-3-2+7，再进行结合为（-5-3-2）+7，无论交换加数的位置，还是进行结合，都应连同符号移动，当省略“＋”号的首项移到后面时，应补上“＋”，如5-7+3＝-7+5+3，事实上，代数和中符号应看作数的一部分．5、有理数加减混合运算的步骤（1）把算式中的减法转化成加法；（2）省略加号与括号写成代数和的形式；（3）用加法法则计算，尽可能运用运算律简便计算．例1：把（-36）-（-28）+（+125）+（-4）-（+53）-（-40）写成省略加号的和的形式并把它读出来．例2、计算-8+（-11）-2003.12-9-（-9）-（+2）-（-2003.12）.例3、已知a=13，b=-12.1，c=-10，d=25.1求a-b-（c+d）的值综合练习一、判断题1．一个数的相反数一定比原数小；（）2．如果两个有理数不相等，那么这两个有理数的绝对值也不相等；（）3．|-2.7|>|-2.6|； ( )4.若a+b=0，则a,b互为相反数。

( )二．选择题1．相反数是它本身的数是（）A. 1B. ﹣1C. 0D.不存在2．下列语句中，正确的是（）A.不存在最小的自然数B.不存在最小的正有理数C.存在最大的正有理数D.存在最小的负有理数3．两个数的和是正数，那么这两个数（）A.都是正数B.一正一负C.都是负数D.至少有一个是正数4、下列各式中，等号成立的是（）A、－=6 B、=－6 C、－=－1D、=－3.145、在数轴上表示的数8与－2这两个点之间的距离是（）A、6B、10C、-10 D-66、一个有理数的绝对值等于其本身，这个数是（）A、正数B、非负数C、零D、负数三、填空题1. |－4|－|－2.5|+|－10|＝________;2. 最大的负整数是___ ___;最小的正整数是____________3. 绝对值小于5的整数有______个；绝对值小于6的负整数有_______个4. 数轴三要素是__________,___________,___________5. 若上升6米记作＋6米，那么－8米表示。

有理数的加减、乘除及乘方运算有理数的加减混合运算一、基础知识知识点1 有理数加减法统一成加法的意义1. 有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式.如：(－11)－(+7)+(－4)－(－3)=(－11)+(－7)+(－4)+(3)2. 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式：如：(－11)+(－7)+(－4)+(+3)=－11－7－4+33. 和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“－11，－7，－4，+3的和”二是按运算意义读作“负11，减7，减4，加3”.例1 把下列各式写成省略加号的和的形式.(1)(－26)－(－7)+(－10)－(－3)；(2)(－30)－(－8)+(－12)－(－5).分析：先统一成加法，再省略括号和加号.小结：在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化.知识点2 有理数的加减混合运算的加法和步骤1.运用减法法则将有理数的混合运算中的加减法变化为加法，写成省略加号，括号的代数和.2.利用加法的交换律、结合律简化运算，这里应注意的是：通常把同号(指同正、同负)的结合，整数与整数结合，同分母分数或容易通分的分数结合，互为相反数的结合，几个加数能凑整的结合在一起相加；对于特殊结构的计算题要灵活运用运算律.例2 计算：(－47111)－(－5)+(－4)－(+3)分析：加减混合运算应注意有条理按步骤进行，把同号的数相结合相加，这样可以使计算简便.二、典型题解析(一)基本概念题例1 把下列各式写成省略加号的和的形式，并说出它们的两种读法.(1)－2－(+3)－(－5)+(－4)；(2)(+8)－(－9)+(－12)+(+5).分析：先把加减法统一成加法；再省略括号和加号.小结：（1）和式中第一个加数若是正数，正号也可省略不写；（2）第一种读法中“的和”两字不要漏掉.(二)知识应用题例2 从－50起逐次加2，得到一连串数－48，－46，－41，－44，－40，…，问：(1)第50个整数是什么？(2)你能巧妙地运用规律计算这50个整数的和吗？小结：在求和时，找出互为相反数的数，再计算出其余的数的和，能用简便算法的尽量用简便算法.(三)学科综合题例3 小彬和小丽在一起玩游戏，游戏规则是：(1)每人每次抽取4张卡片，如果抽取到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字.(2)比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果小的为胜者，小彬抽到了下面的4张卡片：红－13，白7，红－5，白4，小丽抽到了下面的4张卡片：白3.2，白－2.7，红－6，白－2问：获胜的是谁？(四)拓展创新题例4 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为190个埃及分数：你能从中挑出10个，加上正负号，使他们的和等于－1吗?分析：这是一道阅读理解题，要从90个埃及分数中挑出10个，使它们的和等于－1，不能被题目所举的例子束缚了思维，必须要运用有理数的加减混合运算.(三)培优练习1.下列化简正确的是( )A.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3－2B.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3－2C.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3+2D.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3+22.下列各式中与a－b－c的值不相等的是( )A.a－(b－c)B.a－(b+c)C.(a－b)+(－c)D.(－b)+(a－c)3.负数a减去它的相反数的差的绝对值是( )A.0B.2aC.－2aD.以上都可能4.使等式|－7+x|=|－7|+|x|成立的有理数x是( )A.任意一个正数B.任意一个非正数C.小于1的有理数D.任意一个有理数5.在数轴上，点x表示到原点的距离小于3的那些点，那么|x－3|+|x+3|等于( )A.6B.－2xC.－6 D2x6.填空题(1)小于5而大于－4的所有偶数之和是________；(2)－14的绝对值的相反数与5的相反数的差是________；(3)若|x－3|+|y－2|=0，则x+y=________，x－y=________.7计算①(－1.5)+1.4－(－3.6)－4.3+(－5.2) ②(－1)－1+(－2)－(－3)－(－1)③－12－[10+(－8)－3] ④(－4)－(－2)－{(－5)－[(－7)+(－3)－(－8)]}⑤|－0.1|－|－0.2|+|－0.4|－|－0.2|－|+0.1|+0.48、在数1，2，3，4，……，2003，2004前添加“+”或“－”，然后求代数和，使求得的结果为最小的非负数；9.定义新运算a*b=a+b-1,如3*(-2)=3+(-2)-1=0.请你计算(-1)*(-3)*2=_________.10．定义一种运算☆，其规则为a ☆b =b a 11+，根据这个规则，计算-2☆3的值 .11.已知有理数x 、y 满足|x －2y|=－2|x －4|，求4x 2－3y 的值.12.已知|a|=6，|b|=3，|c|=5，且c ＜0，a+c ＞0，求a+b+c 的值.有理数的乘除及乘方运算一、基础知识点1.有理数的乘法法则：2.有理数的除法法则：3.乘方：4.处理好符号仍然是有理数乘法、除法及乘方运算的关键。

一、有理数的加法1、两个有理数相加有以下几种情况：①两个正数相加；②两个负数相加；③异号两数相加；④正数或负数或零与零相加..2、有理数的加法法则1同号两数相加;取相同的符号;并把绝对值相加；2绝对值不相等的异号两数相加;取绝对值较大的加数符号;并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；3一个数同0相加;仍得这个数..注：①有理数的加法和小学学过的加法有很大的区别;小学学习的加法都是非负数;不考虑符号;而有理数的加法涉及运算结果的符号；②有理数的加法在进行运算时;首先要判断两个加数的符号;是同号还是异号是否有零接下来确定用法则中的哪一条；③法则中;都是先强调符号;后计算绝对值;在应用法则的过程中一定要“先算符号”;“再算绝对值”..3、有理数加法的运算律1加法交换律：a＋b＝b＋a；2加法结合律：a＋b＋c＝a＋b＋c..根据有理数加法的运算律;进行有理数的运算时;可以任意交换加数的位置;也可以先把其中的几个数加起来;利用有理数的加法运算律;可使运算简便..4、有理数减法的意义有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同..已知两个加数的和与其中一个加数;求另一个加数的运算;叫做减法..减法是加法的逆运算..5、有理数的减法法则设;则;．因此;．有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.例5、计算1；2；3；4．分析根据有理数的加法法则;先定符号;再算绝对值．解：1原式=；2原式；3原式；4原式．例6、计算：1；2；3．分析适当运用运算律．解：1原式2原式3原式小结1尽量把正数分成一组;负数分成一组分别计算；2遇到分数运算时;尽量把异通分的分为一组．例7、计算1； 2； 3．分析把减法转化为加法．解：1原式；2原式；3原式．例8、计算：；解：原式。

有理数的加减法（基础）【学习目标】1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．【：有理数的加减 382681 有理数的减法】要点二、有理数的减法1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.【典型例题】类型一、有理数的加法运算1．计算：(1)(+20)+(+12)； (2)1223⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (3)(+2)+(-11)；(4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0．【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；(2)121211 23236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；(6)(-5)+0＝-5．【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．举一反三：【变式1】计算：11 3343⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】11111 3333433412⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【变式2】计算：（1） (+10)+(-11)；（2）⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12 -1+-23【答案】（1） (+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；（2）⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212341 -1+-=-1+=-1+=-2 2323666类型二、有理数的减法运算2．计算：(1)(-32)-(+5)；(2)(+2)-(-25)．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】法一：法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.举一反三：【变式】（2015•泰安）若（ ）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（ ）A ． ﹣1B ． 1C ． 5D ． ﹣5【答案】B ．根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3.类型三、有理数的加减混合运算3．（2016春•浦东新区期中）计算：3.8+4﹣（+6）+（﹣8）【思路点拨】根据有理数的加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法，求解即可．【答案与解析】解：原式=（3.8﹣6.8）+（4﹣8）=﹣3﹣4=﹣7，【总结升华】本题考查了有理数的加减混合运算的知识，如果在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．举一反三：【：有理数的加减 382681 简便方法计算】【变式】用简便方法计算：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7) (2) 2)324(83)65()851(43-++-+-+ 【答案】 (1) 原式=[(-3.8)+ (-4.2)]+[ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2(2)原式=（2-1-4）+（34-58-56+38-23）=-3+[68-58+38+(-56-46)]=-3-1=-4 类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用4.（2014秋•香洲区期末）邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km 到达A 村，继续向南骑行3km到达B村，然后向北骑行9km到C村，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；（2）C村离A村有多远？（3）邮递员一共骑了多少千米？【思路点拨】（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm表示1km，按此画出数轴即可；（2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；（3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和．【答案与解析】解：（1）依题意得，数轴为：；（2）依题意得：C点与A点的距离为：2+4=6（千米）；（3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）．【总结升华】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可．举一反三：【变式1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，(2)第一名超过第五名多少分?【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．(1) 350-150＝200(分)(2) 350-(-400)＝350+400＝750(分)答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．【变式2】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．。

有理数的加减法讲义专题四有理数的加法1、相关知识链接（13）加法的定义：把两个数合成一个数的运算，叫做加法；（14）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；（15）加法分配律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

2、教材知识详解【知识点1】有理数加法法则（1）同号两数相加；取相同的符号，并把绝对值相加。

数学表示：若a>0、b>0，则a+b=|a|+|b|；若a<0、b<0，则a+b=-(|a|+|b|)；（2）异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。

数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|则a+b=|a|-|b|；若a>0、b<0，则a+b=|b|-|a|；（3）一个数同0相加，仍得这个数。

【例1】计算：（1）（+8）+（+2）（2）（-8）+（-2）（3）（-8）+（+2）（4）（+8）+（-2） （5）（-8）+（+8） （6）（-8）+ 0【知识点2】有理数加法的运算律 加法交换律：a + b = b + a加法结合律：（a + b ）+ c = a +（b + c ）【例2】计算 4.1+（+12）+（-12）+（-10.1）+7 【基础练习】1.如果规定存款为正，取款为负，请根据李明同学的存取款情况①一月份先存10元，后又存30元，两次合计存人 元，就是（＋10）＋（＋30）= ②三月份先存人25元，后取出10元，两次合计存人元，就是（＋25）＋（－10）＝ 2.计算：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-3121； （2）（—2.2）+3.8； （3）314+（—561）；（4）（—561）+0； （5）（+251）+（—2.2）；（6）（—152）+（+0.8）；（7）（—6）+8+（—4）+12； （8）3173312741++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+（9）0.36+(—7.4)+0.3+(—0.6)+0.64； （10）9+（—7）+ 10 +（—3）+（—9）；3.用简便方法计算下列各题：（1） （2）（3）)539()518()23()52()21(++++-+-（4）)4.2()6.0()2.1()8(-+-+-+-75.9)219()29()5.0(+-++-)127()65()411()310(-++-+（5）)37(75.0)27()43()34()5.3(-++++-+-+-3、用算式表示：温度由—5℃上升8℃后所达到的温度．4、有5筐菜，以每筐50千克为准，超过的千克数记为正，不足记为负，称重记录如下：＋3，－6，－4，＋2，－1，总计超过或不足多少千克？5筐蔬菜的总重量是多少千克？5. 一天下午要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五血压变化情况，该病人上个星期日的血压为160单位，血压的变化与前一天比较：请算出星期五该病人的血压【基础提高】1．计算：(1)3-8； (2)-4+7； (3) -6-9； (4)8-12；(5)-15+7； (6)0-2；(7)-5+9+3； (8)10+（-17）+8；2．计算：(1)-4.2+5.7+（-8.4）+10； (2)6.1-3.7-4.9+1.8；4．计算：(1)12+(-18)+(-7)+15；(2)-40+28+(-19)+( -24)+(-32)；5．计算：(1)(+12)+(-18)+(-7)+(+15)； 2)(-40)+(+28)+(-19)+(-24)+(32)；(3)(+4.7)+(-8.9)+(+7.5)+(-6)； (4) )31()21(54)32(21-+-++-+专题五 有理数的减法及加减混合运算1、 相关知识链接 减法是加法的逆运算。

有理数的加法与减法运算技巧一、有理数加法运算技巧1.同号有理数相加：–取相同符号，并保留原有绝对值；–将绝对值相加，结果的绝对值即为两数相加的绝对值，符号与原数相同。

2.异号有理数相加：–取绝对值较大的数的符号；–用较大的绝对值减去较小的绝对值，结果的绝对值为两数相加的绝对值，符号与绝对值较大的数相同。

–任何有理数加零，结果为该有理数本身。

3.加法交换律：–对于任何两个有理数a和b，a + b = b + a。

二、有理数减法运算技巧1.同号有理数相减：–取相同符号，并保留原有绝对值；–将绝对值相减，结果的绝对值即为两数相减的绝对值，符号与原数相同。

2.异号有理数相减：–转换为加法运算，即将被减数取相反数后与减数相加；–按照同号有理数相加的方法进行计算。

–任何有理数减零，结果为该有理数本身。

3.减法交换律：–对于任何两个有理数a和b，a - b = b - a。

4.减法的性质：– a - (b + c) = (a - b) - c；– a - b = a + (-b)。

三、加减法运算技巧1.结合律：–对于任何三个有理数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。

2.分配律：–对于任何三个有理数a、b和c，a × (b + c) = a × b + a × c；–对于任何三个有理数a、b和c，(a + b) × c = a × c + b × c。

3.运算顺序：–先算乘除，后算加减；–同一级运算，按照从左到右的顺序进行计算。

4.带符号移项：–将含有未知数的项移到等式的一边，将常数项移到等式的另一边；–移项时，注意改变移项后项的符号。

5.运用括号：–括号前面是加号时，括号内的数不变号；–括号前面是减号时，括号内的数变号。

通过以上知识点的学习与理解，同学们可以掌握有理数加减法的运算技巧，并在实际运算中灵活运用，提高解题速度和正确率。

有理数加减法知识点一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数比的数，形式为a/b，其中a和b是整数，且b不为零。

有理数包括所有整数、分数和小数（有限或无限循环小数）。

二、有理数的加法1. 同号相加：两个正有理数或两个负有理数相加，取相同的符号，并将绝对值相加。

例如：+2/3 + +1/2 = +(2*2 + 1*3)/6 = +7/62. 异号相加：两个有理数，一个正数和一个负数相加，需要比较它们的绝对值。

如果绝对值相等，则结果为零；如果不相等，则结果取较大绝对值的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。

例如：-3/4 + 2/4 = +(2*1 - 3*1)/4 = 1/43. 加法的交换律和结合律：交换律：a + b = b + a结合律：(a + b) + c = a + (b + c)三、有理数的减法1. 有理数的减法可以转化为加法来进行计算：例如：5 - 3/4 可以转化为 5 + (-3/4)，然后按照加法规则进行计算。

2. 减法的性质：a -b = a + (-b)，其中 -b 表示 b 的相反数。

四、有理数加减法的运算规则1. 先计算同号的加减法。

2. 再计算异号的加减法。

3. 如果有多个数进行加减运算，可以按照从左到右的顺序依次进行。

4. 可以利用加法的交换律和结合律简化计算过程。

五、有理数加减法的实例1. 实例一：计算：1/2 + 3/4 - 1/4解：= (1/2 + 3/4) - 1/4= 1 + 1/4= 5/42. 实例二：计算：-2/3 - 1/6 + 1/2解：= -2/3 + (-1/6) + 1/2= -(2*2 + 1*4)/6 + 1/2= -9/6 + 3/6= -6/6= -1六、注意事项1. 在进行有理数加减法时，要注意分数的通分和约分。

2. 要注意运算的顺序，先进行括号内的运算，然后进行加减运算。

3. 在合并同类项时，要注意保持分母不变，只对分子进行加减运算。

1.4 有理数的加减1．有理数的加法(1)有理数的加法法则①同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加．②异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数与零相加，仍得这个数．(2)两个有理数相加的步骤第一步：有理数的加法法则分三种情况，进行有理数加法时，要先区别是哪种情况；第二步：确定和的符号；第三步：求每个加数的绝对值；第四步：根据具体的法则计算两个数的绝对值的和或差；第五步：写出最后的计算结果．析规律有理数的加法运算规律(1)有理数的加法法则是进行有理数运算的依据，进行加法运算时要先确定用哪条法则．(2)小学学过的加法中，和一定大于每一个加数，在数的范围扩大到有理数以后，这个结论就不成立了，只有两个正数的和必定大于每一个加数，而两个负数的和要小于每一个加数，一个非零数与零相加，得到的和等于非零加数．(3)如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数．即：如果a＋b＝0，那么a＝－b.例如：(－3)＋a＝0，则a＝3.(4)进行有理数的加法运算要遵循“一定二求三和差”的步骤，即第一步先确定和的符号，第二步再求加数的绝对值，第三步要分析确定是绝对值相加还是相减．【例1】计算：(1)(＋8)＋(＋5)；(2)(＋2.5)＋(－2.5)；(3)(－17)＋(＋9)；(4)(－4)＋0.分析：根据有理数的加法法则，两数相加，只要确定它适合有理数加法法则的哪一种情况，再根据法则确定和的符号，然后根据法则求出和的绝对值．解：(1)(＋8)＋(＋5)(同号两数相加)＝＋(8＋5)(取与加数相同的符号，并把绝对值相加)＝13.(2)(＋2.5)＋(－2.5)(异号两数相加，绝对值相等)＝0(和为0)．(3)(－17)＋(＋9)(异号两数相加，绝对值不等)＝－(17－9)(取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值)＝－8.(4)(－4)＋0(一个数与零相加)＝－4(仍得这个数)．2．有理数的减法(1)有理数的减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为a－b＝a＋(－b)．(2)有理数减法运算的基本步骤①将减法转化为加法；②按有理数的加法法则运算．(3)法则理解①有理数的减法，不像小学里的那样直接减，而是把它转化为加法，借助于加法进行计算．其关键是正确地将减法转化为加法，再按有理数的加法法则计算．②学习有理数减法运算，关键在于处理好法则中两个“变”字，即注意两个符号的变化：一是运算符号——减号变为加号，二是性质符号——减数变成它的相反数．③其含义可以从以下两方面理解：(a)(b) ④并不是所有的减法运算都要转化为加法运算． 一般来说，当减数或被减数为负数，或两数“不够减”时才运用法则转化为加法运算． 解技巧 有理数的减法运算技巧 (1)可用口诀记忆法则：“减正变加负，减负变加正．” (2)带分数减法运算，可把带分数拆成整数和分数和的形式后再进行计算．(3)特别注意减法没有交换律．【例2】 计算：(1)3－(－5)；(2)(－3)－(－7)；(3)⎝⎛⎭⎫－213－516； (4)5.2－(＋3.6)．分析：有理数减法运算，按照减法法则，将减法转化为加法，然后按有理数加法进行计算．在做减法转换为加法时，一定要注意符号的变换．解：(1)3－(－5)＝3＋(＋5)＝8；(2)(－3)－(－7)＝(－3)＋(＋7)＝4；(3)⎝⎛⎭⎫－213－516＝⎝⎛⎭⎫－213＋⎝⎛⎭⎫－516＝－712； (4)5.2－(＋3.6)＝5.2＋(－3.6)＝1.6.3．有理数加法的运算律(1)加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变．用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a .(2)加法结合律：三数相加，先把前两个数相加或先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．【例3】 计算：(1)(－8)＋⎝⎛⎭⎫－212＋2＋⎝⎛⎭⎫－12＋12； (2)⎝⎛⎭⎫－13＋⎝⎛⎭⎫＋12＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫＋45＋⎝⎛⎭⎫－12. 分析：进行三个以上的有理数加法运算时，常常运用加法的交换律和结合律，把同号的数相结合，把互为相反数的两个数相结合，把同号的数中的同分母的分数相结合，以达到计算简便、迅速的目的．解：(1)原式＝(2＋12)＋⎣⎡⎦⎤(－8)＋⎝⎛⎭⎫－212＋⎝⎛⎭⎫－12＝14＋(－11)＝3； (2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－13＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＋45＝－1＋0＋45＝－15. 4.有理数的加、减混合运算(1)加减法统一成加法①有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式．如：(－12)－(＋8)＋(－6)－(－5)＝(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)．②在和式里，通常把各个加数的括号省略不写，写成省略加号的和的形式．如：(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)＝－12－8－6＋5.③和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“负12，负8，负6，正5的和”，即把各个数中间的符号作为后面的这个数的性质符号来读；二是按运算意义读作“负12减8减6加5”，即把各个数中间的符号作为运算符号来读．(2)有理数加、减混合运算的方法和步骤由于减法可以转化为加法，所以在进行有理数的加减混合运算时，首先要将混合运算的式子写成省略括号的和式的形式，然后按加法法则和运算律进行简便运算． 第一步：用减法法则将减法转化为加法； 第二步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算． (3)进行有理数的加减混合运算的注意事项 ①交换加数的位置时，一定要连同加数前的符号一起移动； ②如果需要添括号，一定要连同加数前的符号一起括进括号内，并将原来已省略的括号写出来； ③省略加号和括号的“和”与小学里的“和”是有区别的，小学里的“和”是一个具体的数，并且和一定不小于任何一个加数，而这里的“和”则是表示的是有理数的加法运算，也表示相加的结果．有理数的“和”可以大于任何一个加数，也可以小于任何一个加数，和可能是正数、负数或零． 【例4－1】 把下列各式写成省略加号的和的形式：(1)(－26)－(－7)＋(－10)－(－3)；(2)(－30)－(－8)＋(－12)－(－5)．分析：先统一成加法，再省略括号和加号．在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化．解：(1)(－26)－(－7)＋(－10)－(－3)＝－26＋(＋7)＋(－10)＋(＋3)＝－26＋7－10＋3. (2)(－30)－(－8)＋(－12)－(－5)＝(－30)＋(＋8)＋(－12)＋(＋5)＝－30＋8－12＋5.【例4－2】 计算：(1)0－327－6＋1167－537； (2)⎝⎛⎭⎫－12－⎝⎛⎭⎫－16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45； (3)(－5)－(－21)＋(－12)＋8－(－4)－18；(4)(＋10.4)－7.5＋12.7－(－3.6)＋(－1.7)－2.5.分析：(1)本题是省略括号和加号后的和的形式，在五个加数中，考虑到－327，1167，－537三个加数分母都是7，便于运算，所以把这三个加数放在一起；(2)把加减混合运算统一成加法运算后结果为⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45，考虑到⎝⎛⎭⎫－12，⎝⎛⎭⎫－23，⎝⎛⎭⎫＋16便于通分，把它们结合起来，可使计算较为简便；(3)统一成加法后，可采用同号结合法，即把正数与正数、负数与负数分别相加；(4)统一成加法后，可采用凑整结合法，即把相加得整数的加数先结合．解：(1)0－327－6＋1167－537＝(0－6)＋⎝⎛⎭⎫－327＋1167－537 ＝－6＋⎝⎛⎭⎫＋317＝－267. (2)⎝⎛⎭⎫－12－⎝⎛⎭⎫－16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝(－1)＋⎝⎛⎭⎫－45＝－145. (3)(－5)－(－21)＋(－12)＋8－(－4)－18＝－5＋21－12＋8＋4－18＝(21＋8＋4)＋(－5－12－18)＝33－35＝－2.(4)(＋10.4)－7.5＋12.7－(－3.6)＋(－1.7)－2.5＝10.4－7.5＋12.7＋3.6－1.7－2.5＝(10.4＋3.6)＋(12.7－1.7)＋(－7.5－2.5)＝14＋11－10＝15.5．含有字母的有理数加法的运算我们可以用字母表示有理数加法的运算法则：①同号两数相加：若a ＞0，b ＞0，则a ＋b ＝＋(|a |＋|b |)；若a ＜0，b ＜0，则a ＋b ＝－(|a |＋|b |)．②异号两数相加：若a ＞0，b ＜0，且|a |＝|b |，则a ＋b ＝0；若a ＞0，b ＜0，且|a |＞|b |，则a ＋b ＝＋(|a |－|b |)；若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a ＋b ＝－(|b |－|a |)．③一个数与0相加：a ＋0＝a .【例5－1】 根据加法法则填空：(1)如果a ＞0，b ＞0，那么a ＋b __________0；(2)如果a ＜0，b ＜0，那么a ＋b __________0；(3)如果a ＞0，b ＜0，|a |＞|b |，那么a ＋b ________0；(4)如果a ＜0，b ＞0，|a |＞|b |，那么a ＋b ________0.答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜【例5－2】 已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，且|a |＞|b |＞|c |，则(1)|a ＋(－b )|＝__________；(2)|a ＋b |＝__________；(3)|a ＋c |＝__________；(4)|b ＋(－c )|＝__________；(5)|b ＋c |＝__________.答案：(1)|a |＋|b | (2)|a |－|b | (3)|a |＋|c | (4)|b |＋|c | (5)|b |－|c |6.有理数加减混合运算的注意事项(1)运用加法交换律，在交换各数的位置时要连同它们前面的符号一起交换，千万不要把符号漏掉．(2)应用加法结合律时，应充分考虑同号加数结合、同分母或便于通分的加数结合、凑整的加数结合、互为相反数的加数结合等情形，从而选择适当的方法，使运算简便．(3)若分数、小数混在一块运算时，可以把它们统一成分数或小数再运算．(4)如果有大括号和小括号应当先进行小括号里的运算，再进行大括号里的运算．反之，进行有理数的加减混合运算，有时候需要添加括号，此时一定要连同加数的符号一起括进括号内，并将原来已省略的加号写进来．辨误区 拆分负的带分数负的带分数拆分为整数与分数的和时，易将负整数与负分数的和错拆为负整数与正分数的和．【例6】 计算：(1)(－837)＋(－7.5)＋(－2147)＋(＋312)； (2)⎪⎪⎪⎪5111－3417＋4417－111.分析：把分母不同的分数的加减混合运算统一成加法之后，应用运算律使同分母分数相加可以简化运算．解：(1)(－837)＋(－7.5)＋(－2147)＋(＋312) ＝－837－7.5－2147＋312＝－837－2147－7.5＋312＝(－837－2147)－(7.5－312) ＝－30－4＝－34.(2)⎪⎪⎪⎪5111－3417＋4417－111＝5111－3417＋4417－111＝5111－111－3417＋4417＝(5111－111)－(3417－4417) ＝5＋1＝6.7．有理数加减法的运用学习有理数的加减法后，可以和前面学过的数轴、相反数、绝对值综合出题，把有理数的知识融合得更紧密，理解得更深刻．(1)有理数的加法与绝对值在有些计算中，含有绝对值符号，这就要用绝对值的概念，先去掉绝对值符号，再按有理数混合运算法则进行计算．几个非负数的和等于0，则每个加数必等于0.(2)有理数的加法与有理数的大小比较学习加法后，在比较大小的数中，出现了和的形式或差的形式(差可以化成和)．特别是以字母表示的数．这就需要用加法法则来判断数的正负，或判断数对应的点在数轴上的位置关系，从而确定两个数的大小关系．(3)有理数加法在实际问题中的应用在实际问题中，要应用有理数的加法法则求解问题，注意运算技巧的使用．【例7－1】 若|x －3|与|y ＋3|互为相反数，求x ＋y 的值．解：根据题意得|x －3|＋|y ＋3|＝0.则x －3＝0，y ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝－3.所以x ＋y ＝3＋(－3)＝0.【例7－2】 一小吃店一周中每天的盈亏情况如下(盈利为正)：128.3元，－25.6元，－15元，－7元，36.5元，98元，27元，这一周总的盈亏情况如何？分析：正数表示盈利，负数表示亏损，这些数的代数和就是总的盈亏情况，如果代数和为正，则总的情况是盈利，否则是亏损．解：128.3＋(－25.6)＋(－15)＋(－7)＋36.5＋98＋27＝(128.3＋36.5＋98＋27)＋(－25.6－15－7)＝289.8－47.6＝242.2.答：一周总的盈亏情况是盈利242.2元．【例7－3】 一农业银行某天上午9：00～12：00办理了7笔储蓄业务；取出9.5万元，存入5万元，取出8万元，存入12万元，存入25万元，取出10.25万元，取出2万元．这天上午该银行的现金增减情况怎样？分析：可以设存入为正，取出为负，用正、负数分别表示这7笔业务，求它们的和即可判断现金的增减情况．若结果为正数，则表明现金增加了；若结果为负数，则表明现金减少了．解：(－9.5)＋(＋5)＋(－8)＋(＋12)＋(＋25)＋(－10.25)＋(－2)＝[(－9.5)＋(－8)＋(－10.25)＋(－2)]＋[5＋(＋12)＋(＋25)]＝－29.75＋42＝12.25(万元)．答：这天上午该银行的现金增加了12.25万元．8.有理数减法的应用(1)有理数减法的应用比较常见的题型有：计算高度，计算温差，计算销售利润，计算距离，计算时差等．有理数减法的应用题虽然比较简单，但却能让大家主动地从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，充分体现课程标准所要求的“数学应用意识”．因此，我们要有意识地加强数学知识与现实生活联系密切的问题的训练，提高自己的能力．(2)利用有理数减法求数轴上两点间的距离求数轴上两点间的距离是有理数减法最典型的应用之一，数轴上任意两点之间的距离，都可以用数轴上表示这两点的有理数的差的绝对值来表示．【例8－1】如图所示的数轴上，表示－2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示2和－5的两点之间的距离是______，数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是______．解析：数轴上表示－2和5两点之间的距离是|－2－5|或|5－(－2)|；数轴上表示2和－5两点之间的距离是|2－(－5)|或|－5－2|；数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是|－1－(－3)|或|－3－(－1)|.答案：77 2【例8－2】以地面为基准，A处高为＋2.5米，B处高为－17.8米，C处高为－32.4米，问：(1)A处比B处高多少米？(2)B处与C处哪个地方高？高多少米？解：(1)＋2.5－(－17.8)＝2.5＋17.8＝20.3(米)，所以A处比B处高20.3米．(2)－17.8－(－32.4)＝－17.8＋32.4＝14.6(米)，所以B处比C处高，高了14.6米．。

专题03 有理数的加减法重点突破知识点一 有理数的加法（基础）有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值） 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2. 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3. 互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）4. 一个数同0相加，仍得这个数。

有理数的加法运算律：1. 两个数相加，交换加数的位置，和不变。

即a b b a +=+；2. 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

即()()a b c a b c ++=++。

知识点二 有理数的减法（基础） 有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

即()a b a b -=+-。

【注意减法运算2个要素发生变化】：减号变成加号；减数变成它的相反数。

有理数减法步骤： 1.将减号变为加号。

2.将减数变为它的相反数。

3.按照加法法则进行计算。

考查题型考查题型一 有理数加法运算典例1．（2018·广东初一期中）计算－(－1)＋|－1|，其结果为( ) A ．－2 B ．2 C ．0 D ．－1【答案】B 【解析】试题提示：由题可得：原式=1+1=2，故选B．a b的值（）变式1-1．（2019·呼伦贝尔市期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则A．大于0B．小于0C．小于a D．大于b【答案】A【提示】先根据数轴的特点判断出a，b的符号，再根据其与原点的距离判断出其绝对值的大小，然后根据有理数的加法法则得出结果．【详解】根据a，b两点在数轴上的位置可知，a＜0，b＞0，且|b|＞|a|，所以a+b＞0．故选A．【名师点拨】此题考查数轴,绝对值,有理数的加法法则．解题关键在于用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．变式1-2．（2019·庆阳市期中）若a＝2，|b|＝5，则a＋b＝( )A．－3 B．7 C．－7 D．－3或7【答案】D【提示】根据|b|=5，求出b=±5，再把a与b的值代入进行计算，即可得出答案．【详解】∵|b|=5，∴b=±5，∴a+b=2+5=7或a+b=2-5=-3；故选D．【名师点拨】此题考查了有理数的加法运算和绝对值的意义，解题的关键是根据绝对值的意义求出b的值．变式1-3．（2019·扬州市期中）若|m|=3，|n|=5，且m-n＞0，则m+n的值是（）A．-2 B．-8或8 C．-8或-2 D．8或-2【答案】C【详解】∵|m|=3，|n|=5，∴m=±3，n=±5，∵m-n＞0，∴m=±3，n=-5，∴m+n=±3-5，∴m+n=-2或m+n=-8．故选C ．变式1-4．（2018·上饶市期末）若m 是有理数，则m m +的值是（ ） A ．正数 B ．负数C ．0或正数D ．0或负数【答案】C【提示】根据：如果m>0,则|m|=m; 如果m<0,则|m|=-m; 如果m=0,则|m|=0.【详解】如果m 是正数，则m m +是正数；如果m 是负数，则m m +是0；如果m 是0，则m m +是0. 故选C【名师点拨】本题考核知识点：有理数的绝对值.解题关键点：理解绝对值的意义. 考查题型二 有理数加法中的符号问题典例2．（2018·重庆市期末）将 6-(+3)+(-2) 改写成省略括号的和的形式是（ ） A ．6-3-2 B ．-6-3-2C ．6-3+2D ．6+3-2【答案】A【提示】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号．【详解】将6﹣（+3）+（﹣2）改写成省略括号的和的形式为6﹣3﹣2． 故选A ．【名师点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，将算式写成省略括号的形式必须统一成加法后，才能省略括号和加号．变式2-1．（2020·银川市期中）把（+3）﹣（+5）﹣（﹣1）+（﹣7）写成省略括号的和的形式是（ ）． A ．﹣3﹣5+1﹣7 B ．3﹣5﹣1﹣7 C ．3﹣5+1﹣7 D ．3+5+1﹣7 【答案】C【解析】（+3）﹣（+5）﹣（﹣1）+（﹣7）=（+3）+（-5）+（+1）+（﹣7）=3﹣5+1﹣7, 故选：C.变式2-2．（2020·邯郸市期末）若两个非零的有理数a ，b 满足：|a|＝－a ，|b|＝b ，a ＋b ＜0，则在数轴上表示数a ，b 的点正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【提示】根据|a|=-a 得出a 是负数，根据|b|=b 得出b 是正数，根据a+b ＜0得出a 的绝对值比b 大，在数轴上表示出来即可．【详解】解：∵a 、b 是两个非零的有理数满足：|a|=-a ，|b|=b ，a+b ＜0， ∴a ＜0，b ＞0， ∵a+b ＜0， ∴|a|＞|b|，∴在数轴上表示为：故选D.【名师点拨】本题考查数轴，绝对值，有理数的加法法则等知识点，解题关键是确定出a ＜0，b ＞0，|a|＞|b|． 变式2-3．（2019·深圳市期中）如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0 ，那么下列关系式中正确的是（ ） A ．a b b a ->>-> B ．a a b b >->>- C ．a b b a >>->- D ．b a b a >>->-【答案】A【提示】由于a ＜0，b ＞0，a+b ＜0，则|a|＞b ，于是有-a>b ，-b>a ，易得a ，b ，-a ，-b 的大小关系． 【详解】∵a ＜0，b ＞0，a+b ＜0， ∴|a|＞b ， ∴-a>b ，-b>a ，∴a ，b ，-a ，-b 的大小关系为：-a>b>-b>a ， 故选A ．【名师点拨】本题考查了有理数的加法法则，有理数的大小比较，异号两数的加法法则确定出|a|＞b 是解题的关键. 考查题型三 有理数加法在实际生活中的应用典例3（2018·厦门市期末）下列温度是由－3℃上升5℃的是（ ） A ．2℃ B ．－2℃C ．8℃D ．－8℃【答案】A【提示】物体温度升高时，用初始温度加上上升的温度就是上升之后的温度，即是所求 【详解】（－3℃）+5℃= 2℃ 故本题答案应为：A【名师点拨】此题考查了温度的有关计算，是一道基础题．熟练掌握其基础知识是解题的关键变式3-1．（2019·石家庄市期中）在学习“有理数的加法与减法运算”时，我们做过如下观察：“小亮操控遥控车模沿东西方向做定向行驶练习，规定初始位置为0，向东行驶为正，向西行驶为负．先向西行驶3m ，在向东行驶lm ，这时车模的位置表示什么数？”用算式表示以上过程和结果的是（ ）A．（﹣3）﹣（+1）=﹣4 B．（﹣3）+（+1）=﹣2C．（+3）+（﹣1）=+2 D．（+3）+（+1）=+4【答案】B【详解】由题意可得：（﹣3）+（+1）=﹣2．故选B．变式3-2．（2019·石家庄市期中）一家快餐店一周中每天的盈亏情况如下（盈利为正）：37元，-26元，-15元，27元，-7元，128元，98元，这家快餐店总的盈亏情况是（）A．盈利了290元B．亏损了48元C．盈利了242元D．盈利了-242元【答案】C【提示】利用有理数的加法求出已知各数的和即可求出一周总的盈亏情况．【详解】∵37+(−26)+(−15)+27+(−7)+128+98=242（元），∴一周总的盈亏情况是盈利242元.故选择C.【名师点拨】本题考查正数和负数、有理数的加法，解题的关键是掌握正数和负数、有理数的加法.±kg，现随机选取10袋面粉进行质量变式3-3．（2020·沈阳市期末）面粉厂规定某种面粉每袋的标准质量为500.2检测，结果如下表所示：则不符合要求的有（）A．1袋B．2袋C．3袋D．4袋【答案】A【提示】提示表格数据,找到符合标准的质量区间即可解题.±kg，即质量在49.8kg——50.2kg之间的都符合要求,【详解】解：∵每袋的标准质量为500.2根据统计表可知第5袋49.7kg不符合要求,故选A.【名师点拨】本题考查了有理数的实际应用,属于简单题,熟悉概念是解题关键.考查题型四有理数加法运算律典例4．（2019·忠县期中）计算1﹣3+5﹣7+9=（1+5+9）+（﹣3﹣7）是应用了（）A．加法交换律B．加法结合律C．分配律D．加法交换律与结合律【答案】D【提示】根据加法交换律与结合律即可求解．【详解】计算1-3+5-7+9=（1+5+9）+（-3-7）是应用了加法交换律与结合律．故选：D．【名师点拨】考查了有理数的加减混合运算，方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．变式4-1．（2018·新蔡县期中）计算()+()+()+()等于（）A．-1 B．1 C．0 D． 4【答案】A【提示】有理数的加减运算，适当运用加法交换律.【详解】解：故选：A.【名师点拨】本题考查有理数的加减运算，熟记有理数的加减运算法则，同时能够题目数字特点进行灵活计算.变式4-2．（2019淮南市期中）－1＋2－3＋4－5＋6＋…－2017＋2018的值为()A．1 B．－1 C．2018 D．1009【答案】D【提示】从左边开始，相邻的两项分成一组，组共分成1009组，每组的和是1，据此即可求解．【详解】原式=(−1+2)+(−3+4)+(−5+6)+…(−2015+2016)+(−2017+2018),=1+1+1+…+1=1×1009,=1009.故选D.【名师点拨】属于规律型：数字的变化类，考查有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键.变式4-3．（2019·南阳市期中）下列交换加数的位置的变形中，正确的是A．1-4+5-4=1-4+4-5B．13111311 34644436 -+--=+--C．1-2+3-4=2-1+4-3D．4.5-1.7-2.5+1.8=4.5-2.5+1.8-1.7 【答案】D【详解】A. 1−4+5−4=1−4−4+5，故错误；B. 13111311=-34644436-+--+--，故错误； C. 1-2+3-4=-2+1-4+3，故错误；D. 4.5−1.7−2.5+1.8=4.5−2.5+1.8−1.7，故正确． 故选D.考查题型五 有理数减法运算典例5．（2020·济南市期末）﹣3﹣（﹣2）的值是（ ） A ．﹣1 B ．1C ．5D ．﹣5【答案】A【提示】利用有理数的减法的运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】﹣3﹣（﹣2）=﹣3+2=﹣1，故选A ．【名师点拨】本题主要考查了有理数的减法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 变式5-1．（2019·郯城县期末）比﹣1小2的数是（ ） A ．3 B ．1C ．﹣2D ．﹣3【答案】D【提示】根据题意可得算式，再计算即可． 【详解】-1-2=-3， 故选D ．【名师点拨】此题主要考查了有理数的减法，关键是掌握减去一个数，等于加上这个数的相反数． 变式5-2．（2019·重庆市期末）若 |a |= 3， |b | =1 ，且 a > b ，那么 a -b 的值是（ ） A ．4 B ．2C ．-4D ．4或2【答案】D根据绝对值的性质可得a =±3，b =±1，再根据a ＞b ，可得①a =3，b =1②a =3，b =﹣1，然后计算出a －b 即可． 【详解】∵|a |=3，|b |=1，∴a =±3，b =±1． ∵a ＞b ，∴有两种情况： ①a =3，b =1，则：a －b =2； ②a =3，b =﹣1，则a －b =4． 故选D ．【名师点拨】本题考查了绝对值的性质，以及有理数的减法，关键是掌握绝对值的性质，绝对值等于一个正数的数有两个．变式5-3．（2018·自贡市期中）若x ＜0，则()x x --等于（ ）A ．－xB ．0C ．2xD ．－2x【答案】D【提示】根据有理数的加法法则和绝对值的代数意义进行提示解答即可. 【详解】()2x x x x x --=+=， ∵0x <， ∴20x <， ∴原式=22x x =-. 故选D.【名师点拨】“由已知条件0x <得到20x <，进而根据绝对值的代数意义得到：22x x =-”是解答本题的关键. 考查题型六 有理数减法在实际生活中的应用典例6．（2019临河区期末）某市有一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，则这天的最高气温比最低气温高（ ） A ．10℃ B ．6℃ C ．﹣6℃ D ．﹣10℃ 【答案】A【解析】提示：用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 详解：2-（-8） =2+8 =10（℃）． 故选：A ．名师点拨：本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 变式6-1．（2019·长兴县月考）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如右表，则这四天中温差最大的是（ ）A ．星期一B ．星期二C ．星期三D ．星期四【答案】C【提示】利用每天的最高温度减去最低温度求得每一天的温差，比较即可解答. 【详解】星期一温差：10﹣3＝7℃； 星期二温差：12﹣0＝12℃； 星期三温差：11﹣（﹣2）＝13℃；星期四温差：9﹣（﹣3）＝12℃； 综上，周三的温差最大. 故选C ．【名师点拨】本题考查了有理数的减法的应用，根据题意正确列出算式，准确计算有理数减法是解题的关键． 变式6-2．（2018·吕梁市期末）我市冬季里某一天的最低气温是-10℃，最高气温是5℃，这一天的温差为 A ．-5℃ B ．5℃C ．10℃D ．15℃【答案】D【详解】解：5−(−10) =5+10=15℃． 故选D.变式6-3．（2020·寿阳县期末）甲、乙、丙三地海拔分别为20m ，15m -，10m -，那么最高的地方比最低的地方高( ) A ．10m B ．25mC ．35mD ．5m【答案】C【提示】根据正数与负数在实际生活中的应用、有理数的减法即可得．【详解】由正数与负数的意义得：最高的地方的海拔为20m ，最低的地方的海拔为15m - 则最高的地方比最低的地方高20(15)201535()m --=+= 故选：C ．【名师点拨】本题考查了正数与负数在实际生活中的应用、有理数的减法，理解负数的意义是解题关键． 考查题型七 有理数加减混合运算典例7（2018·南阳市期中）计算：①﹣13+（﹣20）﹣（﹣33）；②（+12）﹣（﹣13）+（﹣14）﹣（+16） 【答案】①0；②512． 【解析】①﹣13+（﹣20）﹣（﹣33） =﹣33+33 =0；②（+12）﹣（﹣13）+（﹣14）﹣（+16） =12+13﹣14﹣16 =643212121212+-- =512.变式7-1．（2019·河池市期中）计算：（1） 6789-+- （2） 2(5)(8)5---+-- 【答案】（1）-2；（2）-10 【详解】解：（1）6789-+- =189-+- =79-2=-（2）2(5)(8)5---+--2585=-+--385=--55=-- 10=-【名师点拨】此题考查的是有理数的加减法混合运算，掌握有理数的加、减法法则是解决此题的关键． 变式7-2．（2019·枣庄市期中）请根据如图所示的对话解答下列问题．求：(1)a ，b ，c 的值； (2)8－a ＋b －c 的值．【答案】(1)a ＝－3，b ＝±7,c=-1或-15; (2)33或5. 【详解】解：（1）∵a 的相反数是3，b 的绝对值是7， ∴a=-3，b=±7； ∵a=-3，b=±7，c 和b 的和是-8， ∴当b=7时，c= -15， 当b= -7时，c= -1，（2）当a=-3，b=7，c=-15时，8-a+b-c=8-（-3）+7-（-15）=33； 当a=-3，b=-7，c=-1时，8-a+b-c=8-（-3）+（-7）-（-1）=5． 故答案为（1）a=-3，b=±7；c=-1或-15;（2）33或5. 【名师点拨】本题考查有理数的加减混合运算，掌握相反数和绝对值的概念是解题关键.。

有理数加减运算法则有理数是指可以用整数或整数分数表示的数，包括正整数、负整数、零以及正分数、负分数。

有理数的加减运算是数学中的基本运算之一，掌握有理数的加减运算法则对于学习数学具有重要意义。

下面将介绍有理数加减运算的法则和相关知识。

一、有理数的加法法则1. 同号相加：两个正数相加，结果仍为正数；两个负数相加，结果仍为负数。

即正数加正数，负数加负数，结果的绝对值等于两数的绝对值之和，符号与原数相同。

例如：3+5=8，-3+(-5)=-8。

2. 异号相加：一个正数与一个负数相加，结果的绝对值等于两数的绝对值之差，符号取绝对值大的数的符号。

例如：3+(-5)=-2，-3+5=2。

二、有理数的减法法则有理数的减法可以看作加法的逆运算，即a-b=a+(-b)。

因此，有理数的减法可以转化为加法来进行计算。

例如：5-3=5+(-3)=2。

三、有理数的加减混合运算法则在有理数的加减混合运算中，可以先进行加法，然后再进行减法，也可以先进行减法，然后再进行加法。

需要注意的是，要根据运算法则先算括号内的值，再进行加减运算。

例如：3+(-5)-2=-4，-3-(-5)+2=4。

四、有理数的加减运算的性质1. 交换律：a+b=b+a，a和b为任意有理数。

2. 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，a、b、c为任意有理数。

3. 分配律：a(b+c)=ab+ac，a、b、c为任意有理数。

以上是有理数加减运算的基本法则和性质，掌握这些知识对于学习数学和解决实际问题都具有重要意义。

有理数的加减运算是数学中的基础，也是其他数学运算的基础，因此需要认真学习和掌握。

希望通过本文的介绍，能够帮助读者更好地理解和掌握有理数的加减运算法则。

有理数的加减法(基础)知识讲解有理数的加减法(基础)知识讲解有理数是数学中的一个重要概念，它包括整数和分数。

有理数的加减运算是我们学习数学的基础，本文将对有理数的加减法进行详细讲解。

一、有理数的加法有理数的加法满足以下规则：1. 同号相加，取相同符号，数值相加。

例如：2 + 3 = 5，-2 + (-3) = -5。

2. 异号相加，取绝对值较大的数的符号，数值取两数绝对值之差。

例如：2 + (-3) = -1，-2 + 3 = 1。

3. 加0不变。

例如：5 + 0 = 5，-3 + 0 = -3。

二、有理数的减法有理数的减法可以看作是加法的逆运算，减法满足以下规则：1. 一个数减去另一个数，可以转化为加上这个数的相反数。

例如：5 - 3 可以转化为 5 + (-3)。

2. 减0不变。

例如：5 - 0 = 5，-3 - 0 = -3。

三、加减法综合运算有理数的加减法可以综合运算，按照运算顺序依次计算。

例如：计算4 + (-3) - 2 + 5 - (-1)。

首先，根据加法规则，4 + (-3) = 4 - 3 = 1。

然后，依次计算 1 - 2 = -1，-1 + 5 = 4，4 - (-1) = 4 + 1 = 5。

四、简便计算方法对于一些较为复杂的加减法计算，我们可以利用简便的计算方法来简化运算过程。

1. 数字和0相加或相减，结果不变。

例如：28 + 0 = 28，13 - 0 = 13。

2. 相同数字相加或相减，可以直接运用倍数法则。

例如：3 + 3 = 6，4 - 4 = 0。

3. 在连续加减运算中，可以根据加法交换律和结合律进行合并运算。

例如：2 + 3 - 4 + 6 = (2 + 6) + (3 - 4) = 8 + (-1) = 7。

五、实际应用有理数的加减法在我们日常生活中有很多应用，例如：1. 温度计的读数变化可以看作是有理数的加减运算。

当温度从20℃降低3℃，再上升5℃，我们可以计算出最终的温度。

有理数的加减法（基础）【学习目标】1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算； 2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简 算，并会解决简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.有理数加法运算律加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b ＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言 (a+b )+c ＝a+(b+c )要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号． 要点二、有理数的减法1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【典型例题】类型一、有理数的加法运算1．计算：(1)(+20)+(+12)；(2)1223⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)(+2)+(-11)；(4)(-3.4)+(+4.3)；(5)(-2.9)+(+2.9)；(6)(-5)+0．【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；(2)121211 23236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；(6)(-5)+0＝-5．【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．举一反三：【变式1】计算：11 3343⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】11111 3333433412⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【变式2】计算：（1）(+10)+(-11)；（2）⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12 -1+-23【答案】（1） (+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；（2）⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212341 -1+-=-1+=-1+=-2 2323666类型二、有理数的减法运算2．计算：(1)(-32)-(+5)；(2)(+2)-(-25)．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】法一：法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.类型三、有理数的加减混合运算3．计算，能用简便方法的用简便方法计算. （1） 26-18+5-16 ； （2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21） (3) ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432 (4) 113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫--+-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5）132.2532 1.87584+-+（6）1355354624618-++-【答案与解析】 （1） 26-18+5-16=(+26)+(-18)+5+(-16) →统一成加法 =(26+5)+[(-18)+(-16)] →符号相同的数先加 = 31+(-34)=-3（2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）=[ (+7)+(-7) ] +[(-21)+(+21)] →互为相反数的两数先加=0（3）⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432 ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦21111-1+-2+1+-8+733224→同分母的数先加 ()()⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-4+-7+74=3-34（4）113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫--+-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113.5875573( 1.587)24⎛⎫⎛⎫=++-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→统一成加法11[3.587( 1.587)](57)5324⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→整数、小数、分数分别加312128544⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭（5）132.25321.87584+-+ (2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++→统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起 0.55 4.5=-+=（6）1355354624618-++-1355354624618=--++++--1355(3546)()24618=-++-+-++-→整数，分数分别加18273010036-++-=+2936= 【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换． 举一反三：【变式】用简便方法计算：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7) (2) 2)324(83)65()851(43-++-+-+ 【答案】 (1) 原式=[(-3.8)+ (-4.2)]+[ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2(2)原式=（2-1-4）+（34-58-56+38-23）=-3+[68-58+38+(-56-46)]=-3-1=-4 类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用4．小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10.（单位：cm ） (1) 小虫最后是否回到出发地O ？为什么？ (2) 小虫离开O 点最远时是多少？(3) 在爬行过程中，如果每爬行1 cm 奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？【思路点拨】题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝对值部分，表示爬行的路程大小.所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和路程大小；若只把它们的绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小.【答案与解析】解：（1）(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)=(5+10+12)+(-3-8-6-10)=27-27=00表示最后小虫又回到了出发点O答：小虫最后回到了出发地O.（2） (+5)+(-3)＝+2；(+5)+(-3)+(+10)＝+12；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)＝+4；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)＝－2；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)＝+10；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)＝0.因为绝对值最大的是+12，所以小虫离开O点最远时是向右12cm;++-+++-+-+++-=（cm）, 所以小虫爬行的总路程是54 (3) 531086121054cm，⨯=（粒）由15454答：小虫一共可以得到54粒芝麻.【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．举一反三：【变式1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，(2)第一名超过第五名多少分?【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．(1) 350-150＝200(分)(2) 350-(-400)＝350+400＝750(分)答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．【变式2】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．。

有理数加减法知识点归纳有理数是数学中的一个重要概念，是整数和分数的统称。

在我们日常生活和学习中，有理数加减法是一项基础且必要的计算技巧。

下面将对有理数加减法的知识点进行归纳和总结。

一、有理数的概念有理数是可以表示为两个整数的比值的数，并且这个比值可以是正数、负数或零。

有理数包括整数和分数，可以用分数或小数形式表示。

二、有理数的加法1. 同号数相加：同号的有理数相加，绝对值相加，然后保留原来的符号。

例如，正数加正数，负数加负数。

2. 异号数相加：异号的有理数相加，绝对值相减，结果的符号取绝对值较大的数的符号。

即正数加负数，取绝对值较大的符号。

三、有理数的减法有理数的减法可以转换为加法进行计算。

要注意减法的运算规则，减法是加上被减数的相反数。

四、加减法结合运算在有理数的加减法中，可以根据需要进行括号的运用，按照从左至右的顺序依次进行运算。

五、绝对值与相反数1. 绝对值：一个有理数的绝对值是它去掉符号的值。

例如，|-5| = 5，|-2/3| = 2/3。

2. 相反数：一个有理数的相反数是与它绝对值相等、但符号相反的数。

例如，5和-5互为相反数，2/3和-2/3互为相反数。

六、加法和减法的计算规则1. 加法的交换律：a + b = b + a，对于任意的有理数a和b。

2. 加法的结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，对于任意的有理数a、b和c。

3. 加法的零元素：a + 0 = a = 0 + a，对于任意的有理数a。

4. 减法的定义：a - b = a + (-b)，对于任意的有理数a和b。

七、应用举例1. 同号数相加：2 + 3 = 5，(-4.5) + (-2.7) = -7.2。

2. 异号数相加：(-2) + 5 = 3，(-1/2) + 1/3 = 1/6。

3. 同号数相减：5 - 2 = 3，(-7.2) - (-4.5) = -2.7。

4. 异号数相减：2 - 5 = -3，1/3 - (-1/2) = 5/6。

有理数的加减法知识点总结有理数是指可以表示为分数形式的数，包括正整数、负整数、零以及带分数等。

有理数的加减法是数学中最基础、常见且重要的运算之一。

本文将对有理数的加减法进行知识点总结，帮助读者理解和掌握这一内容。

1. 有理数的加法有理数的加法遵循以下规则：- 同号相加，取绝对值相加后再用相同的符号。

例如：(+5) + (+3) = +8；(-4) + (-2) = -6。

- 异号相加，取绝对值较大的数减去绝对值较小的数，最后结果的符号与绝对值较大的数相同。

例如：(+5) + (-3) = +2；(-4) + (+2) = -2。

- 零与任何有理数的和都等于这个有理数本身。

例如：(+7) + 0 = +7；(-3) + 0 = -3。

2. 有理数的减法有理数的减法可以通过加法的规则进行转化。

对于有理数a和b，a - b 可以等价地表示为 a + (-b)。

例如：(+5) - (+3) = (+5) + (-3) = +2；(-4) - (-2) = (-4) + (+2) = -6。

3. 有理数的运算顺序当有多个有理数进行加减运算时，应遵循从左至右的顺序进行计算。

例如：(+5) + (+3) - (+2) = (+5 + 3) - (+2) = +8 - (+2) = +6。

4. 括号的运用括号在有理数的加减法中起到改变计算顺序的作用，优先计算括号中的运算。

例如：(+5) + [(+3) + (-2)] = (+5) + [+1] = +6。

5. 绝对值与加减法的关系绝对值是一个有理数去掉符号后的值。

在有理数的加减法中，对于同号相加产生的结果，其绝对值一定会增大；对于异号相加产生的结果，绝对值的大小取决于绝对值较大的数。

例如：(+2) + (+3) = +5，绝对值增大；(+2) + (-3) = -1，绝对值较大的数为3，结果为-1。

6. 实际问题中的运用有理数的加减法运算经常在实际问题中使用，例如计算温度变化、海拔高度差等。